4. Circuiti elettrici in regime sinusoidale
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4. Circuitielettriciinregimesinusoidale
GrandezzesinusoidaliUnagrandezzasinusoidaleneltempoèdescrittadallase-guenteespressione:
a(t)=Acos(wt+q)dove: A-ampiezza(amplitude),valoremassimodia(t),
numerorealepositivo.
w - pulsazione o frequenza angolare (radianfrequency)[1/s],numerorealepositivo.
q-fase(phase)[1],numeroreale.Peruna grandezza sinusoidalenel tempo si individuanoleseguentiquantitĂ :
f=!"# frequenza(frequency,ciclicfrequency,ornaturalfrequency)[Hz]
T=$%="#
! periodo(period)[s]
Ae=!$&⍠A"cos"(Ďt + θ)dt'(&
' =!â#valoreefficace,valorequadraticomedio(rootmeansquarevalue,rmsvalue)
GrandezzeisofrequenzialiLâanalisideicircuitiincorrentealternata-CA(alternatecurrentâACcurrent)generalmen-teconsistenellaricercadellecorrentidiregime,chesiistauranoalterminediuntransitorio,inuncircuitoalimentatodageneratorilecuitensioniabbianoandamentosinusoidaleesianoallamedesimafrequenza,cioèilsistemasiaisofrequenziale(isofrequential).Solitamente i generatori di potenza sonomacchine elet-tricherotantichegeneranotensioniperiodiche.Nellade-composizione in serie di Fourier di tali tensioni,lâarmonicaprincipaledisolitoèmoltomaggioredellear-moniche di ordine superiore. Quindi risulta trascurabilelâerrore commesso nel considerare rigorosamente sinu-soidaleletensionigenerate.Sipuòcomunquetenercontoanchedellearmonichediordinesuperioresovrapponen-do gli effetti da queste prodotte. Anche per lâanalisi deisegnali elettrici che solitamente sono a potenza bassa(ICT)èpossibileutilizzareilmetodoindicato.
Siconsiderinoduegrandezzeisofrequenziali:
a(t)=Acos(wt+qa),b(t)=Bcos(wt+qb)
Esse hanno stessa frequenza, quindi stessa pulsazione e
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stessoperiodo.LadifferenzafraleduegrandezzeriguardalâampiezzaAeB,elafaseqaeqb.Sidefinisceangolodisfasamento(shiftangle)lâangoloj=qa-qb.Ponendoseina(t)qa=0,neconseguecheqb=-j.Quindisiha:
a(t)=Acoswt,b(t)=Bcos(wt-j)
a(t)eb(t)sonoinfase(inphase)quandoqa=qb,eperciòquandoj=0.Intalcasoa(t)eb(t)siannullano,hannovaloremassimoevaloreminimoaglistessiistantiditempo.Lagrandezzaa(t)èinanticiporispettoab(t)diunangoloj(aleadsbbyj),quandoqa>qbequindij>0.Lagrandezzaa(t)èinritardorispettoab(t)dij(alagsbbyj),quandoqa<qbequindij<0.
Nellefigureriportatesopra,sonomostratitrecasitipici,nellâordine:aebsonoinfasepercuij=0,aebsonoinopposizionedifasepercuij=Âąp,edinfineaebsonoinquadraturadifa-sepercuij=Âąp/2.
