Логика

это наука о

•формах и

•способах мышления

Формы мышления: •понятия, •высказывания,

•умозаключение.

Понятие это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта, отличающие его от других предметов

Например: 1. Компьютер – это множество устройств, которые предназначены для обработки информации и обладают монитором и клавиатурой.2. Автомобиль – механизм, служащий для перемещения по дорогам и хранящийся в гаражах

Понятие:• Содержание - совокупность

существенных признаков

Например: Персональный компьютер – это универсальное,

электронное устройство для автоматической обработки информации и предназначенное для одного пользователя.

• Объем – совокупность предметов на которую оно распространяется

Например:Сотни миллионов персональных компьютеров

Высказывание (суждение) Это форма мышления, выраженная с помощью понятий, посредством которых что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними.

О предметах можно судить:•верно •или неверно

Истинным (верным) –будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.Ложным (неверным) – суждение будет в том случае, когда связь понятий искажает объективные отношения, не соответствующие реальной действительности.

Высказывания бывают :•Простые

Например: 1.Сегодня идет дождь (истинное)

2. На яблонях растут бананы (ложное)

•СоставныеНапример: 1. Число 396 четное и трехзначное (истинное)

Высказывания выражаются повествовательными предложениями.

Высказывания не могут быть выражены:• повелительным •или вопросительным предложениями (оценка истинности которых просто невозможна)!!!

Высказываниями не являются, например, предложения:"ученик десятого класса" "информатика — интересный предмет!!!".

это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать,

•истинно оно •или ложно.

Логические высказывание

1. " Трава зеленая" следует считать высказыванием, так как оно истинное.

2. " Лев - птица" тоже высказывание, но оно ложное.

Примеры простых высказываний:

Так, например, из простых высказываний: "Петров — врач", "Петров — шахматист"

при помощи связки «И» можно получить

составное высказывание: "Петров — врач и шахматист",понимаемое как: "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".

Примеры составных высказываний

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если... , то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания.

Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Умозаключение

это форма мышления, посредством которого из одного или нескольких суждений

( по определенным правилам логического вывода )

можно получить новое знание о предметах реального мира.

Примеры:

1 суждение: Все металлы электропроводны.

2 суждение: Ртуть является металлом.

Путем умозаключения можно сделать вывод:

Ртуть электропроводна

Алгебра высказываний

(алгебра логики)

Джордж Буль1815-1864

Джордж Буль родился в Линкольне в семье мелкого торговца. Он окончил только начальную школу для детей бедняков. Джордж Буль по праву считается отцом математической логики (алгебры высказываний). В 1854 году вышел его главный труд “Изучения законов мышления”

Алгебра – это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами.

Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра высказываний

В ней высказывания обозначаются именами логических переменных,

которые могут принимать лишь два значения:

•«Истина» (1)

• «Ложь» (0)

Чтобы обратиться к логическим высказываниям, им назначают имена:

А ="Тимур поедет летом на море",В ="Тимур летом отправится в горы".

Тогда составное высказывание будет образовано с помощью логической связки: или

"Тимур летом отправится на море или в горы"

можно кратко записать как

А или В.

Здесь "или" — логическая связка,

Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается:

• на естественном языке «И»

• в алгебре высказываний &, /\, *, ·

• в языке программирования And

• в алгебре множеств, как пересечение

множеств ∩

ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ

Пример:

• 2*2=5 и 3*3=10

• 2*2=5 и 3*3=9

• 2*2=4 и 3*3=10

• 2*2=4 и 3*3=9

Таблицы истинности логического умножения

А B F=A&B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Высказывание А · В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Операция, выражаемая связкой "или", называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением• на естественном языке «ИЛИ»• в алгебре высказываний +, v• в языке программирования Or• в алгебре множеств, как объединение множеств U

Логическое сложение

Пример:

• 2*2=5 или 3*3=10• 2*2=5 или 3*3=9• 2*2=4 или 3*3=10• 2*2=4 или 3*3=9

Таблицы истинности логического сложения

А B F=A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Операция, выражаемая словом "не", называется инверсией или отрицанием и обозначается чертой над высказыванием.

Пример:

«Два умножить на два не равно четырем »

Логическое отрицание

Таблицы истинности логического отрицания

A F= не A

0 1

1 0

Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" (не А).

Логические выражения

Каждое составное высказывания можно выразить в виде формулы в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Пример логического выражения

Запишем в форме логического выражения составное высказывание (2*2=5 или 2*2=4) и (2*2<>5 или 2*2<>4). Теперь запишем высказывания в форме логического выражения: F=(AVB)&(AVB)

Поставим в логическое выражения значения логических переменныхи получим значение логической функции:

F=(A+B)&(A+B)=(0+1)&(1+0)=1&1=1

Алгоритм построения таблиц истинности

1)Необходимо определить количество строк и столбцов в таблице истинности (количество строк равно количеству комбинаций логических переменных, а количество столбцов равно количеству логических переменных и логических операций). 2)Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, и обозначить столбцы.

3)Необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности

Пример таблицы истинности логической функции

F=(A+B)&(A+B)

A B A+B A B A+B (A+B)&(A+B)

0 0 0 1 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0 0

Равносильные логические выражения

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными.

Для обозначения равносильных логических выражений используется знак “=“.

Логические функции

Любое составное высказывания можно рассматривать как логическую функцию F(X1, X2, …, Xn), аргументами которой являются логические переменные X1,X2, …, Xn.

Сама функция и аргументы могут принимать только два различных значения: “истина” (1) и “ложь” (0).

•Логическое следования

•Логическое равенства

Операция, выражаемая связками "если ..., то", "из ... следует", "... влечет ...", называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Логическое следование

Таблицы истинности импликации (следования)

А B A->B

0 1 1

0 0 1

1 0 0

1 1 1

Таблицы истинности эквиваленции (равнозначности)

А B A=B

0 1 0

0 0 1

1 0 0

1 1 1

Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно ...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~. Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Логические равенства

Логические законы

В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений.

Законы: •тождества, •непротиворечия,•исключения третьего, •закон двойного отрицания,• закон де Моргана, •коммутативности, •ассоциативности,• закон дистрибутивности.

Логические законы

Закон тождества:

Всякое высказывание тождественно самому себе: А=А

Закон непротиворечия:

Логическое произведение и его отрицание должно быть ложно: A&A=0

Закон исключения третьего:

Результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значения «истина»: A+A=1

Логические законы

Закон двойного отрицания.

Если дважды отрицать некоторое высказывания, то в результате мы получим исходное высказывание: А=А

Закон де Моргана.

A v B=A&BA&B=A v B

Закон коммутативности.

Логическое умножения Логическое сложения

A&B=B&A A+B=B+A

Логические законы

Закон ассоциативности.

Логическое умножения Логическое сложения

(A&B)&C=A&(B&C) (A+B)+C=A+(B+C)

Закон дистрибутивности.

Дистрибутивность умножения относительного сложения

Дистрибутивность сложения относительно умножения

(A&B)+(A&C)=A&(B+C) (A+B)&(A+C)=A+(B&C)

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.