5.1 弧度制

任意角的三角函數任意角的三角函數5

解：

5.1 弧度制例 5.3

的面積　扇形的弧長，弧

表示的圓扇形，試以，為一個半徑為圖

(b)

(a)

120

cm 6 5.7

OAB

AB

AOB

任意角的三角函數任意角的三角函數55

5.7 圖

弧度 180

120120

弧度 3

2

cm 3

26 (a)

的弧長弧 AB

cm 4

22 cm 3

26

2

1 (b)

的面積扇形OAB

2cm 12

解：

5.1 弧度制例 5.3

任意角的三角函數任意角的三角函數

的面積　扇形的弧長，弧

表示的圓扇形，試以，為一個半徑為圖

(b)

(a)

120

cm 6 5.7

OAB

AB

AOB

5 任意三角的三角函數

例 5.4

（以弧為單位）的值試求，周界為的面積為所示，扇形如圖

20cm 24cm 5.9 2

COD

OCD

5.1 弧度制


解：cm cm sCDrOC 和設

.....(1).............................. 2

124

cm 2

124cm 22

rs

rs

扇形的面積

)........(2.......... 220

220

cm )2(20cm

rs

sr

sr

扇形的周界

6 4

(1) (2)

rr

r

或得，及解代入把

3 12 4 弧度和則，若 r

sCODsr

3

4 8 6 弧度和則，若

r

sCODsr

5.9 圖

例 5.4

（以弧為單位）的值試求，周界為的面積為所示，扇形如圖

20cm 24cm 5.9 2

COD

OCD

5.1 弧度制


解：

例 5.5的值和，試求，其中若 tan cos 270180

2

1sin oo

得：，參考圖位於第三象限由於 5.22

5.2 任意角的三角函數 (I)


22 yrx 22 )1(2

3

5.22 圖

因為 P 點在第三象限，所以 x<0 。

r

x cos

2

3

x

ytan

3

1

3

1

解：

例 5.5的值和，試求，其中若 tan cos 270180

2

1sin oo

得：，參考圖位於第三象限由於 5.22



證明：

例 5.7 sec cosectancot 證明恆等式

tancot 左方

cos

sin

sin

cos

cos sin

sincos 22

cos

1

sin

1

sec cosec

根據商數關係

根據平方關係

根據倒數關係


右方


解：

例 5.9

的值，試求，其中若 tan 360270 13

5cos oo

0 tan

,360270 oo

.5

13

cos

1sec

13

5cos

，因此由於

1sec tan

tan1sec 2

22

，可得利用

15

132

5

12

由於 tan < 0 ，故捨去正號。



解：

例 5.10

的值試求，若

cossin

cossin 2 tan

coscossin

coscossin

cossin

cossin

1tan

1tan

12

12

3

1



解：

例 5.11

)120sin( (c) tan405(b) sin330 (a) ooo 各式的值不用計算機，計算下列

)30360sin(sin330 (a) ooo

5.3 任意角的三角函數 (II)

o30sin

2

1

)45360tan( tan405(b) ooo o45tan

sin (360º – )= – sin

tan (360ºn + )= tan ，其中 n 是整數

1 oo 120sin)120sin( (c)

o60sin

sin (– )= – sin

2

3

sin (180 º – )= sin

)60180sin( oo


解：

例 5.12

) tan(270) tan(1080(b)

)cos(270 )sin()360cos( )sin(90 (a)oo

ooo

簡化下列各式

)cos(270 )sin()cos(360 )sin(90 (a) ooo

)sin)(sin(coscos

22 sincos

cot])3(360tan[)270tan()0 tan(108(b) ooo

tan

1tan

1

1

5.3 任意角的三角函數 (II)


