교류회로

전자물리학 인하대학교 1

Ch. 2 교류 회로 (AC:Alternating

Current) • 정현파 (sinusoidal signal)

– 주파수 , 진폭 , 위상 (frequency, amplitude, phase)

– 주기 (period, T): 한 바퀴 도는 (cycle) 시간– 주파수 (frequency, f ): 초당 cycle 의 수 = 1/T– 각주파수 (angluar frequency): = 2f

참고 : 대학물리 18 장


• Vp : 최대 진폭

• 위상 두두두두두두두두두두

)sin( tVv p


RMS (Root Mean Square) 값

• 정현파 전류의 실효값 (effective value): 같은 양의 줄열을 발생 시키는 직류전류의 값

2,

2

2)(sin

11

)sin(

)sin(

0

2

0

pe

pe

ppT

pp

T

p

p

II

VV

IVdttIV

Tdtiv

TP

tIi

tVv


역률 (Power factor)

• 역률 : 전압과 전류의 위상이 같지 않을 때 위상차 : cos

cos2

)sin()sin(11

)sin(),sin(

00

pp

T

pp

T

pp

IV

dtttIVT

dtivT

P

tVvtIi


Capacitance & Inductance참고 : 대학물리 18 장

• 축전기 (capacitor): 정전기 에너지를 저장하는 창고– 전기용량 (capacitance): 창고의 크기

[ 단위전위차당 대전되는 전하량 ]

V

Q QE

도체 V

QC (C/V=F : Farad)

Q

QV

dEV [ 균일한 전기장 ]

0E [ 가우스법칙 ] AQ

d

AC 0

C : 기하학적 구조에 영향축전기 내부에만 전기장존재 전기장 창고

V C

• 평행판 축전기 [ 면적 A, 사이거리 d : A >> d2]


• 용량성 리액턴스 (capacitive reactance)

• 전류는 전압보다 /2 만큼 앞선다 .

• Xc=1/C ( 용량성 (capacitive) 리액턴스 , 두두두두두두두두 )

2,)sin(

)2

sin()cos(

)sin(,

ppp

pp

p

CVItIi

tCVtCVdt

dvC

dt

dQi

tVvCVQ


• 커패시터 (Capacitor)– 특정한 커패시턴스 값을 갖는 회로소자– 공기나 절연체 , 혹은 유전체를 사이에 둔 두개의

도체판으로 구성– 누설저항 (leakage resistance)

• 전해 커패시터 (electrolytic capacitor)– 큰 전기용량– 얇은 산화막 이용– 극성이 있음

• 가변 캐패시터 – 전기용량의 변화가 가능


• 인덕터 (Inductor): 자기적 에너지의 저장– 인덕턴스 (Inductance) L : 창고의 크기

자기유도의 결과 , 렌츠의 법칙에 따라 코일을 통과하는 자기력선의 변화를 억제하는 방향으로 유도 기전력 발생

회로의 기하학적 구조 , 구성 물질의 자기적 성질에 의존

회로에 흐르는 전류의 반대 방향으로 유도 기전력 발생

고주파에서 큰 저항으로 작용i

L B [T•m2/A=H : Henry]

dt

diL

참고 : 대학물리 18 장


• 유도성 리액턴스 (inductive reactance)

• 전류는 /2 만큼 전압보다 뒤짐• XL = L : 유도성 리액턴스 (inductive

reactance), 두두두두두두두두 )

LXLIV

tVtLI

tLIdt

tIdL

dt

diLv

Lpp

pp

pp

,

)2

sin()2

sin(

)cos(sin


간단한 회로

• RL 필터 (filter)– 정현파 전압원 (Sinsonuidal Voltage Source)– 회로내의 전압의 합은 항상 0

0

V11Vac0Vdc

L1

20

R1

1200

dt

tdiLtRitvi

)()()(

tIti p sin)(

전류를 정현파로 가정


R

Lwhere

tLRI

tLItRItv

p

ppi

arctan,

sin

cossin)(

22

전류가 전압보다 위상만큼 뒤짐저항 양단간의 저항 : 출력 전압 vo

222 /1

1

sinsin)(

RLLRI

RI

V

V

tVtRItv

p

p

i

o

opo

낮은 주파수에서는 Vo/Vi~1 이 된다 .: 저역 통과 필터 (low pass filter)


12 00

R

L

R

Lf f0 : 반전력 주파수 (half-power freq.) : cut-off freq.

