3.5. Інтегрування раціональних і

ірраціональних дробів із квадратним

тричленом у знаменнику

1.Нехай треба знайти ∫𝑅(𝑥)𝑑𝑥, де 𝑅(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, причому 𝑃(𝑥)–многочленn-

гостепеня (𝑎 ≠ 0),тобто𝑅(𝑥) =

𝑎0𝑥𝑛+𝑎1𝑥

𝑛−1+⋯𝑎𝑛−1𝑥 +𝑎𝑛

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐.

Здійснивши ділення многочленів з остачею

(виділивши цілу частину), дістанемо:

𝑅(𝑥) = 𝑄(𝑥) +𝑝𝑥+𝑞

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, де 𝑄(𝑥)- многочлен,

що має меншу степінь, ніж многочлен 𝑃(𝑥).

Інтегрування 𝑄(𝑥) не викликає труднощів.

Отже, залишається ∫𝑝𝑥+𝑞

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑑𝑥.

Знаходження інтеграла такого виду зводиться

до відшукання одного чи двох з указаних

нижче стандартних інтегралів:

∫𝑑𝑥

𝑥 ± 𝑎; ∫

𝑑𝑥

𝑥2 ± 𝑎2; ∫

𝑑𝑥

(𝑥 ± 𝑎)2; ∫

𝑥𝑑𝑥

𝑥2 ± 𝑎2 ,

які є табличними. Для цього в знаменнику

підінтегральної функції слід виділити повний

квадрат і здійснити очевидну заміну змінної.

Пр-д 3.5

∫𝑑𝑥

𝑥2 + 4𝑥 + 10=1

√6𝑎𝑟𝑐 tg

𝑥 + 2

√6+ 𝑐.

Пр-д 3.6

∫𝑑𝑥

𝑥2 + 4𝑥 − 10=

1

2√14ln |𝑥 + 2 − √14

𝑥 + 2 + √14| + 𝑐

Пр-д 3.7

∫3𝑥 − 2

𝑥2 − 2𝑥 + 5𝑑𝑥 =

3

2ln(𝑥2 − 2𝑥 + 5) +

+1

2𝑎𝑟𝑐 tg

𝑥 − 1

2+ 𝑐.

2.До найпростіших ірраціональних дробів із

квадратним тричленом у знаменнику

належать дроби вигляду 𝑞

√𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎 ≠ 0).

Зауважимо, що їх інтегрування виконується

також, як правило, після виділення повного

квадрата у знаменнику й зведення таких

інтегралів до стандартних:

∫𝑑𝑥

√𝑎2−𝑥2; ∫

𝑑𝑥

√𝑥2±𝑎2.

Пр-д 3.8

∫𝑑𝑥

√−𝑥2 − 2𝑥 + 3= 𝑎𝑟𝑐 sin

𝑥 + 1

2+ 𝑐.

Пр-д 3.9

∫3𝑥 − 2

√𝑥2 + 2𝑥 + 3𝑑𝑥 =3√𝑥2 + 2𝑥 − 3

− 5 ln |𝑥 + 1 + √𝑥2 + 2𝑥 + 3| + 𝑐.

3.6.Інтегрування дробово-раціональних

функцій

Означення3.5. Дробово-раціональною функцією

(або раціональним дробом) називається функція, яка

дорівняє відношенню двох многочленів 𝑓(𝑥) =𝑃𝑚(𝑥)

𝑄𝑛(𝑥), де 𝑃𝑚(𝑥)- многочлен степені 𝑚, а 𝑄𝑛(𝑥)-

многочлен степені 𝑛.

Раціональний дріб називається правильним,

якщостепінь чисельника менше степеня знаменника,

тобто m<n, у протилежному випадку – дріб

неправильний.

3.7. Розкладання раціональних дробів на

найпростіші

Розглянемо дробово-раціональну функцію

,

01...1

1

01...1

1

bxbmxm

bmxmb

axanxn

anxna

xmQ

xnP

де

коефіцієнти mbbbnaaa ,...,1

,0

,,...,1

,0

дійсні числа.

