3_Torção

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RESISTNCIA DOS

MATERIAIS

CAPITULO

Notas de Aula:

Prof. Gilfran Milfont

As anotaes, bacos, tabelas, fotos egrficos contidas neste texto, foramretiradas dos seguintes livros:-RESISTNCIA DOS MATERIAIS-

Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGrawHill-4 edio-2006- RESISTNCIA DOS MATERIAIS-R.

C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5 edio-2004-MECNICA DOS MATERIAIS-JamesM. Gere-Ed. THOMSON -5 edio-2003-MECNICA DOS MATERIAIS- AnselC. Ugural-Ed. LTC-1 edio-2009-MECNICA DOS MATERIAIS- Riley,Sturges, Morris-Ed. LTC-5 edio-2003

3 Toro

RESISTNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

Momento Toror em Eixos Circulares

1 - 2

O sistema da figura composto deum gerador e uma turbina,interligados por um eixo.

Efeitos da toro :

- D origem a tenses de cisalhamento nas diversas sees tranversais do eixo;

- Produz um deslocamento angular de uma seo transversal em relao outra.

O eixo transmite o torque para ogerador e o gerador cria um torqueigual e contrrio T, chamado

Momento Toror.

A turbina exerce um torque Tno eixo.

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Torque Interno

1 - 3

dAdFT

A resultante das tenses de cisalhamento,gera um torque interno igual e oposto aotorque externo aplicado,

Embora a resultante do torque devido s tensesde cisalhamento seja conhecida, a distribuiodas tenses ainda no o .

Diferentemente da distribuio das tensesnormais devido cargas axiais, a distribuio dastenses de cisalhamento devido ao torque no

pode ser considerada uniforme.

A determinao da distribuio das tenses decisalhamento estaticamente indeterminada.Deve-se considerar as deformaes do eixo paraa sua soluo.


Componentes das Tenses de Cisalhamento

1 - 4

O torque aplicado na barra circularproduz tenses de cisalhamento nas facesperpendiculares ao eixo axial.

A existncia destas tenses pode serdemonstrada, considerando que a barra feitade tiras axiais, conforme figura ao lado.

As condies de equilbrio requerem aexistncia de tenses iguais nas faces dos dois

planos que contm o eixo da barra.

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Cisalhamento na Toro

1 - 5

Considere um elemento no interior de uma seo deum eixo, submetido a um torque T.

Desde que a extremidade do elemento permaneceplana, a deformao de cisalhamento proporcionalao ngulo de toro.

Logo:

Temos ento:

mxmx e g

gf

gcL

c

LL

fg fg ou

Pela lei de Hooke para o cisalhamento:

LG fg


Cisalhamento na Toro cont.

dAJOnde 2:

1 - 6

Jc

dAc

dAT mxmx

2

Como a soma dos momentos internos causados pelatenso de cisalhamento deve ser igual ao torqueexterno,

Ficamos ento com: emxJ

T.

J

T .c

mxc

00

Logo, se:

Encontramos ento, a seguinte relao:

mxmx

cc

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Momento Polar de Inrcia

1 - 7

a) Eixos Circulares Cheios:

32

22.

2

4

4

0

2

2

2

DJ

ou

cdJ

ddAA

dAJ

c

b) Eixos Circulares Vazados:

)(32

44

ie DDJ

4

21 cJ

41

422

1 ccJ

41

422

1 ccJ ou


Deformao do Eixo ngulo de Toro

1 - 8

Verifica-se que o ngulo de toro no eixo, proporcional ao torque aplicado e aocomprimento do eixo.

L

T

f

f

A seo transversal de barras no circularessubmetidas a toro so distorcidas, devidas afalta de axisimetria.

Quando submetido a toro, o eixo circularpermanece com a sua seo tranversal plana esem distoro.

