แบบฝึกหดัทฤษฎีกราฟ 1

(บทนิยามกราฟ การประชิด การตกกระทบ วงวน เส้นหลายชั �น และกราฟเชิงเดียว)

1. กําหนดกราฟ G1, G2 และ G3 ดงัรูป จงหาเซตของจุดและเซตของเส้น พร้อมทั �งบอกจํานวนจุดและ

จํานวนเส้นทั �งหมดในกราฟ G1, G2 และ G3

G1 G2 G3

1.1 V(G1) = ………………………………… E(G1) = …………………………………..

1.2 V(G2) = ………………………………… E(G2) = …………………………………..

1.3 V(G3) = ………………………………… E(G3) = …………………………………..

2. จงเขียนแผนภาพกราฟ เมื�อกําหนด V(G) และ E(G) ดงันี �

2.1 V(G) = {ไทย, ลาว, พมา่, มาเลเซีย, กมัพชูา}

E(G) = {ไทยลาว, ไทยพมา่, ไทยมาเลเซีย, ไทยกมัพชูา, พมา่ลาว, ลาวกมัพชูา}

2.2 V(G) = {a, b, c, d}, E(G) = {ab, ab, cc, ac, ac}

2.3 V(G) = {A, B, C, D, E}, E(G) =

3 1 2 4

D

C B

A กรุงเทพฯ

สพุรรณบรีุ นครปฐม

3. กําหนด G1, G2, G3และ G4 ดงัรูป

G1 : G2 :

G3 : G4 :

จงพิจารณาตามหวัข้อตอ่ไปนี �

3.1 กราฟใดเป็นกราฟเชิงเดียว …………………………………………………………………..

3.2 กราฟใดมีเส้นหลายชั �น …………………………………………………………………..

3.3 กราฟใดมีวงวน …………………………………………………………………..

3.4 กราฟใดเป็นกราฟหลายเชิง …………………………………………………………………..

4. จงเขียนแผนภาพกราฟที�มีจํานวนจุดของกราฟเท่ากบั 5 และจํานวนเส้นของกราฟเท่ากบั 7 ตามหวัข้อ

ตอ่ไปนี �

4.1 กราฟเชิงเดียว

4.2 กราฟที�มีเส้นหลายชั �น

4.3 กราฟที�มีวงวน

4.4 กราฟหลายเชิง

แบบฝึกหดัทฤษฎีกราฟ 2

(ระดบัขั �น(ดีกรี) จดุคู่ และจดุคี�)

1. จงหาระดบัขั �น(ดีกรี)ของทกุๆ จดุในกราฟ G1, G2, …, G9

G1 : G2 :

G3 : G4 :

G5 : G6 :

G7 : G8 :

G9 :

2. จงหาผลบวกของดกีรีของทกุๆ จดุในกราฟ G เมื�อ V(G) = {A, B, C, D}

2.1 E(G) = {AB, AC, BC, CD}

2.2 E(G) = {AB, AC, AD, BA, BB, CB, CD}

2.3 E(G) = {AA, BB, CC, AB, AB}

A B A B C D

A B

C D

A B

A B

C D

A B C

D E F G

A B

D C

E A B C D

A C

B E

D

3. กําหนด G = (V(G), E(G)) ซึ�ง V(G) = {A, B, C, D} และ deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(A) = 2

และ deg(B) = 3 มีกราฟ G เกิดขึ �นหรือไม ่ เพราะเหตใุด

4. ถ้าจดุในกราฟ G มีระดบัขั �น 3 หรือ 5 เท่านั �น และ V(G) = 14, E(G) = 25 จงหาจํานวนจดุที�มี

ระดบัขั �น 3 และ ระดบัขั �น 5

5. ถ้าจดุแตล่ะจดุในกราฟ G มีระดบัขั �น 2 เท่านั �น และ E(G) = 10 จงหาจํานวนจดุในกราฟ G

พร้อมเขียนแผนภาพกราฟ G

แบบฝึกหดัทฤษฎีกราฟ 3

(สบักราฟ สบักราฟแผ่ทั�วถงึ และกราฟเหมอืนกนั)

