26.1二次函数

江阴市璜土中学 沈君锋

函数

你知道吗？

一次函数 反比例函数 二次函数

正比例函数

ky= k≠ 0

xy=kx+b (k≠0)

y=kx(k≠0)一条直线 双曲线

喷泉 (1)

源于生活的数学 某果园有 100 棵橙子树 ,每一棵树平均结 600 个橙子 .现准备多种一些橙子树以提高产量 ,但是如果多种树 ,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少 .根据经验估计 ,每多种一棵树 ,平均每棵树就会少结 5个橙子 .

假设果园增种 x棵橙子树 ,果园橙子的总产量为 y(个 ), 那么请你写出 y与 x之间的关系式 .

解 : 果园共有（ 100+x ）棵树 ,平均每棵树结（ 600-5x ）个橙子 ,y=(100+x)(600-5x)

=-5x²+100x+60000.

亲历知识的发生和发展

?

设人民币一年教育储蓄的年利率是 x,一年到期后 ,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存 .如果存款是 100 元 ,那么请你写出两年后的本息和 y(元 )的表达式 (不考虑利息税 ).

y=100(x+1)²=100x²+200x+100.

你能答对吗 用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积 S(m²) 与矩形一边长 a(m) 之间的关系是什么？

解： S=a( － a)=a(30 －a)

=30a － a²= -a²+30a .

602

二次函数y=-5x²+100x+60000, y=100x²+200x+100 . s= -a²+30a .

有何特点？

定义：一般地 ,形如 y=ax²+bx+c 的函数叫做 x的二次函数 .

提示 :(1) 关于自变量的代数式一定是二次整式 ,a,b,c 为常数 ,且 a≠0.(2) 等式的右边最高次数为 2,可以没有一次项和常数项 ,但不能没有二次项 .

(a,b,c 是常数 ,a≠ 0)

在实践中感悟1. 下列函数中 , 哪些是二次函数？

(1) y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t²

(5)y=(x+3)²-x² (6)v=10πr²2

1(4) y=

x - x

（是） （否）

（是） （否）（否） （是）

(7) y=x²+x³+25

(8)y=2²+2x

（否） （否）

1y=x+

x(2)

小试牛刀 圆的半径是 1cm, 假设半径增加 xcm 时 ,圆的面积增加 ycm².

（ 1）写出 y与 x之间的函数关系表达式；

（ 2）当圆的半径分别增加 1cm, ,2cm 时 ,圆的面积增加多少？2cm

如果函数 y=(k-3) +kx+1 是二次函数 ,则 k 的值一定是 ______

2k - 3k+2x

敢于创新

0

如果函数 y= +kx+1 是二次函数 ,则 k 的值一定是 ______

2k - 3k+2x0,3

知识的升华已知函数 (1) k 为何值时， y 是 x 的一次函数？ (2) k 为何值时， y 是 x 的二次函数？

解（ 1 ）根据题意得

∴k=1 时 ,y 是 x 的一次函数。

0

02

k

kk

2 2( ) 2y k k x kx k

当 时数

2(2) k - k≠ 0,即k≠ 0且k≠ 1

y是x的二次函

在种树问题中 ,种多少棵橙子树 ,可以使果园橙子的总产量最多？

x - 5 6 7 8 9 10 11 12

13

14 15 -

y - -60375

6042060455

6048060495

6050060495

6048060455

6042060375

问题再探究

y=-5x²+100x+60000,

你能根据表格中的数据作出猜测吗？

60375

6045560480

6049560500

6049560480

6045560420

6037560420

你发现了吗？

回味无穷定义中应该注意的几个问题:

小结 拓展

1. 定义：一般地 ,形如 y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数 ,a≠0) 的函数叫做 x的二次函数 .

y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数 ,a≠0) 的几种不同表示形式 :

(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).

(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).

(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).

2. 定义的实质是： ax²+bx+c 是整式 ,自变量 x的最高次数是二次 ,自变量 x的取值范围是全体实数 .

结束寄语书山有路勤为径 ,学海无涯苦作舟 ,黑发不知勤学早 ,白首方悔读书迟 .