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MinisterodellaPubblicaIstruzione

Unione Matematica

Italiana

24DOCUMENTI

DILAVORO

ANALISI

MATEMATICASeminario di formazione

per Docenti

Istruzione Secondaria Superiore

Liceo Scientifico StataleA. Vallisneri

Lucca

Novembre 1996 - Febbraio 1997

QUAD

ERN

Istruzione ClassicaTecnica,

Professionale

e Artistica

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Quaderni ed Atti pubblicati dal Ministero della Pubblica Istruzione

Direttore:G. Trainito

Direttore editoriale:L. Catalano

Coordinatore editoriale:A. Portolano

Editing:A. R. Cicala, E. Giansanti, G. Zito, P. Manzioli

Grafica:F. Panepinto

Il presente fascicolo potr essere riprodotto per essere utilizzato allinterno delle scuole in situazio-

ni di formazione del personale direttivo e docente (Corsi, Collegi, riunioni per materia).

Nota editoriale

In questo quaderno sono raccolti i materiali che costituiscono lo specifico dei Seminari di forma-

zione per Docenti degli Istituti afferenti alla Direzione classica, scientifica e magistrale.

Essi sono stati prodotti da corsisti e relatori nella forma finale, con la collaborazione scientifica del

Comitato di redazione. Altri pur pregevoli contributi individuabili nel Programma non vengono qui

raccolti, in quanto la loro ricaduta formativa si esplica in un ambito pi generale e, pertanto, in

tutto o in parte, sono gi stati divulgati. Essi sono, comunque, disponibili presso la Direzione

Generale dell Istruzione Classica Scientifica e Magistrale.

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Ministero della Pubblica IstruzioneIstruzione Classica Tecnica

Professonale e Artistica

Unione Matematica Italiana

ANALISI MATEMATICA

Seminario di formazione perDocenti Scuole Medie Superiori

Liceo Scientifico StataleA. Vallisneri - Lucca

Novembre 1996 - Febbraio 1997

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LA SERIE DOCUMENTI DI LAVORO DEI NOSTRI QUADERNI

La collana Quaderni della Dirclassica si arricchisce di una nuova se-

rie: essa porta quali suoi segni grafici distintivi il dorso rosso della coper-tina e la dizione documenti di lavoro che vi compare in aggiunta a quelleche contrassegnavano i tradizionali fascicoli verdi e grigi. Ogni nuovonato testimonianza di vitalit. E difatti questa nuova serie risponde a una tri-

plice esigenza di sviluppo.In primo luogo, quella di dare tempestiva comunicazione del lavoro che la

nostra Direzione viene compiendo a ritmi di costante accelerazione sul ter-reno della formazione e dellaggiornamento degli operatori scolastici. Il nu-mero crescente delle nostre iniziative richiede non solo un allargamento degli

strumenti, ma pure un utilizzo delle forze e delle risorse disponibili che sappiafarsi via via pi articolato e diffuso.

In secondo luogo, alcuni seminari per la loro peculiare natura di esserefinalizzati a discutere questioni di pressante attualit richiedono che gli esitidi lavoro trovino una disseminazione nella nostra realt scolastica al possibileimmediata e richiedono, pertanto, un taglio delle pubblicazioni che sappia pri-vilegiare rispetto alle altre serie non solo la rapidit dei tempi, ma anchela caratteristica di indispensabile supporto informativo e documentario.

Infine last but not least la scuola dellautonomia richieder sempre dipi ai nostri presidi e ai nostri docenti la capacit di volare da soli: questaterza serie, infatti, continuer s a essere il frutto di un dialettico rapporto dicollaborazione tra centro e periferia e potr ancora contare su un mo-mento di editing teso a uniformare i criteri generali dellintera collana, ma in pari tempo vedr sempre pi accentuato il responsabile ruolo delle singo-le scuole nella produzione di questo peculiare prodotto culturale.

In tal modo, ritengo che non solo aumenteranno le frecce al nostro arco,ma riusciremo pure questi almeno sono limpegno e la speranza a garanti-

re alla collana grigia e a quella verde lo spazio temporale e la disponibilitumana per il lavoro legato alle scansioni necessariamente pi dilatate dellap-profondimento tematico di alcune questioni di fondo.

Luigi Catalano

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INDICE

Claudio Bernardi - Lucia Ciarrapico

Presentazione Pag. 7

Andrea Bacciotti

Temi nellinsegnamento dellAnalisi: la teoria della misura pg. 11

Giulio C. Barozzi

Applicazioni informatiche e Analisi numerica pg. 36

Lucia Grugnetti

Storia ed epistemologia dellAnalisi pg. 70

Brunetto Piochi

Metodi elementari per la soluzione dei problemi di minimo pg. 106

Umberto Bottazzini

Definizione di continuit pg. 113

Proposte per lesame di maturit e per prove conclusive di

analisi matematica pg. 118

Elenco dei partecipanti pg. 139Appendice1. Elenco delle scuole polo pg. 1402. Volumi della collana Quaderni gi pubblicati pg. 143

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PRESEN TAZ IO N E

Claudio Bernardi

Presidente della Commissione Italiana per lInsegnamento della Matematica (*).Lucia CiarrapicoDirigente superiore per i servizi ispettivi.

