中考数学专题探究第八讲 实际应用性问题主 讲 傅文霞单 位 镇江市江南学校

足球是全世界最热门的运动

足球场上有句顺口溜：“向着球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好！”从数学角度看是何道理？

A

B

E F

CC

BA

C

FE

解答数解答数学问题学问题 建立数学模型建立数学模型

实际问题实际问题 分析、联想、分析、联想、转化、抽象转化、抽象

应用题是中考试题的经典试题，解决应用题的思想方法如下：

应用性问题的常见模型有： 方程模型 不等式模型 函数模型 统计模型 几何模型

方程（组）型应用题

（ 1 ）审：未知量、已知量、相等关系；（ 2 ）设：用字母表示未知数 ( 写明单位 ) ；（ 3 ）列：列出方程（组）；（ 4 ）解：解所列方程（组）；（ 5 ）验：检验答案是否符合方程、符合题意（ 6 ）答：写出答案。

一般步骤：

例 1(08 镇江） 5.12 汶川大地震发生以后，全国人民众志成城．首长到帐篷厂视察，布置赈灾生产任务，下面是首长与厂长的一段对话：首长：为了支援灾区人民，组织上要求你们完成 的生产任务．厂长：为了尽快支援灾区人民，我们准备每天的生

首长：这样能提前几天完成任务？厂长：请首长放心！保证 完成任务！根据两人对话，问该厂 ？

12000顶帐篷

产量比原来多一半．

提前 4 天原来每天生产多少顶帐篷

原来 现在总工作量工作效率

时间x 1.5x

12000

x

12000

1.5x

易错点

设： 原来每天生产 顶帐篷。x

12000 12000

_ = 4

相等关系现在每天的生产量 = 原来每天的生产量 1.5 原来所用时间—实际所用时间 =4

x12000 12000

41.5x x

1000x

解：设该厂原来每天生产 顶帐篷，根据题意得：

解方程得： 经检验：

是原方程的根，且符合题意．答：该厂原来每天生产 1000 顶帐篷．

1000x

分式方程不要忘记检验 !

若设时间为 天 ， 如何列方程呢？x

不等式（组）型应用题

现实世界中不等关系是普遍存在的，有关最佳决策、合理调配、统筹安排等最优化问题，一般可通过对给出的一些数据进行分析、转化、建立不等式模型，再求在约束条件下的不等式的解集．

不等式（组）型应用题

（ 1 ）审：未知量、已知量、不等关系；（ 2 ）设：用字母表示未知数 ( 写明单位 ) ；（ 3 ）列：列出不等式（组）；（ 4 ）解：解所列不等式（组）；（ 5 ）验：检验答案是否符合不等式、符合题意（ 6 ）答：写出答案 .

一般步骤：

例 2 ：某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立刻到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格，可供 ；可供 。学校花去捐款 采购这两种帐篷， .

（ 2 ）学校原计划租用甲、乙两种型号的卡车共 20辆将所购帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运 4 顶小帐篷和 11 顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运 12 顶小帐篷和 7 顶大帐篷，如何安排甲、乙两种型号的卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有几种方案？

3 人居住的小帐篷，价格每顶 160元10 人居住的大帐篷，价格每顶 400元96000元 正好可供 2200 人居住

（ 1 ）求该校采购了多少顶 3 人小帐篷，多少顶 10 人住 的大帐篷；

人数 价格

小帐篷

大帐篷

总量

3x 160x

设：采购了 顶 3 人小帐篷， 顶 10 人 住的大帐篷。

x y

相等关系 :

+

=10y 400y

花 96000元采购这两种帐篷 正好可供 2200 人居住

2200 96000

=+

3 10 2300

160 400 96000

x y

x y

100

200

x

y

解：（ 1 ）设该校采购了 x 顶小帐篷， y 顶大帐篷根据题意得

解这个方程组得

答：该校采购了 100 顶小帐篷， 200 顶大帐篷

不等式（组）型应用题例 2 ：某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立刻到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格，可供 3 人居住的小帐篷，价格每顶 160元；可供 10 人居住的大帐篷，价格每顶 400元。学校花去捐款 96000元采购这两种帐篷，正好可供 2200 人居住。（ 1 ）求该校采购了多少顶 3 人小帐篷，多少顶10 人住 的大帐篷；（ 2 ）学校原计划租用 将所购帐篷紧急运往灾区，已知

，如何安排甲、乙两种型号的卡车可 将这批帐篷运往灾区？有几种方案？

甲、乙两种型号的卡车共 20辆甲型卡车每辆可同时装

运 4 顶小帐篷和 11 顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12 顶小帐篷和 7 顶大帐篷 一次性

甲 乙 帐篷总量( 顶 )

卡车数量( 辆 )

小帐篷 ( 顶 )

大帐篷 ( 顶 )

