3.2 等差数列

• （一）等差数列的概念：• 先观察几个数列：

特点：从第二项起，每一项与它前一项的差 都 等于同一个常数 .

定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列 就 叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公 差通常用字母 d 来表示 .

.2521

242421

232321

222221

2121 ，，，，，，，，

3 ， 0 ， - 3 ， - 6 ， · · · ；

38 ， 40 ， 42 ， 44 ， 46 ， 48 ， 50 ， 52 ， 54 ， 56.

7500 ， 8000 ， 8500 ， 9000 ， 9500 ， 10000 ， 10500.

• （二）等差数列的通项公式：• 设等差数列 { a n } 的首项是 a 1 ，公差是 d ，那

么，根据等差数列的定义，• a 2 – a 1 = d ， a 3 – a 2 = d ， a 4 – a 3 = d ， ·

· · • 所以， a 2 = a 1 + d ，• a 3 = a 2 + d = ( a 1 + d ) + d = a 1 + 2d • a 4 = a 3 + d = ( a 1 + 2d ) + d = a 1 + 3d • a 5 = a 4 + d = ( a 1 + 3 d ) + d = a 1 + 4d • · · · · · ·

等差数列的通项公式： a n = a 1 + ( n –1 ) d .

• 注： （ 1 ）由等差数列的定义可以知道，如果一个等差数列的公差 d > 0 ，那么这个数列是递增数列；如果公差 d < 0 ，那么这个数列是递减数列；如果公差 d 等于 0 ，那么这个数列是常数列 .

• （ 2 ）在 a 1 ， a n ， d ， n 这四个量中，已知其中的三个量，可以求出另外一个量 .

例 1 （ 1 ）求等差数列 8 ， 5 ， 2 ， · · · 的第 20 项 . （ 2 ） -401 是不是等差数列 - 5 ， - 9 ， -13 ， · · · 的项？如果是，是第几项？

注：要考查数 b 是不是某个数列中的项，首先求出这个数列的通项公式 a n ，然后考察关于 n 的方程 a n = b 即可 . 如果 a n = b 有正整数解，则 b 就是这个数列中的一项，这个正整数解，就是它的项数；如果 a n = b 无解，或者虽然有解，但无正整数解，则 b 就不是这个数列中的一项 .

• 例 2 在等差数列 { a n } 中，已知 a 5 = 10 ， a 12 = 31 ，求首项 a 1 与公差 d .

• 分析：利用等差数列的通项公式，可以得到关于 a 1 和 d 的两个二元一次方程，解方程组，即可求得 a 1 和 d .

• 例 3 梯子的最高一级宽 33 cm ， 最低一级宽 110 cm ，中间还有 10 级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度 .

• 分析： 问题等价于， 在等差数列中，已知 a 1 = 33 ， a 12 = 110 ，求其它各项 .

• 先利用等差数列的通项公式，求出公差 d ，而后依次求出其余各项即可 .

• （三）等差中项：• 定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A

叫做 a 与 b 的等差中项 .

.2

baAba

的等差中项为与结论：

注：在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 .

要条件吗？

成等差数列的充，是思考： bAaba

A ,2

• 例 4 已知数列的通项公式为 a n = p n + q ，其中 p ， q 是常数，且 p 0 ，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？

• 分析：由等差数列的定义，要判断 { a n } 是不是等差数列，只要看 a n - a n-1 ( n 2 ) 是不是一个与 n 无关的常数即可 .

• 注： （ 1 ）公差不为 0 的等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数 .

• （ 2 ）如果数列的通项公式是关于 n 的一次函数，则这个数列是等差数列

• （ 3 ）数列可以用坐标平面上的点来表示，表示等 差数列的点都在一条直线上 .

例如首项是 1 公差是 2 的无穷等差数列的通项公式为 a n = 2n -1 ，相应的图象是直线 y = 2x – 1 上均匀排开的无穷多个孤立点 . n

an15

13

11

9

7

5

3

1

8765432O 1