5. Prediction de betas

103Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 18 (29): 103-119, enero-junio de 2005

PREDICCIÓN DE BETAS Y VaR DE PORTAFOLIOS DE ACCIONES MEDIANTE EL FILTRO DE KALMAN Y LOS MODELOS GARCH

PREDICCIÓN DE BETAS Y VARDE PORTAFOLIOS DE ACCIONES

MEDIANTE EL FILTRO DE KALMAN

Y LOS MODELOS GARCH*

Norman Giraldo Gómez* *

* Este artículo es resultado del proyecto de investigación: Cálculo del VaR mediante el filtro de Kalman,financiado por el DIME de la Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín. Contrato No. 030802656,durante el período 2003-2004. El autor agradece al DIME por el apoyo prestado y a uno de los evaluadorespor las sugerencias hechas. Este artículo se recibió el 28-02-2005 y se aprobó el 29-05-2005.

** Magíster en Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, 1989; Matemático, Universidad Nacional deColombia, 1982. Profesor asociado a la Escuela de Estadística, Universidad Nacional de Colombia, Medellín,Colombia. Correo electrónico: [email protected].

5. Prediction de betas.p65 09/08/05, 10:52 p.m.103

104 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 18 (29): 103-119, enero-junio de 2005

NORMAN GIRALDO GÓMEZ

RESUMEN

En este trabajo se estudió el desempeño deun estimador del VaR de portafolios de ac-ciones basado en el cálculo de los coeficien-tes beta de las acciones que lo conforman,conocido como el VaR factorial. Para ellose proyectaron tales betas recursivamente,por medio del filtro de Kalman y modelandoel término, que depende de la volatilidad delos rendimientos del mercado, de acuerdocon modelos condicionalmente heterocedás-ticos del tipo GARCH, EGARCH y GJR. Apartir de simulaciones basadas en un mode-lo de baja oscilación para las betas, se com-pararon (con la metodología media-varianzade RiskMetrics) los resultados de estosmodelos con el VaR calculado y se introdu-jeron dos pruebas de hipótesis para realizartal comparación. La conclusión es que tan-to el estimador propuesto como el de Risk-Metrics pronostican correctamente elnúmero de casos en los cuales los rendi-mientos extremos negativos de un portafo-lio superan el margen del VaR. No obstante,el estimador propuesto calcula de forma másprecisa que el método de RiskMetrics elvalor mediante el cual se supera tal margen.

Palabras clave: CAPM, valor en riesgo, fil-tro de Kalman, betas, heterocedasticidad,GARCH.

ABSTRACT

Beta and VaR Prediction for Stock Portfo-lios using Kalman’s Filter and GARCHModels

This paper studies the performance of anestimator used to calculate VaR for a stockportfolio using stock Beta coefficients. Suchcoefficients are recursively projected usingKalman�s filter and modelling the market-volatility restrained term according to con-ditionally heteroscedastic GARCH, EGARCHand GJR models. A low Beta oscillation modelis used to carry out diverse simulations andthe results are compared with RiskMetricsmean-variance. Two hypothesis tests wereintroduced. We conclude that the new esti-mator is as effective as the one used byRiskMetrics to foresee those cases in whichextremely negative yields overflow the VaRmargin. However, our estimator is a betterpredictor of the excess amount on VaR mar-gin than the one used by RiskMetrics.

Key words: CAPM, value at risk, Kalman�sfilter, betas, heterocedasticity, GARCH.




La metodología difundida por RiskMetrics(1996) para la estimación del valor en riesgo(VaR) de un portafolio en el período [t, t+1],con un índice de confianza 100(1-α), se de-fine por la expresión:

1/ 2

,1 1

( ) ( ).

. ( ) ( ) ( ) .

N

k ki j i ji j

VaR t z V t

t t t

α

ω ω σ= =

= −

∑ ∑

El VaR factorial es un método alterno, basa-do en las betas de las acciones que confor-man el portafolio, y se define como:

( )1/ 22

2 2 21 1

( ) ( ).

. ( ) ( )k k

m j j j jj j

VaR t z V t

t t

β α

σ ω β ω ν= =

= −

+ ∑ ∑

De acuerdo con la ecuación anterior2 ( ( ))m mVar r tσ = es la varianza del rendimien-

to del portafolio de mercado, asumida cons-tante, al igual que las betas (Vilariño, 2001).Varios modelos para la estimación de lasbetas mediante el filtro de Kalman los hadesarrollado Wells (1994 y 1996), en unalínea de trabajos que examina la validez dela hipótesis de estabilidad de las betas en elcontexto de la teoría del Capital AssetPricing Model (CAPM), mediante modeloseconométricos con coeficientes variables.

El método de cálculo del VaR con el modelofactorial en que se incorporan betas variablesy su proyección mediante el filtro de Kalmanlo desarrollaron Berardi, Corradin y Somma-campagna (2003). Hurtado (2004) realizó unestudio con acciones de la Bolsa de Colombia,donde incorporó modelos tipo GARCH en laformula del estimador VaR factorial. Shah yMoonis (2003) utilizan una variante del filtrode Kalman con errores GARCH, propuesta por

Harvey, Ruiz y Sentana (1992) para la estima-ción del VaR. Por su parte, Nelson y Kim(1999) tratan con profundidad esta variante.