Нехай дріб неправильний, тоді діленням

чисельника на знаменник виділяємо цілу частину,

тобто

xmQ

xnP=

xmQ

xk

RxmnP ( k < m ), xmnP - ціла

частина.

Дріб

xmQ

xk

R - дріб правильний. Розкладемо

знаменник на множники й подамо цей правильний

дріб у вигляді суми найпростіших з невизначеними

коефіцієнтами. Визначимо числові значення

коефіцієнтів.

Приклад.

23

232632

xx

xxxдріб неправильний.

Тоді ціла частина – 2, залишок - 2324 xx .

Тобто

122324

223

23242

23232632

xx

xx

xx

xx

xx

xxx.

122324

xx

xx=

12

x

C

x

B

x

A (корінь х=0 кратності 2).

Тоді

23

232632

xx

xxx

1

3221

2

xxx

.

3.8. Інтегрування найпростіших

раціональних дробів

1) CaxAdxax

A

ln , тут А, а -const;

2)

C

naxn

AC

n

naxA

ndxnax

A

1

11

11

)(

3)

pxqpxx

Ddx

qpxx

CBx

22

0

2

qpxxB

2ln2

CD

pxarctg

D

BpC

2

21)

2( ;

4)

0

1

)2( D

ndx

nqpxx

CBx

=

1

12

2 n

nqpxx

B

n

ay

dyBpC

222, де

,2

pxy 2aD .

Таким чином

,21

212)2(

nIBp

Cn

qpxxn

Bdx

nqpxx

CBx

де nI визначається за допомогою формули (*).

3.9. Схема інтегрування раціональних дробів

1. У неправильному раціональному дробі за

допомогою ділення „кутом” виділяємо цілу частину.

2. У правильному раціональному дробі

знаменник розкладаємо на множники.

3. За допомогою методу невизначених

коефіцієнтів розписуємо правильний нескоротний

раціональний дріб на суму найпростіших.

4. Цілу частину і найпростіші дроби

інтегруємо.

Приклад.

∫(𝑥3 − 3)𝑑𝑥

𝑥4 + 10𝑥2 + 25

Розкладемо підінтегральний дріб на елементарні

доданки:

а) 𝑥4 + 10𝑥2 + 25 = (𝑥2 + 5)2

б) 𝑥3−3

(𝑥2+5)2=

𝐴𝑥+𝐵

𝑥2+5+

𝐶𝑥+𝐷

(𝑥2+5)2

в) 𝑥3 − 3 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥2 + 5) + 𝐶𝑥 + 𝐷 =

𝐴𝑥3 + 5𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2 + 5𝐵 + 𝐶𝑥 + 𝐷

𝑥3 𝐴 = 1; 𝐴 = 1,

𝑥2 𝐵 = 0; 𝐶 = −5,

𝑥1 5𝐴 = 𝐶 = 0; 𝐷 = −3,

𝑥0 5𝐵 + 𝐷 = −3; 𝐵 = 0

Отже, 𝑥3−3

(𝑥2+5)2=

𝑥

𝑥2+5−

5𝑥+3

(𝑥2+5)2

Інтегрування ірраціональних виразів

Основна ідея: за допомогою підстановки звести

підінтегральну функцію до дробово-раціональної

або до раціональної функції від тригонометричних

аргументів.

1. В інтегралі вигляду cbxaxqpx

dx

2)(, де

, , , ,p q a b c - дійсні числа, зробимо підстановку

1px qt

, потім під коренем виділимо повний

квадрат і скористаємося табличним інтегралом.

Прилад 1.

11

411

1

1

1

142

2

2

2

ttt

dtt

dtt

dx

tx

xxx

dx

414414

411

1

22

2

2

2

tt

dt

tt

dt

ttt

dtt

.1421

ln321

21

ln

3)2()2(ln3)2(

2

2

2

2

Cxxx

xC

xx

Cttt

dt

2. В інтегралі вигляду , ,q pn sm rR x x x dx

зробимо підстановку ,kx t k Н.С.К. найменше

спільне кратне чисел , ,n q s і перейдемо до

розв’язання інтегралу від раціональної функції.

Приклад 2.