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ngulo de Toro

1 - 9

Sabemos que o ngulo de toro e a deformaode cisalhamento esto relacionadas por:

L

cmx

fg

Pela lei de Hooke para o cisalhamento:

JG

Tc

G

mxmx

g

Igualando as equaes e resolvendo para ongulo de toro, encontramos:

JG

TLf

Se o torque, a seo, o material ou o

comprimento variam ao longo do eixo:

i ii

ii

GJ

LTf


Exemplo 3.1

1 - 10

O eixo BC co com dimetro interno de90mm e dimetro externo de 120mm. Oseixos AB e CD so cheios e de dimetro d.Para o carregamento mostrado, determine:

(a) as tenses de cisalhamento minima emxima no eixoBC,

(b) o dimetro dnecessrio para os eixosAB e CD, se a tenso admissvel aocisalhamento para o material do eixo de65 MPa.

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1 - 11

SOLUO:

Corte o eixo atravs de AB e BC eaplique as equaes de equilbrio paraencontrar os torques internos:

CDAB

ABx

TTTM

mkN6

mkN60

mkN20

mkN14mkN60

BC

BCx

T

TM

Exemplo 3.1


1 - 12

Para o eixoBC, temos:

46

4441

42

m1092.13

045.0060.022

ccJ

MPa2.86

m1092.13

m060.0mkN2046

22max

J

cTBC

MPa7.64

mm60

mm45

MPa2.86

min

min

2

1

max

min

c

c

MPa7.64

MPa2.86

min

max

Para os eixos AB e BC, temos:

m109.38

mkN665

3

32

42

max

c

cMPa

c

Tc

J

Tc

mm8.772 cd

Exemplo 3.1

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Exemplo 3.2

4644

3

10021,1)(32

109,34

180

2

mDDJ

rad

L

GJT

GJ

TL

ie

1 - 13

Que valor de momento de toro deve seraplicado extremidade do eixo circular dafigura, de modo a produzir um ngulo de torode 20? Adotar G=80 GPa.

SOLUO:

LOGO:

mKNT

T

.9,1

109,345,1

10021,11080 369


Exemplo 3.3

03

6min

69

6

minmin

76,3106,65

1087520

1500

1087510801070

rad

radmm

mm

r

L

radG

i

g

g

1 - 14

Calcular, para o eixo da figura, o valor dongulo de toro que provoca uma tenso decisalhamento de 70 MPa na face interna doeixo. Adotar G=80 GPa.

SOLUO:

A distribuio das tenses noeixo se d como abaixo:

LOGO:

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Exemplo 3.4

1 - 15

Dois eixos slidos de ao soconectados por engrenagens.Sabendo que o material dos eixos temG= 77,2 GPa e tenso admissvel aocisalhamento de 55 MPa, determine:

(a) o torque mximo T0que pode seraplicado emA,

(b) o correspondente ngulo detoro emA.

900mm

25mm

19mm

650mm

62mm22mm


1 - 16

SOLUO:

Aplique a equao de equilbrio daesttica para as engrenagens,encontrando a relao entre TCDe T0

Aplique a analise cinemtica para asengrenagens, encontrando a relaoentre as suas rotaes

Exemplo 3.4

0

0

82.2

0

22mm0

TT

TFM

TFM

CD

CDC

B

62mm

62mm 22mm 62mm22mm

CB

CCB

CB

CCBB

r

r

rr

ff

fff

ff

82.2

62mm.

22mm.

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1 - 17

Encontre o correspondente ngulo de toropara cada eixo e a rotao da extremidadeA

o54,10Af

Exemplo 3.4

Encontre T0permitido em funode cada eixo e escolha o menor:

9,5mm

0,65m

12,5mm

0,9m

59,84N.m0 =>T

max J

cT

CD

CD

max J

x cT

AB

AB

74,07N.m0 =>T

0,009555MPa

42

0 T 0,0095

0,01258.255Mpa

42

0 T 0,0125

59,84 N.m0 T

o2.26rad394.0

oo

/

oo

2,2628.8,

28,894,22,82

BABA

CB

fff

ff

94

2

/Pa1077,20,0095m

0,6m59,84N.m

AB

ABBA

GJ

LTf

o

42

/

94.2,rad513.0

91077,20,0125

0,9 m59,84822,

CD

CDDC

GJ

LTf

Pa

2,82


Tenses em Planos Ortogonais ao Eixo

1 - 18

Elementos com faces perpendiculares eparalelas ao eixo axial, esto submetidas acisalhamento puro. Tenses normais e tensesde cisalhamento so encontradas para outrasorientaes.

mxmx

mxmx

A

A

A

F

AAF

2

2

245cos2

0

0

45

00

o

Considere um elemento a 45odo eixo axial,

Elemento aest sob cisalhamento puro.