El debate sobre si las betas de acciones sonvariables o no es extenso, aunque un resu-men se puede encontrar en Brooks, Faff yMcKenzie (1998), así como en los trabajosde Wells (1994 y 1996). Hurtado (2004) con-firma la variabilidad de las betas del mercadocolombiano aplicando diez pruebas estadísti-cas especiales. Debe tenerse en cuenta, sinembargo, que las betas son variables no ob-servables, y esto dificulta justificar un méto-do de cálculo particular y probar la hipótesisde variabilidad. Por lo tanto, todas las prue-bas de esta autora se basan en mínimos cua-drados ordinarios, método sobre el cualtambién hay estudios cuyos resultados nosiempre son satisfactorios.

En la bibliografía sobre cálculo de modelosde regresión con parámetros variables se hanpropuesto, al menos, cuatro modelos para elcaso de las betas variables de la teoría CAPM:(1) con coeficientes aleatorios, (2) con régi-men variable, (3) con parámetros que siguenun modelo markoviano (filtro de Kalman) y(4) con variación sistemática en los paráme-tros (véase Fabozzi y Francis, 1978). El ter-cer modelo asume un modelo autorregresivode orden 1, AR(1) para las betas, que puedeexhibir trayectorias muy oscilantes, a menosque exista una raíz unitaria; sin embargo, estecaso no estacionario es poco realista.

A nuestro juicio, es más aceptable asumirque las betas fluctúan entre límites fijos du-rante plazos muy largos, pues cambios fuer-tes solamente se presentarían cuando elemisor se fusiona o se divide o cuando hay




fuertes variaciones macroeconómicas. Eneste trabajo se propone un modelo estocás-tico con oscilaciones lentas, sin saltos, paralas betas, compatible con un cálculo diario,aunque la frecuencia diaria no es común enla estimación de las betas.

Para este modelo estocástico se prefieren fre-cuencias mensuales o semanales, con perío-dos de, por lo menos, cinco años. Pero si sepiensan aplicar las betas para calcular el VaRde un portafolio, necesariamente habría queutilizar frecuencias diarias o semanales �noes extraño pensar en proyecciones en tiemporeal�. Las betas son estadísticas importantesen econometría financiera. Por ejemplo, seutilizan en la estimación de la cobertura paraportafolios mediante futuros y opciones so-bre índices bursátiles. Sin embargo, asumirque las betas varían en el tiempo, sugiere unproblema de cálculo complejo, pues la esti-mación equivocada de las betas puede tenerconsecuencias graves. Gyshels (1998) pre-senta una discusión sobre los riesgos de asu-mir betas variables y realizar un cálculo erróneo,frente al supuesto de betas constantes.

El aporte de este trabajo consiste en definirun modelo con oscilaciones lentas parabetas, que permite simular los rendimien-tos de las acciones de acuerdo con el mo-delo CAPM, incorporando efectos deheterocedasticidad y asimetría, o leverage,del mercado, mediante tres tipos de mode-los para la varianza del rendimiento del índi-ce del mercado, 2 ( ) ( ( ))m mt Var r tσ = , GARCH,EGARCH y GJR.

Además, se propone un estimador del VaR,basado en la fórmula del VaR factorial, peroque calcula de manera recursiva las betas yproyecta la varianza del rendimiento del índi-

ce del mercado mediante cada uno de los tresmodelos propuestos. De esta forma se co-nocen las betas a priori y se puede compro-bar que el método produce cálculos ypronósticos (a un paso) bastante aceptables.Igualmente, se puede comparar el desempe-ño del método RiskMetrics con el métodopropuesto, sabiendo de antemano que los ren-dimientos de las acciones y del mercado tie-nen efectos heterocedásticos y de leverage.

Por lo tanto, se introduce una prueba de sumade rangos de Wilcoxon-Mann-Whitney paracomparar el desempeño de los pronósticosdel VaR. Los resultados muestran que el esti-mador sugerido captura mejor la volatilidadde los rendimientos del portafolio y producevalores menos sesgados de los extremos ne-gativos que superan el VaR, que los que pro-duce el VaR de RiskMetrics.

El artículo está organizado de la siguientemanera: en la sección 1 se establece la nota-ción básica y los supuestos del modeloCAPM estándar. En la 2 se define el modelode variables de estado y se introduce el esti-mador para este modelo (filtro de Kalman).En la sección 3 se desarrolla el modelo devariables de estado para el modelo CAPM.En la 4 se presenta el estimador propuesto.En la 5 se define el modelo de simulaciónutilizado, y en la 6 se presentan los resulta-dos de los cálculos y las pruebas de hipóte-sis. Por último, se dan las conclusiones delestudio.

