1. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与 方程根的联系，判断一元二次方程根的存在 性及根的个数 .

2. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相 应方程的近似解 .

1. 函数零点的定义(1) 对于函数 y ＝ f(x)(x∈D) ，把使 成立的实数 x

叫做 函数 y ＝ f(x)(x∈D) 的零点 .

(2) 方程 f(x) ＝ 0 有实根⇔函数 y ＝ f(x) 的图象与 有交点⇔ 函数 y ＝ f(x) 有 .

f(x) ＝0

x 轴零点

[ 思考探究 1]

　　函数的零点是函数 y ＝ f(x) 的图象与 x 轴的交点吗？

提示：不是 . 函数的零点是一个实数，是函数 y ＝ f(x)

的图象与 x 轴交点的横坐标 .

2. 函数零点的判定

如果函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上的图象是连续不断的一

条曲线，并且有 ，那么函数 y ＝ f(x) 在区间

内有零点，即存在 c∈ (a ， b) ，使得 ，这个 也就是

方

程 f(x) ＝ 0 的根 .

f(a)·f(b) ＜0

(a ， b)

f(c) ＝0

c

[ 思考探究 2]

(1) 在上面条件下， (a ， b) 内有几个零点？

提示：不一定 . 如函数 f(x) ＝ x2 － 1 在 [ － 2,2] 内有两个

零点，但 f(2)·f( － 2) ＞ 0.

提示：不一定，可能有一个，也可有多个 .

(2) 若函数 f(x) 在 [a ， b] 内有零点，一定有 f(a)·f(b) ＜0 吗？

3. 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a ＞ 0) 的图象与零点的关系 Δ ＞ 0 Δ ＝ 0 Δ ＜ 0

二次函数y ＝ ax2 ＋ bx

＋ c(a ＞ 0)的图

象

与 x轴的交点

零点个数

(x1 ， 0) ， (x2 ， 0)(x1 ，

0)无交点

两个 一个 零个

4. 用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤 第一步，确定区间 [a ， b] ，验证 ，给定精确 ε ；

第二步，求区间 (a ， b) 的中点 x1 ；

第三步，计算 ：

① 若 ，则 x1 就是函数的零点；

② 若 ＜ 0 ，则令 b ＝ x1( 此时零点 x0∈ (a ， x1)) ；

③ 若 ，则令 a ＝ x1( 此时零点 x0∈ (x1 ， b)) ；

第四步，判断是否达到精确度 ε ：即若 |a － b| ＜ ε ，则得到 零点近似值 a( 或 b) ；否则重复第二、三、四步 .

f(a)·f(b) ＜0

f(x1)

f(x1) ＝0f(a)·f(x1)

f(b)·f(x1) ＜0

1. 下图的函数图象与 x 轴均有交点，但不宜用二分法求交 点横坐标的是 ( 　 )

解析：因为 B 选项中， x0 两侧的符号相同，所以无法

用二分法求交点的横坐标 .

答案： B

2. 若函数 f(x) 唯一的零点同时在区间 (0,16) ， (0,8) ，

(0,4) ， (0,2) 内，那么下列命题正确的是 ( 　　 )

A. 函数 f(x) 在区间 (0,1) 内有零点 B. 函数 f(x) 在区间 (0,1) 或 (1,2) 内有零点 C. 函数 f(x) 在区间 [2,16) 上无零点 D. 函数 f(x) 在区间 (1,16) 内无零点 解析：∵函数 f(x) 唯一零点同时在区间 (0,16) ， (0,8) ， (0,4) ， (0,2) 内，∴函数 f(x) 唯一零点必在区间 (0,2)

内 .

答案： C

3. 函数 f(x) ＝ πx ＋ log2x 的零点所在的区间为 ( 　

)

A.[0 ， ] 　　　　　　　 B.[ ， ]

C.[ ] D.[ ,1]解析：因为选项中只有 f( )·f( ) ＜ 0 ，所以函数的

零点所在的区间为 [ ].

答案： C

4. 已知函数 f(x) ＝ 4x ＋ m·2x ＋ 1 有且只有一个零点，

则实

数 m 的值为　　　　 .解析：由题知：方程 4x ＋ m·2x ＋ 1 ＝ 0 只有一个零点 .

令 2x ＝ t(t>0) ，

∴ 方程 t2 ＋ m·t ＋ 1 ＝ 0 只有一个正根，

∴ 由图象可知 ∴ m ＝－ 2.

