5 Le Basi Fisiche della Relativita Generalee la derivazione delle Equazioni di Fried-mann

Fino ad ora ci siamo occupati di caratterizzare la “geometria” di un uni-verso omogeneo ed isotropo in espansione uniforme ottenendo la metrica diRobertson e Walker

ds2 “ dt2 ´

aptq2

c2

”dr2 ` R2 sin2

´ r

R

¯ `d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘ı

Adesso dobbiamo metterci la “fisica” ed e chiaro che, poiche il nostro uni-verso in generale e “curvo”, dovremo utilizzare le equazioni della RelativitaGenerale.

La Relativita Generale e presentata in altri corsi, come ad esempio Astro-fisica delle Alte Energie. In questo corso ci limiteremo ad una rapida pano-ramica per poter giungere al risultato che ci interessa, ovvero l’utilizzo dellametrica RW con le equazioni di campo di Einstein per ottenere le equazioniche regolano aptq.

Il concetto di Relativita riguarda le trasformazioni subite dalle leggi dellaFisica a seguito di trasformazioni dinamiche, ovvero che coinvolgono il tempocome ad esempio le trasformazioni tra sistemi di riferimento in moto l’unorispetto all’altro. Particolare importanza e rivestita dal fatto che le leggi dellaFisica non debbano dipendere dal sistema di riferimento: in sostanza, non sidovrebbero avere sistemi di riferimento “assoluti” ed il Principio Cosmologiconon esprime altro che questo stesso concetto.

La Relativita Galileiana stabilisce l’invarianza formale o covarianza delleequazioni della Meccanica Classica per trasformazioni di Galileo ovvero pertrasformazioni tra sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l’unorispetto all’altro; questi sistemi di riferimento sono detti inerziali. Questacovarianza implica che con le leggi della Meccanica Classica non e possibiledefinire un sistema di riferimento assoluto.

La covarianza per trasformazioni di Galileo non si applica alle equazionidi Maxwell per le quali potrebbe quindi esistere un sistema di riferimentoassoluto, l’etere. L’esperimento di Michelson e Morley aveva proprio lo scopodi misurare la velocita della luce rispetto all’etere.

La Relativita Speciale di Einstein invece stabilisce che le trasformazioniappropriate per i sistemi inerziali sono quelle di Lorentz. Le equazioni diMaxwell sono covarianti per trasformazioni di Lorentz e quindi non e piupossibile definire un riferimento assoluto (l’etere). Anche le equazioni dellaMeccanica Classica possono essere scritte in forma covariante per trasfor-

62

mazioni di Lorentz. Nel limite in cui v{c ! 1 le trasformazioni di Lorentz siriducono alle trasformazioni di Galileo e le equazioni della Meccanica Classicaritornano alla forma covariante per trasformazioni Galileiane. Con la Rela-tivita Speciale si arriva all’introduzione di un continuo quadridimensionalespazio-tempo caratterizzato da una geometria non-Euclidea con metrica

ds2 “ dt2 ´

dl2

c2(5.1)

detta metrica di Minkowski.Le trasformazioni di Lorentz, la metrica di Minkowski e la Relativita

Speciale in genere riguardano i sistemi di riferimento inerziali cosı comeaccadeva per la relativita Galileiana.

Come e possibile trattare i riferimenti inerziali espandendo la teoria dellarelativita speciale? Come tener conto delle forze “apparenti” che potrebberocomparire come avviene per la trattazione classica della meccanica in unsistema di riferimento inerziale?

Il punto di partenza di Einstein fu l’equivalenza tra la massa inerziale e la

massa gravitazionale, come suggerito dall’esperimento di Eotvos. In praticaEinstein partı dalla semplice considerazione che una persona in caduta libera

non percepisce il proprio peso. Infatti il secondo principio della dinamicaa↵erma che

~Fi

“ mi

~a (5.2)

conmi

massa inerziale, ovvero la “resistenza” di un corpo ad essere acceleratoda una forza. La legge di gravitazione universale di Newton, applicata inun campo gravitazionale costante come quello sulla superficie della Terra,a↵erma invece

~Fg

“ mg

~g (5.3)

per cui applicando il II principio si ha

mg

~g “ mi

~a (5.4)

Ponendosi in un riferimento in caduta libera ovvero con accelerazione ~a (quin-di non inerziale) si ha che l’accelerazione e nulla ma la forza totale contieneun contributo dovuto alle forze apparenti per cui

mg

~g ´ mi

~a “ 0 (5.5)

il primo membro rappresenta la forza, il secondo membro il prodotto di massaed accelerazione nel riferimento accelerato. Se m

i

“ mg

allora ~a “ ~g e laforza percepita nel riferimento in caduta libera e

~F “ mg

~g ´ mi

~a “ 0 (5.6)

63

ovvero non si sente il proprio peso!Piu in generale possiamo eliminare la forza di gravita passando ad un

sistema di riferimento non inerziale in caduta libera nel campo gravitazionalee, in pratica, se ne deduce che le forze apparenti dei sistemi non inerziali e leforze gravitazionali devono avere la stessa origine.

