3º Trigonometria - 200 Millas
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DEFINICIN
En geometra plana, el ngulo se define como la figura formada por dos rayos que parten de un mismo punto. En trigonometra se considera que un ngulo se genera por la rotacin de un rayo alrededor de su origen (llamado : vrtice )desde una posicin inicial (llamado : lado inicial) hasta una posicin terminal (llamado : lado final) Entonces la medida de un ngulo trigonomtrico es la expresin de la cantidad de rotacin ( o amplitud de rotacin) que efecta el rayo al girar en torno a su origen desde su posicin inicial hasta su posicin final. Esta medida ser un nmero positivo si la rotacin se efecta en sentido antihorario y negativo en caso contrario.
OA : lado inicial
OB : lado final.
0 : vrtice
: nmero que indica la medida del ngulo AOB.
En la las figuras adjuntas :
es positivo, es negativo,
es negativo.
Debemos tener presente que la medida de un ngulo trigonomtrico no tiene limite.
Observacin Al ngulo generado al rotar un rayo en sentido antihorario hasta que coincida por primera vez con su posicin inicial lo denominamos ngulo de una vuelta o ngulo de una revolucin.
Relacin de conversin de los tres sistemas.
Sean S, C y R los nmeros que representan la medida de un ngulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente.
Sabemos que : 1 vuelta = 360 = 400g = 2rad.
Entonces se cumple :
2
R
400
C
360
S
Simplificando :
R
200
C
180
S
Frmula o relacin de conversin
3
Secundaria
Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : RICHARD MENACHO TAIPE Fecha : 12/03/04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : NGULO TRIGONOMTRICO
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
O
O
0 A
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULAR
Sistema Sexagesimal
(Sistema ingls)
m < 1 vuelta = 360
Sistema Centesimal
(Sistema francs)
m < 1 vuelta = 400g
Sistema Radial
(Sistema circular)
m < 1 vuelta = 2rad
O
A
B
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
2
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Convierte /5 rad a grados sexagesimales : Solucin :
5
180
SR
360
S S = 36
/5 rad = 36
2) Convierte 60g a radianes : Solucin :
10
3S
R
200
60R
200
C
60g = 3/10 rad
3) Convierte /6rad a grados sexagesimales. Solucin :
/6 rad x
rad
180= 30
4) Convierte 25g a grados sexagesimales.
Solucin :
25g =
g
200
180 = 22,5
5) Convierte 80g a radianes.
Solucin :
80g . rad5
2
200
radg
CUESTIONARIO
I. Relaciona mediante una flecha las sgtes. equivalencias angulares :
1. /3 rad /8 rad
2. 100g /2 rad
3. 25g 60
4. 18 20g
5. 45 50g
6. 10g 9
II. Convierte a grados sexagesimales :
1. /9 rad ..............................................
2. /4 rad ..............................................
3. 2/3 rad ..............................................
4. 8g ..............................................
5. 40g ..............................................
III. Convierte a grados centesimales :
1.
0
5
18
..............................................
2. 4/3 rad ..............................................
3. 2/5 rad ..............................................
4. (1/5) ..............................................
5. 3/5 rad ..............................................
Unidad deseada : Grados sexagesimales
Unidad a eliminar : Radianes
Sabemos que :
180 = rad
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
3
PRCTICA DIRIGIDA
1).-Calcula la medida de un ngulo en radianes, si: S + C = 95
a)/2rad b) /4rad c) /3rad
d) rad e) N.A 1.1 Halla R en: 2S + 3C = 120
a) /8rad b)/4rad c) /12rad
d) /9rad e) N.A 1.2 Halla R en: 2S C = 40
a)/3 b) /2 c) /4
d) /8 e) N.A
2).- Simplifica :
Q =R20
R80SC2
a) 1 b) 2/3 c) 25 d) 5/4 e) N.A
2.1 Reduce :
P =
R20
SCSC
a)10 b)20 c)30 d)38 e)100 2.2 Reduce:
E = SC2R100C2S3
a) 21/19 b)19/21 c) 26/19 d)0 e) N.A
3).- Calcular:
T=
8rad10
1550g
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) N.A 3.1 Calcula :
T = 2040rad32 g
a)100 b)130 c) 128 d)136 e) N.A
3.2 Calcula :
T =
40rad3
6rad10
a) 1 b)1/2 c)1/3 d)1/4 e) 6/25
4).-Halla el ngulo en radianes tal que cumpla con:
SC
SC
R32
R32
a) 2/3rad b) 3/2rad c) 2/2rad
d) 3/5rad e) N.A 4.1 Halla el ngulo en radianes si:
S = 2X + 2 ; C = 3X 4
a) /7rad b) /4rad c) /5rad
d) 3/10rad e) /10 rad
4.2 Reduce:
Q =
22
22
SCSC
SCSC
a)181/180 b) 180/181 c) 90/91 d) 91/90 e) N.A
5).- Un ngulo mide (a-1) y en grados
centesimales (a+1)g, halla a
a)17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 5.1 Determina la medida del ngulo circular que
cumple:
S = 2xx y C = xx + 11
a) /6rad
b) /18rad
c) /15rad
d) /10rad
e) /5rad
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4
5.2 Dada la relacin: (2a - b) (a + b)g
Calcular el valor de:
E = ba
ba
a)1/4 b) 3/4 c) 7/4 d) 13/4 e)15/4
6).- Calcular R a partir de:
2R100
RR45
4CR
4SR2
3
a) 1/3 b) 0,5 c) 1 d) 2 e) 2.5 6.1 Calcule el ngulo en radianes si:
2C = m + 18; S = 4 + 3m
a)/20rad b) /10rad
c) /12rad d) /5rad
e)5/102
6.2 Si se cumple:
19
10
SC1
SC1
Calcular C:
a) 40 b) 20 c) 19
d) 30 e)N.A
7).- El ngulo de un tringulo mide 35 y el otro
5/9 rad. cunto mide el otro ngulo con el sistema centesimal?
a) 10g b) 20g c) 30g d) 40g e) 50g
8).- Los lados de un cuadriltero ABCD se miden en 3 sistemas diferentes. El ngulo A mide 30,
el ngulo B mide 5/6 rad y el ngulo C mide 90g cuanto mide el ngulo D en sexagesimales. a) 99 b) 100 c) 101 d) 102 e) 103
9).- De los grficos siguientes halla la medida de
x .
9.1) a) 59 b) 68 c) 69 d) 70 e) 80
9.2)
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34
9.3)
a) 70g b) 80g c) 100g d) 20g e) (100/9)g
9.4)
a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44
1)b 1.1)a 1.2)c 2)c 2.1)d 2.2)c 3)c 3.1)d 3.2)e 4)d 4.1)c 4.2)b 5)b 5.1)d 5.2)e 6)d 6.1)e 6.2)b 7)e 8)a
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS COL2004/3/TRIG-01
11/03/04 J.P.B
90g
/6 rad x
150 120g
/3rad
x
25
10g
/18 rad
x
xg
40
-
ARCO
Es una porcin cualquiera de una circunferencia.
AB : Arco AB A : Origen del arco AB B : Extremo del arco AB O : Centro de la circunferencia R : Radio de la circunferencia
LONGITUD DE ARCO :
L = - R
L : Longitud de arco AB R : Radio de la circunferencia
: Nmero de radianes del ngulo central.
(0 2)
SECTOR CIRCULAR
Se llama sector circular ala regin circular limitada por dos radios y el arco correspondiente. AOB : Sector circular AOB
REA DEL SECTOR CIRCULAR
El rea de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida de su ngulo central, en radianes, es decir : Donde : S : rea del sector circular AOB
Otras frmulas : a) b) OBSERVACIN : El incremento de un mismo radio R en un sector circular inicial de rea S (fig 1) produce un incremento de rea proporcional a los nmeros impares de S (fig. 2).