(2,3) 6

36 1 15 36 6 653 3 2 1 16

6

3 21 1 11 16 6

1 1 1 1

126 11

НСК

tx tdx t dt t dt dtt tdx t dt t tx x

t t

t t t tdt dt dt dt

t t t t

t t dt dtt

3 26 ln 1

3 2

3 6 62 3 6 6ln 1

t t t t C

x x x x C

3. В інтегралі вигляду

, ,m p rqn sR ax b ax b ax b dx

зробимо

підстановку ,kax b t k Н.С.К. - найменше

спільне кратне знаменників чисел , ,n q s і

перейдемо до розв’язання інтегралу від

раціональної функції.

Приклад 3.

(2,3) 6

6 36 6 11 11 56

53 261

61

10 7 49 6 36 6710 4

6 6 66 6610 7 4(1 ) (1 ) (1 )710 4

3 6 333 65 7 2(1 ) (1 ) (1 )5 7 2

НСК

t tx t x tx x dx t dt

dx t dt tx

t x

t t tt t t dt C

x x x C

x x x C

4. В інтегралі вигляду

dx

Sr

dcx

baxnm

dcx

baxxR ,...,, зробимо

підстановку ),...,.(.. SnKCH

tdcx

bax

.

Н.С.К.- найменше спільне кратне знаменників n,

..., s.

Приклад 4.

Cxx

xx

x

x

C

x

x

x

x

x

x

Ct

ttdt

tdt

t

dtt

dtt

dtt

dttt

dtt

dttt

dtt

dttt

t

dtt

t

t

tt

dtt

tdx

t

tx

tx

x

x

dx

x

x

11

11ln

2

1

1

1arctg2

11

1

11

1

ln2

1

1

1arctg2

1

1ln

2

1arctg2

1

1

1

12

1

12

1

12

1

14

1

1

1

1

2

1

1

14

11

1

1

14

114

1

4

1

1

1

4

1

1

1

1

1

1

22

2

22222

22222

2

222

2

22

2

2

2

(використовуючи метод невизначених коефіцієнтів,

знайдемо останній інтеграл)

5. В інтегралі вигляду

dx

pq

pxxRdxqpxxxR

4

22

2;())

2(;(

після виділення повного квадрата робимо

підстановку ,2

yp

x .4

2

2

ap

q

Приходимо до інтеграла .)(;2

22

dyay

pyR

Для кореня 22 ay робимо підстановку

.atgy

Для кореня 22 ay робимо підстановку

.sin

ay

Для кореня 22 ya робимо підстановку

.sinay

Інтеграл з коренем 22 ay в області дійсних

чисел не існує.

Приклад 5.

1)1()1(22)1( 2222 xx

dx

xxx

dx

2222

2sin

cos

1coscos

1

1d

tgtg

d

ddx

tgx

.1

)1(1

1

sin

11

cos

sin

2

2

2

cx

x

ctg

tgcc

tt

dt

dtd

t

Інтеграли від диференціальних біномів

.)( dxpnbxamx

П.Л. Чебишев довів, що якщо хоча б одне із

чисел pn

m

n

mp

1,

1, є цілим, то інтеграл від

диференціального бінома виражається через

елементарні функції. В інших випадках інтеграл не

виражається через елементарні функції.

За теоремою Чебишева:

1) якщо p- ціле, k

ln

s

rm , , ( nm, нескоротні

дроби), то робимо підстановку ),.(.. KSKCHtx .

Приклад 6.

102

3

3

4

4

104 )1(

4

4

10,4

1,

2

1

1 tt

dtt

dttdx

xt

tx

pnm

xx

dx

C

xx

Ctt

t

dt

t

dt

t

dtt

t

tdt

948

4

98

1091010

)1(9

1

12

1

)1(9

1

18

14

)1()1()1(

)11(4

)1(4

2) якщо

n

m

s

rp

1, ціле, то робимо підстановку

Sn tbxa .

Приклад 7

Cx

Ct

dttt

tdtxdx

xt

tx

n

m

pnm

dxxx

3

3)12(

3

3

12

212

11

2

1,2,1

21

3) якщо

pn

m

s

rp

1, ціле, то робимо

підстановку S

n

n

tx

bxa

.

