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2. Modelado del comportamiento dinámico de procesos
2
2. Modelado del comportamiento dinámico de procesos2.1. Introducción2.2. La función de transferencia2.3. Funciones de Transferencia de una red
eléctrica2.4. Funciones de transferencia de un
sistema mecánico trasnacional2.5. Funciones de transferencia de un
sistema mecánico rotacional2.6. Funciones de transferencia para
3
2.1. Introducción al modelado
4
2.1. Introducción al Modelado
2.1.1. ¿Qué es un sistema?2.1.2. ¿Qué es un modelo?
Tipos de modelos. 2.1.3. ¿Qué es una simulación?2.1.4. Modelado
5
2.1.1. ¿Qué es un sistema?
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DEFINICIÓN: (B. Ziegler): “A system is a potential source of data.”
DEFINICIÓN: Es un conjunto de componentes, partes u objetos, que interactúan unos con otros dentro de unos límites para producir un determinado patrón de comportamiento.
DEFINICIÓN: “A system is defined by its boundary.”
DEFINICIÓN: (B. Gaines): “A system is what is distinguished as a system.”
La definición completa de sistema mediante su contorno implica tener en cuenta:
•Especificación de la frontera
• Los canales del contorno a través de los cuales el sistema interacciona con el entorno (entradas y salidas).
• La estructura interna y el comportamiento del sistema.
2.1.1. ¿Qué es un sistema?
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Entrad as
En tradas
Manipula das
Pert urbacionesMedida s
Medidas
Medidas
Medida
No
NoSISTEMAEntrad as
En tradas
Manipula das
Pert urbacionesMedida s
Medidas
Medidas
Medida
No
NoSISTEMA
El sistema y su entorno
SISTEMAENTRADAS MANIPULADAS
SALIDAS MEDIDAS
SALIDAS NO MEDIDAS
ENTRADAS PERTURBACIONES
MEDIDAS NO MEDIDAS
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TIPOS DE VARIABLES o SEÑALES
Entrada: Denotan el efecto del entorno sobre el proceso
Manipuladas: Sus valores se pueden ajustar libremente por un operador o una acción de control.
Perturbaciones: Sus valores no son ajustables.
Salida: Denotan el efecto del proceso sobre el entorno
Medidas: Sus valores se conocen por los sistemas de medida.
No medidas: Sus valores no se pueden medir de forma directa.
Internas: Son variables propias del sistema.
De estado: Definen el estado del sistema y necesitan conocer la historia del mismo para ser definidas. Es el conjunto mínimo de variables internas que define el estado del sistema.
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2.1.2. ¿Qué es un modelo?
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MODELO (M.Minsky): Un modelo M para un sistema S y un experimentoE, es cualquier cosa a la que se le puede aplicar E en orden a obtener respuestas a preguntas que hagamos sobre S.
MODELO: Es una representación simplificada de un sistema y estáformado por un conjunto de variables y por un conjunto de relacionesentre ellas. Con él se pretende mejorar nuestra habilidad de entender, explicar, cambiar, preservar, predecir y posiblemente controlar el comportamiento del sistema representado.
MODELO: Actúa como el objeto real modelado en cuanto a la imitación de ciertas características, pero su uso evita experimentos reales que pueden ser caros, peligrosos, lentos o físicamente imposibles.
1.2. ¿Qué es un modelo?
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Un modelo es:• La representación formal del sistema
• Las suposiciones que definen el contexto en el que el modelo es aplicado.
¿Predice el modelo los aspectos del comportamiento del sistema que nos interesan con suficiente exactitud para nuestra aplicación?
• El modelo sólo es válido en el contexto y bajo las suposiciones con las que ha sido desarrollado.• La extrapolación del modelo fuera del contexto es muy peligrosa.• Se debe verificar el modelo contra el sistema real siempre que sea posible.• Existen muchos modelos para un mismo sistema, cada uno representa una vista diferente del sistema. Es importante seleccionar un buen nivel de abstracción.
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CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS
FÍSICOS: Caros, difíciles de construir y usar.Estáticos: Maquetas,..Dinámicos:
-Analógicos: Circuitos eléctricos-Prototipos: Plantas piloto
MENTALES: Heurísticos, intuitivos.Son imprecisos y de difícil comunicación
MATEMÁTICOS: (Cuantitativos):Estáticos: No se considera la variable tiempo.Dinámicos: El tiempo es una variable del sistema.
-Analíticos-Numéricos
SIMBÓLICOS:Lingüísticos: Descripción de hechos
- Cualitativos- Basados en reglas.
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Simulación: Aplicar E en M para estudiar S.Simulación Inversa: Aplicar S en M para estudiar E.Diseño y Optimización: Estudio de los parámetros de M (Se conoce tanto la estructura como los estados internos).Control: Estudio de los parámetros que mantienen las especificaciones deseadas.Dado un conjunto de datosDado un conjunto de datos: Entrada (E) y salida (S)
Identificación: Encontrar la estructura y parámetros del modelo M.Estimación: Encontrar los estados internos de M. (Se conoce su estructura).
MODOS DE OPERACIÓN DE UN MODELO
Entrad as
En tradas
Manipula das
Pert urbacionesMedida s MedidasMedidas MedidaNo NoSISTEMAEntrad as
En tradas
Manipula das
Pert urbacionesMedida s MedidasMedidas MedidaNo NoSISTEMAMODELOM(P,D)
ENTRADAS
E
SALIDAS
S
P = ParámetrosD = Dimensiones
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QUÉ DEBE TENER UN BUEN MODELO
PRECISIÓN
Ni mucha ni pocaCuantitativa y cualitativa
VALIDEZ
Rango de validezCondiciones de operaciónCondiciones transitoriasPropiedades internas
COMPLEJIDAD
Simple (macroscópico)Detallado (microscópico)Orientado a los fenómenos
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¿Como obtener modelos?
Mediante razonamientos,usando leyes de físicas,químicas, etc.
MODELOS DE CONOCIMIENTO
Mediante experimentacióny análisis de datos
MODELOS POR IDENTIFICACIÓN
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Clasificación de los modelos
MODELOSMODELOS DE CONOCIMIENTO
Cajas Blancas (Leyes físicas y químicas)MODELOS POR IDENTIFICACIÓN
cajas grisescajas negras
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Modelos de conocimiento(Leyes físicas y químicas)
Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc y otras leyes particulares del dominio de aplicaciónTienen validez generalRequieren conocimiento profundo del proceso y de las leyes físico-químicasFormados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicasÚtiles para muchos fines
- ¿Qué pasa si?- Diseño- Pruebas antes de la implementación
Difíciles de manipular matemáticamenteSe resuelven mediante simulaciónSuelen tener algún parámetro desconocido
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Modelos por IdentificaciónEL MODELO SE OBTIENE A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES DE ENTRADA-SALIDA DEL PROCESO
tt
YUU
Y
Proceso
Modelo
IMPORTANTE: EL SISTEMA TIENE QUE ESTAR CONSTRUIDO Y DISPONIBLE
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Tipos de Modelos por Identificación
Modelos de caja negraSe postula una relación matemática entre la entrada y la salida que depende de unos parámetros que deben ser estimados mediante los datos experimentales, sin que dicha relación deba estar fundada directamente en leyes físico-químicas u otras.