Questo volume raccoglie materiale elaborato in occasione del Terzo Corsoin Didattica della Matematica, organizzato dal Ministero della Pubblica Istru-zione e dall'Unione Matematica Italiana.

Alla fine del 1993 il Ministero della Pubblica Istruzione e l'Unione Mate-

matica Italiana hanno sottoscritto un Protocollo d'lntesa, per promuovere pro-grammi comuni per la ricerca e la diffusione di metodologie didattiche, ade-guate ai recenti sviluppi scientifici e tecnologici, nel campo della matematica edelle sue applicazioni. Nel quadro di una collaborazione fra mondo dellaScuola e Universit volta a realizzare forme di aggiornamento, il Protocolloprevede che il Ministero e l'Unione Matematica Italiana organizzino congiun-tamente ogni anno un Corso residenziale di due settimane, su temi di didatticadella matematica. Nel 1994 si svolto il Primo Corso, dal titolo L'insegna-mento dell'Algebra fra tradizione e rinnovamento per docenti delle ScuoleSuperiori; nel 95-96 si tenuto il Secondo Corso, dedicato all'Insegnamentodella Geometria e rivolto sia a docenti delle Scuole Medie sia a docenti delleSuperiori.

Il Terzo Corso in Didattica della Matematica si svolto a Viareggio in duesettimane separate, dal 18 al 22 novembre 96 e dal 24 al 28 febbraio 97. Perconsentire l'ammissione al Corso di un maggior numero di persone, stato de-ciso di articolare anche il Terzo Corso in due Sezioni, una rivolta ai docentidelle Scuole Superiori e l'altra, per la prima volta, ai docenti delle Scuole Ele-

mentari. Come tema del Corso stato scelto Aritmetica per la Sezione Ele-mentari, e Didattica dell'Analisi Matematica per la Sezione Superiori.Anche se durante il Corso ci sono stati momenti di confronto ed attivit co-

muni fra tutti i docenti (in particolare, una conferenza sui Progetti Multime-diali del MPI e una tavola rotonda sulle Innovazioni legislative per la Scuo-la), nella stesura degli Atti sembrato preferibile presentare separatamente i

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(*) La Commissione Italiana per l'lnsegnamento della Matematica una commissione permanente

dell'Unione Matematica Italiana, che si occupa specificamente dei problemi di carattere didattico.

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testi relativi alle Scuole Elementari e i testi relativi alle Superiori, in modo daottenere due volumi tipograficamente pi agili e didatticamente pi mirati.

Le domande di partecipazione sono state numerosissime, pi di 2000 per ledue Sezioni. stato possibile ammettere solo 40 docenti di ruolo nelle ScuoleElementari e 48 docenti di ruolo nelle Superiori, scelti sulla base dei titoli pre-sentati e in modo da rappresentare le varie Regioni; a questi docenti sono statiaffiancati 10 neo-laureati.

Nella Sezione "Superiori" si sono svolti 4 cicli di lezioni con esercitazioni,conferenze, lavori di gruppo, ed esercitazioni al calcolatore. Come appare daitesti, in cui sono sinteticamente riportati i vari momenti di lavoro (lezioni teo-riche, esemplificazioni, spunti didattici), si cercato di affrontare l'argomentoavvalendosi delle indicazioni fornite dalla ricerca didattica e di spunti suggeritidalla storia e dall'epistemologia della matematica. Naturalmente, stato dato

risalto ai legami che l'Analisi matematica presenta con altri settori matematici,sia per le sue applicazioni, sia per gli aspetti informatici ed algoritmici, facen-do anche riferimento alle recenti proposte di programmi.

Nei lavori di gruppo sono stati fra l'altro discussi problemi legati alla valu-tazione finale dell'apprendimento dell'analisi matematica e alle prove conclusi-ve: alla fine del volume sono riportati alcuni dei temi proposti dai Corsisti.

Questo libro vuole essere uno strumento didattico per attivit di studio, diaggiornamento e anche di prima formazione. L'efficacia di un Corso di didatti-

ca si misura dalla sua ricaduta: ci auguriamo che il libro permetta a molti dicoloro che non hanno potuto partecipare al Corso, di usufruirne, sia pure a di-stanza di tempo, e possa anche costituire una fonte di suggerimenti per Enti eAssociazioni che vogliano contribuire con iniziative locali alla formazione deidocenti.

Un sentito ringraziamento va rivolto a quanti hanno reso possibile la realiz-zazione dell'iniziativa: alla Direzione Generale dell'Istruzione Classica Scientifica e Magistrale,

che ha curato l'organizzazione del Corso,

alla Direzione Generale dell'Istruzione Tecnica, alla Direzione Generaledell'Istruzione Professionale e all'Ispettorato per l'Istruzione Artistica, chehanno contribuito alla realizzazione del Corso,

al Preside Giuseppe Ciri del Liceo Scientifico "Vallisneri" di Lucca, che hadiretto il Corso, e al personale dello stesso Liceo, che ha offerto un efficacesostegno amministrativo e di segreteria,

ai relatori, per la loro competenza e disponibilit, ai docenti partecipanti, che hanno dato contributi preziosi grazie alla loro

preparazione e alla loro esperienza concreta.