L: 20 HR: 1200


• RC filter– 정현파 전압원 :– 전압 강하 :

0V

R1

100k

0V

0

0V

V11Vac0Vdc

C2

0.16e-6

tVtv pi sin)(

RiC

Qtvi )(

tVtiCdt

tdiR

dt

tdQtiRi

C

Qtv

dt

d

p

i

cos)(1)(

)()(,)(

Trial solution: tIti p sin)(

tVtIC

tIR ppp cossin1

cos

위의 식은 시간 t 에 대해서 항등식


tVtIC

R pp coscos1

22

2

2 1

CRIV pp

tVtIC

tIR ppp cossin1

cos

22 1

1arctan

CR

VI

RC

pp

RC

tCR

VI p

p

1arctan

)sin(1 22

전류가 전압보다 위상 만큼 앞섬높은 주파수 : 위상차 0낮은 주파수 ( 직류 ): 위상차 /2


저항에 걸리는 출력 전압 : vo

2/11

1,sinsin)(

RCV

VtVtRItv

i

oopo

12 RCfo

다음을 만족시키는 주파수를 반전력 주파수

고역 통과 필터(high-pass filter)

C: 0.16 FR: 105


• 미분 회로 (differentiating circuits)– RC 필터에서 RC<<1 이면 , 위상 ~ /2

tRCVt

RC

Vtv p

po

cossin

/11)(

2

tVdt

tdV

dt

tdvp

pi

cossin)(

Input 전압의 미분 :

dt

tdvRCtv i

o

)()(

Output 전압 = Input 전압의 미분 : analog computer

0V

R1100k

0V

0

0V

V11Vac0Vdc

C2

0.16e-6


• 적분 회로 (integrating circuits)– RC 회로에서 Capacitor 에 흐르는 전압 :

흐르는 전류의 적분

dttvRC

tv

tRC

VR

VIRCif

tC

IdttI

Ctv

io

p

pp

ppo

)(1

)(

cos

,0,1

cossin1

)(

R1

500

V210Vdc

0

C2

1n

Output 전압 = Input 전압의 적분 : analog computer


과도전류

• 시정수 (time constant)– 과도효과 (Transient effect)

정상 상태가 되기 전의 전류 / 전압 정상 상태가 되면 사라짐 펄스에 대한 응답 미분방정식의 완전한 해 : 정상상태 +

과도전류각각을 분리해서 고려 가능


R

C

0

갑작스럽게 스위치가 닫힘

RC

tAK

RC

tti

tiRCdt

tdi

C

tQtRiV

dt

d

expexp)(

0)(1)(

)()(

RC

RC

t

R

Vti

R

Vtit

:constant time

exp)(,)0(,0

A 값을 초기 조건으로부터 결정

t

)(tQ

)(ti

CV

R

V


tVRiVvc exp1Capacitor 에 걸리는 전압 vc

• 시정수 (time constant, ) : 지수 함수적인 표현 식에서 그 시스템의 time scale 을 나타내는 물리적 양life time 이라고도 함• RC time: 시간의 단위 , 회로의 time scale 을 결정

반대로 스위치를 열 경우

tR

Vti

tiRCdt

tdi

C

tQtRi

dt

d

exp)(

0)(1)(

)()(0

t

)(tQ

)(ti

CV

R

V


L

R

0

L

Rt

R

Vti

dt

tdiLtRiV

,exp1)(

)()(

• RL 회로의 경우 스위치를 닫을 경우

스위치를 열 경우

L

Rt

R

Vti

dt

tdiLtRi

,exp)(

)()(0


교류의 과도현상 (AC Transient) S

12

C

R

tVtvdt

tdvti

Cdt

tdiR

p sin)(

)()(

1)(

위 미분 방정식의 해 : 21 iii

i1: 과도 전류 , i2: 정상 상태 전류

0)(11

22

11

dt

tdvi

Cdt

diRi

Cdt

diR

선형 미분 방정식의 성질 :전체해 = homogenous solution + inhomogeneous solution

앞에서 푼 해

tAti exp)(1

t

CR

Vti p sin

1)(

222

RC

RC

1

arctan

,


When t=0,2

,)( pVtv 초기전류 : Vp/R

2sin

1exp

1

1)(

1

1

2sin

1

22

2

22

tCR

CRt

CRR

Vti

CRR

VA

CR

VA

R

V

p

p

pp

1RCif 과도전류가 정현파의 한 주기 보다 작은 범위에서 영향

1RCif 과도전류가 정현파의 여러 주기에서 영향결국은 정상상태 전류만 남음


링잉 (ringing)