1. El Modelo CAPM

El modelo CAPM estándar es el marco teó-rico de este trabajo. Para su definición seintroducen las siguientes variables. Se asu-men n acciones transadas en la Bolsa. Elprecio de cierre de la j-ésima acción, al final




del período [t-1,t], se denota por el procesoestocástico PJ(t) > 0, t = 1, 2,� El rendi-miento logarítmico de la acción j-ésima enel período [t,t+1] se define como:

( ) ln( ( 1) / ( ))j j jr t P t P t= +

El portafolio de mercado consiste en el totalde todas las n acciones. Su rendimiento estádado por:

1( ) ( ) ( )

nm j jj

r t t r tω=

= ∑

De acuerdo con la ecuación, ωj(t) es el co-ciente entre el valor total de las unidades dela j-ésima acción y el valor total del portafo-lio de mercado en el tiempo t, y dado que noes un valor controlable, se asume que esaleatorio. La tasa sin riesgo de crédito delmercado, efectiva para el período [t,t+1],se indica por i(t), y la correspondiente tasacontinua se expresa por r(t) = ln(1+i(t)).Asumimos que r(t) es un proceso estocás-tico con valores en ( , )−∞ ∞ . El CAPM esta-blece que para la acción j-ésima, si se ajustael modelo de regresión lineal, es:

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ),j j j m jr t r t r t r t tα β ε− = + − + (1.1)

Para t = 1, 2,�, donde las εj(t) son varia-bles aleatorias normales independientes eidénticamente distribuidas, con ( ( )) 0jE tε =y 2( ( ))j jVar tε ν= . Entonces se debe cumplir:

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]j j mE r t r t E r t r tβ− = − . (1.2)

Es decir, no rechaza la hipótesis nulaH0:α j= 0 . El coeficiente beta (βj) establecela relación entre la prima de riesgo para elinversionista en la acción j-ésima y la primade riesgo del mercado, entendidas ambascomo la diferencia entre la rentabilidad espe-rada y la rentabilidad sin riesgo del mercado.

Estudios con datos de mercados de diferen-tes países han mostrado que los coeficientesbeta, para acciones individuales o de porta-folios, no son estables en el tiempo. Por ejem-plo, Fabozzi y Francis (1978), Bos y Newbold(1984) y Brooks, Faff y McKenzie (1998).En este estudio se asume que las betas de-penden de t, y escribimos βj(t), y que los nbetas del portafolio de mercado conformanun proceso aleatorio multivariado β(t) =(β1(t),�, βn(t)), t = 1, 2,� El modelo de ladinámica del vector β(t), para portafolios deinversionistas, no para el del mercado, se de-fine a partir del filtro de Kalman, el cual sedescribe a continuación.

2. Filtro de Kalman

El filtro de Kalman es un procedimiento paracalcular y pronosticar, de manera recursiva,un proceso estocástico no observable, ba-sándose en la información de otro procesoobservable. En las definiciones que siguen,los vectores se asumen como vectores co-lumna y una comilla sencilla indica el vectortranspuesto. Suponga que los procesos ndimensionales:

( ) ( ( ),..., ( )) 'nt t tβ β β= ,

1( ) ( ( ),..., ( )) 'ny t y t y t= ,

Éstos son tales que 2( ( ))jE tβ < ∞ y2( ( ))iE y t < ∞ , para j = 1, 2,�, n, i = 1, 2,�,

n, t = 1, 2,�, y satisfacen el siguiente siste-ma de ecuaciones, denominado sistema deecuaciones de estado:

( ) ( ) ( 1) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ) ( ),t F t t c t t

y t Z t t d t tβ β η

β ε= − + += + + (2.1)

Donde F(t) y Z(t) son matrices cuadradas dedimensión n, conocidas para todo t, y c(t),




d(t) son vectores i dimensionales, conoci-dos para todo t, al igual que el valor inicialβ(t). Se asume que los vectores aleatorios ndimensionales η(t), ε(t) forman una sucesiónde variables normales multivariadas indepen-dientes, con:

( ( )) 0E tη = ,( ( ) ( ) ') ( )E t t R tη η = ,( ( )) 0E tε = ,( ( ) ( ) ') ( )E t t Q tε ε = ,

En las ecuaciones R(t) y Q(t) son matricesnxn, definidas positivas, conocidas para todot. Además, se asume, en primer lugar, que

( ( ) ( ) ') 0E t sη ε = , para todos t y s, y, en se-gundo lugar, que el proceso y(t) es observa-ble pero el β(t) no. El objetivo es calcularβ(t) basándose en la información disponiblede y(t). Desde el supuesto de normalidad delos errores, en el modelo 2.1 se definen acontinuación los estimadores de interés.

Definición 2.1. El valor calculado de β(t)se define como la esperanza condicionalb(t) = E(β(t)| y(s), s = 1, 2,�, t). Por otraparte, el valor de pronóstico de β(t) se defi-ne como la esperanza condicionalb(t | t-1) = E(β(t)| y(s), s = 1, 2, �, t-1).

