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2º Bachillerato

Modalidad de Ciencias de la Naturaleza y Salud

Modalidad de Tecnología

Miguel Angel Díaz Armentia

I.E.S. Alquibla (La Alberca-Murcia)

Física 2o de Bachillerato LOGSE

Miguel Angel Díaz Armentia 1

17 de octubre de 2007

1Catedrático de Física y Química del I.E.S Alquibla

Índice general

1. Interacción gravitatoria 71.1. Momento angular. Ecuación del momento angular. Fuerzas centrales . . . 71.2. Ley de Gravitación Universal. Masa inerte y masa pesante . . . . . . . . 101.3. Leyes de Kepler. Deducción de la Ley de Gravitación Universal . . . . . . 11

1.3.1. Deducción de la Ley de Gravitación Universal . . . . . . . . . . . 121.4. Trabajo de una fuerza. Energía cinética. Energía Potencial. Fuerzas con-

servativas. Teorema de conservación de la energía mecánica. . . . . . . . 131.4.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2. Energía Potencial. Fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3. Ejemplos de fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Energía potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.1. Energía potencial gravitatoria terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6. Interacción a distancia: el concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. El campo gravitatorio: intensidad y potencial. Líneas de campo. Superfi-

cies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8. Potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8.1. Relación trabajo-potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . 261.8.2. Líneas de campo. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . 26

1.9. La gravedad terrestre: variación con la altura . . . . . . . . . . . . . . . . 271.10. Movimiento de satélites y planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.10.1. Sobre el movimiento de partículas en campos centrales conserva-tivos atractivos. Aplicación al movimiento de satélites en torno aplanetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2. Vibraciones y Ondas 352.1. Dinámica del movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.2. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.3. Ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.4. Ejemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2. Energía del movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3. Ondas. Clasificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4. Magnitudes características de las ondas. Ondas armónicas . . . . . . . . 422.5. Energía e Intensidad de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6. Interferencia de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3

4 ÍNDICE GENERAL

2.6.1. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.2. Intensidad en los fenómenos de interferencias . . . . . . . . . . . . 49

2.7. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.8. Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8.1. Reflexión de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.8.2. Refracción de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.9. Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.9.1. Difracción de Fraunhoffer por una rendija . . . . . . . . . . . . . 542.9.2. Difracción de Fraunhoffer para una abertura circular . . . . . . . 552.9.3. Óptica geométrica y óptica ondulatoria (de interés respecto a la luz 56

2.10. El sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10.1. Nivel de Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10.2. Otros aspectos del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.11. Absorción de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.12. Polarización de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.13. Influencia del movimiento del medio en las ondas sonoras . . . . . . . . . 602.14. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.14.1. Ondas de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3. Óptica 653.1. Controversia sobre la naturaleza de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1. Teorías antiguas hasta Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.2. Modelo corpuscular de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3. Modelo ondulatorio de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2. Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.1. Formulación de una onda electromagnética armónica plana . . . . 68

3.3. Velocidad de la luz. Índice de refracción. Concepto de rayo luminoso . . . 703.3.1. Concepto de rayo luminoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4. Leyes de la reflexión y refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.1. Leyes de la reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.2. Leyes de la refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.3. Ángulo límite y reflexión total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.4. Dispersión de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5. Óptica geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.1. Hipótesis de la Óptica geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.2. Imágenes reales y virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5.3. El dioptrio esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.5.4. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5.5. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5.6. Ecuación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6. Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6.1. Espejos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6.2. Espejos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.6.3. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.6.4. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

ÍNDICE GENERAL 5

3.6.5. Construcción de imágenes de espejos . . . . . . . . . . . . . . . . 813.7. Lentes. Clasificación. Ecuaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7.1. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.7.2. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.7.3. Ecuación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.7.4. Potencia de una lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.7.5. Construcciones gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.7.6. Aberraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4. Interacción electromagnética 874.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.1. Cuantización de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.2. Principio de Conservación de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.1. Líneas de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.4. Teorema de Gauss para el campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4.1. Flujo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4.2. Enunciado del Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.5. Potencial eléctrico. Energía potencial eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . 974.5.1. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.5.2. Relación trabajo - Potencial electrostático . . . . . . . . . . . . . 1004.5.3. Relación Intensidad de campo - Potencial electrostático . . . . . . 1004.5.4. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.5.5. Energía electrostática de un sistema de cargas . . . . . . . . . . . 101

4.6. Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.7. Introducción al magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.8. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.9. Producción de campos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.9.1. Campo magnético creado por una carga en movimiento . . . . . . 1074.9.2. Campo magnético producido por un elemento de corriente . . . . 1084.9.3. Campo magnético producido por una corriente rectilínea infinita . 1094.9.4. Campo magnético creado por una espira circular en su centro . . 1094.9.5. Campo magnético creado por un solenoide en su interior . . . . . 110

4.10. Magnetismo natural y electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.11. Fuerzas magnéticas sobre una corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . 1114.12. Fuerzas entre corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.13. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.13.1. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.13.2. Ley de Henry-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.13.3. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.13.4. Inducción mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.14. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6 ÍNDICE GENERAL

5. Introducción a la Física Moderna 1215.1. Relatividad en Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.1.2. Transformación de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.1.3. Consecuencias de la Transformación de Galileo . . . . . . . . . . . 122

5.2. Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.1. Contradicciones de la relatividad clásica . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.2. Postulados de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.2.3. Consecuencias de los postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.3. Relación masa-energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3.1. Masa relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3.2. Energía cinética y energía en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3.3. Energía de enlace nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.4. Momento y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4. Efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.5. Concepto de fotón. Dualidad onda-corpúsculo . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.5.1. Dualidad onda-corpúsculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.6. Principio de indeterminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.7. Tipos de radiaciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.7.1. Leyes de Soddy-Fajans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.8. Desintegración nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.9. Partículas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.10. Interacciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A. Problemas de Gravitación 141

B. Problemas de Vibraciones y Ondas 147

C. Problemas de Óptica 151

D. Problemas de Electromagnetismo 153

E. Problemas de Física Moderna 163

Capítulo 1

Interacción gravitatoria

1.1. Momento angular. Ecuación del momento angu-lar. Fuerzas centrales

Consideremos una partícula cuyo momento lineal observado desde un referencialinercial es ~p = m~v, se define momento angular momento cinético de la partícularespecto del punto O, como el momento del momento lineal, esto es

~LO = ~r × ~p = ~r ×m~v (1.1)

Figura 1.1

En general, la partícula no tiene por qué ser libre y además su posición variará conel tiempo, es decir, ~r = ~r(t) y ~p = ~p(t), y en consecuencia, ~LO será variable con el tiempo.

Para evaluar esta variación procederemos así:

d ~LOdt

=d

dt(~r × ~p) =

d~r

dt× ~p+ ~r × d~p

dt= ~r × ~F (1.2)

7

8 CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA

puesd~r

dt× ~p = 0 (1.3)

ya que |~v × ~v| = v · v · sin 0 = 0. En consecuencia,

d ~LOdt

= ~r × ~F = ~MO (1.4)

donde ~MO es el momento de la fuerza ~F respecto del punto O (torque).

Esta ecuación extendida para un sistema de partículas será fundamental, como yaveremos, en el estudio de la dinámica de rotación.

Si ~MO = 0, entonces ~LO = cte, este resultado se conoce como Teorema de Con-servación del Momento Angular ; es decir, si el momento de la fuerzas es cero, elmomento angular de la partícula permanece invariante a lo largo del tiempo.

Una posibilidad para que ~MO = 0 es que ~F sea paralela a ~r, en otras palabras,cuando la dirección de ~F pasa por el punto O. Una fuerza cuya dirección pasa siemprepor un punto fijo se denomina fuerza central .

Figura 1.2

Al punto O se le llama Centro de Fuerzas . Una forma de expresar estas fuerzases ~F = F · ~ur.

En la Naturaleza existen muchas fuerzas centrales. Por ejemplo, la Tierra gira alrede-dor del Sol bajo la influencia de una fuerza central cuya dirección está siempre dirigidaal Sol. Por ello, el momento angular de la Tierra respecto del Sol es siempre constante.

1.1. MOMENTO ANGULAR. ECUACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. FUERZAS CENTRALES9

Otro ejemplo es el del movimiento del electrón alrededor del protón del átomo dehidrógeno.

Una característica del movimiento de partículas influidas por fuerzas centrales es quela trayectoria es plana. En efecto, como ~LO = cte, entonces el plano definido por ~r y~v es siempre el mismo (al ser la dirección del momento angular perpendicular al planodefinido por estos dos vectores según definición del producto vectorial) y es por ello queel movimiento es plano.

Por otro lado, también de la conservación del momento angular para este tipode interacciones (fuerzas centrales), se deduce la llamada 2a ley de Kepler relativa almovimiento planetario: “Las áreas barridas por el radio vector que va desde el Sol hastalos planetas son directamente proporcionales a los tiempos invertidos en barrerlas”.

En efecto, como cualquier vector, el radio vector o vector de posición puede expresarsecomo el producto de su módulo por el correspondiente vector unitario: ~r = r · ~ur, deforma que el vector velocidad puede expresarse,

~v =d~r

dt=dr

dt· ~ur + r · d~ur

dt(1.5)

por lo que el momento angular vendrá dado por

~LO = ~r × ~p = m~r × ~v = m~r · (drdt· ~ur + r · d~ur

dt(1.6)

ya que al aplicar la propiedad distributiva el primer producto vectorial es nulo al serdos vectores paralelos los factores. El módulo del momento angular resulta ser LO =mr · rω = mr2ω donde ω es el módulo de la velocidad angular instantánea1. Y por ello,se verifica,

r2ω =L0

m(1.7)

Por otra parte, y de acuerdo con la figura, suponiendo que en un intervalo de tiempo∆t tan pequeño como se quiera, el radio vector barre un área ∆A, tan pequeña comose quiera, asociada a un ángulo ∆θ también tan pequeño como se quiera, la velocidadareolar será vA = dA/dt, es decir, vA = 4A/4t, cuando 4t→ 0.

Por consideraciones geométricas, (aproximando el recinto barrido a un triángulo), elárea será

4A =1

2r · h =

1

2r · r · 4θ =

1

2r2 · 4θ (1.8)

por lo que la velocidad areolar será

vA =1

2r2 · 4θ4t

=1

2r2 · ω =

LO2m

= cte (1.9)

ya que LO = | ~LO| = cte, que es lo que queríamos demostrar.1Se puede demostrar que la derivada de un vector unitario es un vector cuyo módulo es el módulo

de la velocidad angular cuya dirección es perpendicular al vector unitario y cuyo sentido coincide conel avance del giro del antes citado vector unitario.


Figura 1.3

1.2. Ley de Gravitación Universal. Masa inerte y masapesante

Sean dos partículas o puntos materiales, asociaremos a cada una de ellas un parámetrollamado masa gravitatoria, o masa pesante. En términos del citado parámetro, laley de Gravitación universal puede ser expresada así:

Figura 1.4

~F = −Gmg1mg2

r2~ur = −Gmg1mg2

r3~r (1.10)

donde G es la constante de Gravitación universal cuyo valor es 6,67.10−11 enunidades del SI.

Las fuerzas gravitatorias son de largo alcance, al contrario de las nucleares que sonde corto alcance.

Debe destacarse que el parámetro masa gravitatoria es de naturaleza diferente al demasa inerte. En realidad, ambos parámetros poseen significados físicos muy diferentes.Sin embargo, pueden ser relacionados a través del siguiente experimento: consideremosuna partícula a pequeña altura de la superficie terrestre.

F =GMgmg

r2∼= G

Mg

R2mg = g ·mg (1.11)

1.3. LEYES DE KEPLER. DEDUCCIÓN DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL11

Figura 1.5

Si estudiamos la dinámica de la partícula (mediante la 2a Ley de Newton, ~F = mi ·~a)tenemos g ·mg = mi · a, por lo que a = g · (mg/mi).

Experimentalmente, se ha visto que todos los cuerpos en las proximidades de lasuperficie de la Tierra caen con la misma aceleración2 (aproximadamente a 9,8 m/s2 ),y como g es una constante, la relación mg/mi = K es una constante igual para todoslos cuerpos, es decir, es una constante universal. Por ello, las unidades se eligen tal queK = 1, y por ello, mg = mi = m, lo cual quiere decir que las dos masas vienen dadaspor el mismo número para la misma partícula. En adelante, no especificaremos a quétipo de masa nos referimos.

1.3. Leyes de Kepler. Deducción de la Ley de Grav-itación Universal

Desde un punto de vista histórico, podemos considerar a Kepler (1571-1650) como eliniciador de la moderna teoría gravitatoria, el cual estableció en base a sus observaciones,las de Copérnico y otros sobre el movimiento planetario lo que más tarde se conoceríacomo Leyes de Kepler; a saber:

1. Los planetas describen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos está el Sol.

2. Las áreas barridas por el radio vector que va desde el Sol hasta los planetas sondirectamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas (es decir, lavelocidad areolar es constante).

3. Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de lossemiejes mayores:

r3

T 2=r′3

T ′2=r′′3

T ′′2= · · · = cte = f(M) (1.12)

2Esto fue comprobado por Galileo desde la Torre Inclinada de Pisa


Como quiera que la constante de proporcionalidad es la misma independientementedel planeta en cuestión, sólo dependerá de lo que tienen en común los distintos planetasque es que giran alrededor del Sol, es decir, dependerá de la masa del Sol (M).

Hay que hacer notar que la leyes de Kepler son sólo cinemáticas y por tanto nodinámicas, es decir, sólo describen el movimiento pero no lo conectan con las causas quelo produce.

1.3.1. Deducción de la Ley de Gravitación Universal

Newton, basándose en la leyes de Kepler, dedujo la ley de Gravitación Universal.Vamos a deducirla nosotros siguiendo un razonamiento similar al utilizado por Newtony, por tanto, basado también en las leyes de Kepler. Para ello supondremos que lasórbitas de los planetas alrededor del Sol son circulares, lo cual no es muy exagerado yaque las órbitas son en realidad muy poco excéntricas.

Figura 1.6

Según la ley de las áreas, se deduce que el movimiento planetario es circular uni-forme. En efecto, según la ley de las áreas si A1 = A2, entonces se debe cumplir t1 = t2.Como por otra parte, si A1 = A2, entonces los correspondientes arcos deben ser iguales,esto es, l1 = l2. Si consideramos que estas áreas son tan pequeñas como se quiera, laigualdad entre los arcos se puede expresar v1t1 = v2t2, por lo que teniendo en cuenta, laanterior relación t1 = t2, se deduce que necesariamente v1 = v2, es<decir el movimientoes circular uniforme.

Por otro lado, al ser el movimiento circular uniforme la ecuación dinámica aplicablees la siguiente, ~F = m~an, por lo que en términos de módulos tenemos F = mω2r =m(2π/T )2r ya que ω = 2π/T . Utilizando la 3a ley de Kepler:

r3

T 2= f(M) (1.13)

se tiene,

F =m4π2f(M)

r2(1.14)

1.4. TRABAJO DE UNA FUERZA. ENERGÍA CINÉTICA. ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSERVATIVAS. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA.13

Figura 1.7

siendo F la fuerza que hace el Sol sobre el planeta. Por la ley de acción y reacción (3aley de Newton), el planeta hará sobre el Sol una fuerza igual en módulo, dirección ysentido contrario:

F ′ =M4π2f(m)

r2= F (1.15)

por lo que4π2mf(M) = 4π2Mf(m) (1.16)

o bien,

4π2f(M)

M=

4π2f(m)

m=

4π2f(m′)

m′=

4π2f(m′′)

m′′= · · · = cte = G (1.17)

siendo G la llamada constante de gravitación universal ya que no depende ni de M, nide m, ni de m’, ni de m”, etc. En consecuencia, sustituyendo, se tiene:

F =m4π2f(M)

r2= G

Mm

r2(1.18)

que es lo queríamos demostrar3.

1.4. Trabajo de una fuerza. Energía cinética. EnergíaPotencial. Fuerzas conservativas. Teorema de con-servación de la energía mecánica.

Supongamos una partícula que se mueve sometida a una fuerza ~F = ~F (x, y, z) desdeA hasta B, a través del camino C.

Podemos realizar una partición P1 de la trayectoria entre A y B, de esta formaobtenemos la suma

S1 =∑i

~Fi · 4~ri =∑i

∣∣∣~Fi∣∣∣ · |4~ri| · cos θi (1.19)

3Debe destacarse que la ley de Gravitación universal se refiere a puntos materiales mientras que ladeducción de Newton tiene que ver con esferas de materia. En realidad, puede demostrarse que parapuntos exteriores una esfera de materia se comporta igual que un punto material de igual masa situadoen su centro.


Figura 1.8

Si realizamos una nueva partición P2 de segmentos más pequeños que antes, obten-emos

S2 =∑i

~Fi · 4~ri =∑i

∣∣∣~Fi∣∣∣ · |4~ri| · cos θi (1.20)

Este proceso puede continuar indefinidamente obteniéndose la sucesión convergente,S1, S2, · · ·

Se define Trabajo desde A hasta B asociado a la fuerza ~F a lo largo de la curva Cde la siguiente manera,

W = lımN→∞

N∑i=1

~Fi · 4~ri (1.21)

Si el vector ~F es constante respecto a la posición , es decir, no depende de las variablesx, y, z, (fuerza uniforme) entonces:

W = ~F · ~4rAB = ~F · ( ~rB − ~rA) (1.22)

donde 4 ~rAB es el vector desplazamiento desde A hasta B.

La unidad de trabajo en el S.I. es el julio (J).

1.4.1. Energía cinética

Supongamos una partícula que va desde A hasta B influida por una fuerza ~F , eltrabajo será

W = lım4~ri→0,∀i

N∑i=1

~Fi · 4~ri = lım4~ri→0,∀i

N∑i=1

m~ai · 4~ri (1.23)

Asumiendo que en cada uno de los segmentos el movimiento es en la práctica uni-formemente acelerado, es decir,

~ai · 4~ri =1

2(v2i − v2

i−1) (1.24)


Figura 1.9

tenemos, sustituyendo,

W =1

2mv2

B −1

2mv2

A (1.25)

Denominamos energía cinética en un punto cualquiera M a la magnitud definidapor

ECM =1

2mv2

M (1.26)

Según esto, la ecuación anterior puede escribirse como

W = ECB − ECA (1.27)

Este resultado se conoce como el teorema de la energía cinética, (tambiénconocido como teorema de las fuerzas vivas).4

El teorema de las fuerzas vivas permite relacionar el trabajo asociado a unainteracción con su efecto dinámico en relación a la variación del módulo de la velocidado rapidez.

De hecho, si W > 0, la energía cinética aumenta, lo cual quiere decir que la fuerzafavorece el aumento de la rapidez; si W < 0, la energía cinética disminuye lo cual quieredecir que la fuerza origina una disminución de la rapidez, y finalmente, siW = 0, entoncesla rapidez es constante. En particular, si la fuerza es perpendicular a la velocidad, eltrabajo W = 0, por lo que E c = cte, y por ello, la rapidez es constante, lo cual significaque, si la trayectotia es plana, estamos ante un movimiento de rotación uniforme5.

1.4.2. Energía Potencial. Fuerzas conservativas

Consideremos una partícula que va desde A hasta B influida por una fuerza ~F . Lla-maremos W1 al trabajo si el recorrido se realiza por el camino (1). Si el recorrido se

4La denominación de teorema de las fuerzas vivas tiene que ver con el hecho de que cada término deenergía cinética antes era llamado fuerza viva. Nótese que el concepto de ser vivo estaba hace tiempoligado al movimiento.

5En particular, esto es de aplicación para el movimiento de una partícula con carga eléctrica en elseno de un campo magnético, y ello, porque, como se verá, la fuerza magnética es perpendicular alvector velocidad.


Figura 1.10

realiza por el camino (2), el trabajo será W2.

En general, se verifica que W1 6= W2. Para las llamadas fuerzas conservativas, estetrabajo es independiente de la trayectoria, es decir se verificaW1 = W2 = W3 = · · · = W .

Por ello, en estos casos, puede demostrarse matemáticamente que el trabajo puedeexpresarse como diferencia entre dos valores que toma una función potencial en los2 puntos extremos A y B:

W = ϕ(B)− ϕ(A) (1.28)

siendo ϕ(x, y, z) la función potencial antes referida que depende de las coordenadas delpunto donde se evalúe.

Definimos energía potencial asociada a la interacción conservativa ~F de la sigu-iente forma:

W = Ep(A)− Ep(B) (1.29)

por lo que,Ep(x, y, z) = −ϕ(x, y, z) (1.30)

Naturalmente, la interacción ~F debe ser conservativa pues de lo contrario no tienesentido hablar de energía potencial ya que el razonamiento antes expuesto no puede seraplicado.

Finalmente, veremos cómo a partir de lo anterior, podemos deducir el teorema deconservación de la energía mecánica.

Supongamos que la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa, entonces:

WA→B = Ep(A)− Ep(B) (1.31)


Por otro lado, por el teorema de las fuerzas vivas:

WA→B = ECB − ECA (1.32)

Igualando se obtieneECA + Ep(A) = ECB + Ep(B) (1.33)

Se define energía mecánica de la partícula en un punto cualquiera R:

EMR = ECR + Ep(R) (1.34)

de dondeEMA = EMB (1.35)

es decir si ~F es una interacción conservativa, la energía mecánica se conserva.

Observaciones

1. La naturaleza de la ecuación asociada al teorema de las fuerzas vivas es comple-tamente diferente a la de la ecuación que define la energía potencial.

2. La primera ecuación relaciona el trabajo con el efecto dinámico de la interacción enlo que se refiere a la variación de rapidez que experimenta la partícula6, mientrasque la segunda relaciona el trabajo con la naturaleza específica de la interacciónexpresada a través de la energía potencial. Además, esta última sólo tiene sentidocuando la interacción es conservativa.

3. Aquí se ve que el sentido de introducir la magnitud “energía” es, en principio, sólooperativo ya que para determinadas interacciones (las conservativas), la energíamecánica es una constante de movimiento.

1.4.3. Ejemplos de fuerzas conservativas

1. El PesoLa fuerza del peso a pequeñas distancias de la superficie terrestre se puede expresar:~Fp = −mg~k.Calculemos el trabajo para ir desde A hasta B, como la fuerza peso es constante:

W = ~F · 4~r = −mg~k · 4~r = −mg4z = mgzA −mgzB (1.36)6El hecho de que el trabajo dé una medida del efecto dinámico de una fuerza en relación a la variación

de rapidez (módulo del vector velocidad) que experimenta la partícula sugiere una clasificación de lasfuerzas en tres tipos: a) las que sólo modifican el módulo de la velocidad y no su orientación, b) lasque sólo modifican la orientación de la velocidad y no su módulo, y, c) las que modifican módulo yorientación de la velocidad. En particular, las fuerzas que corresponden al caso (b) podríamos decirque son en cierta medida unas fuerzas pasivas ya que son responsables del movimiento de rotaciónuniforme de las partículas (fuerzas centrípetas). Su papel consiste en impedir que la partícula se muevade acuerdo al principio de inercia obligando por tanto a cambiar de forma permanente la orientacióndel vector velocidad de la misma.


Figura 1.11

Se observa que no necesitamos especificar la trayectoria para evaluar el trabajo,por lo que el peso es una fuerza conservativa.

ComoW = mgzA −mgzB = Ep(A)− Ep(B) (1.37)

entoncesEp = mgz + C (1.38)

es decir, la energía potencial está determinada salvo una constante7. Se suele con-siderar como convenio que si z = 0 entonces E p(0) = 0, es decir, la energía po-tencial debida al peso es cero en el nivel cero del sistema de referencia, por ello:Ep = mgz.

2. La fuerza elástica

Figura 1.12

La partícula unida al muelle elástico constituye un oscilador elástico. Supon-dremos que el movimiento es unidimensional. La fuerza que actúa sobre la partículaviene dada por la Ley de Hooke:

~F = −Kx~i (1.39)7Esto es general para cualquier interacción conservativa, es decir, la función energía potencial está

perfectamente determinada salvo una constante.

1.5. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 19

donde K es la llamada constante de recuperación, también llamada con-stante de elasticidad o constante de Hooke. Puede demostrarse que eltrabajo asociado a la fuerza elástica para ir desde un punto A hasta otro B vienedado por:

W =1

2Kx2

A −1

2Kx2

B (1.40)

de donde se tiene, por un razonamiento similar al ejemplo anterior que

Ep(x) =1

2Kx2 + C (1.41)

Como criterio físico, supondremos que la energía potencial es nula en la posiciónde equilibrio, es decir, C = 0, por lo que

Ep(x) =1

2Kx2 (1.42)

1.5. Energía potencial gravitatoriaConsideremos 2 partículas de masas m1 y m2 , entonces, entre ellas se ejercen una

fuerza gravitatoria que viene dada por

Figura 1.13

~F = −Gm1m2

r2~ur (1.43)

Si suponemos que la partícula (1) está fija y que la (2) se mueve desde una posiciónA hasta una posición B y queremos calcular el trabajo asociado a la fuerza gravitatoria,nos encontraríamos con que dicho trabajo resulta ser independiente de la trayectoriaelegida para ir desde A hasta B, por lo que la fuerza gravitatoria es conservativa. Enconcreto, se puede demostrar que el resultado del cálculo de dicho trabajo es:

WA→B = −Gm1m2

rA− (−Gm1m2

rB) (1.44)

Al ser conservativa, la fuerza gravitatoria, existirá una función energía potencial queteniendo en cuenta el resultado anterior debería tener la forma:

Ep(r) = −Gm1m2

r+ C (1.45)


donde C es la constante aditiva. Hay que hacer notar que la función energía potencialdepende funcionalmente de r, es decir, de la distancia de las dos partículas y no delvector que las une.

El criterio que se utiliza para determinar la constante C es considerar que la energíapotencial es nula cuando las dos partículas está infinitamente alejadas, esto es,

Ep(∞) = 0⇒ −Gm1m2

∞+ C = 0⇒ C = 0 (1.46)

por lo queEp(r) = −Gm1m2

r(1.47)

Este criterio es consistente pues se trata de considerar que si las partículas no inter-accionan su energía potencial asociada es cero8.

El significado físico de la energía potencial gravitatoria aparece claro desde el análisissiguiente: si calculamos el trabajo para alejarse indefinidamente la partícula (2) de la(1) desde una distancia rA, tenemos:

WA→∞ = Ep(rA)− 0 = Ep(rA) (1.48)

es decir, la energía potencial gravitatoria de dos partículas situadas a una distancia runa de la otra representa el trabajo necesario asociado a la interacción gravitatoria paraalejarlas desde esa distancia r indefinidamente.

1.5.1. Energía potencial gravitatoria terrestre

Figura 1.14

Consideremos una partícula de masa m a una altura h de la superficie terrestre. Laenergía potencial gravitatoria del sistema Tierra + partícula viene dada por

Ep = −G Mm

R + h(1.49)

8Debe notarse que el significado físico de que la distancia entre dos partículas sea infinita no debeconfundirse con el punto de vista matemático. De hecho, el hecho de que consideremos una distanciainfinita entre dos partículas en relación a la interacción gravitatoria significa físicamente que las citadasdos partículas están a una distancia suficiente la una de la otra, de forma que la interacción gravitatoriaentre las mismas no es apreciable. Esto dependerá del alcance de la interacción en cuestión, que en elcaso de la interacción gravitatoria es extraordinariamente grande.

1.5. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 21

Naturalmente, para escribir esta ecuación estamos suponiendo como lo hicimos an-teriormente que una esfera de materia (como la Tierra) se comporta igual para puntosexteriores a la misma que una partícula de su misma masa situada en su centro.

Si queremos calcular el trabajo para ir desde esa altura hasta la superficie de laTierra tenemos:

W = −GMm

R + h− (−GMm

R) = GMm(

1

R− 1

R + h) (1.50)

Por otra parte teniendo en cuenta la siguiente identidad:

1

R− 1

R + h=

h

(R + h)R(1.51)

sustituyendo se obtiene,

W = GMmh

(R + h)R(1.52)

Ahora bien, como por otra parte, g = GM/R2, sustituyendo se tiene

W = mghR2

(R + h)R= mgh

1

1 + h/R(1.53)

De la anterior expresión se pueden considerar la siguientes posibilidades:

1. Si la altura en cuestión es mucho más pequeña que el radio de la Tierra (h<<R), lafracción h/R es despreciable frente a la unidad, y entonces se obtiene W = mgh,que podría expresarse, como W = mgh−mg · 0, en conformidad con lo obtenidoen el ejemplo (1) de la sección (3). En efecto, si la expresión clásica del peso deun cuerpo expresado como una constante, Peso = mg, puede ser obtenida de lafuerza gravitatoria para puntos próximos a la superficie terrestre, el cálculo deltrabajo asociado al peso que se puede expresar en términos de una función energíapotencial (mgh), tiene que poder ser deducido también del trabajo asociado a lafuerza gravitatoria (expresable también en términos de otra función energía poten-cial), y suponiendo en ese cálculo que las variaciones de altura son despreciablescomparadas con el radio de la Tierra (puntos próximos a la superficie terrestre).Esto es efectivamente lo que hemos demostrado con el desarrollo aquí expuesto.

2. Si la altura en cuestión no es en absoluto despreciable frente al radio de la superficieterrestre, la aproximación llevada a cabo anteriormente no es válida por lo quedeberemos utilizar la expresión general, es decir:

W = −GMm

R + h− (−GMm

R) (1.54)

o bien, expresada de otra forma:

W = mgh1

1 + h/R(1.55)


1.6. Interacción a distancia: el concepto de campo

Desde un punto de vista macroscópico, podemos, en principio, distinguir dos tiposde interacciones: interacciones de contacto e interacciones de acción a distancia. En real-idad, si bien el concepto de fuerza, introducido matemáticamente a través de ~F = d~p/dtes adecuado para describir el cambio del momento lineal de una partícula en el tiempodebido a sus interacciones con otras partículas (interacción a distancia), la idea que enla vida diaria tenemos de fuerza responde más a esa experiencia de que “sentimos” lafuerza (interacción de contacto) cuando, por ejemplo, un boxeador golpea la cara de suoponente, un martillo golpea un clavo, etc.. De hecho parece difícil reconciliar estos dostipos de interacciones, o mejor dicho, estas dos visiones de la interacciones (por ejemplo,interacción Sol - Tierra versus interacción martillo que golpea al clavo). La diferenciapuede estar en que se piensa que el martillo “toca” al clavo mientras que el Sol “no toca”a la Tierra. Y es aquí donde debemos centrar la atención, ya que en el fondo las cosasno son tan diferentes, puesto que desde un punto de vista microscópico, tampoco “setocan” el martillo y el clavo, si bien las moléculas de ambos cuerpos se acercan mucho,y a distancias tan pequeñas que no las vemos (pero que no son nulas, aunque al ser tanpequeñas no las veamos y pensemos que se “tocan” realmente). Por ello, y como con-clusión, debe prevalecer la idea de interacción a distancia. Otra cuestión sería discutircuál es el mecanismo de transmisión de la interacción. Para ello, se introduce el conceptode campo. Por campo, entenderemos una región del espacio alterada en relación a unapropiedad física que se describe por una función de posición y del tiempo. Para cadainteracción suponemos que una partícula produce su campo en la región del espacioque la rodea. Este campo a su vez actúa sobre una segunda partícula para producir lainteracción. De un modo simétrico, la segunda partícula produce su campo que actúasobre la primera partícula dando lugar a una interacción mutua.