Elemento c est submetido a trao em duasde suas faces e a compresso nas outras duas.

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Falhas Sob Toro

1 - 19

Materiais dcteis geralmentefalham por cisalhamento. Materiaisfrgeis so mais suceptiveis a falhas

por tenso normal.

Quando submetidos a toro, osmateriais dcteis rompem no planoonde ocorre a tenso decisalhamento mxima, isto , o

plano perpendicular ao eixo axial.

Quando submetidos a toro, os

materiais frgeis ropem em umplano que forma 45ocom eixo axial,isto , o plano onde ocorre a tensonormal mxima.


Eixos Estaticamente Indeterminados

1 - 20

So aqueles, onde o nmero de incgnitas aencontrar maior que o nmero de equaes daesttica aplicveis.

Ex: Dado o eixo da figura, desejamos determinaros torque reativos em A e B.

ABBA T

JL

JLT

GJ

LT

GJ

LT

12

21

2

2

1

121 0 fff

Dividindo o eixo em duas partes, as quaisprecisam ter compatibilidade de deformaes,

Da anlise do diagrama de corpo livre do eixo:

T BA TT

TJLJL

JLTB

2112

21

Substituindo na equao de equilbrio,

T12

21 AA TJL

JLT

TJLJL

JLTA

2112

12 e

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Projeto de Eixos de Transmisso

1 - 21

O projeto de eixos detransmisso (rvores) baseia-se

na Potncia transmitida e naVelocidade de rotao do eixo

O torque aplicado uma funo

da potncia e da velocidade derotao,

f

PPT

fTTP

2

2

A seo do eixo encontrada,

igualando-se a tenso mxima tensoadmissvel do material,

O projetista precisa selecionar omaterial e calcularadequadamente a seo do eixo,sem que exceda a tensoadmisvel do material e o ngulode toro mximo permitido paraa aplicao.

O ngulo de toro deve serverificado pela expresso:

JG

TLf

Eixo co2

Eixo cheio2

mx

41

42

22

mx

3

mx

Tcc

cc

J

Tc

c

J

J

Tc


Concentrao de Tenses

1 - 22

A equao da tenso de cisalhamento,

supe a seo circular uniforme, semdescontinuidades.

J

Tcmx

J

TcKmx

Nestes casos, deve-se multiplicar atenso pelo fator de concentr ao detenses:

A utilizao de acoplamentos, engrenagens,polias, etc., acopladas atravs de chavetas,ou no caso de descontinuidades na seo,causam concentraes de tenso.

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Concentrao de Tenses em Rasgos de Chaveta

1 - 23

Fatores de concentrao de tenso para um assento de chaveta, produzido porfresa de topo, em flexo.


Deformaes Plsticas Em Eixos

mxc

g

g

1 - 24

Na regio elstica do material: JTc

max

A deformao de cisalhamento varia linearmentecom a distncia ao centro da seo, independentedas propriedades do material. Podemos ento,continuar utilizando a relao:

Se a tenso de escoamento atingida ou se o materialtem uma cuva tenso-deformao no linear (materialfrgil), a expresso anterior no pode ser usada.

cc

ddT0

2

0

22

A integral do momento causado pela distribuiointerna das tenses de cisalhamento igual ao torqueexterno aplicado,

AA dAdFT ...

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Eixos de Material Elastoplstico

1 - 25

f

g Y

LY

O mximo torque elstico:

YYY ccJT 3

21

c

L YY

gf

e

A medida que o torque aumenta, uma regio plstica( ) se desenvolve no eixo, com ( )Y Y

Y

3

3

4

1

3

4

3

3

4

13

3

211

c

T

c

cT Y

YY

Y

3

3

4

1

3

41

f

fYYTT

Se , o torque atinge o seu valormximo,

0Y

plsticotorqueTT YP 34

Material Elastoplstico


Tenses Residuais

1 - 26

Uma regio plstica desenvolvida em um eixo, quandosubmetido a um torque suficientemente grande.

Na curva T-f, o eixo descarregado ao longo de umalinha reta, ficando no final com um ngulo residual,surgindo no final as tenses residuais..