3
Secundaria
Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : RICHARD MENACHO TAIPE Fecha : 26/03/04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : ARCO Y SECTOR CICULAR
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
L
A
rad
R
O
R
B
O
A
B
B
A
S rad
R
R
S = 2
R.L S =
2
L2
O
R
R
S L O
R
R
S L
R
R
R
R
S 3S
5S 7S
R R R R
Fig.2
R S
R
Fig.1
B
A
R
-
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2
REA DE UN TRAPECIO CIRCULAR :
Se llama trapecio circular a aquella diferencia circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concntricos.
El rea de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular, multiplicada por su esparcimiento , es decir :
Donde : AT = rea del trapecio circular tambien :
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Calcula el valor del trapecio circular y encontrar la medida del ngulo central en la figura mostrada.
Solucin :
Se sabe : AT = 22
34
AT = 7m2
Adems : = 2
34
= = 0,5
2) Halla x si el rea del trapecio circular es 21m
2.
Solucin : Por dato : AT = 21
Por formula : AT =
2
9x - 2= x + 9
Igualamos : x + 9 = 21 x = 12m
3) Si la longitud del arco es igual a 4 halla el radio si
el ngulo central mide /3.
Solucin : Se sabe :
x R = L /3 x R = 4
R =12m.
4) Si la longitud del arco es igual a 3 halla el radio si
el ngulo central es igual a /4.
Solucin : Se sabe :
L = . r 3 = /4 R 12m = R
5) Hallar el valor el ngulo central si la longitud del
arco es igual a 8m, adems R = 10/.
Solucin : Se sabe :
L = . R 8 = . 10/
10
8 =
5
4
6) Halla el valor del ngulo central si la longitud del
arco es igual a 10m; adems R = 30/ Solucin :
Se sabe : L = . R 10 = x 30/
= /3
h
R
b B A1 rad
h
AT= h.2
bB
=h
bB
3m 4m AT rad
2m
2m
9m x
2m
2m
-
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3
CUESTIONARIO I. Relaciona mediante flecha : (1 Pts : c/u)
a) /2 36
b) /5 270
c) 2
3 90
d) 5
4 27
e) 20g 18
f) 30g 144
II. Escribe V o F segn corresponda :
(1 Pts: c/u)
a) /5 = 36 = 20g ( )
b) 9
2= 40 =
g
9
400
( )
c) 18 = 20g = /10 ( )
d) 27 = 30g =
7
2 ( )
e) 45 = (55)g = /4 ( )
f) 56 = 60g =
3
2 ( )
III. Subraya la alternativa correcta: (30Pts : 1 c/u)
1).- Calcula L en :
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 10
2).- Calcula : L en :
a) 12
b) 6
c) 18
d) 30 e) N.A.
3).- Calcula el rea del sector AOB.
a) 12
b) 6
c) 16
d) 8 e) N.A.
4).- Calcula el rea del sector AOB.
a) 12
b) 24
c) 12
d) 6 e) N.A.
5).- Calcula el rea del sector AOB.
a) 4
b) 5
c) 4,5
d)
e) 2
6).- Calcula L1 + L2 en la figura
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10 7).- Calcula : L1 + L2 + L3
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
/4
20
20
L
2/5
30
30
L
/6
12
12
A
B
D
8
6
6
A
B
O
45
6
6
A
B
D
L1
L2
L3
10 10 /3 6
8
/5
/4
6
/9 18 18
16 16 /4
L2
L1
-
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4
8).- Calcula x en la figura :
a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
9).- Calcula el rea del sector AOB
a) 3,5 b) 4,5 c) 5,5 d) 6,5 e) 9
10).- Calcula el rea sombreada.
a) 3 b) 6 c) 12 d) 24 e) 48
11).- Calcula x en: a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) N.A.
12).- Calcula el permetro de la regin sombreada. a) 11a b) 10a c) 9a d) 8a e) 22a
13).- Calcula el rea sombreada.
a) /4m2
b) 2m4
25
c) 2m4
25
d) 2m7
20
e) N.A.
14).- Calcula , x en:
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) N.A.
15).- De la figura, halla: L1 + L2
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8 e) N.A.
16).- Calcula, en: a) 1/3 b) 1/2 c) 2 d) 3 e) 1/5
17).- Calcula el rea de un sector circular cuyo
ngulo central mide /3 rad y su arco
correspondiente mide 6m.
a) 18 b) 36 c) 54
d) 46 e) N.A.
18 x x
5
2 D
C
O
3
3
2
A
B
4 8 x
a
3a
3a
a
5
5
5
5
5
x+3 x
3 2
2
2
10
5
2 3
5 2
3
20
30
L1
L2 36
-
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5
18).- Calcula el rea sombreada. a) 12 b) 13 c) 14 d) 10 e) 15
19).- Halla R en: a) 1 b) 3 c) 9 d) 27 e) N.A.
20).- Halla la longitud de una circunferencia sabiendo que a un arco de 1m le corresponde un ngulo central de 30.
a) 20m b) 12m c) 24m d) 40m e) 36m
21).- Del grafico mostrado calcula x : a) 8m b) 9m c) 10m d) 12m e) 18m
22).- Del grfico mostrado calcula 1
2
S
S.
Si AB = 20A a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
23).- De la figura , calcula x. a) (a + b)c
-1
b) c(a b)c-1
c) (b a)c
-1
d) (a b)c-1
e) c(a + b)
-1
24).- Del sector circular mostrado; calcula : (L1 + L2).
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
25).- Dado un sector circular de arco 12m de
radio (x + 3) y ngulo central 2 radianes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
26).- Halla el rea de un sector circular cuyo ngulo central mide 30 y su radio igual a 6cm.
a) cm2
b) 2cm2
c) 3cm2
d) 4cm2
e) 5cm2
27).- Halla el rea de un sector circular cuya longitud de arco es 12cm y radi0o 6cm. Calcula el rea de dicho sector circular.
a) 12cm
2 b) 36cm
2 c) 72cm
2
d) 46cm2
e) 16cm2
28).- Halla el rea de un sector circular de radio
6 , que es igual al rea de un tringulo
equiltero, cuyos lados es igual a la longitud de arco del sector.
a) 2 3 m2
b) 4 3 m2
c) 4m2
d) 3 m2
e) 9m2
6 0,5rad
2
2
2
3
3
R
R
4
x 6m 3S S
D
C
B
A
S2 S1 O
b a xrad
c
c
8m2 L2 L1
4m
4m
-
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6
29).- El permetro de un sector circular de 2cm
de radio es numricamente igual a 3 veces el nmer4o de radianes de su ngulo central. Halla el rea de dicho sector. a) 4cm
2 b) 6cm
2 c) 8cm
2
d) 10cm2
e) 16cm2
30).- Determina el rea de la regin sombreada, sabiendo que las reas de los sectores AOC y
BOD son iguales ( y radianes).
a) )(2
R2 b) )(
2
R2
c) )(4
R2 d) )(
4
R2
e) )(2
R2
CLAVES
1)b 2)a 3)a 4)b 5)c
6)c 7)c 8)d 9)b 10)c
11)b 12)a 13)c 14)a 15)d
16)b 17)c 18)b 19)b 20)b
21)d 22)d 23)d 24)b 25)b
26)c 27)b 28)a 29)c 30)a
R
B
O
D
A C
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
COL2004/3/TRIG-02
24/03/04 J.P.B
-
1) DEFINICIN Son aquellos nmeros que resultan de dividir dos
lados de un tringulo rectngulo.
2) TEOREMA DE PITGORAS
Fig(1)
La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a2 + b2 = c2
3) RAZONES TRIGONOMTRICAS
Dado el tringulo ABC, recto en C segn la figura (1), se establecen las siguientes definiciones.
