§3 函数的最佳逼近 /* Optimal Approximation *
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Transcript of §3 函数的最佳逼近 /* Optimal Approximation *
§3 函数的最佳逼近 /* Optimal Approximation */
最佳平方逼近:即连续型 L-S 逼近,在 意义下,使得 最小。
),(|||| 2 fff
2|||| yP
最佳一致逼近 /* uniform approximation */
|)(|max||||],[
xffbax
在 意义下,使得 最小。也称为 minimax problem 。
|||| yP
偏差/* deviation*/
若 ,则称 x0 为 偏差点。
||||)()( 00 yPxyxP
Didn’t you say it’s a very difficult problem?
Take it easy. It’s not so difficult if we consider
polynomials only.
§3 Optimal Approximation
v 1.0 最佳一致逼近多项式 /* optimal uniform ap
proximating polynomial */ 的构造:求 n 阶多项式 Pn(x) 使得 || Pn y || 最小。
直接构造 OUAP 的确比较困难,不妨换个角度,先考察它应该具备的性质。有如下结论:
OUAP 存在,且必同时有 偏差点。证明:存在性证明略。后者用反证法,设只有正偏差点。
设 nnbax
n ExyxPyP |)()(|max||||
],[
而对于所有的 x[a, b] 都有
nn ExyxP )()(
nnn ExyxPE )()(2/|)(]2/)([| nn ExyxP
是 n 阶多项式 是误差更小的多项式
§3 Optimal Approximation
( Chebyshev 定理) Pn 是 y 的 OUAP Pn 关于 y 在定义域上至少有 n+2 个交错的 偏差点。
即存在点集 a t1 <…< tn+2 b 使得
{ tk } 称为切比雪夫交错组 /* Chebyshev alternating sequence *
/
||||)1()()( yPtytP nk
kkn
若 且 y 不是 n 次多项式,则 n 次 OUAP 唯一。
],[ baCy
证明:反证,设有 2 个 OUAP’s ,分别是 Pn 和 Qn 。则它们的平均函数 也是一个 OUAP 。 2
)()()(
xQxPxR nn
n
对于 Rn 有 Chebyshev 交错组 { t1,…, tn+2 } 使得nkknkknkknn EtytQtytPtytRE |)()(|
2
1|)()(|
2
1|)()(|
nkknkkn EtytQtytP |)()(||)()(|
则至少在一个点上必须有 )()()()( knkkkn tQtytytP
0)()( kkn tytR 0nE
§3 Optimal Approximation
由 Chebyshev 定理可推出: Pn(x) y(x) 在定义域上至少变号 次,故至少有 个根。
x
y
0
y y x ( )
y y x En ( )
y y x En ( )
y P xn ( )
n+1 n+1
可见 Pn(x) 是 y(x) 的某一个插值多项式
如何确定插值节点 {
x0, …, xn } 的位置,使得 Pn(x) 刚好是 y 的 OUAP ?即,使插值余项
v 2.0
达到极小?
n
ii
n
n xxn
yxR
0
)1(
)()!1(
)(|)(|
§3 Optimal Approximation
v 2.1 在 [ 1, 1] 上求 { x1, …, xn } 使得 的 ||wn|| 最小。
n
iin xxxw
1
)()(
注意到 ,要使 ||wn|| 最小就意味着
)()( 1 xPxxw nn
n
v 3.0 在 [ 1, 1] 上求函数 xn 的 n1 阶 OUAP 。
由 Chebyshev 定理可推出: Pn1(x) 关于 xn 有 n+1个偏差点,即 wn(x) 在 n+1 个点上交错取极大、极小值。
v 3.1 在 [ 1, 1] 上求切比雪夫交错组 { t1, …, tn+1 } 。
切比雪夫多项式 /* Chebyshev polynomials */
§3 Optimal Approximation
考虑三角函数 cos(n ) 在 [ 0, ] 上的 个极值点。
n + 1
当 时, cos(n )
交错达到极大值 1 和极小值 1 ,且存在系数 a0, …, an
使得
),...,1,0( nkn
kk
n
k
kkan
0
)(cos)cos(
令 x = cos( ) ,则 x [ 1 , 1 ] 。)cos arccos()cos()( xn·nxTn 称为 Chebyshev 多项式
Tn 的重要性质:
当 时, 交错取到极大值 1 和极小值 1 ,即
),...,1,0(cos nkn
ktk
)( kn tT
||)(||)1()( xTtT nk
kn
1
当
时 ,即 {x1, …, xn } 为 Tn(x) 的 n
个零点。
),...,1(2
12cos nk
n
kxk
0)( kn xT
§3 Optimal Approximation
Tn(x) 满足递推关系: T0(x) = 1 , T1(x) = x , )()(2)( 11 xTxTxxT nnn
Tn(x) 为 n 次多项式,首项系数为 。且 T2n
(x) 只含 x 的 次幂, T2n+1(x) 只含 x 的 次幂。
2n1
偶 奇
{ T0(x), T1(x), … } 是 [ 1 , 1 ] 上关于权
正交的函数族。即在内积 的意义下有
21
1)(
xx
1
1)()()(),( dxxTxTxTT lklk
02
0
0
),(
lk
lk
lk
TT lk
OKOK, I think it’s enough for us… What’s our target again?
