Примери нумеричког и симболичког рачуна

Исписивање резултата

reset()2+5;3+6,4+77

9, 11

2+5:

Израчунавање вредности израза у тачки

x^2+3*x|x=2;10

Нумерички и симболички рачун

(5-sqrt(5)^2)*exp(20);0

float((5-sqrt(5.0)^2)*exp(20));0.000000006733019634

Напомена(4-sqrt(4)^2)*exp(20);(4-sqrt(4.0)^2)*exp(20);0

0.0

Стандардна вредност наредбе DIGITS је 10

float(exp(1));2.718281828

DIGITS:=100100

float(exp(1))2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427

Стрингови

reset()"Ovo je primer jednog stringa" "Ovo je primer jednog stringa"

print(Unquoted,"Ovo je primer jednog stringa")Ovo je primer jednog stringa

Конверзија у стринг

x:=2; type(x)2

DOM_INT

y:=expr2text(x); type(y)"2"

DOM_STRING

Додељивање вредности променљивим

a:=2 2

b:=a2

delete ab2

Секвенце и листе

Секвенце и листе

Задавање секвенце, исписивање елемената секвенце, број елемената секвенце, брисање елемента секвенце

reset()sequence:= a, b, c, da, b, c, d

sequence[2]b

op(sequence, 2..3)b, c

nops(sequence)4

delete sequence[2]

sequencea, c, d

Задавање листе,исписивање елемената листе, број елемената листе, брисање елемента листе

list:= [sequence]a, c, dlist[2]c

a, c

nops(list)3

delete list[1]

listc, dDIGITS:=1010

sek:=sin(k) $ k=1..10;sin1, sin2, sin3, sin4, sin5, sin6, sin7, sin8, sin9, sin10

sekf:=float(sin(k)) $ k=1..10;0.8414709848, 0.9092974268, 0.1411200081, - 0.7568024953, - 0.9589242747, - 0.2794154982, 0.6569865987, 0.9893582466, 0.4121184852, - 0.5440211109

lista:=[sek];sin1, sin2, sin3, sin4, sin5, sin6, sin7, sin8, sin9, sin10listaf:=[sekf];0.8414709848, 0.9092974268, 0.1411200081, - 0.7568024953, - 0.9589242747, - 0.2794154982, 0.6569865987, 0.9893582466, 0.4121184852, - 0.5440211109sort(lista);sin1, sin2, sin3, sin4, sin5, sin6, sin7, sin8, sin9, sin10sort(listaf);- 0.9589242747, - 0.7568024953, - 0.5440211109, - 0.2794154982, 0.1411200081, 0.4121184852, 0.6569865987, 0.8414709848, 0.9092974268, 0.9893582466

Скупови

reset()A := {a[i] $ i = 1 .. 5};a1, a2, a3, a4, a5B := {b[i] $ i = 1 .. 10};b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10

Унија скупова

A union B;

A union B;a1, a2, a3, a4, a5, b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10Пресек скупова

A intersect B;Æ

Разлика скупова

(A union B) minus A;b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10Испитивање да ли је скп подскуп датог скупа

B subset (A union B) minus A; A subset (A union B) minus A;

TRUE

FALSE

a:=TRUE; b:=TRUE;TRUE

TRUE

Конјункција

a and b;TRUE

a and c;c

c and d;c Ù d

Дисјункција

a or b;TRUE

a or not b;TRUE

a or c;TRUE

Ексклузивна дисјункција

a xor b;FALSE

a xor not b;TRUE

a xor c;Ø c

Импликација

a ==> b;TRUE

a ==> not b;FALSE

a ==> c;c

Еквиваленција

a <=> not b;FALSE

a <=> c;

a <=> c;c

Логичке вредности израза

bool(2 < 2)FALSE

bool(2 <= 2)TRUE

Логичке вредности сложенијих израза

is((5-sqrt(5)^2)*exp(20)=0)TRUE

is(float((5-sqrt(5.0)^2)*exp(20))=0)FALSE

Конверзија израза

Конверзија скупа у листуA := {i $ i = 1 .. 5};1, 2, 3, 4, 5coerce(A, DOM_LIST)1, 2, 3, 4, 5

Конверзија израза у стринг5+x; type(5+x); coerce(5+x, DOM_STRING); type(%)x + 5

"_plus"

"x + 5"

DOM_STRING

Оптимизација израза

expand

reset()f:=(x+7)^2/((x+5)*(x-3))x + 72x - 3 x + 5expand(f)

x2 + 14 x + 49x2 + 2 x - 15

expand(%)14 x

x2 + 2 x - 15 + 49

x2 + 2 x - 15 + x2

x2 + 2 x - 15

partfrac

Представљање функције као збир парцијалних разломака.

partfrac(f)25

2 x - 3 - 12 x + 5 + 1

expand((a+b)^5)a5 + 5 a4 b + 10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5 a b4 + b5

expand(ln(a*b))lna b

assume(a>0),assume(b>0),expand(ln(a*b)) lna + lnb

assume(a<0),assume(b<0),expand(ln(a*b)) lna b

expand(log(2,8*a))log2a + 3

expand(sin(a+b))cosa sinb + cosb sina

exp(5+4*ln(a/b)), expand(exp(5+4*ln(a/b)))

e4 ln a

b+ 5

, a4 e5

b4

simplify vs Simplify

Упрошћавање израза.

reset()f:=sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x)2 cosx2 + sinx4 - 2 sinx2 - cos2 x

Наредба simplify има бржи алгоритам за упрошћавање израза.

simplify(f)sinx2 - 12Наредба Simplify има бољи алгоритам за упрошћавање израза.