Además, se definen las matrices:( ) (( ( ) ( ))( ( ) ( )) ' | ( ), 1,..., )P t E t b t t b t y s s tβ β= − − =

( | 1) (( ( ) ( | 1))( ( ) ( | 1)) ' | ( ),1,..., 1)

P t t E t b t t t b t t y s st

β β− = − − − −= −

Tales matrices se interpretan como las ma-trices de varianzas y covarianzas de los erro-res de cálculo.

Definición 2.2. El filtro de Kalman consisteen un conjunto de ecuaciones que actualizan

los valores de b(t), b(t|t-1), P(t) y P(t|t-1),t = 1, 2,�, basándose en los valores observa-dos del proceso y(t), y a partir de los valoresiniciales b(1|0) y P(1|0). Las ecuaciones son:

1( ) ( | 1) ( )[ ( ) ( | 1) ( ) ' ( )]( ) ( | 1) ( )[ ( ) ( ) ( | 1) ( )]( 1| ) ( 1) ( ) ( 1)( ) ( ( ) ( )) ( | 1)( 1| ) ( 1) ( ) ( 1) ' ( ).

K t P t t Z t Z t P t t Z t Q tb t b t t K t y t Z t b t t d tb t t F t b t c tP t I K t Z t P t tP t t F t P t F t R t

−= − − += − + − − −

+ = + + += − −

+ = + + +

(2.2)

Tanto en Harvey (1989) como en Nelson yKim (1999) se encuentran las definicionesy detalles sobre el filtro de Kalman.

Propiedades del filtro de Kalman. A fin depoder establecer conclusiones en el estudio,se requieren algunas propiedades del filtro:� Bajo el supuesto de normalidad de β(t),

b(t) es el estimador de menor error cua-drático medio de β(t). Entre tanto, P(t)es la matriz de varianzas covarianza delerror β(t)-b(t). Si no se cumple el supuestode normalidad b(t), calculado con las ecua-ciones 2.2, proporciona todavía un esti-mador que es el estimador lineal conmenor error cuadrático medio entre to-dos los estimadores lineales de β(t), ba-sados en la información y(s), s = 1,�, t.

� Para que el filtro tenga un desempeñoóptimo se requiere especificar los pará-metros correctamente, es decir, las ma-trices R y Q deben estar cerca de losvalores reales, al igual que las condicio-nes iniciales b(1|0) y P(1|0).

� Aquellas matrices R y Q con númeroscondicionales muy altos pueden deterio-rar los estimadores b(t), si y(t) presentavalores extremos.

� El filtro no es robusto. En la ecuación2.2, b(t) depende linealmente de la nue-




va observación y(t). Existen versionesrobustas del filtro de Kalman. Pero re-quieren una estimación a priori de lamagnitud de las desviaciones de y(t) ode Z(t), para limitar el efecto de errorese incertidumbres en los estimadores.

� También se afectan los estimadores silas matrices F(t) y Z(t) presentan algúntipo de inestabilidad, por ejemplo, un nú-mero condicional alto.

� El filtro no requiere que los procesos in-volucrados sean estacionarios en cova-rianza, aunque es una propiedad deseable.Por ejemplo, la matriz F(t) puede teneralgún valor propio fuera del círculo unita-rio. El filtro utiliza mínimos cuadradosen cada actualización de b(t), pero nominimiza una función de pérdida sobretoda la muestra. Por lo tanto, utilizar mo-delos no estacionarios no entra en con-flicto con la estimación por mínimoscuadrados. Sobre este punto se puedeconsultar Sayed (2001).

A continuación se replantea el modeloCAPM como un sistema de ecuaciones deestado (2.1) para aplicar el filtro de Kalman(2.2) y obtener los estimadores de las betas.

3. Modelos para las betas

Tomamos como el proceso no observado elvector de los coeficientes betas del modelo1.1, 1( ) ( ( ),..., ( ))kt t tβ β β= . El número k deacciones es menor que n (total de accionesdel mercado). Como el proceso observadotomamos al vector y(t), de tal forma que sucomponente j-ésimo es:

( ) ( ) ( )j jy t R t r t= −

Entonces, definimos la matriz Z(t) como lamatriz diagonal,

( ) ( ) , ( ) ( ) ( ),k mZ t v t I v t r t r t= = −

En la ecuación, Ik es la matriz identidad dedimensión kxk. El vector d(t) se toma comocero, y el vector c(t), constante. La defini-ción de los errores ( ), ( )t tη ε es igual a ladada en la sección 1, excepto que las ma-trices R(t) y Q(t) se toman constantes eiguales a R y Q, respectivamente. La ma-triz F(t) se toma diagonal y constante,

1( ,..., )kF Diag φ φ= . Así, cada βj(t) se mo-dela como un proceso autorregresivo deorden 1 [AR(1)]: ( ) ( 1) ( )j j j j jt c t tβ φ β η= + − + .Por lo tanto, el sistema de variables de es-tados (2.1) queda de la forma:

( ) ( 1) ( ),( ) ( ) ( ) ( ).t c F t t

y t Z t t tβ β η

β ε= + − += + (3.1)

Los parámetros que se van a calcular antesde poner en uso el filtro de Kalman en elsistema 3.1 son: las matrices R y Q, el vectorc y el vector 1( ,..., ) 'kφ φ φ= . Además, debenproporcionarse los valores iniciales b(1|0) yP(1|0). En la sección 5 se discute el proble-ma de la implementación de estos valores yotros aspectos del cálculo con el filtro.

