3.4 乘法公式( 1 ) --- 平方差公式
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(a+n)(b+m)=ab1 2 3 4
+am+nb+mn
多项式的乘法法则多项式的乘法法则
12
3 4
多项式与多项式相乘 , 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 , 再把所得的积相加 .
知识复习 :
计算下列各题 :
(1) (a+2)(a-2)=_____________
(2) (3-x)(3+x)=_____________
(3) (a+b)(a-b )=_____________
(4) (2m+n)(2m-n)=__________
比较等号两边的代数式 , 它们在系数和字母方面各有什么特点 ? 你发现了什么规律?
42 a
22 ba
29 x
224 nm
下图是一个边长为 a 的大正方形 ,割去一个边长为 b 的小正方形 .小明将绿色和黄色两部分拼成一个长方形 .问 :小明能拼成功吗 ?
做一做
b
a
ab
原图形实际面积为: ________________
新长方形的面积为: _________________
2 2a b
( )( )a b a b b
a
a
b
a-b
b
b
a
b
( )( ) 2 2a b a b a b
解决问题
(a+b)(a-b)=a2-b2
即:两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差 这里的字母 a , b 可以是数,或是单项
式,甚至是更复杂的代数式
例 1 运用平方差公式计算 :
(1)(3x+5y)(3x-5y) =___2 – ___2 =____
)2
1)(
2
1()2( abab
(3x) (5y) 9x2-25y2
22 )2
1( ba
22
4
1ba
)2
1)(
2
1( baba
( )( ) 2 2a b a b a b 练一练练一练阅读算式,按要求填写下面的表格
2m3n (-2m+3n)(2m+3n)
3x2(2-3x)(2+3x)
5x(x+5)(x-5)
写成“ a2-b2”的形式
与平方差公式中 b 对应的项
与平方差公式中 a 对应的项算式
2 25x
222 3x
(3n)²-(2m)²
利用平方差公式计算(先确定各题的 a 与 b 再填空)(1)(5+6x)(5-6x)=( )2-( )2=______(2)(x-2y)(x+2y)=( )2-( )2=_______(3)(-m+n)(-m-n)=( )2-( )2=______
符号相同的项是 a, 符号相反的项是 b
5 6x 25-36x2
x 2y x2-4y2
-m n m2-n2
① 利用平方差公式计算的关键是 __________ 怎样确定 a 与 b______________________
注意注意
②② 当分数或是数与字母的乘积时当分数或是数与字母的乘积时 ,, 要用括号把这个数要用括号把这个数整个括起来,最后的结果又要去掉括号。整个括起来,最后的结果又要去掉括号。
准确确定 a 和 b
下列式子中哪些可以用平方差公式运算 ?
(1) (-4k+3)(-4k-3) (2) (1-x)(-x-1)
(3) (-x-1)(x+1) (4)(x+3)(x-2)不可以
可以 可以
不可以
计算(口答):
( 1 )( x+1)(x-1)
(2) (x+2)(x-2)
(3) (-m+n)(-m-n)
(4) (m+6)(m-6)
(5) (x+2y)(x-2y)
(6) (3x-2)(3x+2)
(7) (b+5a)(b-5a)
= x²-1
=(-m)²-n²
=x²-(2y)²=x²-4y²
=m² - 6 ² = m²-36
=(3x)²-2²=9x²-4
= X² - 4
= b² - (5 a )² =b² - 25a ²
=m²-n²
练习 1 :
(3(3aa +2 +2bb)(3)(3aa−2−2bb))
9a2 - 4b2
(5ab+1)(5ab-1)
25a2b2 - 1
(−0.1(−0.1xx+1)(−0.1+1)(−0.1xx−1)−1)
0.01x2 - 1
16k2 - 9
( )( )k k4 3 4 3
(3(3y y −− xx)(−)(− x x −− 3yy )) 22 9yx
(-2x-y)(-y+2x)
y2-4x2
nmnm 22
22 4mn
))(()1(
322 yxxy
各式用平方差公式计算下列、
)32)(32)(2( baba
22
22
32
)3()2(
ba
ba
例 2 、用平方差公式计算 :
(1)103×97 =(100+3)(100-3)
=1002-32
=10000-9
=9991
=(60-0.2)(60+0.2)=602-0.22
=3600-0.04
=3599.96
(2)59.8×60.2
运用平方差公式计算 :练习 2 :
7
111
7
610)4(
3
149
3
250)3(
5678×5680-56792
=(5679-1)(5679+1)-56792
=56792 -1 -56792
= -1
如果 A=1234567892, B=123456788×123456790,
试比较 A 与 B 的大小 .