Sen = Hipotenusa
OpuestoCateto
Cos = Hipotenusa
Ady acenteCateto
Tg = Ady acenteCateto
OpuestoCateto
Ctg = OpuestoCateto
Ady acenteCateto
Sec = Ady acenteCateto
Hipotenusa
Csc = OpuestoCateto
Hipotenusa
4) RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LOS NGULOS NOTABLES
24
16 30 37 45 53 60 74
Sen 7/25 1/2 3/5 2 /2 4/5 3 /2 24/25
Cos 24/25 3 /2 4/5 2 /2 3/5 7/25
Tg 7/24 3 /3 1 4/3 3 24/7
Ctg 24/7 3 4/3 1 3 /3 7/24
Sec 25/24 2 3 /3 5/4 2 5/3 2 25/7
Csc 25/7 2 5/3 2 5/4 2 3 /3 25/24
5) PROPIEDADES 5.1. RAZONES TRIGONOMTRICAS
RECPROCAS
Son recprocos entre si : a) Seno y Cosecante
b) Coseno y Secante
c) Tangente y Cotangente
Luego :
a) Senx . Cscx = 1
b) Cosx . Secx = 1
c) Tgx . Ctgx = 1
3
Secundaria
Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : RICHARD MENACHO TAIPE Fecha : 15/04/04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : RAZONES TRIGONMETRICAS DE UN NGULO AGUDO
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
16
25 74 2 1 60
30 7
3
1
2
45
45
1
37
53
4
3 5
B
A C
(Cateto opuesto) c
a
b (Cateto adyacente)
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
2
5.2. RAZONES TRIGONOMTRICAS COMPLEMENTARIAS
Razones Razones Trigonomtricas Complementarias
Seno Coseno Secante Cosecante Tangente Cotangente
En general : + = 90
a) Sen = Cos
b) Sec = Csc
c) Tg = Ctg
PROBLEMAS RESUELTOS 1) Halla E :
E = Sen Csc + Tgx . Ctgx Solucin:
E = Sen Csc + Tgx . Ctgx
1 + 1 E = 2
2) Si : + = 90; halla E :
E =Sen + Cos + 2 (Sen + Cos) Solucin :
E = Sen + Cos + 2 (Sen + Cos)
E = Sen + Sen + 2(Sen + Sen)
E = 2Sen + 4Sen
E = 6Sen
3) Si : x + y = 90 ; halla E : E = Senx Cosy + Senx Csc Solucin : E = Senx Cosy + Senx Cscx
E = Senx Senx + 1
E = 1
4) Halla E:
E =
50Csc
40Sec
63Ctg
27Tg
60Cos
30Sen
Solucin :
E =
50Csc
40Sec
63Ctg
27Tg
60Cos
30Sen
E =
40Sec
40Sec
63Ctg
63Ctg
60Cos
60Cos
E = 1 + 1 + 1 E = 3
5) En la figura , calcula x :
Solucin :
Por Pitgoras , se cumple :
(x + 1)2 = x
2 + (x 1)
2
x2 + 2x + 1 = x
2 + x
2 2x + 1
2x + 1 + 2x 1 = 2x2 x
2
4x = x2
x = 4
6) Halla E :
E =
86Ctg
4Tg
12Sen
78Cos3
75Cos
25Sen
Solucin :
E =
86Ctg
4Tg
12Sen
78Cos3
75Cos
25Sen
E =
86Ctg
86Ctg
12Sen
12Sen3
25Sen
25Sen
E = 1 + 3 + 1 E = 5
x
x+1 x-1
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
3
C U E S T I O N A R I O
1).- Calcula x en la figura
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
2).- Calcula x en la figura: a) 7 b) 9
c) 13
d) 11
e) 20
3).- En la figura, calcula Sen
a) 1 b) 2 c) 3/4 d) 4/5 e) 7
4).- Calcula en la figura, Tan
a) 3 b) 2 c) 1
d) 5
e) 4/3
5).- Si; Sen= 7/25. Calcula: Cot
a) 7/24 b) 24/7 c) 7/25 d) 1 e) 5
6).- Si: Sen = 40/41, calcula: E = Csc + cot
a) 4/5 b) 5/4 c) 1 d) 2 e) 3
7).- Si: Sen = 60/61. Calcula el valor de:
P = Sec + Tan
a) 11 b) 60 c) 61 d) 7 e) 12
8).- Si: Tan = 0,333.........
Calcula: E = SenCos
a) 2/10 b) 3/10 c) 10/3 d) 5 e) N.A
9).- Siendo un ngulo agudo para el cual se
tiene que Cos = 40/41; Determina el valor de k tal que se verifique.
kCtg + 1 = kcsc
a) 40 b) 41 c) 9 d) 10 e) 21
10).- Siendo Sen = 15/17 y es un ngulo. Calcula el valor de x en la igualdad:
xCos + 7 = Sen.
a) 9 b) 8 c) 13 d) 15 e) 17
11).- Si se tiene que es agudo y
Cos = 3/4. Calcula el valor de:
E = Csc2 +
7
4 Ctg
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12).- Siendo un ngulo agudo y adems
Tg = 3/5. Calcula:
E = 3Sen + 5Cos
a) 3 b) 34 c) 5
d) 29 e) 4
13).- Calcula Tag en la figura:
a) 1/2 b) 1/3 c) 2 d) 3/2 e) 3/4
x
61
60
3 2
x
4
5
x-1
x+1
x
45
53
2a a
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
4
14).- Del grfico mostrado, calcula Tg
a) 1/3 b) 1/2 c) 3/4 d) 4/3
e) 2
15).- Calcula el valor de x en la figura.
a) 102 b) 112 c) 122 d) 92 e) 84
16).- Calcula el valor de x
a) 11
b) 13
c) 15
d) 17
e) 19
17).- Calcula x en: Sen10 = Cosx a) 10 b) 80 c) 40 d) 50 e) 60
18).- Calcula: x
Tan (3x + 10) = Cot50
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
19).- Si: Sec(2a + b) Csc(a + 2b) = 0 Calcula: a + b
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 22 20).- Si: x + y = 20; calcula : Q = Sen(x + y + 30) Cos(3(x+y)-20)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
CLAVES
1) c 2) d 3) d 4) e 5) b
6) b 7) a 8) b 9) c 10) e
11) d 12) b 13) d 14) b 15) b
16) b 17) b 18) b 19) c 20) a
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
COL2004/3/TRIG-03
15/04/04 J.P.B
37
B C
D A
x
45 37
48 2
3
60
4
x
C A
B
-
1. DEFINICIN
Son aquellos ngulos representados en el plano vertical.
2. CLASIFICACIN
2.1. NGULO DE ELEVACIN Es aquel formado por la lnea horizontal y la visual. La visual es una lnea imaginaria, que parte del observador hacia el objeto y que est por encima de la lnea horizontal.
2.2. NGULO DE DEPRESIN Es aquel ngulo formado por la lnea horizontal y la visual. La visual lnea imaginaria que parte del observador hacia el objeto y que est por debajo de la lnea horizontal.
PROBLEMAS RESUELTOS
1) A 24 m de la base de un edificio se observa la parte ms alta de ste con un ngulo de elevacin de 16. Calcula la altura del edificio. Solucin :
En la figura :
Tan16 = 24
7=
24
x
x = 7m 2).- Desde lo alto de un edificio de 40m de altura
se observa un punto en la tierra con un ngulo de depresin de 53. A que distancia de la base del edificio se encuentra el punto? Solucin :
En la figura :
Tan37 = 40
x
4
3=
40
x x =30m
3) Un nadador se dirige hacia un faro y lo
observa con un ngulo de elevacin de 30 al avanzar 10m ; el ngulo de elevacin se duplica. Halla la altura del faro.
3
Secundaria
Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : John Flores Gamarra Fecha : 18/06/04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : NGULOS VERTICALES
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
OBSERVADOR
ng. de elevacin
L. Horizontal
OBJETO
OBSERVADOR
ng. de depresin
L. Horizontal
OBJETO
Punto 53
40
53
37
x
Poste
Observador
x
24
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
2
Solucin :
En la figura :
10
H= Sen60
10
H=
2
3
H =5 3 m
4).- Desde las azoteas de dos edificios de 80 y
12m de altura, se observa un punto en el suelo entre ambos edificios con ngulos de depresin de 53 y 37 respectivamente. Calcula la distancia entre ambos edificios.