4. Cálculo del VaR

Consideremos nuevamente un portafolio deacciones, como en la sección 1. A diferen-cia del portafolio del mercado, éste contie-ne sólo 1k ≥ del total de acciones transadasen la Bolsa. Como en esa sección, el rendi-miento de este portafolio está dado por:

1( ) ( ) ( )

kp j jj

r t t r tω=

= ∑ ,




donde ωj(t) es el cociente entre el valor totalde las unidades de la j-ésima acción y el va-lor total del portafolio en el tiempo t. A dife-rencia del portafolio de mercado, las ωj(t)se asumen ahora definidas al inicio de cadaperíodo [t,t+1] y, por lo tanto, no se consi-deran aleatorias. Además, se define el valorde este portafolio en t como:

1( ) ( ) ( )

kj jj

V t N t P t=

= ∑ ,

donde ( ) 0jN t ≥ es una sucesión no aleatoriaque representa el número de unidades de laacción j-ésima. Se asume la posibilidad decambiar Nj(t) al inicio de cada período[t,t+1] y que para todo t al menos una Nj(t)es positiva. Luego, ( ) ( ) ( ) / ( )j j jt N t P t V tω = .El cambio porcentual de V(t) en el período[t,t+1] se puede aproximar con rendimientoen t. Es decir,

( 1) ( ) ( ) ( )pV t V t r t V t+ − = (4.1)

Supuesto 1. El supuesto utilizado en RiskMetrics para definir el VaR radica en que elvector 1( ) ( ( ),..., ( )) 'kr t r t r t= se distribuye nor-mal multivariado con media cero y matriz devarianzas covarianzas, dada por:

,[ ( )] [ ( ( ), ( )]t i j i jt Cov r t r tσΣ = =

Esta ecuación se asume como definida po-sitiva para todo t = 1, 2,� Luego, ( )pr t sedistribuye normal con media cero y varianza:

,1 1( ( )) ( ) ( ) ( )

k kp i j i ji j

Var r t t t tω ω σ= =

= ∑ ∑ .

Si se reemplaza en la ecuación 4.1 el valorde ( )pr t por el de un percentil suyo, asocia-do con una probabilidad muy baja β, porejemplo, 5%, el miembro de la derecha en4.1 representaría una pérdida extrema en el

portafolio, en el período [t,t+1], con unaprobabilidad α. Tal pérdida extrema defineel VaR en t.

Definición 4.1. El VaR media-varianza delportafolio en el período [t,t+1], con un ín-dice de confianza 100(1-α), basándose enel supuesto de normalidad multivariada delvector R(t), se define como:

1/ 2

,1 1

( ) ( ).

. ( ) ( ) ( )

N

k ki j i ji j

VaR t z V t

t t t

α

ω ω σ= =

= −

∑ ∑ (4.2)

Su valor proyectado se obtiene reemplazan-do , ( )i j tσ en 4.2 por un estimador ,� ( )i j tσ ,basándose en la información hasta t de losrendimientos. Es el estimador usual de unamatriz de covarianzas �más detalles de esteproceso se pueden encontrar Dowd (1998),capítulo 3�.

Definición 4.2. El VaR factorial, calculadoen función de las betas del portafolio, convarianza heterocedástica, se define como:

( )22

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

km j jj

VaR t z V t t t tβ α σ ω β=

= − ∑1/ 2

2,1

( )k

j j jjt Qω

=+ ∑ (4.3)

Nótese que en el modelo CAPM de la ecua-ción 1.1 la varianza del error es 2( ( ))j jVar tε ν= .Al modelar con variables de estado, se intro-duce la matriz Q, tal que 2

,j j jQ ν= . Además,2 ( ) ( ( ))m t mt Var r tσ = es la varianza del rendi-

miento del portafolio de mercado, y ( )mr t semodela con uno de tres modelos siguientes.

En las siguientes definiciones se utilizó lanotación del Toolbox GARCH de Matlab




(páginas 2-3 a 2-6). Sobre la teoría al res-pecto sugerimos remitirse a Frances y VanDijk (1999), a Nelson (1991) y a Glosten,Jagannatham y Runkle (1993).

Primero: modelo r(t) = AR(r)-GARCH(p,q).Se define como el sistema de ecuaciones:

1

2 21

21

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ),

( ) ( )

( ),

rii

pii

qjj

r t c r t i e t

e t t a t

t k t i

e t j

ϕ

σ

σ γ σ

α

=

=

=

= + − +

=

= + − +

+ −

∑

∑∑

(4.4)

Para t = 1, 2,�, t, y donde a(t) es una su-cesión iid, normal (0,1) o t-student con 2ν ≥grados de libertad. Se requieren las siguien-tes restricciones: que r(t) sea estacionarioen covarianza y que:

0, 0, 0, 1i i i ii i

k γ α γ α> ≥ ≥ + <∑ ∑ .