Modelos grisesSon modelos de conocimiento en los que una parte está modelada como un modelo de caja negra, la cual representa ciertos fenómenos complejos o difíciles de modelar de otra forma.Todos los tipos de modelos requieren de una etapa de estimación de los valores de sus parámetros en mayor o menor medida.
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ESPECTRO DEL MODELADO Y LA SIMULACIÓN
SistemasPsicológicos
SistemasSociales
SistemasEconómicos
SistemasBiológicos
SistemasQuímicos
SistemasMecánicos
SistemasEléctricos
CajasNegras
CajasBlancas
AEs AEs ODEs
/DAEs
DAEs
/PDEsODEs ODEs
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Clasificación de los modelos matemáticos
Estático vs. Dinámico: Modelo estático: Relaciona las variables sin importar el tiempoModelo dinámico: Relaciona las variables a lo largo del tiempo
Agrupados vs. Distribuidos:Agrupado: No se considera relaciones en el espacio.Distribuido: Se considera el espacio y por tanto los elementos están distribuido en el espacio.
Continuos vs. Discretos: Continuos: Las variables se consideran que son continuas en el tiempoDiscretos: Variable muestreadas o por eventos
Lineal vs. No lineal:Lineales: Rige relaciones lineales entre sus componentes (principio de superposición lineal)No Lineales: Rige relaciones no lineales entre sus componentes
Invariantes vs. variante en el tiempoInvariantes en el tiempo: Los parámetros permanecen constantes en el tiempoVariantes en el tiempo: Los parámetros varían en el tiempo
Determinísticos vs. Estocásticos: Determinísticos: se conoce exactamente el valor de los parámetros y variablesEstocásticos: Se conocen distribuciones de probabilidad de los valores de los parámetros y variables
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Dinámicos Estáticos
Determinísticos Estocásticos
Parámetros concentrados Parámetros distribuidos
Coeficientes Variables
Tiempo contínuo Tiempo discreto
Non linealesLineales
Tipos de modelos
Coeficientes constantes
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Estático Dinámico
Agrupados AE ODEDistribuidos PDE Eliptica PDE Parabólica
Determinísticos NLAE ODEs/PDEEstocásticos AE y DE ODEs estocásticas y DE
Continuos AE ODEDiscretos DE DE
Lineal LAE LODENo lineal NLAE NLODE
Ecuaciones que resultan de los diferentes modelos
AE: Ecuaciones algebraicas.
LAE: AEs lineales.
NLAE: AEs no lineales.
ODE: Ecuaciones diferenciales ordinarias. LODE: ODEs lineales. NLODE: ODES no lineales.DE: Ecuaciones en diferencias.PDE: Ecuaciones en derivadas parciales.
24
2.1.3. ¿Qué es la simulación?
25
1.3. ¿Qué es la simulación?
DEFINICIÓN: (g.Korn): “Una simulación es un experimento realizadosobre un modelo.”
DEFINICIÓN: Es la representación de un sistema que intentamantener las mismas características que el objeto simulado, descrito por el modelo.
DEFINICIÓN: Es la técnica de construir y ejecutar un modelode un sistema real con el fin de estudiar su comportamiento sin intervenir en el ambientedel sistema real.
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FASES EN LA SIMULACIÓN
Sistema
Correcciones Validación
Modelo
Simulaciones
Observación del comportamiento
(datos E – S)
27
2.1.4. Modelado
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Las características no esenciales del sistema identificadas
Todas las características del sistema
Las características del sistema incorrectamente identificadas
Todas las características esenciales del sistema
Las características esenciales del sistema identificadas
REALIDAD
MODELO
SISTEMA
29
2.1. Procedimiento de modelado
30
Procedimiento de modeladoDefinición
del problema
Identificar los factores ymecanismos controlantes
Evaluación de los datos del problema
Construcción del modelo
Resolver el modelo con los datos
Verificar la solución del modelo
Validar el modelo
Definición de los límites del sistema (volumen)
Definir las variables características
Establecer las ecuaciones
Restricciones de control y equipamiento
Suposiciones de modelado
31
Describir el proceso a modelar y el objetivo.Especificar entradas y salidas.Especificar el grado de exactitud requerido y el ámbito de aplicación.Especificar las características temporales.Especificar la distribución espacial.
1. Definición del problema
32
2. Identificar los factores y mecanismoscontrolantes
Qué procesos físico-químicos y qué fenómenos suceden:
Reacción químicaDifusión de masaConducción de calorTransferencia de calor por convecciónEvaporaciónMezcla turbulentaTransferencia de masa o energíaFlujo de fluidos
33
Evaluar los datos empíricos de que disponemos y su exactitud.Evaluar los parámetros de que disponemos y su exactitud.Si faltan datos o parámetros puede ser que el problema haya que redefinirlo.
3. Evaluar los datos
34
Desarrollar las ecuaciones del modelo.Procedentes de principios de conservación (serán ecuaciones algebraicas/diferenciales).Procedentes de ecuaciones constitutivas (serán en general ecuaciones algebraicas).Verificar la consistencia del modelo: chequeo de unidades y dimensiones.
4. Construir el modelo
35
Identificar la forma matemática del modelo.(generalmente AEs/ODEs/DAEs).Escoger un procedimiento (método numérico) de resolución.Intentar evitar problemas matemáticos (como “alto índice”) que dificultan el uso de métodos estándar de resolución.
5. Resolver el modelo
36
Verificar si el modelo se comporta correctamente.Verificar la correcta implementación (código del programa) del modelo.
6. Verificar la Solución del modelo
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7. Validar el modelo
Se chequea el modelo (los resultados de su simulación) con la realidad modelada.Posibilidades de validar el modelo:
Verificar las suposiciones de forma experimental.Comparar el comportamiento del modelo y del proceso real.Comparar el modelo con datos del proceso.
Realizar validaciones estadísticas: contraste de hipótesis, cálculo de medias, distribuciones, varianzas,...Corregir el modelo si los resultados de la validación no son de la exactitud especificada al formular la definición del modelo.
38
2.2. Principios de conservación
39
2.2. Principios de conservación
Se basan en los principios físicos que indican que la masa, la energía y el momento no pueden ser ni creados ni destruidos sino solo transformados.
Se establecen sobre una región de interés (con un volumen y una superficie asociada).
Esta región se suele denominar volumen de control.