Simplify(f)cosx4

simplify((a and b) or (a and not b), logic)a

sqrt(17-12*sqrt(2)); simplify(sqrt(17-12*sqrt(2)))17 - 12

2

3 - 2

2

radsimp

Упрошћавање алгебарских израза.

sqrt(17-12*sqrt(2)); radsimp(sqrt(17-12*sqrt(2)))17 - 12

2

3 - 2

2

factor

Факторисање полином над пољем реалних и комплексних бројева.

factor(x^2+1)x2 + 1

factor(x^2+1, R_)x2 + 1.0

factor(x^2+1, C_)x - 1.0 i x + 1.0 ifactor(x^2-2)x2 - 2

factor(x^2-2, R_)x + 1.414213562 x - 1.414213562factor(x^2-2, Adjoin={sqrt(2)})x -2 x +2factor(1024)210

collect

a^3*x-x+a^3; collect(a^3*x-x+a^3,x); collect(a^3*x-x+a^3,x,factor); collect(a^3*x-x+a^3,a)

a^3*x-x+a^3; collect(a^3*x-x+a^3,x); collect(a^3*x-x+a^3,x,factor); collect(a^3*x-x+a^3,a)a3 x - x + a3

a3 - 1 x + a3

a - 1 a2 + a + 1 x + a3

x + 1 a3 - x

x*y + z*x*y + y*x^2 - z*y*x^2 + x + z*x; collect(x*y + z*x*y + y*x^2 - z*y*x^2 + x + z*x,x); collect(x*y + z*x*y + y*x^2 - z*y*x^2 + x + z*x,[x,y])x + x y + x z + x2 y - x2 y z + x y z

y - y z x2 + y + z + y z + 1 x1 - z x2 y + z + 1 x y + z + 1 x

sort

Сортирање листа.

sort([-2, 1, -3, 4]); sort([-2, 1, -3, 4], (x, y) -> abs(x) < abs(y))- 3, - 2, 1, 41, - 2, - 3, 4

solve

Решавање једначина, неједначина и система једначина.

reset()solve (x^2-3*x+2=0, x)1, 2solve (x^2-3*x+2)x = 1, x = 2

Решавање једначина на задатом интервалу.

assume (x<2): solve (x^2-3*x+2=0,x)1unassume(x)

assume(x,Type::Interval(1,3)): solve (x^2-3*x+2=0)x = 2unassume(x)

solve (x^2+2*x+2)x = - 1 - i, x = - 1 + iassume(x, Type::Real):solve (x^2+2*x+2)Æ

unassume(x)

Решавање једначина са параметром.

solve (a*x^2+b*x+c=0) abcx

Î

z2, z3, z4ÎC3 z

z10

zÎCÙ z1ÎC

- z2+ z3 z4

z42

z3z2z4

È

z

000

z Î C

solve (a*x^2+b*x+c=0,x)

- b+

b2- 4 a c2 a

, - b-

b2- 4 a c2 a

if a ¹ 0- cb if a = 0 Ù b ¹ 0C if a = 0 Ù b = 0 Ù c = 0Æ if a = 0 Ù b = 0 Ù c ¹ 0

Одређивање нула полинома.

solve(x^5+x+1=0,x)

solve(x^5+x+1=0,x)- 1

2 - 3 i

2, - 1

2 + 3 i

2È RootOfX2613 - X2612 + 1, X261

numeric::fsolve(x^5+x+1=0,x)x = - 0.7548776662float(solve(x^5+x+1=0,x))- 0.7548776662, 0.8774388331 - 0.7448617666 i, - 0.5 + 0.8660254038 i, - 0.5 - 0.8660254038 i, 0.8774388331 + 0.7448617666 isolve(x^5+x+1,x,MaxDegree=5)

- 12 - 3 i

2, - 1

2 + 3 i

2, 1

3 - s1 -

19 s1, 1

18 s1 + s1

2 + 1

3 -

3

19 s1-s1

i

2, 1

18 s1 + s1

2 + 1

3 +

3

19 s1-s1

i

2

where

s1 =

2554 - 23

108

108 1

3

factor(x^5+x+1)x2 + x + 1 x3 - x2 + 1factor(x^5+x+1, C_)x + 0.7548776662 x - 0.8774388331 + 0.7448617666 i x + 0.5 - 0.8660254038 i x + 0.5 + 0.8660254038 i x - 0.8774388331 - 0.7448617666 isolve(x^3-4*x^2-1=0,x)RootOfX2703 - 4 X2702 - 1, X270

numeric::fsolve(x^3-4*x^2-1=0,x)x = 4.060647028float(solve(x^3-4*x^2-1=0,x))4.060647028, - 0.03032351378 + 0.4953247992 i, - 0.03032351378 - 0.4953247992 isolve(x^3-4*x^2-1=0,x,MaxDegree=3)