GrandezzesinusoidaliisofrequenzialiefasoriPerlaidentità diEuleroilnumerocomplessoejapuòesserescompostonellasuaparterealeenellasuapartecomplessanelseguentemodo:
eja=cosa+jsenaQualoraasiaespressodallâangolo(wt+q),siha:
Aej(wt+q)=Acos(wt+q)+jAsen(wt+q)
Quindia(t)=Acos(wt+q)èlaparterealedelnumerocomplessoAej(wt+q)=â2Aeej(wt+q):
a(t)=Acos(wt+q)=Re[Aej(wt+q)]=Re[â2Aeejqe)*']=Re[â2Ae)*']
dovesidefinisceilfasoreAilseguentenumerocomplesso:
A=Aeejq=Aecosq+jAesenqoanche
A=a+jb con a=Aecosq,b=Aesenq
Inunsistemaisofrequenzialeovelafrequenzaènota,ilfasoreAdefiniscelagrandezzasinu-soidalea(t)inmodobiunivoco:
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a(t)ÂŤAinfattia(t)èdefinitodaduequanti-tĂ , ampiezza e fase, cosĂŹ come ilnumero complessoAè definito dadue numeri: parte reale e parteimmaginaria. Due grandezze sinu-soidali isofrequenziali sono ugualise e solo se i fasori che le rappre-sentano hanno parte reale e parteimmaginariauguale.Datelaparterealeelaparteimmaginariadiunfasoresideterminapermezzodelleuguaglianzesoprariportatelâampiezzaelafasedellagrandezzasinusoidale.DallafigurasipuòriscontrarecheunâinfinitĂ difasoriadunadatafrequenzacondifferentifasihan-no lastessapartereale.Equindiperdefinireampiezzae fasedellagrandezzasinusoidaleènecessarioconosceresialaparterealechelapareimmaginariadelfasore.Quandocorrentietensionisinusoidalisonorappresentatedafunzionisinusoidalineltemposidicechesonorappresentateneldominiodeltempo(timedomain).Qualorasiusinoifasorisidicechesonorappresentateneldominiodellefrequenzeodominiodeifasori(frequencydomainorphasordomain).Unfasorepuòessereespressopermezzoditreforme:
A=a+jb=Aecosq+jAesenq formarettangolare(rectangularform)
A=Aeejq formaesponenziale(exponentialform)
A=Aeq formapolare(polarform)
In figura è rappresentato un fasore nel pano complesso opianodiGauss(complexplaneorGaussplane):
A=a+jb=Acosq+jAsenqÂŽ a=Acosq
b=Asenq
A=âa" + b"
q=tan-1"#$#
LemmidiunicitĂ ,dilinearitĂ ediderivazioneLemmadiunicitĂ (Uniquenesslemma):Duegrandezzesinusoidalisonougualiseesolosesonorappresentatedallostessofasore.
a(t)=b(t) Ă Re[â2Ae)*']=Re[â2Be)*']
Ă Re[A(cosĎt + jsen Ďt)]=Re[B(cosĎt + jsen Ďt)]
Ă Re[A cosĎt]+Re[AjsenĎt]=Re[B cosĎt]+Re[BjsenĎt]
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Ă cosĎtRe[A]âsenĎtIm[A]=cosĎtRe[B]âsenĎtIm[B]
LâultimarelazionesiottienepoichĂŠ,datoA=a+jb,siottienejA=jaâb.Quindi:Re[jA]=-Im[A].AffinchĂŠsiaverificatalâuguaglianzafraa(t)eb(t),deveessere:
cosĎtRe[A]âsenĎtIm[A]=cosĎtRe[B]âsenĎtIm[B]Neconseguechedevonoessereverificateledueuguaglianzeseguenti: Re[A]=Re[B]eIm[A]=Im[B]Daciòrisultaquindi:a(t)=b(t)ĂRe[��]=Re[��]e[��]=Im[��]Ă��=��
Risultaverificataanchelarelazioneinversa: ��=��Ăa(t)=b(t) LemmadilinearitĂ (Linearitylemma):Ilfasoreottenutodallacombinazionelinearediduefasori con coefficienti costanti e reali, rappresenta la grandezza sinusoidale ottenuta dallamedesimacombinazionelinearedellegrandezzesinusoidalicheiduefasorirappresentano.
c1a(t)+c2b(t)=c1Re[â2Ae)*']+c2Re[â2Be)*']=Re[â2:c1A + c2B;e)*']
Anchelarelazioneinversaèverificata.Quindi: c1a(t)+c2b(t) Ăc1��+c2��Lemmadiderivazione (Derivationlemma): Lederivatanel tempodiunagrandezzasinu-soidaleèrappresentatadalfasoredellagrandezzanonderivatamoltiplicatoperjw.
++'<đ đ[â2Ae)*']A= ++' <đ đ[â2A,e
)(*'(.)]A= ++'Bâ2A,cos(Ďt + θ)C=
=-â2ĎA,sen(wt+q)=Re[jĎâ2A,e)(*'(.)]=Re[â2jĎAe)*']
LâultimarelazionesiottienedallâuguaglianzajA=jaâb.
Daciòrisultaquindi:đđ(đ)đđ
à jw��
đđđ(đ)đđđ
à -w2��
đđđ(đ)đđđ
à -jw3��
âŚâŚâŚâŚâŚâŚâŚâŚâŚâŚ.EquazionecaratteristicadiunramoRLCinregimesinusoidalePermezzodellarelazionebiunivocafragrandezzesinusoidaliisofrequenzialiefasori,egrazieaitrelemmisopraesposti,èpossibiletrasformareleequazionicaratteristichedeglielementicircuitali,chesolitamentesonoditipointegro-differenziale,inequazionialgebrichelineari.
