考试题型：

1 、判断 5 2 10 分 分

2 、填空 5 2 10 分 分

3 、说明 1 8 8 分 分

4 、证明 2 8 16 分 分

5 、计算 4 14 56 分 分

一、波函数

基本概念：

1 、为什么要用波函数描述微观粒子的运动状态

2 、如何完全描述体系的运动状态？

3 、几率波和经典波，经典粒子和量子力学中的微观粒子的异同处4 、波函数的统计解释

5 、态叠加原理 （两种表述形式）

6 、波函数的标准条件： 有限、单值、连续

7 、几率流密度矢量 * *[ ]

2

ij

m

0jt

（概率守恒的微分表示式）

nSd j dSt

（概率守恒的积分表示式）

—— 各项的物理意义

波函数的两个特性：常数因子不定性、位相因子不定性 ;

8 、薛定谔方程

两种类型： （ 1 ）含时： 2

2 ( , )2

i V r tt m

（ 2 ）定态： 2

2 ( )2

V r Em

9 、判断定态与非定态、判断束缚态与非束缚态

定态： （ 1 ） Eti

ertr )(),(

（ 2 ） E 具有确定值 判断束缚态与自由态

1 、由粒子受到的势场决定

在处， V 与 E 哪个大： V>E 束缚态； V<E 自由态

2 、波函数

判断束缚态与自由态1 、由粒子受到的势场决定

在处， V 与 E 哪个大： V>E 束缚态； V<E 自由态

在处， 0 束缚态；在处，不趋于 0 自由态；

10 、测不准关系的物理意义。kiGF ˆ]ˆ,ˆ[

4)()(

222 k

GF

(1) 测不准关系是波粒二象性的必然反映 (2) 测不准关系是用经典力学方法描述微观粒子的限制

(3) 不是所有的力学量可以同时有确定值。

二、量子效应

1 、零点能：

2 、能量量子化：

3 、隧穿效应 三、力学量 1 、量子力学中力学量的特点： 多值性、制约性 2 、量子力学中力学量如何用算符表示 ),ˆ(ˆ

irF

3 、力学量算符满足的条件： 线性厄密算符

4 、线性厄密算符的特点： （ 1 ）本征值必为实数（证明）；

（ 2 ）本征函数组成正交归一完全系（证明）； （ 3 ）有共同本征函数系，则 ； 0]ˆ,ˆ[ GF

（ 4 ）有关厄密算符的证明

（ 5 ）氢原子简并度为 n2 ，考虑自旋后简并度为 2n2

5 、力学量 F 与算符 的关系： F̂

6 、力学量算符之间的对易关系

( 要求证明 )