Quando o torque removido, a reduo da tenso e dadeformao se d ao longo de uma linha reta, paralela areta inicial do carregamento.

As tenses residuais so encontradas pelo pricpio dasuperposio

0 dAJ

Tcm

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Exemplo 3.08/3.09

1 - 27

Um eixo circular macio sumetidoa um torque T=4,60 KN.m em cadauma de suas extremidades. Adotandoo material do eixo como sendoelastoplstico, com eG=77GPa determine:

(a) o raio do ncleo elstico,

(b) O ngulo de toro.

Aps a remoo do torque,determine:

(c) O ngulo de toro permanente,

(d) A distribuio das tensesresiduais.

MPa150Y


1 - 28

SOLUO:

a) Resolva a Eq. (3.32) e encontreo raio do ncleo elstico

31

3413

3

41

34

Y

YYY

T

T

ccTT

mkN68.3

m1025

m10614Pa10150

m10614

m1025

3

496

49

3214

21

Y

Y

Y

Y

Y

T

c

J

TJ

cT

cJ

630.068.3

6.434

31

cY

mm8.15Y

b) Resolva a Eq. (3.36) para o ngulode toro:

o33

3

49-

3

8.50rad103.148630.0

rad104.93

rad104.93

Pa1077m10614

m2.1N1068.3

f

f

f

ff

f

f

Y

YY

Y

YY

Y

JG

LT

cc

o50.8f

Exemplo 3.08/3.09

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1 - 29

TL

c) Utilize a Eq. (3.16) para o

ngulo de toro nodescarregamento. O ngulo detoro permanente a diferenaentre o gulo no carregamento eo no descarregamento:

o

33

3

949

3

1.81

rad108.116103.148

rad108.116

Pa1077m1014.6

m2.1mN106.4

ff

f

p

JG

o81.1pf

d) Utilize o mtodo da superposio

de efeitos para encontrar as tensesresiduais

MPa3.187

m10614

m1025mN106.449-

33

max

J

Tc

Exemplo 3.08/3.09


Toro em Barras No Circulares

1 - 30

Para altos valores de a/b, a tenso decisalhamento mxima e o ngulo detoro podem ser calculados pelas eq.Anteriores, desde que a seo sejaaberta.

Gabc

TL

abc

T3

22

1max f

Para sees retangulares uniformes,

As frmulas anteriormente vistas, sovlidas para eixos circulares.

Sees planas de barras no circularesno permanecem planas durante a toroe a distribuio da tenso e dadeformao no linear.

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Eixos Vazados de Paredes Finas

1 - 31

Somando as foras na direo x emAB,

a tenso de cisalhamento varia inversamentecom a espessura.

de cisalhamentofluxo

0

DD

qttt

xtxtF

BBAA

BBAAx

tA

T

qAdAqdMT

dAqpdsqdstpdFpdM

2

22

2

0

0

O torque e a tenso de cisalhamento socalculados conforme abaixo:

t

ds

GA

TL2

4f

O ngulo de toro calculado por:


Exemplo 3.10

1 - 32

Um tubo de aluminio de seoretangular de 60 x 100mm, fabricado

por extruso, submetido a um torque3 KN.m. Determine a tenso decisalhamento em cada uma das quatro

paredes, com:

(a) espessura uniforme de 4mm.

(b) espessura de parede de 3mm em ABeACe espessura de 5mm em CDeBD.

4mm4mm

100mm

60mm

100mm

60mm3mm

5mm

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1 - 33

SOLUO:

Determine o fluxo de cisalhamentoatravs das paredes do tubo:

A tenso de cisalhamento para cadaespessura de paredes o fluxo de

cisalhamento pela espessura.

a) Para espessura uniforme deparedes,

m

mKN

t

q3-

104

/02,279

MPa8,69

b) Para espessura de paredesvarivel

m

mKNACAB 3103

/02,279

MPaBCAB 0,93

MPaCDBC 8,55

Exemplo 3.10

96mm

56mmt=4mm

t=4mm

mKN

ATq

mA

02,27910376,52

1032

10376,510)5696(

3

3

236

m

mKNCDBD 3105

/02,279

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