不等关系 :

a 20 a4a11a

1007(20 )a12(20 )a

300++

设： 安排甲种型号的卡车 辆a

甲、乙两种型号的卡车能装走的小帐篷数至少为 100 顶甲、乙两种型号的卡车能装走的大帐篷数至少为 200 顶

4 12(20 ) 100

11 7(20 ) 200

a a

a a

解：设甲型卡车安排了 辆，则乙型卡车安排了 辆根据题意得

解这个不等式组得 15≤a≤17.5∵车辆数为正整数 ∴ a=15或 16或17∴20-a =5或 4 或 3答：略。

不要忘记取整 !

a (20 )a

函数型应用问题

函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带 ;它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，在实际问题中，有关用料最省、造价最低、利润最大等问题可以通过分析、联想，建立函数模型，转化为函数的最值问题 .

函数型应用问题

（ 1 ）审：常量、变量、相等关系；（ 2 ）设：用两个字母分别表示自变量、因变量；（ 3 ）列：列出函数关系式（写出自变量的取值 范围）（ 4 ）解：解决函数问题；（ 5 ）验：检验答案是否符合函数关系、符合题意（ 6 ）答：写出答案 .

一般步骤：

例 3（ 08扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为 20元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 1 3 6 10 36 …

日销售量 (件 ) 94 90 84 76 24 …

未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y1 （元 / 件）与时间 t

（天）的函数关系式为： y1=1/4t+25（ 1≤t≤20且 t 为整数）；后 20 天每天的价格 y2 （元 / 件）与时间 t （天）的函数关系式为： y2= —1/2t+40（ 21≤t≤40且 t 为整数）。下面我们来研究 这种商品的有关问题。（ 1 ）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

（ 2 ）请预测未来 40 天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？（ 3 ）在实际销售的前 20 天中该公司决定每销售一件商品就捐赠 a 元利润（ a＜ 4 ）给希望工程，公司通过销售记录发现，前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大， 求 a 的取值范围。

已知：日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 1 3 6 10 36 …

日销售量（件） 94 90 84 76 24 …

（ 1 ）利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

y

易得：

分析：设日销售量为 y 件，时间为 x 天。

不要忘记

验证！

2 96y x

1 3 4 5 6

75

80

85

90

95

Ox

2 7 8 109

例 3（ 08扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为 20元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 1 3 6 10 36 …

日销售量（件） 94 90 84 76 24 …

未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y1 （元 / 件）与 t 时间（天）的函数关系式为： y1=1/4t+25（ 1≤t≤20且 t 为整数）；后 20 天每天的价格 y2 （原 / 件）与 t 时间（天）的函数关系式为： y2= —1/2t+40（ 21≤t≤40且 t 为整数）。下面我们来研究 这种商品的有关问题。（ 1 ）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

（ 2 ）请预测未来 40 天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

已知：商品每件成本为 20元，未来 40 天内， 若设日销售量为 y 件，时间为 x 天，则 y=-2x+96

前 20 天：每天的价格 y1 （元 / 件）与 t 时间（天）的函数 关系式为： y1=1/4t+25（ 1≤t≤20且 t 为整数） ；后 20 天：每天的价格 y2 （元 / 件）与 t 时间（天）的 函数关系式为： y2 = —1/2t+40（ 21≤t≤40 且 t 为整数） 。

求：请预测未来 40 天中那一天的销售利润最大，最大日销 售利润是多少？

分析：日销售总利润 =日销售量 ( 每件的价格 - 每件成本 )

W y=-2x+96 y1=1/4t+25（ 1≤t≤20且 t 为整数）或 y2= —1/2t+40（ 21≤t≤40且 t 为整数 )

20

12 96 25 20 1 20

4w t t t

12 96 40 20 21 40

2w t t t

2114 578 1 20

2w t t

244 16 21 40w t t

（ 2 ）设销售利润为w 元，

或

整理得

或

综上所知，当 t=14 时，利润最大，最大利润是 578元。

不要忘记分类讨论 !

最大值应在t=21 时取得，为 513元 .

当 t=14 ，最大值为578元 .

（ 3 ）在实际销售的前 20 天中该公司决定每销售一件商品就捐赠 a 元利润（ a＜ 4 ）给希望工程，公司通过销售记录发现，前 20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大， 求 a

的取值范围。

分析：

12 96 5 1 20

4w t t a t

可得：

2 212 7 2 17 1 20

2w t a a t

2 7 20 4a a 且3 4a

整理得，

则，解得 :

日销售总利润 =日销售量 ( 每件的价格 - 每件成本 -a)

W y=-2x+96 y1=1/4t+25（ 1≤t≤20且 t 为整数）20

运用数形结合容易理解 !

统计型应用问题

统计的内容有着非常丰富的实际背景，其实际应用性特别强，与统计有关的实际问题可建立统计模型，并利用统计的知识加以解决。

统计型应用问题

（ 1 ）审：已知量、未知量、量与量关系；（ 2 ）列：列式（算式、方程、不等式等）（ 4 ）解：解决统计问题；（ 5 ）验：检验答案是否符合题意（ 6 ）答：写出答案 .