Los volúmenes de control muchas veces se establecen:
•Los volúmenes físicos de los equipos.•Las diferentes fases presentes en un equipo.
Principal herramienta para el modelado
40
El balance dinámico sobre el sistema:
Cambio neto = Entra por - Sale por + Generación – Consumoacumulado la frontera la frontera neta netoen el tiempo
Este balance se aplica a: Masa, energía y momento.
Agrupados DinámicosDistribuidos Estáticos
Modelos macroscópicos (ODEs)Modelos microscópicos (PDEs)
GeneraciónConsumo
Acumulación
SISTEMA
Energía
Masa
Momento
Energía
Masa
Momento
41
2.2. La función de transferencia
42
2.2. La función de transferencia
2.2.1. Transformada de Laplace2.2.2. La función de transferencia2.2.3. Respuesta al impulso y función de transferencia de sistemas lineales2.2.4. Diagrama en bloques
43
2.2.1. Transformada de Laplace
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Motivación:La forma más sencilla de caracterizar un sistema es a través de su relaciónsalida entrada. En este tipo de enfoque no es tan importante conocerinternamente el sistema.
SistemaEntrada Salida
EntradaSalidasistemadelaciónCaracteriz =
Cuando el sistema no posee una dinámica interna. Es decir, su respuesta ante una entrada es instantánea o si existe dinámica pero es despreciable. La relación salida entrada es caracterizada por una expresión algebraica.
i(t) 1v(t) R
=R)(tv )(ti
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Sin embargo, cualquier sistema interesante, por más sencillo que sea, es de naturaleza dinámica y consecuentemente para su representación es necesario el uso de ecuaciones diferenciales.
dtdiLtV =)(?
)()( =tVti L)(tv
)(ti
para caracterizar los comportamientos de los sistemas dinámicos frecuentemente se usa la transformada de Laplace. Cualquier sistema que pueda describirse por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo puede ser analizado en el método operacional de Laplace.
El método de la transformada de Laplace convierte las ecuaciones diferenciales lineales de “difícil” solución en ecuaciones algebraicas simples.
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La transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un operador lineal perteneciente a la familia de las integrales de transformación, es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. Se puede decir que es la segunda transformación más utilizada para resolver problemas físicos, después de la transformación de Fourier. La transformada de Laplace unilateral se define como:
{ } ∫==∞
−
0)()()( dtetftfsF stL
donde:
)(sF es la transformada de Laplace de )(tf)(tf es una función en el tiempo
es una variable complejases el operador lineal de LaplaceL
47
La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica, su solución se obtiene a partir de operaciones básica de álgebra.
No todas las funciones tienen transformada de Laplace. La transformadade Laplace de )(tf existe si
∞<∫∞
−
0)( dtetf tσ
σdonde:
es una constante real positiva0)( >∀< tAetf tαSi la integral convergerá para ασ > . La región de
convergencia es ∞<< σα σ. Y es la abscisa de convergencia. 0<cteA
Todas las señales realizables físicamente tienen transformada de Laplace.
48
Aplicando la transformada de Laplace a una ecuación diferencial, se tiene una ecuación algebraica cuya solución se obtiene a partir de operaciones básicas del álgebra. Esta solución está en función de s y para transformarla a una función en el tiempo se necesita de La Transformada inversa de Laplace.
La transformada inversa de Laplace
La transformada inversa de Laplace formalmente se define por la siguiente integral de inversión:
∫= ∞+∞−jcjc
stdsesFj
tf )(21)(π
donde c )(sFes una constante mayor que cualquier punto singular de Esta integral de inversión rara vez se usa, ya que existen otros métodos más directos y simples. Como por ejemplo tablas de transformadas o fracciones parciales.
.
49
transformada inversa
0)()( '10 =+ tfatfa n
)(tf
Ecuación diferencial Ecuación algebraica
0)()( 10 =+ ssFasFsa n
)(sFSolución en
transformadaL
1-L
Transformada de Laplace
50
Tabla de transformadas de Laplace
51
Sean
tres funciones cuyas Transformadas de Laplace son, respectivamente
y un escalar (real o complejo). Se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedades de la transformada de Laplace
Linealidad:
Diferenciación:
52
Desplazamiento en la Frecuencia:
Multiplicación por :
Teorema de valor Inicial:
53
Teorema de valor final:
Convolución:
54
EjemploSe puede usar la Trasformada de Laplacepara resolver un problema de valores iniciales en una ecuación diferencial
" 3 ' 4 ( 1) (0) 1, '(0) 2y y y t u ty y
+ − = ⋅ −= − =
Se pasa el problema a una ecuación algebraica
22 1( )*( 3 4) ( 1) s
ss e
Y s s s s +⋅
+ − + + =
Resolver para y(t)
Resolver para Y(s)
55
Una vez resuelto el problema algebraico
2
2 2
( 1) ( 1)( )( 3 4)
s ss s e eY ss s s
−− + ⋅ ⋅ − ⋅=⋅ + −
Se encuentra la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), y se obtiene la solución de la ecuación diferencial
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La trasformada inversa de Laplace de
es
4 43 32 15 80 4 16
4325 5
( ) ( 1)( + ( ) )
( )( ( ) )
t tee
t t
y t u t e e t
u t e e
−
−
= − ⋅ ⋅ − −
− ⋅ − ⋅
2
2 2
( 1) ( 1)( )( 3 4)
s ss s e eY ss s s
−− + ⋅ ⋅ − ⋅=⋅ + −
57
4 43 32 15 80 4 16
4325 5
( ) ( 1)( + ( ) )
( )( ( ) )
t tee
t t
y t u t e e t
u t e e
−
−
= − ⋅ ⋅ − −
− ⋅ − ⋅
es la solución de la ecuación diferencial
" 3 ' 4 ( 1) (0) 1, '(0) 2y y y t u ty y
+ − = ⋅ −= − =
Por lo tanto
58
2.2.2. La función de transferencia
59
La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
La función de transferencia:
•Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.•Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.
