微積分

Chapter4

　　積分

積分 4.1 面積和距離 4.2 定積分 4.3 定積分的計算 4.4 微積分基本定理 4.5 變數變換法

4.1 面積和距離

微積分 , 4.1, 頁 4-2

微積分 , 4.1, 頁 4-3

微積分 , 4.1, 頁 4-3

微積分 , 4.1, 頁 4-3

微積分 , 4.1, 頁 4-3

微積分 , 4.1, 頁 4-3

微積分 , 4.1, 頁 4-4

微積分 , 4.1, 頁 4-5

微積分 , 4.1, 頁 4-5

微積分 , 4.1, 頁 4-6

微積分 , 4.1, 頁 4-6

微積分 , 4.1, 頁 4-7

2 定義 若 S 為連續函數 f 的曲線下方的區域，則 S 的面積 A為近似矩形的面積的極限：

])(...)()([limlim 21 xxfxxfxxfRA nn

nn

微積分 , 4.1, 頁 4-7

微積分 , 4.1, 頁 4-7

微積分 , 4.1, 頁 4-7

xxf i

n

mi

)(表示相加

表示到 i=n 結束

表示從 i=m 開始

xxf‧‧‧xxfxxfxxf ni

n

i

)()()()( 21

1

微積分 , 4.1, 頁 4-7

4.2 定積分

微積分 , 4.1, 頁 4-13

對給定的一個函數 f 、區間的一個分割 P及每個區間中選取的樣本點，所有子區間長度與樣本點的函數值的乘積總和

稱為一個黎曼和 (Riemann sum) 。

微積分 , 4.2, 頁 4-13

ni

n

ixxf‧‧‧xxfxxfxxf

ni

)()()()( *

2*

1*1

*

1 2

微積分 , 4.2, 頁 4-14

2 定積分的定義 若 f 為定義在 [a, b] 上的一個函數，當極限

存在時，就稱為 f 從 a 到 b 的定積分。這個極限存在時，我們就說 f 在 [a, b] 是可積 (integrable) 的。

微積分 , 4.2, 頁 4-14

n

iii

x

ba xxfdxxf

1

*

0max)(lim)(

1

注意 1 積分符號∫是萊布尼茲首先發明的，它是把 S 拉長得到的，因為積分其實就是總和的極限。在 中， f (x)

為被積函數 (integrand) ， a 和 b 為積分極限 (limits of integration) ，其中 a 是下極限(lower limit) ， b 則是上極限 (upper limit) 。 的每一部分要放在一起才有意義， dx 自己是沒有意義的。求積分的計算過程也稱為積分 (integration) 。

dxxfba )(

微積分 , 4.2, 頁 4-14

dxxfba )(

drrfdttfdxxfb

a

b

a

ba )()()(

微積分 , 4.2, 頁 4-15

3 定理 如果 f 在 [a, b] 可連續，或者只有有限多的跳躍不連續點，則 f 在 [a, b] 也是可積的；也就是說定積分 存在。

微積分 , 4.2, 頁 4-15

dxxfba )(

4 定理 如果 f 在 [a, b] 可積，則

其中 而

n

ii

n

ba xxfdxxf

1

)(lim)(

微積分 , 4.2, 頁 4-15

xiaxi

n

abx

微積分 , 4.2, 頁 4-16

微積分 , 4.2, 頁 4-16

微積分 , 4.2, 頁 4-17

微積分 , 4.2, 頁 4-17

微積分 , 4.2, 頁 4-19

微積分 , 4.2, 頁 4-19

中點法則

其中

而 的中點

微積分 , 4.2, 頁 4-20

n

i

niba xf‧‧‧xfxxxfdxxf

11 )]()([)()(

n

abx

],1[)(2

11 iiiii xxxxx

dxxfdxxf ba

ab )()(

微積分 , 4.2, 頁 4-21

0)( dxxfaa

微積分 , 4.2, 頁 4-21

積分的性質 假設下列的積分都存在，則 其中

c 是一常數

其中 c 是一常數

微積分 , 4.2, 頁 4-21

),(.1 abccdxba

dxxgdxxfdxxgxf ba

ba

ba )()()]()([.2

,)()(.3 dxxfcdxxcf ba

ba

dxxgdxxfdxxgxf ba

ba

ba )()()]()([.4

微積分 , 4.2, 頁 4-21

微積分 , 4.2, 頁 4-22

微積分 , 4.2, 頁 4-23

5.