El concepto de campo es más general que el ligado exclusivamente a las interacciones.De hecho, se habla del campo de velocidades de un fluido, del campo de temperaturasy del campo de presión en meteorología, del campo de densidades de un sólido, etc. Enconcreto, si la propiedad física considerada es escalar se habla de un campo escalar y sila propiedad física es vectorial se hablará de campos vectoriales. No obstante, nosotrosutilizaremos el concepto de campo ligado a las interacciones.

Finalmente, haremos un comentario sobre la propagación de las interacciones. Comoquiera que las partículas involucradas en una interacción a distancia están separadasprecisamente una cierta distancia, esto implica que tengamos en cuenta que se tardaráun cierto tiempo desde que colocamos una partícula en una cierta posición hasta quellega su campo a la segunda partícula. Como se verá, estas interacciones (y sus camposasociados), se propagan a una velocidad igual a la de la luz por lo que en la práctica,si las partículas se desplazan a velocidades muy pequeñas, supondremos que la propa-gación de la interacción es instantánea. Si ello no es así habrá que tener en cuenta elcarácter finito de la velocidad de la propagación de la interacción.

Por otra parte, si bien lo que se propaga en el fondo en un campo es cantidad de

1.7. EL CAMPO GRAVITATORIO: INTENSIDAD Y POTENCIAL. LÍNEAS DE CAMPO. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES23

movimiento y energía, surge la duda de cómo se transporta dicha cantidad de movimientoy energía a través del espacio de una partícula a otra. La Física clásica no tiene respues-ta para ello, pero la Teoría Cuántica de los campos supone que las interacciones tienenasociadas unas pseudo-partículas o cuantos de la interacción ( en la interacción elec-tromagnética se llaman fotones, en la gravitatoria gravitones, etc.), que serían los quetransportarían precisamente la cantidad de movimiento y energía que se intercambianlas partículas interaccionantes.

1.7. El campo gravitatorio: intensidad y potencial. Líneasde campo. Superficies equipotenciales

Se ha visto que si se tienen dos partículas la Ley de Gravitación universal nos dice

~F = −Gmm′

r2~ur = −Gmm

′

r3~r (1.56)

Figura 1.15

Fijémonos en lo que le ocurre a la masa m’, podemos decir que la masa m produceen el espacio que la rodea un alteración que llamaremos campo gravitatorio, demanera que, al colocar la masa m’ el citado campo gravitatoriointeraccionará conla masa m’. El concepto de campo reside en que se modifica el espacio que rodea a men el sentido anteriormente citado.

Por ello, la intensidad del campo gravitatorio9, ~g, en el punto P se define como lafuerza gravitatoria ejercida sobre la unidad de masa colocada en P,

~g =~F

m′(1.57)

y en el caso de que el campo gravitatorio esté producido por la masa m, el vectorintensidad de campo vendrá dado por

~g = −Gmr2~ur = −Gm

r3~r (1.58)

9De ordinario se suele utilizar indistintamente la denominación intensidad de campo gravitatorio ycampo gravitatorio para referirse precisamente al vector intensidad de campo. Aunque en principio estopuede producir confusión está normalmente aceptado el uso indistinto antes referido.


Figura 1.16

Las unidades del vector intensidad de campo son N / Kg, es decir m/s2 .

Si tenemos un sistema de varias partículas m1 , m2 , m3 , ..., el vector intensidad decampo en el punto P creado por el sistema se calcula, teniendo en cuenta el principio desuperposición, según el cual, “cuando una partícula se ve influida simultáneamente pordistintas interacciones, la acción de cada una de ellas es independiente de las demás”, locual quiere decir que la fuerza resultante será la suma vectorial de las fuerzas generadaspor las distintas partículas del sistema,

Figura 1.17

~F = ~F1 + ~F2 + ~F3 + · · · = −Gm1m′

r31

~r1 −Gm2m

′

r32

~r2 −Gm3m

′

r33

~r3 − · · · (1.59)

Por ello,

~g =~F

m′~g1 + ~g2 + ~g3 + · · · = −Gm1

r31

~r1 −Gm2

r32

~r2 −Gm3

r33

~r3 − · · · (1.60)

1.8. Potencial gravitatorio

Se define potencial gravitatorio en un punto, P, en que existe un campo gravitatorioa la energía potencial gravitatoria por unidad de masa,

Vg =Epm′

(1.61)

1.8. POTENCIAL GRAVITATORIO 25

Por ello, el potencial gravitatorio creado por una masa en un punto P a una distanciar de m será

Vg = −Gmr

(1.62)

Las unidades de potencial gravitatorio son J / Kg.

Si tenemos un sistema de varias partículas m1 , m2 , m3 , ..., el potencial gravitatorioen el punto P creado por el sistema se calcula también teniendo en cuenta el principio desuperposición. Para realizaremos el siguiente análisis: supongamos una partícula viajeram’ que se mueve desde un punto A hasta otro B influida por las interacciones debidasa las partículas del sistema. Debido al principio de superposición el trabajo será

Figura 1.18

W = W1 +W2 +W3 + · · · (1.63)

siendo, por ejemplo,W2 = Ep2(A)− Ep2(B) (1.64)

y

Ep2(B) = −Gm2m′

r2B

(1.65)

y así sucesivamente el resto de los sumandos, por lo que el trabajo total sería

W = Ep1(A)− Ep1(B) + Ep2(A)− Ep2(B) + Ep3(A)− Ep3(B) + · · · (1.66)

o bien

= Ep1(A)+Ep2(A)+Ep3(A)−Ep1(B)−Ep2(B)−Ep3(B)+ · · · = Ep(A)−Ep(B) (1.67)

siendoEp = Ep1 + Ep2 + Ep3 + · · · (1.68)

Por ello, el potencial gravitatorio asociado al sistema será

Vg =Epm′

=Ep1m′

+Ep2m′

+Ep3m′

+ · · · = Vg1 + Vg2 + Vg3 + · · · (1.69)


1.8.1. Relación trabajo-potencial gravitatorio

Consideremos una partícula viajera m’ que se mueve desde un punto A hasta otro Binfluida por el campo gravitatorio debido a la partícula de masa m, y supongamos quequeremos calcular el trabajo asociado a dicha interacción gravitatoria,

W = Ep(A)− Ep(B) = m′[Vg(A)− Vg(B)] (1.70)

es decir, el trabajo es igual a la masa m’ por la diferencia de potencial gravitatorio. Estaexpresión es especialmente interesante cuando en vez de una masa m es un sistema departículas el que produce el campo gravitatorio, sólo que en este caso el potencial quese calcule tanto en A como en B será el debido al sistema de partículas.

1.8.2. Líneas de campo. Superficies equipotenciales

Figura 1.19

LÍNEA DE CAMPO (de fuerza o de corriente) es el lugar geométrico de los puntosen los que el vector intensidad de campo es tangente. En la figura se observan las líneasdel campo creado por una masa puntual.

Superficies equipotenciales son aquellas superficies en las que el potencial esconstante. En el gráfico siguiente ( a la izquierda) se ve un corte (curvas de nivel)a las superficies equipotenciales asociadas al campo gravitatorio creado por una masapuntual. Tales superficies equipotenciales serían superficies esféricas y el corte con planodiametral daría lugar al gráfico adjunto. La situación es algo más compleja cuandotenemos dos o más partículas próximas como se muestra en el gráfico a la derecha.

Entre las líneas de campo y las superficies equipotenciales se verifica la siguientepropiedad: “las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales enlos puntos de intersección”. En efecto, si se considera el trabajo asociado a la interacciónen relación al desplazamiento entre dos puntos cualesquiera suficientemente próximos ypertenecientes a la misma superficie equipotencial tendremos que dicho trabajo es cero

1.9. LA GRAVEDAD TERRESTRE: VARIACIÓN CON LA ALTURA 27

Figura 1.20

al ser nula la diferencia de potencial gravitatorio. Eso significa que el vector fuerza (ypor tanto, el vector intensidad de campo) deberá ser perpendicular al vector desplaza-miento (contenido en la superficie equipotencial), por lo que la propiedad anteriormenteexpuesta es cierta.

1.9. La gravedad terrestre: variación con la alturaHemos visto que para una partícula cualquiera de masa m, el módulo del vector

intensidad de campo en un punto situado a una distancia r viene dado por

|~g| = Gm

r2(1.71)

Si consideramos el campo gravitatorio terrestre10, el módulo de la intensidad decampo en la superficie de la Tierra vendrá dado por

|~g| = GM

R2(1.72)

siendo M la masa de la Tierra y R su radio. Esta cantidad, como es bien sabido, es loque se conoce como gravedad y es la que se utiliza cuando expresamos el módulo delpeso como mg (el valor es aproximadamente 9,8 m/s2 ). Es decir, la gravedad no es sinola intensidad del campo gravitatorio terrestre en la superficie de la Tierra.

Sin embargo, para puntos distanciados de la superficie terrestre, en principio, no sepuede asegurar que el valor de la gravedad se mantenga igual que en la superficie de la

10Aquí conviene recordar de nuevo que para puntos exteriores una esfera de materia se comportaigual que una partícula situada en su centro con la misma masa.


Tierra.

Figura 1.21

En efecto, el valor de la gravedad será en un punto a una altura h de la superficieterrestre

g(h) =GM

(R + h)2(1.73)

Como quiera que se verifica GM = gR2, la expresión anterior puede expresarse dela siguiente manera

g(h) =gR2

(R + h)2= g(

1

1 + h/R)2 (1.74)

Esta sería la expresión de la variación de g con la altura en función del valor de gen la superficie terrestre. Para puntos muy próximos a la superficie terrestre (h<<R),la expresión anterior se puede simplificar considerablemente. Para ello, haremos uso delsiguiente desarrollo

1

1− a= 1 + a+ a2 + a3 + · · · (1.75)

(válido11 cuando |a| < 1), haciendo a = −h/R,

1

1− h/R= 1− h

R+ (

h

R)2 − · · · (1.76)

Sustituyendo este desarrollo en la expresión general, y eliminando términos que con-tengan potencias de 2 ó más de la relación h/R (por ser esta relación muy pequeña),tenemos:

g(h) ∼= g(1− h

R+ (

h

R)2 − · · · )2 ∼= g(1− h

R)2 ∼= g(1− 2h

R) ∼= g − 2gh

R(1.77)

Naturalmente esta expresión sólo es válida para pequeñas alturas. Por ejemplo, si con-sideramos un punto a 1 Km de altura el valor de g sería g(1000m) = 9, 8−9, 8 2·1000

6370·1000=

9, 8 − 0, 003 = 9, 797ms−2, es decir, que incluso para 1 Km de altura el error que secomete al considerar g = 9, 8ms−2, es de 3 milésimas, error despreciable para la mayoría

11Este desarrollo puede justificarse considerándolo como la suma de infinitos términos de una pro-gresión geométrica ilimitada y decreciente.

1.9. LA GRAVEDAD TERRESTRE: VARIACIÓN CON LA ALTURA 29

de los cálculos. Sin embargo, para grandes alturas (del tipo de las que tienen los satélitesartificiales que giran alrededor de la Tierra o más), la variación de g con la altura es yaapreciable por lo que procede utilizar la expresión general

g(h) =gR2

(R + h)2= g(

1

1 + h/R)2 (1.78)

Por supuesto, también podríamos estar interesados en la variación de la gravedadpara puntos interiores a la Tierra. En este caso, debemos considerar que para tales pun-tos interiores sólo influye la esfera de materia que queda dentro de la superficie esféricaimaginaria que puede trazarse con radio igual a la distancia del centro de la Tierra alpunto considerado, r.

Figura 1.22

Por ello, g(r) = GMint/r2. Suponiendo que la Tierra es una esfera homogénea de

materia tenemos que

Mint =MVintV

=M(4/3)πr3

(4/3)πR3=Mr3

R3(1.79)

Por lo que sustituyendo,

g(r) =GMr3

r2R3=gR2r3

r2R3= g

r

R(1.80)

es decir, que la gravedad disminuye hasta llegar al centro de la Tierra donde sería nula.

Figura 1.23

Por ello, si hacemos una representación gráfica de cómo varia la gravedad con ladistancia se obtiene algo como lo que aparece en la figura.


1.10. Movimiento de satélites y planetas

El movimiento de satélites y planetas hay que contextualizarlo en relación al movimien-to de partículas influidas por campos centrales conservativos, ya que, de hecho, la inter-acción gravitatoria es central y conservativa. En ese sentido, conviene recordar que porel hecho de ser central la interacción que nos ocupa se conserva el momento angular porlo que el movimiento es plano y se verifica la 2a Ley de Kepler. Por otro lado, el hechode que la antes citada interacción sea conservativa nos permite hacer uso del teoremade conservación de la energía mecánica; en ese sentido, consideremos una partícula demasa m’<<m, siendo m la masa de una segunda partícula que supondremos en reposo,y sobre ella ligado un sistema de referencia inercial12. Para dos puntos cualesquiera dela trayectoria de m’, A y B se verificará:

EMA = EMB ⇒ ECA + Ep(A) = ECB + Ep(B) (1.81)

por lo que, en este caso:

1

2m′v2

A −Gmm′

rA=

1

2m′v2

B −Gmm′

rB(1.82)

Con la 2a Ley de Newton, se puede demostrar que las órbitas son:

1. Elípticas con EM < 0,

2. Hiperbólicas con EM > 0,

3. Parabólicas con EM = 0

En lo casos (2) y (3) las órbitas son abiertas (el movimiento no está confinado),mientras que en el caso (1) las órbitas son cerradas (el movimiento está confinado). (Versiguiente apartado).

En el caso de las órbitas elípticas, el hecho de que la energía mecánica sea negativaes lo que justamente implica que el movimiento sea confinado, es decir, que la partículano pueda escapar al infinito. En efecto, si fuera posible que la partícula fuera al infinito,se debería cumplir:

EM = EC∞ + Ep(∞) = EC∞ < 0 (1.83)

lo cual es imposible, pues una energía cinética no puede ser negativa.

Un caso particular de (1) es cuando la trayectoria es una circunferencia, en este caso,como la fuerza es central, el trabajo asociado es cero, por lo que, la energía cinética esconstante, y el movimiento tiene que ser circular uniforme.

12En realidad, el hecho de que supongamos que m’<<m, implica que un sistema de referencia ligado am es mucho más inercial que el ligado a m’. Por ello, supondremos que el citado referencial es inercial.

1.10. MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS 31

Figura 1.24

Por ello, se verifica:

~F = m ~aN ⇒ F = maN ⇒ Gmm′

r2= m′

v2

r(1.84)

de donde se tiene

v =

√Gm

r(1.85)

que es la VELOCIDAD DE SATELIZACIÓN.

Por otra parte, la energía mecánica es, en este caso,

EM =1

2m′v2 − Gmm′

r=

1

2m′Gm

r− Gmm′

r= −1

2

Gmm′

r(1.86)

que es negativa como cabía esperar.

Si la EM > 0 m’ puede llegar al infinito y todavía le sobra energía cinética: EC∞ =EM − Ep(∞) = EM > 0, a velocidad que tendrá m’ en el infinito será:

1

2m′v2

∞ = EM ⇒ v∞ =

√2EMm′

(1.87)

Finalmente, en el caso límite EM = 0, v∞ = 0, es decir, la órbita es abierta, lapartícula llega hasta el infinito, pero cuando llega se queda en reposo. La trayectoria esuna parábola. En este caso, se verifica en cualquier posición que esté la partícula móvil:

1

2m′v2 = G

mm′

r⇒ v =

√2Gm

r(1.88)

que se conoce como VELOCIDAD PARABÓLICA. Se observa cuando mayor es la dis-tancia, menor es la velocidad, y viceversa, cuando menor es la distancia, mayor es lavelocidad.

Concretemos estas ideas para los movimientos planetarios alrededor del Sol, en estecaso, las órbitas son elípticas (en la mayor parte de los casos, las órbitas son casi cir-culares). La fuerza se puede descomponer en dos componentes: ~F = m ~aT + m ~aN , una


Figura 1.25

tangencial y otra normal. Una componente acelera o decelera el módulo de la velocidad,mientras que la otra curva la trayectoria.

Hay dos puntos, B y D, en los que no hay componente tangencial. El punto B(Perihelio) es el punto de máximo acercamiento, y en el él la velocidad es máxima,mientras que el punto D (Afelio) es el punto de máximo alejamiento, y en él la velocidades mínima. En efecto, como

EM =1

2m′v2 −Gmm

′

r= cte, (1.89)

si r es mínimo v es máximo, y si r es máximo v es mínimo.

Finalmente, y en otro orden de cosas, indicaremos que la velocidad parabólica quedebe tener un satélite artificial en la superficie terrestre (velocidad de escape de dichosatélite artificial), se calcula mediante

EM =1

2m′v2

esc −GMm

R= 0⇒ vesc =

√2GM

R=√

2gR ∼= 11, 3km/s (1.90)

Si la velocidad de lanzamiento es menor que 11,3 km/s, el satélite no escapa, y elsatélite tendrá una órbita elíptica o circular.

1.10.1. Sobre el movimiento de partículas en campos centralesconservativos atractivos. Aplicación al movimiento desatélites en torno a planetas

La ecuación de la energía mecánica es:

EM = EC + Ep =1

2mv2 −GMm

r(1.91)

La velocidad de m se puede descomponer así:

~v =d~r

dt;~r = r · ~ur;~v =

dr

dt~ur + r

d ~urdt

= (1.92)

1.10. MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS 33

que es igual a

=dr

dt~ur + r

dθ

dt~uθ ⇒ v2 = (

dr

dt)2 + r2(

dθ

dt)2 (1.93)

Figura 1.26

Sustituyendo la energía mecánica queda

EM =1

2m(

dr

dt)2 +

1

2mr2(

dθ

dt)2 −GMm

r(1.94)

Por otra parte, el momento angular (que es constante por tratarse de una fuerzacentral)

~LO = m~r × ~v = m~r × (dr

dt~ur + r

dθ

dt~uθ) = mr

dθ

dt~r × ~uθ (1.95)

El módulo del momento angular será

LO = mr2dθ

dt⇒ dθ

dt=

LOmr2

⇒ (dθ

dt)2 =

L2O

m2r4(1.96)

por lo que sustituyendo en la expresión de la energía mecánica:

EM =1

2m(

dr

dt)2 +

1

2mr2 L2

O

m2r4−GMm

r(1.97)

igual a

=1

2m(

dr

dt)2 +

1

2

L2O

mr2−GMm

r= EC,R + Eefec

p (r) (1.98)


siendoEefecp (r) = Ecentr

p (r)− Ep(r) (1.99)

Su representación gráfica sería:

Figura 1.27

De esta gráfica se ve que si EM < 0, a distancia entre las dos partículas oscila entredos valores mientras que si EM > 0, ó EM = 0, a distancia entre las dos partículaspresenta un valor mínimo pero no tiene un valor máximo, es decir puede ser infinita.

Capítulo 2

Vibraciones y Ondas

2.1. Dinámica del movimiento armónico simpleSe denomina movimiento armónico simple a un movimiento cuya variable tiene la

formax = A sin(ωt+ ϕ) (2.1)

Habitualmente se usan las siguientes denominaciones, ω es la pulsación o frecuenciaangular, ϕ la fase inicial, ωt + ϕ la fase, A la amplitud y x la elongación.

Figura 2.1

Gráficamente se puede considerar el movimiento armónico simple como el de laproyección de un móvil sobre un eje (el vertical por ejemplo) que se mueve con movimien-to circular uniforme con radio A, con arco inicial ϕ y a velocidad angular ω, como fácil-mente se puede comprobar con la Trigonometría.

35

36 CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS

Se verifica que el periodo T = 2π/ω, ya que la función que define el movimientoarmónico simple es periódica de periodo 2π/ω, en efecto:

x = A sen (ωt + ϕ) = A sen (ωt + ϕ + 2π) = A sen [ ω( t + 2π/ω)+ ϕ]== A sen[ ω( t + T)+ ϕ], de donde T = 2π/ω.

Físicamente el periodo representa el tiempo que se invierte en una oscilación com-pleta.

La frecuencia es f = 1/T es f = ω/2π. Físicamente, la frecuencia representa elnúmero de oscilaciones en la unidad de tiempo, esto, es el número de oscilaciones com-pletas por segundo.

2.1.1. Velocidad

La velocidad viene dada por

~v = vx~i =dx

dt~i =~iωA cos(ωt+ ϕ) (2.2)

Normalmente, en lo que se refiere al m.a.s se suele utilizar el símbolo v para vx1.Teniendo en cuenta lo anterior se tiene

v = ωA cos(ωt+ ϕ) (2.3)

Si se considera la identidad trigonométrica sin2 α + cos2 α = 1, se puede expresar lavelocidad como

v = ±ω√A2 − A2 sin2(ωt+ ϕ) = ±ω

√A2 − x2 (2.4)

Lógicamente, el signo± de la raíz dependerá del sentido del movimiento en el instanteconsiderado.

2.1.2. Aceleración

Llamando a a la componente x de la aceleración2, tenemos

a =d2x

dt2= −ω2A sin(ωt+ ϕ) = −ω2x (2.5)

1Esto en sentido estricto no es correcto ya que v es en realidad el módulo de la velocidad pero sueleser costumbre esta denominación en el m.a.s.

2Nuevamente debemos insistir lo mismo que antes, en sentido estricto, no es correcto ya que a es enrealidad el módulo de la velocidad pero suele ser costumbre esta denominación en el m.a.s.

2.1. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 37

2.1.3. Ecuación diferencial

De la ecuación de la aceleración se tiene,d2x

dt2+ ω2x = 0 (2.6)

que es la llamada ecuación diferencial del m.a.s.

El interés de esta ecuación diferencial tiene que ver con el hecho de cualquier fenó-meno físico descrito por una variable cuya ecuación diferencial tenga la forma de laecuación 2.6 evolucionará con el tiempo de manera oscilatoria o sinusoidal.

2.1.4. Ejemplos:

El oscilador elástico

Figura 2.2

Dicho oscilador se caracteriza por estar sometido a la fuerza elástica (Ley de Hooke),~F = −Kx~i, siendo K la constante de recuperación elástica.

Aplicando la 2a ley de Newton, ~F = m~a, tenemos:

md2x

dt2~i = −Kx~i (2.7)

o bien,

md2x

dt2+Kx = 0 (2.8)

de donde comparando con la ecuación diferencial del movimiento armónico simple se ob-serva que es formalmente similar, y que el movimiento de dicho oscilador es un movimien-to armónico simple siendo ω2 = K/m por lo que el periodo del oscilador elástico es

T =2π

ω= 2π

√m

K(2.9)


El péndulo simple o matemático

Consta de una partícula puntual suspendida de un hilo inextensible y sin masa que seencuentra sujeto en un extremo y lleva a cabo oscilaciones sobre un mismo plano. Comose puede comprender se trata de un sistema ideal de ahí su denominación como péndulosimple o matemático, a diferencia del llamado péndulo físico o compuesto que consisteen un sólido rígido que oscila respecto de un punto. Si uno desea estudiar este sistema

Figura 2.3

aplicará la segunda Ley de Newton que en sus componentes tangente a la trayectoria ynormal a la misma se concreta en:

−Px = mat ⇒ −mg sinα = mat (2.10)

yT − Py = man (2.11)

siendo esta última ecuación no relevante en el caso que nos ocupa (pequeñas oscilaciones).

Para pequeñas oscilaciones la longitud del arco s ∼= x por lo que at ∼= ax, y entoncestenemos:

mgx

l+m

d2x

dt2= 0 (2.12)

o biend2x

dt2+g

lx = 0 (2.13)

por lo que comparando con la ecuación diferencial del m.a.s. se tiene que ω2 = g/l, esdecir, el periodo del péndulo simple viene dado por

T = 2π

√l

g(2.14)

ecuación que permite medir el valor de g en distintos puntos de la Tierra.

2.2. ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 39

2.2. Energía del movimiento armónico simpleConsideremos de nuevo el oscilador elástico. Como el movimiento es armónico simple,

la velocidad máxima es vmax = Aω. La energía cinética en la posición x será

Ec =1

2mv2 =

1

2mA2ω2 cos2(ωt+ ϕ) (2.15)

La energía potencial será:

Ep =1

2Kx2 =

1

2A2 sin2(ωt+ ϕ) (2.16)

Como ω2 = K/m, entonces

EM = Ec + Ep =1

2mA2ω2[cos2(ωt+ ϕ) + sin2(ωt+ ϕ)] (2.17)

es decir,

EM =1

2KA2 =

1

2mv2

max (2.18)

Por ello, EM = Ec,max = Ep,max, de acuerdo con el Teorema de conservación de laenergía Mecánica.

2.3. Ondas. Clasificación.Sea una cuerda sometida a una tensión, entonces existe una perturbación, Y, que se

propaga a lo largo de la cuerda.

Si tenemos un émbolo y un gas, al dar una embolada, en las zonas próximas aumentala presión P y la densidad ρ, y este aumento se propaga produciéndose una variación depresión P - P0 y una variación de densidad ρ - ρ0 que se transmite. Supongamos, asimis-

Figura 2.4

mo, una barra, si aplicamos una fuerza se producirá un desplazamiento de la sección,entonces, tanto la fuerza como el desplazamiento se transmitirán por la barra; esto seríauna onda elástica en una barra. De un modo más general, supongamos una propiedadfísica descrita por un cierto campo, éste puede ser un campo electromagnético, la presión


Figura 2.5

en un gas, la deformación de un sólido, el desplazamiento transversal de una cuerda, etc.;supongamos que en un lugar el campo varía con el tiempo, esta variación o perturbaciónse transmite o propaga a través del espacio; esto origina cambios físicos en otros lugares,entonces decimos que hay una onda asociada al campo particular considerado.

Se denomina pulso de ondas si la perturbación se realiza de forma instantánea, sise realiza de forma continua se obtiene un tren de ondas : Hay ondas que necesitan

Figura 2.6

soporte material para propagarse como las ondas de presión de un gas, las ondas de unacuerda, etc. Se les llama ondas mecánicas.

Figura 2.7

Otras pueden propagarse en el vacío, son las ondas electromagnéticas .3

3Mediante las ecuaciones de Maxwell se puede obtener una ecuación de ondas. En realidad, se trata

2.3. ONDAS. CLASIFICACIÓN. 41

Si la dirección de propagación es perpendicular al desplazamiento o perturbación, setienen ondas transversales .

Si tales direcciones coinciden, se tienen ondas longitudinales ; por ejemplo las on-das elásticas de una barra.

Figura 2.8

Para medios materiales en los que la velocidad de propagación es igual en todas lasdirecciones se habla de medios isótropos . Si la velocidad de propagación depende dela dirección se habla de medio anisótropo.

Si el campo que se propaga es escalar, la onda es escalar , y si el campo es vectorialla onda es vectorial . Así, las ondas electromagnéticas son transversales y vectoriales.

Figura 2.9

de campos eléctricos ~E y magnéticos ~B que varían con el tiempo (producidos por cargas eléctricasaceleradas) y esta variación se propaga en el vacío.


2.4. Magnitudes características de las ondas. Ondasarmónicas

Representemos por Y la magnitud física o campo que se propaga. Y puede ser ~E,~B, P , ρ, Y (desplazamiento), etc.

Puede demostrarse que la ecuación de ondas unidimensional puede escribirse como:

Y (x, t) = f1(x− vt) + f2(x+ vt) (2.19)

donde v es la velocidad de propagación.

El significado físico de esta ecuación es que f 1 representa una onda que viaja a laderecha y f 2 una onda que viaja a la izquierda. En efecto, analicemos una función f(x):

Figura 2.10

Se observa que f(x-a) tiene una representación gráfica de f(x) desplazada una distan-cia a la derecha. Si a = vt, entonces f(x-a) = f(x-vt) tendrá una gráfica desplazada a laderecha una distancia vt, es decir, se moverá a la derecha con una velocidad v.

Análogamente, se obtendría que una función f(x+vt) tendrá una gráfica que se muevehacia la izquierda con una velocidad v.

Una solución particular muy interesante es la onda armónica :

Y(x,t) = A sen k(x-vt) -> onda armónica que viaja hacia la derecha.

Y(x,t) = A sen k(x+vt) -> onda armónica que viaja hacia la izquierda.

2.4. MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS. ONDAS ARMÓNICAS43

De acuerdo con una terminología similar a la del movimiento armónico simple, A=amplitud, k(x-vt) = fase, y v = velocidad de fase.

Si t = 0, la onda armónica que viaja a la derecha adopta la forma Y(x,0) = Asenkx,y su representación gráfica es: A la distancia λ tal que Y(x) = Y(x + λ) para un instante

Figura 2.11

determinado, se le llama longitud de onda o periodo espacial .

Si hacemos x = 0, entonces Y(0,t) = A sen (-kvt) = - A sen kvt. Su representacióngráfica será: Se observa que se trata de un movimiento armónico simple del que está

Figura 2.12

afectada la partícula con x = 0.

Esto nos permite incidir en la diferencia entre movimiento oscilatorio y movimientoondulatorio. El movimiento ondulatorio consiste en la propagación de una perturbaciónque implicará en general, la propagación de una condición dinámica. En el caso de una


onda armónica, la propiedad que se propaga afecta a cada punto de forma oscilatoria;podríamos decir, por tanto, que una onda armónica es la propagación de un movimien-to armónico simple de la primera partícula perturbada a la partícula siguiente, y así,sucesivamente.

Al tiempo T tal que Y(x,t) = Y(x, t +T) para una posición determinada se le llamaperiodo temporal o simplemente periodo. Veamos algunas relaciones entre los perio-dos:

Como Y(x + λ, t) = Y(x, t), entonces A sen k(x+ λ - vt) = A sen k (x - vt), dedonde, k(x + λ - vt) - k(x - vt) = 2π; kλ = 2π; k = 2π/λ y,

[ λ = 2π/k]A k se le llama número de onda .

Por otra parte: Y(x, t) = A sen k(x - vt) = A sen (kx - kvt). Llamamos pulsacióna ω = kv, así Y(x, t) = A sen (kx - ωt).

Además, Y(x, t + T) = Y(x, t), por lo que A sen k[x - v(t + T)] = A sen k(x -vt), de donde k[x - v(t + T)] - k(x - vt) = -2π, y así [T = 2π/kv]. Por otra parte, ω= kv = (2π/λ) v, y como T = 2π /ω, sustituyendo:

2π

T=

2π

λv (2.20)

de dondeλ = vT (2.21)

lo cual muestra que hay una dependencia entre el periodo espacial y el periodo temporala través de la velocidad de fase.

Utilizando los parámetros λ, y T, tenemos:

Y (x, t) = A sin

(2π

λx− 2π

Tt

)= A sin 2π

(x

λ− t

T

)(2.22)

que es una onda armónica que viaja a la derecha.

Una onda armónica que viaja a la izquierda expresada en función de λ y T es:

Y (x, t) = A sin 2π

(x

λ+t

T

)(2.23)

El interés de estudiar ondas armónicas proviene del Teorema de Fourier segúnel cual “si Y(x, t) es una función periódica puede escribirse:”

Y (x, t) = a0+a1 cos(kx−ωt)+a2 cos 2(kx−ωt)+· · ·+b1 sin(kx−ωt)+b2 sin 2(kx−ωt)+· · ·(2.24)

2.5. ENERGÍA E INTENSIDAD DE UNA ONDA 45

es decir,

Y (x, t) = a0 +∞∑n=1

[an cosn(kx− ωt) + bn sinn(kx− ωt)] (2.25)

Con ciertas matizaciones, esto es también válido si la función Y(x,t) no es periódica.