答案：－ 2

5. 下列是函数 f(x) 在区间 [1,2] 上一些点的函数值 .

x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438

f(x) － 2 － 0.984 0.260 － 0.052 0.165

x 1.5 1.625 1.75 1.875 2

f(x) 0.625 1.982 2.645 4.35 6

由此可判断：方程 f(x) ＝ 0 的一个近似解为　　　　 ( 精确度 0.1 ，且近似解保留两位有效数字 ).

解析：∵ f(1.438)·f(1.4065) ＜ 0 ，且 |1.438 － 1.4065|

＝ 0.0315 ＜ 0.1 ，∴ f(x) ＝ 0 的一个近似解为 1.4.

答案： 1.4

函数零点的存在性问题常用的方法有：

(1) 解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断 .

(2) 用定理：零点存在性定理 .

[ 特别警示 ] 　如果函数 y ＝ f(x) 在 [a ， b] 上的图象是

连续不断的曲线，且 x0 是函数在这个区间上的一个零点，

但 f(a)f(b) ＜ 0 不一定成立 .

(3) 利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数 y ＝

f(x) ， y ＝ g(x) 图象，其交点的横坐标是 f(x) － g(x) 的零

点 .

判断下列函数在给定区间是否存在零点 .

(1)f(x) ＝ x2 － 3x － 18 ， x∈ [1,8] ；(2)f(x) ＝ x3 － x － 1 ， x∈ [ － 1,2] ；

(3)f(x) ＝ log2(x ＋ 2) － x ， x∈ [1,3] ；

(4)f(x) ＝ － x ， x∈ (0,1).[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] (1)∵ f(1) ＝－ 20<0 ， f(8) ＝ 22>0 ，∴ f(1)·f(8)<0 ，故 f(x) ＝ x2 － 3x － 18 ， x∈ [1,8] 存在零点 .

(2)∵ f( － 1) ＝－ 1<0 ， f(2) ＝ 5>0 ，∴ f( － 1)·f(2)<0 ，故 f(x) ＝ x3 － x － 1 ， x∈ [ － 1,2] 存在零点 .

(3)∵ f(1) ＝ log2(1 ＋ 2) － 1>log22 － 1 ＝ 0 ，

f(3) ＝ log2(3 ＋ 2) － 3<log28 － 3 ＝ 0 ，∴ f(1)·f(3)<0 ，

故 f(x) ＝ log2(x ＋ 2) － x ， x∈ [1,3] 存在零点 .

(4) 画出函数 f(x) ＝ － x 的图象如图 .

由图象可知， f(x) ＝ － x 在 (0,1) 内图象与 x 轴没有交点，

故 f(x) ＝ － x 在 (0,1) 内不存在零点 .

函数零点个数的判定有下列几种方法：(1) 直接求零点：令 f(x) ＝ 0 ，如果能求出解，则有几个解就 有几个零点 .

(2) 零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在 [a ， b]

上 是连续的曲线，且 f(a)·f(b) ＜ 0. 还必须结合函数的图象和 性质 ( 如单调性 ) 才能确定函数有多少个零点 .

(3) 画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点 的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 .

判断函数 f(x) ＝ 4x ＋ x2 － x3 在区间[ － 1,1] 上零点的个数，并说明理由 .

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] 　∵ f( － 1) ＝－ 4 ＋ 1 ＋ ＝－ ＜ 0 ，

f(1) ＝ 4 ＋ 1 － ＝ ＞ 0 ，

∴ f(x) 在区间 [ － 1,1] 上有零点 .

又 f (x)′ ＝ 4 ＋ 2x － 2x2 ＝ － 2(x － )2 ，

当－ 1≤x≤1 时， 0≤f (x)≤ ′ ，

∴ f(x) 在 [ － 1,1] 上是单调递增函数，

∴ f(x) 在 [ － 1,1] 上有且只有一个零点 .

函数零点的求法有两种：代数法和几何法 . 代数

法即求方程 f(x) ＝ 0 的实数根；但当有些方程无法求

实根时，就要用几何法，即将它与函数 y ＝ f(x) 的图

象联系起来，并利用函数的性质找出零点 .

求下列函数的零点：(1)f(x) ＝ x3 － 2x2 － x ＋ 2 ；(2)f(x) ＝ x －

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] (1) 由 x3 － 2x2 － x ＋ 2 ＝ 0 ，

得 x2(x － 2) － (x － 2) ＝ 0 ，

∴ (x － 2)(x － 1)(x ＋ 1) ＝ 0 ，

∴ x ＝ 2 或 x ＝ 1 或 x ＝－ 1.

故函数 f(x) 的零点是 2,1 ，－ 1.

(2) 由 x － ＝ 0 ，

得 ＝ 0 ，

∴ ＝ 0 ，

∴ (x － 2)(x ＋ 2) ＝ 0.