Atalfinesiconsiderilâequazionecaratteristicadelramoinfiguraconitreelementiidealipas-sivi:
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v(t) = Ri + L +0+'+ $
1⍠i(t2)dt2'34
Ă )*)+= L )
#,)+#
+ R ),)++ -
.i
Qualora il ramo sia sottoposto ad una tensionesinusoidale v(t)=V cos(wt +qv), anche la cor-rente indotta nel ramo è sinusoidale alla stessafrequenza:i(t)=Icos(wt+qi)macondifferentefase.Ifasoricherappresentanoquestegran-dezzesono:V=Veejqv,I=Ieejqi.Dallarelazionedifferenzialeottenutaprecedentementetrasformataneldominiodeifasoripermezzodeitrelemmiprecedentementeesposti,siottiene:
jwV=-w2LI+jwRI+$1IĂV=KR + j LĎL â $
*1NO I
Ă V=ZILa relazione ottenuta riduce lâequazione caratteristica del ramo da integro-differenziale adequazionealgebricalinearenellospaziocomplesso.Lagrandezza:
Z=R + j LĎL â $*1N
vienedettaimpedenza(impedance).Sinotichelâimpedenzaèunnumerocomplessoenonunfasore.Essainfattinonrappresentaunagrandezzasinusoidaleadunadatafrequenza.Zèespressoda:
Z=R+jX=ZejqZove: Rèlaresistenza,parterealedellâimpedenza, Xèlareattanza(reactance),parteimmaginariadellâimpedenza.
X=XL+XCconXL=ĎL,XC=- -/.
Z=âR" + X"eqZ=tan-1$01%Sidefinisceanchelâammettenza(admittance),ilnumerocomplessodatoda:
Y=!"
NelSistemaInternazionalelâimpedenzasimisurainohm[Simbolo:W]elâammettenzainsie-mens[Simbolo:S].Lâespressionedellâequazionecaratteristicadiramoneldominiodellefrequenzesipuòespri-mereneiseguentimodi:
V=ZIĂVeejqv=ZIeđ)(.!(.")
I=35ĂIeejqI=5#7 đ
)(.$3.!)
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Lo sfasamento fra tensione e corrente è dato da j = qv - qi. Dallâequazione caratteristicadellâelementocircuitalesiottienechelâangolodisfasamentojèdatodallâesponentedelnu-mero complesso dellâimpedenzaθ#ed il rapporto fra tensione efficace e corrente efficace èdatodalmodulodellâimpedenzaZ:
Z=36=3$7
%&' 6$7%&(
=3$6$đ8(9':9()=Zđ89) =Zđ8Ď
Ă Uθ9 = θ5 â θ: = ĎZ = V,/I,
Ilmassimodiv(t)vieneraggiuntoper(wt+θ$)=0e quindi per t0V = -θ$/w. Il massimo di i(t) vieneraggiuntoper(wt+θ%)=0equindipert0I=-θ%/w.PerciòIlmassimodellacorrentevienedopoalmas-simodellatensionediunintervalloditempo:
Dt=t0Iât0V=-θI/+θV
/=θV:θI
/=;
/
Quandoqv>qi èanchej>0. Ilmassimodellacor-rentevienedopoalmassimodellatensionediunin-tervalloDt positivo.Quindi la correnteè in ritardorispettoalla tensione. Quandoqv<qiej<0, Dtènegativoedi(t)èinanticiporispettoav(t).Ăpossibilesceglierelozerotemporaleperunsistemacircuitale.EsisteperciòungradodilibertĂ nelladefi-nizione delle fasi delle tensioni e delle correnti delcircuito.Vienedeterminatalafasediunaditaligran-dezzee sideterminaperognunadelle altre lâangolodisfasamentorispettoadessa.Perililramok-esimodel circuito lo stato del ramo è determinato dallacoppiaV&eI', fasori della tensione di ramo vk(t) edella corrente di ramo ik(t). Si consideri lo zero deltempotalepercui la fasedella tensionedelramok-esimosianulla:qvi=0.Lâangolodisfasamentodivie-nejk=qvk-qik=-qik.Siottieneperciò:
vk(t)=Vkcoswt ÂŽV<=Vek=Vk/â2
ik(t)=Ikcos(wt-jk)ÂŽI==Ieke-jj=(Ik/â2)e-jjAllâistanteditempot=0lafunzionevk(t)assumeilvaloremassimopariallapropriaampiez-za.Ilmassimodiik(t)èraggiuntoaltempot=jk/w.
AnalisicircuitaleneldominiodeifasoriIl ramo di figura, descritto dalla tensione di ramo e dalla corrente di ramo, contieneunâimpedenzaedungeneratoreditensioneindipendente.LâequazionecaratteristicadelramoneldominiodellefrequenzeĂŠ:
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V<=V>< + ZI=Naturalmenteperpoterutilizzare la rappresentazioneneldominiodellafrequenzaoltrealletensioniecorren-tidiramo,anchetuttiigeneratoriindipendentidelcir-cuitodevonoessereallastessafrequenza.