•No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema
•Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada
La función de transferencia
[ ][ ]
L c(t)Función de transferencia
L r(t)=
con condiciones iniciales cero
c(t) salidar(t) entrada
==
60
Ejemplo de función de transferenciaEjemplos de funciones de transferencia:
Circuito RL
L
R)(ti
)(tvUtilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:
dtdiLtRitv += )()(
Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:
)()()( sLsIsRIsV +=
la relación corriente voltaje en Laplace, queda:
1
1
)()(
+=
sRL
RsVsI
Figura 1. Circuito RL
61
2.2.3. RESPUESTA AL IMPULSO Y FUNCION DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS LINEALES
62
t
u(t)
1/ 0( )
00
para tt
en otro lugarpara
ε εδ
ε
≤ ≤⎧= ⎨ =⎩
→
1/ε
t
u(t)δ(t)
t=ta
( )at tδ −
FUNCIÓN IMPULSO
[ ]( ) 1L tδ =
63
LA RESPUESTA AL IMPULSOy(t)
( )( )( )
Y sG sU s
=
[ ]
[ ]
[ ]
1
1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1( ) ( )
( ) ( ) ( )
y t L y sY s G s U s
U s L tY s G s
y t L G s g t
δ
−
−
==
= ==
= =
( ) ( ) ( ) ( )y t g t cuando u t tδ= =
( ) ( )u t tδ=
64
Para los Sistemas lineales invariantes en el tiempo
El sistema se puede caracterizar por su RESPUESTA AL IMPUSO g(t)
o por su FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA G(s)
Donde
LA RESPUESTA AL IMPULSO Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS LINEALES
[ ] [ ]1( ) ( ) ( ) ( )g t L G s y G s L g t−= =
65
Para los SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO
Para cualquier entrada, r(t), se puede encontrar la salida y(t)Ya sea por la
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA G(s)
O por la RESPUESTA AL IMPUSO g(t)
( ) ( ) ( )Y s G s U s=
0
( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t g t u t g t u dτ τ τ∞
= = −∫ Convolución
66
1- La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada2- La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.3- La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información necesaria acerca de la estructura física del sistema.
67
2.2.4. Diagramas en bloques
68
Diagramas de bloquesLa relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar las relaciones de un sistema por medios diagramáticos.
Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.
Diagrama a bloques
• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señalesde un sistema.
• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componenteal desempeño total del sistema.
• No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.
Consideraciones:
69
Elementos de un diagrama a bloques
Función de transferencia
)(sGVariablede entrada
Variablede salida
Flecha:Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la direccióndel flujo de señales.
Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.
+ -)(sR )(sE
( )Y s
Punto se Suma: Punto de Ramificación:
( ) ( ) ( )= −E s R s Y s
( )Y s ( )Y s
( )Y s
70
Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado
)(sG+ -
punto de sumapunto de bifurcación
)(sH
)(sR )(sE )(sC
)(sB
Función de transferencia en lazo abierto )()()()( sHsG
sEsB =
Función de transferencia trayectoria directa )()()( sG
sEsC =
Función de transferencia lazo cerrado )()(1)(
)()(
sHsGsG
sRsC
+=
71
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en serie
)(1 sG)(sR )(sC)(sD
)(2 sG )()( 21 sGsG)(sR )(sC
Por elementos en paralelo
)(1 sG)(sR
)(1 sG
++
)(sC
)()( 21 sGsG +)(sR )(sC
72
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
G + -
A AG BAG −
B
+ -
A
B
G
G1G
B
GBA − BAG −
GA AG
AG
AG
GAG
AG
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente
73
)(sG+ -
)(sH
)(sR )(sE )(sC
)(sB
Reducción de diagrama de bloques
Por elementos en lazo cerrado
)()(1)(
sHsGsG
+
)(sR )(sC
La simplificación de un diagrama de bloques complicado se realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloquesutilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.
74
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
GA AG
A
AG
G1 A
AG
+ -
A B1G
2G
+ -
A B2G 1G
2
1G
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente
75
Ejemplo de reducción de diagrama en bloques
76
77
78
79
80
2.3. Funciones de Transferencia de circuitos eléctricos y electrónicos
81
Relación entre Tensión-corriente-carga-impedancia para inductancias, capasitores y resistencias
82
Red RLC
Encontrar la función de transferencia que relacione el voltaje del capacitor, vC(s), con el voltaje de entrada, V(s)
( )G s( )V s ( )CV s
83
FUNCION DE TRANSFERENCIA EMPLEANDO PRIMERO LAS ECUACION DIFERENCIAL
Y
DESPUÉS LA TRASFORMADA DE LAPLASE
84
( ) ( ) ( ) ( )∫ =++t
tvdiC
tRidt
tdiL0
1 ττ
( ) ( )( )tdtdqti =
( ) ( ) ( ) ( )tvtqCdt
tdqRdt
tqdL =++ 12
2
85
( ) ( )tCvtq C=
( ) ( ) ( ) ( )tvtvdt
tdvRC
dttvd
LC CCC =++2
2
( ) ( ) ( )sVsVRCsLCs C =++ 12
( )( )
LCs
LRs
LCsVsVC
1
1
2 ++=
Aplicando la Transformada de Laplace a cada elemento
86
Diagrama en bloques del sistema RLC
87
FUNCION DE TRANSFERENCIA
EMPLEANDO
LA TRASFORMADA DE LAPLASE
88
Aplicando la Transformada de Laplace a la columna voltaje-corriente de la tabla:
Para el capacitor: ( ) ( )sICs
sV 1=
Para la resistencia: ( ) ( )sRIsV =
Para la inductancia: ( ) ( )sLsIsV =
Definimos la función de transferencia:
Impedancia ( )( ) ( )sZsIsV =
FUNCION DE TRANSFERENCIA EMPLEANDO
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
89
( ) ( ) ( ) ( )∫ =++t
tvdiC
tRidt
tdiL0
1 ττ
La transformad de Laplace es:
( ) ( )sVsICs
RLs =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ 1
[Suma de impedancias] I(s) = [Suma de voltajes aplicados]
90
En lugar de escribir primero la ecuación diferencial y luego la transformada de Laplace, se puede dibujar el circuito transformado y obtener la transformada de Laplace de la ecuación diferencial con sólo aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff al circuito transformado
Pasos1- Trazar de nuevo la red original, mostrando todas las variables de tiempo2- Sustituir los valores componentes con sus valores de impedancia.
91
( ) ( )sVsICs
RLs =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ 1
92
Malla 1: ( ) ( ) ( ) ( )sVsLsIsLsIsIR =−+ 2111
Malla 2: ( ) ( ) ( ) ( ) 0112222 =−++ sLsIsI
CssIRsLsI
Encontrar la función de transferencia I2(s)/V(s)
FUNCION DE TRANSFERENCIA Y LAZOS MULTIPLES
93
Combinando las ecuaciones
( ) ( ) ( ) ( )sVsLsIsILR s =−+ 211
( ) ( ) 01221 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++− sI
CsRLssLsI
( )
( ) ( )( )
Δ=
Δ−
+
= sLsVLssVLsR
sI0
1
2
Donde:
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
−+=Δ
CsRLsLs
LsLsR1
2
1
94
( ) ( )( ) ( ) ( ) 121
221
22
RsLCRRLCsRRLCsLs
sVsIsG
++++=
Δ==
95
[Suma impedancias malla 1] I1(s) - [Suma impedancias comunes a las dos mallas] I2(s)= [Suma voltajes aplicados a malla 1]
-[Suma impedancias comunes a las dos mallas] I1(s) + [Suma impedancias malla 2] I2(s)= [Suma voltajes aplicados a malla 2]
( ) ( ) ( ) ( )sVsLsIsILR s =−+ 211
( ) ( ) 01221 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++− sI
CsRLssLsI
MÉTODO PARA OBTENER LAS ECUACIONES
DE UNA RED ELÉCTRICA
96
c. Amplificador operacional inversor configurado para la realización de funciones de trasferencias.