E’ importante notare come la gravita possa essere eliminata solo localmen-

te ovvero nelle regioni dello spazio dove si puo considerare costante. Quindiin un’opportuna regione di un qualsiasi campo gravitazionale e possibile ef-fettuare una trasformazione di coordinate che riduca le equazioni alla formatipica di un sistema inerziale, ovvero alle equazioni della Relativita Speciale.

Dopo questa breve introduzione, possiamo passare a vedere quelle che so-no le basi fisiche utilizzate da Einstein per la teoria della Relativita Generale.

1. Il Principio di Relativita: le leggi della fisica sono covarianti per tra-sformazioni di coordinate (ovvero mantengono la stessa forma in tuttii sistemi di riferimento).

2. Il Principio di Equivalenza: massa inerziale e gravitazionale sono ugua-li, m

i

“ mg

, per cui in ogni punto dello spazio-tempo ed in un qualsia-si campo gravitazionale e possibile scegliere un sistema di riferimentoinerziale locale tale che, in un regione piccola dello spazio, le leggi dellafisica abbiano la stessa forma che in un sistema cartesiano non accelera-to in assenza di gravita (ovvero la stessa forma nel caso della RelativitaSpeciale).

3. Il Principio di Mach: le proprieta inerziali locali sono determinate dalladistribuzione di materia ed energia.

Mettendo insieme (1) e (2) e chiaro che posso ottenere le leggi della fisicaa partire da quelle scritte nell’ambito della Relativita Speciale e che devosoltanto trovare il modo di scriverle in forma covariante ovvero invarianteper trasformazione di coordinate nello spazio tempo considerato che saracaratterizzato da una metrica

ds2 “ gµ⌫

xµx⌫ (5.7)

e che sara in generale uno spazio-tempo descritto da una geometria Rieman-niana.

La (3) ci permette di collegare gµ⌫

alla distribuzione di materia ed energianello spazio tempo e quindi di conoscere g

µ⌫

ovvero la geometria dello spazio.Si noti come la Relativita Generale sia una teoria intrinsecamente non-

lineare: infatti un campo gravitazionale dovuto ad una distribuzione di massagenera una certa densita di energia locale in ogni punto dello spazio; dato che

64

E “ mc2, questo significa che c’e una certa densita di massa inerziale associa-ta al campo gravitazionale che e a sua volta sorgente di campo gravitazionale.Questo caso del campo gravitazionale e diverso dal campo elettrico: quest’ul-timo genera una certa densita di energia in ogni punto dello spazio e quindiuna corrispondente densita di massa. Ma la massa non genera un’ulteriorecarica elettrica e quindi non genera ulteriore campo elettrico.

Quando Einstein ricerco la forma piu generale di trasformazione tra si-stemi di riferimento per metriche della forma

ds2 “ gµ⌫

xµx⌫ (5.8)

scoprı, grazie al suo amico matematico Marcel Grossman, che queste eranodate dalle geometrie Riemanniane il cui difetto era quello di essere “nonlineari”. In realta Einstein si rese subito conto che la non linearita era unvantaggio delle geometrie Riemanniane perche la teoria della gravita, comeabbiamo appena visto, deve essere intrinsecamente non lineare.

Vediamo adesso due esempi elementari che pero ci aiutano a capire co-me il principio di equivalenza abbia conseguenze profonde per la nostracomprensione della natura dello spazio tempo in un campo gravitazionale.

5.1 Esempio: il redshift gravitazionale

Consideriamo un riferimento stazionario posto in un campo gravitazionaleuniforme ~g. In base al principio di Equivalenza, questo riferimento e equi-valente ad un riferimento non inerziale uniformemente accelerato con ~a “ ~g(figura 23). Ovvero, un osservatore posto all’interno dell’ascensore non e ingrado di distinguere tramite qualsiasi tipo di misura se si trova in un sistemainerziale posto in un campo gravitazionale o se si trova in un sistema noninerziale uniformemente accelerato.

Consideriamo un’onda elettromagnetica di frequenza ⌫ che si propaga dalso�tto al pavimento dell’ascensore e supponiamo che ~a sia piccola. Se h el’altezza dell’ascensore, l’onda e.m. impiega un tempo t “ h{c per giungeredal so�tto al pavimento dell’ascensore. In base al principio di equivalenzai due ascensori in figura 23 sono perfettamente equivalenti come sistemi diriferimento. Pertanto possiamo considerare la propagazione del fotone nelcaso del riferimento accelerato. Al tempo t in cui i fotoni raggiungono ilpavimento, questo sara stato accelerato a velocita

u “ at “ |~g|t (5.9)

quindi, poiche t “ h{c

u “

|~g|h

c(5.10)

65

~a = �~g

~gh

~v = ~at

Figura 23: Ascensore stazionario in un campo gravitazionale uniforme ~g (sinistra)e ascensore soggetto ad accelerazione uniforme ~a “ ´~g (destra). In base al prin-cipio di equivalenza di Einstein, un osservatore posto dentro l’ascensore non e ingrado di capire in quale dei due casi si trovi.