169 s1 + s1 +

43, 4

3 - s1

2 - 8

9 s1 -

3

169 s1-s1

i

2, 4

3 - s1

2 - 8

9 s1 +

3

169 s1-s1

i

2

where

s1 =

108

283108

+ 15554 1

3

factor(x^3-4*x^2-1)x3 - 4 x2 - 1

factor(x^3-4*x^2-1, C_)x - 4.060647028 x + 0.03032351378 - 0.4953247992 i x + 0.03032351378 + 0.4953247992 iРешавање система једначина.

solve({x+y+z=5,x^2-y^2,y+z=8},{x,y,z})x = - 3, y = 3, z = 5, x = - 3, y = - 3, z = 11solve({x+y+z=5,x^2-y^2,y+z=8},{x,y,z}, VectorFormat) x

yz

Î

- 335

,

- 3- 311

solve({x+y+z=5,y+z=8},{x,y,z})x = - 3, y = 8 - z1, z = z1solve({x+y+z=5,x^2-y^2,x+y+z=8})Æ

Решавање система једначина са параметром

solve({a*x+y+z=1,x+a*y+z=a,x+y+a*z=a^2},{x,y,z})x = 1 - z2 - z1, y = z2, z = z1 if a = 1x = 0, y = 1, z = 0 if a = - 1

Æ if a = - 2x = - a+ 1

a+ 2, y = 1

a+ 2, z = a2+ 2 a+ 1

a+ 2 if a ¹ - 1 Ù a ¹ 1 Ù a ¹ - 2

Комплексни бројеви

F:= solve(x^3 - 1 = 0, x)1, - 1

2 - 3 i

2, - 1

2 + 3 i

2

x1:=F[1]

x1:=F[1]1

x2:=F[2]

- 12 - 3 i

2

x3:=F[3]

- 12 + 3 i

2

Модуо комплексног броја и главна вредност аргумента комплексног броја

abs(x2), arg(x2); abs(x3), arg(x3)

1, - 2 p3

1, 2 p3

(cos(2*PI/3)+sin(2*PI/3)*I)

- 12 + 3 i

2

Представљање комплексног броја z у алгебарском облику

ln(1+I)ln1 + i

rectform(%)ln2

2 + p

4 i

Решавање једначина

a:=solve(sin(x)/x=0,x)p k k Î Z 0

is (20*PI in a)TRUE

resenja:= solve(sin(x) = (x/3), x)solve3 sinx - x = 0, x

float(resenja)0.0numeric::fsolve(sin(x) = (x/3), x)x = 0.0numeric::fsolve(sin(x) = (x/3), x,MultiSolutions)x = 0.0numeric::realroots(sin(x)-(x/3)=0,x=-3..3)- 2.279296875, - 2.2734375, - 0.005859375, 0.005859375, 2.2734375, 2.279296875float(solve(sin(x)-(x/3)=0,x=-2.3..-2.2))- 2.27886266numeric::fsolve(sin(x)-(x/3)=0,x=-2.3..-2.2)x = - 2.27886266float(solve(sin(x)-(x/3)=0,x=-0.5..0.5))0.0numeric::fsolve(sin(x)-(x/3)=0,x=-0.5..0.5)x = 0.0float(solve(sin(x)-(x/3)=0,x=2.2..2.3))2.27886266numeric::fsolve(sin(x)-(x/3)=0,x=2.2..2.3)x = 2.27886266

Решавање неједначина.

S:=solve(sin(x) > 0, x, Real)kÎZ

2 p k, p + 2 p kS intersect Dom::Interval(-PI, PI)

S intersect Dom::Interval(-PI, PI)0, psolve(x^2-5*x+4 > 0, x, Real)- ¥, 1È 4, ¥plotfunc2d(x^2-5*x+4, x=-8..8, YRange=-8..8)

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Низови

Задавање низа, исписивање елемената низа, број елемената низа, брисање елемента низа

array(1..5) NIL NIL NIL NIL NIL hfarray(1..5) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 array(1..5, 1 = 1, 2 = PI, 4 = E, 5 = MuPAD) 1 p NIL e MuPAD array(1..5, [1,4,9,16,25]) 1 4 9 16 25 array(1..5, i = i^2 $ i = 1..5) 1 4 9 16 25 Niz:=array(1..5, i = i^2 $ i = 1..5) 1 4 9 16 25 Niz[1],Niz[2], Niz[3],Niz[4],Niz[5]1, 4, 9, 16, 25

Niz[1]:= "Izmenjeni element""Izmenjeni element"

Niz "Izmenjeni element" 4 9 16 25 delete(Niz[1])Niz NIL 4 9 16 25 op(Niz)NIL, 4, 9, 16, 25

nops(Niz)5

DvodimenzionalniNiz:=array(1..2, 1..2, [[1, 2], [3, 4]])1 23 4

DvodimenzionalniNiz[1,1], DvodimenzionalniNiz[1,2], DvodimenzionalniNiz[2,1], DvodimenzionalniNiz[2,2]1, 2, 3, 4

DvodimenzionalniNiz[1,2]:="Izmenjeni element" "Izmenjeni element"

