1SAN MARCOS SEMESTRAL 2014-III GEOMETRÍA TEMA B

CIRCUNFERENCIA

GEOMETRÍA - TEMA B

I. INTRODUCCIÓN

Las figuras que se van a estu-diar, todas ellas conocidas conel nombre genérico de cóni-cas, se pueden obtener comointersección de una superficiecónica con un plano. Llamamossuperficie cónica de revolucióna la superficie engendrada poruna línea recta que gira alre-dedor de un eje mantenien-

do un punto fijo sobre dicho eje; mientras que deno-minamos simplemente Cónica a la curva obtenida alcortar esa superficie cónica con un plano, las diferen-tes posiciones de dicho plano nos determinan distintascurvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.Un Poco de Historia: El estudio de las cónicas tienesu origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas,en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerseal cortar un cono cualquiera por diversos planos. Pre-viamente a este trabajo existían estudios elementalessobre determinadas intersecciones de planos perpen-diculares a las generatrices de un cono, obteniéndoseelipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulosuperior del cono fuese agudo, recto u obtuso, res-pectivamente. Si bien no disponía de la geometríaanalítica todavía. Los resultados obtenidos por Apoloniofueron los únicos que existieron hasta que Fermat yDescartes, en una de las primeras aplicaciones de lageometría analítica, retomaron el problema llegando asu casi total estudio, haciendo siempre la salvedad deque no manejaban coordenadas negativas, con lasrestricciones que esto impone.La importancia fundamental de las cónicas radica ensu constante aparición en situaciones simplesLa primera ley de Kepler sobre el movimiento de losplanetas dice que estos siguen órbitas elípticas, enuno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posi-ble que Newton no hubiese podido descubrir su fa-mosa ley de la Gravitación Universal de no haber co-nocido ampliamente la geometría de las elipses.La órbita que sigue un objeto dentro de un campogravitacional constante es una parábola. Así, la línea

que describe cualquier móvil que es lanzado con unacierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una pará-bola.Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no esconstante: depende de la distancia del punto al centrode la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil(si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse quetiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.Una cónica se puede considerar como el resultado decortar una superficie cónica con un plano; o como ellugar geométrico de los puntos del plano tal que la ra-zón de sus distancias a un punto y a una recta es cons-tante; o bien puede darse de ella una definición especí-fica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.

Cónicas

II. DEFINICIÓN

Es el lugar geométrico de un punto P(x,y) del plano2 , de tal manera que se mueve manteniéndose

siempre igual a una cantidad constante r (r radio)de un punto fijo C del plano denominado centro de lamisma. Es decir:

2P(x, y) / d (C,P) r= =C

DESARROLLO DEL TEMA

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III. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

LN

LT

B

O E A

U

C r

X

Y

• C Centro de la circunferencia

• CU Radio (CU = r)

• B O Cuerda

• AE Diámetro

• NL Recta Normal

• TL Recta Tangente

IV. FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNACIRCUNFERENCIA

A. Forma Canónica:Es la ecuación de la circunferencia con centro enel origen.

(0;0)

P(x;y)

X

Y

r x

y

r

2 2 2x y r+ =

B. Forma Ordinaria:Si el centro de la circunferencia no está en el origende coordenadas, sino en el punto C (h; k) y es deradio r; entonces la ecuación de la circunferenciaserá:

Y

X

k

r

P(x,y)

y–kC(h k)

H

En la figura:

Centro: C(h,k)

Radio: r

Punto Genérico: P(x,y)

2 2 2(x h) (y k) r– + – =

V. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUN-FERENCIASi se desarrolla la ecuación ordinaria de la circunferenciase obtiene la ecuación general:

Para pasar de la ecuación ordinaria a la ecuación general:

2 2x y Dx E y F 0+ + + + =

2 2 2(x h) (y k) r– + – =

2 2 2 2 2x 2xh h y 2yk k r 0– + + – + – =

2 2 2 2 2x y 2yh 2yk (h k r ) 0+ – + + + – =

De donde:

D 2h= – E 2k= – 2 2 2F h k r= + –

También:

Dh2

= – Ek2

= – 2 2D E 4F

r2

+ –=

Problema 1Demostrar que la ecuación de lacircunferencia, donde los puntos

1 2A (a ;a ) y 1 2B (b ; b ) son extremosde uno de los diámetros, es:

2 21 1 2 2a b a b

x y2 2

+ +– – =

221 1 2 2(a b ) a b

4– + –

Resolución:

(b ,b )1 2

A(a ,a )1 2

C(h,k)

r

r

r

Y

X 0

B

Por punto medio del AB , se tiene:

1 1 2 2a b a bh k

2 2

+ += =

Por distancia entre dos puntos:

2 21 1 2 22r d(A,B) a b a b= = – + –

2 21 1 2 2

1r a b a b2

= – + –

PROBLEMAS RESUELTOS

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Luego la ecuación de la circunferenciaes:

2 21 1 2 2a b a b

x y2 2

+ +

– + –

= 2 2

1 1 2 2a b a b4

– + –

Problema 2Demostrar que la ecuación de lacircunferencia de centro (h, k) y quepasa por un punto (a, b) es:

2 2x a y b– + – =

2 2a h b k– + –

Resolución:

y

o x

(a,b)A

r (h,k)

r

Sabemos que la ecuación de lacircunferencia con respecto a (a,b).