一般步骤：

短信费长途话费基本话费月功能费

60

50

40

30

20

10

0 项目

金额/元

月功能费4%

短信费长途话费　 36%

基本话费　 40%

例 4（ 08徐州）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图表，请你根据图表信息完成下列各题：

项目金额 /元 月功能费 基本话费 长途话费 短信费

5

1.该月小王手机话费共有多少元？2.扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角为多少度？3.请将表格补充完整；将条形统计图补充完整 .

72°125 元

50 45 25

几何型应用问题常常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形、动手操作图形、运用几何知识解决实际问题以及探索、发现问题等能力，同时也对学生观察、想像、分析、综合、数形结合等数学思想方法进行考查．

几何型应用问题

例 5 ： 一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图 7所示，其中背水面的整个坡面是长为 90米、宽为 5米的矩形 . 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由 1 0.75∶ 改为 1 ∶ ；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成 9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 ．

⑴ 求整修后背水坡面的面积； ⑵ 如果栽花的成本是每平方米 25元，种草的成本是每平

方米 20元，那么种植花草至少需要多少元？

3

1

1 0.75

1 4

0.75 34 3 5

5

1 4

AE BC E

AE

EBAE k BE k AB k

AB

k AE

（）作 于原来的坡度是：

设 ， ，又 米

，则 米

Q

Q/B E

/

/ 0 //

2

1 3

130 2 8

3

90 8 720

AB

AEAB E AB AE

EB

设整修后的斜坡长为 ，由整修后坡度为：

得： 米

整修后背水坡面面积为 米

⑵ 如果栽花的成本是每平方米 25元，

种草的成本是每平方米 20元，那么种植

花草至少需要多少元？

⑵ 将整修后的背水坡面分为 9块相同的矩形，则每一区域的面积为 80米 2 .

∵ 要依次相间地种植花草，则必然有一种是 5

块，有一种是 4块，而栽花的成本是每平方米 25

元，种草的成本是每平方米 20元，∴ 选择种草 5块、种花 4块的方案花费较少 ．即：需要花费 20×5×80＋ 25×4×80＝ 16000元 ．

老王家一个半径为 米的半圆形池塘原来种的是藕，他看到邻居养殖螃蟹发了财，也想在池塘里围一个尽可能大的正方形区域养螃蟹 . 从邻居处得知蟹苗的放养密度为 3只 /平方米，这下他犯愁了：得买多少只蟹苗呢？

A

B C

D

O

老王家一个半径为 米的半圆形池塘原来种的是藕，他看到邻居养殖螃蟹发了财，他也想在池塘里围一个尽可能大的正方形区域养螃蟹 . 从邻居处得知蟹苗的放养密度为 3只 /平方米，这下他犯愁了：得买多少只蟹苗呢？

（ 1200 只）

秋天到了，老王看着长大的螃蟹，心里美滋滋的，他想估计螃蟹的总质量 .你能帮老王这个忙吗？

老王从池塘中随意捞了 20只螃蟹，称得质量分别如下： ( 单位：克 ) 210 240 190 210 320 180 250 220 240 250 300 220 300 240 210 220 160 220 240 240

平均每只质量为 ______克 .

请你帮老王估计今年螃蟹总质量（千克） .

233

233×1200＝ 279600克

即 279.6千克

老王很高兴，盘算着卖螃蟹，由资料得知，从十月一日起的 100 天内，螃蟹的市场售价 y1 （单位：元 / 千克）与上市时间 x （单位：天）的关系用下图的一条线段表示；螃蟹的养殖成本 y2 （单位：元 / 千克）与上市时间 x （单位：天）的关系是

若不考虑其他因素，认定市场售价减去养殖成本为纯收益，那么老王何时出售螃蟹收益最大？

20 40 60 80 100

20

40

6080

100

Ox

y1

老王第10天出售螃蟹收益最大.

在半圆形池塘中围一个 正方形区域养螃蟹

估计螃蟹的总质量

对螃蟹的收益问题进行研究

函数型应用问题

统计型应用问题

几何型应用问题

本题是一条融几何、统计、函数知识的综合应用问题，很有新意，有现实意义，要求学生根据实际自觉寻找解决问题的数学工具，创建数学模型；培养学生“用数学”的意识。

本节课我们一起回顾了实际应用性问题 , 通过复习我们进一步体会到数学的应用价值 . 近年来，各地中考都加强了应用性问题的考查力度。所呈现的特点为： (1)涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，无需特殊的解题技巧 ; (2)涉及的背景材料十分广泛； (3) 题面的文字材料较长．

同学们在解题时，要有耐心，仔细阅读，细心领会，找出其考查的内容和知识点，灵活运用相关知识和方法，将实际问题转化为数学模型来解决。