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PROTOCOLLO DI INTESA M.P.I. - U.M.I

3CORSO MPI-UMI IN DIDATTICA DELLA MATEMATICA

DIDATTICA DELLANALISI MATEMATICA

SEZIONE ISTRUZIONE SECONDARIA DISECONDO GRADO

Programma

Cicli di lezioni:

A Andrea Bacciotti - Politecnico di TorinoTemi nellinsegnamento dellAnalisi (teoria della misura, calcolointegrale, calcolo differenziale)

B Franco Conti - Scuola Normale Superiore - PisaApplicazioni e interazioni dellAnalisi nei diversi settori scientifici etecnici

C Giulio C. Barozzi - Universit di BolognaApplicazioni informatiche - Analisi numerica

D Lucia Grugnetti - Universit di ParmaStoria ed epistemologia dellAnalisi

Conferenze:Mario Fierli - Dirigente superiore per i servizi ispettivi

Riscoprendo la geometria del triangolo

Brunetto Piochi - Universit di Siena

Problemi di minimo e massimo risolti senza derivate

Umberto Bottazzini - Universit di PalermoDefinizioni di continuit

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STAFF DI GESTION E DEL SEM IN ARIO

Direttore: Giuseppe Ciri

Relatori:

Andrea BacciottiGiulio C. BarozziUmberto BottazziniLucia GrugnettiBrunetto Piochi

Segreteria organizzativa:Francesca Antonelli, Ilaria Ercoli, Cesare Matteoni, Maria Luisa Radini,Giovanni Romani.

La curatela del presente volume stata seguita da Giuseppe Ciri.La revisione scientifica dei testi stata curata da Lucia Ciarrapico,

Claudio Bernardi, Paolo Nardini.

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TEM I N ELLIN SEGN AM EN TO DELLAN ALISI:LA TEORIA DELLA M ISURA

Andrea BacciottiDipartimento di Matematica del Politecnico, Corso Duca degli Abruzzi 24, 10129 Torino

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APPLICAZION I IN FORM ATICHE E

AN ALISI N UM ERICA

Giulio C. BarozziUniversit di Bologna

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STORIA ED EPISTEM OLOGIA DELLAN ALISI

Lucia GrugnettiDipartimento di Matematica - Universit di Parma

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M ETODI ELEM EN TARI PER LA SOLUZION E DI PROBLEM I

DI MIN IMO

Brunetto PiochiDipartimento di Matematica dellUniversit, via del Capitano 15, 53100 Siena

La proposta di apprendimento per problemi appare come un atteggia-mento didattico consolidato per quanto riguarda il lavoro matematico con glialunni della scuola dellobbligo. Essa fa ormai parte della prassi didattica ed anche esplicitamente richiamata nei programmi della scuola elementare; in [2]

si anche motivata laffermazione che questa possa essere una strada maestraper linsegnamento della matematica ad allievi con difficolt di apprendimento(la posizione stata del resto fortemente supportata da molte delle comunica-zioni effettuate al convegno Matematica e Difficolt dedicato a questo argo-mento, [4]).

Nella scuola secondaria tale metodologia meno diffusa, per vari motivi;fra questi la convinzione di una non immediata applicabilit degli argomentiinsegnati, dovuta al fatto che la maggior parte dei problemi interessanti coin-volgono tecniche matematiche almeno al livello di derivate e integrali, e questi

sono affrontati (e non in tutti i tipi di scuola) solo al termine del ciclo di studi.Eppure anche nella scuola secondaria ci si confronta con allievi che presen-tano difficolt di apprendimento in vario grado; ebbene, da una ricerca attual-mente in corso sembra emergere come uno dei fattori che discriminano glialunni con un buon rendimento da quelli con un rendimento basso sia la con-vinzione sul rapporto fra matematica e realt (anche se i dati sono tuttora par-ziali, tuttavia nei test elaborati finora la percentuale di coloro che ritengonoche la matematica ha poco a che fare con la realt inferiore al 25% fra iprimi e sale a oltre il 50% nei secondi).

Diventa allora di estremo interesse ricercare dei problemi che possano esse-re stimolanti per degli adolescenti e che li motivino ad apprendimenti signifi-cativi. Secondo le indicazioni che ci vengono dalla psicologia infatti un proble-ma nasce in presenza di una motivazione e di un ostacolo (Kanitza) da cuinasce lesigenza di fermarsi a riflettere, sviluppando le vie di soluzione(Dewey) che permettano di superare lostacolo.

Alcuni libri di testo attualmente in adozione propongono su questa linealapproccio a problemi di programmazione lineare, che hanno anche lindubbio

vantaggio di offrire una significativa palestra per lapprendimento e luso di

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tecniche relative allo studio dei parametri nelle equazioni, mediante il disegnodi grafici di rette (ma non soltanto, poich in alcuni casi si fanno intervenireanche curve diverse).