DvodimenzionalniNiz1 "Izmenjeni element"3 4

delete(DvodimenzionalniNiz[1,2])DvodimenzionalniNiz

1 NIL3 4

op(DvodimenzionalniNiz)

op(DvodimenzionalniNiz)1, NIL, 3, 4

nops(DvodimenzionalniNiz)4

TrodimenzionalniNiz:= array(1..3, 1..3, 1..3, (1,1,1)=4, (1,2,1)=5)array(1..3, 1..3, 1..3, (1, 1, 1) = 4, (1, 2, 1) = 5)

TrodimenzionalniNiz[1,1,1], TrodimenzionalniNiz[1,1,2]4, TrodimenzionalniNiz1, 1, 2

N:=array(1..2,1..2, [[0,PI/2],[PI,3*PI/2]])0 p

2

p 3 p2

map(N,sin)0 10 - 1

Матрице

Задавање матрице.

reset()matrix(3,3)

0 0 00 0 00 0 0

matrix(3,3,1)1 1 11 1 11 1 1

matrix([[1],[1, 1], [1, 1, 1]])1 0 01 1 01 1 1

matrix(3,3,[(1,1)=1,(2,1)=1,(2,2)=1,(3,1)=1,(3,2)=1,(3,3)=1])1 0 01 1 01 1 1

matrix(2,3, [1, 2, 3, 4, 5, 6])1 2 34 5 6

matrix([[1, 2,3], [4,5,6]])

1 2 34 5 6

M1NIZ:=array(1..2, 1..3,[[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

1 2 34 5 6

matrix(M1NIZ)

1 2 34 5 6

M2NIZ:=array(1..2, 1..3)

NIL NIL NILNIL NIL NIL

matrix(M2NIZ)Error: unable to define matrix over Dom::ExpressionField() [(Dom::Matrix(Dom::ExpressionField()))::new]

M3NIZ:=hfarray(1..2, 1..3)0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0

matrix(M3NIZ)

0 0 00 0 0

matrix(3,3,(i,j)->i+j)

2 3 43 4 54 5 6

f:=(i,j)->x^(i+2*j-5): matrix(3,3,f)

f:=(i,j)->x^(i+2*j-5): matrix(3,3,f)1x2 1 x2

1x x x3

1 x2 x4

linalg::randomMatrix(3,3,Dom::Integer,1..10)

2 1 84 7 96 9 2

matrix(3 ,4, [1,2,3], Diagonal)1 0 0 00 2 0 00 0 3 0

matrix(4,4,[2,5,3],Banded)5 3 0 02 5 3 00 2 5 30 0 2 5

matrix::identity(3)

1 0 00 1 00 0 1

M:= matrix([[1,1,2], [-1,0,-2], [-1,4,-1]])1 1 2- 1 0 - 2- 1 4 - 1

Исписивање димензија матрице Мlinalg::matdim(M)3, 3

Исписивање одговарајуће врсте, односно колоне матрице Мlinalg::row(M,1) 1 1 2 linalg::col(M,2)

104

Замена места врстама, односно колонама матрице Мlinalg::swapCol(M,1,2)

1 1 20 - 1 - 24 - 1 - 1

linalg::swapRow(M,1,3)- 1 4 - 1- 1 0 - 21 1 2

Транспонована матрица матрице Мlinalg::transpose(M)

1 - 1 - 11 0 42 - 2 - 1

Детерминаната матрице linalg::det(M)1

Адјунгована матрица задате матрице linalg::adjoint(M)

8 9 - 21 1 0- 4 - 5 1

Инверзна матрица задате матрице 1/M

8 9 - 21 1 0- 4 - 5 1

M^(-1)8 9 - 21 1 0- 4 - 5 1

Подматрица задате матрице N:=M[2..3, 2..3]

0 - 24 - 1

Минор матрице

linalg::det(N)8

Приступ елементим задате матрицеM[1,1]1

Ранг матрицеlinalg::rank(M)3

M1:=matrix([[1,1,2], [-1,-1,-2], [-1,4,-1]])1 1 2- 1 - 1 - 2- 1 4 - 1

linalg::det(M1)0

linalg::rank(M1)2

Траг матрице (збир елемената на главној дијагонали)linalg::tr(M)0

linalg::tr(M1)- 1

Збир, разлика, производ две матрице, степен матрицеA:=matrix(2,2,[[5,6],[4,5]])

5 64 5

B:=matrix(2,2,[[0,-1],[1,0]])

0 - 11 0

A+B

5 55 5

A-B

5 73 5

A*B

6 - 55 - 4

B*A

- 4 - 55 6

2*A

10 128 10

linalg::det(A), 2*linalg::det(A), linalg::det(2*A) 1, 2, 4

B/A4 - 55 - 6

linalg::det(B)1

A/B- 6 5- 5 4

linalg::det(A+B)0

A/(A+B)FAIL

linalg::det(A-B)

linalg::det(A-B)4

A/(A-B)74 - 5

4

54 - 3

4

A*B6 - 55 - 4

(A*B)^2

11 - 1010 - 9

(A*B)^3

16 - 1515 - 14

(A*B)^4

21 - 2020 - 19

(A*B)^5

26 - 2525 - 24

Формирање нових матрица помоћу задатих матрица и пресликавања

f:=x->x^2: map(A,f)25 3616 25

g:=(x,y)->x*y: zip(A,B,g)

