相似形在實物測量上的應用利用相似三角形作簡易測量

之前單元的回顧在上次的課程中，我們用 AAA 、AA 、 SAS 、 SSS 等性質來判別兩個三角形是否相似。以下則進一步探討，兩相似三角形的對應邊與對應高、對應角平分線、對應中線之間的關係，及對應邊與面積的關係。

相似三角形對應邊的比＝對應高的比

如圖，△ ABC∼△A‘B’C‘ ，且 於 D 點， 於 D 點，試說明 ： ＝ ： 。

BCAD

'' '' CBDA BC '' CB

AD '' DA

(1) △∵ ABC∼△A'B'C' ， ∠∴ B ＝∠ B' ， ： ＝ ： ----(2) ∵ 且 ， ∠∴ ADB ＝∠ A'D'B' ＝ 90° 故△ ABD∼△A'B'D' （ AA 相似） ： ＝ ： ------ (3) 由式、式知： ： ＝ ：

AB '' BA BC '' CBBCAD '' '' CBDA

AB '' BA AD '' DA

BC '' CB AD '' DA

觀念整合兩個相似三角形，對應邊的比＝對應高的比＝對應角平分線的比＝對應中線的比。相似三角形面積的比＝對應邊的平方比

現實生活中，無法直接求得的距離或長度，常利用相似三角形作簡易測量。

(2) 面積的比＝對應邊的平方比。 如圖 ，△ ABC∼△A'B'C' ， 則△ ABC 面積：△ A'B'C' 面積＝ 2 ： 2 。

AB '' BA

生活中實際的例子相傳兩千六百多年前，法老王阿美西斯（ Amasis ）很想知道金字塔（如圖 1-19 ）確實的高度。於是命令祭司們去丈量，但是祭司們卻束手無策，國王只好以巨額懸賞徵求能人高手前來揭開這個難題。

這時希臘數學家泰勒斯（ Thales of Miletus ，西元前六、七世紀）正好看到了國王的告示，便燃起挑戰的壯志。他試了幾種方法，還是行不通；然而他並不氣餒。有一天，他走在路上苦思對策，炙熱的太陽照著他孤獨的身體，正當他低下頭時，注意到影子一直跟著自己，而且影子隨著太陽升起愈來愈短，終於觸動了他的靈感，喃喃自語：「在一天之中，一定有一個

時間，身高與影子的長度相等，這時候 金 字 塔 的 高 度 與 它 的 影 子 也 會 相等。」泰勒斯終於利用推理的方法解決了金字塔高度的問題。

泰勒斯如何解決這個問題呢？如下圖，藍線表示太陽光線，人與金字塔分別垂直於地面，因為可視太陽光線為平行，所以△ ABC∼△DEF

（ AA 相似），

因此當人的身高與影子的長度相等時（ ＝ ），由 ： ＝ ： 可知 ＝ ，即金字塔的高度與金字塔的影子長度相等。

AB

AB BC BC DE EF DE EF

課堂練習題測量樹高如右圖，心怡想要測量樹高 ，她在樹前7.5 公尺的 C 點立了一根 1 公尺長的標竿 ，且 的延長線與 的延長線交於 E 點，又測得 ＝ 9 公尺，試求樹高 。

AB

CD BC CE

BE AB

解題過程 :∵ 與 皆垂直於 ， ∴ // 。 ： ＝ ： ： 1 ＝ 9 ：（ 9－ 7.5 ）＝ 9 ： 1.5

＝ 6

故樹高 ＝ 6 公尺。

CD AB

CD AB

AB CD BE CE

AB

AB

AB

BC

測量湖寬如圖，湖邊有 A 、 B 兩點，志明想知道它們之

間的距離。首先他在湖邊的空地找另一點 C ，並測得

＝ 75 公尺， ＝ 25 公尺， ＝ 90 公尺， ＝ 30 公尺， ＝ 28 公尺，試求 A 、 B 兩點的距離。

AC MC BC NC MN

解題過程在△ ABC 與△ MNC 中，∵ ： ＝ ： ＝ 3 ： 1， 且∠ ACB ＝∠ MCN ， △∴ ABC∼△MNC （ SAS 相似）， ： ＝ ： ： 28 ＝ 3 ： 1 ＝ 28． 3 ＝ 84 故 A 、 B 兩點的距離為 84 公尺。

AC MC BC NC

AB MN AC MC

AB AB

隨堂練習如右圖，宜君想知道湖邊 A 點到湖中小島 B 點

的距離，她在湖邊找了一點 C ，並測得 ＝ 24 公尺， ＝ 8 公尺， ＝ 6 公尺， // ，試求 A 、 B 兩點的距離。

AC MC MN AB

隨堂練習如圖，志豪想要測量樹高 ，他在樹前 5 公尺的 D 點豎立了一根長 1.8 公尺的木棍，並從木棍後方 2 公尺的觀測點 E ，觀察到木棍的頂端與樹梢成一直線，已知 E 點至地面的高度 為 1 公尺，試求樹高 。

AB

EF AB