二、积分上限的函数及其导数

三、牛顿 – 莱布尼兹公式

一、引例

第二节

机动 目录 上页 下页 返回 结束

微积分的基本公式 第五章

一、引例

在变速直线运动中 , 已知位置函数 与速度函数之间有关系 :

)()( tvts

物体在时间间隔 内经过的路程为

)()(d)( 122

1TsTsttv

T

T

这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .

机动 目录 上页 下页 返回 结束

)(xfy

xbao

y

)(x

x

hx

二、积分上限的函数及其导数则变上限函数

x

attfx d)()(

证 : ,],[, bahxx 则有

hxhx )()(

h1

x

a

hx

attfttf d)(d)(

hx

xttf

hd)(

1)(f )( hxx

hxhx

h

)()(lim

0

)(lim0

fh

)(xf)(x

机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理 1. 若

说明 :

1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的 .

2) 变限积分求导 :

)(

d)(dd x

attf

x

)()]([ xxf

同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .

机动 目录 上页 下页 返回 结束

)(

)(d)(

dd x

xttf

x

)()]([)()]([ xxfxxf

)(

)(d)(d)(

dd x

a

a

xttfttf

x

)sin(2cos xe x

例 1. 求

解 : 原式0

lim

x

00

x2 e21

说明 目录 上页 下页 返回 结束

例 2. 确定常数 a , b , c 的值 , 使

解 : .0 b

原式 =

c ≠0 , 故 .1a 又由 ～ , 得 .21c

ttftxfx

d)()(0

例 3. 证明

在 内为单调递增函数 .

证 : 2

0d)( ttf

x

ttfxfx

xd)()(

0

2

0d)( ttf

x

ttfxfx

d)()(0 )( tx

0

只要证0)( xF

机动 目录 上页 下页 返回 结束

2

0d)( ttf

x

xfx )()( )(xf

)0( x

三、牛顿 – 莱布尼兹公式

)()(d)( aFbFxxfb

a ( 牛顿 - 莱布尼兹公

式 )

机动 目录 上页 下页 返回 结束

证 : 根据定理 1, 故

CxxfxFx

a d)()(

因此 )()(d)( aFxFxxfx

a

得记作

定理 2.

函数 ,则

例 4. 计算

解 : xx

xarctan

1

d3

1 2

1

3

)1arctan(3arctan

3

127

例 5. 计算正弦曲线的面积 .

解 :

0dsin xxA

xcos0

1[ ]1 2

)4

(

机动 目录 上页 下页 返回 结束

y

o x

xy sin

例 6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,

速停车 ,

解 : 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度

)(10 sm)( s

m3600

100036

刹车后汽车减速行驶 , 其速度为

当汽车停住时 , 即 得故在这段时间内汽车所走的距离为

2

0d)( ttvs

2

0d)510( tt 2

2510 tt (m)10

0

2

刹车 ,问从开始刹到某处需要减

设汽车以等加速度

机动 目录 上页 下页 返回 结束

车到停车走了多少距离 ?

内容小结

,)()(,],[)( xfxFbaCxf 且设 则有1. 微积分基本公式

xxfb

ad)(

积分中值定理

))(( abF )()( aFbF

微分中值定理

))(( abf

牛顿 – 莱布尼兹公式

2. 变限积分求导公式

公式 目录 上页 下页 返回 结束

例题

解：

1. 设 求

定积分为常数 ,

,d)(1

0axxf 设 bxxf

2

0d)( , 则

故应用积分法定此常数 .

机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 求

解：

的递推公式 (n为正整数 ) .

由于 ,dsin

)1(2sin201

x

xxn

In 因此

1nn II

20

d)12cos(2

xxn

2

0d

sinsin)12cos(

2

xx

xxn

12)1(2 1

n

n

1 nn II所以

其中

机动 目录 上页 下页 返回 结束