0 - 64 0

Карактеристични полином, минимални полином, сопствене вредности и сопствени вектори

K := matrix([[1, -3, 3], [3, -5, 3], [6, -6, 4]])1 - 3 33 - 5 36 - 6 4

linalg::charpoly(K, `&lambda;`)l3 - 12 l - 16

factor(%)l - 4 l + 22linalg::minpoly(K, `&lambda;`)l2 - 2 l - 8

factor(%)l + 2 l - 4linalg::eigenvalues(K)- 2, 4linalg::eigenvectors(K)4, 1,

1

2121

,

- 2, 2,

110

,

- 101

Рад са векторима, норма, скаларни и векторски производ

v:=matrix([x,y,z]) xyz

u:=matrix ( [[x,y,z]]) x y z norm(v,2)x2 + y2 + z2v1:=matrix([x_1, y_1, z_1]); v2:=matrix([x_2,y_2,z_2]);

x1y1z1

x2y2z2

assume([x_1, y_1, z_1,x_2,y_2,z_2], Type::Real):linalg::scalarProduct(v1,v2);

assume([x_1, y_1, z_1,x_2,y_2,z_2], Type::Real):linalg::scalarProduct(v1,v2);x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

linalg::crossProduct(v1, v2)y1 z2 - y2 z1x2 z1 - x1 z2x1 y2 - x2 y1

linalg::angle(v1, v2)

arccos x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

x12 + y1

2 + z12

x22 + y2

2 + z22

Цртање графика функције једне променљиве

plotfunc2d((10*sin(10*x))/x+cos(10*x))

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-20

20

40

60

80

100

x

y

plotfunc2d((10*sin(10*x))/x+cos(10*x),x=0..5)

1 2 3 4 5

-20

0

20

40

60

80

100

x

y

plotfunc2d((10*sin(10*x))/x+cos(10*x),x=-10..10,YRange=-100..100)

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-100

-80

-60

-40

-20

20

40

60

80

100

x

y

f:=plot::Function2d((10*sin(10*x))/x+cos(10*x))

plot::Function2d

cos10 x + 10 sin10 x

x, x = - 5 ..5

plot(f)

plot(f)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-20

20

40

60

80

100

x

y

plotfunc2d(sqrt(1-x^2), -sqrt(1-x^2),x=-1.5..1.5, YRange=-1.5..1.5, Scaling=Constrained, Header= " Jedinični krug ")

(1 - x^2)^(1/2)-(1 - x^2)^(1/2)

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

Jedinicni krug

plotfunc2d(sqrt(1-x^2), -sqrt(1-x^2),x=-1.5..1.5, YRange=-1.5..1.5, Scaling=Constrained, Footer= " Jedinični krug ")

(1 - x^2)^(1/2)-(1 - x^2)^(1/2)

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

Jedinicni krug

plotfunc2d(sqrt(1-x^2), -sqrt(1-x^2),x=-1.5..1.5, YRange=-1.5..1.5, Scaling=Constrained, Title= " Jedinični krug ", TitlePosition=[1,1])

(1 - x^2)^(1/2)-(1 - x^2)^(1/2)

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

Jedinicni krug Jedinicni krug

plotfunc2d(sqrt(1-x^2), -sqrt(1-x^2),x=-1.5..1.5, YRange=-1.5..1.5, Scaling=Constrained, AxesTitles=["sin","cos"], YAxisTitleOrientation=Vertical )

plotfunc2d(sqrt(1-x^2), -sqrt(1-x^2),x=-1.5..1.5, YRange=-1.5..1.5, Scaling=Constrained, AxesTitles=["sin","cos"], YAxisTitleOrientation=Vertical )

(1 - x^2)^(1/2)-(1 - x^2)^(1/2)

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

sin

cos

plot(plot::Implicit2d(x^2+y^2-1, x = -1.5..1.5, y = -1.5..1.5,Scaling=Constrained,XTicksDistance=0.5,YTicksDistance=0.5));

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

plotfunc2d(sin(x),cos(x),sin(PI+x), x=-15..15, YRange=-1.5..1.5,Colors=[RGB::Green,[1,0,1,1],[0.2,0.2,1,0.5]],XTicksDistance=PI, LineStyle=Dashed)

sin(x)cos(x)-sin(x)

-12.566 -9.4248 -6.2832 -3.1416 3.1416 6.2832 9.4248 12.566

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

plotfunc2d(sin(x),cos(x),sin(PI+x), x=-15..15, YRange=-1.5..1.5, Colors=[RGB::Green,[1,0,1,1],[0.2,0.2,1,0.5]], XTicksNumber = None, XTicksAt = [-PI = "-p", PI = "p", -2*PI ="-2p", 2*PI ="2p",-3*PI ="-3p",3*PI ="-3p"], TicksLabelFont = ["Symbol", 8])

sin(x)cos(x)-sin(x)

