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15.4.2 公式法分解因式（一）

1 回 顾

（ 1 ）平方差公式： (a+b)(a-b)=a²-b²（ 2 ）完全平方公式：

(a ＋ b)2 = a² ＋ 2ab ＋ b²

(a － b)2 = a² － 2ab ＋ b²

所学过的整式乘法的公式还记得吗？

2 探 究问题 :

(1) 把整式乘法的平方差公式反过来得到什么？a² － b² ＝ (a ＋ b)(a － b)

(2) 反过来后形式上的特点是什么？左边：是一个二项式，两项符号相反，且这两项是完全平方的形式；右边：积的形式，这个积的两个因式是 左边两项的底数的和与差

右边和 ×差

左边平方－平方

(3) 上面的等式用文字如何表述？两个数的平方差，等于这两个数两个数的和和与这两个两个数数的差差的积积。

1 、把下列各式分解因式

(1) x² － 1

(2) m² － 9

(3) x² － 4y²

＝ (x+1)(x － 1)

＝ (m+3)(m －3)＝ (x+2y)(x －2y)

2 例 题

如果一个多项式可以转化为a2-b2 的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。

22

22

222

2

)())(4(

161

259

)3(

4)2(

116)1(

qxpx

yx

xnm

a

例 2. 把下列各式分解因式

当公式中的 a 、b 表示多项式时，要把这两个多项式看成两个整体，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并。

练习一

(1)4x2 ＋ y2

(2)-0.49x2 ＋ y2 (3)-4x2 － y2

(4)9 ＋ ( － y)2 (5)-x2 － y2

1 、下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以进行分解因式。

(1)9x2 － y2

(2)-0.81x2 ＋ y2 (3)-4x2 ＋ y2

(4)64-(2x － y)2 (5)(a+b)2 － (b －

c)2

2 、分解因式

1. 解 : 原式＝ (x²＋ 9y²)(x²－ 9y²)

＝ (x²＋ 9y²)(x－ 3y)(x－ 3y)

2. 解 : 原式＝ 2a(a2 － 4)

　　＝ 2a(a ＋ 2)(a － 2)

例 3. 把下列各式分解因式 ① x4 － 81y4

② 2a³ － 8a

分解因式 :

(1) 25x2 － 4 =(5x ＋ 2)(5x －2)(2) 4x3－ x=x(4x2 － 1)＝ x(2x ＋ 1)(2x －

1)

练习二

(3) a4 － 81

(4) 4x3y－ 9xy3 =xy(4x2 － 9y2)＝ xy(2x ＋ 3y)(2x － 3

y)

＝ (a2 ＋ 9)(a2 －9)

= (a2 ＋ 9)(a ＋ 3) (a－ 3)

(6) 4a² - 16b²

(5) 4( a+b)²－ 25(a－ c )²

=4 (a²- 4b²)

=(7a+2b-5c)(2b -3a+5c)

=[2(a+b)]²-[5(a-c)]²=[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b) - 5(a-c)]

= 4 (a+ 2b) (a- 2b)

计算（ 1 ） 20052 - 20042

解 : 20052-20042

（ 2 ） 25×2652 － 1352×25

=(2005+2004)(2005-2004)

=4009

=25×(265+135)(265 －135)

解 : 原式 =25×(2652 － 1352)

=25×400×130=1.3 ×106

对于分解复杂两项的多项式，我们应该怎么做？两项的多项式

有公因式 没有公因式

提取公因式 用平方差公式

用平方差公式用平方差公式

注意：每个因式要化简，并且分解彻底

b

a

将边长为 a 的正方形一角剪去一个边长为 b的小正方形，观察你剪剩下的部分。

（ 2 ）你能根据先后两个图形的关系说明一个等式吗？

（ 1 ）你能将它剪成两部分然后拼成一 个新的图形吗？

思考：

a-b

a+b

a

b

a2 - b2= (a+b)(a-b)a2 - b2= (a+b)(a-b)

a

b

a2 - b2= (a+b)(a-b)a2 - b2= (a+b)(a-b)

a-b

a+b

a-b

a+b

a

b

a2 - b2= (a+b)(a-b)a2 - b2= (a+b)(a-b)

a

b

a-b

2b

2a

a2 - b2= (2a+2b)(a-b)

=(a+b)(a-b)

a2 - b2= (2a+2b)(a-b)

=(a+b)(a-b)

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