王捷同学去商店买了单价是王捷同学去商店买了单价是 9.89.8 元元 // 千克千克的糖果的糖果 10.210.2 千克,售货员刚拿起计算器,千克,售货员刚拿起计算器,王捷就说出应王捷就说出应 99.9699.96 元,结果与售货员计算元,结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说出的结果相吻合。售货员很惊讶地说:“你:“你好象是个神童,怎么算得这么快?”好象是个神童,怎么算得这么快?”王捷同王捷同学说学说:“过奖了,我利用了在数学上刚学过:“过奖了,我利用了在数学上刚学过的一个公式。”的一个公式。”
你知道王捷同学用的是什么公式吗?怎么你知道王捷同学用的是什么公式吗?怎么计算的吗计算的吗 ??
王捷同学去商店买了单价是王捷同学去商店买了单价是 9.89.8 元元 // 千克千克的糖果的糖果 10.210.2 千克,售货员刚拿起计算器,千克,售货员刚拿起计算器,王捷就说出应王捷就说出应 99.9699.96 元,结果与售货员计算元,结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说出的结果相吻合。售货员很惊讶地说:“你:“你好象是个神童,怎么算得这么快?”好象是个神童,怎么算得这么快?”王捷同王捷同学说学说:“过奖了,我利用了在数学上刚学过:“过奖了,我利用了在数学上刚学过的一个公式。”的一个公式。”
你知道王捷同学用的是什么公式吗?怎么你知道王捷同学用的是什么公式吗?怎么计算的吗计算的吗 ??
4 、如果 (x+y-3)2+(x-y+5)2=0, 求 x2-y2
补充练习:1 、运用平方差公式简便计算 : 992 - 1
22 、、 (x-y)(x+y)(x(x-y)(x+y)(x22+y+y22))
33 、已知 、已知 xx22-y-y22=8 , x+y=-4 =8 , x+y=-4 ,求,求 x-yx-y 的值。的值。
)9)(3)(3( 2 xxx
)9)(9(: 22 xx原式解
814 x
例 4 、计算 (1)例 4 、计算 (1)
200119992000)2( 2
)]12000)(12000[(20002 解:原式
)12000(2000 22
120002000 22 1
1 、利用平方差公式计算 :
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)+1
=(28-1)(28+1)+1
=216-1+1
=216
练习:
( 数形结合思想和整体思想 ).
1 .通过本节课的学习活动,你们认识了什么?2 .什么样的式子才能使用平方差公式?3. 你会表述平方差公式的内容吗?
会用字母写出它的表达式吗?4. 还学到了哪些数学思想方法 ?
5 米
5 米
x 米 (X-5) 米
(X+5) 米
1 、从前有一个狡猾的地主,他把一块长为 x 米的正方形的土地租给张老汉种植,有一天,他对张老汉说:“ 我把这块地的一边减少 5 米,另一边增加 5 米,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何?” 张老汉一听觉得没有吃亏,就答应了 ,回到家中,他把这件事对邻居讲了,邻居一听,说:“张老汉你吃亏了!”,张老汉非常吃惊。同学们,你能告诉张老汉这是为什么吗?
思维拓展: