动态几何问题

第 43讲┃动态几何问题

动态型问题是以点、线、面 ( 如三角形、四边形 ) 的运动为情境，探索和发现其中规律或结论的中考题型．由于图形的运动，导致题目的条件不断改变，随之相应的数量关系和结论也有可能改变，这样就出现一个事件中蕴含着多个数学问题，既独立又有联系，使题目无论从考查知识上，还是解决方法上都具有较强的综合性，以达到培养和考查学生的观察、实验、空间想象、分析等综合解决问题的能力．在全国的中考试卷中常作为压轴题出现．类型有： (1) 点的运动； (2) 线 ( 如直线 )

的运动； (3) 面 ( 如三角形、四边形 ) 的运动．解题策略为化动为静，由特殊情形 ( 特殊点，特殊值，特殊位置，特殊图形等 ) 逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合，分类讨论，转化等数学思想加以解决．


探究一　点运动型问题例 1 [2013· 黄冈] 如图 43－1，在平面直角坐标系中，

四边形 ABCO是梯形，其中 A(6，0)，B(3， 3)，C(1， 3)，动点 P从点 O以每秒 2个单位的速度向点 A运动，动点 Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点 P到达 A点时，点 Q也随之停止，设点 P、Q运动的时间为 t(秒)．

(1)求经过 A、B、C三点的抛物线的解析式；

图 43－ 1


(2)当点 Q在 CO边上运动时，求△ OPQ的面积 S与时间 t的函数关系式； (3)以 O、 P、 Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出 t的值，若不能，请说明理由； (4)经过 A、 B、 C三点的抛物线的对称轴、直线 OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时 t的值 (或范围 )，若不能，请说明理由．


例题分层分析 (1)已知三点如何求二次函数的解析式？ (2)可知 OC＝ CB＝ 2，∠ COA＝ 60°，当点 Q运动到OC边时， OQ＝ ______，画图 Q在 CO边上时，得出△OPQ的高是多少？如何求出面积？ (3)根据题意得出： 0≤t≤3，当 0≤t≤____时， Q在BC边上运动，得出若△ OPQ为直角三角形，只能是∠ OPQ＝ ______或∠ OQP＝ ______，当 2＜ t≤3时， Q在 OC边上运动，得出△ OPQ不可能为 __________； (4)能求出抛物线对称轴以及直线 OB和 PM的解析式吗？

观察解析式的特征和自变量的取值范围是什么．


解题方法点析

探索几何图形上一个或几个动点在运动变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等题目．以点的运动带动图形的变化，常

与方程、函数知识联系在一起．


解　　 (1)设所求抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，把

A(6， 0)， B(3， 3)， C(1， 3)三点坐标代入得

36a＋6b＋c＝0，

9a＋3b＋c＝ 3，

a＋b＋c＝ 3，解得 a＝－

315，b＝

4 315，c＝

4 35

.

即所求抛物线的解析式为 y＝－3

15x2＋

4 315

x＋4 3

5.


(2)依题意，可知OC＝CB＝2 ∠， COA＝60° ， ∴ 当动点Q运动到OC边时，OQ＝4－t，

∴ △OPQ的高为：OQ· sin60° ＝(4－t)×3

2.

又 OP＝2t ∴， S＝12× 2t× (4－t)×

32＝－

32

(t2

－4t)(2≤ t≤3)．


(3)依题意，可知：0≤ t≤3. 当 0≤ t≤2时，Q在 BC边上运动，此时 OP＝2t，OQ＝

3＋（3－t）2 ， PQ ＝ 3＋[2t－（3－t）]2 ＝

3＋（3t－3）2.∵ ∠POQ＜∠POC＝60° ∴ △，若 OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ＝90° 或∠OQP＝90° .若∠OPQ＝90° ，则 OP2＋PQ2＝OQ2，即 4t2＋3＋(3t－3)2＝3＋(3－t)2，解得：t＝1或 t＝0(舍)；若∠OQP＝90° ，则OQ2＋PQ2＝OP2，即 6＋(3－t)2＋(3t－3)2＝4t2，解得 t＝2；

当 2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时 OP＝2t＞4 ∠，POQ＝∠COP＝60° ，OQ＜OC＝2 ∴ △， OPQ不可能为直角三角形．

综上所述，当 t＝1或 t＝2时 △， OPQ为直角三角形．


(4)由(1)可知：抛物线y＝－3

15x2＋

4 315

x＋4 3

5＝－

315

(x－2)2

＋1615

3，其对称轴为 x＝2.又 OB的解析式为 y＝3

3x ∴，抛物线对

称轴与 OB的交点为M

2，

2 33

.又 P(2t，0)，设过 P、M的直线解析

式为 y＝kx＋b ∴，2 3

3＝2k＋b，

k2t＋b＝0，解得

k＝

33（1－t），

b＝－2 3t

3（1－t），即直线 PM：

y＝3

3（1－t）x－2 3t

3（1－t），


即 3(1－t)y＝x－2t.又 0≤ t≤2时，Q(3－t， 3)，代入上式，得： 3(1－t)× 3＝3－t－2t，恒成立，即 0≤ t≤2 时，P、M、Q总在一条直线上，即M在直线 PQ上；2＜t≤3时，OQ＝4－t ∠， QOP

＝60° ∴， Q(4－t

2，

3（4－t）2

)，代入上式，得：3（4－t）

2× 3

(1－t)＝4－t

2－2t，解得：t＝2或 t＝

43，均不合题意，应舍去．

∴ 综合所述，可知：过 A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和 PQ能够交于一点，此时 0≤ t≤2.


例 2 [2012·宜宾 ] 如图 43－ 2，在△ ABC中，已知AB＝ AC＝ 5， BC＝ 6，且△ ABC≌△DEF，将△ DEF与△ ABC重合在一起，△ ABC不动，△ DEF运动，并满足：点 E在边 BC上沿 B到 C的方向运动．且 DE始终经过点 A， EF与 AC交于M点．(1)求证：△ ABE∽△ECM；(2)探究：在△ DEF运动的过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出 BE的长；若不能，请说明理由；(3)当线段 AM最短时，求重叠部分的面积．

探究二面运动型问题

图 43－ 2


例题分层分析(1) 判断三角形相似的方法有哪些？由本题的已知条件，可以用哪种方法去判别？(2) 等腰三角形要求必须有相等的边，可能会出现哪些可能性？每种可能性都成立吗？(3) 在求 AM 的最小值时，是否可以结合二次函数来解决？

解题方法点析动态问题中往往按图形运动的先后顺序去观察和分析运动过程中产生的各种图形情况，以便解决问题时做到不重不漏．面动型问题运动的主要图形有三角形、四边形等几何图形．

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