-p p-2p 2p-3p -3p

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

plotfunc2d(sin(x),cos(x),sin(PI+x),GridVisible=TRUE,SubgridVisible=TRUE,YRange=-1.5..1.5)

plotfunc2d(sin(x),cos(x),sin(PI+x),GridVisible=TRUE,SubgridVisible=TRUE,YRange=-1.5..1.5)

sin(x)cos(x)-sin(x)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

plotfunc2d(piecewise([x < 1, 1 - x], [1 < x and x < 2, 1], [x > 2, 2 - x]), x = -2..3)

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1

1

2

3

x

y

g:=plot::Function2d(sin(x)): h:=plot::Hatch(g,-10..10,FillColor=RGB::Blue): plot(g,h)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

g1:=plot::Function2d(sin(x)): g2:=plot::Function2d(cos(x)): h:=plot::Hatch(g1,g2,-10..10,FillColor=RGB::PaleBlue,FillPattern=Solid): plot(g,h)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

plot(plot::Curve2d([x*cos(x), x*sin(x)], x = 0..50*PI))

plot(plot::Curve2d([x*cos(x), x*sin(x)], x = 0..50*PI))

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100 120 140

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

20

40

60

80

100

120

x

y

plot(plot::Curve2d([x*cos(x), x*sin(x)], x = 0..50*PI, Mesh = 400)):

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100 120 140

-140-120-100

-80-60-40-20

20406080

100120140

x

y

plot(plot::Curve2d([x*cos(x), x*sin(x)], x = 0..50*PI, AdaptiveMesh = 4)):

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100 120 140

-140-120-100

-80-60-40-20

20406080

100120140

x

y

plot(plot::Polar([r^2,r],r=0..17*PI/2))

-400-300-200-100 100 200 300 400 500 600

-400

-200

200

400

600

x

y

plot(plot::Polar([r^2,r],r=0..17*PI/2, Mesh=1000))

plot(plot::Polar([r^2,r],r=0..17*PI/2, Mesh=1000))

-400-300-200-100 100 200 300 400 500 600

-400

-200

200

400

600

x

y

Цртање графика функције две променљиве

reset()plot(x^2+x*y+y^2, #3)

f:=(x,y)->x^2+x*y+y^2x, y ® x2 + x y + y2

plot(f)

g:= plot::Function3d(x^2+x*y+y^2):plot(g)

plotfunc3d(x^2+x*y+y^2)

plotfunc3d(x^2+x*y+y^2)

plotfunc3d(2 + x^2 + y^2, 1 + x^4 + y^4, x^6 + y^6, x = -1..1, y = -1..1, Colors = [RGB::Red, RGB::Green, RGB::Blue])

Анимација графика функција

plotfunc2d(sin(a*x),x=-2*PI..4*PI, a=1..2, TicksNumber = None, XTicksAt = [-PI = "-p", PI = "p", -2*PI ="-2p", 2*PI ="2p",-3*PI ="-3p",3*PI ="-3p"], TicksLabelFont = ["Symbol", 8],LineColorType = Rainbow )

-p p-2p 2p -3px

y

plot(sin(a*x), sin(x - a), x = 0..PI, a = 0..4*PI, Frames = 200, Colors = [RGB::Rose, RGB::BlueViolet])

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

plotfunc3d(cos(x-a)*sin(y-a),x=-PI..PI, y=-PI..PI, a=-PI..PI, AxesVisible = FALSE, FillColorFunction = RGB::Grey)

Граничне вредности функција

reset()limit(sin(x)/x,x=0), limit((1 - cos(x))/x^2, x=0), limit((1+1/x)^x, x=infinity), limit((E^x-1)/x,x=0), limit(ln(1+x)/x,x=0), limit(((1+x)^a-1)/x,x=0)

1, 12, e, 1, 1, a

limit(1/x,x=0)undefined

limit(1/x,x=0,Left)- ¥

limit(1/x,x=0,Right)¥

f:=piecewise([x<0,arctan(1/x)],[x>=0,sin(x)])arctan 1

x if x < 0

sinx if 0 £ x

limit(f,x=0)

limx® 0

sinx if 0 < x

arctan 1x if x < 0

limit(f,x=0,Left)- p

2

limit(f,x=0,Right)0

limit((g(x+h)-g(x))/h,h=0)g 'x

g1:=x->sin(x)x ® sinx

limit((g1(x+h)-g1(x))/h,h=0)cosx

Диференцирање функције једне променљиве

reset()diff(sin(x),x)cosx

sin'(x)cosx

sin'cos

D(sin(x))sinx '

D(sin)cos

diff(ln(sin(x)),x)cosxsinx

f:=x->ln(sin(x)): f'(x)

f:=x->ln(sin(x)): f'(x)cosxsinx

D(f)

x ®cosxsinx

diff(x^k,x)k xk - 1

diff(x^k, x$3)k xk - 3 k - 1 k - 2

diff(x^k,x,x,x)k xk - 3 k - 1 k - 2

diff(1/(x+1),x$2)2x + 13

(1/(x+1))''2 x '2x + 13 - x''x + 12

g:=x->1/(x+1): g''(x)2x + 13

D(D(1/(x+1)))2 x '2x + 13 - x''x + 12

D(D(g(x)))2 x '2x + 13 - x''x + 12

D(D(g))

x ® 2x + 13За конверзију између D и diff користи се наредба rewrite

diff(y(x),x$3)=rewrite(diff(y(x),x$3),D)¶ 3

¶ x3 yx = y'''x

Тангента криве у задатој тачки дате криве

f:=x->1/(1+x)^2

x ® 11 + x2a:=11

g:=x->f(a)+D(f)(a)*(x-a)x ® f a + f 'a x - a

y=g(x)

y = 12 - x

4

plotfunc2d(f(x), g(x), x = 0 .. 2)

