§2.4 行列式按一行（列）展开

高等代数课件 -- 天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组

§2.4 行列式按一行（列）展开

第二章行列式


上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。

例如

11 12 13

21 22 23

31 32 33

31 12 23 13 22 32 11 23 13 21 33 11 22 12 21

a a a

a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a

12 13 11 13 11 1231 32 33

22 23 21 23 21 22

a a a a a aa a aa a a a a a


22 23 21 23 21 2211 12 13

32 33 31 33 31 32

a a a a a aa a aa a a a a a

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31a a a a a a a a a a a a a a a a a a

如果我们能把 n 阶行列式转化为 n-1 阶行列式，把 n-1 阶行列式转化为 n-2 阶，…，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。

为了这个目的，我们需引进如下概念：

一、余子式和代数行列式定义 1 （余子式）：在一个 n 阶行列式 nD 中，划去元素 ija 所在的

行和列，余下的元素构成一个 n-1 阶子式，称为元素 ija的余子式，记为

ijM


定义 2 （代数余子式）：ija 的余子式 ijM 附以符号 1 i j 后，称为元素 ija 的代数余子式，记为

ijA 。 1 i j

ij ijA M

例 1 在行列式

a b c d

g h p qD

s t u v

w x y z

中，求元素 p 和 s 的余子式

和代数余子式。

二、行列式依行（列）展开先考虑比较特殊的情况，即一个 n 阶行列式中某一行（列）除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理。


引理：如果行列式

11 1 1

1

1

j n

i ij in

n nj nn

a a a

a a aD

a a a

中，第 i 行（或第 j

列）中元素除了 ija 外其余都是零，则 .ij ijD a A证明：

1 、 D 中第一行元素除 11a 外其余皆为零，这时

2

2

2

11

121 22 211 2

1

1 2

0 0

1 n

n

n

j jnj nj

j j

n n nn

a

a a aD a a a

a a a


2

2

2

11 21 n

n

n

j j

j njj j

a a a

22 23 2

32 33 311

2 3

n

n

n n nn

a a a

a a aa

a a a

1 111 111a M

11 11a A

2 、假设 D 中第 i 行除 ija 外其余皆为零，这时11 1 1 1 1 1 1

1 1 1

0 0 0 0

j j j n

ij

n nj nj nj nn

a a a a a

aD

a a a a a


此时11 1 1 1 1 1

1 1 1

,j j n

ij

n nj nj nn

a a a a

M

a a a a

1 i j

ij ijA M

把 D 中的第 i 行依次与第 i-1 行，第 i-2 行，…，第 1 行对换，再把第 j 列依次与第 j-1 列，第 j-2 列，…，第 1 列对换，这样共经过（ i-1 ） + （ j-1 ）次行与列的对换，则 D 转化为

1D

1

1

0 0ij

j

ij ijij

nj

a

aD a M

M

a

注意到行列式中任两行（列）的对换改变行列式的符号，故

1 1

11 1i j i j

ij ij ij ijD D a M a A


3 、行列式依行（列）展开定理 1: 行列式 nD 等于它的任意一行（列）中所有元素与

其代数余子式乘积的和，即有1 1 2 2 ,n i i i i in inD a A a A a A 1 ,i n

或 1 1 2 2 ,n j j j j nj njD a A a A a A 1 .j n

证：

11 12 1

1 2

1 2

n

n i i in

n n nn

a a a

D a a a

a a a

11 12 1

1 2

1 2

0 0 0 0 0

n

i i in

n n nn

a a a

a a a

a a a


11 12 1 11 12 1 11 12 1

1 2

1 2 1 2 1 2

0 0 0 0 0 0

n n n

i i in

n n nn n n nn n n nn

a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a

1 1 2 2 .i i i i in ina A a A a A

定理 2: 行列式

11 12 1

1 2

1 2

1 2

n

i i in

n

j j jn

n n nn

a a a

a a a

D

a a a

a a a

中，某一行（列）中元素

与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即有


1 1 2 2 0,i j i j in jna A a A a A .i j

1 1 2 2 0,s t s t ns nta A a A a A .s t

考察行列式

11 12 1

1 2

1 2

1 2

0

n

i i in

n

i i in

n n nn

a a a

a a a

D

a a a

a a a

然后按第 j 行展开即知。

例 2 计算行列式 4

3 1 0 2

1 0 6 2

1 0 1 1

3 2 0 1

D


解：4

3 1 0 2

1 0 6 2

1 0 1 1

3 2 0 1

D

1 2 4 2

1 6 2 3 0 2

1 1 1 1 1 2 1 1 6 2

3 0 1 1 1 1

7 0 4 3 0 2

1 1 1 2 7 0 4

3 0 1 1 1 1

7 4 3 21 2

3 1 7 4

1 7 12 2 12 14

19 4 23


例 3 计算行列式 4

1 1 1 1

1 2 3 4

1 3 6 10

1 4 10 20

D

解：4

1 1 1 1

0 1 2 3

0 1 3 6

0 1 4 10

D

1 2 3

1 3 6

1 4 10

1 2 3

0 1 3

0 1 4

1

计算行列式的一个基本方法是：先利用行列式的性质把某行（列）化成有尽可能多的零，然后把行列式按这行（列）展开，这样计算要简单。如果不分青红皂白把行列式降阶，由于要计算的行列式个数成倍增多，则计算量未必减少。


例 4 计算范德蒙行列式

1 2 12 2 2 21 2 1

1 1 1 11 2 1

1 1 1 1

n n

n n n

n n n nn n

a a a a

D a a a a

a a a a

解：

1 2 12 2 21 1 2 2 1 1)

1 2 1 2 1 21 1 2 2 1 1

1 1 1 1

0

0

0

n n n n

n n n n n n

n n n n n nn n n n n n

a a a a a a

D a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

n

依次从第n-1行起到第一行，每行乘以

(-a 加到下一行=


1 2 1

1 1 2 2 1 11 2 2 2

1 1 2 2 1 1

2 2 21 1 2 2 1 1 1

1

n n n n

n n n n nn

n n n n n

n n nn n n n n n

a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

1 2 2 1

11 1 2 2 2 21 2 2 1

1

2 2 2 21 2 2 1 1

1 1 1 1

1 1n n

nn n

n i n ni

n n n nn n n

a a a a

a a a a a a

a a a a

1

11

n

n i nia a D

1 2

1 21 1

n n

n i n i ni ia a a a D


1 2

31 11 2

1 1n

n i ii ia a a a

a a

1

j ii j n

a a

这种计算行列式的方法称为递推法

证明范德蒙行列式 1

n j ii j n

D a a

也可用归纳法证之

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