Per e↵etto Doppler l’onda e osservata dal pavimento a frequenza maggioredi quella a cui e stata emessa dal so�tto e, al primo ordine in u{c, si ha

⌫ 1“ ⌫

´1 `

u

c

¯“ ⌫

ˆ1 `

|~g|h

c2

˙(5.11)

Dal momento che ~g e costante e ~g “ ´

~r�, con � potenziale gravitazionale,si puo scrivere

|~g| “ ´

��

h(5.12)

quindi

⌫ 1“ ⌫

ˆ1 ´

��

SShSSh

c2

˙(5.13)

ovvero

⌫ 1“ ⌫

ˆ1 ´

��

c2

˙(5.14)

Questa e la formula del “redshift gravitazionale” zg

nel limite “Newtoniano”.Ricordando che

zg

“

�o

´ �e

�e

“

⌫ ´ ⌫ 1

⌫(5.15)

66

si ottiene infime

zg

“

��

c2(5.16)

Poiche nel nostro caso il fotone passa da so�tto a pavimento, �� † 0 che im-plica z

g

† 0, ovvero un blueshift. Se la luce si fosse propagata dal pavimentoal so�tto avremmo ottenuto l’e↵etto opposto ovvero un redshift. Quindi lafrequenza delle onde elettromagnetiche dipende dal campo gravitazionale incui si propagano.

Un test di zg

fu proposto da Eddington nel 1924: il valore di zg

per lerighe nello spettro di una nana bianca, Sirio B, doveva essere pari a c z

g

“

20 km s´1. Nel 1925 Adams misuro un valore di 19 km s´1.Consideriamo adesso l’espressione trovata in precedenza

⌫ 1“ ⌫

ˆ1 ´

��

c2

˙(5.17)

ed esprimiamola in funzione dei periodi ricordando che ��{c2 ! 1

1

T 1 “

1

T

ˆ1 ´

��

c2

˙(5.18)

ovvero

T 1“

T`1 ´

��

c

2

˘» T

ˆ1 `

��

c2

˙(5.19)

L’espressione

T 1“ T

ˆ1 `

��

c2

˙(5.20)

e la stessa della dilatazione dei tempi tra sistemi di riferimento inerzialiin relativita speciale. Questa espressione deve valere esattamente per ogniintervallo temporale per cui, in generale, si deve avere

dt1“ dt

ˆ1 `

��

c2

˙(5.21)

Assumiamo adesso che �p8q “ 0 e teniamo conto del fatto che �� “ �prq ´

�p8q allora

dt1 2“ dt2

ˆ1 `

�prq

c2

˙2

(5.22)

e, poiche �prq{c2 ! 1 si ha infine

dt1 2“ dt2

ˆ1 ` 2

�prq

c2

˙(5.23)

67

Se consideriamo l’espressione Newtoniana per � generato da una massa pun-tiforme M

�prq “ ´

GM

r(5.24)

si ottiene

dt1 2“ dt2

ˆ1 ´ 2

GM

rc2

˙(5.25)

e quindi, data la metrica di Minkowski ds2 “ dt1 2´1{c2dl2, possiamo scrivere

ds2 “ dt2ˆ1 ´

2GM

rc2

˙´

1

c2dl2 (5.26)

I coe�cienti della metrica diventano ben piu complessi di quelli dello spaziotempo di Minkowski quando si tenta di considerare l’e↵etto della gravita!

Si noti come dt1, dl sono il tempo e lo spazio misurati da un osservatore inun punto del campo gravitazionale, mentre dt e l’intervallo di tempo misuratodall’osservatore all’infinito.

5.2 Esempio 2: la curvatura dei raggi di luce

Abbiamo appena visto come il principio di equivalenza porti al cambiamentodi dt nella metrica. Vediamo adesso come anche dl debba cambiare. Uti-lizziamo nuovamente il principio di equivalenza e sostituiamo un ascensorestazionario nel campo ~g con uno in un campo gravitazionale nullo ma uni-formemente accelerato con ~a “ ´~g. Consideriamo un raggio di luce che sipropaga orizzontalmente una parte all’altra dell’ascensore.