Приклад 8

14, 2,2

1 4 1 1 22 2

212 21 ,24 21

1 ,2 31 2 1

1 12 3( 1) 12 2 2( 1) 1

2( 1)212 2( 1) ( 1)

2 2 2( 1) 1

213 13 3

m n p

m pn

dx xx t txx x

tdtx dxt

t

tdt

tt t

tdt t dttt t

t t

xt t C

3

216 2

32 21 1

13 3

x Cx x

x xC

xx

Підстановки Ейлера

Розглянемо інтеграл dxcbxaxxR );( 2 .

1. Якщо ,0,0 Da то

cbxaxaxt 2 перша підстановка

Ейлера Тоді .2

2

bat

ctx

2. Якщо 0,0 Dс то cbxaxcxt 2

друга підстановка Ейлера Тоді .2

2

bat

ctx

3.Якщо 0D , (якщо підкореневий вираз має два

дійсних кореня), то 1

2

xx

cbxaxt

(

1x - один із

коренів рівняння )02 cbxax третя

підстановка Ейлера. Тоді at

axxtx

2

21

2

.

Приклад 9

dtt

ttdx

t

tx

xxxt

dxxx

xxx

2)1(

322

2

1;

22

32

322

322

3221

dt

t

tt

t

tt

t

2)1(

322

2

1

22

32

1=

.322 cxxxctdt

Інтегрування тригонометричних функцій

),( vuR – раціональна функція своїх аргументів,

xu sin , xv cos .

Розглянемо інтеграл від суперпозиції функцій

dxxxR cos;sin (*).

За допомогою деяких тригонометричних

підстановок інтеграл (*) зводиться до інтеграла від

дробово-раціональної функції.

1. Універсальна тригонометрична підстановка

Обчислення невизначених інтегралів виду

∫𝑅(𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 зводиться до обчислення

інтегралів від раціональної функції підстановкою

𝑡𝑔𝑥

2 = 𝑡, 𝑠𝑖𝑛𝑥 =

2𝑡𝑔𝑥

2

1+𝑡𝑔2𝑥

2

=2𝑡

1+𝑡2 ; 𝑐𝑜𝑠𝑥 =

1−𝑡𝑔2𝑥

2

1+𝑡𝑔2𝑥

2

=1−𝑡2

1+𝑡2;

x=2arctgt, dx=2

1+𝑡2𝑑𝑡.

Тому:∫𝑅(𝑠𝑖𝑛𝑥; 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑅(2𝑡

1+𝑡2; 1−𝑡2

1+𝑡2) ∗

2

1+𝑡2𝑑𝑡 = ∫ 𝑅1(𝑡)𝑑𝑡, де 𝑅1(𝑡)- раціональна функція

від t.

Приклад 10.

∫𝑑𝑡

3+𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=

{

𝑡𝑔

𝑥

2= 𝑡

𝑠𝑖𝑛𝑥 =2𝑡

1+𝑡2

𝑐𝑜𝑠𝑥 =1−𝑡2

1+𝑡2

𝑑𝑥 =2𝑑𝑡

1+𝑡2 =

2 ∫

𝑑𝑡

1+𝑡2

3+2𝑡

1+𝑡2+1−𝑡2

1+𝑡2

=

= 2∫𝑑𝑡

3 + 3𝑡2 + 2𝑡 + 1 − 𝑡2= 2∫

𝑑𝑡

2𝑡2 + 2𝑡 + 4

= ∫𝑑𝑡

𝑡2 + 𝑡 + 4= ∫

𝑑𝑡

(𝑡 +1

2)2 +

7

4

=2

√7𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

2(𝑡 +1

2)

√7=2

√7𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

2𝑡 + 1

√7

=2

√7𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

2𝑡𝑔𝑥

2+ 1

√7+ 𝐶

2. Якщо ),(),( vuRvuR , то можна

використовувати підстановку

2121sin

t

t

xtg

tgxxtxtg

,

21

1

21

1cos

txtgx

, x = arctg t і

21 t

dtdx

,

.2121

1;