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

Por punto medio de AB

a m b nh k2 2

+ += =

h – a = m 2k – b = n

Por distancia entre dos puntos:

2 22r a m b n= – + –

2 224r a 2h a b 2k b= – – + – –

2 224r 2a 2h 2b 2k= – + –

2 224r 4 a h 4 b k= – + –

2 22r a h b k= – + –

2 2 22x a y b a n b k– + – = + + –

Problema 3Hallar la distancia mínima del punto(3;9) a la circunferencia:x2 + y2 – 26x + 30y + 313 = 0

A) 17 B) 26

C) 15 D) 221E) 18

Resolución:

2 2x y 26x 30y 313 0+ – + + =

Completando cuadrados:2 2 2 2 2 2x 26x 13 y 30y 15 13 15 313 0 – + + + + – – + =

2x 13– + 2y 15+ = 92

d

(3,9)

9

h 13= k = 15

2 2d 9 13 3 15 9+ = – + – –

d 17 =

NIVEL I1. Halle el área del círculo en metros

cuadrados, cuya circunferenciacorrespondiente tiene por ecua-ción:

2 2x y 4x 6y 3 0+ – + – =A) 212 m B) 216 mC) 215 m D) 214 mE) 29 m

2. Halle la ecuación de la circunfe-rencia que pasa por el origen decoordenadas y tiene su centro enel punto común de las rectas

1: x + 3y - 6=0 y 2:x - 2y -1=0.A) 2 2x y 10+ =B) 2 2x 1 y 3 10– + – =C) 2 2x 3 y 1 10– + – =D) 2 2x y 5+ =E) 2 2x y 10+ =

3. Halle la ecuación de la circunfe-rencia cuyo centro está en el ejeY, la cual pasa por los puntos:

A 2 6,0 y B 3,5

A) 22x y 1 25+ + =

B) 22x y 1 25+ – =

C) 22x y 2 25+ – =

D) 22x y 2 25+ + =

E) 22x y 5 16+ – =

4. La circunferencia C pasa por el punto

A(3,5) y la recta C : 3x + y + 2 = 0

es tangente a C en el puntoB(–1,1). Halle las coordenadasdel centro C.

A) c (2,3) B) c (–2,2)C) c (2,2) D) c (–2,–2)E) c (3,2)

5. Dada la circunferencia,C : 2 24x 4y 16x 20y 25 0+ – + + = ,hallar la ecuación de la circunfe-rencia concéntrica a C y tangen-te a la recta

:5x-12y=1.

A) 22 5x 2 y 92

– + + =

B) 22 5x 2 y 12

– + + =

C) 22 5x 2 y 32

– + + =

D) 22 5x 2 y 92

+ + – =

E) 22 5x 2 y 92

+ + + =

problemas de clase

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NIVEL II6. Hallar la ecuación de la circunfe-

rencia que pasa por el puntoQ(3,5) y es tangente a la recta

:3x y 2 0+ + =L en el punto (–1,1).A) 2 2x 2 y 2 10– + + =B) 2 2x 2 y 2 10+ + – =C) 2 2x 2 y 2 9– + – =D) 2 2x 2 y 2 10– + – =E) 2 2x 2 y 2 9+ + + =

7. Determine la ecuación general dela circunferencia que pasa por lospuntos (4;5), (3; –2), (1; –4).

A) 2 2x y 7x 2y 22 0+ + – – =

B) 2 2x y 7x 3y 44 0+ + – – =

C) 2 2x y 7x 5y 44 0+ + – – =

D) 2 2x y 5x 7y 66 0+ + – – =

E) 2 2x y 5x 9y 66 0+ + – – =

8. Determine la ecuación de la cir-cunferencia donde los puntos A(3;2) y B (–1;6), son extremosde uno de los diámetros.A) 2 2x y 2x 8y 9 0+ – – + =B) 2 2x y x y 9 0+ + + – =C) 2 2x y 2x 9y 8 0+ – – – =D) 2 2x y 2x 2y 4 0+ – – – =E) 2 2x y 3x 3y 4 0+ – – + =

9. Determine la ecuación de la cir-cunferencia que tiene su centroen el eje Y, con una cuerda cu-yos extremos son los puntos A

(2;7), y B (4;1).