Nel tempo t in cui il raggio percorre la distanza l per andare da un latoall’altro, l’ascensore si muove diverso l’alto di un tratto

�l “

1

2gt2 (5.27)

pertanto, nel riferimento dell’ascensore il raggio di luce compie un percorsoparabolico. Supponiamo di poter approssimare il percorso parabolico con unarco di circonferenza di raggio R (figura 25). Allora risulta

d sin� “

1

2|~g|t2

poiche � ! 1, sin� « � e quindi dall’equazione precedente si ottiene

� “

|~g|t2

2d(5.28)

68

~a = �~g

~gl

1

2

gt2

Figura 24: Ascensore stazionario in un campo gravitazionale uniforme ~g (sinistra)e ascensore soggetto ad accelerazione uniforme ~a “ ´~g (destra). In base al prin-cipio di equivalenza di Einstein, un osservatore posto dentro l’ascensore non e ingrado di capire in quale dei due casi si trovi.

~a = �~g1

2

gt2

1

2

gt2

d

2�

�

�

l

1

2

gt2

Figura 25: Geometria della propagazione della luce nell’ascensore uniformementeaccelerato.

69

Confondendo l’arco con la corda, il raggio di curvatura della traiettoria R edato da

R2»

d2

4�2“

d2

4|~g|

2t44d2 “

d4

|~g|

2t4(5.29)

Si puo anche scrivere che

d cos� “ l Ñ d « l “ c t (5.30)

poiche cos� « 1. Infine si ottiene

R2“

c4SSt4

|~g|

2SSt4(5.31)

ovvero

R “

c2

|~g|

(5.32)

con R raggio di curvatura del raggio di luce. Quanto trovato per il riferimentouniformemente accelerato e perfettamente equivalente a quello che succedenel riferimento nel campo gravitazionale uniforme. Se ne conclude che ilcammino della luce dipende dall’accelerazione gravitazionale locale ~g. Poichequesta dipende dal gradiente del potenziale gravitazionale ne consegue che ilcammino dei raggi di luce dipende dalla distribuzione di massa.

5.3 Alcuni concetti utili

Prima di procedere oltre ed arrivare a scrivere le equazioni di Einstein chelegano la metrica dello spazio tempo alla distribuzione di massa-energia,dobbiamo richiamare alcuni concetti matematico-geometrici.

Se ~A e un vettore nello spazio tridimensionale, posso definire il quadri-vettore nello spazio tempo

Aµ

“ pA0, ~Aq “ pA0, A1, A2, A3q (5.33)

con A0 componente temporale e A1, A2, A3 componenti spaziali del vettore~A. Quando il quadrivettore e indicato con Aµ (indice in alto) si intenderappresentato in componenti controvarianti, ovvero quelle componenti chesi trasformano come il vettore spostamento di↵erenziale per un cambio dicoordinate.

Se gµ⌫

e il tensore metrico si ha

ds2 “ gµ⌫

dxµdx⌫ (5.34)

70

dove si e usata la convenzione di Einstein, in base alla quale gli indici ripetutirappresentano una somma: nel caso di ds2 l’espressione e equivalente a

ds2 “

4ÿ

µ“0

4ÿ

⌫“0

gµ⌫

dxµdx⌫ (5.35)

dxµ e il quadrivettore spostamento infinitesimo.Il tensore metrico determina il modo di calcolare il prodotto scalare tra

due (quadri)vettori che e quindi legato alla metrica:

A ¨ B “ gµ⌫

AµB⌫ (5.36)

Il tensore metrico permette anche di ottenere le componenti covariantidi un vettore ovvero quelle che si trasformano come l’operatore gradiente difunzione per un cambio di coordinate:

Aµ

“ gµ⌫

A⌫ (5.37)

quindi il tensore metrico gµ⌫

serve anche ad “abbassare” gli indici. Esistonoanche le componenti controvarianti del tensore metrico tali che

Aµ

“ gµ⌫A⌫

(5.38)

e ovviamente deve risultare

gµ⌫g⌫�

“ �µ�

(5.39)

con �µ�

delta di Kronecker (�µ�

“ 1 se µ “ �, �µ�

“ 0 se µ ‰ �). Insostanza, le componenti controvarianti e covarianti del tensore metrico sonol’una l’inverse dell’altra.

Consideriamo adesso una trasformazione di coordinate x Ñ x1.

⇤µ

1µ

“

Bxµ

1

Bxµ

(5.40)

dove ⇤ e lo Jacobiano non singolare della trasformazione. Con una notazionepiu compatta si puo scrivere

⇤µ

1µ

“ B

µ

xµ

1(5.41)

e l’operatore gradiente

B

µ

“

B

Bxµ

(5.42)

e dato in componenti covarianti.