1/(x + 1)^21/2 - x/4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Тејлоров развој

Тејлоров развој, Тејлоров полином, коефицијенти Тејлоровог полинома

Тејлоров развој, Тејлоров полином, коефицијенти Тејлоровог полиномаreset()taylor(sin(x),x)

x - x3

6 + x5

120 + Ox7

taylor(cos(x),x=0)

1 - x2

2 + x4

24 + Ox6

taylor(exp(x),x,4)

1 + x + x2

2 + x3

6 + Ox4

taylor(ln(1+x),x=0,4)

x - x2

2 + x3

3 - x4

4 + Ox5

taylor(x^(1/2),x=1)

1 + x - 12

- x - 128

+ x - 1316

- 5 x - 14128

+ 7 x - 15256

+ Ox - 16expr(taylor(sin(x),x))

x5

120 - x3

6 + x

coeff(taylor(sin(x),x),x,3)

- 16

ORDER:=44

taylor(sin(x),x)

x - x3

6 + Ox5

taylor(exp(x),x)

1 + x + x2

2 + x3

6 + Ox4

taylor(abs(x),x=0)Error: abs(x) does not have a Taylor series expansion, try 'series' [taylor]

taylor(abs(x),x=0,Right)x + Ox5

taylor(arctan(1/x),x=0)Error: arctan(1/x) does not have a Taylor series expansion, try 'series' [taylor]

taylor(arctan(1/x),x=0,Left)

- p2 - x + x3

3 + Ox5

taylor(x^x,x=0)Error: x^x does not have a Taylor series expansion, try 'series' [taylor]

taylor(x^x,x=0,Right)Error: x^x does not have a Taylor series expansion, try 'series' [taylor]

series(x^x,x=0)

1 + x lnx + x2 lnx22

+ x3 lnx36

+ Ox4Интеграли функција једне променљиве

reset()freeze(int)(x^a,x)=int(x^a,x)+C

xa d x =

C + lnx if a = - 1

C + xa+ 1a+ 1 if a ¹ - 1

hold(int)(sqrt(1-x^2),x)1 - x2 d x

eval(%)+C

C +arcsinx

2 + x

1 - x2

2

Смена променљиве у интегралуintlib::changevar(hold(int)(sqrt(1-x^2),x), x=sin(t),t) assuming -PI/2<t<PI/2

cost2 d t

eval(%)+C | t=arcsin(x)

eval(%)+C | t=arcsin(x)

C +sin2 arcsinx

4 + arcsinx

2

Simplify(%)

C +arcsinx

2 + x

1 - x2

2

Парцијална интеграцијаintlib::byparts(hold(int)(sqrt(1-x^2), x ),1)

x

1 - x2 -

- x21 - x2

d x

eval(%)+ C

C +arcsinx

2 + x

1 - x2

2

Одрећени интегралиhold(int)(2*x*arctan(sqrt(x)),x=0..1)=int(2*x*arctan(x^(1/2)), x = 0..1)

0

1

2 x arctanx d x = 23

Несвојствени интегралиhold(int)(1/x,x=-1..1); int(1/x,x=-1..1)- 1

11x d x

undefined

f1:=plot::Function2d(1/x): f2:=plot::Function2d(1/x,x=-1..1): h:=plot::Hatch(f2,-3..3,FillColor=RGB::Red,FillPattern=Solid): plot(f1,h)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-16-14-12-10

-8-6-4-2

2468

101214

x

y

Главна вредност несвојственог интегралаhold(int)(1/x, x = -1..1, PrincipalValue) = int( 1/x, x = -1..1, PrincipalValue)

pv- 1

11x d x = 0

hold(int)(1/x,x=-1..1); int(1/x,x=-1..1)- 1

11x d x

undefined

hold(int)(1/x,x=1..infinity)=int(1/x,x=1..infinity)1

¥1x d x = ¥

hold(int)(1/x^2,x=1..infinity)=int(1/x^2,x=1..infinity)1

¥1x2 d x = 1

hold(int)(cos(x),x=PI..infinity); int(cos(x),x=PI..infinity)p

¥

cosx d x

undefined

hold(int)(E^(-t^2),t=0..x)=int(E^(-t^2),t=0..x)

hold(int)(E^(-t^2),t=0..x)=int(E^(-t^2),t=0..x)0

x1

et2 d t =

p erfx2

hold(int)(E^(-t^2),t=-infinity..infinity)=int(E^(-t^2),t=-infinity..infinity)-¥

¥1

et2 d t = p

plotfunc2d(exp(-x^2),x=-2..2,YTicksNumber = Low)

