创新学习型问题

第 39 讲┃创新学习型问题

创新学习型问题常见有阅读理解题和开放探究题．解决阅读理解题的关键是把握实质并在其基础上作出回答，首先仔细阅读信息，收集处理信息，以领悟数学知识或感悟数学思想方法；然后运用新知识解决新问题，或运用范例形成科学的思维方式和思维策略，或归纳与类比作出合情判断和推理，进而解决问题．开放探究题主要有下列两种描述： (1) 答案不固定或者条件不完备的习题称为开放题； (2) 具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题．解题的策略是将其转化为封闭性问题．


例 1 [2013· 济宁 ] 阅读材料

探究一阅读理解题

若 a，b都是非负实数，则 a＋b≥2 ab.当且仅当 a＝b时，“ ＝” 成立．

证明：∵ ( a— b)2≥0，∴ a－2 ab＋b≥0.

∴ a＋b≥2 ab.当且仅当 a＝b时，“ ＝” 成立．

举例应用：

已知 x>0，求函数 y＝2x＋2x的最小值．


解　　 y＝2x＋2x≥2 2x·

2x＝4.当且仅当 2x＝

2x，

即 x＝1时 “，＝” 成立． ∴ 当 x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4.


问题解决：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度．某种汽车在

每小时 70～110公里之间行驶时(含 70公里和 110公里)，每

公里耗油

1

18＋

450x2 升．若该汽车以每小时 x公里的速度匀速

行驶，1小时的耗油量为 y升． (1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)； (2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量(结

果保留小数点后一位)．


例题分层分析(1) 从阅读材料中你得出了什么公式？这个公式的意义是什么？能用它求两个非负数和的最小值吗？(2) 从举例应用的例子你能体会出如何求一个函数的最小值吗？(3) 在问题解决中的函数解析式与举例应用中的函数形式上有什么相同点？能类似求出最小值吗？


解题方法点析考查掌握新知识应用能力的阅读理解题(1) 命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者的自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力．(2) 阅读新知识，应用新知识的阅读理解解题时，首先应做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错．


解　　 (1)y＝x

1

18＋450x2 ＝

x18＋

450x (70≤x≤110)；

(2)y＝x

18＋450x ≥2

x18·

450x ＝10，当且仅当

x18＝

450x ，即 x＝90时，“＝”成立．

∴ 当 x＝90时，函数取得最小值，y 最小＝10.

此时，百公里耗油量为

1

18＋450902

×100≈11.1(升)． ∴ 该汽车的经济时速为每小时 90公里，经济

时速的百公里耗油量约为 11.1升．


例 2 [2013· 烟台 ] 已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边AB 上一动点 ( 不与 A ， B 重合 ) ，分别过点 A ， B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E ， F ， Q 为斜边 AB 的中点．(1) 如图 39 － 1① ，当点 P 与点 Q 重合时， AE 与 BF的位置关系是 __________ ， QE 与 QF 的数量关系是 __________ ；

探究二开放探究题

图 39 － 1


(2) 如图②，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；

(3) 如图③，当点 P 在线段 BA( 或 AB) 的延长线上时，此时 (2) 中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．


例题分层分析

(1)欲证明 AE∥BF， QE＝ QF，只需证△ BFQ≌________．

(2)欲证明 QE＝ QF，需证△ FBQ≌________，推出 QF＝________；再根据直角三角形斜边上中线性质求出 QE＝ QF.

(3)欲证明 QE＝ QF，需证△ AEQ≌________，推出 DQ＝________；再根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．


解题方法点析

解结论开放性问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，特别是在一个变化中保持不变的量，然后经过论证做出取舍，这是一种归纳类比思维．


解　　 (1)AE∥ BF QE＝QF

(2)QE＝QF. 证明：延长 FQ交 AE于点 D. ∵ AE∥ BF，∴ ∠1＝∠2. ∵ ∠3＝∠4，AQ＝BQ， ∴ △ AQD≌△ BQF， ∴ QD＝QF. ∵ AE⊥CP， ∴ QE为斜边 FD上的中线， ∴ QE＝QF.


解　　

(3)(2)中结论仍然成立．理由：延长 EQ，FB交于点 D. ∵ AE∥ BF，∴ ∠1＝∠D. ∵ ∠2＝∠3，AQ＝BQ， ∴ △ AQE≌△ BQD. ∴ QE＝QD. ∵ BF⊥CP，∴ FQ为斜边 DE的中线． ∴ QE＝QF.


例 3 探究问题：(1)方法感悟：如图 39－ 2①，在正方形 ABCD中，点 E， F分别为 DC， BC边上的点，且满足∠ EAF＝ 45°，连接 EF，求证： DE＋ BF＝EF.感悟解题方法，并完成下列填空：将△ ADE绕点 A顺时针旋转 90°得到△ ABG，此时 AB与 AD重合，由旋转可得：AB＝ AD， BG＝ DE，∠ 1＝∠ 2，∠ ABG＝∠ D＝ 90°，∴∠ABG＋∠ ABF＝ 90°＋ 90°＝ 180°，因此，点 G， B， F在同一条直线上．∵∠EAF＝ 45°，∴∠2＋∠ 3＝∠ BAD－∠ EAF＝ 90°－ 45°＝ 45°.∵∠1＝∠ 2，∴∠ 1＋∠ 3＝ 45°. 即∠ GAF＝∠ ________．又 AG＝ AE， AF＝ AF，∴△ GAF ________≌ ．∴________＝ EF，故 DE＋ BF＝ EF.


图 39－ 2


(2)方法迁移：如图②，将 Rt△ ABC沿斜边翻折得到△ ADC，点 E，F分别为

DC，BC边上的点，且∠EAF＝12∠DAB.试猜想 DE，BF，EF之间有何

数量关系，并证明你的猜想． (3)问题拓展：

③如图，在四边形 ABCD中，AB＝AD，E，F分别为 DC，BC上

的点，满足∠EAF＝12∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，

可使得 DE＋BF＝EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由)．


例题分层分析

(1)利用角之间的等量代换得出∠ GAF＝ ________，再利用 SAS得出△ GAF ________≌ ．

(2)作出∠ GAB＝∠ DAE，利用已知得出∠ GAF＝ __

______，再证明△ AGF ________≌ ．

(3)根据角之间关系，只要满足∠ B＋∠ D＝ ________

时，就可以得出三角形全等．


解题方法点析

这种策略类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．策略开放性问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．


解　析　用旋转的方法构造全等，把分散的条件集中．


解　　(1)EAF △ EAF GF

(2)DE＋BF＝EF，理由如下：

假设∠BAD的度数为 m，将△ ADE绕点 A顺时针旋转 m°得到△ ABG，此时AB与 AD重合，由旋转可得：

AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，

∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，

因此，点 G，B，F在同一条直线上．∵ ∠EAF＝12m°，

∴ ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝m°－12m°＝

12m°.

∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＋∠3＝12m°.

即∠GAF＝∠EAF.又 AG＝AE，AF＝AF，∴ △ GAF≌△ EAF.∴ GF＝EF.

又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴ DE＋BF＝EF.

创新学习型问题

Documents

Transcript of 创新学习型问题