Solucin :
X = 76m
5).- Una persona de 2m de estatura observa la base de un poste de luz con un ngulo de depresin de 30 y la parte superior con un ngulo de elevacin de 60. Calcula la altura del poste.
Solucin :
Se observa : x = 8m
6).- Desde un punto A situado a 30m del pie de un edificio, se observa su parte superior con un ngulo de elevacin de 30. Calcula la distancia del punto A hacia la parte superior. Solucin :
Se observa : 30
x = Sec30
30
x =
3
2
x = 20 3
CUESTIONARIO
I. Escribe verdadero (V) o falso(F)
(2Pts : 1/3 c/u)
a) En el ngulo de elevacin la visual se encuentra por debajo de la lnea horizontal. ( )
b) En el ngulo de depresin la visual se encuentra por debajo de la lnea horizontal. ( )
c) El ngulo de depresin es mayor de una vuelta. ( )
d) Los ngulos verticales estn formado por una lnea horizontal y visual. ( )
e) Los ngulos verticales se ubican en el plano horizontal. ( )
II. Completa los espacios vacos. (2Pts)
a) Los ngulos verticales estn formados por
una lnea .............................. y una lnea
visual.
b) En el ngulo de elevacin la lnea visual
esta por ............................. de la lnea
horizontal.
30 60
30
10 H
faro
10
80
53 37
37
12
16 60
53
x
60
30
30 2 4
38
x
poste
A 30
60
30m
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
3
c) En el ngulo de ......................... la visual
est por debajo de la
...................................
d) Los ngulos de elevacin y depresin son
...........................................................
e) En el ngulo de elevacin, la visual es una
lnea ................................. que contiene a
un ................................. por encima de la
......................................................
III. Subraya la alternativa correcta 1) En el ngulo de elevacin la visual est: a) Por debajo de la lnea horizontal b) Por encima de la lnea horizontal c) Paralela a la lnea horizontal d) Perpendicular a la lnea horizontal 2) En el ngulo de depresin la visual est : a) Por encima de la lnea horizontal b) Por debajo de la lnea horizontal c) Paralela a la lnea horizontal d) Perpendicular a la lnea horizontal 3) Los ngulos verticales estn a) En el plano horizontal b) En el plano vertical c) En el espacio d) En tres dimensiones 4) Los ngulos verticales estn formados por una
lnea visual y una lnea. a) Vertical b) Paralela a la visual c) Horizontal d) Paralela a la vertical 5).- Un observador se encuentra a 24m de la
base de un poste de 7m de altura. Cul es el ngulo de elevacin respectivo?
a) 16 b) 12 c) 14 d) 22 e) N.A.
6).- Una escalera de 6m de longitud es apoyada
sobre una pared, formando con ste un ngulo de 30, calcula la distancia entre los pies de la escalera y la pared.
a) 6 b) 4 c) 3 d) 8 e) N.A.
7).- Desde lo alto de un edificio de 100m de
altura se observa un auto estacionado bajo un
ngulo de depresin de 60. Calcula la distancia desde el auto hasta el pie del edificio en el punto que esta bajo el observador.
a) 3
3100 b)
3
3 c) 3 3
d) 5
3100 e) N.A
8).- La parte superior de un edifico de 48m de
altura es observada bajo un ngulo de elevacin de 53. Cul es la distancia entre el observador y el pie del edificio?
a) 36m b) 32m c) 24m d) 38m e) N.A.
9).- Desde la parte superior de un morro de 77m de altura se observa un objeto que est ubicado a 264m del pie del morro. Cul es el ngulo de depresin? a) 14 b) 16 c) 12 d) 10 e) N.A.
10).- A 20 m del pie de un poste la elevacin
angular para lo alto del mismo es de 37. Cul es la altura del poste?
a) 12 b) 10 c) 15 d) 14 e) N.A.
11).- Desde un punto A situado a 30m del pie de
un edificio, se observa su parte superior con un ngulo de elevacin de 30. Calcula la distancia del punto A hacia la parte superior.
a) 3 b) 20 3 c) 3 /2
d) -2 3 e) N.A.
12).- A 20 m de una torre se observa su parte
ms alta con un ngulo de elevacin y si nos alejamos 10m el ngulo de elevacin es el
complemento de . Calcula Tg.
a) 2
3 b)
2
3 c) 2
2
3
d) 3
5 e) N.A.
13).- Desde un punto en el suelo se ubica la
parte superior de un ngulo con una elevacin angular de 37. Nos acercamos 5m y la nueva elevacin angular es de 45. Halla la altura del rbol.
a) 12 b) 14 c) 15 d) 10 e) 8
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
4
14).- Desde un punto en el suelo se observa la
parte ms alta de una torre con un ngulo de elevacin de 60. Si se retrocede 40m y se vuelve a observar la parte ms alta, el ngulo de elevacin es de 30. Halla la altura de la torre.
a) 3 3 b) -3 3 c) 20 3
d) 3 e) N.A.
15).- Una persona colocada a orillas de un ro, ve
el extremo superior de un rbol plantado sobre la ribera opuesta, bajo un ngulo de elevacin de 60. Si se aleja 40m; el ngulo de elevacin es 30. Halla el ancho del ri.
a) 23 b) 22 c) 20 d) 18 e) 14
16).- Una persona ubicada en la parte ms alta de un poste de alumbrado pblico ubica dos puntos opuestos a ambos lados del poste con ngulo de depresin de 37 y 53. Si los puntos distan entre si 20m. Halla la suma de las visuales.
a) 22 b) 25 c) 20 d) 18 e) 32
17).- Calcula la altura de un rbol, si desde dos puntos ubicados a un mismo extremo del rbol, se observa lo alto con ngulos de elevacin de 30 y 60, adems se sabe que la distancia
entre ellos es de 20 3 m.
a) 30 b) 28 c) 24 d) 20 e) N.A.
18).- Desde la parte superior de una torre se observan dos piedras en el suelo con ngulo de depresin de 37 y 53. Si la altura de la torre es de 12m y las piedras estn en lnea recta y a un mismo lado de la torre, calcula la distancia entre las piedras.
a) 12 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
19).- Una antena de radio esta colocada en la azotea de un edificio, a 12m de distancia del edifico, sobre el suelo; los ngulos de elevacin de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 53 y 37 respectivamente. Halla la longitud de la antena.
a) 14 b) 7 3 c) 7
d) 10 e) N.A.
20).- Desde el extremo superior de una torre de 24m de altura se observan los puntos A y B con ngulos de depresin de 37 y 53 respectivamente. Si los puntos A y B se encuentran alineados con la torre. Calcula la distancia entre dichos puntos.
a) 7 3 b) 14 c) 16
d) 10 e) N.A.
CLAVES
1) b 2) b 3) b 4) c 5) a
6) c 7) a 8) a 9) b 10)c
11)b 12)b 13)c 14)c 15)c
16)b 17)a 18)c 19)c 20)b
21)b
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
COL2004/3/TRIG-04
17/06/04 J.P.B
-
I. NGULO EN POSICIN NORMAL
Un ngulo trigonomtrico esta en posicin normal si su vrtice esta en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje x. Si el lado final esta en el segundo cuadrante, el ngulo se denomina ngulo del segundo cuadrante y anlogamente para los otros cuadrantes. Si el lado final coincide con un eje se dice que el ngulo no pertenece a ningn cuadrante. Ejm :
II. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE
NGULOS EN POSICIN NORMAL
Si es un ngulo cualquiera en posicin normal, sus razones trigonomtricas se definen como sigue :
Donde :
Sen = v ectorradio
ordenada
r
y
Cos = v ectorradio
abscisa
r
x
tag = abscisa
ordenada
x
y
Csc = ordenada
v ectorradio
y
r
Sec = abscisa
v ectorradio
x
r
Cot = ordenada
abscisa
y
x
SIGNOS DE LAS R.T. EN CADA
CUADRANTE
Como regla prctica se usa el siguiente esquema para el reconocimiento de los signos de las R.T solamente para valores positivos.