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

x

y

Површина елипсе

reset()f:=plot::Implicit2d(9*x1^2 + 16*x2^2 = 144,x1 = -5 .. 5, x2 = -5 .. 5):g:=plot::Function2d((144-9*x1^2)^(1/2)/4, x1 = 0 .. 5, x2 = 0 .. 5):plot(f,Color = RGB::DarkPink, LineWidth = 0.5*unit::mmg, plot::Hatch(g,FillColor=RGB::MountbattenPink,FillPattern=XCrossedLines))

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

P = hold(int)(4*(144-9*x^2)^(1/2)/4 ,x=0..4)

P =0

4144 - 9 x2 d x

eval(%)P = 12 p

P = intlib::changevar(hold(int)(4*(144-9*x^2)^(1/2)/4 ,x=0..4),x=4*sin(t),t) assuming 0<t<PI/2

P =0

p2

48 cost2 d t

eval(%)P = 12 p

P = intlib::byparts(hold(int)(4*(144-9*x^2)^(1/2)/4 ,x=0..4),1)

P = -0

4- 9 x2

144 - 9 x2 d x

eval(%)P = 12 p

Обим јединичног круга

reset()plot(plot::Implicit2d(x^2+y^2-1, x = -1.5..1.5, y = -1.5..1.5,Scaling=Constrained,TicksNumber = None));

plot(plot::Implicit2d(x^2+y^2-1, x = -1.5..1.5, y = -1.5..1.5,Scaling=Constrained,TicksNumber = None));

x

y

l=hold(int)(4*sqrt(1+(diff(sqrt(1-x^2),x))^2),x=0..1)

l =0

1

4

1 - x2

x2 - 1 d x

eval(%)l = 2 p

Запремина сфере полупречника R

reset()V=PI*hold(int)(R^2-x^2,x=-R..R)

V = p -R

RR2 - x2 d x

eval(%)

V = 4 p R3

3

Површина омотача ваљка полупречника R и висине H

reset()O=2*PI*hold(int)(R*sqrt(hold(diff)(R,x)^2+1),x=0..H)

O = 2 p 0

H

R

¶¶ x R

2+ 1 d x

eval(%)O = 2 p H R

Диференцијалне једначине

За разне вредности реалног параметра a, наћи опште решење диференцијалне једначине y'' - (1+a)y' + ay = ch(x).reset()jednacina:=diff (y(x), x, x) - (1+a) * (diff (y(x), x)) + a*y(x) = cosh(x) ¶ 2

¶ x2 yx - a + 1 ¶¶ x

yx + a yx = coshxhomogenajednacina:=diff (y(x), x, x) - (1+a) * (diff (y(x), x)) + a*y(x) = 0¶ 2

¶ x2 yx - a + 1 ¶¶ x

yx + a yx = 0

karakteristicnajednacina:=`&lambda;`^2 - (1+a) * `&lambda;` + a = 0l2 + - a - 1 l + a = 0

solve(karakteristicnajednacina,`&lambda;`)1, aНа основу решења карактеристичне једначине намеће се закључак да треба разматрати следећа два случаја :

а=1homogenajednacina | a=1¶ 2

¶ x2 yx - 2 ¶¶ x

yx + yx = 0

solve(ode(%,y(x)))C12 ex + C15 x exjednacina | a=1¶ 2

¶ x2 yx - 2 ¶¶ x

yx + yx = coshxsolve(ode(%,y(x)))

solve(ode(%,y(x)))C21 ex + ex

1

8 e2 x + x

4 e2 x - x2

4 + x ex

x2 - 1

4 e2 x + C24 x ex

coerce(%,DOM_LIST)

C21 ex + ex

18 e2 x + x

4 e2 x - x2

4 + x ex

x2 - 1

4 e2 x + C24 x ex

%[1]

C21 ex + ex

18 e2 x + x

4 e2 x - x2

4 + x ex

x2 - 1

4 e2 x + C24 x ex

collect(%,x)ex

4 x2 + C24 ex x + 1

8 ex + C21 ex

a<>1solve(ode(homogenajednacina,y(x)))C26 ea x + C27 ex

Видимо да и овде имамо два подслучаја

а= -1jednacina | a=-1¶ 2

¶ x2 yx - yx = coshx

solve(ode(%,y(x)))ex x

4 - 1

8 e2 x - x

4 + e2 x

8

ex + C30 ex + C29

ex

coerce(%,DOM_LIST)ex x

4 - 1

8 e2 x - x

4 + e2 x

8

ex + C30 ex + C29

ex

%[1]

ex x

4 - 1

8 e2 x - x

4 + e2 x

8

ex + C30 ex + C29

ex

collect(%,x)ex

4 - 1

4 ex x + C30 ex - ex

8 - 1

8 ex + C29

ex

a<>1,-1solve(ode(jednacina,y(x)))C32 ea x + C33 ex -

12 a- 1 - 1

2 a+ 1 + e2 x

a- 122 ex

- e2 x + 2 x e2 x - 14 ex a - 1

coerce(%,DOM_LIST)

C32 ea x + C33 ex -

12 a- 1 - 1

2 a+ 1 + e2 x

a- 122 ex

- e2 x + 2 x e2 x - 14 ex a - 1

%[1]

C32 ea x + C33 ex -

12 a- 1 - 1

2 a+ 1 + e2 x

a- 122 ex

- e2 x + 2 x e2 x - 14 ex a - 1