2.5. Energía e Intensidad de una ondaConsideremos una onda transversal en una cuerda:

Figura 2.13

Como consecuencia de estas fuerzas o tensiones una parte de la cuerda suministraenergía a otra. Si suponemos que la onda es armónica, puede demostrarse que la potenciaviene dada por:

P =

(1

2µA2ω2

)v (2.26)

cuyo significado físico corresponde a la energía media que fluye a lo largo de la cuerda enla unidad de tiempo como consecuencia del movimiento ondulatorio. En la anterior ex-presión µ es la densidad lineal de masa (µ = dm/dl) y v la velocidad de propagación quepuede demostrarse que viene dada por v = (T/µ)1/2 donde T es la tensión de la cuerda.

El resultado anterior puede justificarse de la siguiente manera: la energía de unoscilador viene dada, como ya se ha visto, por E = (1/2)KA2, donde K = mω2, es decir,sustituyendo E = (1/2)mω2A2. Al ser nuestro sistema una cuerda, podemos considerarun elemento de la misma como un oscilador, su energía sería dE = (1/2)dmω2A2 =(1/2)µdlω2A2 siendo µ la densidad lineal de masa de la cuerda y dl la longitud delelemento de cuerda considerado. La energía por unidad de tiempo que fluye por lacuerda será

dE

dt=

(1

2µω2A2

)v (2.27)

siendo v la velocidad de propagación.


La energía por unidad de volumen, ε, es ε = Pm/(v.S) donde S es la superficienormal a la propagación (superficie de la cuerda).

Sustituyendo se tiene

ε =1

2

µ

SA2ω2 =

1

2ρA2ω2 (2.28)

donde ρ es la densidad volúmica de la cuerda.

Se define Intensidad media de la onda de la siguiente manera:

Im =PmS

=

(1

2ρA2ω2

)v = εv (2.29)

La expresión anterior asociada a la Intensidad, o energía por unidad de tiempo ymetro cuadrado, nos dice que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitudde la onda, es decir, Im ∝ A2.

Todo esto nos permite redefinir claramente el concepto de onda: ¿qué se propagarealmente en el movimiento ondulatorio? Antes hemos dicho que se propaga una per-turbación, un campo físico, en realidad, vemos que lo que se propaga es energía. Nose propaga la materia sino su estado de movimiento; es una condición dinámica quese transmite de una región a otra. Estas condiciones dinámicas se pueden describir entérminos de energía y momento lineal, por ello, en el movimiento ondulatorio lo querealmente se propaga es energía y momento lineal.

Así, cuando la perturbación pasa de una sección transversal a otra, es la potenciala que se transmite. Si la onda se propaga de izquierda a derecha, debe suministrarseenergía al extremo izquierdo de la cuerda.

Para las ondas esféricas, ondas en tres dimensiones cuya formulación es del tipo(a partir de una cierta distancia del foco emisor):

Y (r, t) =1

rf(r − vt) (2.30)

la amplitud disminuye con r, así, para una onda armónica esférica:

Y (r, t) =a

rsin(kr − ωt) (2.31)

siendo A = a/r.

En estos casos, I = I0/r2 siendo I0 ∝ a2, es decir, como Im ∝ A2, entonces Im ∝ r−2.

Este resultado es lógico de acuerdo con la conservación de la energía, ya que al disminuirla intensidad como 1/r2 y aumentar la superficie como r2 , el flujo energético por unidadde tiempo que atraviese una superficie deberá ser constante. El hecho de que la intensi-dad de una onda esférica disminuya con la distancia al foco emisor según 1/r2 se conocecomo atenuación de dicha onda esférica.

2.6. INTERFERENCIA DE ONDAS 47

Figura 2.14

2.6. Interferencia de ondas

2.6.1. Principio de superposición

“Si en un medio se propagan dos o más ondas, éstas superpondrán sus efectos en lospuntos que coincidan y continuarán después independientemente la una de la otra comosi no se hubieran superpuesto”.

Se denomina interferencia al fenómeno que tiene lugar cuando dos o más movimien-tos ondulatorios coinciden en el espacio y en el tiempo.

Diremos que dos fuentes de ondas son coherentes si oscilan con la misma frecuenciaangular. Si ello no es así no se observará diagrama de interferencia estacionario y se diceque son incoherentes .

Figura 2.15

Consideremos dos fuentes puntuales S 1 y S 2 coherentes con una diferencia de faseconstante cuyo valor en puntos equidistantes es β:

Y (r, t) = A1 sin(kr1 − ωt) (2.32)

Y (r, t) = A2 sin(kr2 − ωt+ β) (2.33)


Supongamos que Y es un campo escalar por sencillez, entonces:

Y (= Y1 + Y2 = A1 sin(kr1 − ωt) + A2 sin(kr2 − ωt+ β) (2.34)

Resolveremos el problema de sumar las dos ondas gráficamente, mediante vectoresrotatorios:

Figura 2.16

Como los dos fasores se mueven a la misma velocidad angular, la resultante se moverátambién a la misma velocidad angular, es decir, Y = A sen (α - ωt), siendo A2 =A2

1 + A22 + 2A1A2 cos δ y siendo δ la diferencia de fases, esto es,

δ = kr2 − kr1 + β = k(r2 − r1) + β =2π

λ(r2 − r1) + β (2.35)

Se observa que: |A1 − A2| ≤ A ≤ A1 − A2.

Si cos δ = 1, entonces A = A1 + A2 ; δ = 2πn: hay interferencia constructiva.

Si cos δ = -1, entonces A = A1 - A2 ; δ = (2n+1)π: hay interferencia destructiva.

Como δ = 2πλ

(r2 − r1) + β, entonces:

1. Interferencia constructiva:

2π

λ(r2 − r1) + β = 2πn; r2 − r1 = nλ− βλ

2π, n ∈ Z (2.36)

2. Interferencia destructiva:

2π

λ(r2 − r1) + β = 2πn+ π; r2 − r1 = nλ+

λ

2− βλ

2π, n ∈ Z (2.37)

Si las dos ondas tienes la misma amplitud y β = 0:

2.7. ONDAS ESTACIONARIAS 49

1. Interferencia constructiva: r1 − r2 = nλ, A = 2A1.

2. Interferencia destructiva: r1 − r2 = nλ+ λ/2, A = 0.

La ecuación r1 − r2 = cte, define una hipérbola de focos S1 y S2, y como estamos enel espacio, esta ecuación define superficies hiperbólicas de revolución. A las superficieshiperbólicas en las que hay interferencia constructiva y los movimientos ondulatorios serefuerzan, se les llama superficies ventrales o antinodales . A las que hay interfer-encia destructiva se les llama superficies nodales .

2.6.2. Intensidad en los fenómenos de interferencias

Sean dos fuentes coherentes, entonces I(1)m = KA2

1 y I(2)m = KA2

2. La onda interferen-cia tendrá una intensidad Im = KA2 donde A2 = A2

1 +A22 + 2A1A2 cos δ, y sustituyendo

se tiene:

Im = K(A21 + A2

2 + 2A1A2 cos δ) = KA21 +KA2

2 + 2K1/2A1K1/2A2 cos δ (2.38)

de donde se logra:

Im = I(1)m + I(2)

m + 2

√I

(1)m I

(2)m cos δ (2.39)

de forma que las condiciones de máximos y mínimos de intensidad son las mismas quelas requeridas para los máximos y mínimos de amplitud. Por ello, las interferencias con-structiva y destructiva pueden definirse asimismo en términos de intensidades en vez deen términos de amplitudes.

2.7. Ondas estacionarias

Una onda estacionaria es aquélla que resulta al superponerse dos movimientos on-dulatorios que avanzan en sentidos contrarios. Estas ondas resultantes dan la sensaciónde no moverse, por cuyo motivo se denominan estacionarias .

Consideremos una cuerda con un extremo fijo:

Una onda incidente hacia la derecha tiene de ecuaciónY I = A sen (kx - ωt)

y se refleja en O originando una onda de ecuaciónY R = A’ sen (kx + ωt)

El desplazamiento en cualquier punto es el resultado de la interferencia o superposi-ción de estas dos ondas:


Figura 2.17

Y = A sen (kx - ωt) + A’ sen (kx + ωt)

Para x = 0, Y(x=0) = A sen (- ωt) + A’ sen ωt = (A’- A) sen ωt.

Como O es fijo, entonces Y(x= 0) = 0, de donde A’ = A, es decir, la onda experi-menta un cambio de fase π cuando se refleja en el extremo fijo, en consecuencia:

Y = A sen (kx - ωt) + A sen (kx + ωt) = 2A sen kx cos ωt.

Ya no aparecen las expresiones kx ± ωt, y esta ecuación no representa una ondaviajera sino un movimiento armónico simple cuya amplitud varía de un punto a otro:amplitud = 2A sen kx.

En concreto, hay puntos que no oscilan nunca (nodos), y otros cuya amplitud esmáxima (vientres).

En los nodos x = (1/2) nλ, pues kx = nπ, n ∈ Z y los nodos están separados unadistancia (1/2)λ.

En los vientres kx = nπ + π/2, n ∈ Z de donde X = (1/2)nλ+ λ/4, n ∈ Z

Por otra parte, si el otro extremo (x = -L) también esta fijo, entonces Y (x = -L)= 0, lo que implica que para cualquier instante 2Asen k(-L) = 0. Como el seno es unafunción impar sen kL = 0, de donde kL = πn, y por tanto L = nλ/2 o bien λ = 2L/n.

En definitiva, en estas condiciones la longitud de onda está cuantizada y por ello nopuede tomar cualquier valor sino que debe cumplir la condición λ = 2L/n, donde n es

2.8. PRINCIPIO DE HUYGENS 51

un número natural. En esto hecho se basa lo que ocurre en los instrumentos musicales(por ejemplo, en la flauta donde sólo son posibles ciertas frecuencias o longitudes deonda).

2.8. Principio de HuygensDenominamos frente de onda al lugar geométrico de los puntos del espacio que

en un momento dado están en el mismo estado de vibración (es decir, si un punto estáen un máximo de amplitud todos los que seguidamente de él estén en un máximo deamplitud formarán un frente de onda,...)

Así, por ejemplo, si tenemos una onda Y(x,t) = A sen k(x - vt), la ecuaciónk(x - vt) = cte definiría un frente de onda.

Esta ecuación se puede escribir

Y (~r, t) = A sin(~k · ~r − ωt) (2.40)

de forma que el frente de onda vendrá dado por

~k · ~r − ωt = cte (2.41)

dicho frente de onda avanza en la dirección de ~k.

Existen ondas que no son planas, sino por ejemplo, esféricas, en las que la ecuación seexpresa Y(r,t) = (1/r) f(r - vt). En particular, la ecuación de una onda esférica armónica(si se trata de una onda de presión) sería,

P − P0 =A

rsin(kr − ωt) (2.42)

y en este contexto, la ecuación kr - ωt = cte define una superficie esférica que avanza.

El principio de Huygens permite saber la evolución de un frente de onda: “Todoslos puntos de un frente de onda se pueden considerar como centros emisores de ondasesféricas secundarias. Después de un cierto tiempo, la nueva posición del frente de ondaserá la superficie tangencial a esas ondas superficiales”.

Figura 2.18


El principio de Huygens fue completado por Fresnel diciendo que “las ondas secun-darias hacia atrás no son activas”. Este principio es la base de la óptica geométrica, ycon el se pueden explicar fenómenos como la reflexión, refracción, y difracción.

2.8.1. Reflexión de ondas planas

Reflexión es el retorno del movimiento ondulatorio por el mismo medio por donde sepropagaba al chocar con la superficie de un medio distinto.

Figura 2.19

Se cumple ε = ε’. En efecto, los triángulos A’A”B”=A’B’B” ya que tienen 2 ladosiguales y 1 ángulo igual: A’B” = hipotenusa común, ambos tienen un ángulo recto, yB’B” = A’A” por construcción (Principio de Huygens).

Si los dos triángulos son iguales, A”A’B”=B’B”A’, es decir, complementario (ε’) =complementario (ε”) = complementario (ε), por lo que ε = ε’.

2.8.2. Refracción de ondas planas

Es el cambio de la velocidad de propagación de un movimiento ondulatorio al pasarde un medio material a otro.

Se verifica la ley de Snell:sin ε

sin ε′=v1

v2

= cte (2.43)

En efecto:ε = B′A′B′′ ↔ B′B′′ = v1t (2.44)

ε′ = A′B′′A′′ ↔ A′A′′ = v2t (2.45)

2.9. DIFRACCIÓN 53

Figura 2.20

por lo que,B′B′′

A′A′′=A′B′′ sin ε

A′B′′ sin ε′=v1t

v2t(2.46)

lo que implica quev1

v2

=sin ε

sin ε′(2.47)

En la refracción tiene el siguiente balance de energía: “energía incidente = energíareflejada + energía refractada o transmitida”.

2.9. Difracción

La difracción es un fenómeno que se produce cuando un haz de luz pasa por unaabertura, de forma que a continuación, el haz se abre siendo esta abertura tanto mayorcuanto más pequeño sea el orificio.

Experimentalmente, se observa que esto suele ocurrir cuando las dimensiones delorificio son comparables a la longitud de onda.

Principalmente, existen dos tipos de difracción:

1. Difracción de Fraunhoffer: En ella, la onda incidente es plana y observamos elpatrón de difracción a una distancia suficientemente grande como para que sólorecibamos ondas planas.


Figura 2.21

2. Difracción de Fresnel: Las ondas incidentes se originan en una fuente puntual, obien se observan los rayos difractados en un punto determinado del espacio, o bienambas cosas.

2.9.1. Difracción de Fraunhoffer por una rendija

Sea una rendija rectangular muy estrecha y larga de modo que podamos ignorar losefectos de los extremos.

Figura 2.22

Supongamos que las ondas incidentes son normales al plano de la rendija. De acuerdocon el principio de Huygens, cuando la onda incide sobre la rendija, todos los puntosde su plano se convierten en fuentes secundarias de ondas, emitiendo nuevas ondas quellamaremos difractadas. Observando estas ondas a diferentes ángulos θ respecto a la di-rección de incidencia, encontramos en ciertas direcciones una intensidad nula que puededemostrarse que corresponden con la ecuación b sin θ = nλ, (n 6= 0, n ∈ Z), siendo λ lalongitud de onda incidente. Excluimos n = 0 porque corresponde a la observación segúnla dirección de incidencia, lo cual implica un máximo de iluminación.

2.9. DIFRACCIÓN 55

La gráfica de intensidad es:

Figura 2.23

Figura 2.24

El ángulo subtendido por el pico central es:

Figura 2.25

2.9.2. Difracción de Fraunhoffer para una abertura circular

Aparecen discos: un disco central brillante y coronas circulares oscuras y claras al-ternadamente:


Figura 2.26

2.9.3. Óptica geométrica y óptica ondulatoria (de interés respec-to a la luz

En óptica geométrica se hace uso del concepto de rayo. Un RAYO es una construc-ción geométrica que hace representar un haz de ondas por una línea que es la línea depropagación.

Un rayo es imposible aislarlo físicamente. En efecto, si se pretendiese aislar un rayodeberíamos utilizar una rendija muy estrecha, pero como el ángulo de difracción vienedado por θ ∝ λ / b, si b -> 0, entonces θ se hace muy grande y por ello el aislamientose hace imposible.

Figura 2.27

En conclusión, si b >> λ, la luz parece avanzar en líneas rectas que pueden represen-tarse mediante rayos (óptica geométrica). Ello permite estudiar la reflexión, la refracción,etc.

2.10. EL SONIDO 57

Al requisito b >> λ, se le llama condición de la óptica geométrica. Si no se cumple,no se pueden hacer descripciones mediante rayos, y debemos considerar los efectos pu-ramente ondulatorios (difracción). Entonces, hablamos de ÓPTICA ONDULATORIA.

La óptica geométrica es un caso límite de la óptica ondulatoria. De todas formas, encada caso hay que analizar la validez o no del uso del rayo y sus limitaciones.

2.10. El sonidoEl sonido son vibraciones que se propagan en diferentes medios materiales. Son por

tanto ondas mecánicas.

Si se propagan en un medio gaseoso (aire, etc.) se trata de ondas de presión, dedensidad, etc. La velocidad de propagación viene dada por v =

√γRT/M donde γ es

el coeficiente adiabático del gas (en el aire vale 1,4), T es la temperatura absoluta y Mla masa molar.

En sólidos son ondas elásticas y la velocidad de propagación viene dada por v =√J/ρ siendo J el llamado módulo de Young (mide la elasticidad del sólido) y ρ la den-

sidad.

Para líquidos también se trata de ondas de presión, de densidad, etc. La velocidadde propagación viene dada por v =

√β/ρ siendo β el módulo volumétrico del líquido.

La velocidad del sonido en sólidos es mucho mayor que en líquidos y la velocidad enlíquidos es a su vez mucho mayor que en gases.

2.10.1. Nivel de Intensidad

El oído humano es capaz de oír sonidos con frecuencias que van desde 20 hasta20.000 Hz. Sin embargo, el intervalo de más sensibilidad va desde 1000 a 5000 Hz.

Se define umbral de audición como la intensidad más baja para oír a una frecuenciadada. A 1000 Hz el umbral suele corresponder a una intensidad I0 = 10−12 W

m2 , siendo laintensidad de 1 W

m2 la que corresponde a una sensación de dolor.

Se establece la escala de nivel de intensidad de la siguiente manera:

β = 10 logI

I0

(2.48)

siendo I0 = 10−12 Wm2 . Se mide en decibelios (db).


Así el mínimo o umbral de audición corresponde a β = 0db, mientras que el máximocorresponde a β = 10 log 1

10−12 = 120db. por ello, puede decirse que si β > 120db existirásensación de dolor auditivo.

2.10.2. Otros aspectos del sonido

Existen además de la intensidad, otros aspectos que deben ser considerados en elsonido, como el tono y el timbre.

El tono de un sonido está relacionado con la frecuencia del mismo. Si el sonido estáintegrado por una sola onda armónica, la frecuencia está perfectamente determinada,pero en general, tendremos (mediante la descomposición de Fourier) un tono fundamen-tal y distintos armónicos o sobretonos que matizarán el tono fundamental, siendo a estematiz o ligera alteración a lo que se conoce como timbre.

2.11. Absorción de ondas

Al incidir una onda4 sobre un medio material, en general, existirá una parte reflejada,otra transmitida (refractada), y finalmente otra absorbida . Los dos aspectos anterioresya han sido objeto de estudio (la reflexión y la refracción). Centraremos ahora nuestraatención sobre el tercer aspecto. Lo anteriormente expuesto significa que la energía dela onda incidente se va a repartir en energía de la onda reflejada, energía de la ondatransmitida y energía absorbida.

Se entiende por absorción la disminución de intensidad I que experimenta una on-da al atravesar un medio.

Consideremos un medio material absorbente de radiación con un ancho l :

Figura 2.28

4Cuando hablamos de una onda estamos pensando en la luz aunque el presente análisis es válidopara cualquier onda electromagnética, e incluso para cualquier onda mecánica.

2.12. POLARIZACIÓN DE LAS ONDAS 59

Consideremos una onda plana incidente, entonces la experiencia nos muestra que laonda experimenta una disminución de intensidad, - dI, dada por la relación:

−dI = α · I · dx (2.49)

en función del espesor del medio atravesado dx, siendo α el llamado coeficiente de ab-sorción del medio material antes aludido, el cual representa físicamente la disminuciónrelativa de intensidad de la onda por unidad de longitud que recorre en el medio queatraviesa. Su unidad SI es el m−1 .

La ecuación antes escrita es una ecuación diferencial cuya solución es:

I(x) = I0 · e−αx (2.50)

que representa la intensidad de la onda que atraviesa el medio material a una distanciax de la primera superficie de separación entre los dos medios materiales.

Naturalmente la intensidad de la onda una vez atravesado el medio material será:

I = I(l) = I0 · e−αl (2.51)

Esta expresión se conoce como ley de Lambert-Beer, y nos muestra cómo la intensi-dad de la onda disminuye con la distancia. Esta disminución afectará por tanto tambiéna la amplitud de la onda pero no a su frecuencia.

Una de las aplicaciones del fenómeno de absorción de radiación tiene que ver conel reconocimiento de grupos atómicos y enlaces, porque cada uno de ellos suele tenerun máximo de absorción para una frecuencia determinada. Por ejemplo, los fenolespresentan un máximo de absorción para 3000 cm−1 de número de onda.

2.12. Polarización de las ondasComo es bien sabido en una onda transversal la dirección de propagación es perpen-

dicular a la perturbación o vibración, lo cual significa que la vibración puede tener lugaren todos los planos normales a la dirección de propagación. Pues bien, si la vibracióntiene lugar solamente en un de los planos de vibración se dice que la onda está polarizadalinealmente.

Si la vibración tiene lugar en forma circular se dice que la polarización de la ondaes circular .

Si la vibración tiene lugar en forma elíptica se dice que la onda está polarizadaelípticamente .

En general, las ondas transversales (como la luz) no están polarizadas; sin embar-go, mediante técnicas adecuadas se pueden polarizar. En particular, mediante dos po-laroides (láminas con sustancias cristalinas que dejan pasar la componente de la onda


luminosa cuyo vector eléctrico vibre paralelamente a la dirección de los cristales), el po-larizador y el analizador, se puede dejar pasar la luz, de forma que si los ejes de loscristales son perpendiculares no pasará luz y si son paralelos pasará la luz linealmentepolarizada.

2.13. Influencia del movimiento del medio en las ondassonoras

Todo lo visto hasta ahora implicaba que el medio en que se propagan las ondas estáen reposo respecto de la fuente emisora así como del observador que recibe las ondas.Hay ocasiones en que esto no ocurre así como cuando hablamos de la propagación delsonido y hace viento.

Consideremos una fuente emisora de ondas sonoras fijas respecto de un sistema dereferencia ligado a un observador. Supongamos que el medio (homogéneo e isótropo)se mueve respecto del sistema de referencia del observador con una velocidad ~vm cuyomódulo es muy pequeño comparado con la velocidad de propagación del sonido v. Siun frente de onda tarda un tiempo t en llegar desde el foco al observador, su velocidadaparente respeto del sistema de referencia será:

v′ =d

t⇒ FP = v′t (2.52)

Por otro lado el el centro del frente de onda que parte de F es arrastrado por elmedio y se desplaza a la velocidad ~vm y al cabo de un tiempo t se encontrará en elpunto F’ de forma que:

FF ′ = ~vmt (2.53)

Ahora como la distancia F ′P es el radio del frente de onda al cabo del tiempo t ypor tanto la distancia recorrida por la onda si el medio estuviera en reposo entonces:

F ′P = vt (2.54)

Por lo que de acuerdo con la figura se tiene:

d = FP = FH +HP = FF ′ cosα + F ′P cos β (2.55)

por lo que:

v′ = vm cosα + v cos β (2.56)

2.14. EFECTO DOPPLER 61

Figura 2.29

Como hemos supuesto que vm << v, el ángulo β es también muy pequeño por loque el coseno es prácticamente la unidad por lo que finalmente:

v′ = v + vm cosα (2.57)

Por tanto, que la velocidad del sonido aumenta en el sentido del viento y disminuyeen sentido contrario.

La corrección anterior a la velocidad del sonido es muy importante si, por ejemplo,queremos medir la velocidad del sonido para el aire ya que un poco de viento aunquesea con poca velocidad supone un importante error en la medida, y por ello debemoshacer la media de dos medidas una a favor del viento y otra en contra.

2.14. Efecto Doppler

Ahora a diferencia del caso anterior analizaremos la situación en la que el medioestá en reposo respecto del observador mientras que la fuente se mueve respecto delobservador. Lo que ocurre es que varía la longitud de onda (y la frecuencia) que recibeel observador respecto de la que emite la fuente. Este fenómeno se conoce como EfectoDoppler5.

Para simplificar el estudio supondremos que la fuente se mueve en la misma rectaque la une con el observador de forma que el vector velocidad de la fuente ~vf tenga lamisma dirección que la citada recta. Asimismo también supondremos que vf < v siendov la velocidad de propagación en el medio considerado. Consideremos una fuente queemite ondas de periodo T . Si en el instante t = 0 la fuente se encuentra en el punto F0

y al cabo de un periodo se encuentra en el punto F1, tendremos de acuerdo con la figura:

5En honor al físico austríaco que lo descubrió Christian Johann Doppler (1803-1853)


Figura 2.30

~F0F1 = ~vfT (2.58)Supongamos ahora que el frente de onda emitido por la fuente en el instante t = 0

alcanza al observador P en el instante tP de manera que:

F0P = vtP (2.59)El siguiente frente de onda correspondiente al mismo estado de vibración se emite

cuando la fuente está en F1, es decir, cuando ha transcurrido un periodo desde que seemitió el primero. En consecuencia este segundo frente habrá alcanzado en el instantetP un punto Q definido por:

F1Q = v(tP − T ) (2.60)La longitud de onda λP observada por P será igual a la distancia entre los dos frentes

de onda en el instante tP con lo cual según la figura se tiene:

λP = vtP − v(tp − T )∓ vfT = (v ∓ vf )T (2.61)

donde el signo − se refiere al caso en que la fuente se acerca al observador y el signo+ al caso en que se aleja. Ahora bien como la longitud de onda que corresponde a lafuente en reposo está dada por:

λF = vT ⇒ T =λFv

(2.62)

resulta finalmente:

λP = λFv ∓ vfv

(2.63)

Esta fórmula indica que cuando la fuente se acerca al observador la longitud de ondapercibida por éste disminuye (la frecuencia aumenta), y cuando se aleja la longitudde onda percibida aumenta (la frecuencia disminuye). La ecuación anterior escrita entérminos de frecuencia resulta:

fP = fFv

v ∓ vf(2.64)

2.14. EFECTO DOPPLER 63

2.14.1. Ondas de choque

En nuestra deducción sobre el efecto Doppler hemos supuesto que la velocidad dela fuente es menor que la velocidad de la onda (en nuestro ejemplo que la velocidaddel sonido). Si la fuente se aleja del observador con más velocidad que la velocidad dela onda éstas nunca alcanzarán al observador. Pero si la fuente se acerca al observadordado que no habrá ondas delante de la misma estas se apilarán unas encima de otrasformando una onda de choque que se oye como un estampido sónico cuando llegan alreceptor.

Figura 2.31

La figura muestra una fuente originalmente situada en el punto P1 que se mueve ha-cia la derecha con velocidad u. Después de un tiempo t la onda emitida desde el puntoP1 habrá recorrido la distancia vt. La fuente habrá recorrido a su vez una distancia ut yestará en el punto P2. La recta tangente desde esta nueva posición de la fuente al frentede onda emitido cuando estaba en P1 forma un ángulo θ con el trayecto de la fuentedado por:

sin θ =vt

ut=v

u(2.65)

Así, la onda de choque está confinada en un cono que se estrecha cuando cuandou crece. La relación entre la velocidad de la fuente u y la velocidad de la onda v sedenomina número de Mach:

Numero de Mach =u

v(2.66)

La situación descrita como onda de choque también se da no sólo con el sonido, sinoen otros casos como la estela de un barco, que se mueve a velocidad superior a la de las


ondas superficiales en el agua, e incluso con la luz en lo que se conoce como Radiaciónde Cerenkov, cuando la fuente emisora de luz se mueve en un medio, como por ejemplo,el agua con una velocidad superior a la velocidad de la luz en ese medio

Capítulo 3

Óptica

3.1. Controversia sobre la naturaleza de la luz

3.1.1. Teorías antiguas hasta Newton

Los primeros intentos para interpretar el fenómeno de la visión se inician en los siglosV-IV a.c.. “Si los objetos lejanos pueden ser vistos, algo debe servir de conexión entre elobjeto y el perceptor”.

Aparecen dos grupos de opiniones:

1. Escuela atomística: “Los objetos emiten imágenes que son como halos oscuros quecubren a los cuerpos y que se desprenden llegando a nuestro interior a través delos ojos”.

2. Escuela Pitagórica: “Suponen que son los ojos los focos emisores y que por analogíaal tacto el ojo palpa los objetos mediante una llama invisible y así recibe lassensaciones de colores y dimensiones”. Dentro de esta escuela, Euclides introduceel concepto de rayo emitido por el ojo sustituyendo al de llama luminosa. Euclidesdedujo la ley de la reflexión.

3.1.2. Modelo corpuscular de la luz

Fue establecido por Newton en 1671 para explicar las leyes de la reflexión y refracciónde la luz. Supuso que la luz consistía en un desplazamiento de partículas materiales alos que llamó corpúsculos luminosos, lanzados por el foco con una cierta velocidad car-acterística del medio hacia todas direcciones y que continuaban en línea recta mientrasno hubiera ninguna superficie de discontinuidad. A cada color le correspondía una masadeterminada de los corpúsculos. La visión era debida al choque corpúsculo-retina.

Para explicar la reflexión decía que los corpúsculos que encontraban una superficiepulimentada rebotaban elásticamente.

65

66 CAPÍTULO 3. ÓPTICA

Figura 3.1

Para explicar la refracción necesitaba una hipótesis suplementaria: “suponer que lasuperficie de separación modifica sólo las componentes normales de la velocidad de loscorpúsculos”.

Como v1x = v2x entonces v1 sin ε = v2 sin ε′, por lo quesin ε

sin ε′=v2

v1

(3.1)

Figura 3.2

Según esto, la luz se propaga más rápidamente cuanto más denso es el medio, ya queexperimentalmente se observa que al pasar de un medio a otro más denso se acerca laluz a la normal, es decir ε < ε’ implica v2 > v1.

3.1.3. Modelo ondulatorio de la luz

Huygens, contemporáneo de Newton, basándose en la analogía existente entre fenó-menos luminosos y sonoros propuso una nueva teoría de la luz (1678), considerándola

3.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 67

como una onda mecánica.

Para ello, hizo unas hipótesis:

1. Todo foco luminoso es un centro de perturbaciones que se propagan en el espacioen todas direcciones con una velocidad característica del medio.

2. Como la luz se propaga en el espacio interestelar en el que no hay materia y lasondas mecánicas requieren un medio material en que propagarse, supuso que todoel espacio estaba ocupado por un medio continuo llamado éter que había de serun fluido perfecto pues en él los cuerpos se movían sin rozamiento apreciable.

3. Las ondas luminosas avanzan de acuerdo con el principio de Huygens, según elcual, como ya hemos visto, se pueden obtener las leyes de la reflexión y de larefracción. En particular, para la refracción hemos obtenido la ley de Snell:

sin ε

sin ε′=v1

v2

= cte (3.2)

Esta relación es inversa a la obtenida por Newton.

Para salir de este dilema, sería preciso medir las velocidades de la luz en distintosmedios materiales, lo cual entonces no podía hacerse.

Más tarde, se realizaron dichas medidas, y así, en 1862, Foucault puso de manifiestoque lo correcto era la ley de refracción deducida por Huygens, lo cual confirmaba lateoría ondulatoria frente a la corpuscular.

