2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen 2.2 Plastizität 2 ...€¦ · Fließbedingung nach...
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik III – SS 2017
2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen
2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen
2.2 Plastizität
2.3 Festigkeitshypothesen
2.4 Viskoelastizität
1
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Baustatik III – SS 2017
2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen
2.1 Klassifizierung von Materialgesetzen
2
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Bausteine der Baustatik Gleichgewichtsgleichungen:
Immer zu erfüllen!
Kinematik:
Kann linear (kleine Verformungen) oder nichtlinear (große
Verformungen) sein .
Materialgesetz:
Kann linear oder nichtlinear sein.
Klassifizierung
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Klassifizierung
Materialgesetze:
Sie werden auch als Stoffgesetze, Werkstoffgesetze
oder konstitutive Gleichungen bezeichnet.
Sie stellen die mathematischen Beziehungen zwischen
den Spannungen und den Dehnungen bzw.
Verzerrungen in einem Material dar.
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Belastung
Entlastung
Belastung
Entlastung Entlastung
Belastung
Linear elastisch
Nichtlinear elastisch Elastisch-plastisch
Klassifizierung
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Entfestigung(Softening)
Beispiel: Beton
Da Beton nur geringe Zugfestigkeit besitzt, können Mikrorisse im Betonentstehen. Die Mikrorissbildung im Beton führt zur Entfestigung (Softening) desBetons!
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Viskoelastizität
Viskoelastizität: Zeitabhängiges Materialverhalten!
= konst. = konst.
Kriechen:Verformungszunahme bei konstanter Spannung!
Relaxation (Schwinden): Spannungsabnahmebei konstanter Dehnung bzw. Verformung!
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Beispiel
Fl
u
Gegeben:
, , , , , E A l c n FGesucht:
- -KurveF u
Materialgesetz: LudwikNichtlinear elastisch
nc
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Beispiel
Lösung:
• Gleichgewicht: FN F A FA
• Kinematik:ul
• Materialgesetz:
(1)
(2)
FN
u
nc (3)
(2) In (3) eingesetzt, und dann (3) in (1) eingesetzt:n
n u Fc cl A
nuF cAl
11
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2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen
Baustatik III – SS 2017
2.2 Plastizität
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Fließfunktion und Fließbedingung
( ) 0F
Fließfunktion und Fließbedingung: 1D
1 2 3( , , ) 0F I J J
1 2 3( , , ) 0F oder
Fließfunktion bzw. Fließbedingung: 2D und 3D
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Fließfunktion und Fließbedingung
1
2
3
: 1. Invariante des Spannungstensors : 2. Invariante des Spannungsdeviators: 3. Invariante des Spannungsdeviators
IJJ
ss
1 1 2 3 x y z
2 2 22 1 2 2 3 3 1
3 1 2 3
= + = +
1 ( ) ( ) ( )6det( )
I
J
J s s s
s
1 2 3, , : Hauptspannungen
1
3 MI
I Is
Spannungsdeviator:
1 2 3, , : Hauptdeviatorspannungens s s
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Fließbedingung nach Tresca
1 2 2 3 3 11 1 1 1max | |, | |, | |2 2 2 2 F
Maximale Schubspannungstheorie
Henri Édouard Tresca (12.10.1814 – 21.06.1885)
2D3D
(http://en.wikipedia.org)
: FließspannungF
F
F
F
F
16
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Fließbedingung nach von Mises
2 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) 2 F
Richard von Mises (19.04.1883 – 14.07.1953)
J2 Plastizitätstheorie, J2 Fließtheorie
3D 2D
F
F
F
F
(http://en.wikipedia.org)
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Vergleich: Tresca und von Mises
3D 2D
F
F
F
F
(http://en.wikipedia.org)
18
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Fließbedingung nach Mohr-Coulomb
1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 11 max | | ( ),| | ( ),| | ( )
2 Fcm K K K
1; 1
Fc
Ft
mm Km
3D 2D
: Fließspannung für Druck (c = compression): Fließspannung für Zug (t = tension)
Fc
Ft
Fc
Fc
Ft
Ft
Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sich zu der Fließbedingung von Tresca, falls = !Ft Fc
(http://en.wikipedia.org)
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Fließbedingung nach Mohr-Coulomb
Christian Otto Mohr(08.10.1835 – 02.10.1918)
Charles-Augustin de Coulomb(14.06.1736 – 23.08.1806)
tan( ) c
: Kohäsion: innerer Reibungswinkelc
(Druckspannung)
(Schubspannung)
Die Fließbedingung von Mohr-Coulomb reduziert sichzu der Fließbedingung von Tresca, falls =0!