a. Amplificador Operacional
AMPLIFICADORES OPERACIONALES
b. Esquemático para unamplificador operacionalinversor
97
( )( )
( )( )sZsZ
sVsV
i 1
20 =
( ) ( )1 20 por lo tantoaI I s I s= =
98
EjemploAmplificador operacional inversor
Encontrar la función de transferencia, V0(s)/Vi(s)
99
( )( ) 1016.2
10360
103601106.5
11
1 3
36
11
1 +=
+=
+=
− sx
xsx
RsC
sZ
( )s
xsC
RsZ7
3
222
10102201 +=+=
( )( ) s
sssVsV
i
55.2295.45232.12
0 ++−=
( )( )
( )( )sZsZ
sVsV
i 1
20 =
100
2.4. Funciones de transferencia de un sistema mecánico trasnacional
101
102
103
Relaciones de fuerza, desplazamiento e impedancia para masas, resortes y amortiguadores
104
a. Masa, resorte y amortiguadorb. Diagrama en bloques
Encontrar la función de transferencia X(s)/F(s)
105
OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Se define un sentido positivo de movimientoSe dibuja un diagrama de cuerpo libre, colocando todas las fuerzas que actúan sobre éste, ya sea en la dirección de movimiento o en sentido opuesto a éste.Se emplea la ley de Newton para formar la ecuación de movimiento al sumar las fuerzas y hacer la suma igual a cero.Suponiendo condiciones iniciales nulas, se toma la transformada de Laplace de la ecuación diferencial , se separan las variables y se llega a la función de transferencia.
106
a. Diagrama de cuerpo libre del sistema masa, resorte y amortiguador;b. Diagrama d cuerpo libre trasformado
107
( ) ( ) ( ) ( )tftKxdt
tdxfdt
txdM v =++2
2
( ) ( ) ( ) ( )sFsKXssXfsXMs v =++2
( ) ( )( ) KsfMssFsXsG
v ++== 2
1
( ) ( ) ( )sFsXKsfMs v =++2
108
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EMPLEANDO EL CONCEPTO DE IMPEDANCIA
109
Se toma la Transformada de Laplace de la columna fuerza-desplazamiento
Para el resorte:
Para el amortiguador viscoso:
Para la masa:
Se define la impedancia para los componentes mecánicos:
( ) ( )sKXsF =
( ) ( )sXMssF 2=
( ) ( )( )sXsFsZM =
( ) ( )ssXfsF v=
110
Se sustituye cada fuerza por su transformada de Laplace en el diagrama de cuerpo libre:
( ) ( ) ( )sXsZsF M=
[Suma de impedancias] X(s) = [Suma de fuerzas aplicadas]
111
( ) ( ) ( )sFsXKsfMs v =++2
112
Ejemploa. Sistema mecánico de dos grados de libertad;b. Diagrama en bloques
Encontrar la función de transferencia X2(s)/F(s)
113
El sistema tiene dos grados de libertad: Cada masa se puede mover en la dirección horizontal, mientras la otra está inmóvil.
Se necesitan dos ecuaciones simultáneas para describir el sistema
Las dos ecuaciones provienen de diagramas de cuerpo libre de cada masa.
114
Se utiliza superposición para dibujar los diagramas de cuerpo libre
Las fuerzas sobre M1 se deben a:
- Movimiento propio (M2 inmovil)- Movimiento de M2 transmitido a M1 (M2 se mueve hacia la
derecha)
115
a. Fuerzas sobre M1 debido solo al movimiento de M1;b. Fuerzas sobre M1 debido solo al movimiento de M2;c. Todas las fuerzas sobre M1
116
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sFsXKsfsXKKsffsM vvv =+−++++ 223121312
1
Se utiliza superposición para dibujar los diagramas de cuerpo libre
117
a. Fuerzas sobre M2 debido solo al movimiento de M2;b. Fuerzas sobre M2 debido solo al movimiento de M1;c. Todas las fuerzas sobre M2
118
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0232322
2123 =++++++− sXKKsffsMsXKf vvv
Se utiliza superposición para dibujar los diagramas de cuerpo libre
119
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sFsXKsfsXKKsffsM vvv =+−++++ 223121312
1
Se obtiene la función de transferencia X2(s)/F(s):
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0232322
2123 =++++++− sXKKsffsMsXKf vvv
( )( ) ( ) ( )
Δ+
== 232 KsfsG
sFsX v
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+++++−+−++++
=Δ3232
2223
3312
1 221KKsffsMKsf
KsfKKsffsM
vvv
vvv
120
[Suma impedancias conectadas al movimiento en x1] X1(s) – [Suma de impedancias entre x1 y x2] X2(s)=[Suma de fuerzas aplicadas en x1]
- [Suma impedancias conectadas entre x1 y x2] X1(s) + [Suma de impedancias conectadas al movimiento en x2] X2(s)=[Suma de fuerzas aplicadas en x2]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sFsXKsfsXKKsffsM vvv =+−++++ 223121312
1
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0232322
2123 =++++++− sXKKsffsMsXKf vvv
121
2.5. Funciones de transferencia de un sistema mecánico rotacional
122
123
124
Relaciones de par, velocidad angular, desplazamiento e impedancia rotacional para inercia, resortes y amortiguadores
125
Ejemploa. Sistema Físico; b. Esquemático; c. Diagrama en bloques
Encontrar la función de transferencia θ2(s)/T(s)
126
a. Par sobre J1 debido solo al movimiento de J1b. Par sobre J1 debido solo al movimiento de J2c. Diagrama final de cuerpo libre sobre J1
( ) ( ) ( ) ( )sTsKsKsDsJ =−++ 2112
1 θθ
127
a. Par sobre J2 debido solo al movimiento de J2b. Par sobre J2 debido solo al movimiento de J1c. Diagrama final de cuerpo libre sobre J2
( ) ( ) ( ) 0222
21 =+++− sKsDsJsK θθ
128
( ) ( ) ( ) 0222
21 =+++− sKsDsJsK θθ
( ) ( ) ( ) ( )sTsKsKsDsJ =−++ 2112
1 θθ
Obtener la ecuación de transferencia θ2(s)/T(s)
( )( ) Δ
= KsTs2θ
( )( )KsDsJK
KKsDsJ++−
−++=Δ
22
2
12
1
129
[suma de impedancias conectadas al movimiento en θ1] θ1(s) – [Suma de impedancias entre θ1 y θ2] θ2 = [Suma de pares aplicados en θ1]
( ) ( ) ( ) ( )sTsKsKsDsJ =−++ 2112
1 θθ
( ) ( ) ( ) 0222
21 =+++− sKsDsJsK θθ
- [suma de impedancias conectadas entre θ1 y θ2] θ1(s) + [Suma de impedancias al movimiento en θ2] θ2(s) = [Suma de pares aplicados en θ2]
130
2.6. Funciones de transferencia para sistemas con engranajes
131
132
133
Un sistema con engranajes
134
A medida que giran los engranajes, la distancia recorrida a lo largo de la circunferencia de cada uno de ellos es la misma, porlo tanto:
2211 θθ rr =
La relación de dientes a lo largo de la circunferencia está en la misma proporción de los radios
2
2
1
1 22N
rNrr ππ =
Luego
2
2
1
1
Nr
Nr
=
135
Resumiendo:
2
1
2
1
1
2
NN
rr
==θθ
Suponemos que los engranajes no absorben o almacenan energíaLa energía que entra al engranaje 1 es igual a la energía que sale del engranaje 2.