Inuncircuitoalimentatodageneratorisinusoidaliiso-frequenziali,letensionielecorrentidiramosonosinusoidaliallamedesimafrequenza.Ten-sioniecorrentipossonoquindiessererappresentatepermezzodifasori.Lâanalisidelcircuitoneldominiodeltempovienefattapermezzodelsistemaottenutodalleequazionitopologicheedalleequazionididefinizionedeglielementiperciascunramo.Ingeneraleleequazionito-pologichesonolineariomogeneementreleequazionididefinizionedeglielementisonointe-gro-differenziali.Ilsistemaquindièditipointegro-differenziale.Taliequazioni,qualoraven-ganotrasformateneldominiodeifasori,divengonorelazionilinearialgebriche.Inuncircuitoconrramiednnodisiottiene:
â I?? =0 (n-1equazionilinearmenteindipendenti)
â V@@ =0 (r-n+1equazionilinearmenteindipendenti)
V<=V>< + ZI= (requazionilinear.indipendenti)
oveV&eI'sonoifasoridelletensioniedellecorrentidelramok-esimo.V(&sonoigeneratoriindipendentiditensionepresentinelramok-esimo.Latrasformazionedaldominiodeltempoaldominiodeifasori,prendeancheilnomeditra-sformata di Steinmetz (Steinmetz transform). Risolto il sistema di equazioni lineari nonomogeneonellospaziocomplessodeldominiodeifasori,sianti-trasformaesiottienelasolu-zionedelproblema,datodalletensioniedallecorrentidiramo,neldominiodeltempo.
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IlresistoreConsiderata la tensione di ramo v(t) e la corrente di ramo i(t)sfasatadellâangolojrispettoav(t)epostoqv=0eqi=-j:
v(t)=Vcoswt ÂŽV=Ve=V/â2
i(t)=Icos(wt-j) ÂŽI=Iee-jj=(I/â2)e-jjDatalatensionev(t)sivuolecalcolarei(t)inunramoresistivolacuiresistenzasiaR.Lâequazionediramoincorrentealternataè
V=ZI con Z=R
ĂI=$"=Iee-jjdove\
I, =5#A
Ď = tan3$ BA= 0
Ănullolâangolodisfasamento,quindiv(t)edi(t)sonoinfase.
ĂI=3*1Ăi(t)=â2
3*1coswt
LâinduttoreDatelatensioneelacorrentediramov(t)ei(t):
v(t)=Vcoswt ÂŽV=Ve=V/â2
i(t)=Icos(wt-j) ÂŽI=Iee-jj=(I/â2)e-jjPerunramoconuninduttorediinduttanzaLsiha:
V=ZI con Z=jĎL
ĂI=%"=Iee-jjdove\
I, =5#*C
Ď = tan3$ *CD= E
"
Lâangolo di sfasamento è positivo. Ilmassimodi i(t) viene rag-giuntoper(wt-Ď 2â )=0equindidopountempot=p/(2w).i(t)èinritardorispettoav(t)dellâangolodisfasamentop/2.Tensio-neecorrentesonoinquadratura.
ĂI=3*/<đ:= #> Ăi(t)=â23*
1cos(wt-E
")
IlCondensatoreDatelatensioneelacorrentediramov(t)ei(t)ove
v(t)=Vcoswt ÂŽV=Ve=V/â2
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i(t)=Icos(wt-j) ÂŽI=Iee-jj=(I/â2)e-jjPerunramoconuncondensatoredicapacitĂ Csiha:
V=ZI con Z=-j -/.
ĂI=%"=Iee-jj
dove]I, =V,ĎC
Ď = tan3$ Lâ $ *1âDN = â E
"
Lâangolodisfasamentoènegativoedugualea-p/2.Ilmassimodii(t)vieneraggiuntoper(wt+Ď 2â )=0equindiaduntem-pot=-p/(2w). i(t)è inanticiporispettoav(t)dellâangolodisfasamento - p/2. Tensione e corrente sono anche in questocasoinquadratura.
ĂI=3*/<đ= #> Ăi(t)=â2
3*1cos(wt+E
")
ConnessionifraimpedenzeNelcapitoloprecedentesonostatepreseinesameleconnessioniserie,paralleloelerelativeresistenzeequivalenti.Inoltresonostatericavateleregolediconversionefraconnessionidiresistenzaastellaeconnessioniatriangolo.Lestesseregolesiapplicanoanchealleimpeden-ze,oveinumericomplessichedescrivonoleimpedenzesostituisconoinumerirealidellere-sistenze.Nellafigurasottoriportatasonoelencatetaliregole.