Segundo: modelo r(t) = AR(r)-EGARCH(p,q).En este caso se toman las expresiones parar(t) y e(t) en el sistema de ecuaciones 4.4, yla última se reemplaza por:

2 21

ln ( ) ln ( )q

iit k t iσ γ σ

== + − +∑

1 1

| ( ) | ( )( ) ( )

p pj jj j

e t j e t jt j t j

α λσ σ= =

− −+ +− −∑ ∑ (4.5)

A diferencia de los otros dos modelos, elEGARCH no necesita restricciones sobre losparámetros, excepto que las raíces de laecuación 11 0q

qz zγ γ− − − =L sean enmódulo mayores de 1, para garantizar queel proceso 2ln (t)σ sea estacionario en cova-rianza. Los parámetros jα son responsa-bles de la asimetría.

Tercero: modelo r(t) = AR(r)-GJR(p,q).Como en el caso anterior, se toman las dosprimeras expresiones del sistema de ecua-ciones 4.4, y la última se reemplaza por:

2 2 21 1

( ) ( ) ( )q p

i ji jt k t i e t jσ γ σ α

= == + − + −∑ ∑

21

( ( ) 0) ( ),p

jjI e t j e t jλ

=+ − < −∑ (4.6)

En ésta I(A) = 1, si la condición A es cierta,y cero en otro caso. Las restricciones son:

12

0, 0, 0, 0,

1i i i i

i j ji j

k γ α α λ

γ α λ

> ≥ ≥ + ≥

+ + <∑ ∑

La fórmula del VaR factorial (4.3) aparece enVilariño (2001), con ωj, βj y 2

Mσ , indepen-dientes de t. Como se mencionó en la intro-ducción, el aporte de este trabajo consiste enintroducir modelos GARCH, EGARCH y GJRpara la varianza de los rendimientos del mer-cado, después de extraer de éstos una com-ponente autorregresiva de orden 1. Los dosúltimos modelos capturan posibles efectos deasimetría o leverage del mercado. Esto es,se dice que un mercado, portafolio o acciónpresenta efectos de asimetría si al ajustar unmodelo EGARCH, al menos uno de los pará-metros αj es significativo, o si al ajustar unmodelo GJR, al menos uno de los paráme-tros λj es significativo. En la sección 5 sedefinen el modelo de simulación y el proce-dimiento para implementar el filtro de Kalman.

5. Modelo de simulación

5.1 Definición del modelo parasimulación

El objetivo de esta sección es definir unmodelo para simular el sistema 3.1, es de-




cir, el modelo CAPM con betas aleatorias.La dimensión de los vectores se toma comok = 8, 8( ), ( )t y t Rβ ∈ .

Por lo tanto, definimos la matriz Z(t) en laecuación 3.1, tomando r(t) = 0, luego

8( ) ( )mZ t r t I= , donde rm(t) es el rendimien-to del portafolio de mercado. Entonces, semodela de acuerdo con uno de los tres mo-delos de la sección anterior. Las distribu-ciones de los errores en 3.1 toman normalesmultivariadas de la forma ( ) . . (0, )t i i dN Qε ! ,

( ) ~ . . N(0,R)t i i dη , donde las matrices Q yR, 8x8, se toman como definidas positivas.El proceso 8( ) , 0,1,...t R tβ ∈ = , se define deforma que cada componente βj(t) está des-crito por un proceso gaussiano estacionarioen covarianza, poco oscilante, de media ceroy función de autocovarianza ( )R τ , dada por:

2 2 2/ 3( ) (1 | | | | ) exp( | |),, 0, 0,

R τ σ α τ α τ α ττ α σ= + + −

−∞ < < ∞ > >

Es decir, la correlación entre β(t) y ( )tβ τ−está dada por R(τ) . Para valores de τ pe-queños R(τ) se mantiene cercano a 1, siem-pre que α sea pequeño. Con ello se lograque el proceso oscile lentamente.1 Finalmen-te las betas se escalan para que su rangoestén entre 0,1 y 1,3, que se asume en esteestudio como un rango típico para betas deacciones.

Es preciso observar que no se está cumplien-do exactamente con el sistema 3.1, porque elproceso β(t) simulado como gaussiano nocorresponde necesariamente a un modeloAR(1), markoviano, como en la primera ecua-ción del sistema 3.1. Sin embargo, esto esconveniente para examinar la capacidad delfiltro de Kalman de estimar β(t) cuándo nose cumple el supuesto de proceso AR(1) paralas betas. El Cuadro 1 muestra los paráme-tros utilizados para simular el modelo en cadauno de los tres casos.

1 Para ejemplos adicionales de funciones de autoco-varianza, remitimos a Sveshnikov (1968), capítu-lo 7.

Parámetro Parámetros de la función de autocovarianza α 0,038 0,038 0,038 σ 0,73 0,73 0,73

Parámetros de los modelos de volatilidad AR(1)-ARCH(1,1) AR(1)-EGARCH(1,1) AR(1)-JR(1,1) c 0,000761 0,0018 0,001251

1ϕ 0,365600 0,4000 0,327000 k 0,0000006 -0,2117 0,000083

1α 0,056584 0,1400 0,142698

1γ 0,94057 0,9800 0,811840

jλ 0,0520 0,047772

Cuadro 1Parámetros utilizados en la simulación

Fuente: elaboración propia.