1. จงพิจารณากราฟ G1, G2, … , G10 และตอบคําถามตอ่ไปนี �

G1 G2 G3 G4 G5 G6

G7 G8 G9 G10

1. กราฟใดเป็นสบักราฟของกราฟ G1

……………………………………………………………………………………………………………………

2. กราฟใดเป็นสบักราฟของกราฟ G7

……………………………………………………………………………………………………………………

3. กราฟใดเป็นสบักราฟของกราฟ G3

……………………………………………………………………………………………………………………

4. กราฟใดเป็นสบักราฟของกราฟ G8

……………………………………………………………………………………………………………………

5. กราฟใดเป็นสบักราฟของกราฟ G10

……………………………………………………………………………………………………………………

6. กราฟใดเป็นสบักราฟแผ่ทั�วถงึของกราฟ G1

……………………………………………………………………………………………………………………

7. กราฟใดเป็นสบักราฟแผ่ทั�วถงึของกราฟ G7

……………………………………………………………………………………………………………………

8. กราฟใดเป็นสบักราฟแผ่ทั�วถงึของกราฟ G8

……………………………………………………………………………………………………………………

9. กราฟใดเป็นสบักราฟแผ่ทั�วถงึของกราฟ G10

……………………………………………………………………………………………………………………

10. กราฟใดเป็นกราฟเหมือนกนั

……………………………………………………………………………………………………………………

A

B C

B C

D E

A

B C

D E

A

B C

D E

A

B C

D E

B C

D E

B C

D E

G F

H I

B C

D E

B C

D E

F G

H I

B C

D E

F G

H I

2. จงตอบคําถามตอ่ไปนี �

กําหนดกราฟ G, G1, G2, G3 และ G4 จงพิจารณาว่ากราฟ G1, G2, G3 และ G4 แต่ละกราฟ กราฟใด

เป็นสบักราฟ สบักราฟแผ่ทั�วถงึ หรือกราฟเหมือนกนัของกราฟ G

G :

G1 G2 G3 G4

2.1. กราฟที�เป็นสบักราฟของกราฟ G คือกราฟ…………………………………………….

2.2. กราฟที�เป็นสบักราฟแผ่ทั�วถงึของกราฟ G คือกราฟ……………………………………………...

2.3. กราฟเหมือนกนัของกราฟ G คือกราฟ………………………………………………………………………

3. จงพิจารณาวา่กราฟ G1 และ G2 ตอ่ไปนี �ไอโซมอร์ฟิกกนัหรือไม ่

3.1

3.2

A

B H

E F

C

D

H

A

B

E C

F D

A H

B C

F D

A B

E H

A

B

E C

F D

H

G1 ……..……………………..........................……………. G2

G1 ……..……………………..........................……………. G2

3.3

3.4

3.5

G1 ……..……………………..........................……………. G2

G1 ……..……………………..........................……………. G2

G1 ……..……………………..........................……………. G2

แบบฝึกหดัทฤษฎีกราฟ 4

(แนวเดนิ แนวเดินชดั แนวเดินปิด แนวเดินเปิด รอยเดิน วิถี วง และวฎัจกัร)

1. กําหนดกราฟ G ดงัรูป

G :

จงพิจารณาแนวเดินที�กาํหนดให้เป็น วิถี หรือ วฎัจกัร

1.1 B, C, E, A, B ………………………………..

1.2 E, C, B, A ………………………………..

1.3 B, C, D, E, B ………………………………..

2. กําหนดกราฟ G ดงัรูป

G :

จงหา

2.1 แนวเดนิ A – D ที�มีความยาวเทา่กบั 6

………………………………………………………………………………………………………………

2.2 แนวเดนิ B – B ที�มีความยาวเทา่กบั 3

………………………………………………………………………………………………………………

2.3 แนวเดนิ A – F ที�มีความยาวเทา่กบั 2

………………………………………………………………………………………………………………

2.4 รอยเดิน A – E ที�มีความยาวเทา่กบั 5

………………………………………………………………………………………………………………

2.5 รอยเดิน D – D ที�มีความยาวเทา่กบั 7

………………………………………………………………………………………………………………

2.6 วิถี A – E ที�มีความยาวเทา่กบั 4

………………………………………………………………………………………………………………

2.7 วิถี A – D ที�เป็นไปได้ จํานวน 2 วิถี

………………………………………………………………………………………………………………

A

B

E

C

D

A

B D

C

F

E

3. กําหนดกราฟ G ดงัรูป

G :

จงหา

3.1 แนวเดินที�มีความยาวเทา่กบั 5

………………………………………………………………………………………………………………

3.2 วิถีที�มีความยาวเทา่กบั 9

………………………………………………………………………………………………………………

3.3 วฎัจกัรที�มีความยาวเทา่กบั 5, 6, 8 และ 9

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

1

2

3 4

5 7

8

6

9 10

แบบฝึกหดัทฤษฎีกราฟ 5

(กราฟเชื�อมโยงและกราฟไมเ่ชื�อมโยง)

1. จงพิจารณากราฟตอ่ไปนี � กราฟใดเป็นกราฟเชื�อมโยง

G1……………….. G2…………………. G3……………….