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RisonanzaLareattanzadiunramoèlegataallafrequenza.Ilfenomeno della risonanza (serie resonance) ri-guardaunramoRLCovevisianoinserieunin-duttore,uncondensatoreedunresistore.Per lafrequenzadirisonanza(resonancefrequency)lareattanzainduttivaelareattanzacapacitivasonougualiinmodulo.Lâimpedenzatotaledelramointalcasorisultaquindisoloresistiva.
Leespressionidellatensioneedellacorrentediramosono:
v(t)=Vcoswt;i(t)=Icos(wt-j) Perunadeterminataampiezzadellatensionelarispostadelramo,datadallacorrentediramo,dipendedallafrequenza.Ampiezzaeangolojsono:
I(w)= 3$
?1#@A/<: +,-B
#
Ď =tan3$AĎLâ 1
ĎCB
1
Perlafrequenzadirisonanzaw0siha:
XL=-XCĂĎCL =-
/..ĂĎD =
!â*+
Equindiampiezzaesfasamentodellacorrenterisultano:
Ie(w0)=Vđ,; j=0.
Quindilacorrenteetensionesonoinfase,edampiezzadellacorrenteesuovaloreefficacias-sumonoilvaloremassimo.
NeldominiodellefrequenzeĂŠ:
V=RI+jXCI+jX1IPerw<w0siottieneXL<-XCej<0:lacorren-te è in anticipo rispettoallatensione.Perw=w0risultaXL= -XC ej=0:lacorrenteelatensionesono in fase.Perw>w0siottieneXL>-XCej>0: la correnteè in ritar-dorispettoallatensione.UnâimpedenzadominatadallacapacitĂ provocaunanticipodellacorrente.Unâimpedenzado-minatadallâinduttanzaprovocaunritardodellacorrente.
Ie(w)
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AntirisonanzaIl fenomeno dellâantirisonanza (parallel resonance) ri-guardailparallelodiuninduttoreeduncondensatoreallafrequenza di risonanza. In tal caso la reattanza del ramoinduttivo e quella del ramo capacitivo sono in modulouguali e lâimpedenza equivalente del parallelo è infinita.Dallafigurasiha:
Z<=jĎL; Z.=-j!-+
ĂZ7E =-j* +â
-*/ %&'=-jXLC=-jÂĽperĎD = !â*+
I(w0)=$(
0 ) 'â
&+),%
&+'1=0
Alla frequenzadi risonanza lâimpedenzaequivalenteè infi-nita, la corrente totale passante per il parallelo è nulla, lacorrente per il ramo induttivoICe la corrente per quellocapacitivoI1sonotalipercui:
IC=âI1=-j,.<V
Lacorrentedellâinduttorehaampiezzaugualeeversooppostoallacorrentedelcondensatore.Quando la corrente del condensatore è positiva e quella dellâinduttore è negativa lâenergiamagneticaimmagazzinatadallâinduttoreètrasferitaalcondensatoreedaessoimmagazzinatasottoformadienergiaelettrostatica.Quandolacorrentedelcondensatoreènegativaelacor-rentedellâinduttore èpositiva lâenergia compie il percorso inverso.Quindi nellâintervalloditempodiunperiododel regimesinusoidale lâenergiapassadaunelementoallâaltroe tornaindietro. Questo scambio energetico con andamento periodico, avviene senza apporto dienergiadallâesterno. Ciò è compatibile con il principiodi conservazionedellâenergia solo inquanto ramo induttivoe ramocapacitivo si sono supposti ideali (ossiaprividi resistenzaequindidifenomenidissipativi).
Esempio1Determinarelecorrentidiramodelcircui-toinfigura.Datidelproblema:
- R1=R2=1W- L=3,2mH- C=3,2mF- f=50Hz- v1(t)=14,14cos(2pft)
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- v2(t)=28,28cos(2pft)
Risoluzione:
Trasformazionenellospaziodeifasorideidatiiniziali:
v1(t)=14,14cos(2pft)=14,14cos(314t) ÂŽ V)*=10 v2(t)=28,28cos(2pft)=28,28cos(314t) ÂŽ V)+=20 Z*=1Z+=jwL=j2pfL=j314Ă0,0032=jZ,=1-j1/(wC)=1-j1/(2pfC)=1-j1/(314Ă0,0032)=1âj
Risoluzionenelpianocomplessocolmetododi analisi fornitodalleequazioni topologicheedalleequazionicaratteristichediramo(metodogeneraledianalisi):
V*+V,=0 magliarami1e3V++V,=0 magliarami2e3I*+I+-I,=0 equazionedinodoV*=Z*I*-V)* tensionedelramo1V+=Z+I+-V)+ tensionedelramo2V,=Z,I, tensionedelramo3
Sostituzione delle tensioni di ramo espresse dalle equazioni caratteristiche di ramo nelleequazionit0opologiche:
Z*I*+Z,I,-V)*=0 Sostituendoivaloridelleimpedenzesiottiene: Z+I++Z,I,-V)+=0 I*+(1 â j)I,=10 I*+I+-I,=0 jI++(1 â j)I,=20 I*+I+-I,=0ÂŽI*=10j;I+=10â10j;I,=10.