微積分 , 4.2, 頁 4-23

dxxfdxxfdxxf ba

bc

ca )()()([

積分的比較性質6. 若 a≦ x ≦b 時， f(x) 0≧ ，則7. 若 a≦ x ≦b 時， f(x) g(≧ x) ，則

8. 若 a≦ x ≦b 時，若 m≦f(x) ≦M 時，則

微積分 , 4.2, 頁 4-23

b

af(x) dx 0≧

b

af(x) dx g(≧ x) dx

b

a

b

am(b-a) ≦ f(x) dx ≦ M(b-a)

微積分 , 4.2, 頁 4-23

4.2 習題 15. f 的圖形如圖所示。把下列的積分看成面積來計算

(a) (b)

(c) (d)

dxxf )(20 dxxf )(5

0

dxxf )(75 dxxf )(9

0

微積分 , 4.2, 頁 4-25

4.2 習題 (續 )

微積分 , 4.2, 頁 4-25

取值定理 若 f 為定義在 [a, b] 上的一個連續函數，則

其中 F 是 f 的一個反導數，也就是說 F’= f 。

微積分 , 4.3, 頁 4-26

)()()( aFbFdxxfba

4.3 定積分的計算

我們用一個新的記號∫ f(x)dx 來表示 f 的反函數，稱為 f 的不定積分 (indefinite integral) 。

表示

微積分 , 4.3, 頁 4-28

)()( xFdxxf )()(' xfxF

定積分和不定積分是完全不同的，定積分

是一個數值，而不定積分∫ f(x)dx 則是一組函數。

dxxfba )(

微積分 , 4.3, 頁 4-28

兩者之間的關係來自於取值定理 ：如果 f 在 [a, b] 是連續的，則

微積分 , 4.3, 頁 4-28

b

a

b

a dxxfdxxf )()(

不定積分公式表

微積分 , 4.3, 頁 4-29

dxxfcdxxcf )()( dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

Ckxkdx

Cxxdx cossin

Cxxdx tansec2

Cxxdxx sectansec

Cxxdx cotcsc2

Cxdxx csccotcsc

)1(1

1

ncn

xdxx

nn

Cxxdx sincos

微積分 , 4.3, 頁 4-30

淨變化量定理 變化率的積分等於淨變化量

微積分 , 4.3, 頁 4-31

)()()(' aFbFdxxFba

定理的第一部分處理的是以積分形式定義的函數

微積分 , 4.4, 頁 4-35

dttfxg xa )()(

4.4 微積分基本定理

圖 1

微積分 , 4.4, 頁 4-35

微積分 , 4.4, 頁 4-36

微積分 , 4.4, 頁 4-36

微積分 , 4.4, 頁 4-36

微積分基本定理第一部分 若 f 在 [a,

b] 連續，則用積分定義的函數

也是 f 的一個反導數，對 a < x < b 都滿足g’ (x) = f (x)

微積分 , 4.4, 頁 4-37

dttfxg xa )()( a ≤ x ≤ b

微積分 , 4.4, 頁 4-38

微積分基本定理 若 f 在 [a, b] 連續。 1.

2. ，其中 F 是 f 的任

一個反導數，也就是 F’= f 。

微積分 , 4.4, 頁 4-40

b

aaFbFdxxf )()()(

x

axfxgdttfxg )()(')()( ，則

第一部分也可以寫為

也就是說，把 f 先積分再微分，會得到原來的函數 f 。

微積分 , 4.4, 頁 4-40

)()( xfdttfdx

d xa

f 在 [a, b] 的平均值就定義為

微積分 , 4.4, 頁 4-41

dxxfab

f baave )(

1

積分均值定理 如果 f 在 [a, b] 連續，總是可以在 [a, b] 找到一個數 c 滿足

或者說

微積分 , 4.4, 頁 4-42

dxxfab

fcf baave )(

1)(

))(()( abcfdxxfba

4.4 習題 令 ，其中

f 的函數圖形如下圖所示。(a) 估計 g(0), g(1), g(2), g(3) 和 g(6) 。(b) g 的遞增區間為何？(c) g 在哪一點有極大值？(d) 大致描繪 g 的圖形

dttfxg x )()( 0

微積分 , 4.4, 頁 4-43

4.4 習題 (續 )

微積分 , 4.4, 頁 4-43

4. 變數變換法 如果 u =g (x) 在區間I 上可微，而 f 在 I 上連續，則

微積分 , 4.5, 頁 4-45

duufdxxgxgf )()('))((

5. 定積分的變數變換 如果 g’ 在 [a, b] 中連續，而 f 在 u= g (x) 的值域也是連續的，則

微積分 , 4.5, 頁 4-47

duufdxxgxgf bgag

ba )()('))(( )(

)(

6. 對稱函數的積分　假設 f 在 [-a, a] 連續

(a) 如果 f 是偶函數 [f (-x)=f (x)] ，則

(b) 如果 f 是奇函數 [f (-x)=-f (x)] ，則

微積分 , 4.5, 頁 4-48

.)(2)( 0 dxxfdxxf aaa

.0)( dxxfaa

微積分 , 4.5, 頁 4-48

微積分 , 4.5, 頁 4-48

習題 3. 下面圖形中的曲線分別表示 f ， f ’ 和的函數圖形。找出他們分別對應的曲線，說明你的原因。

dttfx )(0

微積分 , 4.5, 頁 4-51