71

Data questa definizione di Jaocobiano di una trasformazione di coordinatesi puo quindi dire che Aµ e un quadrivettore se e solo se si trasforma come

Aµ

1“ ⇤µ

1µ

Aµ (5.43)

Un tensore e un oggetto a piu indici che si trasforma con una combinazionedi Jacobiani in modo da trasformare ogni indice come per un quadrivettore.Per esempio si puo scrivere

Mµ

1⌫

1 “ ⇤µ

1µ

⇤⌫

⌫

1Mµ

⌫

(5.44)

Come gia detto gµ⌫

e un tensore quindi, date le proprieta dei tensori, efacile verificare che

ds2 “ gµ⌫

dxµdx⌫ (5.45)

e un invariante scalare.

5.4 Le equazioni di campo di Einstein

Ricordiamo adesso le basi su cui Einstein ha fondato la Relativita Generale:

1. il Principio di Relativita (covarianza delle leggi della natura per tra-sformazione di coordinate)

2. il Principio di Equivalenza (cancellazione locale della gravita in unsistema non inerziale)

3. il Principio di Mach (gµ⌫

dipende dalla distribuzione di massa-energia).

Consideriamo una particella che si muove liberamente sotto l’azione del-le sole forze gravitazionali; per il principio di equivalenza deve esistere unsistema di riferimento di coordinate localmente inerziali ⇠↵ per le quali valga

d2⇠↵

d⌧ 2“ 0 (5.46)

con ⌧ tempo proprio e d2⇠↵{d⌧ 2 quadriaccelerazione che e ovviamente nullaper come abbiamo scelto il riferimento ⇠↵.

In un qualsiasi riferimento xµ il moto dovuto alle sole forze gravitazionalirisulta essere

d2xµ

d⌧ 2` ��

µ⌫

dxµ

d⌧

dx⌫

d⌧“ 0 (5.47)

72

dove d2xµ

{d⌧ 2 e la quadriaccelerazione ed il secondo termine, che svolge ilruolo di forza gravitazionale, deriva dal cambiamento di coordinate ⇠↵ Ñ xµ

esprimibile come

⇠↵ “ ⇤↵

µ

xµ

“

B⇠↵

Bxµ

xµ (5.48)

La soluzione dell’equazione 5.47 fornisce l’equazione della geodetica nel rife-rimento xµ. ��

µ⌫

prende il nome di connessione a�ne ed e data da

��

µ⌫

“

Bx�

B⇠↵B

2⇠↵

Bxµ

Bx⌫

(5.49)

Se ⌘↵�

e il tensore metrico di Minkowski nel sistema di riferimento ⇠↵, in cuivale la Relativita Speciale per la totale assenza di forze, il tensore metricogµ⌫

nello spazio di coordinate xµ e dato dalla trasformazione

gµ⌫

“ ⌘↵�

B⇠↵

Bxµ

B⇠�

Bx⌫

(5.50)

questa espressione permette di ottenere gµ⌫

a partire da ⌘↵�

e dalla trasfor-mazione di coordinate. Si puo infine dimostrare che la connessione a�ne ��

µ⌫

e esprimibile con i Simboli di Christo↵el

��

µ⌫

“

1

2g�� pB

µ

g�⌫

` B

⌫

g�µ

´ B

�

gµ⌫

q (5.51)

Adesso dobbiamo cercare una relazione tensoriale che leghi la metrica,ovvero il tensore metrico g

µ⌫

e le sue derivate alla distribuzione di materiaed energia che posso rappresentare con il tensore energia-impulso.

Si puo dimostrare che, a partire dal tensore metrico gµ⌫

e dalle sue deri-vate prime e seconde puo essere costruito un solo tensore, detto Tensore dicurvatura di Riemann

R�

µ⌫�

“ B

⌫

��

µ�

´ B

�

��

µ⌫

` �⌘

µ�

��

⌘⌫

´ �⌘

µ⌫

��

⌘�

(5.52)

A partire dal tensore di curvatura di Riemann si possono poi ritrovare percontrazione il Tensore di Ricci:

Rµ⌫

“ R�

µ�⌫

(5.53)

e la Curvatura scalareR “ Rµ

µ

“ gµ⌫Rµ⌫

(5.54)

Il tensore che descrive la geometria dello spazio tempo e quindi il Tensoredi Einstein

Gµ⌫

“ Rµ⌫

´

1

2gµ⌫

R (5.55)

73

Adesso dobbiamo ottenere la distribuzione di massa-energia che e espri-mibile tensorialmente col Tensore Energia-Impulso. Se si considera un fluidocon densita ⇢ e pressione p (entrambe grandezze comoventi) si ha

Tµ⌫

“ p⇢c2 ` pquµu⌫

´ pgµ⌫ (5.56)

con uµ quadrivelocita.Le equazioni di Einstein sono finalmente

Gµ⌫

“

8⇡G

c2Tµ⌫

(5.57)

ovvero

Rµ⌫

´

1

2gµ⌫

R “

8⇡G

c2Tµ⌫

(5.58)