NGULO CUADRANTAL
Un ngulo en posicin normal se llamar cuadrantal cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningn cuadrante.
3
Secundaria
Alumno(a) :.................................................................................................. Profesor (a) : RICHARD MENACHO TAIPE Fecha :27/08/04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
x
y
(1)
x
y
90
(2)
0
I
II III
90 a ningn cuadrante no esta en posicin normal
P(x, y)
r
0 x
Ojo :
r =22
yx
x : abscisa y : ordenada r : radio vector
todas Sen Csc
Cos Sec Tg Ctg
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
2
Los principales ngulos cuadrantales son : 0, 90, 180, 270 y 360, que por comodidad grfica se escribirn extremos de los ejes. PROPIEDAD
Si es un ngulo en posicin normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple :
Si I 0 < < 90
Si II 90 < < 180
Si III 180 < < 270
Si IV 270 < < 360 R.T. DE NGULOS CUADRANTALES
El siguiente cuadro muestra las R.T de los ngulos cuadrantales
0 90 180 270 360
Sen 0 1 0 -1 0
Cos 1 0 -1 0 1
Tg 0 ND 0 ND 0
Cot ND 0 ND 0 ND
Sec 1 ND -1 ND 1
Csc ND 1 ND -1 ND
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Halla x
Solucin :
Aplicamos la formula : r = 22 yx
que es lo mismo : r2 = x
2 + y
2
Reemplazamos y por 12 y r por 13 en
la igualdad anterior.
x2 + 12
2 = 13
2
x2 + 144 = 69
x2 = 25
x2 = 5
Como x esta en el segundo cuadrante entonces tiene que ser negativo.
x = -5
2) Halla y
Solucin : Anlogamente aplicamos : x
2 + y
2 = r
2
Reemplazamos x por 8 r por 17 en
la igualdad anterior.
(-8)2 + y
2 = 17
2
64 + y2 = 289
y = 225
y = 15
Como y esta en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo.
90
II
360 180
270
0
I
III IV
0
y
x
(x; 12)
13
0
y
x
17
(-8; y)
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
3
3) Qu signo tiene?
E =
300Tan
200Cos.100Sen
Solucin :
100 II Sen100 es (+) 200 III Cos200 es (-) 300 IV Tan300 es (-)
Reemplazamos E = )(
))((
E = )(
)(
E = (+)
4) Si II Cos2 = 2/3 ; halla Cos.
Solucin :
Despejamos Cos de la igualdad.
Cos2 = 2/9
Cos = 3
2
Como R entonces Cos es negativo, por tanto.
Rpta : Cos = -3
2
5) Si IV Tan2 =
25
4. Halla Tan
Solucin :
Despejamos Tan de la igualdad
Tan2 =
25
4
Tan = 5
2
Como IV entonces Tan es negativa por tanto :
Rpta : Tg = 5
2
6) Calcula : E =
2Sec2
3Cot
Cos2
Sen2
Solucin :
Los ngulos estn en radianes,
haciendo la conversin obtenemos.
2
= 90
= 180
32
= 270
2 = 360
Reemplazamos :
E =
360Sec270Cot
180Cos90Sen2
E = 10
)1()1(2
Rpta : E = 3
CUESTIONARIO
1).- Halla Cos : a) 3/5 b) 4/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 5/9
0
(x; 4)
5
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
4
2).- Halla Tg
a) -2
53 b)
4
59 c)
7
53
d) 3/9 e) 5/4
3).- Halla Sen
a) 25
24 b)
20
10 c)
60
40
d) 30
15 e)
20
18
4).- Si IV Tan2 = 4/25. Halla Tg
a) 2/5 b) 5
2 c)
5
3
d) -5
3 e)
8
2
5).- Si II. A que cuadrante pertenece?
2
+ 70
a) I b) II c) III d) IV e) II y III
6).- Calcula el valor de E para x = 45
E = x8Cosx4Tan
x6Cosx2Sen
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7).- Del grfico mostrado, calcula :
E = Sec . Csc
a) 1 b) 42
13 c)
13
42
d) 42
13 e)
13
42
8).- Del grfico mostrado, calcula :
E =Sec + Tg
a) - 5 b) 5 c) 5
5
d) 5
5 e) 1
7
(2; y)
x
y
0
25
x
y
(-7; y)
0
( 7;6 )
y
x
x
y
(- 5 ; -2)
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
5
9).- Del grfico, calcula :
E = Cot + Csc
a) 3/4 b) 3/4 c) 1 d) 4/3 e) 4/3
10).- Si (5; 12) es un punto del lado final de un
ngulo en posicin normal . Halla el valor de :
E =
Cos
Sen1
a) 5 b) -5 c) 1/5 d) 1/5 e) 10
11).- Si el lado final de un ngulo en posicin normal pasa por el punto (-3; 2) halla el valor de :
E =
Csc
Sec
a) 13 b) 3/2 c) 3/2
d) 2/3 e) 2/3
12).- Si el punto (-8;-15) pertenece al lado final
de un ngulo en posicin normal . Halla el valor de :
E = Sec + Tg a) b) c) 4 d) 4 e) -1
13).- Dado el punto (1; -2) correspondiente al lado final de un ngulo en posicin normal
. Halla EL valor de :
E = Cot - Csc2
a) 9/4 b) 9/4 c) 7/4 d) e) 3/4
14).- Si Tan > 0 Sec < 0, en que
cuadrante se encuentra .
a) I b) II c) III d) IV e) I y II
15).- Halla el signo de : E = Tan125.Cos
2200.Sen
3310.Cos180
a) + b) - c) + v -
d) + - e) No tiene signo
16).- Si : Csc < 0 Sec > 0. en que
cuadrante esta ?
a) I b) II c) III d) IV e) Es cuadrantal
17).- Halla el signo de : E = Cot432 . Tan
2134.Csc
3214 . Sec
4360
a) + b) - c) + v -
d) + - e) No tiene signo
18).- Si : Cos= 2/5 IV. Halla Cot.
a) 21
2 b)
21
2 c)
21
5
d) 21
5 e)
2
5
19).- Si Sen=1/3 II. Halla Tan.
a) 4
2 b) -2 2 c)
2
2
d) 2 2 e) 4
2
(7; -24)
x
y
0
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
6
20).- Si (3; 4) es el punto del lado final de un
ngulo en posicin normal . Halla el valor de :
E =
Cos1
Sen
a) 1 b) 2 c) d) 3 e) 1/3
21).- Si el lado final de un ngulo en posicin
normal pasa por el punto (-1; 2), halla el valor de:
E = Sec. Csc a) 5/2 b) 5/2 c) - 2/5 d) 2/5 e) 1
CLAVES
1) c 2) a 3) a 4) b 5) b
6) a 7) b 8) c 9) e 10)c
11)d 12)a 13)c 14)c 15)b
16)d 17)b 18)b 19)e 20)b
21)a
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS COL2004/TRIG-05
23/08/04 J.P.B
-
1.- NGULOS POSITIVOS MENORES DE
UNA VUELTA:
a).- EN GENERAL:
R.T. 180 360
= RT()
R.T.
2
= RT()
R.T. 90 270
= Rcomp.()
R.T. 2
2
3
= Rcomp.()
b).- CASO PARTICULAR:
II C 180 -
III C 180 +
IV C 360 -
2.- NGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA.
2.1.-PROCEDIMIENTO:
a).- Se divide el ngulo dado entre el ngulo de una vuelta.
b).- Se iguala la R.T. del ngulo dado con la R.T. del residuo.
c).- Si fuera necesario se reduce al primer cuadrante.