(http://en.wikipedia.org)
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Fließbedingung nach Drucker-Prager
2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 Fcm m
Fc
Ft
m
3D 2D
Ft
Ft
Fc
Fc
Die Fließbedingung von Drucker-Prager reduziert sich zu der Fließbedingung nach von Mises, falls = !Ft Fc
(http://en.wikipedia.org)
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Fließbedingung nach Drucker-Prager
Daniel Charles Drucker(03.06.1918 – 01.09.2001)
William Prager(23.05.1903 – 16.03.1980)
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Andere Darstellung der Fließbedingungen
1 2 3( , , ) 0F I J J
Es ist einfacher, die folgende Darstellung für die Fließfunktion bzw. Fließbedingung zu verwenden:
1
2
3
: 1. Invariante des Spannungstensors: 2. Invariante des Spannungsdeviators: 3. Invariante des Spannungsdeviators
IJJ
1 1 2 3 x y z
2 2 22 1 2 2 3 3 1
3 1 2 3
= + = +
1 ( ) ( ) ( )6det( )
I
J
J s s s
s
1
3 MI
I Is
Spannungsdeviator:
: Spannungstensor: Einheitstensor, EinheitsmatrixI
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Vergleich von Fließbedingungen
Bemerkungen: Die Fließbedingungen von Tresca und von Mises sind geeignet für duktile Werkstoffe (Stahl,
Metalle, …).
Die Fließbedingungen von Mohr-Coulomb und Drucker-Prager sind geeignet für Boden, Beton,
Fels, Keramik und körnige Werkstoffe.
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Beispiel
y
Materialgesetz:Elastisch-ideal plastisch
Gegeben:
1 2 1 22 2 , 3 3y y yE E E Gesucht:
- -KurveF u
F
1 1, ,yE A
2 2, ,yE A
l u
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Beispiel
Lösung:
• Gleichgewicht: 1 2 1 2 1 2 FN N F A A FA
• Kinematik: 1 2 , uu u ul
• Materialgesetz:
1.) Beide Stäbe im elastischen Bereich: Hookesches Gesetz
1 1 1 2 2 2, u uE E E El l
(1)
(2)
(3)
(3) In (1) eingesetzt: 1 21 2
( )
u u FlE A E A F ul l E E A
F1N
2Nu
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Beispiel
Spannungen in den beiden Stäben:
1 1 1 1 2 2 2 21 2 1 2
2 , ( ) 3 ( ) 3
u F F u F FE E E E E El E E A A l E E A A
2.) Stab 2 im plastischen Bereich, Stab 1 im elastischen Bereich:
2 3y yF A
1 2
am Anfang des plastischen Fließens( )
ylFluE E A E
1Bei weiterer Laststeigerung: 2y y
u F lE A A F ul A E
3.) Stab 1 auch im plastischen Bereich:
1 1=3 4y y yF A
1 1Spannung im Stab 1: yu FEl A
Danach weitere Laststeigerung nicht mehr möglich!
3 2 2
yy
F lu lA E E
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33 y y
Fl F E uuEA A l
2 12y
y y
F l F E uuA E A l
3 3 2 2
y
y
E uu lE l
1.) Bereich 1:
2.) Bereich 2:
3.) Bereich 3:
y
E ul
1
2
3
4y
FA
1 2 3 4
1.)
2.)
3.)
Beispiel
Last-Verschiebungskurve
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2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen
2.3 Festigkeitshypothesen
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Vergleichsspannung
Die Vergleichsspannung ist eine fiktive einachsige Spannung, die dieselbe Material-beanspruchung darstellt wie ein realer, mehrachsiger Spannungszustand.