Ahora bien, determinados estudios demostraron que la luz es una onda transversal,y ondas de este tipo no pueden propagarse en un fluido perfecto como el “éter”. Por ello,se añadió que el éter debería ser incomprensible, lo cual se opone a considerar al “éter”como fluido perfecto. Por tanto, si bien la teoría ondulatoria explica bien los fenómenosde reflexión y refracción, era necesario hacer suposiciones contradictorias para sostenerque la luz era una onda mecánica.

3.2. Ondas electromagnéticasEn 1865, Maxwell llegó teóricamente a la conclusión de que los campos electromag-

néticos de variación rápida se propagan en el vacío como ondas y las llamó ondas elec-tromagnéticas. Esto fue llevado a cabo partiendo de las 4 ecuaciones de Maxwell:

1. Ley de Gauss para el campo eléctrico.

2. Ley de Gauss para el campo magnético.

3. Ley de Henry-Faraday.


4. Ley de Ampère-Maxwell

Al calcular la velocidad de estas ondas (v = 1/√ε0µ0), vio que coincidía con la ve-

locidad de la luz en el vacío. Esto le hizo intuir que la luz era una o.e.m., y elaboróuna teoría (1873), que dio unicidad al modelo ondulatorio, ya que hacía innecesario lahipótesis de la existencia del “éter”, ya que las o.e.m., a diferencia de las ondas mecáni-cas, no necesitan un medio material para propagarse, es decir, las o.e.m. se propagan enel vacío por que el campo eléctrico y magnético existen en el vacío1.

Figura 3.3

Posteriormente, Hertz consiguió mediante cierto dispositivo experimental producirondas eléctricas, comprobando que éstas experimentaban los fenómenos de reflexión, re-fracción, difracción, polarización, etc., confirmando de nuevo la teoría electromagnéticade la luz. El trabajo de Hertz dio realce a la estructura teórica de Maxwell, y desdeentonces, la óptica, la electricidad y el magnetismo pueden estudiarse conjuntamente.

Sin embargo, la teoría ondulatoria de Maxwell no explicó todos los fenómenos rela-cionados con la luz. Analizaremos esto con detalle en la última unidad temática.

3.2.1. Formulación de una onda electromagnética armónica plana

Como antes se ha indicado desde las Ecuaciones de Maxwell se pueden obtenerecuaciones análogas a las ecuaciones de ondas mecánicas. De hecho, si consideramos lasolución armónica plana una posibilidad (como la que se muestra en la figura) es:

Ey = E0 sin(kx− ωt) (3.3)

1Recuérdese que el concepto de onda de campo está asociado a la propagación de la interacción (verdiscusión sobre el concepto de campo en la unidad temática primera).

3.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 69

Figura 3.4

es decir el campo eléctrico oscila en la dirección del eje Y y

Bz = B0 sin(kx− ωt) (3.4)

y el campo magnético oscila en la dirección del eje Z.

Asimismo puede demostrarse que:

Ey = cBz (3.5)

por lo que la velocidad, la longitud de onda, la frecuencia y la fase de los campos mag-nético y eléctricos son iguales y las amplitudes directamente proporcionales siendo c laconstante de proporcionalidad. En definitiva, los campos ondulatorios eléctrico y mag-nético no son entidades independientes y la existencia de uno requiere la existencia deotro. Por ello, tiene sentido hablar de onda electromagnética.

La figura representa esquemáticamente una onda electromagnética plano polarizadaen un instante dado.

Se puede demostrar también (y así se observa en la figura) que el vector campo eléc-trico es perpendicular al vector campo magnético. De hecho la relación que se obtendríapara este caso es:

~B =1

c(~i× ~B) (3.6)

siendo en este caso ~i el vector unitario del eje de propagación (eje X).

Si la onda se propaga en una dirección cualquiera dada por el vector unitario ~u setendrá:

~B =1

c(~u× ~B) (3.7)


3.3. Velocidad de la luz. Índice de refracción. Concep-to de rayo luminoso

Distintas técnicas experimentales han permitido medir con precisión la velocidad dela luz en el vacío resultando ser c = 2, 99792 · 108m/s, aunque lo habitual suele ser usarel valor aproximado de c = 3 · 108m/s. En el aire el valor es prácticamente igual, por loque usaremos el anterior valor aproximado de c ≈= 3 · 108m/s. Naturalmente, en otrosmedios materiales la velocidad de la luz tiene un valor diferente.

Se define índice de refracción en un medio de la siguiente forma n = c/v dondev es la velocidad de la luz en dicho medio material. Como v < c, entonces el índice derefracción será siempre n > 1, salvo para el vacío o el aire en que n = 1.

Si un medio tiene mayor índice de refracción que otro, se dice que es más refrin-gente que el otro.

La luz está compuesta de diferentes frecuencias (que corresponden en el espectrovisible a los distintos colores). Por otra parte, la longitud de onda es λ = c/f , entoncespara distintas frecuencias existirán distintas longitudes de onda. Como cuando la luzpasa de un medio material a otro medio material diferente la frecuencia es constante, lalongitud de onda cambiará al cambiar la velocidad de la luz. En concreto, si la longitudde onda en el vacío es λ0, la nueva longitud de onda al pasar la luz desde el vacío a otromedio material será:

λ =v

f= v

λ0

c=λ0

n(3.8)

de donde se tiene también que

n =λ0

λ(3.9)

es decir, el índice de refracción es asimismo el cociente de las longitudes de onda en elvacío y el medio material considerado2.

Entre 2 medios distintos con índices de refracción n1 y n2 se define el índice derefracción relativo (del medio 2 respecto del medio 1) de la siguiente manera:

n2,1 =n2

n1

=c/v2

c/v1

=v1

v2

(3.10)

Así si el medio 2 es más refringente que el 1, la velocidad de la luz en el medio 2será menor que en el medio 1, y viceversa, si el medio 1 es más refringente que el 2, lavelocidad de la luz en el medio 1 será menor que en el medio 2.

2La idea de analizar las modificaciones de los parámetros de una onda al cambiar el medio depropagación también se puede considerar en otro tipo de ondas. En tales circunstancias, también severifica que la frecuencia es constante, modificándose por tanto otros parámetros de las mismas.

3.4. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN 71

3.3.1. Concepto de rayo luminoso

En la unidad temática anterior, introducíamos el concepto de rayo luminoso comouna construcción geométrica consistente en una línea perpendicular a los frentes de ondacon la dirección de la propagación. Naturalmente, otra cuestión es si existe físicamenteel rayo luminoso, si bien, ya discutimos las condiciones para intentar aislar un rayo lu-minoso. Tales condiciones son las que definen la óptica geométrica (suficientementepequeñas longitudes de onda para evitar fenómenos clásicamente ondulatorios como in-terferencias, difracción, etc.). En esta unidad temática, trabajaremos en el marco de laóptica geométrica, suponiendo que se dan las condiciones para que ello sea posible, y eneste sentido, lo que haremos será sustituir la propagación de la luz por rayos luminosos.

3.4. Leyes de la reflexión y refracciónEn la unidad temática anterior se vio la reflexión y refracción de ondas planas, de-

duciéndose a partir del principio de Huygens las correspondientes leyes.

Vamos a volver sobre esta cuestión, para ello, enunciaremos de nuevo las leyes ante-riormente citadas pero utilizando ahora el concepto de rayo luminoso.

3.4.1. Leyes de la reflexión

1. El rayo incidente, la normal y rayo reflejado se encuentran en el mismo plano.

2. El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión (esto ya se demostró en launidad temática anterior): i = r.

3.4.2. Leyes de la refracción

1. El rayo incidente, la normal y rayo refractado se encuentran en el mismo plano.

2. La relación entre el ángulo de incidencia y el de refracción es la siguiente (Ley deSnell, ya demostrada en la unidad temática anterior):

sin i

sin r=v1

v2

= n2,1 (3.11)

o bienn1 sin i = n2 sin r (3.12)

3.4.3. Ángulo límite y reflexión total

Si un rayo va de un medio a otro menos refringente, el rayo refractado se aleja de lanormal. En efecto, como n1 sin i = n2 sin r, si n1 > n2, entonces, r > i. Puede llegar unmomento en que r = 90o y el rayo no se refracte.


Figura 3.5

En ese se caso, se cumplirá n1 sin l = n2 sin ˆ90o, por ello,

sin l =n2

n1

< 1 (3.13)

siendo l el llamado ángulo límite. Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulolímite, no habrá refracción y toda la luz se reflejará, conociéndose esta situación comoreflexión total.

Figura 3.6

Así, por ejemplo, en el vidrio el ángulo límite es de 42 por lo que se puede utilizarprismas de vidrio que reflejan mejor que los espejos.

En el caso del diamante con índice de refracción 2,41 y ángulo límite de 24,5, la luzuna vez que entra dentro del diamante, se refleja en todas las caras, por lo que da laimpresión de que la luz se origina en el propio diamante y que se dispersa en todas lasdirecciones. Este es el secreto de los brillantes aunque la clave está en tallarlos bien conobjeto de obtener los ángulos antes citados.

3.5. ÓPTICA GEOMÉTRICA 73

3.4.4. Dispersión de la luz

Figura 3.7

Es la descomposición de la luz en las longitudes de onda que la componen. La expli-cación de este fenómeno se basa en el siguiente hecho: las distintas frecuencias de la luzse propagan en el vacío (y en el aire) a igual velocidad, pero en otros medios (llamadospor eso medios dispersivos), la velocidad depende de la frecuencia, por lo que losdistintos colores se propagarán a distintas velocidades.

En concreto, la luz roja es la que va a más velocidad, por lo que según la ley de Snellserá la que menos se desviará, ocurriendo lo contrario que con la luz azul que será la quemás se desvié como se muestra en la figura. En conclusión, en un medio dispersivo comoel representado en la figura (prisma óptico), los distintos colores se dispersan. Lomismo ocurre con el arco iris, siendo en este caso, las gotas de agua el medio dispersivo.

3.5. Óptica geométrica

Se define punto luminoso como un objeto puntual que emite luz.

Se define haz luminoso como un conjunto de rayos que salen de un punto luminoso.

3.5.1. Hipótesis de la Óptica geométrica

1. En un medio homogéneo (idéntica composición) e isótropo (propiedades igualesen todas las direcciones), los rayos de luz se propagan en línea recta.

2. La propagación de cada uno de los rayos de luz se realiza con independencia decómo se propaguen los demás.

3. Si un rayo de luz va de un punto a otro siguiendo una trayectoria determinada,puede ir del segundo al primero recorriendo el mismo camino en sentido inverso.


3.5.2. Imágenes reales y virtuales

Si los rayos componentes de un haz después de sufrir variaciones diversas en supropagación rectilínea concurren en un punto, se forma una imagen real (la cual sepuede hacer visible con una pantalla en su lugar de formación).

Si los rayos emergentes no concurren, pero lo hacen sus prolongaciones en sentidocontrario al de su propagación, el ojo recogiendo el haz que sale del sistema ve unaimagen en la intersección de las prolongaciones (imagen virtual).

Un sistema es estigmático cuando se verifica que todo rayo que parte del puntoobjeto y es captado por el sistema pasa por el mismo punto imagen.

3.5.3. El dioptrio esférico

El conjunto de dos medios transparentes con índices de refracción diferentes separa-dos por una superficie se denomina dioptrio. Si la superficie de separación es planase habla de dioptrio plano, y si la superficie de separación es esférica se habla dedioptrio esférico. Centraremos aquí nuestro estudio en el dioptrio esférico.

Figura 3.8

Antes de proceder a deducir las ecuaciones que describen la formación de imágenesen el dioptrio esférico, introduciremos algunas denominaciones así como el llamado con-venio de signos.

Se define centro óptico como el polo del casquete, sería el punto O.


Se define centro de curvatura al centro de la superficie esférica, sería el punto C.Eje óptico será la recta horizontal que une el centro óptico y el de curvatura.

Y en cuanto al convenio de signos tenemos lo siguiente:

1. Todas las distancias a la izquierda del centro óptico se consideran negativas, ytodas las distancias a la derecha del centro óptico se consideran positivas.

2. Todas las distancias por encima del eje óptico se consideran positivas, y todas lasdistancias por debajo del eje óptico se consideran negativas.

3. Respecto a los ángulos tenemos lo siguiente: cuando uno de los lados es un rayoy el giro necesario para ir por el camino más corto desde ese rayo hasta el otrolado del ángulo es contrario al movimiento de las agujas del reloj, el ángulo serápositivo, en caso, contrario negativo.

Procedamos ahora a deducir las ecuaciones que describen la formación de imágenesen el dioptrio esférico. En ese sentido, consideraremos la llamada zona paraxial o deGauss, en la que se supone que los rayos que intervienen en la formación de la imagenson muy próximos al eje óptico. Suponemos asimismo que el índice de refracción delmedio a la izquierda de la superficie de separación es n, y el del medio a la derecha esn’, y además, que A es el punto objeto y A’ el punto imagen. Desde A sale un rayo quellega a P, se refracta, y se dirige hasta A’. De acuerdo con la ley de Snell, n sin ε = n′ sin ε′.

Como trabajamos en la zona paraxial, los ángulos serán muy pequeños, por lo quepodemos sustituir el seno por el arco. Por ello, la ecuación anterior se puede escribircomo n · ε = n′ · ε′.

Ahora bien, fijándonos en la figura se puede ver que |ε| = |α|+|ϕ|, y como de acuerdocon el convenio de signos, ε < 0, α < 0 y ϕ > 0, tenemos −ε = −α + ϕ, por lo queε = α− ϕ.

De la misma manera se obtiene que |ϕ| = |α′|+|ε′| y como de acuerdo con el conveniode signos, ε′ < 0, α′ > 0 y ϕ > 0, tenemos ϕ = α′ − ε′, por lo que ε′ = α′ − ϕ.

Sustituyendo en n · ε = n′ · ε′ los resultados anteriores tenemos n(α− ϕ) = n′(α′− ϕ).Por otra parte, y suponiendo que trabajamos en zona paraxial se tiene

α ≈ h

s, α′ ≈ h

s′y ϕ ≈ h

R(3.14)

por lo que

n

(h

s− h

R

)= n′

(h

s′− h

R

)(3.15)

de donden

s− n

R=n′

s′− n′

R(3.16)


por lo que finalmente,n′

s′− n

s=n′ − nR

(3.17)

que es la ecuación fundamental del dioptrio esférico.

3.5.4. Distancias focales

Figura 3.9

Foco imagen es el punto imagen de un objeto que está a una distancia infinita deldioptrio.

Mediante la ecuación fundamental del dioptrio esférico se llega a:

n′

f ′− n

−∞=n′ − nR

(3.18)

de dondef ′ = R

n′

n′ − n(3.19)

siendo f ′ la distancia focal imagen.

Análogamente, se define foco objeto es el punto objeto cuya imagen se encuentraa una distancia infinita del dioptrio.

Mediante la ecuación fundamental del dioptrio esférico se llega a:

n′

∞− n

f=n′ − nR

(3.20)

de dondef ′ = −R n

n′ − n(3.21)

siendo la f la distancia focal objeto. Dividiendo las dos distancias focales tenemos:

f

f ′= − n

n′(3.22)


Figura 3.10

Por otra parte, sumando las dos distancias focales, se tiene,

f + f ′ = −R n

n′ − n+R

n′

n′ − n= R (3.23)

Y finalmente, si en la ecuación fundamental dividimos por (n′ − n)/R,

n′

s′− n

sn′−nR

= 1 (3.24)

o bienn′

s′R

n′ − n− n

s

R

n′ − n= 1 (3.25)

o lo que es lo mismo,f ′

s′+f

s= 1 (3.26)

que es la ecuación de Gauss del dioptrio esférico.

3.5.5. Aumento lateral

Se define aumento lateral de la siguiente manera:

ML =y′

y(3.27)

Considerando triángulos semejantes dos a dos se deducen la siguientes relaciones deproporcionalidad:

−y′

y=−f−s+ f

(3.28)

o bien−y′

y=s′ − f ′

f ′(3.29)

Utilizaremos la segunda relación

ML =y′

y=s′ − f ′

f ′(3.30)


Por otro lado,

s′ − f ′ = s′(

1− f ′

s′

)(3.31)

y como según la ecuación de Gauss f ′

s′+ f

s= 1, se deduce que

1− f ′

s′=f

s(3.32)

sustituyendo, s′ − f ′ = s′(f/s), por lo que el aumento lateral queda

Figura 3.11

ML =y′

y= −s

′ − f ′

f ′= − s

′

f ′f

s=s′

s

f

f ′(3.33)

o bien,

ML =s′

s

n

n′(3.34)

3.5.6. Ecuación de Newton

Consideremos las distancia x del punto objeto al foco objeto, y x’ del foco imagenal punto imagen. Utilizando la ecuación de Gauss podemos escribir:

f ′

f ′ + x′+

f

f + s= 1 (3.35)

Haciendo operaciones se tiene

f ′(f + x) + f(f ′ + x′) = (f + x)(f ′ + x′) (3.36)

y finalmente se llega axx′ = ff ′ (3.37)

que es la ecuación de Newton.

3.6. ESPEJOS 79

Figura 3.12

3.6. Espejos

Son superficies pulimentadas capaces de reflejar la luz. Pueden ser planos y esféricos.

3.6.1. Espejos planos

Las imágenes de los objetos son virtuales, del mismo tamaño y simétricas del objetocon relación al plano del espejo.

Figura 3.13


3.6.2. Espejos esféricos

Son casquetes esféricos pulimentados por el interior (cóncavos) o por el exterior(convexos). Para abordar el estudio de espejos esféricos, supondremos que un espejo deestas características es un dioptrio en el que n′ = −n. De esta forma, utilizando la Leyde Snell ε = −ε′, lo cual es coherente con la ley de la reflexión y con el convenio de signos.

Las distintas ecuaciones del espejo esférico se obtendrán considerando, como anteshemos advertido, que n′ = −n.

Así tenemos,n′

s′− n

s=n′ − nR

(3.38)

y sustituyendo,

Figura 3.14

−ns′− n

s=−n− nR

(3.39)

es decir,1

s′+

1

s=

2

R(3.40)


Se define foco imagen como el punto imagen de un objeto que ésta a una distanciainfinita del espejo.

Análogamente, se define foco objeto es el punto objeto cuya imagen se encuentraa una distancia infinita del espejo.

f = − Rn

n′ − n= −Rn

2n=R

2(3.41)

3.7. LENTES. CLASIFICACIÓN. ECUACIONES IMPORTANTES 81

Figura 3.15

La ecuación del espejo queda1

s′+

1

s=

1

f(3.42)


ML =y′

y=s′

s

n

n′=

s′n

s(−n)= −s

′

s(3.43)

3.6.5. Construcción de imágenes de espejos

Figura 3.16

3.7. Lentes. Clasificación. Ecuaciones importantes

Un sistema óptico centrado es un conjunto de dioptrios cuyos centros están alin-eados.


Una lente es un sistema óptico centrado, esto es, un objeto transparente limitadogeneralmente por 2 superficies esféricas. Más rigurosamente, una lente es un sistemaóptico centrado formado por 2 dioptrios de los que uno al menos es esférico.

Una lente es delgada si el grosor de la misma es pequeño comparado con otrasmagnitudes (por ejemplo, comparado con los radios de curvatura de la lente).

Las lentes pueden ser convergentes y divergentes. En el primer caso, son más gruesasen el centro que en los bordes, y en el segundo caso, por el contrario, son más gruesasen los bordes que en el centro.

Las lentes convergentes pueden ser:

Figura 3.17

Las lentes divergentes pueden ser:

Figura 3.18


Supongamos una lente biconvexa con radios R1 y R2 :

Figura 3.19

Esta lente se puede interpretar como la sucesión de 2 dioptrios esféricos, el primerode radio R1 y el segundo de radio R2 . Para obtener las ecuaciones de esta lente debere-mos obtener la imagen respecto al primer dioptrio y esta imagen será el objeto respectoal segundo dioptrio cuya imagen será la imagen de la lente. Por ello, aplicaremos lasecuaciones del dioptrio dos veces.

Respecto al primer dioptrio tenemos que en la ecuación del dioptrio deberemos ponern = 1, n’ = n, ya que el primer medio es el aire. Por ello la ecuación será:

n

s′− 1

s=n− 1

R1

(3.44)

siendo s la distancia objeto y s’ la distancia imagen respecto al primer dioptrio ydistancia objeto respecto al segundo dioptrio. Por ello, para el segundo dioptrio hacemosn = n, y n’ = 1, y así,

1

s′′− n

s′=

1− nR2

(3.45)

Despejando n / s’ y sustituyendo en la ecuación del primer dioptrio tenemos,

1

s′′−(

1

s+n− 1

R1

)=

1− nR2

(3.46)

de donde poniendo s’ en lugar de s” (al escribir la ecuación de la lente ignoramoslos pasos intermedios que han sido necesarios para obtenerla), se tiene finalmente laecuación fundamental de la lente delgada:

1

s′− 1

s= (n− 1)

(1

R1

− 1

R2

)(3.47)

A la hora de obtener esta ecuación se ha supuesto que las distancias objeto e imagenestaban realmente medidas no desde de las superficies esféricas de separación sino desde


la línea vertical que atraviesa a la lente. Esta aproximación es consistente con la idea delente delgada en la que el grosor es despreciable.


Figura 3.20

Se define foco imagen como el punto imagen de un objeto que ésta a una distanciainfinita de la lente.

Análogamente, se define foco objeto es el punto objeto cuya imagen se encuentraa una distancia infinita de la lente.

Si en la ecuación fundamental de la lente delgada hacemos s′ =∞, tenemos

1

∞− 1

f= (n− 1)

(1

R1

− 1

R2

)(3.48)

donde f es la distancia focal objeto. Asimismo, si hacemos s = −∞, tenemos

1

f ′− 1

−∞=

1

f ′= (n− 1)

(1

R1

− 1

R2

)(3.49)

donde f ′ es la distancia focal imagen. Es decir, f ′ = −f . Por ello, la ecuación funda-mental de la lente delgada puede ahora escribirse:

1

s′− 1

s=

1

f ′= − 1

f(3.50)


El aumento lateral, como siempre, viene dado por ML = y′/y. Analizando la figuraanterior se puede establecer las siguientes relaciones basadas en la proporcionalidad detriángulos semejantes:

−y′

y− −f−s+ f

=s′ − f ′

f ′(3.51)


Utilizaremos la segunda relación; de esta forma, el aumento lateral vendrá dado por:

ML =y′

y= −s′

(1− f ′

s′

)1

f ′(3.52)

Como, por otra parte, según la ecuación de la lente se tiene

1

s′=

1

s+

1

f ′(3.53)

sustituyendo

ML = −s′[1− f ′

(1

s+

1

f ′

])1

f ′= −s′

(1− f ′

s− 1

)1

f ′=s′

s(3.54)

es decir,

ML =y′

y=s′

s(3.55)

3.7.3. Ecuación de Newton

Para las lentes delgadas, la ecuación de Newton queda xx′ = ff ′ = −f 2.

3.7.4. Potencia de una lente

Se define Potencia de una lente como el inverso de la distancia focal imagen, Pot =1/f ′. Sus unidades son m−1 utilizándose la denominación de dioptría.

Si la lente es convergente f ′ > 0 y la potencia es positiva.

Si la lente es divergente f ′ < 0 y la potencia es negativa.

3.7.5. Construcciones gráficas

Figura 3.21


Figura 3.22

3.7.6. Aberraciones

El estudio realizado vale, como hemos indicado, para lentes delgadas, rayos paraxi-ales y luz monocromática. En el caso de que no se den estas circunstancias se produciránaberraciones. Los dos tipos más comunes de aberraciones son los siguientes:

1. Aberración esférica: en este caso los distintos rayos que surgen del punto objetono convergen en un único punto imagen; así, el sistema no es estigmático (seríaastigmático). Esto se puede resolver con un diafragma que deja pasar sólo rayospróximos al eje óptico.

2. Aberración cromática: aparece cuando el índice de refracción depende de la fre-cuencia (medios dispersivos). En este caso, los rayos siguen distintas direccionessegún su longitud de onda. Se puede resolver combinando una lente convergentecon una divergente, ya que se compensará una dispersión con otra de sentidoopuesto.

Figura 3.23

Capítulo 4

Interacción electromagnética

4.1. Carga eléctrica

Las partículas, además de la masa inerte y la masa pesante (o masa gravitatoria),tienen asociado otro parámetro que llamamos CARGA ELÉCTRICA.

Este parámetro medirá el grado de participación de la partícula en un nuevo tipo deinteracción que llamaremos interacción eléctrica.

Tanto las masas como la carga son parámetros aditivos, lo cual quiere decir, en loque se refiere al parámetro de carga, que la carga total de un sistema de partículases igual a la suma de las cargas de las partículas que lo constituyen. El parámetro decarga puede ser positivo, negativo o cero. En general, la materia tiene carga neta nula1

pero por procedimientos convenientes puede lograrse un exceso de carga en algún sen-tido (procedimientos de electrización por frotamiento, influencia, etc.) diciéndose que elcuerpo está cargado eléctricamente 2.

Experimentalmente se comprueba que partículas con carga del mismo signo se repeleny con diferente signo se atraen 3.

4.1.1. Cuantización de la carga

La carga eléctrica no se puede dividir indefinidamente sino que existe una mínimacantidad de carga o cuanto de carga, es decir, la carga está cuantizada. La mínima

1Que esto es así resulta evidente ya que en caso contrario estaríamos sometidos a interacciones muyintensas (eléctricas, por supuesto) que no constan en el movimiento de los cuerpos en el Universo (yaque entonces el movimiento y la evolución de los mismos sería muy diferente).

2Del griego elektron que significa ámbar3Debe observarse que en este aspecto hay una diferencia sustancial con la interacción gravitatoria ya

que en esta última no existe algo análogo a masas gravitatorias negativas, siendo además la interacciónsólo atractiva y no repulsiva.

87

88 CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

cantidad de carga se llama electrón4, siendo su valor e = 1, 6021 · 10−19C , donde C esla unidad de carga eléctrica en el Sistema Internacional, que como luego veremos, recibeel nombre de culombio.

4.1.2. Principio de Conservación de la carga

Figura 4.1

Supongamos un sistema de partículas cargadas aislado, la carga total permanececonstante con el tiempo.

Tal hecho es experimental y por ello se acepta como principio5.

Es decir:qa + qb + qc + · · · = cte (4.1)

4.2. Ley de CoulombSean dos partículas o puntos materiales en reposo respecto aun sistema de referen-

cia inercial (o moviéndose a una velocidad muy pequeña respecto de él), asociaremos,como ya hemos indicado anteriormente, a cada una de ellas un parámetro llamado car-ga eléctrica. En términos del citado parámetro, la ley de Coulomb de la interacciónelectrostática viene dada por

~F = Keq1q2

r2−→ur = Ke

q1q2

r3~r (4.2)

4No confundir con la partícula elemental del mismo nombre, electrón, que tiene esta cantidad decarga eléctrica pero que es negativa.

5Es necesario constatar que a diferencia de lo que ocurre con la carga eléctrica, la masa inerte sípuede variar con el tiempo. De hecho, como se verá en la última unidad temática, desde un punto devista relativista, la masa de una partícula depende de su velocidad con respecto al observador, si bien,desde un punto de vista no relativista, la masa inerte es una constante igual que la carga eléctrica, estoes, se conserva. La diferencia entre el parámetro de carga y el de masa inerte está en que incluso desdeun punto de vista relativista la carga eléctrica es constante.

4.3. CAMPO ELÉCTRICO 89

Figura 4.2

es decir, las dos partículas se influyen mutuamente mediante una interacción central da-da por la expresión anterior. En el Sistema Internacional, Ke≈ = 9 · 109NC−2m2 siendola unidad de carga el culombio (C )6.

A veces la constante Ke se suele expresar de la siguiente manera Ke = 1/4πε0

siendo ε0 la llamada permitividad eléctrica en el vacío7, cuyo valor sería en el S.I.ε0 ≈ 8, 85 · 10−12C2Nm−2. Según esto, la Ley de Coulomb se podría escribir:

~F =1

4πε0

q1q2

r2−→ur =

1

4πε0

q1q2

r3~r (4.3)

La Ley de Coulomb es de bastante largo alcance (por supuesto, en absoluto del ordendel alcance gravitatorio). Su intervalo de acción va desde distancias nucleares hastadistancias de kilómetros. Además las fuerzas eléctricas son mucho más intensas que lasgravitatorias, por lo que estas últimas se suelen despreciar cuando las primeras estánpresentes, si bien, en cada caso habría que analizar esta posibilidad. Finalmente, se debeindicar que la interacción eléctrica es responsable de la estructura atómico-molecular.

4.3. Campo eléctrico

Decimos que en una región del espacio está definido un campo eléctrico si alsituar una carga eléctrica en dicha región, existe una fuerza de tipo eléctrico (notaremos

6El culombio tal como aparece en la expresión precedente podría definirse como la carga eléctricaque tendrían 2 partículas que situadas entre sí a una distancia de 1 metro se ejercieran una fuerzaeléctrica de 9.109 N. Como ya veremos en esta unidad temática, esta definición de Culombio ha sidoválida hasta la Undécima Conferencia del Instituto de Pesas y Medidas quien ha propuesto una nuevadefinición ligada al magnetismo estableciendo como magnitud fundamental la intensidad de corriente yno la carga eléctrica.

7A diferencia de la permitividad eléctrica en un medio materia cualquiera ε. De hecho, se puededemostrar que en un medio material determinado la Ley de Coulomb adopta una forma similar a laanteriormente vista sustituyendo ε0 por ε. A veces incluso se suele escribir ε = ε0 · εr, donde εr es lallamada constante dieléctrica del medio.


que es de naturaleza eléctrica si es mucho más intensa que la gravitatoria).

Figura 4.3

La intensidad del campo eléctrico vendrá dada por la fuerza por unidad de carga,esto es, ~E = ~F/q′, siendo la dirección y sentido del vector intensidad de campo de lafuerza sobre la unidad de carga positiva.

Supondremos que la carga q’ es pequeña para que no se modifique la situación delcampo y que está quieta (o se mueve con velocidad muy pequeña) ya que si estuvieraen movimiento habría que tener en cuenta consideraciones relativistas8.

El campo eléctrico es creado por las cargas eléctricas. Si las cargas eléctricas estánen movimiento el cálculo del campo eléctrico creado por ellas es complejo (nuevamentehay que tener en cuenta efectos relativistas), por lo que consideraremos el campo eléc-trico creado por cargas en reposo (o con movimiento despreciable), esto es el campoelectrostático.

Se ha visto que si se tienen dos partículas la Ley de Coulomb nos dice

~F = Keqq′

r2−→ur = Ke

qq′

r3~r (4.4)

Figura 4.4

8Así evitaremos también posibles efectos magnéticos.

4.3. CAMPO ELÉCTRICO 91

Fijémonos en lo que le ocurre a la carga q’, podemos decir que la carga q produceen el espacio que la rodea un alteración que llamaremos campo eléctrico, de maneraque, al colocar la carga q’ el citado campo electrostático interaccionará con la carga q’.El concepto de campo reside en que se modifica el espacio que rodea a q en el sentidoanteriormente citado. Por ello, la intensidad del campo eléctrico9, ~E, en el punto P se

Figura 4.5

define como la fuerza eléctrica ejercida sobre la unidad de carga colocada en el citadopunto P, ~E = ~F/q′, y en el caso de que el campo eléctrico esté producido por la cargaq, el vector intensidad de campo vendrá dado por

~E = Keq

r2−→ur = Ke

q

r3~r (4.5)

Las unidades del vector intensidad de campo son NC−1 .