Un altro settore interessante certamente quello dei problemi di massimo eminimo; si tratta in gran parte di problemi storici su cui esistono soluzionialgebriche molto belle (si veda [3]) che hanno anche una significativa interpre-tazione geometrica elementare (storicamente anzi sono spesso nate daquestultima) ma forse poco significative per il discorso che stiamo sviluppan-do, in quanto molto formali ed astratte. Problemi di massimo e minimo si pre-stano tuttavia bene ad essere presentati agli alunni di una scuola secondaria,allinterno di una proposta didattica che parta dalla realt; sorge allora la ne-cessit di trovare modi per la ricerca degli estremi di una funzione, diversi daquelli classici basati sulluso delle derivate o dello studio di quadriche, in

quanto il primo viene trattato (e non sempre) al termine del ciclo degli studisecondari, ed il secondo addirittura non viene affrontato. Esistono problemi, diindubbio interesse per le applicazioni, i quali sono risolvibili anche con tecni-che elementari; mediante questi si pu tentare di coinvolgere anche gli alunnidella scuola secondaria in una ricerca matematica reale. Ne voglio qui propor-re tre esempi, tratti da [1] e da [5]

Problema A Una tipografia deve stampare dei fogli di simboli, in cui il testooccupa unarea rettangolare W (da disporre a piacere, in quanto priva di dire-

zioni privilegiate). Conoscendo i margini da lasciare in alto, in basso, a destrae a sinistra, si determinino le dimensioni ottimali del foglio per minimizzarelimpiego di carta.

Problema B Si determinino le proporzioni fra le dimensioni di una lattinacilindrica, in modo che risulti minimo il consumo di metallo, a parit di volu-me V di contenuto.

Problema C Si deve costruire un oleodotto che porti il petrolio da una piat-taforma A in mezzo al mare ad un porto B sulla costa. Sapendo che le spese dicostruzione sono pari a N $/m sulla terraferma ed M $/m in mare, si determiniil percorso di minor costo.

Tutti questi problemi conducono alla ricerca del minimo di una funzioney=F(x); tale minimo immediatamente calcolabile con luso delle derivate.Supponiamo per di non aver ancora introdotto tale strumento matematico e

cerchiamo una soluzione per via elementare, in particolare per via algebrica o

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analitica, poich ancora una volta la via geometrica (si veda in [1 ] una via diquesto tipo per la soluzione del problema C) risulterebbe astratta, mentre le al-tre ci permettono di conservare, come vedremo, una interessante aderenza allasituazione considerata.

A mio parere, i vari metodi qui presentati hanno il vantaggio di richiamarecostantemente lo studente alla necessit di applicare in modo corretto le diver-se definizioni, guidandolo ad un ragionamento che ha tutte le caratteristiche diuna dimostrazione applicata ad un caso reale. proprio la trasparenza diquesti metodi che a mio avviso li rende preferibili (nel senso fin qui richiama-to, naturalmente) ad altri pi sintetici, quali sono ad es. quelli esposti in [3], dacui pure si possono ricavare con notevole eleganza i risultati che seguono.

Problema A

La superficie stampata risulta pari a

La funzione da minimizzare risulta pertanto del tipo F(x) = ax + b/x (dovea,b>0). Questo problema permette una soluzione per via algebrica ed una pervia analitica.

Posto F(x) = z, lequazione z = ax + b/x, cio ax2 zx + b = 0, risolvibilerispetto a x (cio permette di realizzare il foglio desiderato) se il discriminantez2 4ab positivo o nullo, cio (poich z 0) sez = 2ab = F(x).

Questo valore minimo della funzione corrisponde a

Un approccio forse pi proficuo per lo studente pu venire da considerazio-ni sul grafico della funzione F(x), vista come somma (per x>0) della retta y=axe delliperbole equilatera y=b/x. ragionevole aspettarsi che il minimo della

somma lo si trovi nel punto di incontro, dove ciascuna delle due funzioni for-

xz

a

b

a= =

S x v v y u u xy x u u y v v u u v v

x u uW

xv v W u u v v

= + + + + = + + + + + + +

= + + + + + + +

( ' )( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' )( ' )

( ' ) ( ' ) ( ' )( ' )

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u

y

xv

u'

v'

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nisce un contributo piccolo al totale.

Tale intuizione viene effettivamente confermata da un semplice calcolo, notan-

do che perx = (soluzione positiva di ax=b/x) si ha

F(x) e davvero , x>0.

Problema B

Si indichi con x il raggio di base del cilindro, di volume noto V, e sia h la suaaltezza. Larea della superficie totale sar pari a:

e dunque dovremo minimizzare una funzione del tipo: F(x) = ax2 + b/x (a,b>0).Qui i metodi indicati per il problema precedente non funzionano; risulta

per estremamente istruttivo lesame dellanalogo meccanismo di geometria

analitica, alla ricerca del perch esso non funziona, nonostante in modo al-trettanto ragionevole si possa dedurre che un punto di minimo per la nostrafunzione deve esistere: la somma delle due funzioni infatti decresce in un in-torno del punto di intersezione, per poi tornare a crescere indefinitamente;tuttavia un semplice calcolo mostra che il punto di intersezione non il puntodi minimo cercato. Lintuizione dellesistenza del punto di minimo tuttavia cipu portare alla soluzione effettiva, con il semplice aiuto del metodo di scom-posizione secondo Ruffini.