Dopo aver formulato queste equazioni Einstein si rese conto che era possi-bile aggiungere un termine costante ⇤ che avrebbe poi potuto permetterel’esistenza di un universo stazionario:

Rµ⌫

´

1

2gµ⌫

R “

8⇡G

c2Tµ⌫

` ⇤gµ⌫

(5.59)

Si noti come in questa equazione tensoriale ci sono solo 6 equazioni indipen-denti sulle 16 equazioni totali. Da 16 si passa a 10 perche i tensori metrici(e quindi tutti i derivati) sono simmetrici; inoltre 4 sono ridondanti per leproprieta di R

µ⌫

. Il tensore metrico ha pero 10 componenti indipendenti in-cognite, pertanto abbiamo a disposizione solo 6 equazioni per 10 incognite.La presenza di 4 gradi di liberta incogniti porta ad una invarianza di gauge

per la scelta del riferimento.Vediamo adesso di intuire come mai le equazioni hanno quella forma. E’

chiaro che le equazioni di Einstein nel limite Newtoniano devono fornire, trale altre, l’equazione di Poisson. Quando abbiamo ottenuto l’espressione peril redshift gravitazionale nel limite Newtoniano avevamo trovato

ds2 “ dt2ˆ1 `

2�

c2

˙´

dl2

c2(5.60)

per cui

g00 “

ˆ1 `

2�

c2

˙(5.61)

� “

1

2pg00 ´ 1q c2 (5.62)

L’equazione di Poisson er2� “ 4⇡G⇢ (5.63)

74

ovvero

r2� “

1

2c2r2g00 (5.64)

Il tensore energia impulso di un fluido comovente (cioe che non ha velocitapropria rispetto all’espansione dell’universo) ha solo il termine T00 ‰ 0 e, nelcaso di p “ 0, si ha

T 00“ p⇢c2 ` �pq�2

´ ⇠⇠⇠pg00 (5.65)

ovvero

⇢ “

T 00

�2c2»

T 00

c2per

v

c! 1 (5.66)

sostituendo otteniamo1

2c2r2g00 “ 4⇡G

T 00

c2(5.67)

ovvero

r2g00 “

8⇡G

c4T 00 (5.68)

che ricorda la componente 00 delle equazioni di Einstein.In conclusione, le equazioni di campo di Einstein

Rµ⌫

´

1

2gµ⌫

R “

8⇡G

c2Tµ⌫

` ⇤gµ⌫

(5.69)

sono 6 equazioni non lineari indipendenti. Il procedimento da seguire perarrivare alla loro soluzione e il seguente:

1. si sceglie una forma del tensore metrico che contenga in se le even-tuali simmetrie del sistema (si ricorda che non e possibile risolvere ilproblema se tutte le 10 componenti del tensore simmetrico g

µ⌫

sonoincognite);

2. si determina la forma del tensore energia-impulso che descrive le sor-genti del campo proprie del problema;

3. si scrivono le equazioni di Campo di Einstein ottenendo un sistema diequazioni di↵erenziali nelle funzioni incognite presenti in g

µ⌫

;

4. la loro soluzione permette di determinare gµ⌫

da cui si ottiene la geo-metria dello spazio e le equazioni geodetiche che determinano il moto.

75

5.5 Derivazione delle equazioni di Friedmann

Prima di procedere e opportuno vedere quali siano le convenzioni relative aisegni. La metrica di Minkowski e

⌘µ⌫ “ rS1s ˆ diagr´1, 1, 1, 1s (5.70)

con rS1s segnatura della metrica di Minkowksi che puo essere pari a `1 o´1. diagr´1, 1, 1, 1s indica la matrice con i valori p´1, 1, 1, 1q sulla diagonale.Il tensore di curvatura di Riemann ha segnatura rS2s tale che

Rµ

⌫⇢�

“ rS2s ˆ

`B

�

�µ

⌫⇢

´ B

⇢

�µ

⌫�

` �µ

��

� �

⌫ ⇢

´ � µ

� ⇢

� �

⌫ �

˘(5.71)

Il tensore di Ricci eR

µ⌫

“ rS2s ˆ rS3s ˆ R↵

µ↵⌫

(5.72)

per cui le equazioni di Einstein sono

Gµ⌫

“ Rµ⌫

´

1

2gµ⌫

R “ rS3s ˆ

ˆ8⇡G

c2Tµ⌫

` ⇤gµ⌫

˙(5.73)

Fino ad ora abbiamo usato la convenzione

rS1s “ ´1

rS2s “ `1

rS3s “ `1

che porta alle equazioni di Einstein nella forma

Rµ⌫

´

1

2gµ⌫

R “

8⇡G

c2Tµ⌫

` ⇤gµ⌫

(5.74)