Anti-trasformazionedeirisultatidallospaziodeifasoriallospaziodeitempi:
I*=10j ÂŽi1(t)=â2Ă10cos(314t+q1)conq1=tan-1(10/0)=p/2, ÂŽi1(t)=14,14cos(314t+p/2)
I+=10â10j ÂŽi2(t)=â2Ă14,14cos(314t+q2)conq2=tan-1(-10/10)=-p/4, ÂŽi2(t)=20cos(314t-p/4)
I,=10 ÂŽi3(t)=â2Ă10cos(314t+q3)conq3=tan-1(0/10)=0, ÂŽi3(t)=14,14cos(314t)
PotenzaneicircuitiinregimesinusoidaleInunramodiuncircuitolapotenzaelettricaallâistantetèdefinitacome:
p(t)=v(t)i(t)Qualorailcircuitosiainregimesinusoidaleesiano
v(t)=Vcoswt
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i(t)=Icos(wt-j) Lacorrentei(t)èsfasatadijrispettoallatensione.Essapuòesserescompostainduetermini.Ilprimotermineèinfaseconlatensioneeprendeilnomedicorrenteattiva(inphasecur-rent)-ia(t).Ilsecondotermineèinquadraturaconlatensioneesidefiniscecomecorrentereattiva(reactivecurrent)-ir(t).Sihainfatti:
i(t)=Icos(wt-j)=I(coswtcosj+senwtsenj) =Icoswtcosj+Isenwtsenj
Ă i(t)=ia(t)+ir(t)doveia(t)=Icoswtcosj
ir(t)=IsenwtsenjDallâespressione della potenza istantanea è possibile scom-porreanchâessainduecomponenti:potenzaistantaneaatti-va(inphaseistantaneouspower)âpa(t)epotenzaistanta-neareattiva(istantaneousreactivepower)âpr(t):
p(t)=v(t)i(t)=v(t)ia(t)+v(t)ir(t)=
Ăp(t)=pa(t)+pr(t)dove
pa(t)=VIcosjcos2wt
pr(t)=VIsenjcoswtsenwt=
=-#VIsenjsen2wt
Lapotenzaistantaneaattivapa(t)èsemprepositivaneltempo.Perciòrisultasempreentrantenellâelementocircuitale.Essaquindivieneassorbitadallacomponenteresistivadellâelementoedutilizzatadaesso.Infattilapotenzaattivaèdovutaallacomponenteattivadellacorrente,infaseconlatensioneequindidovutaallaresistenzadellâelemento.La potenza istantanea reattiva ha pulsazione doppiadella pulsazione della tensione e dellacorrente(equindidelsistemaisofrequenziale),edhavaloremedionullo.EssacorrispondeadunâenergiaentrantenellâelementoperunquartodiperiodoT=2Ď/weduscentedaessoperilquartodiperiodosuccessivo.Lapotenzareattivaèdovutaallacomponentereattivadellacor-rente, in quadratura con la tensione, e quindi è determinata dalla reattanza dellâelemento.Lâenergia corrispondente al flussodi potenza reattiva viene immagazzinatadai componenticonmemoria(induttoriecondensatori)peresserepoirestituita.
PotenzaattivaLapotenzaattiva(averagepowerorrealpower)PèlamediadellapotenzaistantaneainunperiodoT=2Ď/w.Essarisultaancheugualeallamediainunperiododellapotenzaistantaneaattiva:
P=$&⍠p(t2)dtâ˛')(&
')=$&⍠[pG(t2) + pH(t2)]dtâ˛
')(&')
=$&⍠pG(t2)dtâ˛
')(&')
=
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=$&⍠VI cosĎcos" Ďt2dtâ˛')(&
')=
=VI cosĎ $&⍠cos" Ďt2dtâ˛')(&')
ĂP=-#VIcosj=VeIecosj
dovecosjèilfattoredipotenza(powerfactor).Lapotenzaattivaèlapotenzamediautilizzatadalbipoloo,qualorailbi-polosiaequivalenteadunaporzionedicircuito,èlapotenzamediautilizzatadallaporzionedicircuito.PiĂšlâangolodisfa-samentojèridottoeilfattoredipotenzacosjsiavvicinaallâunitĂ ,piĂšlapotenzautilizzataaumentasinoalsuovaloremassimodatodaVeIeraggiuntoquandotensioneecorrentesonoinfase.NelSistemaInternazionalelâunitĂ dimisuradiPèilwatt[Simbolo:W].