Sia infatti t il valore della x corrispondente al minimo e sia F(t) (=at2+b/t) il

valore della funzione in tale punto; dovr allora essere F(x)=ax2 + b/x F(t),ovvero ax3 xF(t) +b0 per ogni x (>0).Poich per definizione ax3 xF(t) + b = 0 per x = t, allora x t dovr divi-

dere il trinomio ax3 xF(t) + b. Scomponendo mediante il metodo di Ruffiniotterremo:

ax3 xF(t) + b = (x t)(ax2 + atx F(t) + at2).Ora, se il secondo fattore non fosse divisibile per (x t), il trinomio dato nonpotrebbe essere sempre 0. Perci t deve essere anche soluzione diax2 + atx F(t) + at2=0, cio dovr essere 3at2=F(t)(=at2+b/t) da cui .t

b

a

=

2

3

S x xh x xV

xx

V

x= + = +

= +2 2 2 2 2 22 2 2

2

= + = 2 2 02F x ab axb

xab ax

b

x( ) ( )= 2 ab

b

a

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Per tale valore di t si ottiene infattiax3 xF(t) + b = (x t)(ax2 + atx F(t) + at2) = (x t)2 (ax + 2at) 0 per ognix positiva.(Il metodo qui proposto generalizzabile senza difficolt alla ricerca del mini-mo di una funzione F(x) = axn + b/xm, con a,b>0 ed m,n interi positivi).

Sostituendo i valori del problema alle costanti a e b, si ricava che la superfi-

cie totale del cilindro minima quando il raggio di base x pari a , ov-

vero quando laltezza uguale al diametro di base.Questa scoperta pu facilmente prestarsi a considerazioni sulle forme dei con-tenitori pi comuni in commercio, confrontando una lattina di bibita, per cui sipreferisce privilegiare la forma anatomicamente pi maneggevole, ed un barat-tolo di pomodori pelati, per cui invece la forma segue la formula di ottimizza-

zione trovata per via teorica.

Problema C

( )V

223

A

D C B

Se AD=h, DB = g, posto DC=x, il percorso AC+CB avr un costo pari a:

.Minimizzare il costo significa precisamente minimizzare una funzione del tipo:

(*).

In [1] abbiamo considerato questo problema proponendone anche una solu-zione per via geometrica elementare, che coinvolge luso di un modello geo-

metrico che interpreta le grandezze in gioco come lunghezze e aree di opportu-

y h x kx= + 2 2

S M h x N g x= + + 2 2 ( )

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ni parallelogrammi, sviluppando quindi alcune considerazioni a partire dai cri-teri di equivalenza fra questi ultimi. Tuttavia la ricerca del minimo per taleclasse di funzioni si presta anche ad uno studio per via algebrica o per via ana-litica.

Per quanto riguarda la via algebrica, in [1] sono proposte due diverse stra-de; di queste, una (che segue lanaloga proposta per la soluzione del ProblemaA) mi sembra essere particolarmente interessante poich presenta una applica-zione concreta della tecnica di discussione delle equazioni irrazionali .

Osserviamo anzitutto che (dovendo essere x>0 e k>0), la ricerca del mini-mo per la funzione ha un senso se k1 (da cui segue facilmente y>0).

Altrimenti si prova facilmente che y assume valori positivi solo per ,

mentre al crescere della x, la y assume valori negativi sempre crescenti in

valore assoluto (come facile verificare con un semplice esame della disugua-glianza coinvolta) e pertanto il minimo non pu esistere. Si noti come questainformazione su k corrisponda nel nostro problema alla ovvia supposizioneche il costo per la posa di un tratto di oleodotto in mare superiore a quellodella posa di un tratto corrispondente sulla terraferma, mentre nel caso oppostosi avrebbe addirittura un costo negativo.

Ci detto, si trasformi la funzione (*) in equazione e la si razionalizzi, inmodo da ottenere:x2(k2 1) + 2kxy +y2 h2 = 0, che risolveremo rispetto ad x.Dovendo essere x reale, il discriminante di tale equazione dovr essere positi-

vo o nullo, il che vero (ricordando che y >0) solo per . Ne segueche tale valore di y rappresenta il minimo valore possibile per la funzione edesso (annullando il discriminante) corrisponde al valore cercato della variabile

, ascissa del punto di minimo per la nostra funzione.

Assai interessante comunque ancora una volta la via grafica alla ricercadel minimo. La funzione (*) pu essere vista come la misura della distanza fraun ramo della iperbole equilateray2 x2 = h2 e la retta y=kx. Di nuovo imme-diato dedurne che, perch abbia senso la ricerca del minimo per tale distanza,deve essere kl (1 precisamente il coefficiente angolare dellasintoto destrodelliperbole); in questo caso la distanza sar minima nel punto di contatto frail ramo di iperbole e la retta di coefficiente angolare k e tangente alliperbolestessa. Un semplice calcolo permette di nuovo di trovare il valore di x corri-spondente.

xky

k

kh

k=

=

1 12 2

y h k 12

xh

k

2 1

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Bibliografia

[I] R. Bianchi, B. Piochi - Una via geometrica elementare per la ricerca del minimo su una fami-glia di funzioni,Archimede, Fasc. 1, 1992, pp. 30-35

[2] A. Contardi, M. Pertichino, B. Piochi, Apprendimento della matematica: insegnamento perproblemi e alunni con handicap, Psicologia e Scuola, 71 (XV) (1994), pp. 3-8

3] D. Palladino - Massimi e minimi per via elementare,Nuova secondaria, vol V (5), 1988, pp.67-69