∴ x ＝ 2 或 x ＝－ 2.

故函数 f(x) 的零点是 2 或－ 2.

判断函数零点的存在性以及函数零点的个数是高考对本节内容的常规考法 .09 年广东高考将函数的零点与二次函数、导数等内容相结合考查了函数零点的应用，是一个新的考查方向 .

[ 考题印证 ]

(2009· 广东高考 )(12 分 ) 已知二次函数 y ＝ g(x)

的导函数的图象与直线 y ＝ 2x 平行，且 y ＝ g(x) 在 x

＝－ 1 处取得极小值 m － 1(m≠0). 设 f(x) ＝ ，

(1) 若曲线 y ＝ f(x) 上的点 P 到点 Q(0,2) 的距离的

最小值为 2 ，求 m 的值；

(2)k(k∈R) 如何取值时，函数 y ＝ f(x) － kx 存在

零点，并求出零点 .

【解】　∵ y ＝ g (′ x) ＝ 2ax ＋ b 的图象与直线 y ＝ 2x 平行，

∴ a ＝ 1.

又∵ y ＝ g(x) 在 x ＝－ 1 处取得极小值 m － 1 ，

∴ － ＝－ 1 ， g( － 1) ＝ a( － 1)2 ＋ b( － 1) ＋ c ＝ m

－ 1 ，

所以 b ＝ 2 ， c ＝ m. 从而 f(x) ＝ ＋ x ＋ 2.┄ (2

分 )

(1) 已知 m≠0 ，设曲线 y ＝ f(x) 上点 P 的坐标为P(x ， y) ，则点 P 到点 Q(0,2) 的距离为|PQ| ＝

＝

＝ 当且仅当 2x2 ＝ ⇒ x ＝ ± 时等号成立 .┄┄(4

分 )

∵ |PQ| 的最小值为 ，

∴ ＋ m ＝ 1.

① 当 m ＞ 0 时，解得 m ＝ ＝ － 1.

② 当 m ＜ 0 时，解得 m ＝ ＝－ － 1.

故 m ＝ － 1 或 m ＝－ －

1.┄┄┄┄┄┄┄┄(6 分 )

(2)y ＝ f(x) － kx 的零点，即方程 ＋ (1 － k)x ＋ 2 ＝ 0 的解，∵ x≠0 ，∴ ＋ (1 － k)x ＋ 2 ＝ 0 与 (k － 1)x2 － 2x

－ m ＝ 0 有相同的解 .

① 若 k ＝ 1 ， (k － 1)x2 － 2x － m ＝ 0⇒ x ＝－ ≠ 0 ，所以函数 y ＝ f(x) － kx 有零点 x ＝－ .┄┄┄┄(8

分 )

② 若 k≠1 ， (k － 1)x2 － 2x － m ＝ 0 的判别式Δ ＝ 4[1 ＋ m(k － 1)].

若 Δ ＝ 0⇒ k ＝ 1 － ，此时函数 y ＝ f(x) － kx 有一个零点 x ＝－ m.

若 Δ ＞ 0⇒ 1 ＋ m(k － 1) ＞ 0 ，∴ 当 m ＞ 0 ， k ＞ 1 － ，或 m ＜ 0 ， k ＜ 1 － 时，方程 (k － 1)x2 － 2x － m ＝ 0 有两个解 .

X1 ＝ 和 x2 ＝ .

此时函数 y ＝ f(x) － kx 有两个零点 x1 和 x2.

若 Δ ＜ 0⇒ 1 ＋ m(k － 1) ＜ 0 ，∴ 当 m ＞ 0 ， k ＜ 1 － ，或 m ＜ 0 ， k ＞ 1 － 时，方程 (k － 1)x2 － 2x － m ＝ 0 无实数解，此时函数 y ＝ f(x) － kx 没有零点 .┄┄┄┄┄┄(12

分 )

[ 自主体验 ]

已知函数 f(x) ＝－ x2 ＋ 2ex ＋ m － 1 ， g(x) ＝ x ＋

(x ＞ 0).

(1) 若 g(x) ＝ m 有零点，求 m 的取值范围 .

(2) 确定 m 的取值范围，使得函数 F(x) ＝ g(x) － f(x) 有

两个不同的零点 .

解： (1) 法一：∵ g(x) ＝ x ＋ ＝ 2e ，

等号成立的条件是 x ＝ e ，

故 g(x) 的值域是 [2e ，＋∞ ) ，

因而只需m≥2e ，则 g(x) ＝ m 就有零点 .

法二：作出 g(x) ＝ x ＋ 的图象如图：

可知若使 g(x) ＝ m 有零点，则只需m≥2e.