3.- NGULOS NEGATIVOS:
a).- Sen(-x) = -Senx
b).- Cos(-x) = Cosx
c).- Tg(-x) = -Tgx
d).- Ctg(-x) = -Cotx
e).- Sec(-x) = Secx
f).- Csc(-x) = -Cscx
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Simplifica:
E = Senx
)x(Sen
)x(Cos
Cosx
360
180
Solucin:
E = Senx
Senx
Cosx
Cosx
E = -1 1
E = -2
2.- Simplifica:
E =
x
Tg.)x(Sec
)x(Cot.x
Csc
2
2
1ra forma 2da forma
II 180 -
-
90 +
/2 +
III 180 +
+
270 -
3/2 -
IV 360 -
2 -
270 +
3/2 +
3
Secundaria
Alumno(a) :....................................................................... Profesor (a) : Richard Menacho Taipe Fecha: 10/09/04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : REDUCCIN AL I CUADRANTE
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
1 Unidad Temtica N VII 2 Objetivo N VII.1 3 Tema N VII 4 Contenido N 7.1; 7.2
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
2
Solucin: Por reduccin al I cuadrante
)Cotx)(Secx(
)Cotx)(Secx(E
E = (-1)(1)
E = -1
3.- Reduce al primer cuadrante Tan 870.
Solucin:
Tan(870) = Tg[2(360)+150]
Tan 870 = Tg150
Reduciendo 150 al primer cuadrante
Tg150 = Tg(180-30)
Tg150 = -Tg30
Tg870 = -Tg30
Tg870 = -3
3
4.- Reduce al primer cuadrante Sen 1215
Solucin:
Sen1215 = Sen[3(360)+135]
Sen1215 = Sen135
Sen1215 = Sen(180-45)
Sen1215 = Sen45
Sen1215 = 2
2
5.- Calcula E = 60210 CosSen
Solucin:
Por reduccin al I cuadrante
60120 CosSenE
6030180 Cos)(SenE
6030 CosSenE
2
1
2
1E
E = 0 E = 0
6.- Simplifica:
E =
60
3027090
Cos.Cotx.Cosx
Sen).x(Tg.)x(Sen
Solucin: Por reduccin al I cuadrante
60
30
Cos.Cotx.Cosx
sen.xcot.xcosE
E = 1
CUESTIONARIO
1).- Calcula E = 120240 SenSen
a) 1 b) 0 c) 2
d) 4 3 e) 2
2).- Calcula E =
315
300
Tan
Sen
a) 2
1 b)
2
1 c)
2
3
d) 2
3 e)
3
2
3).- Calcula E = Sec135.Csc150
a) 22 b) 22 c) 2
d) 2 e) 2
4).- Simplifica:
E = )x(Cot
)x(Tan
180
270
a) 0 b) 1 c) 1 d) Tan
2x e) Ctg
2x
5).- Calcula E = Cos210-Tg120
a) 0 b) -2
3 c) 32
d) 32 e) 2
3
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
3
6).- Calcula:
E =
240
120
Cot
Sen
a) 2/3 b) 2/3 c) 3/2
d) 3/2 e) 33
7).- Calcula
E = Sen225.Cos210
a) 2
1 b)
4
3 c)
4
33
d) 4
6 e)
4
3
8).- Simplifica
E = )x(Cos
)x(Sen
360
270
a) 0 b) 1 c) -1 d) Tgx e) Cotx
9).- Si Cos10 = a A qu es igual?
E = Sen100 . Cos190
a) a2
b) a2
c) 1 d) a
4 e) a
4
10).- Si: Sen40 = k A que es igual? E = Sen140.Cos130
a) k b) k
2 c) k
-2
d) k4 e) k
-4
11).- Reduce al primer cuadrante. Tan10000
a) Tan80 b) Tan80 c) Tan70 d) Tan70 e) Tan10
12).- Reduce al primer cuadrante Sen8230 a) Sen10 b) Sen22 c) Sen50 d) Sen50 e) Sen10
13).- Simplifica:
E = )x(Cot
)x(Tan
)x(Sen
)x(Sen
180
270
360
180
a) 0 b) 3 c) -3 d) 1 e) 1
14).- Simplifica:
E = Senx
)x(Sen
)x(Cos
Cosx
360
180
a) 0 b) 2 c) -2 d) 1 e) 1
15).- Calcula:
E =
15101430
1500750
CosSen
CosSen
a) 0 b) 1 c) -1 d) 3 e) -3
16).- Simplifica:
E =
1860765
11201490
TanTan
CosSen
a) 1 b) 3 c) 0
d) - 3 e) 3
3
17).- Calcula:
E = (b - 1)Sen450 - (b + 1)Cos900
a) 0 b) 2 c) -2 d) 26 e) -26
18).- Simplifica:
E = (a + 1)Cos540 - (a - 1)Sen630 a) 2 b) 2 c) 2a d) 2a e) 0
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
4
19).- Calcula:
E = )(Cot
)(Csc
315
240
a) 2 b) 3
2 c)
3
2
d) 2 e) 1
20).- Calcula
E = )(Tan
)(Sen
135
120
a) 2
1 b)
2
1 c)
2
3
d) 2
3 e)
3
2
CLAVES
1) b 2) c 3) a 4) b
5) e 6) c 7) d 8) c
9) b 10) b 11) b 12) c
13) a 14) d 15) a 16) c
17) d 18) b 19) b 20) d
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
COL2004/3S/TRIG-06
08/09/04 V.A.A.
-
I.- DEFINICIN: Una identidad trigonomtrica es una igualdad que contiene expresiones trigonomtricas que se cumplen para todo valor admisible del ngulo. Ejm:
* Identidad Trigonomtrica: Sen2+cos
2=1
II.- IDENTIDADES FUNDAMENTALES: Las identidades trigonomtricas fundamentales sirven de base para la demostracin de otras identidades ms complejas.
Pitagricas Se clasifican Por Cociente
Recprocas
2.1.- IDENTIDADES PITAGRICAS:
a).- Sen2 + Cos
2 = 1
b).- Sec2 - Tg
2 = 1
c).- Ctg2 - Cotg
2 = 1
2.2.- IDENTIDADES POR COCIENTE:
a).- Tan = Cos
Sen
b).- Ctg = Sen
Cos
2.3.- IDENTIDADES RECPROCAS:
a).- Sen.Csc = 1
b).- Cos.Sec = 1
c).- Tg.Cot = 1
III.- IDENTIDADES AUXILIARES:
a).- Sen4 + Cos
4 = 1 2Sen
2.Cos
2
b).- Sen6 + Cos
6 = 1 - 3Sen
2.Cos
2
c).- Tan + Cot = Sec.Csc
d).- Sec6 + Csc
6 = Sec
2.Csc
2
e).- (1+Sen+Cos)2=2(1+Sen)(1-Cos)
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Reduce: K = Sen
4x - Cos
4x + 2Cos
2x
Solucin:
Por diferencia de cuadrados:
K = (Sen2x+Cos
2x)(Sen
2x-Cos
2x)+2Cos
2x
K = Sen2x-Cos
2x+2cos
2x
K = Sen2x+Cos
2x
K = 1
2.- Simplifica:
E = xcos
senx
senx
xcos
1
1
Solucin: Operando:
)xcos(Senx
)senx)(senx()xcos)(xcos(E
1
11
E = )xcos(senx
xsenxcos
1
1 22
E = )xcos(senx
)xcosxsen(
1
1 22
E = )xcos(senx
1
11
E = )xcos(senx 1
0 = 0
3.- Si: Senx + Cosx = 2
1.