[4] AA.VV., Problemi e alunni con problemi, Pitagora Ed., Bologna 1997[5] B. Piochi - Problemi di minimo risolvibili con metodi elementari, in B. Micale e G. Pluchino

(a cura di), Atti XV Convegno sullinsegnamento della matematica: Aritmetica, informatica,logica nelleducazione matematica, Grosseto, 29-31 ottobre 1992, Notiziario Unione Mate-matica Italiana, suppl. n. 5, maggio 1993, pp. 137-140

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DEFIN IZION I DI CON TINUIT

Umberto BottazziniDipartimento di Matematica e Applicazioni, via Archirafi 34 - I - 90123 Palermo e

Centro Linceo Interdisciplinare B. Segre, Accademia dei Lincei, via della Lungara 10

I - 00165 Roma

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PROPOSTE PER LESAM E DI M ATURIT E PERPROVE CON CLUSIVE DI AN ALISI M ATEM ATICA

Parte dei lavori di gruppo che si sono svolti durante il Corso stata dedica-ta alla valutazione finale dell'apprendimento dell'analisi matematica e alle pro-ve di maturit. I corsisti hanno in primo luogo cercato di individuare gli obiet-tivi principali e gli obiettivi minimi da raggiungere, quindi hanno esaminato econfrontato le diverse possibili strutture di una prova finale (problemi con va-rie domande, dipendenti o indipendenti fra loro, oppure quesiti multipli, even-tualmente a risposta chiusa), e hanno discusso i metodi di valutazione. Infine,ciascun corsista ha elaborato una proposta per una prova conclusiva di un cor-

so di studi.Riportiamo alcuni dei temi proposti, precisando che:

i temi seguenti presentano strutture e tipologie diverse, anche perch sonostati pensati in relazione ai diversi ordini scolastici (Liceo Scientifico, Li-ceo Classico, Istituto Magistrale, Istituti Tecnici, Istituti Professionali);

in alcuni casi, per motivi di spazio, riportata solo una parte di un temaproposto;

la difficolt varia notevolmente da tema a tema: alcuni appaiono pi sem-plici dei temi usualmente proposti alla maturit, altri decisamente pi com-plessi; alcuni compiti possono forse risultare pi adatti per una prova incorso d'anno, mentre altri possono essere ragionevolmente assegnati soload una classe che abbia seguito un particolare itinerario didattico;

in alcuni casi la terminologia discutibile, o diversa da quella adottata co-munemente, ma, in generale, abbiamo preferito non modificarla; inoltrenon sono state uniformate le notazioni (ad esempio l'abbreviazione per in-dicare i logaritmi);

alcuni dei temi proposti si riferiscono ai programmi di ordinamento, altri ai

programmi sperimentali (PNI e Brocca), mentre in qualche caso sono citatiargomenti che non rientrano nei programmi n di ordinamento n speri-mentali.I temi riportati presentano molti spunti interessanti sia dal punto di vista

matematico, sia sul piano didattico; ci auguriamo che, nella loro diversit, pos-sano costituire un punto di riferimento concreto ed interessante per una discus-sione al riguardo.

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ELEN CO DEI PARTECIPAN TIDirezione Classica

Donata Angioli Lic. Scientifico Redi ArezzoTiziana Bindo Lic. Scientifico Moscati Grottaglie TAGiovanni Bratina Lic. Classico P. Trubar Gorizia

Bruno Antonio Cifra Lic. Scientifico Majorana LatinaRosario Greco Lic. Scientifico Majorana Caltagirone CTMichele Impedovo Lic. Scientifico Gavirate VANicoletta Nolli Lic. Scientifico Aselli CremonaPaolo Pendenza Lic. Scient. Leonardo da Vinci TrentoGiorgia Pidello Lic. Scientifico Marie Curie Grugliasco TOMichele Piraino Ist. Magistrale Patriarca Capialbi Vibo ValentiaMarco Quondamcarlo Lic. Scientifico Donatelli TerniMaria Ragagni Lic. Scient. Leonardo da Vinci Casalecchio di Reno BOAngela Rizza Ist. Magistrale S. Vitale ParmaFerruccio Rohr Lic. Scientifico Nomentana RomaDonato Rossi Lic. Ginnasio Facibelli Isernia

Giovanna Rovero Lic. Scientifico G. Bruno TorinoRiccardo Rugani Lic. Classico Forteguerri PistoiaSandra Schiavoni Lic. Scientifico L. Di Savoia AnconaAnna Laura Trampetti Lic. Scientifico Sbordone NapoliCaterina Vespia Lic. Classico Ed. Femm. Angeli Verona

Direzione ProfessionaleMarziano Allegrone IPSCT Carbone Tortona ALM. Pia Candeliere IPSIA Galilei Gravina BAErnesto Catara IPSIA Giorgi TrevisoRaffaella Ceci IPSCT Bresso MIAnna Lo Presti IPSIA E. Medi PalermoFabrizio Monari IPSSCT Monghidoro BOBruno Rosaia IPA Pacinotti La SpeziaLetterio Scopelliti IPSSCT Flora Pordenone