G4………………….. G5………………….

แบบฝึกหดัทฤษฎีกราฟ 6

(กราฟออยเลอร์ รอยเดินออยเลอร์ รอยเดินเปิดออยเลอร์ )

1. ให้นกัเรียนตอบคําถามตอ่ไปนี � เมื�อกําหนดกราฟ G1 , G2 , G3 , G4 , G5 , G6 ดงัรูปตอ่ไปนี �

G1 : G2 :

G3 : G4 :

G5 : G6 :

1.1 จงหาวา่กราฟใดเป็นกราฟออยเลอร์ ………………………………………………………………..

1.2 กราฟแบบบริบรูณ์ จะเป็นกราฟออยเลอร์เมื�อใด…………………………………………………….

2. จงหาวา่กราฟใดเป็นกราฟออยเลอร์ หรือ ไมเ่ป็นกราฟออยเลอร์แตส่ามารถหารอยเดินออยเลอร์ได้ พร้อม

แสดงเหตผุล และบอกลําดบัรอยเดนิออยเลอร์

2.1 2.2

2.3 2.4

3. กราฟที�ไมใ่ชก่ราฟออยเลอร์ แตม่ีรอยเดนิออยเลอร์ เรียกวา่เป็นกราฟที�มี ………………………………..

A

C

B

E

D

I

H

G F

L K J

A C

D

B

E

A

I H G

E

F

C B D

J

A

F

C G

B

E

D

แบบฝึกหดัทฤษฎีกราฟ 7

(ต้นไม้และต้นไม้แบบทอดข้าม)

1. จงพิจารณาวา่กราฟในรูปใดตอ่ไปนี � เป็นกราฟต้นไม้

G1 G2

G3 G4

กราฟที�เป็นกราฟต้นไม้ คือ …………………………………………………………………………

2. จงยกตวัอยา่งกราฟต้นไม้ที�มีจดุจํานวน 6 จดุ มา 3 ตวัอยา่ง

2.1 2.2 2.3

3. จงยกตวัอยา่งกราฟต้นไม้ที�มีจดุจํานวน 8 จดุ มา 4 ตวัอยา่ง

3.1 3.2

3.3 3.4

4. ถ้า T เป็นกราฟต้นไม้ที�มีเส้นจํานวน 24 เส้น แล้ว T จะต้องมีจดุจํานวนเทา่ใด

………………………………………………………………………………………………………………

5. จงหาต้นไม้แบบทอดข้ามที�เป็นไปได้ทั �งหมดในกราฟตอ่ไปนี �

5.1

5.2

5.3

x y

u v

z

a

d

c

b

แบบฝึกหดัทฤษฎีกราฟ 8

(การประยกุต์ของต้นไม้)

คําสั�ง1 ให้นกัเรียนพิจารณาปัญหาตอ่ไปนี �

สมมติเราต้องการสร้างถนนเชื�อมตอ่ระหวา่งเมืองตา่งๆ โดยที�ทราบคา่ใช้จา่ยในการกอ่สร้างถนนที�เชื�อม

เมือง 2 เมืองใดๆ ปัญหาที�เกิดขึ �น คือ เราสร้างถนนเชื�อมระหวา่งเมืองใดบ้าง เพื�อให้เมือง 2 เมืองใดๆ สามารถ

ติดตอ่กนัได้ทางรถยนต์และเสียคา่ใช้จา่ยในการกอ่สร้างน้อยที�สุด เราสามารถสร้างแบบจําลองแทนสถานการณ์

ด้วยกราฟเชื�อมโยงที�มีนํ �าหนกั โดยใช้จดุ แทน เมือง เส้นเชื�อมระหวา่งจุด 2 จุด แทนถนนเชื�อมระหว่างเมือง 2

เมือง และนํ �าหนกัของเส้น แทน คา่ใช้จา่ยในการสร้างถนน (หนว่ยเป็นล้านบาท) ดงัรูป

A

E

B C

D

2

1

4

1

4

4

5

2 3 F