Si tenemos un sistema de varias partículas cargadas (distribución discreta de cargas),q1 , q2 , q3 , ..., el vector intensidad de campo en el punto P creado por el sistema secalcula, teniendo en cuenta el principio de superposición, según el cual, “cuando unapartícula se ve influida simultáneamente por distintas interacciones, la acción de cadauna de ellas es independiente de las demás”, lo cual quiere decir que la fuerza resultanteserá la suma vectorial de las fuerzas generadas por las distintas partículas del sistema,

~F =−→F1 +

−→F2 +

−→F3 + · · · = Ke

q1q′

r31

−→r1 +Keq2q′

r32

−→r2 +Keq3q′

r33

−→r3 + · · · (4.6)

Por ello,

~E =~F

q′=−→E1 +

−→E2 +

−→E3 + · · · = Ke

q1

r31

−→r1 +Keq2

r32

−→r2 +Keq3

r33

−→r3 + · · · (4.7)

donde cada carga deberá incluir su signo. Escrito de otra manera, tenemos:

~E =~F

q′=∑i

Keqir3i

−→ri (4.8)

9De ordinario se suele utilizar indistintamente la denominación intensidad de campo eléctrico ycampo eléctrico para referirse precisamente al vector intensidad de campo. Aunque en principio estopuede producir confusión está normalmente aceptado el uso indistinto antes referido.


Figura 4.6

Esta última expresión se puede extender a sistemas materiales (distribuciones con-tinuas de materia). En este caso, se requieren técnicas matemáticas más elaboradaspara el cálculo, en concreto, se requiere conocer el campo de densidades del sistema,esto es, la función ρ(x, y, z) y llevar a cabo una integración de volumen. A veces, sinembargo, y en situaciones de distribuciones con cierta simetría se puede simplificar elcálculo. Para ello, en ocasiones puede ser útil el uso del Teorema de Gauss (que vere-mos a continuación) y que constituye una de las leyes más importantes de la electricidad.

4.3.1. Líneas de campo.

Figura 4.7

Línea de campo (de fuerza o de corriente) es el lugar geométrico de los puntos enlos que el vector intensidad de campo es tangente. En la figura anterior a la izquierdase observan las líneas del campo creado por una carga puntual positiva. Sin embargo,en la figura a la derecha se observan las líneas de campo creadas por una carga puntualnegativa. Como se ve las líneas de corriente nacen en las cargas positivas y mueren en lascargas negativas. Por ello, a las cargas positivas se les llama manantiales de campo

4.4. TEOREMA DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO 93

eléctrico mientras que a las cargas negativas sumideros de campo eléctrico.

4.4. Teorema de Gauss para el campo eléctrico

4.4.1. Flujo eléctrico

Supongamos una región del espacio en la que existe un campo eléctrico uniforme.Consideremos asimismo una superficie plana en dicha región del espacio, entonces, sedefine vector superficie ~S asociado precisamente a dicha superficie, como un vector cuyomódulo es el área de la superficie en cuestión, su dirección es perpendicular a la su-perficie, y el sentido el que esté más próximo al vector inducción magnética. Se define

Figura 4.8

flujo eléctrico, es decir, flujo del vector ~E a través de la superficie S, de la sigu-iente manera, Φ = ~E · ~S = E · S · cos θ. Físicamente, representa el número de líneas decampo del campo eléctrico que atraviesan la superficie considerada. De la definición seve claro que si el campo eléctrico es es paralelo a la superficie el flujo es nulo, lo cual sepuede entender gráficamente ya que en este caso ninguna línea de campo atravesaría lasuperficie. La unidad de flujo eléctrico en el S.I. es el (N/C) ·m2.

Si el campo eléctrico no es uniforme se deberá hacer una partición en la superficieen cuadrados muy pequeños. En cada cuadrado se puede suponer que ~E es uniforme demanera que el flujo total será

Φ = lımN→∞

N∑i=1

~Ei ·∆~Si (4.9)

que se representa simbólicamente de la siguiente forma

Φ =

∫S

~E · d~S (4.10)


4.4.2. Enunciado del Teorema de Gauss

Sea una superficie cerrada (que suele denominarse superficie de Gauss) relativa auna región del espacio en la que existe un campo eléctrico, entonces el flujo eléctrico através de dicha superficie cerrada viene dado por

Φ =

∮S

~E · d~S = (1/ε0)N∑i=1

qi = 4πKe

N∑i=1

qi (4.11)

donde∑N

i=1 qi es la suma de las cargas en el interior de la superficie. Omitiremos lademostración ya que corresponde a un nivel universitario.

4.4.3. Aplicaciones

Campo en el interior y en el exterior de un conductor

Una sustancia conductora será considerada como un sistema (distribución continuade materia) en la que al estar cargada las cargas eléctricas pueden moverse. Lo primeroque debemos de tener en cuenta es que la carga eléctrica en el interior de un conductorcargado es nula. En efecto, si no fuera así, esto es, si la carga estuviera en el interiorse producirían repulsiones que obligaría a ésta a distribuirse por la superficie de formaque las repulsiones sean mínimas. Por ello, deberemos convenir que la carga eléctricade un conductor cargado se distribuye en la superficie del mismo. Ello conformará unasituación de distribución superficial de carga estacionaria.

Por ello también, deberemos admitir que el campo eléctrico en el interior del con-ductor será nulo, ya que, en caso contrario, dicho campo eléctrico obligaría a las cargaseléctricas a moverse, en contra de la situación estacionaria de que hablábamos. En efec-to, el hecho de que no exista carga en el interior de un conductor quiere decir que en suinterior la materia está neutra, es decir, que las cargas positivas compensan las negati-vas. Si el campo en el interior de un conductor no fuese cero, polarizaría las cargas en elinterior generándose un movimiento interno de cargas en contradicción con la situaciónestacionaria que supuestamente se habrá alcanzado.

El hecho de que el campo eléctrico en el interior de un conductor sea cero tambiénse puede ver desde el Teorema de Gauss ya que si consideramos una superficie de Gaussen el interior del conductor y dado que la carga en el interior es cero el flujo eléctricodeberá ser cero con independencia de cómo sea la superficie de Gauss lo cual sólo puedeser compatible con el hecho de que el campo sea nulo.

Por otra parte, en el exterior del conductor (cerca de la superficie), el campo esnormal a la misma superficie, ya que en caso contrario, las cargas se moverían por lasuperficie lo cual estaría asimismo en contradicción de una situación estacionaria. Portanto, si se aplica el Teorema de Gauss a una superficie pequeña que tenga parte en elinterior y parte en el exterior del conductor.

4.4. TEOREMA DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO 95

Figura 4.9

Como el campo eléctrico en el exterior es perpendicular a la superficie podemostomar como superficie gaussiana un pequeño cilindro con caras paralelas a la superficiedel conductor como se muestra en la figura. El cilindro será suficientemente pequeñocomo para considerar constante el módulo del campo eléctrico y que la curvatura de lasuperficie del conductor sea despreciable. El flujo sólo será no nulo hacia la direcciónperpendicular a la superficie y hacia el exterior ya que el producto escalar en la otrasdirecciones será cero (en el interior porque el campo es cero y en los laterales porque elproducto escalar entre el campo y el vector superficie sería cero). Por tanto,

Φ = E∆S =q

ε0=σ∆S

ε0(4.12)

por lo que

E =σ

ε0(4.13)

Campo en el interior y en el exterior de una esfera conductora cargada

Figura 4.10


Para analizar cómo es la distribución de campo distinguiremos puntos interiores ypuntos exteriores a la esfera. En puntos interiores dado que la esfera es conductora elcampo será cero por los mismo motivos vistos en el apartado anterior.

Para puntos exteriores consideraremos la superficie gaussiana de radio r de la parte(b) de la figura. El campo eléctrico será radial por simetría ya que una esfera implicaque no hay ninguna dirección privilegiada. Por otra parte si suponemos que la carga espositiva el campo será hacia afuera. Finalmente, el campo también debido a la simetríaesférica sólo dependerá de la distancia r al centro de la esfera. Por tanto,

Φ = E4πr2 =Q

ε0(4.14)

por lo que

E =1

4πε0

Q

r2(4.15)

La figura representa la variación del módulo del campo eléctrico en función de ladistancia r al centro de la esfera.

Figura 4.11

Hay que fijarse que a los efectos del campo eléctrico es lo mismo una esfera conductoracargada que una esfera no conductora hueca (corteza esférica).

Campo en el interior y en el exterior de una esfera no conductora macizacargada

En este caso la situación es igual al caso anterior para puntos exteriores. Para puntosinteriores, sin embargo, la situación es radicalmente diferente ya que la carga no sólono va a ser nula sino que estará distribuida por toda la esfera. Supondremos que estadistribución es uniforme. Por ello, si consideramos un punto interior a una distancia rdel centro de la esfera menor que el radio de la misma y que esa distancia será el radiode la superficie esférica gaussiana a la que aplicaremos el Teorema de Gauss tenemos,

Φ = E4πr2 =Qint

ε0(4.16)

4.5. POTENCIAL ELÉCTRICO. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA. 97

siendo Qint la carga en el interior de la superficie de Gauss que al ser la distribución decarga homogénea será,

Qint = ρ4

3πr3 =

Q

4/3πr30

4

3πr3 =

Qr3

r30

(4.17)

por lo que

E =1

4πε0

Qr

r30

(4.18)

Campo en el interior y en el exterior de un cilindro infinito cargado conductory no conductor

Se propone al alumno(a) este caso para que lo haga como ejercicio.

4.5. Potencial eléctrico. Energía potencial eléctrica.

Consideremos 2 partículas de cargas q1 y q2 , en reposo respecto a un sistema dereferencia inercial (o moviéndose a una velocidad muy pequeña respecto de él), entonces,entre ellas se ejercen una fuerza electrostática que viene dada por

~F = Keqq′

r2−→ur = Ke

qq′

r3~r (4.19)

Figura 4.12

Si suponemos que la partícula de carga q está fija y que la de carga q’ se mueve(muy lentamente) desde una posición A hasta una posición B y queremos calcular eltrabajo asociado a la fuerza eléctrica, nos encontraríamos con que dicho trabajo resultaser independiente de la trayectoria elegida para ir desde A hasta B, por lo que la fuerzaeléctrica estática (electrostática) es conservativa. En concreto, se puede demostrar queel resultado del cálculo de dicho trabajo es:

WA→B = Keqq′

rA−Ke

qq′

rB(4.20)


Al ser conservativa la fuerza electrostática, existirá una función energía potencial queteniendo en cuenta el resultado anterior debería tener la forma: Ep(r) = Ke(qq

′/r) +C,donde C es una constante aditiva. Hay que hacer notar que la función energía potencialdepende funcionalmente de r, es decir, de la distancia de las dos partículas y no delvector que las une.

El criterio que se utiliza para determinar la constante C es considerar que la energíapotencial es nula cuando las dos partículas está infinitamente alejadas, esto es, esto es,

Ep(∞) = 0⇒ Keqq′

∞+ C = 0⇒ C = 0 (4.21)

por lo que

Ep(r) = Keqq′

r(4.22)

Este criterio es consistente pues se trata de considerar que si las partículas no inter-accionan su energía potencial asociada es cero10.

El significado físico de la energía potencial electrostática aparece claro desde el análi-sis siguiente: si calculamos el trabajo para alejarse indefinidamente la partícula de cargaq’ de la de carga q desde una distancia rA, tenemos: El significado físico de la energíapotencial electrostática aparece claro desde el análisis siguiente: si calculamos el tra-bajo para alejarse indefinidamente la partícula de carga q’ de la de carga q desde unadistancia rA, tenemos:

Wa→∞ = Ep(rA)− 0 = Ep(rA) (4.23)

es decir, la energía potencial electrostática de dos partículas situadas a una distanciar una de la otra representa el trabajo necesario asociado a la interacción electrostáticapara alejarlas lentamente desde esa distancia r indefinidamente, o el trabajo que ten-emos que hacer para acercarlas desde el infinito hasta la distancia r.

4.5.1. Potencial eléctrico

Se define potencial eléctrico (electrostático) en un punto, P, en que existe un campoeléctrico a la energía potencial eléctrica por unidad de carga,

V =Epq′

(4.24)

10Debe notarse que el significado físico de que la distancia entre dos partículas sea infinita no debeconfundirse con el punto de vista matemático. De hecho, el hecho de que consideremos una distanciainfinita entre dos partículas en relación a la interacción eléctrica significa físicamente que las citadasdos partículas están a una distancia suficiente la una de la otra, de forma que la interacción eléctricaentre las mismas no es apreciable. Esto dependerá del alcance de la interacción en cuestión, que en elcaso de la interacción eléctrica es también bastante grande, aunque no tanto como en la interaccióngravitatoria, como ya se ha puesto de manifiesto.


Por ello, el potencial electrostático creado por una carga en un punto P a unadistancia r de q será

V = Keq

r=

1

4πε0

q

r(4.25)

La unidad de potencial eléctrico es el voltio (V ), y por ello, a veces se utiliza comounidad de intensidad de campo eléctrico el Vm−1 .

Si tenemos un sistema de varias cargas q1 , q2 , q3 , ..., el potencial eléctrico en elpunto P creado por el sistema se calcula también teniendo en cuenta el principio desuperposición. Para ello, realizaremos el siguiente análisis: supongamos una partículaviajera q’ que se mueve desde un punto A hasta otro B influida por las interaccionesdebidas a las partículas del sistema.

Figura 4.13

Debido al principio de superposición el trabajo será

W = W1 +W2 +W3 + · · · (4.26)

siendo, por ejemplo,W2 = Ep2(A)− Ep2(B) (4.27)

y

Ep2(B) = Keq2q′

r2B

(4.28)

y así sucesivamente el resto de los sumandos, por lo que el trabajo total sería

W = Ep1(A)− Ep1(B) + Ep2(A)− Ep2(B) + Ep3(A)− Ep3(B) + · · · = (4.29)

es decir,

= Ep1(A) +Ep2(A) +Ep3(A) + · · · −Ep1(B)−Ep2(B)−Ep3(B)− · · · = Ep(A)−Ep(B)(4.30)

siendoEp = Ep1 + Ep2 + Ep3 + · · · (4.31)

Por ello, el potencial eléctrico asociado al sistema será

V =Epq′

=Ep1q′

+Ep2q′

+Ep3q′

+ · · · = V1 + V2 + V3 + · · · (4.32)


4.5.2. Relación trabajo - Potencial electrostático

Consideremos una carga viajera q’ que se mueve desde un punto A hasta otro Binfluida por el campo eléctrico estático, es decir, electrostático, lo cual significa que elvector intensidad de campo ~E = ~E(x, y, z) pero no depende del tiempo, esto es, esestacionario. Podemos imaginar que el citado campo está creado por una segunda carga(o sistema de cargas) en reposo. Supongamos que queremos calcular el trabajo asociadoa dicha interacción eléctrica,

W = Ep(A)− Ep(B) = q′[V (A)− V (B)] (4.33)

es decir, el trabajo es igual a la carga q’ por la diferencia de potencial eléctrico.

4.5.3. Relación Intensidad de campo - Potencial electrostático

Consideremos ahora una campo eléctrico uniforme, esto es, un campo eléctrico cuyovector intensidad de campo no depende la posición. Supongamos también como antesque en dicho campo se mueve una carga q’, entonces el trabajo para ir desde un puntoA hasta un punto B asociado a la fuerza eléctrica (al no depender ésta de la posición)será:

W = ~F · 4−−→rAB = q′ ~E · 4−−→rAB (4.34)

Como por otra parte hemos visto que W = q′[V (A)−V (B)], tenemos igualando que

V (A)− V (B) = ~E · 4−−→rAB (4.35)

Si desarrollamos el producto escalar anterior tenemos V (A) − V (B) = ~E · 4−−→rAB =Ed cos θ siendo d la distancia entre los puntos A y B, y θ el ángulo entre el vectorintensidad de campo y el vector desplazamiento entre los puntos A y B. Así conocidala diferencia de potencial entre A y B se puede obtener el módulo de la intensidad decampo de la siguiente forma:

E cos θ =4VABd

(4.36)

siendo E cos θ la componente del vector intensidad de campo eléctrico en la direccióndel vector desplazamiento y siendo la diferencia de potencial

4VAB = VA − VB ≡ V (A)− V (B) (4.37)

Estas ecuaciones sólo son válidas para campos uniformes pero similares aunque enforma diferencial son válidas en general; en concreto, la relación intensidad de campo- potencial eléctrico sería dV = − ~E · d~r, que en el fondo puede ser considerada de lasecuaciones anteriores para desplazamientos diferenciales (desplazamientos tan pequeñosen los que se puede considerar que el campo eléctrico es prácticamente uniforme. Esnecesario señalar que esta última expresión sólo es válida para campos electrostáticos,esto es, campos eléctricos estáticos, que no varían con el tiempo (como los producidospor cargas o sistemas de cargas que están en reposo).


4.5.4. Superficies equipotenciales

Superficies equipotenciales son aquellas superficies en las que el potencial esconstante. En el gráfico siguiente (a la izquierda) se ve un corte (curvas de nivel) a lassuperficies equipotenciales asociadas al campo eléctrico creado por una carga puntual.Tales superficies equipotenciales serían superficies esféricas y el corte con plano diametraldaría lugar al gráfico adjunto. La situación es algo más compleja cuando tenemos dos omás cargas del mismo signo próximas como se muestra en el gráfico a la derecha.

Figura 4.14

Entre las líneas de campo y las superficies equipotenciales se verifica la siguientepropiedad: “las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales enlos puntos de intersección”. En efecto, si se considera el trabajo asociado a la interacciónen relación al desplazamiento entre dos puntos cualesquiera suficientemente próximos ypertenecientes a la misma superficie equipotencial tendremos que dicho trabajo es ceroal ser nula la diferencia de potencial eléctrica.

Eso significa que el vector fuerza (y por tanto, el vector intensidad de campo) deberáser perpendicular al vector desplazamiento (contenido en la superficie equipotencial),por lo que la propiedad anteriormente expuesta es cierta.

4.5.5. Energía electrostática de un sistema de cargas

Se trata del trabajo asociado a la interacción electrostática que se ejercen entre lascargas del sistema para que se alejen indefinidamente respecto a su distribución espacialinicial. También podría considerarse esta energía potencial como el trabajo que hay quehacer para acercar hasta una distribución espacial determinada un conjunto de cargasinfinitamente alejadas entre sí.


Para un sistema de dos cargas sería:

Ep = Keq1q2

r12

(4.38)

Para un sistema de tres cargas sería:

Ep = Ke(q1q2

r12

+q1q3

r13

+q2q3

r23

) (4.39)

En general, para un sistema de N cargas, será:

Ep = Ke

N∑i<j

qiqjrij

=1

2Ke

N∑i 6=j

qiqjrij

=1

2

N∑i=1

qiVi (4.40)

4.6. Corriente eléctricaSe denomina corriente eléctrica al movimiento de las cargas eléctricas. Existen muchas

clases de corrientes eléctricas dependiendo del tipo de portadores de carga eléctrica.Nosotros aquí centraremos nuestro estudio en conductores metálicos, que consideraremoscomo un conjunto de restos positivos en red inmerso en un gas de electrones, los cualespueden moverse deslocalizadamente por la red.

Figura 4.15

Supongamos un campo eléctrico ~E y un sistema de partículas cargadas. Va a haberentonces una corriente originada por el movimiento de cargas positivas y negativas; peroel hecho de pasar cargas positivas a la derecha es equivalente a que pasen las negativasa la izquierda. Se elige como sentido convencional de la corriente el correspondiente almovimiento de las cargas positivas aunque éstas no existan o bien no se muevan (porejemplo, como ocurre con los metales, en los que sólo haya cargas negativas en movimien-to). En todo caso, el sentido de la corriente será opuesto al sentido del movimiento de

4.6. CORRIENTE ELÉCTRICA 103

las cargas negativas.

Se define intensidad media de corriente como la cantidad de carga que atraviesa unasección (como AA’) en un determinado intervalo de tiempo Im = Q/4t.

Como en general la cantidad de carga que atraviesa la sección en la unidad de tiempono es constante, conviene definir Intensidad instantánea o simplemente intensidadde corriente de la siguiente manera:

I = lım4t→0

Q

4t=dq

dt(4.41)

En el Sistema Internacional, la unidad de intensidad es el amperio (A), que se podríadefinir según 1A = 1Cs−1, si bien más tarde definiremos el Amperio como lo ha hechola XIa Conferencia de Pesas y Medidas.

Si la intensidad es constante, se dice que la corriente es continua, en caso con-trario se habla de corriente variable con el tiempo. Un caso particular de ésta esla corriente alterna que se define por ser una corriente cuya variación es sinusoidal(como en el movimiento armónico simple), es decir, I = I0 sin(ωt− ϕ).

Concentraremos ahora nuestra atención sobre conductores metálicos, recorridos porcorriente continua. En principio, aunque hemos dicho que las cargas eléctricas se puedenmover libremente, esto no es así, sino que realmente existe una cierta oposición almovimiento de las cargas eléctricas, por lo que, salvo causa exterior, la carga, como yahemos visto, estará distribuida en la superficie de manera estacionaria, siendo el campoeléctrico en el interior del conductor nulo. Sin embargo, por ciertos procedimientos (co-

Figura 4.16

mo mediante el uso de un generador), podemos conseguir que exista un campo eléctricoen el interior capaz de generar una diferencia de potencial entre los extremos de un con-ductor A y B, que según hemos visto puede calcularse utilizando VA − VB = ~E · 4−−→rAB(suponiendo que el campo eléctrico sea uniforme lo cual no tiene por qué ser cierto, encuyo caso, se utilizaría una expresión más general).


Puede demostrarse que la diferencia de potencial antes escrita puede expresarse dela siguiente manera, VA − VB = I · RAB, donde RAB es una magnitud conocida comoresistencia eléctrica siendo característica del conductor, cuyas unidades en S.I. sonel ohmio (Ω),y que viene dada por R = ηL/S, donde L es la longitud del conductor, Ssu sección y η el llamado coeficiente de resistividad característico de la naturalezadel conductor (siendo sus unidades en el S.I. Ω ·m). La expresión VA − VB = I ·RAB esconocida como Ley de Ohm11.

Finalmente indicaremos, que como ya hemos advertido, es necesario para que existacorriente, que se cree un campo eléctrico en el interior del conductor. Dicho campo eléc-trico aparece al conectar el conductor a un generador. El generador está caracterizadopor una magnitud conocida como fuerza electromotriz (f.e.m.) que se define como laenergía por unidad de carga que aporta al circuito para que exista corriente (para queexista campo eléctrico que origine fuerzas eléctricas que permitan a las cargas vencerla resistencia). Si representamos por ε a la f.e.m., tenemos que la ley de Ohm para elcircuito integrado por el generador y el conductor se escribirá de la siguiente maneraε = I ·R siendo R la resistencia del conductor más la resistencia interna que pueda tenerel propio generador.

Todas estas ecuaciones que se han escrito para corriente continua se pueden gener-alizar sin dificultad para corrientes variables con el tiempo pero hay que añadir otrosaspectos como efectos inductivos, etc., propios de las corrientes no continuas.

4.7. Introducción al magnetismo

Hemos visto hasta ahora la interacción eléctrica y la interacción gravitatoria. Puesbien, la interacción magnética es otro tipo de interacción que se observa en la Naturaleza.Varios siglos antes de Cristo, la Humanidad observó que ciertos minerales de hierro, comola magnetita (llamada así de la ciudad Magnesia de Asia), tenían la propiedad de atraerpequeños trozos de hierro. A esta propiedad se le llamó magnetismo. Las regiones de uncuerpo donde aparece concentrado el magnetismo se denominan polos magnéticos.Un cuerpo magnetizado se llama imán.

Hay dos clases de polos: norte y sur. La interacción entre polos iguales es repulsivamientras que la interacción entre polos opuestos es atractiva. Hasta aquí parece que existecierta similitud entre la interacción magnética y la eléctrica. Sin embargo, no ha sidoposible aislar un polo magnético al igual que una carga eléctrica. Es decir, no hay algoasimilable a un parámetro de masa magnética (o carga magnética). Veremos que en elfondo la interacción magnética no es una interacción aparte, sino que está íntimamenterelacionada con la interacción eléctrica, siendo ambas interacciones dos aspectos de unapropiedad de la materia: la carga eléctrica. Veremos también que el magnetismo es unefecto que aparece cuando existe movimiento relativo entre cargas eléctricas. Por ello,

11De acuerdo con la Ley de Ohm, la unidad de resistencia es igual a 1Ω = 1V / 1A.

4.8. FUERZA DE LORENTZ 105

Figura 4.17

al final deberemos hablar de interacción electromagnética constituyendo la interaccióneléctrica y la magnética algo así como las dos caras de una misma moneda.

4.8. Fuerza de LorentzDiremos que un carga eléctrica se mueve en una región del espacio con campo mag-

nético si la fuerza total que se ejerce sobre dicha carga está compuesta, además de lafuerza eléctrica, de una fuerza adicional que llamaremos magnética.

Figura 4.18

Asociaremos al campo magnético un vector que llamaremos inducción magnéti-ca, ~B, que será el que contendrá la información sobre el campo magnético12. Este vectortambién como el vector intensidad de campo eléctrico, define unas líneas de campo (olíneas de corriente) que son el lugar geométrico de los puntos en los que el citado vector~B es tangente13.

12De nuevo aquí se debe indicar que de ordinario se suele utilizar indistintamente la denominacióninducción magnética y campo magnético para referirse precisamente al vector inducción magnética.Aunque en principio esto puede producir confusión, está también en este caso aceptado el uso indistintoantes referido.

13Se puede demostrar (aunque no lo haremos aquí) que las líneas de corriente del campo magnéticoson cerradas, a diferencia, de lo que ocurre con las líneas de corriente del campo eléctrico que nacen enlas cargas positivas y mueren en las cargas negativas.


Experimentalmente, se ha visto que las fuerzas magnéticas sólo aparecen si la cargaq’ está en movimiento, que son perpendiculares al vector velocidad, y que su móduloes proporcional precisamente al módulo del vector velocidad, por lo que procede expre-sar la fuerza magnética de la siguiente forma ~Fm = q′~v × ~B lo cual puede asociarsegráficamente con la figura anterior, es decir, de esta forma la fuerza magnética es per-pendicular a la velocidad de la carga móvil y al vector inducción magnética. El módulode la fuerza magnética será Fm = |q′| vB |sinα|. La unidad de inducción magnética es el

Figura 4.19

Tesla: 1T = NC−1m−1s = Wbm−2.

Como se ve el Tesla se puede expresar también en función del Wb (Weber) que, comoveremos, es la unidad de flujo magnético. Existe otra unidad de inducción magnéticamuy usada el Gauss, 1T = 104G.

En general, la fuerza total sobre una carga móvil que se mueve en una región delespacio con campo eléctrico y campo magnético será la suma de la fuerza eléctrica y lafuerza magnética:

~F = ~Fe + ~Fm = q′ ~E + q′~v × ~B = q′( ~E + ~v × ~B) (4.42)

Esta expresión se conoce como Fuerza de Lorentz.

Finalmente analizaremos las consecuencias dinámicas del movimiento de una partícu-la cargada en un campo magnético (en ausencia de campo eléctrico). Como la fuerzamagnética es perpendicular a la velocidad, el trabajo asociado a la misma será nulo, locual significa, de acuerdo con el teorema de la energía cinética, que la fuerza magnéticano provoca cambios en el módulo de la velocidad. Así, las cosas habrá que aceptar quela partícula cargada tendrá un movimiento en el que el vector velocidad cambia de ori-entación pero no en módulo. Los posibles movimientos compatibles con las condicionesanteriores son:

1. Movimiento rectilíneo uniforme: en este caso lo que habrá ocurrido es que la ve-locidad y el campo magnético son paralelos. Estamos ante la situación trivial.

4.9. PRODUCCIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS 107

2. Movimiento circular uniforme: en este caso la velocidad era perpendicular al campomagnético y por lo tanto tendrá lugar un movimiento circular uniforme.

3. Movimiento helicoidal (en tres dimensiones): en este caso la velocidad no eraperpendicular al campo magnético por lo que podremos descomponer el vectorvelocidad en una componente paralela al campo magnético (la fuerza magnéticaserá cero) y una componente perpendicular al campo magnético (la fuerza mag-nética será perpendicular a esa componente del vector velocidad generando unmovimiento circular uniforme). El movimiento resultante será la composición dedos movimientos un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento circular uni-forme ambos perpendiculares entre sí por lo que la trayectoria resultante seráhelicoidal (como un muelle).

Para finalizar debe mencionarse que ejemplos de aplicación de lo que acabamos decomentar son el betatrón, el espectrógrafo de masas, etc. En los problemas y ejerciciosde aplicación se abordan estos ejemplos.

4.9. Producción de campos magnéticos

4.9.1. Campo magnético creado por una carga en movimiento

Los campos magnéticos son producidos por cargas eléctricas en movimiento. Es decir,de la misma manera que la interacción eléctrica, que tiene lugar por 2 cargas eléctricas(en movimiento o no), se puede describir mediante el concepto de campo eléctrico, estoes, una carga produce un campo en la región del espacio que la rodea, y dicho campointeracciona con la segunda carga provocando en ella una fuerza eléctrica; algo similarocurre con la interacción magnética, esto es, una carga en movimiento produce un campomagnético, el cual interacciona con una segunda carga en movimiento provocándole unafuerza magnética14.

La expresión del campo magnético creado por una carga en movimiento en un puntoP es la siguiente:

~B =µ0

4π

q~v × ~urr2

=µ0

4π

q~v × ~rr3

(4.43)

siendo µ0 la permeabilidad magnética en el vacío cuyo valor es µ0 = 4π ·10−7mkgC−2 =4π ·10−7TmA−1. Esta expresión es sólo aproximada y funciona bien para velocidades decarga mucho menores que las de la luz (v << c) y aceleraciones pequeñas.

14Esta explicación es quizás algo simple. En el fondo cuando hablamos de movimientos de cargas ten-emos que considerar sistemas de referencia para indicar respecto a qué tienen lugar dichos movimientos.Por ello, es necesario introducir la relatividad en esta cuestión. No insistiremos en esto pero deberíamosdecir que lo fundamental para que exista interacción magnética es que exista movimiento relativo entrelas dos cargas, y que la interacción eléctrica y la magnética van a estar relacionadas de forma que lo quepara algunos sistemas de referencia puede ser fuerza eléctrica para otros puede ser fuerza magnética.En el fondo, esto nos lleva a hablar de interacción electromagnética.


Figura 4.20

4.9.2. Campo magnético producido por un elemento de corri-ente

Una corriente eléctrica no es sino cargas eléctricas en movimiento. Por ello, si lascargas eléctricas en movimiento producen campos magnéticos una corriente también lohará.

Figura 4.21

El campo magnético creado por todo el circuito cerrado viene dado por la siguienteexpresión (Ley de Ampère-Laplace):

~B =µ0

4π

∮C

I ~dl × ~urr2

(4.44)

donde C es la trayectoria del circuito.