5.4 三角函數的圖像及其方程

y = sinx 的圖像，其中 0 x 2: sin 得下表由 xy

x

y

6

0

6

26

36

46

56

66

76

86

96

106

116

12

0 0 02

1

2

3 12

3

2

12

1

2

3

2

3

2

11

5.6 表

圖：利用上表的值繪畫得下


y = sinx 的圖像，其中 0 x 2

x

y

6

0

6

26

36

46

56

66

76

86

96

106

116

12

0 0 02

1

2

3 12

3

2

12

1

2

3

2

3

2

11

5.28 圖


: sin 得下表由 xy

5.6 表




y = sinx 的圖像，其中 0 x 2

x

y

6

0

6

26

36

46

56

66

76

86

96

106

116

12

0 0 02

1

2

3 12

3

2

12

1

2

3

2

3

2

11

5.28 圖

: sin 得下表由 xy

5.6 表




y = cosx 的圖像，其中 0 x 2得下表：由 cos xy

x

y

6

0

6

26

36

46

56

66

76

86

96

106

116

12

1 1 12

1

2

3 02

3

2

1

2

1

2

3

2

32

10

5.7 表



5.29 圖

y = cosx 的圖像，其中 0 x 2

x

y

6

0

6

26

36

46

56

66

76

86

96

106

116

12


得下表：由 cos xy

5.7 表

1 1 12

1

2

3 02

3

2

1

2

1

2

3

2

32

10



y = cosx 的圖像，其中 0 x 2

x

y

6

0

6

26

36

46

56

66

76

86

96

106

116

12

5.29 圖


得下表：由 cos xy

5.7 表

1 1 12

1

2

3 02

3

2

1

2

1

2

3

2

32

10



5.4 三角函數的圖像及其方程y = tanx 的圖像，其中 0 x 2

得下表：由 tan xy

x

y

6

0

6

26

36

46

56

66

76

86

96

106

116

12

5.8 表


0 0 033

1無定義

3

13 3

3

13

13無定義



x

y

6

0

6

26

36

46

56

66

76

86

96

106

116

12


5.8 表

5.30 圖

0 0 033

1無定義

3

13 3

3

13

13無定義




x

y

6

0

6

26

36

46

56

66

76

86

96

106

116

12


5.8 表

5.30 圖

注意：虛線及　不會與的圖像相交2

x xy tan

2

3x

0 0 033

1無定義

3

13 3

3

13

13無定義



解：

例 5.14

309.0sin (b) 5.0sin (a)

6030 oo

xx

x 度答案須準確至最接近的解下列三角方程，其中

5.0sin (a) x


o30sinsin xooo 30180 30 或x

309.0sin (b) xo18sinsin x

oooo 81603 81801 或x

oo 150 30 或

ooo

oo

sin30)30sin(180

30sinsin30

和

ooo

ooo

sin18)18sin(360

18sin)18sin(180

和

)(423 198 oo 準確至最接近的度或


解：

例 5.15

2.0cos (b) 2.0cos (a)

0.1 6030 ooo

xx

x 答案須準確至最接近中解下列三角方程式，其

2.0cos (a) xo5.78coscos x

ooo 5.78063 5.78 或x

2.0cos (b) xo5.78coscos x

oooo 5.78801 5.78801 或x

)0.1 ( 281.5 5.78 oo 準確至最接近的或

ooo

oo

cos78.5)5.87cos(360

cos78.5cos78.5

和

ooo

ooo

cos78.5)5.78cos(180

5.78cos)5.78cos(180

和

)0.1 (58.52 5.101 ooo 準確至最接近的或



解：

例 5.16

3 tan(b) 3 tan(a)

20 o

xx

x 中解下列三角方程式，其

3 tan(a) x


3tantan

x

3

3

或x

3 tan(b) x

3tantan

x

32

3

或x

3

4

3

或

3tan

3tan

3tan

3 tan

和

3tan)

3tan(2

3tan)

3 tan(

和

3

5

3

2 或


解：

例 5.17

0.1

3600 sin32cos2 o

oo2

答案須準確至最接近的，其中解三角方程 xxx

xx 2sin3cos22


)cos1(3cos22 2 xx

01cos2cos3 2 xx

oooo 5.703605.70 180 或或 xx

)1.0 (289.5 180 ,0.57 oooo 準確至最接近的或x

3

1cos 1cos

0)1cos3)(1(cos

xx

xx

或


解：

例 5.18

0.1

3600 45cot tano

oo

最接近的答案須準確至，其中解三角方程 xxx

4cot5tan xx


4tan

5tan

xx

05tan4tan 2 xx

oo 7.78tan tan 45tantan xx 或ooooooo 7.78180 78.7 45360 45180 或或或 xx

5 tan 1tan

0)5)(tan1(tan

xx

xx

或

)1.0 (315 7.258 135 8.77 ooooo 準確至最接近的或或或x


解：

例 5.19

222

cos3sin2

1 (c) 1sin2 (b) 4sin (a)

yθyθy

y 可取值的範圍下列各式中可取任意實數值，試求若

1sin1 (a) 取任意實數值時，當

5.5 續三角函數的圖像

414 sin41 3 5 y

1sin1 (b) 取任意實數值時，當

1sin0 2

1)1(21sin21)0(2 2

3 1 y


22222 coscos2sin2cos3sin2 (c)

222 cos)cos(sin2

2cos2

1cos0 2 　取任意實數值時，當

3 cos2 2 2

3

1

cos2

1

2

1

2

2

1

cos32sin

1

3

1

22

2

1

3

1 y

解：

例 5.19

222

cos3sin2

1 (c) 1sin2 (b) 4sin (a)

yθyθy

y 可取值的範圍下列各式中可取任意實數值，試求若



解：

例 5.20

的極大及極小值試求取任意實數值中，在函數

sincos23 2

y

y

2sincos23 y


)cos1(cos23 2

1)1cos2(cos2

1)1(cos 2

1cos1

1)(cos 2

，並且，對任何實數值的便可得極大值　取極大值時，當

y

5 11)(1

)1(cos 1cos 2

2

的極大值得極大值，因此，當

y

1 11)1(

)1(cos 1cos 2

2

的極小值　

得極小值，同理，當y



y = Asinx 的圖像 (A > 0)



y = Asinx 的圖像 (A > 0)

5.33 圖



y = sin x 的圖像 ( > 0)




5.34 圖




5.34 圖

，即的周期是注意，函數2

2 2sin xy



y = sin(x + ) 的圖像




5.35 圖




5.35 圖

單位向左平移3



y = sinx + B 的圖像 (B >0)



5.36 圖





5.36 圖

單位移垂直向上

1

5.1 弧度制

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Transcript of 5.1 弧度制