Direzione ArtisticaGraziella Camera Liceo Artistico Paul Klee GenovaDomenico Carpino ISA SiracusaFrancesco Damico Liceo Artistico LeccoM. Rosaria Di Napoli Istituto dArte Scola Calitri AVSusanna Fabbri ISA PisaAnna Michelazzi Istituto dArte Russoli PisaFranca Piacci Liceo Artistico Nervi RavennaRosanna Rizzo Liceo Artistico Firenze

Fabrizio Russo ISA Vittoria TrentoDirezione TecnicaVincenzo Aieta ITC Pitagora Castrovillari CSMichele Baldassarre ITC DellAndro Santeramo C. BAFerdinando Casolaro ITG Della PortaMaria Clerico ITIS Giorgi RomaLuigi Fracciotto ITIS Q. Sella BiellaDorotea Jacona ITIS Marconi CataniaEnrico Lamanna ITC Corridori Osimo ANM. Aurora Mangiarotti ITCT Bordoni PaviaAngela Merello ITIS Calvino GenovaPaolo Oliva ITG Pascal Reggio Emilia

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APPEN DICE

1 . ELEN CO DELLE SCUO LE POLO

Le scuole polo, di cui si pubblica lelenco, hanno assunto il compito di distri-buire i Quaderni agli istituti che rientrano nel territorio loro affidato.I Presidi che non avessero ricevuto tutti i numeri della collana possono pertan-to richiederne linvio alla scuola polo dellarea provinciale di appartenenza.

ELENCO SCUOLE POLO DELLA ZONA - A

LM SLATAPER Corso Verdi, 17 Gorizia

LS TORRICELLI Via Udine 7 Maniago (PN)LC PETRARCA Via Rossetti, 74 TriesteIM PERCOTO Via Pier Silverio Leicht, 4 UdineIM GOBETTI Via Istituto Tecnico, 1 Genova-SampierdarenaIM AMORETTI Piazzetta G.B. De Negri, 2 ImperiaIM MAZZINI Viale Aldo Ferrari, 37 La SpeziaIM G. DELLA ROVERE Via Monturbano, 8 SavoiaIM G. FALCONE Via Dunant, 1 BergamoLS CALINI Via Monte Suello 2 BresciaLS GIOVIO Via P. Paoli, 38 Como

LC MANIN Via Cavallotti, 2 CremonaIM TENCA Bastioni Porta Volta, 16 MilanoLS MAJORANA Via Ratti, 88 Rho (MI)IM PARINI Via Gramsci, 17 Seregno (MI)LC VIRGILIO Via Ardig, 13 MantovaIM CAIROLI Corso Mazzini, 7 PaviaLS NERVI Piazza S. Antonio Morbegno (SO)LS LUINO Via Lugano, 24 Luino (VA)IM SALUZZO Via E. Fa di Bruno, 85 AlessandriaIM MONTI Piazza Cagni, 2 Asti

IM LEONARDO DA VINCI Piazza S. Francesco, 1 Alba (CN)IM BELLINI Baluardo La Marmora NovaraLS GRAMSCI Colle Bella Vista Ivrea (TO)LS GOBETTI Via M. Vittoria, 39 bis TorinoIM ROSA STAMPA Corso Italia, 48 VercelliIM PASCOLI Via M. Longon, 3 BolzanoLC VON DER VOLGELWIDE Via A. Diaz, 34 BolzanoLS LEONARDO DA VINCI Via Giusti, 1/1 TrentoIM BINEL Via Franchet, 111 Verres (AO)LC TIZIANO Via Cavour, 2 BellunoIM AMEDEO DI SAVOIA Via del Santo Padova

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IM ROCCATI Via Carducci, 8 RovigoLC CANOVA Via Mura S. Teonisto, 16 TrevisoIM STEFANINI Via Miglio Venezia - MestreLC G. B. BROCCHI Via Beata Giovanna, 67 Bassano del Grappa (VI)IM VERONESE Via Fiume, 61/B San Bonifacio (VR)

ELENCO SCUOLE POLO DELLA ZONA - B

LC D. COTUGNO Portici del Liceo LAquilaIM ISABELLA GONZAGA Via dei Celestini ChietiIM MARCONI Via M. Da Caramanico, 6 PescaraIM MILLI Via G. Carducci TeramoLS COPERNICO Via F. Garavaglia, 11 BolognaLC ARIOSTO Via Arianuova, 19 FerraraLS RIGHI Piazza Aldo Moro, 76 Cesena (FO)LS FANTI Viale Peruzzi, 7 Carpi (MO)LC GIOIA Viale Risorgimento, 1 PiacenzaLC C/O C.N. MARIA LUIGIA Via Lalatta, 14 ParmaLS RICCI CURBASTRO Viale degli Orsini, 8 Lugo (RA)LS MORO Via XX Settembre, 5 Reggio EmiliaIM REGINA MARGHERITA Viale Regina Margherita Anagni (FR)LS MAJORANA Via Sezze LatinaIM ELENA PRINC. NAPOLI Piazza Mazzini, 2 RietiLC MAMIANI Via delle Milizie, 30 Roma