PotenzareattivaIlmodulodellapotenzareattiva(reactivepower)Qèilvaloremassimodellapotenzaistan-taneareattivaedilsuosegnoèilsegnodellâangolodisfasamento:
Q=[pr(t)]MaxĂsign(j)==-#VIsenj=VeIesenj
Qèilvaloremassimodellapotenzascambiatadallâelementocircuitaleodallaporzionedicircuitoacuiilbipoloèequiva-lente, con lâatra parte di circuito. Questa componente dellapotenzaèdovutaallacomponentedellacorrenteinquadra-turadifaseconlatensione.Essaquindièrichiestadaicom-ponenti conmemoriadel ramoecorrispondeallâenergiadaessi immagazzinatasotto formadienergiaelettrostaticaneicondensatoriemagneticanegliinduttori.Qèpositivaonega-tivadipendentementealsegnodellâangolodisfasamento.PeruncaricoinduttivoQèpositiva,peruncaricocapacitivoessaènegativa.
NelSistemaInternazionalelâunitĂ dimisuradiQèilvolt-amperereattivo[Simbolo:VAR].
PotenzacomplessaLapotenzacomplessa(complexpower)sidefiniscecome:
N = VIâ
doveI,âèilcomplessoconiugatodelfasoredellacorrentei(t).
v(t)=Vcos(wt+qv)ÂŽV=vr+jvi=Veejqv
i(t)=Icos(wt+qi)ÂŽI=ir+jii=IeejqiÂŽIâ=ir-jii=Iee-jqiRisultaquindi:
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N = VIâ=VeejqvIee-jqi=VeIeej(qv-qi)=VeIeejj=VeIecosj+jVeIesenj
ĂN=P+jQLaparterealedellapotenzacomplessaèlapotenzaattiva,laparteimmaginariaèlapotenzareattiva.
Dallâespressionedellapotenzacomplessasiottieneanchequantosegue:
N = ZIIâ = ZI,"=RI,"+jXI,"=P+jQ
ĂUP = RI,"
Q = XI,"
Quindi,comeanchevistoprecedentemente,lapotenzaattivadipendedallaresistenzaelapo-tenzareattivadallareattanzadellâelementocircuitale.
PotenzaapparenteLapotenzaapparente(apparentpower)Nsidefiniscecomeprodottodeivaloriefficacidel-latensioneedellacorrente:
N=VeIeNelSistemaInternazionalelâunitĂ dimisuradinèilvolt-ampere[Simbolo:VA].DalladefinizionedellapotenzaattivaPsiottiene:
P=NcosjĂN=2
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Questarelazionemetteinlucelâimportanzadelfattoredipotenzacosj.Pertensioneecorren-teinfasePèugualeadN.Quandolâangolodisfasamentoaumenta,lapotenzaattivautilizzatadiminuiscerispettoallapotenzaapparenterichiestaalgeneratore.InfattiladifferenzainpiĂšdiNrispettoaPrappresentaunapotenzascambiatadalcaricomanonutilizzataeunâenergiaimmagazzinatadainduttoriecondensatoriepoirilasciata.
AdditivitĂ dellepotenzeQuandodueimpedenzedicarico(loadimpedences)sonoinseriefraloroesonoalimentatedaungenera-tore(sivedafiguraafianco),lapotenzafornitadalge-neratore deve essere uguale alla potenza impegnatadalledueimpedenze.DallaLKTperilcircuitoinfigurasiha:
V=V7*+V7+
Ă N = VIâ=:V7* +V7+;Iâ
=V7* Iâ + V7+ I
â=N7*+N7+
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Qualoraledueimpedenzesianoinparallelofraloro(sive-danellafiguradellapaginaseguente),ancheinquestocasola potenza fornita dal generatore deve essere uguale allapotenza impegnata dalle due impedenze.Dalla LKCper ilcircuitoinfiguraè:
Iâ=I7*â +I7+
â
Ă N = VIâ=V:I7*â + I7+
â ;
=VI7*â +VI7+
â =N7*+N7+ Perciòinuncircuitodilimpedenze,indipendentementedallaloroconnessioneinserieodinparallelo,lapotenzatotalefornitadalgeneratoreèugualeallasommadellepotenzeimpegna-tedalleimpedenzedicarico:
N = VIâ=â V<J<K$ I<â =â N<J
<K$
N = P + jQ=â (P< + jQ<)L<K$
Ă]P = â R<I,,<"L
<K$ Q = â X<I,,<"L
<K$
FattoredipotenzaComevistoprecedentemente il fattoredipotenzaèdefinitocomecosenodellâangolodi sfa-samentofratensioneecorrentediramoperunbipolocostituitodalbipolorealeodaunbipo-loequivalenteadunaporzionedicircuito.Sihaquindi:
cosj=cos(θ5 â θ0)=cosθ7Inoltrelapotenzautilizzatadallâimpedenzadelbipoloè:
P=Ncosj=VeIecosj
Ăcosj=H
3*6*=H
I
§ Inunâimpedenzaresistivaconreattanzanulla, tensioneecorrentesono in fase,θ$ â θ- =θ# = đ = 0ecosj=1.Inquestocasopotenzaattivaepotenzaapparentesonouguali.