Halla: Senx.Cosx
3
Secundaria
Alumno(a) :....................................................................... Profesor (a) : Richard Menacho Taipe Fecha: 24/09/04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Unidad Temtica N 8 Objetivo N 7,8 Tema N IX Contenido N 9.1;9.2;9.3;9.4
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
2
Solucin:
Del dato: (senx + cosx)2 =
2
2
1
Sen2x + cos
2x + 2senx.cosx =
4
1
1 + 2senx.cosx = 4
1
2senx.cosx = 4
1 - 1
2senx.cosx = 4
3
senx.cosx = 8
3
4.- Elimina x, a partir de:
Senx = a Cosx = b
Solucin: De: Senx = a Sen2x = a2
Cosx = b Cos2x = b2
Sen2x + Cos
2x = a
2 + b
2
1 = a2 + b
2
5.- Halla tan + cot
Si: Sen
Cos
Cos
Sen = 5
Solucin:
E = sen.cos
cos.cossen.sen
E = sen.cos
cossen 22
E = sen.cos
1
E = sen
.cos
11
E = Sec.Csc
Pero: E = tg + ctg = sec.csc
tg + ctg= 5
6.- Halla Sec6 + Csc
6 ; si:
SenCos 2211
= 8
Solucin:
E = sencos 22
11
E = sen.cos
CosSen22
22
E = Sen.Cos 22
1
E = Sec2.Csc
2
Pero : E = Sec6 + Csc
6 = sec
2.csc
2
Sec6 + csc
6 = 8
CUESTIONARIO
1).- Reduce:
)xcos).(xcos(
)xtanx).(secxtanx(secK
11
a) sen
2x
b) cos2x
c) sec2x
d) csc2x e) 1
2).- Reduce:
K = (senx + cscx)2 + cos
2x - cot
2x
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3).- Reduce:
A = xsen.sec.xcot 222 111
a) senx b) cosx c) cscx d) secx e) 1
4).- Reduce:
E =
xsen
xsec
xcos
xtan
xcot
senx
xcsc 2
a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) -2
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
3
5).- Reduce:
E = xtansenx
xcos
1
a) secx b) cscx c) senx d) cosx e) cotx
6).- Simplifica: M=5.sen
4x.csc
4x+6.tan
3x.cot
3x-7cos
2x.sec
2x
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 18
7).- Reduce:
J = )senx).(senx(
)xcotx).(cscxcotx(csc
11
a) sen
2x
b) cos2x
c) sec2x
d) csc2x
e) 1
8).- Reduce: E = sen
2x - tan
2x + (cosx - secx)
2
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
9).- Reduce:
B = 111 222 xcsc.xtan.xcos
a) 1 b) senx c) cosx d) cscx e) secx
10).- Reduce:
E =
xcos
xcsc
senx
xcot
xtan
xcos
xsec 2
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
11).- Simplifica:
K = xcotxcos
senx
1
a) senx b) cosx c) tanx d) cscx e) secx
12).- Simplifica: N = 5
-1.sen
2x.cos
3x.tan
4x.sec
3x.csc
2x.cot
4x
a) 5 b) 2 c) 0,5 d) 0,2 e) 1
13).- Simplifica:
E = xsec.xcsc.
xcot.xtan.
3
22
a) 3
6
b) 2
6
c) 3
2
d) 2
3
e) 6
14).- Calcula: cosx, si:
tgx.senx secx = -0,75
a) 3/4 b) 4/3 c) d) 4/3 e) 1
15).- Halla: senx, si: cscx - cotx.cosx = 0,8
a) 5/4 b) 3/5 c) 4/5 d) 5/3 e)
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
4
16).- Si: sec2x + cos
2x = 7; halla:
I = secx cosx
a) 5
b) 1 c) 2 d) 3
e) 7
17).- Si: Csc
2x + sen
2x = 4; halla:
E = cscx + senx
a) 1 b) 2
c) 2
d) 6
e) 6
18).- Si: Sec
2x + csc
2x = 9; halla
I = sen4x+cos
4x
a) 2/3 b) 4/3 c) 1/3 d) 11/9 e) 7/9
19).- Si: tanx + cotx = 4; halla E = sen
6x + cos
6x
a) 7/8 b) 9/8 c) 9/16 d) 13/16 e)
20).- Si: cosx senx = a; halla: E = 2.cosx.senx
a) a
2 - 1
b) a2
+ 1 c) a
2
d) 1 - a2
e) a2
21).- Si: senx + cosx = 2
6; halla:
R = senx.cosx
a) 1/8 b) c) d) 1/2 e) 1/4
CLAVES
1) d 2) e 3) e 4) b
5) a 6) c 7) c 8) a
9) a 10) d 11) d 12) d
13) a 14) c 15) c
16) a 17) e 18) e 19) d
20) d 21) c
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS COL2004/3S/TRIG-07
18/09/04 VAA
-
I.- RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LA SUMA DE DOS NGULOS
a).- Sen(+) = Sen.Cos + Cos.Sen
b).- Cos(+) = Cos. Cos Sen.Sen
c).- Tan(+) = Tan.Tan
TanTan
1
OBSERVACIN:
Cot(+) = )(Tan
1
Sec(+) = )cos(
1
Cosec(+) = )(sen
1
II.- RAZONES TRIGONOMTRICAS DE LA DIFERENCIA DE DOS NGULOS.
a).- Sen(-) = Sen.Cos - Cos.Sen
b).- Cos(-) = Cos. Cos + Sen.Sen
c).- Tan(-) = Tan.Tan
TanTan
1
OBSERVACIN:
Cot(-) = )(Tan
1
Sec(-) = )cos(
1
Cosec(-) = )sec(
1
PROPIEDADES
1.- Sen(+).Sen(+) = Sen2-Sen
2
2.- Tan(+) =
Tan+Tan+Tan(+).Tan. Tan
3.- Si: ++=180
Tan+Tan+Tan = Tan.Tan.Tan
4.- Si: Si: ++=90
Tan.Tan+Tan.Tan + Tan.Tan =1
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Halla el Sen75
Solucin: Sen75 = Sen(30+45) =Sen45.Cos30+Sen30.Cos45
=2
2
2
1
2
3
2
2..
= 4
2
4
6
Sen75 = 4
26
2.- Halla el cos 16.
Solucin: Cos16 = Cos(53-37) = Cos53.Cos37+Sen53.Sen37
= 5
3
5
4
5
4
5
3..
= 25
12
25
12
Cos16 = 25
24
3
Secundaria
Alumno(a) :.......................................................................
Profesor (a) : Richard Menacho Taipe Fecha: 22/10/04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA : RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO COMPUESTO
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Unidad Temtica N IX Objetivo N IX Tema N X Contenido N 10.1 ; 10.2
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
2
3.- Calcula la Tan8.
Solucin: Tan8 = Tan(45-37)
Tan8 =
37451
3745
Tan.Tan
TanTan
Tan8 = 47
41
4
311
431
/
/
.
/
Tan8 = 1/7
4.- En un ABC, as tanA = 3 y Tan B = 2. Halla: Tan C.
Solucin:
En todo ABC : A + B + C = 180 entonces: Se cumplir: TanA + TanB+ TanC = TanA.TanB.TanC Reemplazando datos: 3 + 2 + TanC = 3.2.TanC 5 + TanC = 6TanC 5 = 5TanC
TanC = 1
5.- Calcula : W=Tan20.Tan30+Tan30.Tan40+Tan20.Tan40
Solucin: Notamos que: 20 + 30 + 40 = 90. Entonces se cumple que.
Tan20.Tan30+Tan30.Tan40+Tan20.Tan40=1
W = 1
6.- Calcula el Sen15
Solucin: Sen15 = Sen(45-30) = Sen 45.Cos30 - Cos45.Sen30
= 2
1
2
2
2
3
2
2..
= 4
2
4
6
Sen15 = 4
26
CUESTIONARIO
1).- Si Tanx = 4
3, Secy =
5
13.
Halla: sen(x + y)
a) 65
61 b)
65
62 c)
65
63
d) 65
64 e) 1
2).- Halla el valor de:
E = Cosx)x(Cos 452
a) 1 b) Senx c) Senx d) 2Senx e) 1
3).- Simplifica:
Seny.Cosx)yx(Sen
Seny.Cosx)yx(SenE
a) 1 b) Tanx c) Coty d) Tany e) Cotx
4).- Calcula el valor de: E = Sen(25+x).Cos(5-x)+Cos(25+x).Sen(5-x)
a) Sen15 b) Cos5 c) 2
1
d) 4 e) 3
5).- Halla el valor de: K = Sen10 + 2Cos20.Cos80
a) 2
1 b) 1 c)
3
1
d) 4 e) 3
6).- Calcula:
E =
73201
7320
Cot.Tan
CotTan
a) 3
4 b)
4
3 c) 1
d) 4
3 e)
3
4
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
3
7).- Calcula: E = Tan8 + Cot16
a) 7
25 b)
25
7 c)
5
3
d) 4
3 e)
3
4
8).- Si: Tan(A - B) = 2 y TanB = 3
1.