Los parámetros del Cuadro 1 correspondena los que se obtienen, en cada caso, median-te la estimación por máxima verosimilitudde la serie de rendimientos logarítmicos delíndice IBOMED-IGBC diario para el perío-do 01-02-2001 a 12-30-2003. El 7 de marzode 2001 el IBOMED desaparece para darlugar al IGBC. Aunque se trata de dos se-ries, se tomó como una sola, para obtenervalores realistas de los parámetros de simu-lación. El portafolio considerado, basándo-se en estas ocho acciones simuladas, seconformó según la teoría de Markovitz, enque se asume un rendimiento medio. No seprofundiza esta parte, porque es una meto-dología bien conocida.

5.2 Justificación de este modelo

En el modelo simulado, las betas tienen tra-yectorias poco oscilatorias. Con ello se bus-

ca reproducir una dinámica que no varíasignificativamente en períodos cortos. Lamatriz Z(t) depende del valor simulado derm(t); de un proceso AR(1) con varianzaheterocedástica y asimetría (leverage),para proveer el efecto de valores extremosen los rendimientos de las acciones (no nor-malidad); así como de los efectos de asi-metría y de agrupamiento (clúster) de datosextremos (períodos de inestabilidad en losprecios de Bolsa). El Gráfico 1 muestra unatrayectoria simulada de una de las betas (lí-nea continua sin oscilaciones), contra elvalor calculado mediante el filtro de Kalman�valor de b(t)�, para el caso en el cualrm(t) es un AR(1)-GJR(1,1).

5.3 Cálculo de los parámetros delfiltro de Kalman

Los parámetros que se van a calcular sonlas matrices Q, R y F, y las condiciones

Gráfico 1Beta simulada y calculada, caso AR(1)-GJR(1,1)





iniciales b(1|0), P(1|0). Este punto es re-conocido como particularmente difícil enla implementación del filtro de Kalman. Unmétodo consiste en la aplicación del algo-ritmo EM en series de tiempo segúnShumway y Stoffer (Shumway, 1988). Hur-tado (2004) implementó este método parauna versión univariada del CAPM, es de-cir, acción por acción.

En este trabajo se realizó un cálculo previode las betas mediante un modelo de regre-sión dinámica o de coeficientes variables parala segunda ecuación de 3.1. Este método sediferencia del filtro en que no da pronósti-cos; solamente, valores estimados (Young,2000). Con los residuos calculados multi-variados se proyecta la matriz Q, y con lasbetas previas se ajusta un modelo AR(1)multivariado y se estima la matriz de transi-ción F y la matriz de covarianza R. El méto-do usual para proyectar betas mediante unaregresión lineal sobre una ventana móvil(rolling regression) da proyecciones muysesgadas de las betas simuladas desde elmodelo propuesto.

5.4 Procedimientos para compararel desempeño de los estimadores

Para comparar los estimadores propuestos(4.2 y 4.3) utilizamos dos pruebas de hipó-tesis: una que determina si el estimador es eladecuado y otra que compara dos distribu-ciones no normales.

5.4.1 Prueba de hipótesis paradeterminar si el estimador esadecuado

Para determinar si el estimador es adecua-do, utilizamos una prueba de hipótesis clá-sica que compara una frecuencia empírica

con una teórica. Por lo tanto, definimos laprobabilidad:

� ( )( )( )p

VaR tp P r tV t

αα

= ≤

De acuerdo con la ecuación, � ( )VaR tα es elVaR estimado con uno de los dos métodos,para un índice de confianza 100(1-α)%, yla hipótesis, :oH pα α= . Para cada estima-dor del VaR se calcula, a la vez, el estimadorde máxima verosimilitud de αp :

1

� ( )1� ( )( )

T

pt

VaR tp I r tT V t

αα

=

= ≤ ∑

y un intervalo de confianza para pα de 95%,1 2� �[ , ].IC p p= No se rechaza Ho, a un índice

de significación de 5% si 1 2� �[ , ].p pα ∈ (John-son, Kotz y Kemp, 1992, pp. 124-130). Encaso de no rechazar H0, el estimador del VaRse considera adecuado, e inversamente. Enla bibliografía acerca del VaR esta prueba seconoce como el test de Kupiec.