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Vergleichsspannung
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Vergleichsspannung
2 24
2x y x y xy
V
Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese(William Rankine, 1820-1872)
Stab, Balken (1D):
Ebener Spannungszustand (2D):
2 242V
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Vergleichsspannung
1 1 1 3
3 3
, bei 0 & , bei 0V
Vergleichsspannung nach der Hauptnormalspannungshypothese(William Rankine, 1820-1872)
Räumlicher Spannungszustand (3D):
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Vergleichsspannung
2 24V
2 24V x y xy
1 2 2 3 3 1max | |,| |,| |V
Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese: (Tresca, 1814-1885)
Stab, Balken (1D):
Ebener Spannungszustand (2D):
Räumlicher Spannungszustand (3D):
Allgemein: max2V
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Vergleichsspannung
2 23V
2 2 23V x y x y xy
Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese(Huber, 1872-1950; von Mises, 1883-1953; Hencky, 1885-1951)
Allgemein: 23V J
Stab, Balken (1D):
Ebener Spannungszustand (2D):
2 2 2 2 21 2 2 1 3V x y x y xy
Ebener Verzerrungszustand (2D):
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Vergleichsspannung
2 2 21 2 2 3 3 1
12V
2 2 2 2 2 23V x y z x y x z y z xy xz yz
Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese(Huber, 1872-1950; von Mises, 1883-1953; Hencky, 1885-1951)
Räumlicher Spannungszustand (3D):
2 22 2 2 21 62V x y x z y z xy xz yz
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Vergleichsspannung
Anwendungsbereiche der unterschiedlichen Festigkeitshypothesen
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Baustatik III – SS 2017
2. Materialgesetze und Festigkeitshypothesen
2.4 Viskoelastizität2.4.1 Rheologische Grundelemente
2.4.2 Kelvin-Voigt-Modell
2.4.3 Maxwell-Modell
2.4.4 Burgers-Modell
2.4.5 Weitere Modelle
Literatur:Gross, Dietmar, Hauger, Werner, Wriggers, Peter: Technische Mechanik 4. Springer-Verlag, 2014.
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Baustatik III – SS 2017
2.4 Viskoelastizität
2.4.1 Rheologische Grundelemente
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Grundelemente
Rheologie:Rheologie ist die Wissenschaft bzw. Lehre zur Beschreibung vom Verformungs-und Fließverhalten von Körpern.
Rheologische Modelle:Rheologische Modelle beschreiben den Zusammenhang zwischen der Spannung und der Verformung (Deformation).
Rheologische Grundelemente:• Ideale Elastizität: Ideal-elastische Festkörper
Feder, Hooke-Element• Ideale Viskosität: Flüssigkeit
Dämpfer, Newton-Element• Ideale Plastizität: Idel-plastische Festkörper
Reibelement, St.-Venant-Element
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Hooke-Element
Ideale Elastizität:• Zeitunabhängiges Materialverhalten. • Rheologisches Modell: Hooke-Element = Feder• Werkstoffgesetz (Stoffgleichung):
• Eindeutige Spannungs-Dehnungs-Beziehungen.• Deformationen vollständig reversibel d.h. der Körper kehrt nach Entfernung der
Belastung wieder in seinen ursprünglichen Ausgangszustand zurück.• Materialverhalten unabhängig vom Lastpfad (Belastung und Entlastung).• Das Hooke-Element beschreibt die Eigenschaften eines ideal-elastischen Festkörpers.
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Newton-Element
Ideale Viskosität: • Zeitabhängiges Materialverhalten. • Rheologisches Modell: Newton-Element = Dämpfer• Werkstoffgesetz (Stoffgleichung):
• Das Material reagiert auf eine einwirkende Spannung mit einer unbegrenzten, zeitlich verzögerten Deformation.
• Materialverhalten ist abhängig von der Deformationsgeschichte. • Deformationen vollständig irreversibel bzw. dauerhaft bestehend.• Die Dehngeschwindigkeit (zeitliche Ableitung der Dehnung) ist proportional zur
aufgebrachten Spannung. • Das Newton-Element beschreibt die Eigenschaften einer idealen Flüssigkeit.
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St.-Venant-Element
Ideale Plastizität: • Zeitabhängiges Materialverhalten. • Rheologisches Modell: St.-Venant-Element = Reibelement• Werkstoffgesetz (Stoffgleichung):
• Deformationen irreversibel (bleibende Dehnungen).• Materialverhalten unabhängig vom Lastpfad (Belastung und Entlastung).• Das St.-Venant-Element beschreibt die Eigenschaften einer ideal-plastischen
Festkörpers.