2211 θθ TT =
Luego:
1
2
2
1
1
2
NN
TT
==θθ
136
2211 θθ TT =
1
2
2
1
1
2
NN
TT ==
θθ
137
Impedancias mecánicas impulsadas por engranajes
Representar al sistema como un sistema equivalente en θ1, sin los engranajes.
138
T1 puede reflejarse a la salida si se multiplica por N2/N1.
Ecuación de Movimiento
( ) ( ) ( )1
212
2
NNsTsKDsJs =++ θ
139
Convertimos θ2 en un θ1 equivalente, utilizando:
2
112 N
Nθθ =
La ecuación se verá como si estuviera escrita a la entrada
( ) ( ) ( )1
211
2
12
NN
sTsNN
KDsJs =++ θ
Simplificando:
( ) ( )sTsNNKs
NNDs
NNJ 11
2
2
1
2
2
122
2
1 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ
140
Sistema equivalente a la entrada:
( ) ( )sTsNNKs
NNDs
NNJ 11
2
2
1
2
2
122
2
1 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ
141
Generalizando:
Las impedancias mecánicas rotacionales se pueden reflejar en trenes de engranajes si se multiplica la impedancia mecánica por su cociente
(Número de dientes de engranaje en eje de destino/Número de dientes de engranaje en el eje de fuente)
142
a. Sistema rotacional manejado con engranajes;b. Sistema equivalente en la salida después de la reflexión del par de entrada;c. Sistema equivalente en la entrada después de la reflexión de las impedancia
143
a. Sistema rotacional manejado con engranajes;b. Sistema después de la reflexión del par e impedancia en el eje de salida;c. Diagrama en bloques
144
Trenes de engranajesPara eliminar los engranajes con grandes radios, se utiliza un tren de engranajesSe pueden logran grandes reducciones al poner en cascada reducciones mas pequeñas
145
Tren de engranajes
1 3 54 1
2 4 6
N N NN N N
θ = θ
146
Función de transferencia de engranajes con pérdida
147
El sistemas no tiene engranajes sin pérdidaTodos los engranajes tienen inercia y para algunos ejes hay fricción viscosa
Resolución:
Se busca reflejar todas las impedancias al eje de entrada, θ1.La reducción (de engranajes) no es la misma para todas las impedancias.- D2 está reflejada sólo pro una reducción, como D2(N1/N2)2 dd- J más J está reflejada por dos reducciones como
(J4+J5)[(N3/N4)/(N1/N2)]2.
148
Resultado de todas las impedancias reflejadas a θ
149
Ecuación de movimiento
( ) ( ) ( )sTssDsJ ee 112 =+ θ
donde
( ) ( )2
42
3154
2
2
1321 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
NNNN
JJNN
JJJJ e
y2
2
121 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
NN
DDDe
150
De la ecuación
( ) ( ) ( )sTssDsJ ee 112 =+ θ
la función de transferencia es
( ) ( )( ) sDsJsTssG
ee +== 2
1
1 1θ
151
Ejemploa. Sistema usando una cadena de engranajes;b. Sistema equivalente en la entrada;c. Diagrama en bloque
152
2.7. Funciones de transferencia de un sistema electromecánicoMotor de Corriente Continua
153
a. Esquema de Motor C.C.b. Diagrama de bloques
154
Formado por:
• Un CAMPO MAGNÉTICO mediante imanes permanentes estacionarios o mediante un electroimán estacionario llamado CAMPO FIJO
•Un circuito giratorio llamado ARMADURA, por el que circula una corriente ia(t), pasa por este campo magnético a ángulos rectos y detecta una fuerza F=Bl ia(t), donde B es la intensidad de campo magnético y l, la longitud del conductor
El par resultante hace girar el rotor, que es el elemento giratorio del motor.
155
Un conductor que se mueve a ángulos rectos respecto de un campo magnético
e=Blv
La armadura portadora de corriente está girando en un campo magnético
( ) ( )dt
tdKtv mbb
θ= (2)
(1)
Tomando la Transformada de Laplace
( ) ( )ssKsV mbb θ= (3)
156
Transformada de Laplace de la ecuación de malla alrededor del circuito de armadura
( ) ( ) ( ) ( )sEsVssILsIR abaaaa =++ (4)
157
El par creado por el motor es proporcional a la corriente de armadura
( ) ( )sIKsT atm = (5) Reacomodando
( ) ( )sTK
sI mt
a1= (6)
Reemplazando (3) y (6) en (4)
( ) ( ) ( ) ( )sEssKK
sTsLRamb
t
maa =++ θ (7)
158
Carga mecánica típica en un motor
159
De la figura
( ) ( ) ( )ssDsJsT mmmm θ+=− 2 (8)
Reemplazando (8) en 7)
( )( ) ( ) ( ) ( )sEssKK
ssDsJsLRamb
t
mmmaa =+++ θθ2
(9)
160
Si se supone que la inductancia de armadura, La, es pequeña en comparación con la resistencia de armadura, Ra
( ) ( ) ( )sEssKDsJKR
ambmmt
a =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++ θ (10)
Se encuentra la función de transferencia θm(s)/Ea(s)
( )( )
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
a
btm
m
ma
t
a
m
RKKD
Jss
JRK
sEs
1θ
(11)
161
Función de Transferencia relativamente sencilla
(12)( )( ) [ ]α
θ+
=ssK
sEs
a
m
Función de transferencia θm(s)/Ea(s)
( )( )
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
a
btm
m
ma
t
a
m
RKKD
Jss
JRK
sEs
1θ
162
Motor de CC excitando una carga mecánica rotacional
163
Estudio de las constantes mecánicas Jm y Dm
Inercia equivalente, Jm, y el amortiguamiento equivalente Dm, en la armadura
2
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
NNJJJ Lam
2
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
NNDDD Lam (13)
164
Constantes eléctricas de la función de transferencia
Se pueden obtener por medio de prueba de dinamómetro del motor, donde un dinamómetro mide el par y la velocidad de un motor bajo la condición de un voltaje constante aplicado.