§ Perunâimpedenzasolamentereattivaj=Âąpâ2ecosj=0.Inquestocasolapotenzaattivaènulla.
§ Neicasiintermedilâimpedenzadicaricoètalepercuilacorrenteèinritardo(caricoindut-tivo)oinanticipo(caricocapacitivo)rispettoallatensione.Inquesticasilapotenzaattivaèminoredellapotenzaapparente.
ĂI,=H
3* JKL;
§ Perfissativaloridellatensioneedellapotenzaattivadautilizzare,lacorrentediminuisceallâaumentaredelfattoredipotenzaequindialdiminuiredellosfasamento.
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NeisistemielettricidipotenzasolitamentesimantieneilfattoredipotenzailpiĂšaltopossibi-leinmodochelapotenzaapparentefornitadalgeneratoreescambiataconlareteelettricasiailpiĂšvicinopossibileallapotenzaattivaeffettivamenteutilizzatadallareteelacorrenteim-messanellaretesiailpiĂšbassapossibile.Inunsistemaelettricodipotenza tresono gli elementi che lo caratterizza-no:ungeneratorecheforniscepoten-za,unalineachetrasportatalepoten-zaeduncaricocheutilizzalapotenzaprodotta.Lalineapuòessereanchedirilevanti lunghezzee laresistenzaRlndeicavidilineasolitamentenonètrascurabile.Lariduzionedellâangolodisfasamentoportaaiseguentivantaggi:§ Lariduzionedellacorrente lungo la lineariduce leperditedovuteallaresistenzadi lineaR./I0+.
§ DettiVâ˛eVla tensione ai capi del generatore G e quella ai capi dellâimpedenza di caricodellâutilizzatore U, poichĂŠ Vâ˛=V +R./I, per avere una tensione allâutilizatore Vdi am-piezzacostanteedindipendentedalcarico,ènecessarioridurreilpiĂšpossibilelacorrentedilineaequindilosfasamento.
§ Lapotenzaapparente,datadalprodottoV0I0, chedeveessereprodottadalgeneratore,ètantominorequantominoreèlacorrenteequindilosfasamento.
RifasamentoLapresenzadipotenzareattivafaaumentareleperditedelsi-stema.Talepotenzanonèutilizzatadallaretemacorrispondeadunâenergiarichiestadallâutilizzatoreperesserepoiresaal-la rete conscambioalternatoalla frequenzadel regimesinu-soidale.Conlariduzionedellosfasamentotalepotenzasiridu-ceperannullarsiquandotensioneecorrentesonoinfase.Dalvaloredellapotenzaattivaedellâangolodisfasamentoèpossi-bilerisalireallapotenzareattiva:
Q=VeIesenj,P=VeIecosjĂQ=PtanjPer ridurre lâangolo di sfasamento si ricorre al rifasamento.Solitamente lâimpedenza di carico degli utilizzatori è di tipoinduttivo.Quindi lareattanzadelcaricoXèpositivaconXL>XC. AffinchĂŠ si riduca questo disequilibrio si mette in paralleloallâimpedenzadellâutilizzatoreuncondensatore.Intalmodoèpossi-bileportare lo sfasamentoda j a jâ ed il fattore di potenza dacosjacosjâ.Solitamentesiriducelâangolodisfasamentoinmodochecosjâsiaugualea0,9.Ilcal-colodellacapacitĂ Cperottenerelosfasamentodesiderato,èottenutonelmodoseguente:
Q=Ptanj,Q+QC=Ptanjâ (perlâadditivitĂ dellepotenze)
doveQC(QC=X1I0,1+ =V0+/X1=-wCV0+)èlapotenzareattivadelcondensatoredirifasamento.Dalladifferenzadelledueequazioniprecedentisiottiene:
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QC=P(tanjâ-tanj)=-wCV,"
Ă C=H
/3*#(tanđ âtanđ â˛).