0,0,
F
F
43
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Kriechen
Kriechen:Verformungszunahme bei konstanter Spannung!
0( ) ( )t J t 0
( )( ) tJ t
Kriechfunktion, Retardationsfunktion:
(0) : momentane Nachgebiegkeit(0) : GleichgewichtsnachgebiegkeitJJ
• Die Retardationsfunktion beschreibt den zeitlichen Verlauf (Zunahme) der Dehnung einesviskoelastischen Materials unter konstant gehaltener Spannung.
• Zum Zeitpunkt t = 0 wird plötzlich eine konstant gehaltene Spannung aufgebracht. Die zurDehnung proportionale Materialfunktion beim Kriechversuch heißt Retardationsfunktion J(t).
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Relaxation
Relaxation (Schwinden): Spannungsabnahmebei konstanter Dehnung bzw. Verformung!
0( ) ( )t G t 0
( )( ) tG t
Relaxationsfunktion:
(0) : momentane Steifigkeit( ) : GleichgewichtssteifigkeitGG
• Zum Zeitpunkt t = 0 wird plötzlich eine konstant gehaltene Dehnung aufgebracht. Die zumSpannungsverlauf proportionale Materialfunktion beim Relaxationsversuch heißt Relaxations-funktion G(t).
• Die Relaxationsfunktion beschreibt die zeitliche Abnahme der Spannung (Spannungsrelaxation)eines viskoelastischen Materials unter konstant gehaltener Dehnung.
45
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Baustatik III – SS 2017
2.4 Viskoelastizität
2.4.2 Kelvin-Voigt-Modell
46
Das Kelvin-Voigt-Modell ist geeignet, um das Kriechverhalten von Materialien zu beschreiben.
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Kelvin-Voigt-Modell
1.) Gleichgewicht:
E D
2.) Kinematik:E D
3.) Werkstoffgesetz:
, E E D DE
1E
E
D
Gleiche Dehnung in beiden Elementen!
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Kelvin-Voigt-Modell
Gleiche Dehnung in beiden Elementen!
Materialgleichung (Stoffgleichung):
1E
1.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht Inhomogene Dgl. nach ( ) lösen! ( ) ( )
t tt t t E G tt t
t t J t
2 Möglichkeiten:
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Kelvin-Voigt-Modell
0 ( ) ( ) t H t Beispiel 1: vorgegeben
h p
th Ae
1
/th Ae
/ 0th p Ae
E
Gesamtlösung:
Homogene Lösung:
0h h
Partikularlösung:
p C 0p E
0p p E
0CE
Gesamtlösung:
Anfangsbedingung (AB):
(0) 0 0AE
/0 1 teE
/
0
( ) 1( ) 1 ttJ t eE
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Kelvin-Voigt-Modell
1
( 0) 01( )
1 1( ) (1 ) 0,632
J t
J tE
J t eE E
• Wenn die Retardationszeit erreicht wird, dann beträgt die Dehnung 63.2% ihres Endwertes bzw.der Gleichgewichtsnachgiebigkeit zum Zeitpunkt t=∞.
• Am Anfang zeigt der Kelvin-Voigt Körper ein flüssigkeitsähnliches Verhalten, da in der Steigung vonJ(t) zum Zeitpunkt t=0 nur (kein E) auftritt
• Nach langer Zeit zeigt der Kelvin-Voigt Körper dagegen ein festkörperähnliches Verhalten, daJ(∞)=1/E nur von E abhängt.
• Die Verformungen sind vollständig reversibel.• Das Kelvin-Voigt Modell ist gut geeignet um den zeitlichen Übergang vom flüssigen in den festen
Zustand zu modellieren. Durch die Parallelschaltung der beiden Grundelemente wirkt das Newton-Element zeitlich verzögernd auf die Deformation und das Newton-Element begrenzt die Dehnung.
• Das Kelvin-Voigt Modell beschreibt überwiegend einen Festkörper.
(d.h. ( 0) 1/ ).J t
/1 1( ) , (0) , ( ) 0tJ t e J J
50
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Kelvin-Voigt-Modell
0 ( ) ( ) t H t Beispiel 2 : vorgegeben
51
Die Lösung der Differentialgleichung ist in diesem Fall komplizierter. Daher wird hier nur die endgültige Lösung angegeben.