Reemplazar (3) y (6) en (4), con La=0
( ) ( ) ( )sEssKsTKR
ambmt
a =+ θ (14)
165
Aplicando la transformada inversa de Laplace
( ) ( ) ( )sEssKsTKR
ambmt
a =+ θ
( ) ( ) ( )tetKtTKR
ambmt
a =+ ω (15)
Si se aplica un voltaje de corriente continua, ea, el motor girará a una velocidad angular constante, ωm, con un par constante, Tm
166
Relación cuando el motor esté operando en estado estable con una entrada de voltaje de corriente continua
ambmt
a eKTKR =+ ω (16)
Al despejar Tm resulta
aa
tm
a
tbm e
RK
RKKT +−= ω (17)
167
aa
tm
a
tbm e
RK
RKKT +−= ω
La ecuación (17) es una recta, Tm contra ωm
168
Curvas Torque-velocidad con un voltaje de armadura, ea, como un parámetro
169
El cruce del eje del par se presenta cuando la velocidad angularllega a cero
Ese valor de par de torsión se llama máximo, Tparmax.
aa
tpar e
RKT =max (18)
La velocidad angular que se presenta cuando el par máximo es cero se denomina velocidad sin carga, ωsin_carga
b
aac K
e=argsin_ω (19)
170
Las constantes eléctricas de la función de transferencia del motor se pueden hallar de las ecuaciones (18) y (19)
a
parmáx
a
t
eT
RK
=ac
ab
eKargsin_ω
=
Las constantes eléctricas, Kt/Ra y Kb, se pueden hallar de una prueba de dinamómetro del motor, que daría como resultado una Tparmáx y ωsin carga para una ea dada.
171
2
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
NNJJJ Lam
2
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
NNDDD Lam
a
parmáx
a
t
eT
RK
=
ac
ab
eKargsin_ω
=
Constantes Eléctricas
Constantes Mecánicas
172
2
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
NNJJJ Lam
2
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
NNDDD Lam
a
parmáx
a
t
eT
RK
=ac
ab
eKargsin_ω
=
( )( )
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
a
btm
m
ma
t
a
m
RKKD
Jss
JRK
sEs
1θ
Función de Transferencia
Constantes Eléctricas
Constantes Mecánicas
173
a. Motor CC y carga;b. Curva par-velocidad;c. Diagrama de bloque
174
2.8. Modelado de Sistemas de Fluidos
Hidráulicos y Neumáticos
175
Sistemas de FluidosSistemas Hidráulicos
Sistemas Neumáticos
176
SISTEMAS HIDRAULICOS
177
Resistencia Hidráulica
Rq=p1-p2
Resistencia al flujo hidráulico al pasar por una obstrucción o reducción de diámetro de una tubería.
Produce una caída de presión del fluido
178
Capacitancia Hidráulica
( )dtdp
gA
dtgpdAqq
ρρ ==− 21
gAC
ρ=
dtdpCqq =− 21
( )dtqqC
p ∫ −= 211
dtdVqq =− 21 AhV =
dtdhAqq =− 21
ghA
AhgAVg
Amg
AFp ρρρ =====
21 ppp −=
Describe la energía almacenada en un líquido cuando se almacena en forma de energía potencial
La razón de cambio de volumen es igual a la diferencia de flujos volumétricos de entrada y salida
179
Inercia Hidráulica
( )AppApApFF 212121 −=−=−
( ) maApp =− 21
( )dtdvmApp =− 21
Avq =
dtdqIpp =− 21
ALI ρ=
AF ρ=1 AF ρ=2
Fuerza Neta: 21 FFF −=
( )dtdqLApp ρ=− 21
( )dtdvALApp ρ=− 21
ALVm ρρ ==
Oposición de un líquido a cambiar su estado de movimiento.
Para acelerar un fluido de masa m se necesita una fuerza
180
SISTEMAS NEUMATICOS
181
Resistencia Neumática
Gasto másico=dm/dt
•==− mR
dtdmRpp 21
Se define en función del gasto volumétrico dm/dt y la diferencia de presión, (p1 –p2)
182
Capacitancia Neumática
Razón de cambio de masa en el recipiente ( )dt
Vd ρ=
dtdV
dtdV ρρ +=Razón de cambio de masa en el recipiente
( ) ( )( )dtdpdpdVdtdV =
Razón de cambio de masa en el recipientedt
dmdt
dm 21 −=
mRTpV =
( ) RTRTVmp ρ==
( )( )dtdpRTdtd 1=ρ
Se debe a la compresibilidad del gas
183
Capacitancia Neumática que produce cambio de volumen del recipiente: C1
dtdp
RTV
dpdV
dtdm
dtdm
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=− ρ21
dpdVC ρ=1
RTVC =2
Capacitancia Neumática debida a la compresibilidad del gas: C2
( )dtdCC
dtdm
dtdm ρ
2121 +=−
dtmmCC
pp ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=−
••
2121
211
Razón de cambio de masa en el recipiente=dtdp
RtV
dtdp
dpdV +ρ
184
Inercia Neumática
( ) dtmvdma =
( ) ( )dtmvdApp =− 21
LAm ρ=
LqAqLAmv ρρ ==
( ) ( )dt
qdLApp ρ=− 21
ALI =
dt
mdIpp
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−
•
21
qm ρ=•
dt
md
ALpp
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−
•.