El vector d~l representa un elemento de la corriente y su sentido es de la intensidadde corriente. La ecuación anterior puede suponerse deducida de:

d ~B =µ0

4π

I ~dl × ~urr2

(4.45)

(campo creado por un elemento de corriente) si bien esta última ecuación sólo debeconsiderarse de forma instrumental en relación a la anterior y no como un enunciado

4.9. PRODUCCIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS 109

independiente. De la Ley de Ampère-Laplace, (aunque no lo demostraremos) se puedendeducir, como casos particulares, los siguientes:

4.9.3. Campo magnético producido por una corriente rectilíneainfinita

En algunos textos, aparece como Ley de Biot y Savart. El campo es perpendicularal plano determinado por el conductor rectilíneo y el punto considerado y su sentido es

Figura 4.22

el del giro de un sacacorchos cuyo avance coincida con el sentido de la intensidad decorriente. El módulo del vector intensidad de campo viene dado por:

B =µ0

2π

I

r(4.46)

donde r es la distancia al punto donde se quiere calcular el campo. Obsérvese que laslíneas de corriente del campo magnético son circulares y con la orientación coherentecon el sentido del campo antes indicado.

Hay que hacer nota que la idea de conductor infinito hay que entenderla físicamenteen el sentido de considerar que la longitud del conductor es mucho mayor que las dis-tancias a los puntos en los que deseamos conoce el vector inducción magnética.

4.9.4. Campo magnético creado por una espira circular en sucentro

En este caso se puede demostrar que el módulo del campo viene dado por

B =µ0

2

I

R(4.47)

siendo R el radio de la espira e I la intensidad de la corriente cuyo sentido viene indicadoen la espira: el punto indica que la corriente sale y el aspa que la corriente entra. Comose ve la orientación del campo responde al avance del sacacorchos que gira como lo hacela corriente.


Figura 4.23

4.9.5. Campo magnético creado por un solenoide en su interior

Un solenoide no es sino un arrollamiento, es decir, en el fondo un conjunto de muchasespiras superpuestas. Consideraremos el campo magnético en su interior y supondremosque la longitud L del solenoide es mucho mayor que el radio de las espiras. Como se ve

Figura 4.24

en la figura el campo magnético tiene la misma orientación que en el caso del referido auna espira en su centro, y en cuanto al módulo, éste viene dado por

B = µ0NI

L(4.48)

siendo N el número de espiras.

Si n = N/L es el número de vueltas por unidad de longitud del solenoide entoncesB = µ0nI. Como se ve, un solenoide puede producir campos magnéticos intensos sidispone de muchas espiras por unidad de longitud. En la práctica, se suele introduciren el interior del solenoide un material ferromagnético, fundamentalmente hierro, en esecaso, la expresión del campo magnético cambia ligeramente, B = µnI, es decir, en lugarde la permeabilidad magnética en el vacío aparece la permeabilidad magnética en elmedio, que en el caso de los materiales ferromagnéticos, y en particular en el hierro, es

4.10. MAGNETISMO NATURAL Y ELECTROMAGNETISMO 111

muy elevada lo cual multiplica extraordinariamente la intensidad del campo magnéticoque el solenoide genera.

4.10. Magnetismo natural y electromagnetismoHemos iniciado lo que tiene que ver con la interacción magnética haciendo una breve

descripción histórica de cómo aparece por primera vez esta interacción en la Naturaleza.Conviene ahora reconciliar esta visión histórica del magnetismo, basada en la existenciade unos materiales (como la magnetita) con propiedades magnéticas con nuestra nuevaidea de la interacción magnética, una interacción que aparece entre cargas en movimien-to. En realidad, los materiales ferromagnéticos, de acuerdo con la llamada Teoría delos Dominios), se pueden considerar interiormente organizados en dominios, cada unode ellos conteniendo corrientes circulares microscópicas, y cada una de ellas, por tanto,produciendo su correspondiente campo magnético. En el caso, de los imanes naturales,los distintos dominios están ordenados, y por ello, se superponen los distintos camposmagnéticos produciendo tal superposición un campo magnéticos netos efectivo. En elcaso, de los materiales ferromagnéticos en general, los dominios están desordenados porlo que no existe campo magnético efectivo, pero en medio de un campo magnético (pro-ducido por otro imán o por un solenoide, etc.) se puede conseguir ordenar los dominioscomportándose el material temporalmente como un imán. Al cesar el campo magnéti-co externo en breve tiempo cesarán las propiedades magnéticas ya que los dominiosvolverán otra vez a desordenarse. Algo similar ocurre cuando frotamos una aguja con unimán, temporalmente adquiere propiedades magnéticas pero al cabo de un cierto tiempoéstas desaparecen.

4.11. Fuerzas magnéticas sobre una corriente eléctricaSupongamos un conductor por el que circula una corriente de intensidad I en una

región del espacio donde existe un campo magnético, ~B. Consideremos un elemento deconductor representado por este vector d~l en la dirección de la corriente.

Figura 4.25

Sobre ese elemento existirá una fuerza magnética dada por d~F = Id~l × ~B. No es


difícil justificar esta ecuación asimilando el elemento de corriente a una carga puntual,y utilizando la expresión de la fuerza magnética sobre una carga móvil.

La fuerza magnética sobre todo el conductor será la suma de las distintas fuerzasmagnéticas sobre los elementos de corriente en los que se pueda descomponer el conduc-tor.

Veamos ahora unos casos particulares:

1. Si el campo magnético es uniforme y el conductor rectilíneo, entonces la suma decontribuciones de la forma antes expuesta da lugar a F = I~l × ~B donde ~l es unvector cuyo módulo es la longitud del conductor y su orientación coincide con lade la corriente.

Figura 4.26

2. Si además el campo magnético es perpendicular al conductor, el módulo de lafuerza magnética será F = IlB.

4.12. Fuerzas entre corrientes

Supongamos que tenemos dos circuitos cerrados cualesquiera que están próximos unorespecto del otro.

Uno de los circuitos creará un campo magnético en la región del espacio que le rodea,y al estar el otro circuito próximo al primero, el antes citado campo magnético produciráuna fuerza magnética sobre el segundo circuito. Asimismo, habrá una influencia del se-gundo circuito sobre el primero y por tanto una fuerza magnética provocada por elsegundo circuito sobre el primero.

Aplicaremos estas ideas para estudiar las fuerzas que se ejercen dos conductores rec-tilíneos suficientemente largos, paralelos, y que se encuentran próximos uno cerca delotro, en concreto, a una distancia d mucho más pequeña que la longitud l de dichosconductores.

4.12. FUERZAS ENTRE CORRIENTES 113

Figura 4.27

El campo magnético de (1) en un punto cualquiera del conductor (2) será como seindica en la figura en cuanto a la orientación y en cuanto a su módulo se tiene B1 = µ0

2πI1d.

El campo ~B1 ejerce la siguiente fuerza en (2) ~F2 = I2~l2 × ~B1 cuya orientación aparece

en el gráfico y cuyo módulo es

F2 = I2lB1 = I2lµ0

2π

I1

d(4.49)

La fuerza por unidad de longitud será:

F2

l=µ0

2π

I1I2

d(4.50)

De la misma forma, la fuerza que hace el circuito (2) sobre el (1) será atractiva y sumódulo será:

F1

l=F2

l=F

l=µ0

2π

I1I2

d(4.51)

Como conclusión tenemos que 2 corrientes paralelas con el mismo sentido se atraen,mientras que dos corrientes paralelas con sentidos contrarios (se puede demostrar fácil-mente de la misma forma) se repelen.

Finalizaremos, esta cuestión aprovechando el resultado obtenido para definir el Am-perio absoluto ya que la medida F/l puede hacerse con mucha precisión: “Se defineAmperio absoluto a la intensidad que debe circular por 2 conductores infinitamentelargos y separados un metro para que entre sí ejerzan una fuerza por unidad de longitudde 2.10−7 N/m”.


En efecto, como µ0 = 4π · 10−7 en unidades del S.I., entonces:

F

l=

4π · 10−7

2π

1 · 11

= 2 · 10−7N

m(4.52)

A partir de aquí, se considera que el Amperio (y no el culombio) es unidad fun-damental del S.I. llamado en electricidad M.K.S.A., todo ello de acuerdo con la XIaConferencia General de Pesas y Medidas de 1960. El culombio se definirá ahora comola cantidad de carga que atraviesa la sección de un conductor en un segundo, por el quepasa una corriente de un amperio.

4.13. Inducción electromagnética

4.13.1. Flujo magnético

Supongamos una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme.Consideremos asimismo una superficie plana en dicha región del espacio, entonces, sedefine vector superficie ~S asociado precisamente a dicha superficie, como un vector cuyomódulo es el área de la superficie en cuestión, su dirección es perpendicular a la superficie,y el sentido el que esté más próximo al vector inducción magnética. Se define flujo

Figura 4.28

magnético15, es decir, flujo del vector ~B a través de la superficie S, de la siguientemanera, Φ = ~B · ~S = B ·S · cos θ. Físicamente, representa el número de líneas de campodel campo magnético que atraviesan la superficie considerada. De la definición se veclaro que si el campo magnético es paralelo a la superficie el flujo es nulo, lo cual sepuede entender gráficamente ya que en este caso ninguna línea de campo atravesaría lasuperficie. La unidad de flujo magnético en S.I., tal como ya habíamos advertido, es elWeber (Wb).

15La definición de flujo que aquí se expone sólo es válida en las circunstancias concretas que seindican. En general, es decir, campos magnéticos no uniformes y superficies no planas, se debería haceruna partición de la superficie en pequeños cuadrados en los que el campo sea aproximadamente uniformey luego sumar los flujos de cada uno de los cuadrados en que se haya dividido la superficie.

4.13. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 115

4.13.2. Ley de Henry-Faraday

Sea un circuito alabeado16 cerrado en el que hemos colocado un galvanómetro (apara-to que detecta si existe o no paso de corriente). Si se encuentra en la proximidades de uncircuito por el que circula una corriente variable con el tiempo, el galvanómetro acusarápaso de corriente.

Faraday y Henry comprobaron independientemente el uno del otro que también ex-istía corriente si al primer circuito se alejaba o acercaba un imán llegando a la conclusiónde que aparecía una fuerza electromotriz (f.e.m.) que era proporcional a la variación deflujo magnético en la unidad de tiempo.

Figura 4.29

Matemáticamente, las conclusiones de Faraday y Henry se pueden expresar así:

ε ∝ dΦ

dt(4.53)

siendo Φ el flujo magnético.

Ambas experiencias, las del imán y las de la corriente variable con el tiempo, estánrelacionadas, ya que una intensidad variable con el tiempo genera un campo magnéticovariable con el tiempo, y el movimiento del imán también da lugar a un campo mag-nético variable con el tiempo. En ambos casos, se tiene un flujo magnético variable conel tiempo. Posteriormente, Lenz descubrió que el sentido de la f.e.m. inducida era talque tendería a oponerse al cambio que la producía, es decir, oponerse a la variación deflujo magnético.

De estos resultados experimentales, se concluye la siguiente expresión para la f.e.m.inducida:

ε = −dΦ

dt(4.54)

16Consideramos la situación más general, es decir, un circuito no contenido en un plano. Por supuesto,lo que aquí se expone también es válido para un circuito plano.


Figura 4.30

4.13.3. Autoinducción

Supongamos ahora un circuito cerrado por el que circula una corriente con una in-tensidad variable con el tiempo. Esta corriente generara una campo magnético tambiénvariable con el tiempo el cual, a su vez, definirá un flujo a través de la superficie delim-itada por el circuito que será nuevamente variable con el tiempo.

Figura 4.31

En consecuencia, se inducirá una f.e.m. dada por la expresión

ε = −dΦ

dt(4.55)

Lógicamente, cuanto mayor sea la Intensidad mayor será el módulo de la induc-ción magnética, y por ello, mayor será el flujo magnético, por lo que parece razonable17

escribir Φ = L · I donde L es una constante que se conoce como coeficiente de au-toinducción o inductancia del circuito, y que depende de la forma geométrica delmismo. La unidad de inductancia en el S.I. es el henrio (H ).

Por todo lo anterior, la ley de Ohm para un circuito como el previamente consideradoadoptará la forma siguiente: εext + εind = IR, donde εext es la f.e.m. producida por el

17En realidad, el razonamiento correcto estriba en darse cuenta que la inducción magnética es pro-porcional a la intensidad de la corriente que produce el correspondiente campo magnético. Por ello, yteniendo en cuenta la definición de flujo magnético surge la proporcionalidad entre el flujo magnéticoy la intensidad de corriente.

4.13. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 117

generador G, y R es la resistencia total del circuito (incluyendo la resistencia internadel generador). Sustituyendo εind por sus expresión se tiene,

εext − LdI

dt= IR (4.56)

que es una ecuación diferencial cuya solución nos dará la intensidad de la corriente en

Figura 4.32

función del tiempo. Naturalmente, tal solución dependerá de la f.e.m. del generador yde las condiciones iniciales.

La representación gráfica de un circuito como el considerado (en el que existe algunaparte con una inductancia apreciable) suele hacerse de la forma representada en la figura.

4.13.4. Inducción mutua

Consideremos ahora dos circuitos (a) y (b) cercanos entre sí y con corrientes conintensidades variables con el tiempo: Ia = Ia(t) e Ib = Ib(t).

Figura 4.33

En cualquier punto del espacio que rodea a ambos circuitos existe un campo mag-nético que será la superposición del producido por el circuito (a) y del producido porel circuito (b): ~B = ~Ba + ~Bb. Este campo define flujos magnéticos sobre las superficiesdelimitadas por los dos circuitos. En concreto, llamaremos Φa al flujo magnético que


atraviesa el circuito (a) y Φb al flujo magnético que atraviesa el circuito (b). Como elcampo ~B es la superposición de dos campos magnéticos, el flujo magnético Φa se puedeexpresar como la suma de dos flujos, el flujo magnético asociado el campo magnéticocreado por el circuito (a) a través del circuito (a) y el flujo magnético asociado el campomagnético creado por el circuito (b) a través del circuito (a), es decir, Φa = Φaa + Φab.Asimismo, el flujo magnético Φb se puede expresar como la suma de dos flujos, el flujomagnético asociado el campo magnético creado por el circuito (b) a través del circuito(b) y el flujo magnético asociado el campo magnético creado por el circuito (a) a travésdel circuito (b), es decir,Φb = Φbb + Φba.

Con un razonamiento similar al utilizado en el apartado anterior, se ve que Φaa =LaIa y Φbb = LbIb, al mismo tiempo que Φab = MabIb y Φba = MbaIa, donde La y Lbson los coeficientes de autoinducción de los circuitos (a) y (b), mientras que Mab y Mba

son los correspondientes coeficientes de inducción mutua (sus unidades son lasmismas que las de los coeficientes de autoinducción). Se puede demostrar que amboscoeficientes de inducción mutua son iguales18 por lo que a partir de ahora escribiremosM.

Las ecuaciones de corriente para los dos circuitos son ahora:

εa − LadIadt−MdIb

dt= IaRa (4.57)

y

εb − LbdIbdt−MdIa

dt= IbRb (4.58)

que son dos ecuaciones diferenciales que hay que resolver como sistema si M 6= 0. Enestas condiciones, si M 6= 0, se dice que los circuitos (a) y (b) están acoplados.Naturalmente, si alejamos un circuito del otro se dice que los circuitos (a) y (b) estánacoplados. Naturalmente, si alejamos un circuito del otro M → 0, y los circuitos sedesacoplan.

Los transformadores se basan en el acoplamiento de circuitos.

4.14. GeneradoresUn generador es un dispositivo que transforma energía de cualquier tipo en energía

eléctrica. Existen distintos tipos de generadores. Para corriente continua los más habit-uales son las pilas, quienes transforma energía química en energía eléctrica (medianteprocesos electroquímicos).

Sin embargo, centraremos aquí nuestra atención sobre el generador de corriente al-terna, el cual transforma energía de cualquier tipo (generalmente, energía mecánica) enenergía eléctrica, de forma que la f.e.m. que se genera es del tipo ε = ε0 sinωt, siendo ωla frecuencia angular o pulsación característica del generador, y ωt la fase.

18Esto puede ser llevado a cabo mediante la Fórmula de Newman que no expondremos aquí.

4.14. GENERADORES 119

Figura 4.34

Un tipo de generador de corriente alterna sencillo es el formado por una espira quegira en un campo magnético uniforme.

Si se hace girar a dicha espira, el flujo será Φ = ~B · ~S = BS cos θ, donde θ es elángulo que forma el vector inducción magnética con el vector superficie, que al girarvariará con el tiempo, es decir, θ = θ(t).

Por ello, se inducirá, de acuerdo con la Ley de la inducción, una f.e.m. según:

ε = −dΦ

dt= BS(sin θ)

dθ

dt(4.59)

Si el movimiento de rotación de la espira es uniforme, entonces θ = ωt y dϑ/dt = ω,por lo que, ε = BSω sinωt = ε0 sinωt, siendo ε0 la f.e.m. máxima que vendrá dadapor ε0 = BSω. Si el sistema tiene N espiras, las ecuaciones son similares salvo queε0 = NBSω, ya que habría que sumar cada una de las f.e.m. inducidas en cada de unade las espiras que giran a la vez.

En consecuencia, si la espira o conjunto de espiras se mueve con velocidad angularconstante se genera una f.e.m. alterna, por ello, el dispositivo anterior será un gener-ador de corriente alterna o alternador. En caso contrario, se producirá unacorriente variable con el tiempo pero no será alterna.

Capítulo 5

Introducción a la Física Moderna

5.1. Relatividad en Mecánica Clásica

5.1.1. Introducción

Se define sistema de referencia inercial como aquél según el cual se cumple el princi-pio de inercia. Esta definición es básica en Mecánica e introduce una clasificación de lossistemas de referencia.

Los postulados de la relatividad en Mecánica Clásica son lo siguientes:

1. La trayectoria y la velocidad son relativas, es decir, dependen del observador.

2. El tiempo es absoluto para todos los observadores: es un invariante para losdistintos sistemas de referencia.

Principio de relatividad de Galileo: “Es imposible distinguir si un sistema dereferencia está en reposo o si se mueve con movimiento rectilíneo uniforme”, o bien “Lasleyes físicas1 son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales”

5.1.2. Transformación de Galileo

Se define suceso como un elemento del conjunto de cuaternas integradas por las trescoordenadas del espacio (x, y, z) y la variable temporal t, esto es, (x, y, z, t). Consid-eremos un suceso visto por dos sistemas de referencia R y R′, uno de los cuales, porejemplo R′ se mueve con velocidad va respecto del otro R. Consideremos también queun determinado suceso es descrito por (x, y, z, t) por R y por (x′, y′, z′, t′) por R′.

Entonces, entre las dos descripciones se verifica:

1Aunque se habla de las leyes físicas, en sentido estricto, debería hablarse de las leyes de la mecánica,por cuanto, como luego se verá, ésta es la principal dificultad que presenta la transformación de Galileo,que no es válida para las Leyes de la Electrodinámica, y aunque sí para las de la mecánica Clásica.

121

122 CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA

Figura 5.1

t = t′

z = z′

y = y′

x = x′ + vat′

(5.1)

o bien t′ = tz′ = zy′ = y

x′ = x− vat

(5.2)

Estas ecuaciones que relacionan las medidas hechas por O y O′ son conocidas comoTransformación de Galileo2

5.1.3. Consecuencias de la Transformación de Galileo

La longitud es un invariante

En efecto, consideremos la siguiente situación representada en la figura. Supon-dremos como antes que O y O’ ajustan los cronómetros cuando coinciden. En ella,la línea con trazo grueso representa una barra cuya longitud es medida desde los dossistemas de referencia. Según R, la longitud es: l = x2 − x1, y según R′ la longitud serál′ = x′2 − x′1 = (x2 − vat− (x1 − vat = x2 − x1 = l, de acuerdo con el enunciado3.

2La demostración de estas ecuaciones puede hacerse de forma muy sencilla mediante vectores,suponiendo que a tiempo t = 0, los dos sistemas de referencia coinciden.

3Para llegar a esta conclusión se ha hecho uso de la transformación de Galileo, es decir, x′2 = x2−vat,

y x′1 = x1− vat.

5.2. RELATIVIDAD ESPECIAL 123

Figura 5.2

La velocidad depende del observador

En efecto, para ver esto no hay más que considerar el siguiente gráfico,

Figura 5.3

La aceleración es un invariante

En efecto, volviendo a derivar se tiene ~a = ~a′ + d~va/dt, es decir, ~a = ~a′, ya que(d~va/dt) = 0, pues ~va = cte. La 2a ley de Newton es válida en todos los sistemas dereferencia inerciales.

5.2. Relatividad Especial

5.2.1. Contradicciones de la relatividad clásica

Aparecen una serie de hechos que se oponen al Principio de relatividad clásica, y queresumidamente son los siguientes:


1. Las ecuaciones de Maxwell de la electrodinámica clásica no son invariantes a laTransformación de Galileo.

2. Se pensaba que las ecuaciones de Maxwell eran válidas sólo en el sistema en reposodel éter. Se produce la sorpresa de que experimentalmente se ve que la velocidad dela luz es un invariante, es decir, se mide igual para cualquier sistema de referencia4.

3. Otro hecho que se opone a la Relatividad Clásica es la contracción de Lorentz(contracción de una longitud vinculada a un sistema de referencia que se mueve avelocidad constante respecto al sistema del éter).

5.2.2. Postulados de Einstein

A la vista de las contradicciones que aparecen en la Relatividad Clásica, AlbertEinstein concluye que no existe el éter, y que las ecuaciones de Maxwell se cumplen paratodos los sistemas de referencia inerciales. Se rechaza, por tanto, la Transformación deGalileo, ya que se acepta que la velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas dereferencia inerciales. Así aparecen los postulados de la Relatividad Especial5.

1. La Leyes de la Física son iguales (tienen la misma forma)6 en todos los sistemasde referencia inerciales7.

2. La velocidad de la luz (en el vacío), c, es igual para todos los sistemas de referenciainerciales.

De estos postulados puede fácilmente deducirse (no lo reproduciremos) la Transfor-mación de Lorentz, que sustituirá a la Transformación de Galileo:

x′ = γ(x− vat)y′ = yz′ = z

t′ = γ(t− vax

c2

) (5.3)

siendo γ una constante que viene dada por:

γ =1√

1− v2ac2

(5.4)

4Esto es lo que se desprende del experimento de Michelson-Morley.5El Término relatividad especial o restringida se refiere a la relatividad entre sistemas de referencia

inerciales, por contraposición a la relatividad general que incluye ya sistemas de referencia no inerciales.6Para concretar este postulado se ha introducido una formulación cuadrivectorial especial, en la que

las ecuaciones adoptan una forma característica denominada forma covariante. Por ello, este postuladoexigirá que a partir de ahora todas la leyes de la física acepten una formulación covariante. De estaforma serán compatibles con estos postulados de Einstein.

7No sólo las leyes de la Mecánica como en relatividad clásica, si no también las leyes de la elec-trodinámica (las ecuaciones de Maxwell y lo que de ellas se deduce), y en general cualquier ley de laFísica.

5.2. RELATIVIDAD ESPECIAL 125

cuyo valor es γ > 1. La Transformación de Lorentz fue deducida inicialmente por Lorentzen relación a la contracción que sufren las longitudes de los cuerpos al moverse respectoal éter, pero fue Einstein quien la insertó en el nuevo marco de la llamada relatividadespecial como alternativa a la Transformación de Galileo. De hecho, si en la Transforma-ción de Lorentz se hace el límite c→∞, entonces γ → 1, y se recuperan las expresionesde la Transformación de Galileo.

De la Transformación de Lorentz también se puede obtener la Transformación develocidades, en concreto la forma que tiene es la siguiente para la componente x de lasvelocidades:

v′x =vx − va1− vxva

c2

(5.5)

de la que pueden deducirse dos consecuencias:

1. Si tomamos el límite c → ∞, entonces, fácilmente se ve que se recupera la com-posición de velocidades de la Transformación de Galileo, esto es„ v′x = vx − va.

2. Si hacemos vx = c, entonces tenemos: tiene es la siguiente para la componente xde las velocidades:

v′x =c− va1− cva

c2

=c− vac2 − cva

· c2 = c (5.6)

lo cual confirma que la transformación de Lorentz es coherente con el segundopostulado es decir, la velocidad de la luz es un invariante.

5.2.3. Consecuencias de los postulados

Contracción de la longitud

Si hacemos el mismo cálculo que antes con la relatividad clásica para la longitud deuna barra de acuerdo con la figura correspondiente, pero utilizando la Transformaciónde Lorentz, tenemos:

x′2 − x′1 = γ(x2 − vat2)− γ(x1 − vat1) (5.7)

Si t1 = t2, entonces x′2 − x′1 = γ(x2 − (x1) por lo que

x2 − x1 =1

γ(x′2 − x′1) (5.8)

es decir,

l =l′

γ(5.9)

de donde se ve claro que l < l′, lo cual quiere decir que la longitud de la barra que viajacon O′ para O se contrae según la expresión anteriormente calculada.


Dilatación del tiempo

Como t′ = γ(t − vax/c2), entonces lógicamente por simetría t = γ(t′ + vax′/c2), de

dondet2 − t1 = γ(t′2 − t′1) para x′1 = x′2 (5.10)

Se define intervalo de tiempo como la diferencia de tiempo entre dos sucesos, siendoun suceso o evento caracterizado por una cuaterna (x, y, z, t).

La situación que se deduce del análisis anterior se pude concretar de la siguienteforma: hemos considerado dos eventos no simultáneos que ocurren en el mismo lugarpara O′. Pues bien, el intervalo de tiempo entre tales eventos no es el mismo para O8.

Un proceso (lo que ocurre entre dos eventos) lleva más tiempo visto desde O quedesde O′, es decir, el proceso toma más tiempo en un cuerpo en movimiento relativo alobservador9. Ejemplo: el reloj de luz.

5.3. Relación masa-energía

5.3.1. Masa relativista

Para una partícula que se mueve con una velocidad respecto de O, se define su masarelativista de la siguiente manera:

m = γm0 = m0

(1− v2

c2

)−1/2

(5.11)

siendo m0 la llamada masa en reposo de la partícula, es decir la masa respecto a Osi la partícula estuviera en reposo relativo respecto a O. Según esto la masa aumentaal aumentar la velocidad de la partícula respecto al observador. En el límite clásico(c→∞), m ∼= m0, por lo que el término masa relativista carece de sentido.

5.3.2. Energía cinética y energía en reposo

Se puede demostrar que la energía cinética de una partícula que se mueve con unavelocidad ~v respecto de O viene dada por

Ec = (m−m0)c2 = m0c2

(1− v2

c2

)−1/2

−m0c2 (5.12)

8Quien además considera que ocurren en distinto lugar (esto se puede demostrar fácilmente calcu-lando x1 − x2 y viendo que el resultado no es nulo).

9La clave de esta segunda consecuencia reside en el hecho de que el conocimiento que un observadortiene de un suceso es através de señales ópticas (de luz) emitidas desde el mismo suceso.

5.3. RELACIÓN MASA-ENERGÍA 127

En el límite clásico (c → ∞), Ec ∼= (1/2)m0c2 coincidiendo con el resultado que

proporciona la mecánica clásica. En efecto, si se tiene en cuenta el siguiente desarrolloen serie,

m = m0

(1− v2

c2

)−1/2

= m0

(1 +

1

2

v2

c2+ · · ·

)(5.13)

de dondem−m0

∼=1

2

v2

c2m0 (5.14)

por lo que

Ec = (m−m0)c2 =1

2

v2

c2m0c

2 =1

2m0v

2 (5.15)

La expresión Ec = (m − m0)c2 nos permite definir la energía en reposo de unapartícula de la siguiente manera Ec = m0c

2.

De esta forma, la energía de una partícula sería la suma de su energía en reposo y suenergía cinética Ec = m0c

2 + (m −m0)c2 = mc2. Esta energía sería la energía total dela partícula en ausencia de energía potencial. Todo esto indica que la energía cinéticarepresenta en realidad una ganancia de masa, algo evidente desde la expresión de lamasa relativista.

5.3.3. Energía de enlace nuclear

Consideremos por ejemplo un núcleo de helio. Como es bien sabido está formado por2 neutrones y 2 protones. Un sistema constituido por estas 4 partículas (2 neutrones y2 protones) en reposo y alejadas entre sí tiene una energía dada por:

E = (2mp + 2mn)c2 (5.16)

siendo mp y mn as masas en reposo del protón y neutrón, respectivamente.

Si las 4 partículas están los suficientemente cerca para conformar un núcleo de heliola energía del sistema (núcleo de helio) sería:

E ′ = (2mp + 2mn)c2 + Ec + Ep = mHec2 (5.17)

donde Ec es la energía cinética del sistema y Ep la energía potencial, y mHe la masa enreposo efectiva del núcleo de helio. Como el núcleo de helio es un sistema ligado la sumade su energía cinética y su energía potencial debe ser negativa por lo que debe cumplirseque E ′ < E. Por ello, la resta E − E ′ = Eb debe ser la energía necesaria para que elsistema ligado (el núcleo de helio) se pase a ser un sistema libre con sus partículas compo-nentes en reposo e infinitamente alejadas, esto es, la energía de enlace del núcleo de helio.

A partir de aquí se ve claramente la relación entre la antes citada energía de enlacey las masas en reposo del núcleo de helio y del neutrón y protón:

Eb = (2mp + 2mn −mHe)c2 (5.18)


Vemos de todo esto que el proceso de fusión de protones y neutrones para dar núcleosde helio lleva aparejado un desprendimiento de energía (correspondiente a la energía deenlace) y también asociado un defecto másico (es decir, en este caso una disminución dela masa del sistema al fusionarse). Por ello, puede decirse que en las reacciones nuclearesno sólo no se conserva la masa sino que es precisamente esa variación de masa o defectomásico la que tiene que ver con la variación energética asociada al proceso nuclear10.

5.3.4. Momento y energía

El momento lineal (o cantidad de movimiento) relativista de una partícula que semueve con una velocidad ~v respecto de O vendrá dado por

~p = m~v = m0~v

(1− v2

c2

)−1/2

= γm0~v (5.19)

de donde el módulo p = γm0~v = mv, y por ello,

E

p=mc2

mv=c2

v(5.20)

Conviene destacar la importante relación siguiente:

E = c√m2

0c2 + p2 (5.21)

Se puede demostrar partiendo de la propia definición de momento p = γm0v. Enefecto, si sustituimos p en la ecuación que pretendemos demostrar tenemos:

E = c√m2

0c2 +m2

0v2γ2 = cm0

√c2 + v2

(1− v2

c2

)−1

(5.22)

es decir,

E = cm0

√c2 +

v2c2

c2 − v2= cm0

√c4 − c2v2 + c2v2

c2 − v2(5.23)

y en definitiva

E = cm0c

√1

2−(vc

)2 = m0c2γ = mc2 (5.24)

y llegamos a la expresión ya conocida de la energía de una partícula.

Como caso particular de aplicación de estas expresiones, consideremos una partículacon masa en reposo nula11. En este caso la expresión de la energía antes demostrada se

10De hecho, también en las reacciones químicas no se conserva estrictamente la masa (es decir, enrigor, no es correcta la Ley de Lavoisier) aunque las variaciones energéticas de las reacciones químicasson muy inferiores a las de las reacciones nucleares lo que hace que el defecto másico asociado a lasreacciones químicas sea despreciable.

11Ya veremos más tarde que nos estamos refiriendo a un fotón.

