3.3.2 函数的极值
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奎屯王新敞新疆
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1 、一般地 , 设函数 y=f(x) 在某个区间 内可导 , 则函数在该区间 如果 f′(x)>0,
如果 f′(x)<0,
则 f(x) 为增函数 ;则 f(x) 为减函数 .
2、用导数法确定函数的单调性时的步骤是:
( 1 )
( 3)
求出函数的导函数( 2
)求解不等式 f′(x)>0 ,求得其解集,再根据解集写出单调递增区间
求解不等式 f′(x)<0 ,求得其解集,再根据解集写出单调递减区间
一般地,设函数 y=f(x) 在 x=x0 及其附近有定义,如
果 f(x0) 的值比 x0 附近所有各点的函数值都大,我们
就说 f(x0) 是函数的一个极大值,记作 y 极大值 =f(x0) ,
x0 是极大值点。如果 f(x0) 的值比 x0 附近所有各点的
函数值都小,我们就说 f(x0) 是函数的一个极小值。
记作 y 极小值 =f(x0) , x0 是极小值点。极大值与极小值统称为极值 .
一、函数极值的定义
新 课 讲 授
1 、在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量 (x)的值,极值指的是函数值 (y) 。
注 意
2 、极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 , 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
3 、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
4 、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, 是极大值点, 是极小值点,而
1x 4x4 1( ) ( )f x f x
二、导数的应用:求函数的极值
1 、如果 x0 是 f′(x)=0 的一个根,并
且在 x0 的左侧附近 f′(x)>0 ,在 x0
右侧附近 f′(x)<0 ,那么 f(x0) 是函数 f(x) 的一个极大值。
2 、如果 x0 是 f′(x)=0 的一个根,
并且在 x0 的左侧附近 f′(x)<0 ,在
x0 右侧附近 f′(x)>0 ,那么是 f(x0)函数 f(x) 的一个极小值。
例1:求 f ( x )= x 2- x -2的极值 .解: 列表解得令 .
2
1,0)(,12)( xxfxxf
x)(xf )(xf
2
1)2
1,( ),
2
1(
0)2
1(f极小值
,时21
x当,因此 .49
)21
f(x) f(有极小值
(3) 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的值的符号,求出极大值和极小值 .
3 、 求函数 f(x) 的极值的步骤 :(1) 求导数 f′(x);
(2) 求方程 f′(x)=0 的根(x 为极值点 .)
解:
当 x 变化时, y′ , y 的变化情况如下表
例2:求 的极值314 4
3y x x
3 21' ( 4 4) ' 4 ( 2)( 2)3
y x x x x x
令 y′=0 ,解得 x1= - 2 , x2=2
28
3
4
3
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
+ 0 - 0 +↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
28
3∴ 当 x= - 2 时, y 有极大值且 y 极大值 =
当 x=2 时, y 有极小值且 y 极小值 =4
3
)(xf )(xf
28
3
4
3
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗)(xf )(xf
例 3: 下列函数中, x=0 是极值点的函数
是 ( )
A.y= - x3 B.y=x2
C.y=x2 - x D.y=1/x分析:做这题需要按求极值的三个步骤,一个一个求出来吗?不需要,因为它只要判断 x=0 是否是极值点,只要看x=0 点两侧的导数是否异号就可以了。
B
练习:P74
∴a=2.
例 4: 函数 在 处具有极值,求 a 的值
1( ) sin sin 3
3f x a x x
3x
分析: f(x) 在 处有极值,根据一点是极值点的必要条件可知, 可求出 a 的值 .'( ) 0
3f
3x
1'( ) ( sin sin 3 ) ' cos cos3
3f x a x x a x x 解:
∵ ,
∴
'( ) 03
f
1cos cos(3 ) 0 1 0
3 3 2a a
例 5:y=alnx+bx2+x 在 x=1 和 x=2 处有极值,求 a 、 b 的值
解: 2' ( ln ) ' 2 1a
y a x bx x bxx
22 1 0
314 1 0
26
a b a
ab
b
∴
因为在 x=1和 x=2处 ,导数为 0
例 6: 下列说法正确的是 ( )A. 函数在闭区间上的极大值一定比 极小值大B. 函数在闭区间上的最大值一定是 极大值C. 对于 f(x)=x3+px2+2x+1 ,若 |p| < ,
则 f(x) 无极值D. 函数 f(x) 在区间 (a , b) 上一定存在最
值
6
C
: cos sin , 0,xy e x x y 解 令
cos sin 0 ,4
x x x k k Z 即 得,
52 ,2 0, ,
4 4x k k k Z y f x
当 时, 为减函数
32 ,2 0,
4 4x k k k Z y f x
当 时, 为增函数,
2
422 , ,
4 2
kk k Z y e
极大值因此当x= 时
3
243 2
2 , .4 2
kk k Z y e
极小值当x= 时
cosxy e x例7.求 的极值.