Halla TanA
a) 7
1 b) 7 c)
7
1
d) 7 e) 5
1
9).- Del grfico halla el valor de m.
a) 13
17 b)
17
13 c)
13
51
d) 51
13 e) 3
10).- De la figura halla Tan
a) 9
1 b)
3
4 c) 1
d) 4
3 e) 9
11).- Si: Cscx = 5
13, Coty =
15
8.
Halla Sen(x + y)
a) 220
221 b)
221
220 c)
221
22
d) 220
21 e)
21
220
12).- Halla el valor de : E = )x(Sen. 452
a) Cosx.Senx b) Cosx + Senx
c) Senx Cosx d) Cosx - Senx
e) 2(Senx + Cosx)
13).- El valor de:
K = Cosy.Senx
)yx(Cos , ser igual a:
a) Tanx b) Coty
c) Cotx+Coty d) 1-TanxTany
e) Cotx+Tany
14).- Calcula el valor de:
E =
15601560
30753075
Sen.SenCos.Cos
Sen.CosCos.Sen
a) 1 b) 1 c) 2
d) 2
2 e) 3
15).- Halla el valor de: R = Cos80+2Sen70.Sen10
a) 1 b) 2
1 c) -1
d) -2
1 e) -2
16).- Calcula:
E =
70801
7080
Cot.an
CotTan
A
B C
D
1
4
37
m
A
B C
D
M 1 4
4
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
4
a) 2 b) 3 c) 3
3
d) 2
2 e) -
2
2
17).- Halla:
E =
8
16
Cot
Tan
a) 24
1 b) 24 c)
24
7
d) 7
24 e)
2
1
18).- Si: Tan(a + b) = 5 y Tan a = 7 Halla: Tanb
a) 18
1 b)
17
1 c) -
18
1
d) -17
1 e) -
19
1
19).- de la figura; si tan = 25
8. Halla m
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
20).- Halla Tan
a) 4
b) 4
1
c) 8
d) 8
1
e) 6
CLAVES
1) c 2) b 3) a 4) c
5) a 6) b 7) b 8) b
9) c 10) e 11) b 12) b
13) e 14) a 15) b 16) b
17) a 18) c 19) b 20) c
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
COL2004/3S/TRIG-08
20/10/04 V.A.A
A
B C
D
3
m
4
2
3
1
-
I. FRMULAS DE R.T DEL
NGULO DOBLE
1) Seno del ngulo doble :
Sen2x = 2SenxCosx
2) Coseno del ngulo doble :
Cos2x = Cos2x Sen2x
Cos2x = 1 2Sen2x
Cos2x = 2Cos2x 1
3) Tangente del ngulo doble :
Tan2x = xTan1
Tanx22
4) Cotangente, Secante y Cosecante
ngulo doble :
Tomaremos las identidades recprocas aplicadas al ngulo doble es decir :
Como : Tan2x.Cot2x =1Cot2x = x2Tan
1
Como : Cos2x.Sec2=1 Sec2x = x2Cos
1
Como : Sen2x.Csc2x=1Csc2x= x2Sen
1
5) Casos especiales del ngulo doble :
Sen2x=xTan1
Tanx22
y Cos2x=xTan1
xTan12
2
II. PROPIEDADES
1) Cotx Tanx = 2Csc2x
2) Cotx tanx = 2Cot2x
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Siendo : x2Csc
x2Sec = 1,2 ; halla Cot2x
Solucin :
Sabemos que:x2Csc
x2Sec =1,2
10
12
x2Sen
1x2Sec
1
5
6
x2Cos
x2Sec Tan2x =
5
6
Luego : Cot2x =x2Tan
1Cot2x=
5
6
1=
6
5
2) Si : Tanx=3, halla el valor de :
P = Sen2x Cos2x Solucin :
*Sen2x=10
6
31
)3(2
xTan1
Tanx222
Sen2x=
5
3
*Cosecx=10
8
31
31
xTan1
xTan12
2
2
2
Cos2x
5
4
Finalmente : P = Sen2x Cos2x
P = 5
4
5
3
5
4
5
3
P =
5
7
3
Secundaria
Alumno(a) :....................................................................... Profesor (a) : Richard Menacho Taipe Fecha: 24/11/04
Planificacin Estratgica para una Educacin de Calidad
TEMA: RAZONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO DOBLE
COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
Unidad Temtica N X Objetivo N 10.1 Tema N XI Contenido N 11.1; 11.2 Semana : 33
-
Colegio Privado
D O S C I E N T A S M I L L A S P E R U A N A S
2
3) Si : Cos2x=n; halla : W = Cot2x-Tan2x Solucin :
W = Cot2x-Tan2x=(Cotx+Tanx). (Cotx-Tanx)
W = (2Csc2x) . (2Cot2x)
W =
x2Sen
x2Cos.2.
x2Sen
1.2
W = x2Cos1
x2Cos4
xSen
x2Cos422
Pero : Cos2x = n
W = 2n1
n4
4) Aplicando ngulo doble. Halla Sen2x.
Solucin : Si se sabe que :
Sen(x+y)=SenxCosy+CosxSeny
Sen(x+y)=senCosx+CosxSenx
Sen(2x) = 2SenxCosx
5) Si : Sen x = 0,8 o < x < 90
Calcula : E = 2
x2Sen
Solucin :
E = 2
CosxSenx2
2
x2Sen
E = 10
3.4.2
2
10
6.
10
8.2
E = 10
24 = 2,4
6) Si Cosx= 2/3 0 < x < 90
Calcula : E =3
x2Cos
Solucin :
E = 3
xSenxCos
3
xsecCo 22
E = 3
3
2
3
522
E = 3
9
4
9
5
E = 27
1
CUESTIONARIO
1).- Si : Senx = 0,333 . . . 0
-
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3
4).- Reduce : A =Cos2Cos1
Sen2Sen
a) Cot b) 2Cot c) Tan
d) 2Tan e) 1
5).- Simplifica :
H = x2Tan
1
Cosx,Senx2
1xCos2 2
a) 0 b) 1 c) 2 d) 2Cot2x e) Cot4x
6).- Calcula :
N =
10Sen.10Cos4
)35Sen35Cos)(35Sen35Cos(
a) 1 b) 2 c) 3 d) e) 1/3
7).- Si : x = /8. Calcula :
W = 4Senx. Cos3x 4Sen
3x .Cosx
a) 1 b) 1 c)
d) 2 e) 2
2
8).- Calcula : K = (2+2Cos35).(1-Cos35)+2Sen10Cos10
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
9).- Simplifica :
E = 24Cos222
a) 4Sen6 b) 8Cos6 c) 4Cos6 d) 8Sen6 e) 6Sen4
10).- Halla x de la figura :
a) 5 5 b) 4 5 c) 3 5
d) 2 5 e) 5
11).- Si : Senx = 0,666 . .. 0 < x
-
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4
16).- Halla :
)15Sen15Cos)(15Sen15Cos(
'3022Cos'.3022Sen6
a) 1 b) 6
6 c) 6
d) 3 2 e) 2 3
17).- Simplifica :
J = Senx. Cos5x Sen
5x . Cosx
a) Senx b) Sen4x c) 4
x4Sen
d) Sen2x.Cos2x e)
18).- Calcula :
Q = Cos5.Sen5-(1+Sen40)(1-Sen40) a) 1 b) 1 c) d) e) 0
19).- Reduce :
k = 4Cos222 ; 0