Cominciamo adesso a esplicitare queste equazioni. Abbiamo visto comeper uno spazio omogeneo ed isotropo in espansione uniforme la metrica piugenerale e quella di Robertson e Walker

ds2 “ dt2 ´

aptq2

c2

”dr2 ` R2 sin2

´ r

R

¯ `d✓2 ` sin2 ✓d�2

˘ı

Il tensore metrico, scritto in forma di matrice e pertanto

gµ⌫

“

¨

˚˚˚˚

1 0 0 0

0 ´

a2ptq

c20 0

0 0 ´

a2ptq

c2R2 sin2

´ r

R

¯0

0 0 0 ´

a2ptq

c2R2 sin2

´ r

R

¯sin2 ✓

˛

‹‹‹‹‹‹‹‚

76

Per ottenere le componenti controvarianti si puo facilmente calcolarel’inverso del tensore in componenti covarianti

gµ⌫ “ pgµ⌫

q

´1“

¨

˚˚˚˚˝

1 0 0 0

0 ´

c2

a2ptq0 0

0 0 ´

c2

R2a2ptqcsc2

´ r

R

¯0

0 0 0 ´

c2

R2a2ptqcsc2

´ r

R

¯csc2 ✓

˛

‹‹‹‹‹‹‹‹‚

A questo punto, per prima cosa, si calcolano i Simboli di Christo↵el apartire da g

µ⌫

e per rappresentare il risultato si utilizza la convenzione che�1

23 corrisponde a �µ

⌫�

con µ “ 1, ⌫ “ 2, � “ 3 (gli indici assumono i valori0,1,2,3), i simboli di Christo↵el non nulli sono soltanto

�011 “

aptq 9aptq

c2

�022 “

R2aptq sin2`

r

R

˘9aptq

c2

�033 “

R2aptq sin2`

r

R

˘sin2 ✓ 9aptq

c2

�110 “

9aptq

aptq

�122 “ ´

1

2R sin

ˆ2r

R

˙

�133 “ ´

1

2R sin

ˆ2r

R

˙sin2 ✓

77

�220 “

9aptq

aptq

�221 “

cot`

r

R

˘

R

�233 “ ´ cos ✓ sin ✓

�330 “

9aptq

aptq

�331 “

cot`

r

R

˘

R

�332 “ cot ✓

Si calcola quindi il tensore di Riemann e si riportano i risultati tenendoconto della stessa convenzione utilizzate per i �. Considerando R1

213 e pos-sibile ottenere R1

231 usando l’antisimmetria per lo scambio degli ultimi dueindici anche se questa cosa non e evidente perche riportiamo le R�

µ⌫�

invecedelle R�µ⌫�; gli elementi del tensore da cui si ottengono tutti gli elementi nonnulli sono soltanto:

R0110 “ ´

aptq:aptq

c2

R0220 “ ´

R2 sin2`

r

R

˘aptq:aptq

c2

R0330 “ ´

R2 sin2`

r

R

˘sin2 ✓ aptq:aptq

c2

R1010 “ ´

:aptq

aptq

R1221 “ ´

sin2`

r

R

˘pc2 ` R2 9a2ptqq

c2

R1331 “ ´

sin2`

r

R

˘sin2 ✓ pc2 ` R2 9a2ptqq

c2

(5.75)

78

R2020 “ ´

:aptq

aptq

R2121 “

1

R2`

9a2ptqc2

R2332 “ ´

sin2`

r

R

˘sin2 ✓ pc2 ` R2 9a2ptqq

c2

R3030 “ ´

:aptq

aptq

R3131 “

1

R2`

9a2ptqc2

R3232 “

sin2`

r

R

˘pc2 ` R2 9a2ptqq

c2

Si calcolano quindi tensore e scalare di Ricci dalle contrazioni successivedel tensore di Curvatura di Riemann. Le forme non nulle del tensore di Riccisono quelle diagonali:

R00 “ ´

3:aptq

aptq

R11 “

2

R2`

2 9a2ptqc2

`

aptq:aptq

c2

R22 “

sin2`

r

R

˘p2c2 ` 2R2 9a2ptq ` R2aptq:aptqq

c2

R33 “

sin2`

r

R

˘sin2 ✓ p2c2 ` 2R2 9a2ptq ` R2aptq:aptqq

c2

mentre per lo scalare di Ricci abbiamo

R “ ´

6 pc2 ` R2 9a2ptq ` R2aptq:aptqq

R2a2ptq

Questo ci permette di ottenere il tensore di Einstein Gµ⌫

ovvero il primo

79

membro delle equazioni di Einstein.