5.4. EFECTO FOTOELÉCTRICO 129

reduce a E = cp. Como, por otra parte, hemos visto también que Ep

= c2

v, sustituyendo

tenemos cpp

= c2

vpor lo que hay que aceptar que v = c. Es decir, sólo las partículas con

masa en reposo nula pueden viajar a la velocidad de la luz, no pudiendo estar nunca enreposo respecto de un sistema de referencia inercial.

Podemos aprovechar ahora para analizar el sentido de la expresión antes deducidaE = c

√m2

0c2 + p2. De dicha expresión se puede pensar que la energía de una partícula

proviene de dos componentes, la masa en reposo y el momento. En el caso, de queel momento sea cero sólo existe energía en reposo, mientras que si la masa en reposoes cero la energía sólo se debe al momento. En general, la energía provendrá de las doscircunstancias antes mencionadas (de la existencia de masa en reposo y momento lineal).

5.4. Efecto fotoeléctricoSupongamos una válvula en la que hemos hecho el vacío y en la que introducimos

dos placas, si se establece una diferencia de potencial y si iluminamos la placa negativa,

Figura 5.4

entonces el amperímetro marca una cierta intensidad, es decir, parece que la radiaciónluminosa libera los electrones del metal de la placa y se produce un paso de corrientepor existir el vacío. Esto es el efecto fotoeléctrico.

Este efecto es fácilmente observable y posee aplicaciones en lo que se denominacélulas fotoeléctricas. Para dar una idea de lo que realmente ocurre, diremos que, porejemplo, una placa de cobre expuesta a la luz del Sol da una intensidad de unos pocosmicroamperios. Los átomos de esa placa poseen electrones rodeándolos, y para que seliberen es necesario darles una cierta energía, energía que es comunicada por la radiaciónelectromagnética.

De acuerdo con la Teoría ondulatoria clásica de la radiación (que implica un inter-cambio continuo de energía) puede predecirse lo siguiente: Un frente de onda llegaría a


la placa y si ese frente de onda posee suficiente energía para liberar a los electrones éstospodrán escapar pero si no existe suficiente energía por el momento no habrá emisión.Para una frecuencia f dada ocurrirá lo siguiente:

1. Si iluminamos con mucha intensidad se obtendría una emisión instantánea.

2. Con una radiación poco energética pasaría un cierto tiempo hasta que la energíafuera suficiente como para liberar electrones: en tal tiempo se acumularía energía,y el tiempo antes referido sería menor al aumentar la intensidad.

3. Si la intensidad aumenta la energía cinética del electrón debería aumentar.

Precisamente, estas conclusiones no están de acuerdo con los resultados experimen-tales: si en la válvula anterior se realizan ciertas observaciones se concluye que:

1. La emisión es siempre casi instantánea, se ha llegado a constatar que el intervaloentre la radiación luminosa y la emisión es de 10−9 segundos, independientementede la intensidad de la radiación.

2. La energía cinética del electrón no depende de la intensidad del haz luminoso.

3. Para un mismo material la intensidad de corriente depende solamente de la fre-cuencia de la radiación f.

4. Existe para cada metal una frecuencia umbral f 0 de tal forma que si f = f 0 , nohay emisión fotoeléctrica. Si hacemos una representación de la intensidad I decorriente en función de la frecuencia f, se tiene:

Figura 5.5

La frecuencia umbral depende de los materiales; casi todos los metales emiten elec-trones con luz azul y ultravioleta, hay pocos que emiten con la roja. El platino emite conluz no visible. Existen combinaciones de metales que emiten con una frecuencia umbralmuy pequeña (en el infrarrojo).

5.4. EFECTO FOTOELÉCTRICO 131

Explicación de lo resultados experimentales

Fue propuesta por Einstein en 1905. En principio, se sabe que los electrones seencuentran ligados a la red metálica y hará falta una energía para liberarlos. LlamemosΦ a la energía de ligadura, potencial de arranque o función trabajo, y sea E la energíacomunicada al electrón, entonces:

1. Si E > Φ, el electrón sale libre con una energía cinética E c = E - Φ. Einsteinsupuso que los electrones pueden absorber energía de forma discontinua siempreuna cantidad hf.

2. Si la frecuencia es tal que hf > Φ se tiene que E c = hf - Φ.

3. Si hf < Φ, entonces E c < 0 lo cual quiere decir que no se emite fotoelectrón.

Todos los electrones no se encuentran en la misma posición, de manera que el poten-cial de arranque es diferente para distintos electrones de un mismo metal. LlamaremosΦ0 al potencial de arranque mínimo12, así, los electrones que adquieran energíacinética máxima serán los que se encuentren menos ligados siendo tal energía igual aE c,mx = hf - Φ0 . De esta forma, existirá para cada metal una frecuencia mínima para lib-erar electrones que será la que corresponda a E c,mx = 0, lo que significa que se cumplirápara cada material, hf 0 - Φ0= 0, de donde, f 0 = Φ0 / h es la frecuencia umbral.

Todo esto deducido teóricamente pudo comprobarse más tarde.

Figura 5.6

Con este aparato se liberan unos electrones que serán absorbidos por la placa positivay se crearía una corriente. Ahora, variemos el signo del potencial

Iluminemos la placa positiva con una radiación de frecuencia f, entonces si ∆V = 0(siendo ∆V la diferencia de potencial del generador), los electrones llegaría a la placa yse produciría corriente. Si ∆V es pequeña el campo eléctrico no sería capaz frenar los

12También se le conoce como función trabajo o trabajo de extracción.


Figura 5.7

electrones, pero si ponemos una ∆V tal que los electrones sean repelidos por la carganegativa ya que la energía cinética que poseen no sea mayor que la de repulsión, entoncesla intensidad de corriente es cero y se verifica E pe = E c,mx . Como E pe = e ∆V, entoncese∆V = hf - Φ0 , de donde:

∆V =h

ef − Φ0

e(5.25)

Si hacemos una representación gráfica de ∆V en función de f, se tiene:

Figura 5.8

Usaremos como unidades de energía el electrón-voltio o energía que adquiere un elec-trón al ser acelerado por una diferencia de potencial de 1 voltio (1 eV = 1,6.10−19 J ).

Conclusión

1. Lo que caracteriza a la radiación electromagnética es que se puede considerarintegrada por cuantos de energía, hf, llamados fotones.

5.5. CONCEPTO DE FOTÓN. DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO 133

2. La luz visible corresponde a un intervalo de longitudes de onda (10−6 - 10−7 m),y sus fotones poseen una energía de unos 2 eV en el rojo y unos 3 eV en el violeta.

3. No todos los fotones chocan con los electrones sino que existe una probabilidad paraque choquen; el retraso desde que chocan hasta que se liberan se debe precisamentea esto último, estadísticamente, existe un intervalo de tiempo medio para quechoquen y es ése precisamente el tiempo de retraso.

4. Si iluminamos con una luz de intensidad conocida y la dividimos entre hf seobtiene el número de fotones, y si medimos la intensidad de corriente podemosconocer el número de electrones emitidos por segundo, pudiéndose observar quedicho número es un cierto tanto por ciento del número de fotones.

5. En definitiva, la luz presenta un aspecto corpuscular estando compuesta de unaserie de partículas o fotones que son contables, que viajan a la velocidad c, yque tienen masa en reposo nula (según la relatividad especial no existe cuerpomaterial que pueda viajar a la velocidad c).

5.5. Concepto de fotón. Dualidad onda-corpúsculo

A partir de las experiencias anteriores podemos concluir:

1. La dispersión de la radiación electromagnética por un electrón libre se puede con-siderar como un choque elástico entre el electrón y una partícula de masa en reposonula.

2. La radiación electromagnética hace las veces de una partícula de masa en reposonula que llamaremos fotón.

3. La energía y el momento lineal del fotón están relacionados de la forma E = hf yp = h / λ.

El efecto Compton corrobora la hipótesis de que la radiación electromagnética estácompuesta por partículas con las anteriores características. Este hecho introduce unanueva forma de pensar: la radiación electromagnética posee un carácter ondulatorio car-acterizado por fenómenos de difracción, interferencias, etc., y un carácter corpuscularconfirmado por el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton, etc., que confirma que la ra-diación está formada por fotones.

En definitiva, la radiación electromagnética posee una doble naturaleza onda-corpúsculo,siendo tales aspectos no sólo no contradictorios sino en el fondo complementarios.

5.5.1. Dualidad onda-corpúsculo

El proceso seguido hasta ahora ha consistido en asociar a un campo electromagnéti-co, es decir, a una radiación electromagnética, una partícula especial llamada fotón que


se caracteriza por una energía E = hf y por un momento p = h / λ.

En 1924, el físico De Broglie propuso el proceso inverso, es decir, que a toda partícu-la definida por una energía E y un momento p se le asocie un campo ondulatorio quellamaremos campo de materia caracterizado por una longitud de onda λ= h / p yuna frecuencia f = E / h.

Introduciendo el número de onda k = (2π) / λ y la frecuencia angular ω = 2πf,pueden escribirse las relaciones anteriores de la siguiente forma:

p =h

2πk ⇒ p = ~k y E =

h

2πω ⇒ E = ~ω (5.26)

siendo ~ = h/(2π) = 1, 0544 · 10−34J · s.

Se suele definir el vector ~k como un vector cuyo módulo es k = (2π) / λ y cuyadirección y sentido es el del momento lineal por lo que una de las anteriores expresionesadquiere ahora la forma ~p = ~~k.

Si estas suposiciones son correctas es lógico esperar en el campo asociado al movimien-to de una partícula características ondulatorias como la interferencia y la difracción.Efectivamente, esta previsión es confirmada con el fenómeno de difracción de electronesa través de un cristal.

5.6. Principio de indeterminación

De acuerdo con la hipótesis de De Broglie un cuerpo en movimiento debe tenerseen cuenta como un paquete de ondas. En ese sentido, y suponiendo que su movimientotenga lugar a lo largo del eje X, el principio de indeterminación o incertidumbre13

establece lo siguiente:

“Es imposible conocer simultáneamente y con exactitud la posición y el momentolineal de una partícula”.

En forma matemática se escribe:

∆x ·∆p ≥ h (5.27)

Para ilustrar este principio, consideremos la siguiente situación experimental. Supong-amos que queremos determinar la coordenada x de una partícula observando si la mismapasa o no por un agujero de ancho b en un pantalla. La precisión con que conoceremosla posición de la partícula estará limitada por el tamaño del agujero: ∆x ≈ b. Peroel agujero perturba la onda asociada ya que tiene lugar un fenómeno de difracción. La

13Fue establecido por Heisenberg.

5.7. TIPOS DE RADIACIONES NUCLEARES 135

Figura 5.9

indeterminación en el momento lineal de la partícula está determinada por el ángulo cor-respondiente al máximo central de difracción. De acuerdo con la teoría de la difración,este ángulo viene dado por sin θ = λ/b, por lo que según la Hipótesis de De Brogliep = h/λ, entonces:

∆p ≈ p · sin θ = (h/λ)(λ/b) = h/b (5.28)

es la indeterminación en el momento lineal paralelo al eje X. Por tanto,

∆x ·∆p ≈ h (5.29)

que está de acuerdo con la relación de indeterminación antes aludida. por otra parte,para reducir la indeterminación en el momento se requiere una rendija más ancha, peroentonces aumentará la indeterminación en la coordenada x de la partícula.

El principio de indeterminación nos obligará a prescindir del concepto clásico detrayectoria, en particular, en el estudio de la estructura atómica deberemos abandonarla idea de órbita electrónica, debiendo ésta ser sustituida por la de orbital, que supondrála región del espacio donde es máxima la probabilidad de encontrar al electrón.

5.7. Tipos de radiaciones nucleares

En 1896 Becherel descubrió que la pechblenda (mineral de uranio) impresionaba pla-cas fotográficas en ausencia de luz solar. Los esposos Curie descubrieron posteriormenteotros elementos a los que llamaron polonio y radio que radiaban más intensamente quela pechblenda.

En 1899, Rutherford identificó tres tipos de radiaciones:


Los rayos α que eran simples partículas con carga eléctrica positiva que resultaronser núcleos de Helio.

Las rayos β que fueron identificados por Becherel como rayos catódicos resultandoser electrones.

En 1900, se descubrió otro tipo de radiación, la radiación γ, que resultó ser ra-diación electromagnética de más energía que los rayos X.

Con ayuda de la radioactividad natural (rayos α, rayos β y rayos γ), se llevarona cabo experimentos para conseguir penetrar en la estructura del átomo llegando a laconclusión Rutherford (y sus ayudantes Soddy y Geiger) que el átomo consistía en unnúcleo muy pequeño en que se encuentra casi toda la masa concentrada y que contieneun número Z de protones (llamado número atómico) y electrones con cargas negati-vas girando alrededor del núcleo. Posteriormente se descubrió que en el núcleo existíatambién otra partícula llamada neutrón (Chadwick en 1932), pudiendo existir elementoscon igual número de protones y distinto número de neutrones a los que se llamó isótopos.

La conclusión de todo esto es que la radiactividad es una propiedad intrínseca delos núcleos atómicos. Proviene de la desintegración de los núcleos en su búsqueda desituaciones más estables.

5.7.1. Leyes de Soddy-Fajans

1. Cuando un núcleo X emite una partícula α, se convierte en otro núcleo Y cuyonúmero másico es 4 unidades menor y cuyo número atómico es dos unidades menor:

AZX →A−4

Z−2 Y + α (5.30)

2. Cuando un núcleo X emite una partícula β se convierte en otro núcleo Y cuyonúmero másico es el mismo pero cuyo número atómico es una unidad mayor:

AZX →A

Z+1 Y + β (5.31)

Dado que las partículas β no están en el núcleo, surge la duda de su procedencia.En 1930, Pauli propuso la explicación de que lo que realmente ocurre es que unneutrón nuclear se descompone en un protón y un electrón, emitiéndose ademásuna partícula sin carga y con pequeña masa a la que llamó antineutrino (la in-troducción de esta partícula era necesaria para que no se violasen las leyes deconservación):

10n→1

1 p+0−1 e+ ν (5.32)

La existencia de esta última partícula ha sido experimentalmente confirmada de-spués.

5.8. DESINTEGRACIÓN NUCLEAR 137

3. Cuando un núcleo emite radiación γ altera su contenido energético pero no cambiael número de sus nucleones. Los núcleos al igual que los átomos también tienenniveles nucleares de energía y se producen tránsitos por absorción o emisión defotones de alta energía. Cuando se producen absorción los núcleos puede pasar aun estado excitado que al pasar al estado fundamental reemite el fotón de altaenergía (radiación γ).

5.8. Desintegración nuclearUna muestra de material radiactivo compuesta inicialmente de N0 núcleos evolu-

cionará en el sentido de disminuir el citado número de núcleos radiactivos. Experi-mentalmente, se sabe que la velocidad de desaparición de los núcleos radiactivos esproporcional al número de núcleos radiactivos que quedan si desintegrar:

−dNdt

= λN (5.33)

siendo la constante de proporcionalidad λ (llamada constante de desintegración) unacaracterística del núcleo radiactivo que tiene que ver con la probabilidad por unidad detiempo de que un núcleo se desintegre.

Si queremos saber la cantidad de núcleos que permanecen sin desintegrar en cualquierinstante procederemos a integrar la anterior ecuación diferencial:∫ N

N0

dN

N= −λ

∫ t

0

dt (5.34)

de donde se obtienelnN

N0

= −λ · t (5.35)

ecuación que en forma exponencial queda

N = N0 · e−λ·t (5.36)

En definitiva el número de núcleos disminuye de forma exponencial con el tiempo.

Se define periodo de semidesintegración o semivida (t1/2) como el tiempo enque una muestra radiactiva pasa a tener la mitad de sus núcleos radiactivos respecto alos que tenía inicialmente. Para obtener su expresión sustituimos en ln N

N0= −λ · t, N

por N/2 y t por t1/2, obteniéndose

lnN0/2

N0

= λ · t1/2 (5.37)

por lo que

t1/2 =ln 2

λ(5.38)


Se define vida media (τ) como el tiempo promedio de vida de los núcleos radiactivospresentes. Se puede demostrar que su valor es

τ =1

λ(5.39)

La actividad de una muestra radiactiva que contiene N núcleos radiactivos es defini-da como la velocidad de desaparición de núcleos en valor absoluto:∣∣∣∣dNdt

∣∣∣∣ = λ ·N = λ ·N0 · e−λ·t (5.40)

La unidad de actividad es el Becquerel (Bq) que se define como la actividad de unasustancia en la que se desintegra un núcleo por segundo. Muy utilizada es también elcurie(Ci) que se define como la actividad de una sustancia en la cual se desintegran3,7.10 10 núcleos por segundo14.

5.9. Partículas elementales

En principio, la idea de partícula elemental parece estar referida a los constituyentesúltimos de la materia. Sobre esto, las cosas han ido cambiando así como las ideas ypuntos de vista sobre cómo abordar todo esto.

Según las ideas actuales se pueden establecer tres tipos de partículas elementales:

1. Leptones (partículas ligeras), sometidas a la interacción débil. Son el e−, µ−, τ−,νe,νµ y ντ , es decir, el electrón, muon y taón con sus correspondientes neutrinosasociados por procesos como el de la desintegración β: n→ e− + p+ + νe.

2. Hadrones sometidas a la interacción nuclear. Pueden ser bariones (partículas pe-sadas) como el protón, neutrón, etc., o mesones (partículas de masa intermedia).Los hadrones parecen estar constituidos por partículas más pequeñas llamadasquarks.

3. Partículas que transportan la interacción:

a) Fotones: Asociados a la interacción electromagnética.

b) Gravitones: Asociados a la interacción gravitatoria.

c) Gluones: Asociados a la interacción cromodinámica (interacción entre losquarks).

d) Partículas W (Bosones débiles): Asociados a la interacción débil.

14Esta tasa de desintegración equivale a la actividad de un gramo de Radio.

5.10. INTERACCIONES FUNDAMENTALES 139

Los quarks son los constituyentes de los hadrones, y están sujetos a la interaccióncromodinámica o interacción fuerte. Existen quarks de distintos tipos, y se pueden clasi-ficar respecto a su sabor: up, down, strange, charmed, bottom, y top; así como respectoa su color rojo, verde y azul15.

Así un protón está constituido por 2d y 1u: ddu. Como d tiene una carga 2e/3 y u-1e/3 la carga del protón es e.

Por otra parte un neutrón es uud, por lo que su carga es 2e/3 + 2(-1e/3) = 0.

La interacción nuclear (la que mantiene unidos a protones y neutrones dentro deun núcleo) debe entenderse de forma similar a la interacción de Van der Waals entremoléculas (consecuencia de interacciones electromagnéticas entre dipolos transitoriosy/o permanentes), pero referida en este caso a la interacción cromodinámica entre losquarks que constituyen los citados nucleones. Por esta razón es también de corto alcance.

5.10. Interacciones fundamentalesEn la actualidad, las interacciones entre las partículas se reduce a cuatro interac-

ciones fundamentales: la interacción gravitatoria , la interacción electromagnéti-ca , la interacción débil y la interacción fuerte .

La interacción gravitatoria se da entre todas las partículas y está descrita por laley de la gravitación universal de Newton. Con ella explicamos la caída de los cuerposa la superficie terrestre o el movimiento de los astros. Es la interacción menos inten-sa aunque su alcance es incluso a muy grandes distancias. El parámetro de partículaasociado a esta interacción es la masa gravitatoria también llamada masa pesante .Desde el puntos de vista cuántico la partícula que transporta la interacción gravitatoriaes el gravitón .

La interacción electromagnética se da entre las partículas cargadas eléctrica-mente. Su alcance es muy grande aunque menor que el alcance de la interacción grav-itatoria. Viene descrita por las ecuaciones de Maxwell, que unifican la electricidad, elmagnetismo y la óptica. Además es responsable de la estructura atómica y molecular.Las fuerzas intermoleculares son interacciones electromagnéticas residuales (de cortoalcance). El parámetro de partícula es la carga eléctrica . Desde el puntos de vistacuántico la partícula que transporta la interacción electromagnética es el fotón .

La interacción fuerte (conocida también como interacción cromodinámica)es la interacción entre los quarks (constituyentes de los hadrones, es decir, mesones ybariones). Es la más intensa de las 4 interacciones. La interacción entre los hadrones

15Por supuesto sabor y color no deben ser entendidos desde el punto de vista habitual, sino comodenominaciones de parámetros similares a lo que representan masa gravitatoria, carga eléctrica, etc. Dehecho la interacción cromodinámica (de ahí su palabra) es una interacción entre colores.


(interacción nuclear) es la interacción cromodinámica residual (al igual que las fuerzasintermoleculares). Por ello, la interacción nuclear es de muy corto alcance (se anula paradistancias superiores a 10−15 m), pero explica la estabilidad de los núcleos atómicos,cuyos constituyentes no pueden estar unidos por fuerzas electromagnéticas. El parámetrode partícula (quark) es el color . Desde el puntos de vista cuántico la partículas quetransportan la interacción cromodinámica son los gluones .

La interacción débil es la que explica procesos como la desintegración β, en laque un neutrón se transforma en un protón, y en las transformaciones entre leptones,como la desintegración de taón. Analizada más en detalle la desintegración β en la queel neutrón cuya composición en quark es udd emite un electrón y un antineutrino y seconvierte en un protón cuya composición es uud, el proceso empieza cuando un quark demite un bosón virtual W − virtual y se convierte en un quark u y a continuación el W −

se desintegra en un electrón y un antineutrino. Existen otros procesos en los que estánimplicados los bosones W +, W −, y Z o que son las partículas transportadoras de lainteracción débil. La interacción débil es más intensa que la gravitatoria pero menos quela electromagnética.

Uno de los aspectos que en el desarrollo teórico de la física ha sido un objetivo per-manente es todo lo que tiene que ver con las teorías de unificación . De hecho, esecamino ha sido llevado a cabo en diferentes fases. Por un lado, la teoría de gravitaciónde Newton vino a establecer que la interacción por la que la Tierra atrae a los cuerpos esde la misma naturaleza que las interacciones entre los astros del Universo. Por otro lado,Maxwell unificó la electricidad, el magnetismo y la óptica. En 1979, Glashow, Salam yWeinberg recibieron el premio nobel por su teoría de la unificación electrodébil .

La teoría de la gran unificación unifica la fuerza electrodébil con la interacción fuerteen un única interacción llamada fuerte-electrodébil . No está suficientemente contrasta-da desde el punto de vista experimental pero parece ser (hay indicios) que a altas energíasse puede dar esta integración.

Se especula con la idea de supergravedad que unificaría todas las interacciones enun única fuerza. Así, con una única fuerza podríamos explicar todos los fenómenos deluniverso.

Apéndice A

Problemas de Gravitación

1. Una partícula de masa 1 kg se la hace girar mediante un hilo con un periodo de 10s. Determinar el radio de la circunferencia descrita por la masa cuando la tensióndel hilo es de 10 N. Suponer que no actúa la gravedad.

2. El momento angular de una partícula es constante. ¿Qué podemos decir de lasfuerzas que actúan sobre ella?

3. Una piedra de 1 kg de masa está atada en el extremo de una cuerda de 1 mde longitud. La tensión de ruptura de la cuerda es de 500 N. La piedra giradescribiendo una circunferencia sobre un tablero horizontal sin rozamiento. Elotro extremo de la cuerda se mantiene fijo. Hallar la máxima velocidad que puedealcanzar la piedra sin que se rompa la cuerda.

Figura A.1

4. Un satélite artificial describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra. La distanciade mayor separación es 4 veces la de menor separación, es decir, AT = 4CT.Supóngase que la velocidad en C es de 1600 km/hr. ¿Cuál es la velocidad en A?

5. La distancia media Tierra-Sol es 1,5.10 8 km. Calcular la masa del Sol. Datos: G= 6,67.10−11 en unidades SI.

6. El periodo orbital de la Luna es de 28 días terrestres y el radio de su órbita, supues-ta circular, vale 384000 km. Calcular la masa terrestre. Datos: G = 6,67.10−11 enunidades SI.

141

142 APÉNDICE A. PROBLEMAS DE GRAVITACIÓN

7. Un cuerpo tiene una masa m. Si se traslada a la superficie de un planeta con unamasa 10 veces inferior a la de la Tierra pero de igual radio, ¿Cuál será la fuerzacon que es atraído?

8. Júpiter tiene una densidad de media de 1340 kg/m3 y un radio medio de 71800km. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Júpiter? Datos:G = 6,67.10−11 en unidades SI.

9. Un péndulo simple está constituido por una esfera de 10 kg de masa y un hilo de1 m de longitud. Calcúlese:

a) El trabajo necesario para trasladar el péndulo de la posición vertical a lahorizontal.

b) La velocidad de la esfera en el instante en que la esfera pasa por la posiciónmás baja si se le abandona cuando el hilo está dispuesto horizontalmente.

c) El periodo si se le deja oscilar con pequeñas oscilaciones.

10. Tenemos cuatro partículas iguales de 2 kg de masa en los vértices de un cuadradode 1 m de lado. (Dato: G = 6,67.10−11 en unidades SI). Determine:

a) El campo gravitatorio en el centro del cuadrado.

b) El módulo de la fuerza gravitatoria que experimenta cada partícula debido ala presencia de las otras tres.

c) La energía potencial gravitatoria de una partícula debida a las otras tres.

11. Tres partículas de masa 2 kg, 2 kg y 6 kg se hallan en los puntos (0,0), (30,0)y (0,20), respectivamente. Halla la intensidad del campo gravitatorio en el punto(20,20). Halla asimismo la energía potencial gravitatoria del sistema. Supóngaseque las coordenadas están expresadas en el S.I. Dato: G = 6,67.10−11 en unidadesSI).

12. La Luna se encuentra a 3,84.10 8 m de la Tierra. La masa de la Luna es de7,35.10 22 kg y la de la Tierra de 5,98.10 24 kg. (Dato: G = 6,67.10−11 en unidadesSI.). Calcula:

a) la energía potencial gravitatoria de la Luna debida a la presencia de la Tierra,

b) a qué distancia de la Tierra se cancelan las fuerzas gravitatorias de la Lunay la Tierra sobre un objeto allí situado, y

c) el periodo de giro de la Luna alrededor de la Tierra.

13. Calcular el trabajo necesario para elevar un cuerpo de 10 kg de masa, desde lasuperficie terrestre hasta una altura de 20.000 Km de su centro. Masa terrestre =5,98.10 24 Kg. Radio terrestre = 6370 Km.

143

14. Un satélite de masa 100 kg está situado en una órbita geoestacionaria (es decir, enla que el satélite permanece siempre fijo sobre la vertical de un punto del ecuador).Calcular el radio de la órbita y la energía total del satélite. Masa terrestre =5,98.10 24 kg. Datos: G = 6,67.10−11 en unidades SI.

15. Un satélite gira alrededor de la Tierra en una órbita circular. Tras perder ciertaenergía continúa girando en otra órbita circular cuyo radio es la mitad que eloriginal. ¿Cuál es su nueva energía cinética (relativa a la energía cinética inicial)?

16. Un satélite de 2000 kg de masa gira alrededor de la Tierra en una órbita circularde 7000 km de radio. (Suponga el radio de la Tierra igual a 6370 km, su masa5,98.10 24 kg). Calcule los siguientes parámetros del satélite:

a) el módulo de su aceleración,b) el periodo de giro, yc) su energía cinética y potencial.

17. Calcular el periodo de revolución y la energía total de un satélite artificial de 100kg situado en una órbita circular terrestre a 300 km de altura sobre la superficie.Masa terrestre = 5,98.10 24 Kg. Radio terrestre = 6370 Km.

18. ¿Qué relación hay entre la velocidad de escape desde una distancia r del centro dela Tierra y la velocidad de un satélite que realiza un movimiento circular de radior alrededor de la Tierra?

19. Un satélite de masa m se desplaza en torno de un planeta de masa M en una órbitacircular de radio R. Calcula la velocidad del satélite. Comprueba que la energíamecánica es numéricamente igual a la mitad de su energía potencial.

20. Un satélite de 1000 kg de masa gira en una órbita geoestacionaria, o sea, de formaque su vertical pasa por el mismo punto de la superficie terrestre. (Datos: G =6,67.10−11 en unidades SI, y Masa terrestre = 5,98.10 24 Kg.). Calcule:

a) Su velocidad angular.b) Su energía.c) Si, por los motivos que fuera, perdiera el 10% de su energía, ¿cuál sería su

nuevo radio de giro?

21. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad a una distancia de la superficie terrestreigual al doble del radio de la Tierra, sabiendo que en la superficie vale 9,8 m/s2?

22. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra conuna velocidad de 4000 m/s. Calcular la altura máxima que alcanzará. Radio de laTierra = 6400 km.

23. Se dispara un cohete verticalmente desde la superficie terrestre alcanzando unaaltura máxima igual a 4 veces el radio de la Tierra. ¿Con qué velocidad se disparó?Radio de la Tierra = 6400 km.


24. La masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna. Encuentra dos puntos en la líneaque une a la Tierra con la Luna, en donde la atracción de la Tierra sobre un objetocualquiera es igual a la de la Luna. Radio terrestre = 6370 Km.

25. En la superficie de un planeta de 1000 km de radio la aceleración de la gravedades de 2 m/s2

, Calcule:

a) la energía potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa situado en lasuperficie del planeta,

b) la velocidad de escape desde la superficie del planeta, y

c) la masa del planeta, sabiendo que G = 6,67.10−11 en unidades SI.

26. La Luna posee una masa de 7,35.10 22 kg y un radio de 1,74.10 6 m. Un satélitede 5000 kg gira a su alrededor a lo largo de una circunferencia con un radio iguala 5 veces el radio de la Luna. (Datos: G = 6,67.10−11 en unidades SI.). Calcula:

a) el período de giro del satélite,

b) la energía total del satélite, y

c) la velocidad de escape de la Luna.

27. Un satélite se lanza en una dirección paralela a la superficie de la Tierra conuna velocidad de 36000 km/hr desde una altura de 500 km. Determina la alturamáxima alcanzada por el satélite. (Dato: Radio de la Tierra = 6370 km).

28. Sabiendo que la masa aproximada de la Luna es 6, 7 · 1022kg y su radio 16 ·105metros. Calcular:

a) La distancia que recorrerá en un segundo un cuerpo que se deja caer con unavelocidad inicial nula en un punto próximo a la superficie de la Luna.

b) El período de oscilación, en la superficie lunar, de un péndulo cuyo períodoen la Tierra es de 1s.

(Dato: G =6,67.10−11 en unidades SI.).

29. ¿Donde tendrá más masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? ¿Dondepesará más?

30. Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con un período de 27 días, auna distancia de 3, 8 · 1028m, calcular:

a) la masa de la Tierra;

b) ¿Cuánta energía se necesita para separar, una distancia infinita, la Luna dela Tierra, si la masa de la Luna es ML = 7, 34 · 1022kg?

Dato: Radio Tierra = 6.400 km.

145

31. Un satélite de 2000 kg de masa gira alrededor de la Tierra con una órbita circularde radio 6, 6 · 106m. El radio medio de la Tierra es 6, 4 · 106 m.

a) Determinar el período del satélite.

b) ¿Cuál es la energía total mínima que debe aplicarse al satélite para llevarloa una distancia "infinita" de la Tierra?

