3.2 立体几何中的向量方法

一、复习二、讲授新课

1 、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （ 1 ）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

（ 2 ）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；

（ 3 ）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

（化为向量问题）

（进行向量运算）

（回到图形问题）

例题 例 1 ：如图 1 ：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点 A

为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60° ，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？

A1B1

C1

D1

A B

CD

图 1

解：如图 1 ，设 BADADAAAB ， 11 6011 DAABAA

化为向量问题依据向量的加法法则， 11 AAADABAC 进行向量运算

21

2

1 )( AAADABAC

)(2 11

2

1

22

AAADAAABADABAAADAB

)60cos60cos60(cos2111 6

所以 6|| 1 AC

回到图形问题这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。1AC 6

思考：（ 1 ）本题中四棱柱的对角线 BD1 的长与棱长有什么关系？

（ 2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等

于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗 ?

A1

B1

C1D1

A B

CD

11 BBBCBABD

60 120 11 BCBABBABC ，其中

分析 :

分析 :

1111 DAABAABADxAAADABaAC ，，设

11 AAADABAC 则由

)(2 11

2

1

222

1 AAADAAABADABAAADABAC

)cos3(23 222 xxa 即 axcos63

1

∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。

（ 3 ）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）

A1

B1

C1D1

A B

CDH

分析：面面距离 回归图形

点面距离 向量的模

. 11 HACHAA 于点平面点作过 解：. 1 的距离为所求相对两个面之间则 HA

111 AAADABBADADAABA 且由 . 上在 ACH

3 360cos211)( 22

ACBCABAC

.160cos60cos)( 1111 BCAAABAABCABAAACAA

3

1

||||cos

1

11

ACAA

ACAAACA

3

6sin 1 ACA

3

6sin 111 ACAAAHA ∴ 所求的距离是 。

3

6

练习 : 如图 2 ，空间四边形 OABC 各边以及 AC ， BO 的长都是 1 ，点 D ， E 分别是边 OA ， BC 的中点，连结 DE ，计算 DE 的长。

O

AB

CD

E

图 2

例 2：如图 3，甲站在水库底面上的点 A处，乙站在水坝斜面上的点 B处。从 A， B 到直线（库底与水坝的交线）的距离 AC 和 BD 分别为 和 ,CD 的长为 , AB 的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。

l

a b c d

解：如图， . dABcCDbBDaAC ，，，

化为向量问题根据向量的加法法则 DBCDACAB

进行向量运算2

22 )( DBCDACABd

)(2222

DBCDDBACCDACBDCDAB DBACbca 2222

DBCAbca 2222

于是，得 22222 dcbaDBCA

设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。CA DB 因此 .cos2 2222 dcbaab

A

B

CD

图 3

所以 .2

cos2222

ab

dcba

回到图形问题

库底与水坝所成二面角的余弦值为 .2

2222

ab

dcba

例 2：如图 3，甲站在水库底面上的点 A处，乙站在水坝斜面上的点 B处。从 A， B 到直线（库底与水坝的交线）的距离 AC 和 BD 分别为 和 ,CD 的长为 , AB 的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。

l

a b c d

思考：

（ 1 ）本题中如果夹角 可以测出，而 AB 未知，其他条件不变，可以计算出 AB 的长吗？

A

B

CD

图 3

22

)( DBCDACAB 由

)(2222

DBCDDBACCDACBDCDAB

分析：

cos2222 abbca

∴ 可算出 AB 的长。

（ 2 ）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。

A1

B1

C1D1

A B

CD

A

d ，，， cba

21

2

12 )( CCACABCAd 则

cos)(2222 acbcabbca

)(2cos

2222

acbcab

cbad

（ 3 ）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？

a

A1 B1

C1D1

AB

CD

分析：二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1E AB ⊥ 于点 E ， E F在平面 AC 内作 CF AB ⊥ 于 F 。

cos sin 1 aBFAEaCFEA ，则

CFEAFCEA cos coscos 11 ，，

|||| 1

1

CFEA

CFEA

221

sin

)()(

a

BFCBAEAA

22

22222

sin

cos)cos(cos)cos(coscos

a

aaaa

cos1

cos

∴ 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。