21
Avq =
Se debe a la caída de presión para acelerar un bloque de gas
185
186
EJEMPLOS
187
Obtención de un modelo para sistemas de fluidos
dtdpCqq =− 21
221 Rqpp =−
ghpp ρ=− 21
Rghq ρ=2
( )dt
ghdCR
ghq ρρ =−1
gAC
ρ=
Rgh
dtdhAq ρ+=1
Ejemplo 1: Sistema Hidráulico
21 ppp −=
188
Ejemplo 2: Sistema Neumático
•=− mRpp 21
02 =m 02 =•
m
( ) 22
211 pdt
dpCCRp ++=
kxF =AFp =2
kxFAp ==2
( ) xAk
dtdx
AkCCRp ++= 211
( )dt
dpCC
Rpp 2
2121 +=
−
( )dt
dpCCmm 22121 +=−
••
189
21 dp
dVC ρ=
kxAp =2
( ) kA
AkxddxAC
2
1ρρ ==
AxV =
21 dpdxAC ρ=
RTAx
RTVC ==2
Capacitancia Neumática debida al cambio de volumen en el recipiente
Capacitancia Neumática debida a la compresibilidad del aire
190
Ejemplo 3: Sistema hidráulico
dtdpCqq 121 =−
ghp ρ1=
gACρ
11 =
dtdhAqq 1
121 =−
2121 qRpp =−
11 ghp ρ=
22 ghp ρ=
( ) 2121 qRghh =− ρ
( )dtdh
AR
ghhq 1
11
211 =
−−
ρ
191
dtdpCqq 232 =−
ghp ρ2=
gA
Cρ
22 =
dtdhAqq 2
232 =−
322 0 qRp =−
dtdh
AR
ghq 2
22
22 =−
ρ
( )dt
dhAR
ghR
ghh 22
2
2
1
21 =−− ρρ
192
2.9. Modelado de Sistemas Térmicos
193
RESISTENCIA TERMICA
RTTq 12 −
=
Conducción
LTT
Akq 21 −=
AkLR =
Convección
( )12 TTAhq −=
AhR 1=
h: coeficiente de transferencia calórica
A: área de la superficie donde hay diferencia de temperatura
q: velocidad de flujo calórico
A: área sección transversal material que conduce calor
L: longitud material entre los puntos correspondientes a las temperaturas T1 y T2
K: conductividad térmica
Transmisión de calor en sólidos Transmisión de calor en líquidos y gases
194
CAPACITANCIA TERMICA
Relación de cambio de la energía interna = q1 – q2
Cambio de la energía interna = mc x razón de cambio de la temperatura
dtdTmcqq =− 21
mcC =
dtdTCqq =− 21
Es la medida de almacenamiento de energía interna en un sistema.
Si q1 velocidad de flujo de entrada, q2 velocidad de flujo de salida:
m: masa
c: calor específico del material
Capacidad Térmica
El aumento de energía interna produce incremento de temperatura
195
EJEMPLO: Obtención de modelos para sistemas Térmicos
RTTq L −
=
Solo existe flujo neto calorífico del líquido al termómetro
dtdTCqq =− 21
qq =1
02 =q
dtdTCq =
LTTdtdTRC =+
RTT
dtdTC L −
=
196
EJEMPLO: Obtención de modelos para sistemas Térmicos
dtdTCqq =− 21
RTT
q 02
−=
R: Resistividad de los muros
dtdTC
RTT
q =−
− 01
01 TRqTdtdTRC +=+
197
2.10. No linealidades y Linealización
198
a. Sistema Lineal;b. Sistema no lineal
199
Algunas no linealidadesfísicas
200
Linealización alrededor de un punto A
( ) ( )[ ] ( )oa xxmxfxf −≈− 0
( ) xmxf aδδ ≈
( ) ( ) ( ) ( ) xmxfxxmxfxf aa δ+≈−+= 000
201
Ejemplo:Linearización de 5 cos x alrededor de x = π/2
( )senxdxdf 5−=( ) xxf cos5=
( ) 55 2/2/ −=−= == ππ xx senxdxdf
( ) ( ) ( ) 02cos520 === ππfxf
( ) xxf δ5−=
( ) ( ) ( ) ( ) xmxfxxmxfxf aa δ+≈−+= 000
202
( ) ( ) ( ) ( )...
!2!1
20
2
20
0 00+
−+
−+= ==
xxdx
fdxxdxdfxfxf xxxx
Para pequeñas excursiones de x desde x0
( ) ( ) ( )00 0xx
dxdfxfxf xx −≈− =
( ) xmxf xx δδ0=≈
Realizando la expansión de la serie de Taylor de f(x):
203
LINEALIZACION EN UNA VARIABLE
( ) ( ) ( )00 0xx
dxdfxfxf xx −≈− =
LINEALIZACION EN DOS VARIABLES
( ) ( ) ( ) ( )0
0220110
022011
022011 22
211
12121 ,, xx
dxdfxx
dxdfxxfxxf
xxxx
xxxx
xxxx −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
==
==
==
204
Ejemplo de linealización de unaecuación diferencial
rvr ei 1.02=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= rr iv
21ln10 ii r =
Corriente i en estado estable: v(t)=0
( ) 0==dtdiLtvL
Encontrar VL(s)/V(s)
( )tvidtdiL =−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+ 20
21ln10
205
Vvr 20=
iii δ+= 0
( ) ( ) ( )tviidt
iidL =−++
+20
21ln10 0
0 δδ
Linealizar: ( )ii δ+021ln
Ecuación 1
amperesiei rvr 78.142 1.0 ===
206
Usando la ecuación: ( ) ( ) ( )00 0xx
dxdfxfxf xx −≈− =
( ) ii
ii
idt
idiii ii δδδδ
000
1121ln
21ln
21ln
0==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−+ =
Linealizar: ( )ii δ+021ln
( ) ii
iii δδ
0
00
12
ln21ln +=+
Reemplazando en la Ecuación 1:
( )tvii
idt
idL =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 201
2ln10
0
0 δδ
207
Haciendo L=1 e i0=14.78
( )tvidt
id =+ δδ 677.0
Aplicando Transformada de Laplace y despejando δi(s)
( ) ( )677.0+
=s
sVsiδ
Voltaje en la inductancia alrededor del punto de equilibrio:
( ) ( )dt
idLiidtdLtvL
δδ =+= 0
( ) ( ) ( )sVsisis =+ δδ 677.0 ( ) ( ) ( )sVsis =+ δ677.0
208
Tomando Transformada de Laplace
( ) ( )sissiLssVL δδ ==)(
( ) ( )677.0+
=s
sVssVL
( )( ) 677.0+
=s
ssVsVL Para pequeñas ecursiones alrededor de
i=14.78 o bien , alrededor de v(t)=0
209
Resumen
210
La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos
Tipo deelemento
Elementofísico
Ecuaciónrepresentativa Símbolo
Inductancia
Inductanciaeléctrica
Resortetraslacional
Resorterotacional
dtdiLv =21
dtdf
kv 1
21 =
dtdT
k1
21 =ω
1v 2v
i L
1v 2v
ff
1T
1ω2ω
2T
211
La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos
Capacitancia
Capacitanciaeléctrica
Masa
Inercia
dtdvCi 21=
dtdvmf =
dtdjT ω=
Capacitanciafluídica
dtdpCq f
2121 =
Capacitanciatérmica
1v 2vi
C
mv
f
jT ω
1q 2q2p
1p
fC
qT tCdt
dTCq t=
212
La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos
Resistencia
Resistenciaeléctrica
Amortiguadortraslacional
211 vR
i =
bvf =
21ωbT =
Resistenciafluídica 21
1 pR
qf
=
Resistenciatérmica
b
T
1ω
q2p1p
fRq
1TtR21
1 TR
qt
=
Amortiguadorrotacional
1v 2v
i
R
21vff b
2ω
T
2T
213
Fin tema 2