G00 “

3 pc2 ` R2 9a2ptqq

R2a2ptq

G11 “ ´

1

R2´

9a2ptq

c2´

2aptq:aptq

c2

G22 “ ´

sin2`

r

R

˘pc2 ` R2 9a2ptq ` 2R2aptq:aptqq

c2

G33 “ ´

sin2`

r

R

˘sin2 ✓ pc2 ` R2 9a2ptq ` 2R2aptq:aptqq

c2

Andiamo adesso a determinare il secondo membro delle equazioni di Einstein.Il tensore energia-impulso e

T µ⌫

“ p⇢c2 ` pquµu⌫

´ pgµ⌫ (5.76)

La quadrivelocita e data da

u⌫

“ �p1, ux

, uy

, uz

q ui

“

vi

c

e, se prendiamo un fluido comovente (stazionario), avremo

ux

“ uy

“ uz

“ 0� “ 1u⌫

“ p1, 0, 0, 0q

ovvero utilizzando l’espressione per gµ⌫ trovata prima, si ottiene in compo-nenti controvarianti

T µ⌫

“ p⇢c2 ` pq

»

——–

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

fi

��fl ´ pgµ⌫ (5.77)

ovvero

T µ⌫

“

¨

˚˚˚˚˝

c2⇢ 0 0 0

0c2p

a2ptq0 0

0 0c2p csc2

`r

R

˘

R2a2ptq0

0 0 0c2p csc2

`r

R

˘csc2 ✓

R2a2ptq

˛

‹‹‹‹‹‹‹‹‚

80

Si noti come il secondo membro delle equazioni di Einstein in coordinatecontrovarianti diventi

8⇡G

c2T µ⌫

` ⇤gµ⌫ “

8⇡G

c2p⇢c2 ` pq

¨

˚˝

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

˛

‹‹‚´

8⇡G

c2pgµ⌫ ` ⇤gµ⌫

ovvero ⇤ appare come un contributo di pressione negativa.Si passa quindi a componenti covarianti del tensore Energia-Impulso

Tµ⌫

“ gµ�

g⌫�

T �� (5.78)

ottenendo

Tµ⌫

“

¨

˚˚˚˚

c2⇢ 0 0 0

0pa2ptq

c20 0

0 0pR2a2ptq sin2

`r

R

˘

c20

0 0 0pR2a2ptq sin2

`r

R

˘sin2 ✓

c2

˛

‹‹‹‹‹‹‹‚

Ovviamente, le componenti covarianti e controvarianti della matrice unitariasono uguali.

Come si puo facilmente notare scrivendo le Equazioni di Einstein

Gµ⌫

“

8⇡G

c2Tµ⌫

` ⇤gµ⌫

(5.79)

solo i termini diagonali sono non nulli ovvero abbiamo ottenuto quattroequazioni per aptq:

3

a2ptq

ˆc2

R2` 9a2ptq

˙´ p⇤ ` 8⇡G⇢q “ 0

´

1

R2´

9a2ptqc2

´

2aptq:aptq

c2`

1

c4`´8⇡Gp ` c2⇤

˘a2ptq “ 0

´

sin2`

r

R

˘

c4“c4 ` c2R2 9a2ptq ` 2c2R2aptq:aptq ` R2

p8⇡Gp ´ c2⇤qa2ptq‰

“ 0

´

sin2`

r

R

˘

c4sin2 ✓

“c4 ` c2R2 9a2ptq ` 2c2R2aptq:aptq ` R2

p8⇡Gp ´ c2⇤qa2ptq‰

“ 0

(5.80)

81

Dove le parentesi con G e ⇤ sono chiaramente il contributo del secondomembro delle Equazioni di einstein (tensore energia impulso e costante co-smologica). Le ultime due equazioni sono chiaramente equivalenti. Dallaprima si ottiene

9a2ptq “

8⇡G⇢

3a2ptq ´

c2

R2`

1

3⇤a2ptq (5.81)

sostituendo 9aptq2 nella seconda si ottiene invece

´

◆◆◆1

R2´

8⇡G⇢

3c2aA2ptq `

◆◆◆1

R2´

1

3

⇤

c2aA2ptq

´

2⇢⇢⇢aptq:aptq

c2´

8⇡Gp

c4aA2ptq `

⇤aA2ptq

c2“ 0 (5.82)

ovvero, raccogliendo,

:aptq “ ´

4⇡G

3

ˆ⇢ `

3p

c2

˙aptq `

1

3⇤aptq (5.83)

Si puo verificare che sostituendo 9a2ptq dalla prima equazione nella terzasi ritrova la seconda equazione. In conclusione abbiamo trovato solo dueequazioni indipendenti:

9a2ptq “

8⇡G⇢

3a2ptq ´

c2

R2`

1

3⇤a2ptq

:aptq “ ´

4⇡G

3

ˆ⇢ `

3p

c2

˙aptq `

1

3⇤aptq (5.84)

che sono finalmente le equazioni che volevamo ottenere. La 6.2 e “l’Equazionedi Friedmann”, ma nel seguito ci riferiremo a entrambe come “Equazioni diFriedmann”.

82