32. Cuando se envía un satélite a la Luna se le sitúa en una órbita que corta la rectaque une los centros de la Tierra y Luna por el punto en que las dos fuerzas quesufre el satélite por la atracción de ambos astros son iguales. Cuando el satélite seencuentra en este punto, calcular:

a) La distancia a la que está del centro de Tierra y

b) la relación entre las energías potenciales del satélite, debidas a la Tierra y ala Luna.

Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna y la distancia del centro dela Tierra al de la Luna es de 384 · 106m.

33. La Luna tiene una masa aproximada de 6, 7 · 1022kg y su radio es de 16 · 105 m.Hallar:

a) La distancia que recorrerá en 5 segundos un cuerpo que cae libremente en laproximidad de su superficie.

b) El período de oscilación en la superficie lunar de un péndulo cuyo período enla Tierra es de 2 segundos.

(Dato: G =6,67.10−11 en unidades SI.).

34. Un satélite de telecomunicaciones de 1000 kg describe órbitas circulares alrededorde la Tierra con un periodo de 90 min. Calcular

a) la altura a que se encuentra sobre la tierra

b) su energía total


35. Los NOAA son una familia de satélites meteorológicos norteamericanos que orbitanla tierra pasando por los polos, con un periodo aproximado de 5 horas. Calcular :

a) la altura a la que orbitan sobre la superficie de la Tierra

b) la velocidad con que lo hacen.


36. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una alturade 3.815 km. Calcular:


a) la velocidad de traslación del satélite,

b) su periodo de revolución.


37. La nave espacial Cassini-Huygens se encuentra orbitando alrededor de Saturno enuna misión para estudiar este planeta y su entorno. La misión llegó a Saturno enel verano de 2004 y concluirá en 2008 después de que la nave complete un totalde 74 órbitas de formas diferentes. La masa de Saturno es de 5684, 6 · 1023kg y lamasa de la nave es de 6000 kg. (Dato: G =6,67.10−11 en unidades SI.)

a) Si la nave se encuentra en una órbita elíptica cuyo periastro (punto de laórbita más cercano al astro) está a 498970 km de Saturno y cuyo apoastro(punto más alejado) está a 9081700 km, calcule la velocidad orbital de lanave cuando pasa por el apoastro. (Utilice el principio de conservación de laenergía y la 2a ley de Kepler.)

b) Calcule la energía que hay que proporcionar a la nave para que salte de unaórbita circular de 4,5 millones de km de radio a otra órbita circular de 5millones de km de radio.

c) Cuando la nave pasa a 1270 km de la superficie de Titán (la luna más grandede Saturno, con un radio de 2575 km y 1345 · 1020kg de masa), se libera deella la sonda Huygens. Calcule la aceleración a que se ve sometida la sondaen el punto en que se desprende de la nave y empieza a caer hacia Titán.(Considere sólo la influencia gravitatoria de Titán.)

Apéndice B

Problemas de Vibraciones y Ondas

1. Una partícula de 2 kg de masa está sujeta al extremo de un muelle y se mueve deacuerdo con la ecuación x(t) = 2 cos(10t) expresada en unidades S.I. Calcula lassiguientes magnitudes:

a) El período del movimiento,

b) la constante de fuerza (cociente entre la fuerza y el desplazamiento) de lafuerza que actúa sobre la partícula, y

c) la energía total de la partícula.

2. Un cuerpo de 1 g de masa oscila con un periodo de π s y amplitud 4 cm. Lafase inicial es de π / 4 rad. Determinar las energías cinética y potencial cuando laelongación sea 1 cm.

3. Si la aceleración en un movimiento es ax = −(1/4)x, cuánto vale su periodo.

4. La ecuación de un oscilador armónico es x = 6 sin πt expresado en unidades S.I.Calcular el periodo, la frecuencia y la amplitud. ¿Qué velocidad llevará el osciladoren el instante t = 0,25 s. Si su masa es 0,25 kg, ¿cuál será entonces su energíacinética? ¿En qué instante alcanzará la separación máxima por primera vez?

5. Un partícula material de 10 g de masa describe un m.a.s. de amplitud 5 cm y encada segundo realiza media vibración. Escribe la ecuación del movimiento. Calculalos valores de la elongación para los cuales la velocidad es máxima. Calcula losvalores de la elongación para los cuales la aceleración es nula. Escribe la expresiónde la fuerza.

6. En un lugar de la Tierra, un péndulo de 1 m de longitud tiene un periodo de 2 s,¿cuánto vale la gravedad en dicho lugar?

7. La energía de un oscilador de 20 g es de 0,6 J y su velocidad es de 2 m/s cuando suelongación es de 1 m. ¿Cuáles son la amplitud y la frecuencia de su movimiento?

8. Una onda se propaga por una cuerda de acuerdo con la ecuación y(x, t) = 0, 2 sin(100t−4x) en unidades S.I. Determina:

147

148 APÉNDICE B. PROBLEMAS DE VIBRACIONES Y ONDAS

a) El periodo y la longitud de onda

b) La velocidad de propagación de la onda en la cuerda.

c) La velocidad del punto x = 2 m en el instante t = 10 s.

9. Indica cuáles de los siguientes tipos de ondas son transversales y cuáles son longi-tudinales: ondas en una cuerda, sonido, luz, rayos X.

10. ¿Cuáles de las siguientes ondas pueden propagarse en el vacío: luz, rayos X, ultra-sonidos, microondas?

11. ¿Con qué longitud de onda emite una emisora que utiliza una frecuencia de 92MHz?

12. La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es y(x, t) =0, 001 sin(314t+62, 8x), escrita en el S.I. de unidades. ¿En qué sentido se mueve laonda? ¿Cuál es su velocidad? ¿Cuál es su longitud de onda, frecuencia y periodo?¿Cuál es el desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda?

13. Un punto está sometido a un movimiento de vibración y = 5 sen 2π (2t - 10−3 x).El tiempo se mide en segundos y la longitud de onda en metros. Determina:

a) Amplitud.

b) Frecuencia.

c) Longitud de onda.

d) Velocidad de propagación.

14. En una cuerda se propaga una onda periódica transversal cuya ecuación en unidadesen S.I. es y = 0,4 sen 2π(50t - 0,2x).

a) ¿Cuánto valen el periodo de la vibración que se propaga, la longitud de onday la velocidad de propagación?

b) ¿Cuál será la elongación del punto x = 2,5 m en el instante en que la elon-gación del foco toma su valor máximo positivo?

15. Se forman ondas estacionarias en una cuerda de 3 m de longitud. Ambos extremosde la cuerda están fijos. ¿Cuáles son las tres longitudes de onda más largas? Lo-calice los nodos de cada una de las ondas del apartado anterior.

16. Una onda en una cuerda viene dada por la ecuación y(x, t) = 0, 2 sin(πx) cos(100πt)men donde x está comprendido entre 0 y 6 m. Calcula:

a) La longitud de onda y la frecuencia angular de la onda.

b) El número total de nodos (incluidos los extremos).

c) La velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.

149

17. Una onda de 30 Hz se desplaza por una cuerda situada a lo largo del eje X. Laonda oscila en la dirección Z con una amplitud de 20 cm. La velocidad de las ondasen la cuerda es de 120 m/s, y la densidad lineal de ésta es de 60 g/m. Encuentra:

a) La longitud de onda.

b) La ecuación de la onda (es decir, el valor del desplazamiento en función de laposición y del tiempo).

c) La energía por unidad de longitud.

18. Una fuente sonora de 100 W de potencia emite ondas esféricas.

a) ¿Qué energía habrá emitido en una hora?

b) ¿Cuál es la intensidad sonora a 2 m de la fuente?

c) ¿Cuál es el nivel de intensidad (en decibelios) a 2 m de la fuente?

19. Una fuente sonora emite a 200 Hz en el aire. El sonido se transmite luego a unlíquido con una velocidad de propagación de 1500 m/s. Calcula:

a) la longitud de onda del sonido en el aire.

b) El periodo del sonido en el aire.

c) La longitud de onda del sonido en el líquido.

20. Una onda reduce su intensidad a la mitad después de recorrer 4 m en el medio,¿cuál es el coeficiente de absorción del medio? ¿Cuánto se reduciría la intensidaddespués de recorrer 10 m?

21. El valor de la intensidad de una onda sonora es 3.10−8 W.m−2 . Después de atrav-esar una pared de 20 cm de espesor, la intensidad se reduce a 2.10−9 W.m−2 .

a) ¿Cuál es el coeficiente de absorción de la pared para ese sonido?

b) ¿Qué espesor de pared se necesitaría para reducir el valor de la intensidad dela onda sonora a la mitad?

150 APÉNDICE B. PROBLEMAS DE VIBRACIONES Y ONDAS

Apéndice C

Problemas de Óptica

1. El índice de refración absoluto del diamante es 2,5 y el de un vidrio 1,5. Calcula:el índice de refracción del diamante respecto del vidrio, así como el ángulo límiteentre el diamante y el vidrio.

2. Cuando el ángulo de incidencia de un rayo sobre un material es de 30, el ángulo queforman los rayos reflejados y refractado es de 135. Calcular el índice de refracciónde dicho medio.

3. Ante un espejo cóncavo de 40 cm de radio y a un metro de distancia se coloca unobjeto de 8 cm de altura. Calcular la situación y tamaño de la imagen.

4. El radio de curvatura de un espejo esférico cóncavo es 1,2 m. Se sitúa un objetode 1,2 m de altura por delante de él y a 90 cm de distancia. ¿Dónde se forma laimagen? ¿Cuál es su tamaño?

5. Resuelve el problema anterior suponiendo que el espejo es convexo.

6. Se tiene una lente bicóncava con radios de curvatura de 20 y 40 cm. Su índice derefracción es de 1,8. Un objeto de 3 mm se coloca a 50 cm de la lente. Calcula:

a) La potencia óptica de la lente.

b) Dónde se forma la imagen.

c) El tamaño de la imagen.

7. Tenemos una lente biconvexa cuyas caras poseen unos radios de curvatura de 20cm. El índice de refracción de la lente es de 1,7. Determina:

a) La potencia óptica de la lente.

b) Sus distancias focales.

c) Dónde se produciría la imagen de un objeto situado a 10 cm de la lente.

8. Una lente biconvexa de 4 dioptrías está hecha de un plástico con un índice derefracción de 1,7. Calcula:

151

152 APÉNDICE C. PROBLEMAS DE ÓPTICA

a) Los radios de curvatura de la lente sabiendo que es simétrica.

b) Distancia a la que focaliza un objeto de 2 mm de tamaño situado a un metrode la lente.

c) Tamaño de la imagen producida por el objeto anterior.

9. Un objeto se coloca a una distancia de 1 m de una lente convergente cuyas distan-cias focales son de 0,5 m.

a) Calcula la potencia óptica de la lente.

b) Dibuja el diagrama de rayos.

c) Determine si la imagen es virtual o real, y derecha o invertida.

10. ¿Cuándo produce una lente convergente una imagen real y cuándo la producevirtual?

11. Se tiene una lente convergente de 4 dioptrías. ¿A qué distancia de ella hay quecolocar un objeto para obtener una imagen virtual de él de tamaño doble?

Apéndice D

Problemas de Electromagnetismo

1. Dos esferas iguales cuelgan de dos hilos de 0,1 m de longitud sujetas al mismopunto del techo. Su masa es de 0,5 g y reciben cargas iguales. Hallar el valor delas cargas si el ángulo de separación de los hilos es 60. (Dato: 1/(4πε0) = 9 · 109

en unidades S.I.)

2. Calcular las componentes cartesianas de la fuerza que actúa sobre una carga de1µC colocada en el punto (0,4), debida a la siguiente distribución de cargas pun-tuales: en (0,0) hay una carga de -3µC, en (4,0) una carga de 4µC y en (1,1)una carga de 2µC. Las distancias se miden en metros. (Dato: 1/(4πε0) = 9 · 109

en unidades S.I.)

3. Un electrón de masa m y carga e se proyecta con velocidad horizontal v en elinterior de un campo eléctrico dirigido hacia abajo de intensidad E. Hallar lascomponentes vertical y horizontal de su aceleración.

4. Dos cargas de 5 µC y 3 µC están separadas 45 cm. Determínese la ecuación dellugar geométrico de los puntos del plano que las contiene, en los que el valor de laintensidad del campo eléctrico es nulo.

Figura D.1

153

154 APÉNDICE D. PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO

5. Hallar el campo y el potencial eléctricos en el vértice M del triángulo equiláterodeterminado por las dos cargas eléctricas de la figura adjunta, así como el trabajoque se efectúa al trasladar una carga de -10pC desde M hasta N (punto mediodel lado donde se hallan las dos cargas indicadas). (Dato: 1/(4πε0) = 9 · 109 enunidades S.I.)

6. El potencial eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P, situado auna distancia L vale 1800 V. En ese mismo punto, el valor de la intensidad decampo E vale 1000 N/C. calcular el valor de q y L. (Dato: 1/(4πε0) = 9 · 109 enunidades S.I.)

7. En tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado existen cargas de 10µC cada una.(Dato: 1/(4πε0) = 9 · 109 en unidades S.I.). Calcular:

a) la intensidad del campo eléctrico en el cuarto vértice.

b) el trabajo necesario para llevar una carga negativa de 5µC desde el cuartovértice al centro del cuadrado.

8. Una carga de 2.10−5 C se encuentra en el origen y otra de - 4.10−5 C en el punto0,2 î m. (Dato: 1/(4πε0) = 9 · 109 en unidades S.I.). Calcula:

a) el módulo de la fuerza eléctrica entre ambas cargas,

b) el campo eléctrico en el punto medio entre ambas, y

c) el potencial eléctrico en el punto medio entre ambas.

9. Se tienen dos iones con carga 2 |e| y − |e| y separados una distancia de 3 Å. (Datos:1/(4πε0) = 9 · 109 en unidades S.I., y |e| = 1, 6 · 10−19C. Calcula:

a) Distancia del ion positivo a la que se anula el campo eléctrico total,

b) Distancia del ion positivo a la que se anula el potencial eléctrico total a lolargo del tramo recto comprendido entre los dos iones, y

c) Energía potencial eléctrica de los dos iones.

10. Tres cargas iguales de - 10−6 C cada una se encuentran situadas en los vérticesde un triángulo equilátero de 0,5 m de lado. (Dato: 1/(4πε0) = 9 · 109 en unidadesS.I.). Calcula:

a) el campo eléctrico en el centro del triángulo,

b) el potencial eléctrico en dicho centro, y,

c) la energía potencial eléctrica de una carga debida a las otras dos cargas.

11. Tenemos dos placas metálicas cargadas y separadas 10 cm. El campo eléctrico enla zona comprendida entre ambas placas es uniforme y de módulo igual a 200 N/C.Una partícula de 0,01 kg de masa y 10−4C de carga se suelta, con velocidad inicialnula, en la placa positiva. Determina:

155

a) el módulo de la aceleración que experimenta la partícula,

b) la diferencia de potencial eléctrico entre las placas, y

c) la energía cinética de la partícula cuando llega a la placa negativa.

12. ¿Puede existir diferencia de potencial entre los puntos de una región en que esnula la intensidad del campo eléctrico? Razónalo.

13. Analiza la validez o no de la siguiente afirmación: “si el potencial es cero en unpunto, el campo eléctrico debe también ser cero en el mismo punto”.

14. En cierta región del espacio la intensidad del campo eléctrico es constante y vale10 4 V/m. Calcula la diferencia de potencial entre los puntos A y B. Calculatambién la velocidad con que pasa por B un cuerpo de 10−4 kg que tiene unacarga negativa 1µC, que al pasar por A lleva una velocidad de 10 m/s y se dirigehacia B.

Figura D.2

15. Dos cargas eléctricas +q y -q se encuentran situadas en los puntos A y B, separadasuna distancia a. Calcular y dibujar el campo eléctrico creado por dichas cargas enlos puntos P y Q. Datos: |q|= 3µC ; a = 0,6 m, 1/(4πε0) = 9 · 109 en unidades SI.

16. El péndulo ideal de la figura tiene masa m y está cargado negativamente (-q).La lámina L produce un campo eléctrico uniforme, constante y horizontal E =200 V/m que atrae hacia ella la masa del péndulo. Se conoce que la posición deequilibrio es la de la figura. Calcule la relación entre la carga y la masa de la lentejadel péndulo.

17. Dos cargas positivas e iguales de 2.10−6 C están situadas en reposo, a 4 cm dedistancia. Desde una distancia muy grande (desde el infinito del campo creadopor esas cargas), y a lo largo de la recta OP, se lanza una tercera carga igual de2 gramos, con una velocidad suficiente para que quede en reposo en el punto Psituado en medio de las otras dos. ¿Cuánto vale esa velocidad? (Dato: 1/(4πε0) =9 · 109 en unidades S.I.)


Figura D.3

Figura D.4

18. Una esfera conductora de 0,2 m de radio posee una carga total de 0,01 C (Dato:1/(4πε0) = 9 · 109 en unidades S.I.) Obtén:

a) el campo eléctrico en un punto de la superficie,

b) el campo eléctrico en un punto del interior y,

c) el potencial eléctrico en el interior de la esfera.

19. Una esfera conductora de radio R = 20 cm. tiene una carga Q = +10 6 C. Unelectrón se encuentra en reposo a una distancia del centro de la esfera, r = 1 m.Calcular su velocidad al chocar contra la superficie de la esfera. Carga del electrón= 1,6.10−19 C. Masa del electrón = 9,1.10−31kg. (Dato: 1/(4πε0) = 9 · 109 enunidades S.I.).

20. Una esfera conductora de 10 cm de radio está conectada a dos hilos conductores.Por el primero la esfera recibe una corriente de 1,0000020 A y por el segundo sale

157

Figura D.5

una corriente de 1,0000000 A. ¿Cuánto tiempo tardará la esfera en adquirir unpotencial de 1000 V ? ¿Cuál es el signo de la carga adquirida por la esfera? (Dato:1/(4πε0) = 9 · 109 en unidades S.I.)

21. Una gota de agua salada de 2 mm de radio tiene un potencial de 300 V. (Dato:1/(4πε0) = 9 · 109 en unidades S.I.)

a) ¿Cuál es la carga de la gota?b) Si se unen dos de esa gotas para formar una sola, ¿cuál es el potencial de la

gota resultante?

22. ¿Qué distancia debe recorrer un electrón, partiendo del reposo, en un campo eléc-trico uniforme cuya intensidad E vale 280 V/cm, para adquirir una energía cinéticade 3,2.10−18 J? Carga del electrón = 1,6.10−19 C.

23. ¿Pueden cortarse dos líneas de fuerza en un campo eléctrico?

24. ¿Pueden cortarse dos superficies equipotenciales?

25. ¿Cuántos electrones deben eliminarse de un conductor esférico inicialmente descar-gado, de radio 0,2 m para producir un potencial de 200 V en la superficie? Enestas condiciones, ¿cuánto vale la intensidad del campo eléctrico en la superficie?Carga del electrón = 1,6.10−19 C. (Dato: 1/(4πε0) = 9 · 109 en unidades S.I.)

26. Tenemos dos cargas q1 = 10−8 C y q2 = 4.10−8 C separadas 3 m. (Dato:1/(4πε0) = 9 · 109 en unidades S.I.) Calcular:

a) El punto donde el campo eléctrico es nulo.b) El potencial en ese punto.c) El trabajo para llevar una carga de 1 µC desde la posición anterior hasta la

mitad de la línea entre las dos cargas.

27. Tenemos dos cargas eléctricas de igual magnitud y de signo opuesto, Q y -Q,situadas en los puntos aî y -aî , respectivamente. Determine en función de Q y dea las siguientes magnitudes:


a) el campo eléctrico en el origen,

b) el potencial eléctrico en el punto a~j, y

c) la energía mínima necesaria para separar las cargas.

28. Sean dos anillos conductores independientes y próximos. Se observa que cuandopor el primero circula una corriente variable cuya intensidad es I = 3t + 1 (dondeI se mide en amperios y t en segundos), en el segundo se induce una corriente de0,25 amperios. Si la resistencia de este anillo vale 3 ohmios, calcular el coeficientede inducción mútua de ambos circuitos.

29. En una región del espacio coexisten un campo eléctrico y un campo magnéticoperpendiculares entre sí y de intensidades E y B, respectivamente. A pesar deello, una partícula cargada con carga q, se mueve en línea recta con velocidadconstante v. Calcula su módulo, dirección y sentido.

30. Un chorro de iones de dos isótopos de masa m1 y m2 y con carga igual q, entrancon velocidad V en el seno de un campo magnético uniforme, de intensidad B,perpendicular a V. Calcular la relación de los radios de las órbitas que describeny la relación entre los respectivos periodos.

31. Dos hilos conductores rectos, infinitos y paralelos, separados una distancia 30 cm,transportan corrientes opuestas de 1 A y 2 A, respectivamente. Calcular el valorde la inducción magnética B a mitad de distancia entre ambos. ¿En qué punto delplano que contiene a ambos hilos es nulo el valor B? µ0 = 4π.10−7 N/A2 .

Figura D.6

32. ¿Puede una partícula cargada moverse en línea recta en el interior de un campomagnético constante? (Suponga que sobre la partícula sólo existe campo magnéti-co).

33. Se tiene dos corrientes eléctricas paralelas y de sentidos contrarios. ¿Se repelen ose atraen? ¿Por qué?

34. El flujo magnético que atraviesa el circuito de la figura varía según el tiempo segúnla ley Φ = 3t2 + 2t donde Φ se mide en mWb (1Wb = 1T.m2 ) y t en segundos.Las líneas de campo son perpendiculares al papel y dirigidas hacia dentro. Si la

159

resistencia vale 7 Ω, calcular la intensidad de la corriente en el circuito cuando t= 2 s, explicando por qué.

Figura D.7

35. Un haz de electrones es acelerado a través de una diferencia de potencial de 30000V, antes de entrar en un campo magnético perpendicular a la velocidad. Si el valorde la intensidad de campo es B = 10 −2 T, determinar el radio de la órbita descritapor los electrones. Carga del electrón: 1,6 ·10−19 C. Masa del electrón: 9,1 ·10−31

kg.

36. Una espira conductora rectangular, de dimensiones a = 10 cm y b = 20 cm yde resistencia R = 5 Ω, se coloca perpendicularmente a un campo magnéticode intensidad B = 5 T, según indica la figura. La magnitud de B disminuyeuniformemente, haciéndose nula en 2 segundos. Calcular la intensidad y el sentidode la corriente inducida en el circuito durante el proceso.

Figura D.8

37. Un hilo conductor recto e infinito transporta una corriente de intensidad I. A unadistancia d, una carga eléctrica q lleva una velocidad v paralela a la corriente.Calcular, justificando los pasos utilizados, la magnitud, dirección y sentido de lafuerza magnética que experimenta la carga.


38. Dos hilos conductores rectos, paralelos e indefinidos, separados por una distancia 8cm, transportan corrientes eléctricas en la misma dirección y sentido. La intensidadde la corriente en uno de ellos vale 80 A. Si la intensidad del campo magnéticocreado en un punto situado a igual distancia de ambos hilos y en su mismo planovale B = 300 µT (1µT=10−6 T), calcular la intensidad de la corriente que circulapor el otro hilo. µ0 = 4π.10−7 N/A2 (Sistema Internacional de unidades).

39. Una espira cuadrada de lado 10 cm y resistencia óhmica R = 0,1Ω se sitúa per-pendicularmente a un campo magnético uniforme, como se indica en la figura. Sila inducción magnética varía con el tiempo según la ley B = t2 - 2t (donde t semide en segundos y B en T ), calcular la intensidad y el sentido de la corrienteinducida cuando t=0 y cuando t=2s.

Figura D.9

40. Dos circuitos eléctricos próximos tienen un coeficiente de inducción mútua M =4 mH. Por uno de ellos circula una corriente variable, cuya intensidad viene dadapor I = 5 sen 100 π t, donde I se mide en amperios y t en segundos. Calcular lafuerza electromotriz inducida en el segundo circuito. Cuando la intensidad en elprimer circuito es nula, ¿cuánto vale la f.e.m. inducida en el segundo?

41. Por un conductor de 0,5 m de longitud situado en el eje de las Y pasa una corrientede 1 A en el sentido positivo del eje. Si el conductor está dentro de un campomagnético ~B = (0, 010~i+0, 030~k)T , calcular la fuerza que actúa sobre el conductor.

42. Una espira rectangular de 10 cm por 8 cm y resistencia 12 Ω se coloca perpendic-ular a un campo magnético. ¿Cómo debe cambiar B para producir una corrienteinducida de intensidad 5 mA?

43. Un protón con una velocidad de 5 · 104m/s entra en una región con un campomagnético uniforme de 0,05 T perpendicular a la velocidad del protón. (Datos:mp = 1,67.10−27 kg y e = 1,6.10−19 C ). Determina:

a) el módulo de la fuerza magnética que experimenta el protón,

161

b) el radio de curvatura de la trayectoria, y

c) el campo eléctrico que habría que aplicar para que el protón no cambiara suvelocidad.

Apéndice E

Problemas de Física Moderna

1. Una onda luminosa posee una longitud de onda de 600 nm. (Datos: h = 6, 63 ·10−34J · s, |e| = 1, 6 · 10−19C). Calcula

a) La frecuencia de la onda.

b) ¿Se produce una corriente fotoeléctrica cuando dicha onda incide sobre unmetal con una función de trabajo de 2,3 eV ?

c) El momento lineal de un fotón de dicha onda.

2. Una muestra radiactiva contenía hace 40 días 10 9 núcleos y en la actualidad posee10 8 . Calcula:

a) La constante de desintegración.

b) La vida media.

c) La actividad de la muestra dentro de una semana.

3. Una muestra contiene un total de 10 20 núcleos radiactivos con un período desemidesintegración de 27 días. Determina:

a) La constante de desintegración.

b) El número de núcleos radiactivos dentro de un año.

c) La actividad de la muestra dentro de un año.

4. El período de semidesintegración de un núcleo radiactivo es de 100 s. Una muestraque inicialmente contenía 10 9 núcleos posee en la actualidad 10 7 núcleos. Calcula:

a) La antigüedad de la muestra.

b) La vida media.

c) La actividad de la muestra dentro de 1000 s.

5. Luz de 600 nm de longitud de onda incide sobre un metal con un trabajo deextracción de 1,8 eV. (Datos: h = 6, 63 · 10−34J · s, |e| = 1, 6 · 10−19C). Encuentra:

163

164 APÉNDICE E. PROBLEMAS DE FÍSICA MODERNA

a) La frecuencia de la luz utilizada.

b) La energía de cada fotón.

c) La energía máxima de los electrones arrancados del metal por el efecto fo-toeléctrico.

6. Calcular la energía de enlace nuclear y la energía por nucléon del berilio 94Be,

sabiendo que su masa atómica es 9,01219 u. Datos: masa del protón = 1,00728 u;masa del neutrón = 1,00867 u.

7. Calcula en MeV la energía de enlace nuclear del uranio 23892 U , sabiendo que la masa

de dicho isótopo es 238,0508 u. Datos: masa del protón = 1,00728 u; masa delneutrón = 1,00867 u, |e| = 1, 6 · 10−19C).

8. El neutrino es una partícula cuya masa en reposo es nula. ¿Cuál sería su rapidezmedida por un observador? ¿Depende dicha medida de la rapidez del observador?

9. Una emisora de radio emite con una frecuencia de 1,2 MHz y una potencia de 2kW. Calcula el número de cuantos de energía que emite en un segundo. (Dato:h = 6, 63 · 10−34J · s)

10. Calcula la energía máxima y mínima de los fotones de luz visible, que abarca desde380 nm hasta 780 nm de longitud de onda. h = 6,63.10−34 J.s.

11. La superficie de un metal que se encuentra a alta temperatura emite radiación cuyomáximo corresponde a una frecuencia de 5.1014 Hz. Calcula su longitud de onda eindica si dicho máximo corresponde o no a radiación visible. Si la potencia emitidapor una determinada superficie del metal es 0,05 W, ¿cuántos fotones emite en unminuto? (Datos: h = 6, 63 · 10−34J · s así como los del problema anterior.)

12. La máxima longitud de onda con la que se produce el efecto fotoeléctrico en unmaterial fotosensible es 710 nm. (Datos: h = 6, 63 · 10−34J · s, |e| = 1, 6 · 10−19C).Calcula:

a) El trabajo de extracción.

b) La energía cinética máxima de los electrones emitidos si se disminuye la lon-gitud de onda a 500 nm.

c) El potencial de frenado necesario para detener los electrones extraídos en elapartado (b).

13. Para anular la corriente producida al iluminar una lámina de magnesio con luzde 1,2.1015 Hz, es necesario aplicar una tensión de 1,32 V. ¿Cuál es la frecuenciaumbral del metal? (Datos: h = 6, 63 · 10−34J · s, |e| = 1, 6 · 10−19C).

14. Halla la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve con 1/25 veces lavelocidad de la luz. Datos: Masa del electrón: 9,1 ·10−31 kg.(Si te hacen falta másdatos cógelos de problemas anteriores).

165

15. Sabiendo que el defecto de masa del 23892 U es 1,936395 u y el del 7

3Li es 0,042241 u,indica razonadamente cuál de ellos es más estable.

16. Cuando un núcleo de radio emite una partícula alfa se convierte en un núcleode radón. Escribe la reacción nuclear corespondiente. Calcula la energía cinéticade la partícula alfa. Comprueba que no pueden emitirse cuatro nucleones en sulugar. Datos: masa del 226

88 Ra = 226,0254 u, masa del radón = 222,0175 u, masade la partícula alfa = 4,0026 u. (Si te hacen falta más datos cógelos de problemasanteriores).

17. Sabiendo que las masas atómicas de los átomos 31H y 3

2He son 3,01697 u y 3,01798u, indica cuál de los dos es más estable, justificando la respuesta. Datos: masa delprotón = 1,00728 u; masa del neutrón = 1,00867 u.

18. Determina el defecto de masa nuclear del 168 O cuya masa nuclear es 15,99492 u.

Calcula también la energía de enlace, la energía de enlace por nucleón., expresadaen J y en MeV. Datos: masa del protón = 1,00728 u; masa del neutrón = 1,00867u, |e| = 1, 6 · 10−19C.

19. Justifique que según la ley de desintegración radiactiva el siguiente enunciado nopuede ser correcto: “Una muestra contenía hace un día el doble de núcleos que enel instante actual y hace 2 días el triple que en el instante actual.”

20. Al iluminar un cierto metal cuya función de trabajo es 4,5 eV con una fuente de10 W de potencia que emite luz de 1015Hz, no se produce el efecto fotoeléctrico.Conteste y razone si se producirá el efecto si se duplica la potencia de la fuente.(Dato: |e| = 1, 6 · 10−19C).

21. Razona si aumentará o no la energía cinética de los electrones arrancados porefecto fotoeléctrico si aumentamos la intensidad de la radiación sobre el metal.

22. Calcula la energía cinética de los electrones emitidos cuando un metal cuya funciónde trabajo es 2.3 eV se ilumina con luz de 450 nm. (Datos: h = 6, 63 · 10−34J ·s, |e| = 1, 6 · 10−19C.)

23. Una antena de telefonía móvil emite radiación de 900 MHz con una potencia de1500 W. (Dato: h = 6, 63 · 10−34J · s). Calcula:

a) La longitud de onda de la radiación emitida.

b) La intensidad de la radiación a una distancia de 50 m de la antena.

c) El número de fotones emitidos por la antena durante un segundo.

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