3.1.1 方程的根与函数的零点

池州市第八中学 许柳慧

问题 1 求下列方程的根．

（1） 016 x ；

（2） 0163 2 xx ；

（3） 0163 5 xx ；

怎么解呢？

提出问题 引入新课

花拉子米 ( 约 780 ～约 850)给出了一次方程和二次方

程的一般解法。

阿贝尔 (1802 ～ 1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。

方程解法史话 :

062ln xx

问题 2 ：求下面这个方程的实数根

怎么解呢？

问题 3

转换角度！用函数的思想去解决方程的问题。即：通过研究相应函数去解方程。

怎么解一般的方程 ?0)( xf

问题 4

方 程 0)( xf 的 根 与 函 数

)(xfy 之间有什么样的关系呢？

思考探究一

有什么关系？的图像与二次函数

的根一元二次方程

)0(

)0(02

2

acbxaxy

acbxax

先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数

0321 2 xx）方程（

0122 2 xx）方程（

032)3( 2 xx方程

322 xxxf

122 xxxf

322 xxxf

思考探究一

方程 x2 － 2x+1=0

x2 － 2x+3=0

y= x2 － 2x －3

y= x2 － 2x+1函数

函数的图象

方程的实数根 x1= － 1,x2=3 x1=x2=1 无实数根函数的图象与 x 轴的交点

( － 1,0) 、 (3,0)

(1,0) 无交点

x2 － 2x － 3=0

x

y

0－ 1 321

1

2

－ 1

－ 2－ 3

－ 4

.

.

.

.

.. .

...

x

y

0－ 1 321

1

2

5

4

3

.

..

.

.

y

x0－ 1 21

1

2

y= x2 － 2x+3

判别式 >0 0 <0

y=ax2+bx+c

的图象

ax2+bx+c=0

的根

x

y

x1 x20x

y

0 x1 x

y

0

函数的图象与 x 轴的交点

两个交点 (x

1,0) , (x2,0)无交点

有两个相等的实数根 x1 = x2

无实数根两个不相等的实数根 x1 、 x2

0,2a

b一个交点

结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与 X轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与 X轴无交点。

一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0) 的图象，以 .0为例画图a

推广到更一般的情况，得：

轴交点的横坐标的图象与函数的实数根方程

xxfy

xf

)(

0)(

1. 函数的零点：

成立的把使对于函数 0)(),( xfxfy

.)(y 的零点叫做函数 xf

实数x

零点是一个点吗 ?

(1) 零点是一个实数

的有零点函数轴有交点的图象与函数

有实数根方程

)(

)(

0)(

xfy

xxfy

xf

所以：

的零点函数轴交点的横坐标的图象与函数

的实数根方程

)(

)(

0)()2(

xfy

xxfy

xf

xy 2log

12 xxy

2

1

1

0

0

12 xy1. 函数 的零点是： _____

2. 函数 的零点是： _____

4. 函数 的零点个数是： _____

12 xy3. 函数 的零点是： _____

5. 函数 的零点个数是： ____

232)( 2 xxxf 2

练习 1

练习 2

函数 y=f( x) 的图象如下， 则其零点为 .

2 1

3x

y

O

-2,1,3

思考探究二

所有函数都存在零点吗？

什么条件下才能确定零点的存在呢？

观察二次函数 32)( 2 xxxf 的

图象，可以发现

-1

<

5 -4计算 )2(f _______， )1(f _______,

发现 )2(f · )1(f _____0（＜或＞）． ② 在区间 [2,4] 上是否也具有这种特点呢？

① 在区间 [-2,1] 上有零点 ______ 。

思考探究二

零点；无有上在区间 )/___(],[)1( ba

的图象观察下面函数 )(xfy

)(0__)()( 或cfbf

无）零点；（有上在区间 /____,)2( cb)(0__)()( 或bfaf

无）零点；（有上在区间 /__,)3( dc

)(0___)()( 或dfcf

有

有

有

a 0 b c d

y

x

思考探究二

a b x

y

0

a b0

y

x

a b0

y

x

思考探究二

内一定存在零点吗？在区间

则函数义，而且满足上有定在区间若函数

baxfy

bfaf

baxfy

,

,0

],[)(

2. 零点存在性定理：

那么这个使得 ,0)(),,( cfbac

的根。0)( xf

在区间)(xfy 如果函数 上的图象是在区间 baxfy ,)(

的一条曲线，并且 f(a)·f(b)<0 ，（ a,b ）内有零点，即存在

连续不断

c 也就是方程

（ 1 ）两个前提条件缺一不可（ 2 ）“有零点”是指有几个零点呢？

只有一个吗？至少有一个，可以有多个。

在区间)(xfy 那么

如果函数 上的图象是在区间 baxfy ,)(的一条曲线，并且 f(a)·f(b)<0 ，并且是单调函数，

（ a,b ）内有且只有一个零点。

连续不断

a b x

y

0

（ 3 ）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？

abbbb

bbbbb

bb bbbb

b x

y

0

(4) 若函数 y= f( x ) 在区间 (a, b) 内有零点，一定能得出 f( a )·f( b )<0 的结论吗？

反之不成立！

(5) 定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。

练习 1：在下列哪个区间内 ,函数 f (x)= x3 ＋ 3x－ 5 一定有零点（ ） A 、 (－ 1,0 ） 　 B、 (0,1 ） C 、 (1,2 ） 　 D 、 (2,3 ）

C

练习 2：已知函数 f(x) 的图象是连续不断的， 且有如下的 x ,f(x) 对应值表：

–26–12–5 11 –7 9 23f(x) 7 6 5 4 3 2 1 x

那么该函数在区间 [1， 6] 上有（ ）零点 . A 、只有 3个 B 、至少有 3个 C 、至多有 3个 D 、无法确定

B

练习 2：

小结1. 知识和要求：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系；学会图象连续的函数在某区间上存在零点的判定方法。

2. 数学思想方法：由特殊到一般的归纳思想，数形结合的思想，函数与方程的思想。

作业

第 88页练习 1；第 92 页 A组第二题。