v 3.1 在 [ 1, 1] 上求切比雪夫交错组 { t1, …, tn+1 } 。
v 3.0 在 [ 1, 1] 上求函数 xn 的 n1阶 OUAP 。
Tn(x) 的 n 个零点。
§3 Optimal Approximation
可见:若取 ,则 wn 在 [ 1 , 1 ]
上有 n+1 个极值点 { tk } ,也即 Pn1(x) = xn wn(x) 关于 x
n 在 [ 1 , 1 ] 上有 n+1 个交错偏差点 { tk } 。
12
)()(
nn
n
xTxw
v3.0 OK
v 2.1 在 [ 1, 1] 上求 { x1, …, xn } 使得 的 ||wn|| 最小。
n
iin xxxw
1
)()(
取最小值 ||)(|| 1n
n xxP
)(2
1||||min
1xTw nnn
w nn12
1
n
n = { 首项系数为 1 的 n 阶多项式 /*monic polynomials of degree n */ }
{ x1, …, xn } 即为
如何确定插值节点 { x0, …, xn } 的位置,使
得 Pn(x) 刚好是 y 的 OUAP ?即,使插值余项达到极小?
v 2.0
n
ii
n
n xxn
yxR
0
)1(
)()!1(
)(|)(|
取 { x0, …, xn } 为 Tn+1(x) 的 n+1 个零点,做 y 的插值多项式 Pn(x) ,则插值余项的上界可达极小 。)!1(2 n
Mn
§3 Optimal Approximation
注: 上界最小不表示 | Rn(x)| 最小,故 Pn(x) 严格意义上只是
y(x) 的近似最佳逼近多项式; 对于一般区间 x [a, b] ,可作变量替换
,则 t [ 1 , 1 ] ,这时t
abbax
22
))...(()()( 220222211 nabbaabbaabba
nn xtxttwxw
))...(( 0
1
2 n
nab tttt
)()( 12
)(12
11
2 12
1
tTtT nab
n
nabn
n
n
即以
为插值节点 (k=0,…, n) ,得 Pn(x) ,余项
有最小上界。
22
12cos
22 n
kabbaxk
)(2
)(
)!1(
)()( 112
1)1(
tTab
n
yxR nn
nn
n
§3 Optimal Approximation
例:求 f (x) = ex 在 [0, 1] 上的近似最佳逼近多项式,使其误差不超过 0.5104 。
解: 根据误差上界确定 n :410
2
1
2
1
)!1(||
12
nn n
eR n = 4
计算 T5(t) 的根:
10
9cos,
10
7cos,
10
5cos,
10
3cos,
10cos 43210
ttttt
)1(2
1
22
tt
abbax
02.0)110
9(cos
2
1
21.0)110
7(cos
2
1,50.0)1
10
5(cos
2
1
79.0)110
3(cos
2
1,98.0)1
10(cos
2
1
4
32
10
x
xx
xx
以 x0, …, x4 为节点作 L4
(x)
§3 Optimal Approximation
Chebyshev 多项式的其它应用 —— 多项式降次 /* reduce the degree of poly
nomial with a minimal loss of accuracy */
设 f (x) Pn(x) 。在降低 Pn(x) 次数的同时 , 使因此增加的误差尽可能小 , 也叫 economiza-tion of power series 。
从 Pn 中去掉一个含有其最高次项的 , 结果降次为 , 则:
Pn
~Pn1
|)(|max|)()(|max|)()(|max]1,1[]1,1[
1]1,1[
xPxPxfxPxf nnn
~
因降次而增的误差设 Pn 的首项系数为 an ,则取 可使精度尽可能少损失。
12
)()(
nn
nnxT
axP
§3 Optimal Approximation
例: f (x) = ex 在 [1, 1] 上的 4 阶 Taylor 展开为
24621
432
4
xxxxP ,此时误差 023.0||
!5|)(| 5
4 xe
xR
请将其降为 2 阶多项式。
解: 取 )8
1(
24
1)(
2
1
24
1 24434 xxxTP 188 24
4 xxT(查表知 )
)8
1(
24
1
621 2
32
44 xxx
xPP 32
6
1
24
13
192
191xxx
取 )4
3(
6
1)(
2
1
6
1 3323 xxxTP xxT 34 3
3 (查表知 )
192
191
8
9
24
13~ 233 xxPP 057.0||)(
~|| 2 xPe x
若简单取 ,则误差 2
1)(2
2
xxxP 45.0
!3
e
另类解法可查 p.163 表 7-2 ,将 x3 和 x4 中的 T3 和 T4 删
除。
注:对一般区间 [a, b] ,先将 x 换为 t ,考虑 f (t) 在 [1,
1] 上的逼近 Pn(t) ,再将 t 换回 x ,最后得到 Pn(x) 。
HW: p.164
#3