21)cos;(sin

t

dt

tt

tRdxxxR

Приклад 11

∫𝑑𝑥

1+𝑠𝑖𝑛2𝑥= {

𝑡 = 𝑡𝑔𝑥; 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡

𝑠𝑖𝑛2𝑥 =𝑡2

1+𝑡2; 𝑑𝑥 =

𝑑𝑡

1+𝑡2

=

R(-sinx; -cosx)=R(sinx; cosx)

∫

𝑑𝑡

1+𝑡2

1 +𝑡2

1+𝑡2

= ∫𝑑𝑡

1 + 2𝑡2=1

2∫

𝑑𝑡

𝑡2 +1

2

=√2

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑡1

√2

=1

√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√2𝑡 =

1

√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√2𝑡𝑔𝑥) + 𝐶

3. При обчисленні xdxmxn cossin зручно, якщо

12 kn , зробити підстановку cos x= t, а якщо

12 km то sin x = t.

Наприклад:

dtxdx

txxdxxkxnxdxkxn

cos

sincos2cossin12cossin

dtk

tnt 21 . Далі розкриваємо дужки й

кожний доданок інтегруємо.

Якщо nm – парне, то за допомогою формул

,2

2cos1cos2

xx

2

2cos1sin 2

xx

,

2

2sincossin

xxx - знижуємо степінь.

Приклад 12.

dxxxx

dxxx

xdxx

)23cos22cos2cos1(8

1

2

2

2cos1

2

2cos14sin2cos

;6

23sin

8

4sin

28

1

6

23sin

2

2sin

8

4sin

2

1

2

2sin

8

1

2cos22sin12

4cos1

2

2sin

8

1

Cxxx

Cxxx

xx

x

xdxxdxxx

x

Використання тригонометричних перетворень

4. Інтеграли вигляду ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥; ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 ∗

𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥; ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑑𝑥 обчислюються за

допомогою відомих формул тригонометрії:

𝑠𝑖𝑛𝛼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 =1

2(sin(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽))

𝑐𝑜𝑠𝛼 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 =1

2(cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽))

𝑠𝑖𝑛𝛼 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝛽 =1

2(cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽))

Приклад 13

∫𝑠𝑖𝑛8𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =1

2∫(𝑠𝑖𝑛6𝑥 + 𝑠𝑖𝑛10𝑥)𝑑𝑥

=1

2(−𝑐𝑜𝑠6𝑥

6−𝑐𝑜𝑠10𝑥

10)

= −𝑐𝑜𝑠6𝑥

12−𝑐𝑜𝑠10𝑥

20+ 𝐶

5. Інтеграли вигляду: ∫ 𝑡𝑔𝑚𝑥 𝑑𝑥 і ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑚 𝑥 𝑑𝑥

При знаходженні таких інтегралів, де m- ціле

додатне число використовуються формули 𝑡𝑔2𝑥 =1

𝑐𝑜𝑠2𝑥− 1 і 𝑐𝑡𝑔2𝑥 =

1

𝑠𝑖𝑛2𝑥− 1

За допомогою яких поступово знижують степінь

тангенса або котангенса

Приклад 14.

∫𝑡𝑔7𝑥 𝑑𝑥

= ∫𝑡𝑔5𝑥 (1

𝑐𝑜𝑠2𝑥− 1) 𝑑𝑥

= ∫𝑡𝑔5𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 −∫𝑡𝑔3𝑥(

1

𝑐𝑜𝑠2𝑥− 1) 𝑑𝑥

=𝑡𝑔6𝑥

6−𝑡𝑔4𝑥

4+ ∫𝑡𝑔3𝑥 𝑑𝑥 =

𝑡𝑔6𝑥

6−tg4x

4

+ ∫𝑡𝑔𝑥 (1

𝑐𝑜𝑠2𝑥− 1) 𝑑𝑥 =

𝑡𝑔6𝑥

6−𝑡𝑔4𝑥

4

+𝑡𝑔2𝑥

2+ 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑥| + 𝐶

.

Приклади інтегралів, що не виражаються

через елементарні функції :

,2

dxe x

dxnx

xe ( 1n ),

dxnx

xsin ( 1n ), dx

x

xn

cos ( 1n ),

dxxPxRn

))(;( ( 3n ), xk

dx22 sin1

( 1;0k ),

dxxk 22 sin1 ( 1;0k )