A) 2 2x 3 y 20– + =B) 2 2x y 20+ =C) 22x y 3 20+ – =D) 2 2x 3 y 4 26– + – =E) 2 2x 4 y 3 20– + –

10. Determine la ecuación de la cir-cunferencia que es concéntricacon la circunferencia.

2 21 : x y 8x 2y 8 0+ + + + =C

Y que pasa por el punto (1;7).A) 2 2x y 8x 2y 72 0+ + + – =B) 2 2x y 8x 2y 72 0+ – + – =C) 2 2x y 8x 2y 72 0+ – – + =D) 2 2x y 8x 2y 72 0+ + – – =E) 2 2x y 8x 2y 15 0+ – + + =

11. Halle la ecuación de la tangente a

la circunferencia :x y 169+ =2 2L ,

en el punto de abcisa 12, situadoen el primer cuadrante.A) 3x 7y 169 0+ – =

B) 12x 5y 169 0+ – =

C) 12x 5y 169 0– + =

D) 5x 12y 169 0+ – =

E) 5x 12y 169 0– + =

12. Una circunferencia de centroM (–2; –3), halle su ecuación sa-biendo que pasa por el origen decoordenadas.

A) 2 2x y 3x 5y 0+ + + =

B) 2 2x y 6x 4y 0+ – – =

C) 2 2x y 4x 6y 0+ + + =

D) 2 2x y 6x 4y 0+ + + =

E) 2 2x y 4x 6y 0+ – – =

NIVEL III13. Halle la ecuación de una circunfe-

rencia que pasa por B(2; –1) y decentro C (0;4).

A) 2 2x y 8x 13 0+ – + =

B) 2 2x y 13x 8 0+ – + =

C) 2 2x y 8y 13 0+ – + =

D) 2 2x y 8y 13 0+ – – =

E) 2 2x y 5y 12 0+ – + =

14. Halle la ecuación de la circunferen-cia de radio 3 y que pasa por elorigen de coordenadas y su cen-tro esta en el eje de ordenadas.A) 2 2x y 5x 0+ – =B) 2 2x y 8x 0+ – =C) 2 2x y 8x 0+ + =D) 2 2x y 6x 0+ – =

E) 2 2x y 6y 0+ – =

15. ¿Qué condición debe cumplir laecuación de la circunferencia

L :x y ax by c+ + + + =2 2 0 , paraque su centro se situé en la bisectrizdel primer y tercer cuadrantes?A) a = c B) a + b = cC) b = c D) a = bE) a – b = c

16. Halle la ecuación de la circunfe-rencia de radio 3, si es tangentea los dos ejes de coordenadas y

su centro se encuentra en el pri-mer cuadrante.

A) 2 2x y 8y 10 0+ – + =

B) 2 2x y 8x 6 0+ – + =

C) 2 2x y 6x 6y 0+ – – =

D) 2 2x y 6x 6y 9 0+ – – + =

E) 2 2x y 6x 12 0+ – + =

17. Determine la ecuación de la circun-ferencia con centro en (2; – 3) yque es tangente a la recta4y + 3x – 4 = 0.

A) 2 2x y 4y 6y 9 0+ – + + =

B) 2 2x y 8x 6y 19 0+ – + – =

C) 2 2x y 4x 6y 19 0+ – + + =

D) 2 2x y 8x 6y 9 0+ – + + =

E) 2 2x y 8x 6y 9 0+ – + – =

18. Determine la ecuación de lacircunferencia con centro en(–1;4) y es tangente a la rectaque pasa por los puntos (3; –2),(–9; 3).

A) 2 2x y 2x 8y 9 0+ + + + =

B) 2 2x y 2x 8y 1 0+ – + + =

C) 2 2x y 2x 8y 9 0+ – – + =

D) 2 2x y 2x 8y 1 0+ + – + =

E) 2 2x y 2x 8y 9 0+ – + + =

19. Determine una de las ecuacionesde la circunferencias con centro

en la recta 1L :3x 4y 1+ = y que es

tangente a la recta 2L :3x 4y 8 0– + =y cuyo radio sea de 5 unidades.

A) 2 2x 3 y 2 25+ + + =

B) 2 2x 2 y 3 25+ + – =C) 2 2x 3 y 2 25– + + =

D) 2 2x 2 y 3 25+ + – =

E) 2 2x 3 y 2 25– + – =

20. Si las tangentes a la circunferen-cia 2 2x y 4x 2y 3 0+ – + + = pa-san por el punto (0;3). Entoncesla suma de las pendientes de di-chas rectas tangentes es:A) –8 B) –7 C) –6D) –5 E) –4