(2) 函数 F(x) ＝ g(x) － f(x) 有两个不同的零点，

即 g(x) － f(x) ＝ 0 有两个相异的实根，

即 g(x) ＝ f(x) 中 g(x) 与 f(x) 的图象有两个不同的交点，作出 g(x) ＝ x ＋ (x ＞ 0) 的图象 .

∵ f(x) ＝－ x2 ＋ 2ex ＋ m － 1 ＝－ (x － e)2 ＋ m － 1

＋ e2 ，其对称轴为 x ＝ e ，开口向下，最大值为 m － 1 ＋ e2 ，故当 m － 1 ＋ e2 ＞ 2e ，即 m ＞－ e2 ＋ 2e ＋ 1 时，g(x) 与 f(x) 有两个交点，即 g(x) － f(x) ＝ 0 有两个相异实根 .

∴ m 的取值范围是 ( － e2 ＋ 2e ＋ 1 ，＋∞ ).

1. 函数 f(x) ＝ 的零点有 ( 　　 )

A.0 个　　　　　　　　 　　 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析：由 f(x) ＝ ＝ 0 得： x ＝ 1 ，

∴ f(x) ＝ 只有一个零点 .

答案： B

2.(2009·天津高考 ) 设函数 f(x) ＝ x － lnx(x>0) ，则 y ＝ f(x)

( 　　 )

A. 在区间 ( ,1) ， (1 ， e) 内均有零点

B. 在区间 ( ,1) ， (1 ， e) 内均无零点

C. 在区间 ( ,1) 内有零点，在区间 (1 ， e) 内无零点

D. 在区间 ( ,1) 内无零点，在区间 (1 ， e) 内有零点

解析： f( ) ＝ ＋ 1>0 ， f(1) ＝ － 0>0 ，

f(e) ＝ － 1<0 ，∵ f (′ x) ＝ － ＝ ，

∴ 当 f(x) 在 (0,3) 上是减函数 . 根据闭区间上根的存

在性定理与函数的单调性 .

答案： D

3. 设函数 y ＝ x3 与 y ＝ ( )x － 2 的图象的交点为

(x0 ， y0) ，

则 x0 所在的区间是 ( 　　 )

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

解析：令 g(x) ＝ x3 － 22 － x ，可求得：

g(0)<0 ， g(1)<0 ， g(2)>0 ， g(3)>0 ， g(4)>0 ， g (′ x)

＝ 3x2 ＋ 4( )xln2 ＞ 0 ，易知函数 g(x) 的零点所在区

间为 (1,2).答案： B

4. 若函数 f(x) ＝ ax2 － x － 1 仅有一个零点，求实数 a

的取

值是　　 .解析：若 a ＝ 0 ，则 f(x) ＝－ x － 1 为一次函数，易知函

数

仅有一个零点；若 a≠0 ，则函数 f(x) 为二次函数，若其

中有一个零点，则方程 ax2 － x － 1 ＝ 0 仅有一个实数根，

故 判别式 Δ ＝ 1 ＋ 4a ＝ 0 ，得 a ＝－ .综上可知 a ＝

0

或 a ＝ － .

答案： 0 或－

5.(2010·福建四地六校联考 ) 若函数 f(x) ＝ ax ＋ b 有一

个零点是 1 ，则 g(x) ＝ bx2 － ax 的零点是　 　 .

解析：∵ f(x) ＝ ax ＋ b 的零点是 1 ，

∴ a ＋ b ＝ 0 ，

∴ g(x) ＝ bx2 ＋ bx ＝ bx(x ＋ 1) ，

∴ g(x) 的零点是 0 ，－ 1.

答案： 0 ，－ 1

6.m 为何值时， f(x) ＝ x2 ＋ 2mx ＋ 3m ＋ 4

(1) 有且仅有一个零点； (2) 有两个零点且均比－ 1 大 .

解： (1) 若函数 f(x) ＝ x2 ＋ 2mx ＋ 3m ＋ 4 有且仅有一个 零点， 则等价于 Δ ＝ 4m2 － 4(3m ＋ 4) ＝ 0 ， 即 4m2 － 12m － 16 ＝ 0 ，即 m2 － 3m － 4 ＝ 0 ， 解得 m ＝ 4 或 m ＝－ 1.

(2) 若 f(x) 有两个零点且均比－ 1大，

设两零点分别为 x1 ， x2 ，

则 x1 ＋ x2 ＝－ 2m ， x1·x2 ＝ 3m ＋ 4 ，

故只需

故 m 的取值范围是 {m| － 5 ＜ m ＜－ 1}.