チェビシェフの不等式

2014/06/14

@hoxo_m

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このお話はフィクションです。

• あなたは、とあるメーカー企業の品質管理部門に勤務する社員です

• ある日、新製品開発に関して話があると上司に呼び出されました

上司の部屋で・・・

今、新製品を開発して いてね

上司

は、はあ・・・

あなた

上司の部屋で・・・

製品評価段階に 来ているんだ

上司

はい・・・

あなた

新製品：petter

• SFじゃない。人によりそうペットロボット

• 製品を一体作るのに 10 万円かかる

• 予算の都合上 10 体をサンプルとする

• 品質評価値

→ 不良品率を出してほしい

上司の部屋で・・・

不良品の出る確率が 3% 以下なら採算が 取れそうなんだ

上司

なるほど・・・

あなた

上司の部屋で・・・

というわけで 品質データから不良品率

を算出してほしい

上司

わかりました

あなた

問題

• 試作品 10 個に対して、それぞれ 0～10 の品質評価値が算出されている

• この値が 0 か 1 なら不良品と判定する

• 実際の評価値：

10, 9, 10, 8, 9, 10, 6, 10, 10, 9

• ここから不良品率を出すことは可能か？

データ

• 10, 9, 10, 8, 9, 10, 6, 10, 10, 9

二項分布？

• X = {10, 9, 10, 8, 9, 10, 6, 10, 10, 9}

• 平均値 E[X] = 9.1

• 試行回数 n = 10

• 成功確率 p = E[X]/n = 0.91

• X ~ Binom(10, 0.91) ???

コルモゴロフ・スミノフ検定

• 帰無仮説：データが二項分布に従う

data <- c(10, 9, 10, 8, 9, 10, 6, 10, 10, 9) size = 10 prob <- mean(data) / size ks.test(data, "pbinom", size=size, prob=prob)

One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: data D = 0.5, p-value = 0.01348 alternative hypothesis: two-sided

p < 0.05 なので棄却

上司の部屋で・・・

例の件、どうなったかね

上司

どうやら二項分布には 従わないようでして・・

あなた

上司の部屋で・・・

なにを わけのわからないことを

言っておるんだ！

上司

すみません・・・ もう少し時間を下さい

あなた

さて、このあわれな子羊を救う方法は

あるのでしょうか？

チェビシェフの不等式

• パフヌーティー・リヴォーヴィッチ・チェビシェフ(1821–1894)

–ロシアの数学の父

–弟子：リアプノフ、マルコフ

–チェビシェフの不等式

http://ja.wikipedia.org/wiki/パフヌティ・チェビシェフ

2

1

kkXP

チェビシェフの不等式

• 確率変数 Ｘ の平均 μ、標準偏差 σ が共に有限ならば任意の ｋ (>0) に対して

2

1

kkXP

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/cebysev/cebysev.htm

どんな確率分布に対しても成り立つ！

チェビシェフの不等式

• データ： 10, 9, 10, 8, 9, 10, 6, 10, 10, 9

• 平均値： 9.1 標準偏差： 1.29

• 不良品である確率

• チェビシェフの不等式

1.81.91 XPXP

2

129.11.9

kkXP

チェビシェフの不等式

• したがって

1.829.1 k 2

11

kXP ならば

3.629.1/1.8 k

025.01

2

k

025.01 XP

上司の部屋で・・・

よくやった！

上司

というわけで 不良品率は 3% 以下で

あると言えます

あなた

こうして偉大な統計学者の力によって

あわれな子羊が救われたのであった

完