5.4.2 Prueba de hipótesis paracomparar dos distribuciones nonormales

En caso de que los estimadores presentadosen las ecuaciones 4.2 y 4.3 resulten adecua-dos según la prueba anterior, proponemos uti-lizar la prueba de suma de rangos de Wilcoxonpara compararlos. Por ende, definimos lasvariables condicionales no negativas:

� �( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )N N

p pVaR t VaR tX t r t r t

V t V t= − ≤

� �( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )p p

VaR t VaR tY t r t r t

V t V tβ β= − ≤




X(t) y Y(t) son las diferencias entre el co-ciente VaR(t)/V(t) y el rendimiento extremo,en el caso de que tal rendimiento haya sidomenor que este cociente, para los modelos4.2 y 4.3, respectivamente. Estas variablesson errores en la predicción del rendimientoextremo. Los valores de t se toman tal quecumpla, en cada caso:

ˆ ( )( )( )p

VaR tr tV t

≤

La prueba de suma de rangos de Wilcoxon-Mann-Whitney se utiliza para decidir si losvalores X(t) son mayores que los Y(t). Asu-mimos que las muestras son independien-tes. Las hipótesis son:

0

1

: ( ) 1/ 2: ( ) 1/ 2

H P X YH P X Y

> => >

En caso de rechazar H0, con un índice de 5%se concluiría que los errores con el métodopropuesto del VaR factorial son menores quelos del método del VaR media-varianza.

6. Resultados

Las pruebas de hipótesis anteriores se reali-zaron 100 veces, basándose en simulacionesde T = 500 datos, cada una. Los resulta-dos de la prueba de hipótesis :oH pα α= estánen el Cuadro 2. Entre tanto, el Cuadro 3 mues-tra los resultados del criterio 5.4.2.

Modelo MV 4.2 Modelo 4.3 Veces sobre 100 que acepta H0 Veces sobre 100 que acepta H0 AR(1)-GARCH(1,1) 81 68 AR(1)-EGARCH(1,1) 83 79 AR(1)-GJR(1,1) 88 63

En la columna 3 del Cuadro 2, la sigla MVcorresponde al modelo media-varianza deRiskMetrics, implementado en el estimador4.2. De 100 repeticiones, el número de ve-ces que no rechaza H0, utilizando el estima-dor propuesto, es mayor que la cantidad deveces en que se usa el de RiskMetrics, enlos tres casos considerados. A partir de es-tos datos, consideramos que tanto el esti-mador 4.2 como el propuesto 4.3 presentanresultados satisfactorios. En conclusión,ambos son estimadores aceptables del VaR,en cuanto la proporción de eventos que so-

brepasan el límite del VaR se calcula correc-tamente (5% en este caso).

Con la prueba de suma de rangos, los re-sultados fueron más concluyentes. Comomínimo, en 90% de los casos el estimadorpropuesto origina estimadores del VaR me-nos sesgados que los correspondientes almétodo de media-varianza. Este resultadocorresponde a todo cuanto se puede apreciaren los gráficos 2, 3 y 4. El VaR media-varianzaaparece graficado con la línea más gruesa.Como se utilizaron los primeros n = 50 da-

Cuadro 2Resultados prueba de una proporción





tos para iniciar la matriz de covarianzas eneste método, este intervalo aparece comocero en cada uno de los gráficos. El VaRcon el método propuesto aparece indicado

como una línea más fina y con una trayec-toria más variable, que captura la volatilidadde los rendimientos del portafolio conside-rado.

Cuadro 3Resultados prueba suma de rangos

Modelo Veces sobre 100 que rechaza H0 AR(1)-GARCH(1,1) 97 AR(1)-EGARCH(1,1) 94 AR(1)-GJR(1,1) 92


Gráfico 2Caso GARCH





Gráfico 3Caso EGARCH


Gráfico 4Caso GJR





Conclusiones

Para el estudio se definió un estimador delVaR de portafolios de acciones, que combinala definición de VaR factorial con la estima-ción de las betas mediante el filtro de Kalmany con la estimación de la volatilidad de losrendimientos del índice de bolsa. Además, secomparó su desempeño con el estimadorestándar en la práctica financiera: la media-varianza, introducida por RiskMetrics.

Para realizar tal comparación se utilizaronsimulaciones de los rendimientos de las ac-ciones, las cuales se basan en un modeloestocástico para las betas, incorporado almodelo CAPM. Con esta estrategia se pudocomprobar que el filtro reproducía con exac-titud las betas simuladas, algo que no puedehacerse en la práctica, debido a que éstasno son observables. Además, al simular elmodelo CAPM, en que se incorporaban losefectos heterocedásticos y asimetría en losrendimientos del índice de la bolsa, se adi-cionó la no normalidad en los rendimientosde las acciones. Finalmente, con estos da-tos simulados, se ajustaron los mismosmodelos para la volatilidad, se calculó el VaRfactorial modificado (mencionado al co-mienzo) y se comparó con el VaR media-varianza.

Dos fueron los resultados obtenidos: prime-ro, ambos estimadores cumplen con fijar unlímite por debajo del cual solamente cae unafracción pequeña de los rendimientos delportafolio (5% para este trabajo). Segundo,el VaR propuesto calcula (pronostica) un VaRen que la diferencia es menor que cuando seusa el VaR de RiskMetrics (sobre todo en loscasos donde el rendimiento del portafolio lo

supera). Es decir, pronostica los peores ca-sos con valores mucho más cercanos a loque va a suceder. En este resultado reside lautilidad del método propuesto.

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5. Prediction de betas

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