LS PEANO Via Morandini, 38 RomaSM MONTESSORI Via Livenza, 8RomaIM S. ROSA DA VITERBO Via S. Pietro, 27 ViterboLS LEONARDO DA VINCI Viale G. Verdi, 23 Jesi (AN)IM MERCANTINI Via Emidio Consorti, 28 Ripatransone (AP)IM VARANO Via Pieragostino, 18 Camerino (MC)LC MAMIANI Via Gramsci, 2 PesaroIM PRINCIPESSA ELENA Via Trieste, 1 CampobassoIM CUOCO Via G; Leopardi IserniaLS REDI Via Leone Leoni, 38 Arezzo

LS C/O C.N. CICOGNINI Piazza del Collegio, 13 PratoIM ROSMINI Viale Porciatti, 2 GrossetoIM PALLI BARTOLOMEI Via Maggi, 50 LivornoLS VALLISNERI Via delle Rose, 68 LuccaIM MONTESSORI Via Lunense, 39/B Marina di Carrara (MS)LS BUONARROTI Via Betti PisaIM LORENZINI Via Sismondi, 7 Pescia (PT)LC PICCOLOMINI Prato S. Agostino SienaLS LEONARDO DA VINCI Via Tusicum Umbertide (PG)LC TACITO Viale Fratti, 12 Terni

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ELENCO SCUOLE POLO DELLA ZONA - C

IM T. STIGLIANI Via Lenera, 61 MateraIM GIANTURCO Via Zara PotenzaLS FERMI Via Molinella, 30 CosenzaLC GALLUZZI Via De Gasperi Catanzaro

IM GRAVINA Via Foscolo CrotoneIM ALVARO Via Campanella Palmi (RC)IM CAPIALBI Via S. Ruba Vibo ValentiaIM IMBRIANI Viale Italia, 2 AvellinoIM GUACCI Via Nicola Calandra, 138 BeneventoIM SALVATORE PIZZI Piazza Umberto I Capua (CE)LC VICO Via Salvator Rosa, 117 NapoliLS CALAMANDREI Via Comunale Maranda, 84 Napoli - BarraIM SERAO Via Carducci, 18 Pomigliano dArco (NA)IM ALFANO I Via dei Mille Salerno

LC TROYA Via R. Sanzio Andria (BA)LS E. MAJORANA Via A. Moro, 19 Mola (BA)IM PALUMBO Via A. Grandi, 17 BrindisiIM RONCALLI Piaza Europa Manfredonia (FG)LC CAPECE Piazza Moro, 37 Maglie (LE)LC ARISTOSSENO Viale Virgilio, 15 TarantoLS PACINOTTI Via Liguria CagliariLS FERMI Via Veneto, 45 NuoroIM CROCE Via G. DAnnunzio OristanoIM CASTELV Via Manno, 58 Sassari

LS LEONARDO Via della Vittoria AgrigentoLC RUGGERO SETTIMO Via Rosso di San Secondo CaltanissettaLC C/O C.N. CUTELLI Via V. Emanuele II, 56 CataniaIM CRISPI Via Padova, 50 Piazza Armerina (EN)LS ARCHIMEDE Viale Regina Margherita, 3 MessinaIM DE COSMI Via L. Ruggieri, 15 PalermoIM MAZZINI Via Curtatone Vittoria (RG)IM RAELI Via Matteo Raeli, 9 Noto (SR)IM SALVO Via Marinella, 1 Trapani

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VOLUMI DELLA COLLANA QUADERNIGI PUBBLICATI

1 Gestione e innovazione*

2 Lo sviluppo sostenibile3 La valenza didattica del teatro classico4 Il postsecondario per la professionalit* (2 tomi)5 Dalla memoria al progetto6 La sperimentazione della sperimentazione*7 Lalgebra fra tradizione e rinnovamento8 Probabilit e statistica nella scuola liceale9 LItalia e le sue isole10 Lingua e civilt tedesca

11 La scuola nel sistema polo** (manuale guida)12 La citt dei filosofi13 Le citt dEuropa14 Dal passato per il futuro15 Gestione, innovazione e tecnologie*16 Per non vendere il cielo17 Briser la glace: la dinamica della comunicazione francese18 Dalla lingua per la cultura: la didattica del latino19 Linsegnamento della geometria (2 tomi)20 La lingua del disegno: al crocevia fra scienza e arte21 Insegnare storia**22 Problemi della contemporaneit.

Tomo primo: Unit e autonomie nella storia italiana23 Aritmetica**24 Analisi matematica**

N.B. I titoli caratterizzati dallasterisco (*) si riferiscono a Quaderni dedicati alla formazio-

ne dei Presidi; gli altri sono dedicati alla formazione dei Docenti. I titoli segnalati coldoppio asterisco (**) si riferiscono alla serie Documenti di lavoro

VOLUMI IN CORSO DI PUBBLICAZIONE25 Logica, probabilit, statistica26 Se hace camino al andar: didattica della comunicazione spagnola27 Gli IDEI nel progetto formativo

28 Il linguaggio dei linguaggi

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matteoni stampatore Lucca

marzo 1998

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Io non credo che si renda omaggioalla verit e alla giustizia, che dellaverit compagna inseparabile,se non si riconoscono accanto ai limitie alle carenze, non lievi, certamente nonmarginali, che a volte toccano la vita

della scuola, anche i meriti e limpegno,sempre umile e qualche volta eroico,dei tanti che nella scuola ci stanno confermezza di propositi, con chiarezza diobiettivi, con sincerit di convinzionisocio-culturali.

Romano Cammarata