• RLC 회로에서 전압의 급격한 변화시 발생• 교류전류의 감쇠는 공진주파수에 의함• 자연계에 많이 존재하는 감쇠 진동과 같은

수학적인 표현• 마찰계에서의 단진자 운동 등

L

RS

1 2

V C


01

2

2

iLCdt

di

L

R

dt

id

dt

diL

R

QRiV

dt

d

L

RS

1 2

V C

마찰계에서의 단진자 운동 등

Trial Solution: tatAti sinexp)(

We can get 2

22

4

1,

2 L

R

LCL

Ra

http://www.ling.yale.edu/ling165/Action/Dynamics/Db.html

PlotExpx3Sin3x,x, 0, 20

5 10 15 20

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

과도 감쇠 (overdamp) : < 0임계감쇠 (critical damp) : = 0

http://www.ling.yale.edu/ling165/Action/Dynamics/Db.html


복합 파형

• 푸리에 급수 (Fourier Series)– 연속 함수 f(t) 가 주기 T 를 가지고 있다면 :

– 신호 처리에 필수– 많은 물리적 문제 해결에 유용– 선형함수의 기본적 성질 : superposition

principle

ttntbntaa

tfn

nn

','sin'cos2

)'(1

0


• Fourier Series 의 성질 , x=t

(7)

(8)

deltaKronecker:mn

http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html

http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html


• Square wave 에 대한 Fourier Series– 최대치 Vp 이고 주파수가 인 구형파

tttt

Vtv p

5sin

5

13sin

3

13sin

3

1sin

4)(

http://mathworld.wolfram.com/FourierSeriesSquareWave.html


• 톱니파 (sawtooth wave)

http://mathworld.wolfram.com/FourierSeriesSawtoothWave.html

tttt

Vtv p

4sin

4

13sin

3

12sin

2

1sin

2)(

모서리 부분을 제대로 표현하기 위해서는 높은 주파수 항 필요


• 비주기 파형 : Fourier Transform– 급수의 합계두 적분 형태– an, bn 등의 계수 두연속 함수 a(), b()

– Time space 두 Frequency space– real space 두 momentum space– 물리적으로 매우 중요

고체물리 , 전자의 밴드 구조 등 광학 , Fourier optics, diffraction 통신 , Digital Signal Processing

http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html


• 입력 신호의 파형을 보존하기 위해서는 회로의 cut-off frequency 가 입력파형의 주요 주파수 보다 매우 크거나 매우 작아야함 .

• 각 조화항의 상대적 위상의 변화도 일정할 필요 있음

• 의도적으로 파형을 조절할 필요가 있을 경우 ( 예 : 다음 페이지 )


• RC 미분 회로– RC<<1 인 모든 항 필요

• RC 적분 회로– RC>>1 이 되도록 기본주파수가 커야함


실효값 (effective value)

• 주기 T 와 최대값 Ip 인 구형파의 경우 :

– 줄열은 전류의 제곱 , 방향은 중요치 않음

• 톱니파

2

0

21p

T

peff IdtIT

I

tT

Iti p2)(

3,

3

212

2

2

2

peff

pT

Tp

eff

II

Idtt

T

I

TI


• 반 정현파– 유효 전류 위와 마찬가지

방법으로 계산 가능– 파형의 평균 전류값– Parseval’s Theorem : 에너지 보존 법칙과 관련

pp

T

pdc

I

T

ItdtI

TI

24sin

12

0

23

22

22 IIIII dceff

tI

tI

Iti ppp

4cos

15

42cos

3

42)(

3

22

3

4

215

4

3

4

2

2222

prms

pprms

II

III

Ii 는 각 주파수 성분의 rms 값

교류 성분 만의 rms 값


구형파 응답 (square-wave response)

/)( tAeti

• High pass filter


• Low pass filter


오실로스코프 (Oscilloscope)http://www.doctronics.co.uk/scope.htm


리사주 (Lissajous) 도형

• X, Y 가 서로 다른 주파수를 가질 때 , 정수배가 된다면 그 형태가 정지상태가 됨

http://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html

tbv

tVv

VV

HpH

sin

sin


Homework II

• 교과서 문제– 2 장 문제 중 1, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 12

• Fourier Series 에 대해서 간단히 요약 정리– 수리물리 , Internet, 공업수학 , – " 공업수학이라면 이제 만화로 공부하세요 3 권”

• 만약에 오실로스코프 근처에 강한 자기장이 있다면 화면상의 파형이 어떻게 변하겠는가 ? 임의의 파형의 예를 2~3 가지 정도 들어서 설명하시오 .

• 제출 날짜는 수업시간에 결정

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