0 0( ) ( ) ( )t t E H t
0
( )( ) ( ) ( )tG t t E H t
0, 0( )
, 0t
tt
0, 0( )
1, 0t
H tt
Dirac-Funktion Heaviside-Funktion
Das Kelvin-Voigt-Modell ist also nicht geeignet, um die Spannungsrelaxation zu beschreiben!
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Baustatik III – SS 2017
2.4 Viskoelastizität
2.4.3 Maxwell-Modell
52
Das Maxwell-Modell ist geeignet, um die Spannungsrelaxation in Materialien zu beschreiben.
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Maxwell-Modell
1.) Gleichgewicht:
E D
2.) Kinematik:
E D
3.) Werkstoffgesetz:
, E E D DE
Gleiche Spannung in beiden Elementen!
53
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Maxwell-Modell
Gleiche Spannung in beiden Elementen!
Materialgleichung (Stoffgleichung):
Integration
1.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht Inhomogene Dgl. nach ( ) lösen! ( ) ( )
t t
t t t t J t
t tt t G t
2 Möglichkeiten:
Relaxationszeit: E
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Maxwell-Modell
0 ( ) ( ) t H t Beispiel 1: vorgegeben
( ) 0, 0t t
0
Lösung der Dgl.:
0( )t t C
Anfangsbedingung (AB):
0(0)(0)E E
0CE
0
( ) 1( ) t tJ tE
0
01( ) ttE
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Maxwell-Modell
1( 0)
( )
J tE
J t
Das Maxwell-Modell ist also nicht geeignet, das Kriech- bzw.Relaxationsverhalten richtig zu beschreiben, da J(∞)=∞ unbegrenztist!
1( )J t
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Maxwell-Modell
0 ( ) ( ) t H t Beispiel 2 : vorgegeben
( ) 0, 0t t
tAe 1
/tAe
Lösung der Dgl.:
0
Anfangsbedingung (AB):
0(0) 0(0) (0)E E 0A E
/
0
( )( ) ttG t Ee
0
/0
tE e
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Maxwell-Modell
1
( 0)( ) 0( ) 0,368
G t EG tG t Ee E
• Wenn die Relaxationszeit erreicht wird, dann beträgt die Spannung 36.8% ihres Anfangswertesbzw. der momentanen Steifigkeit zum Zeitpunkt t=0.
• Der Maxwell Körper hat ein festkörperartiges Anfangsverhalten (da G(0)=E bzw. J(0)=1/E).• Nach langer Zeit ist der Maxwell Körper spannungsfrei und er hat daher ein flüssigkeitsartiges
Endverhalten.• Die Verformungen sind aufgrund der Reihenschaltung vollständig irreversibel.• Durch die Reihenschaltung der beiden Grundelemente nimmt das Hooke-Element den
anfänglichen Dehnungssprung in Form der Anfangsspannung auf. Durch die zeitlich verzögerteZunahme der Dehnung im Newton-Element nimmt die Dehnung in der Feder und somit dieSpannung ab. Das Material entspannt sich (relax) mit der Zeit.
• Das Maxwell Modell beschreibt überwiegend eine viskoelastische Flüssigkeit.
/1( ) , (0) , ( ) 0t EG t E e G G
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Gegenüberstellung
Kelvin-Voigt Maxwell
1.) Gleichgewicht
2.) Kinematik
3.) Werkstoffgesetz
E D E D
E D
, =E E D DE
E D
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Gegenüberstellung
Kelvin-Voigt Maxwell
Stoffgleichung
Einheitlich y y g
1E
, ,1
y
gE
, ,yg
1.) vorgegeben, gesuchtyg y y g y y
2.) vorgegeben, gesuchtgy
/+ ; ,
mit Ansatz vom Typ der rechten Seite
th p h
p
y y y y Ae
y
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Baustatik III – SS 2017
2.4 Viskoelastizität
2.4.4 Burgers-Modell
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Das Burgers-Modell ist geeignet, um das Verhalten von Asphalt, Bitumen und Polymeren zu beschreiben.