（ 1 ） 必然存在一组构成完成系的本征函数。0]ˆ,ˆ[ GF

（ 2 ）

6 、力学量算符之间的对易关系 （ 1 ） 必然存在一组构成完成系的本征函数。0]ˆ,ˆ[ GF

kiGF ˆ]ˆ,ˆ[

4)ˆ()ˆ(

222 k

GF

222)ˆ( FFF

两力学量同时有确定值的条件：

（ 1 ）对易；

（ 2 ）体系恰好处在其共同本征态上。

7 、一维 )(~ˆ xH nx nE

二维 )()(~ˆˆ yxHH nynxyx nynx EEE

三维 )()()(~ˆˆˆ zyxHHH nznynxzyx nznynx EEEE

8 、体系的守恒量 0

ˆ

t

F

0]ˆ,ˆ[ HF

0dt

Fd F 为守恒量

守恒量的两个特点： （ 1 ）在体系的任何态下，平均值不随 t 变化；

（ 2 ）在体系的任何态下，几率分布不随 t 变化。 9 、简并度的分析

1 、氢原子体系中当 E<0 时

能量本征值：

相应本征函数： ),()(),,( lmnlnlm YrRr

;,3,2,1 n ;1,,2,1,0 nl lm ,,, 10

4

2 2

1

2n

eE

n

2

2

1

2

e

a n

玻尔半径： 2

2a

e

),,(),,(ˆ rErH nlmnnlm

2 2ˆ ( , , ) ( 1) ( , , )nlm nlml r l l r

ˆ ( , , ) ( , , )z nlm nlml r m r

四、氢原子

2 、氢原子核外电子的几率分布 2 2( ) ( )nl nlr R r r

nl(r) 称为径向位置几率分布或径向分布函数。

使 nl(r) 取最大值的半径称为最可几半径 。2

( ) ( , )lm lmY —— 角向几率分布

角分布与无关，即几率分布对 z 轴是旋转对称的。

(1) 、旧量子论与量子力学中关于描述氢原子核外电子分布问题的区别和联系。

(2) 、氢原子的玻尔半径 a ，从量子力学几率分布的观点解释 a 的物理意义，并与玻尔的旧量子论的解释相比较。

五、表象

设任一力学量 F 只有分立的本征值 F1,F2,,Fn ，对应的本征函数是 1, 2,, n ，

(1) 、 1

2

( )

( )

( )F

n

a t

a t

a t

*( ) ( ) ( , )n na t x x t dx

(2) 、 F jk n nL L

ˆ( , )jk j kL L

(3) 、常用公式的矩阵表示波函数归一化条件： 1F F

平均值公式： F F FL L

本征方程： F F FL L

薛定谔方程： FF F

di Hdt

注意： （ 1 ）表示力学量的矩阵都是厄密矩阵；

（ 2 ）算符在自身表象中是一个对角矩阵，且 对角元为相应的本征值。

六、微扰

定态微扰：

(1) 、在未加入微扰时，能级非简并，加入微扰后能级发生移动，上升或下降；

(2) 、在未加入微扰时，能级简并，加入微扰后能级发生分裂（部分或全部分裂）。

七、自旋与全同粒子 1 、自旋的两个基本假定

2zs （ 1 ） （ 2 ） s e

smc

2 、考虑自旋后，描述电子运动状态的波函数由下表示( , )2( , )

( , )2

z

rr s

r

在 表象中2ˆ ˆzs s

0 1ˆ

1 02xs

0ˆ

02y

is

i

1 0ˆ

0 12zs

2

2 1 03ˆ

0 14s

3 、全同粒子的特点： （ 1 ）固有性质完全相同；

（ 2 ）不可区分性。

4 、全同性原理： 全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。

5 、全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称。

对称： 玻色子 ，遵循玻色统计规律

反对称： 费米子， 遵循费米统计规律

6 、如何用单粒子表示全同粒子体系波函数

玻色子： 1 1 1

![ ( ) ( )]

!N N

iS in n k k N

P

nP q q

N

费米子： 1 1 1

2 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1( , , , )

!

( ) ( ) ( )

N

N N N

k k k N

k k k NAk k k N

k k k N

q q q

q q qq q q

N

q q q

在无自旋——轨道相互作用情况，或该作用很弱，从而可略时，体系总波函数可写成空间波函数与自旋波函数乘积形式：

1 1 1 1( , ; ; , ) ( , , ) ( , , )N N N Nr s r s r r s s

对两个 Fermi 子体系， A S

A

S A

(1) (1) (2)S

(2) (1) (2)S

(3)

1[ (1) (2) (1) (2)]2

S

1[ (1) (2) (1) (2)]2

A

基本运算的习题类型：

1 、由德布罗意关系式求，

2 、解薛定谔方程，写出通解，利用标准条件。 3 、给定一个波函数，求归一化常数、几率密度 , max,

2 2, ( ) ( ) ?F F G

4 、分析反射系数 F 、透射系数 T

5 、分析六大体系的本征值、本征函数、简并度。

6 、 的对易关系运算 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , ,i ir p l l l s

7 、已知，求 F 的可能取值、平均值、几率；

8 、给定 一波函数，判断是否是 的本征函数。 F̂

9 、给出一算符 F 的矩阵形式，求 F 的本征值及本征函数

10 、微扰理论要分清是简并还是非简并，灵活运用公式。

11 、正确写出全同粒子体系的波函数。