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Burgers-Modell
Maxwell
Kelvin-Voigt
1.) Gleichgewicht: M KV
2.) Kinematik: M KV
3.) Werkstoffgesetz: M M M M M 1KV KV KV KV
KVE
Maxwell Kelvin-Voigt
(1)
(2)
(3)
62
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Burgers-Modell
(1) in (3) eingesetzt:
M KV
1KV KV KV
KVE M M M
1M M
M
1 1KV KV
KV KVE
Aus (2):
1 1 1M
M KV KKV
VE
1 1 1M
M KV KVME
M KV
M KV Aus (2):
63
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Burgers-Modell
M Aus (3):
1 1 1 1M
M KV KV KVM
KVE
1 1 1 11M
M KV KV KV KM
MVE
1 1 1 1M M
M M KV KV KV M KV M KVE
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Burgers-Modell
1 1 1 KV KV KV
M M KV KV M KV M KV
E E EE E
, KVMM KV
M KVE E
a b c g 1 1 1, ,
1,
KV
M M KV KV M
KV KV
KV M KV KV
Ea bE EE Ec g
Stoffgleichung:
65
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Burgers-Modell
1.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht1 ( ) ( )
2.) ( ) vorgegeben, ( ) gesucht1 ( ) ( )
KV
KV
t t
a b c t J t
t t
a b c t G t
2 Möglichkeiten:
0 ( ) ( ) t H t Beispiel 1: vorgegeben
( ) 0, 0t t
th Ae
Lösung der Dgl.:
( ) 0, 0t t 01
KV
c
h p Homogene Lösung:
1 0h hKV
2 1 0KV
1 20, 1/ KV
66
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Burgers-Modell
0
0
(0) (0) (0)M KVME
Gesamtlösung: /1 2 0
KVth p KVA A e c t
Anfangsbedingungen:
1 2 /1 2 1 2
KVtt th A e A e A A e
p B t Partikularlösung: 01
p pKV
c
0 KVB c
0p KVc t
01 2
M
A AE
0 0(0) (0) (0)M KVM KV
2 02 0 0
1 1KV KV
M KV KV
A cE
01 2 0
1 1
M M KV
A AE E E
67
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Burgers-Modell
/0
1 11 1 KVtM
M M KV
Et eE E
68
/
0
( ) 1 1( ) 1 1 KVtM
M M KV
EtJ t t eE E
( )J t
1
ME
1
KVE
1
M1
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Burgers-Modell
Die Lösung der Differentialgleichung ist in diesem Fall komplizierter. Daher wird hier nur die endgültige Lösung angegeben.
1 21 2 1 1 2 2 0
1 r t r tq q r e q q r eA
69
0 ( ) ( ) t H t Beispiel 2 : vorgegeben
1 21 2 1 1 2 2
0
( ) 1( ) r t r ttG t q q r e q q r eA
1 2 1
212 1,2 1 2
2
, , ,
, , 42
KV M KVM MM
M KV KV M KV
M KV
KV
p p qE E E E E
p Aq r A p pE p
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Baustatik III – SS 2017
2.4 Viskoelastizität
2.4.5 Weitere Modelle
70
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Weitere Modelle
Weitere Modelle können durch die Schaltung mehrerer Grundelemente inKombination mit den Kelvin-Voigt- und Maxwell-Modellen konstruiert werden.
3-Elemente-Festkörper (linearer Standardkörper):
Werden die Konstanten entsprechend gewählt, wird der teilweise viskoseFestkörper bei beiden Modellen mit der gleichen Stoffgleichung beschrieben.
71
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Weitere Modelle
3-Elemente-Flüssigkeit:
4-Elemente-Festkörper:
72
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Weitere Modelle
4-Elemente-Flüssigkeit:
N-Elemente-Festkörper (Kelvin-Voigt-Gruppe):
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Weitere Modelle
N-Elemente-Flüssigkeit (Maxwell-Gruppe):
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Gegenüberstellung
Kriechfunktion J(t) Relaxationsfunktion G(t)
Kelvin-Voigt
Maxwell
Burgers
Standard
1tE
/tEe
/1 1 teE
1 ( )E t
75
/1 1 1 KVtM
M M KV
Et eE E
1
1 1
1 1 KV
E tKV KV
KV
E E eE E E
1
1 1
1 1
KV
KV
E E t
KVKV KV
E EE eE E E E
1 21 2 1 1 2 2
1 r t r tq q r e q q r eA