Hatványozás és gyökvonás

A hatványozás a négy alapművelet egyikének, a szorzásnak az ismételgetése. Egy adott

számot szorzunk önmagával, majd a kapott szorzatot (eredményt) ismét megszorozzuk az adott

számmal. Ezt addig ismételjük, amíg a kívánt mennyiségű szorzást elérjük. Erről a kitevő tájékoztat.

Az adott szám, akit önmagával szorozgatunk, a röviden névre hallgat. Az szorzás

ismétléseinek számát röviden 1 hívjuk. A számértéket, amit a művelet

elvégzésével kapunk, vagy röviden hívjuk. Gyakran, ha a kitevő

egész, a hatványra úgy is hivatkozunk, mint valahányadik hatványa az alapnak.

Pl. nézzük kettő néhány hatványát!

Mit vettünk észre? Igen, az a kis szám a jobb felső sarokban a , akinek a jobb felső sarkában

van az az , és aki a sor legvégén áll, az pedig a . És noha a második hatvány estén

éppen azt az eredményt kapjuk akkor is, ha az alapot szorozzuk a kitevővel, ez más esetben nem igaz!

Figyeljünk oda! Az átlag diák, már néhány nap múlva úgy emlékszik, hogy az alapot kell szorozni a

kitevővel. Pedig ez balgaság! Ne abból az egyetlen esetből általánosítsunk! A kitevő, mint

mondottam, azt jelenti, hogy hányszor kell ismételni, a szorzást. Az a bizonyos az

általános2 kitevő. Akkor használatos, mikor csak úgy általánosságban kívánok nyilatkozni róla.

Hogyan olvassuk ki?

1 Mókás, hogy egyes magyar tájszólásokban a szó, matricát jelent. Mert az autó ablakába is ezt 2 Ő tehát még nem gimis.

3

Igen, lesznek majd negatív kitevők is.

Zárójelek között, ha nincs is kiírva a szorzás, azért attól még odaértjük:4

Mi dönti hát el, hogy egy negatív szám hatványa mikor lesz pozitív és mikor lesz negatív? Ha kitevő,

azaz a szorzótényezők száma páros, akkor pozitív lesz, ha viszont a kitevő páratlan, akkor negatív lesz

a hatvány.5

: 6

Mennyivel egyenlő a negyedik hatványa? Mennyivel egyenlő a harmadik hatványa? Ha a két

kérdésre ugyanazt a választ kaptad, akkor csúnyán elszámoltad magad. Néhány sorral ezelőtt

mondtam, hogy hogyan ne számold! Számold újra!

Mennyivel egyenlő az harmadik hatványa? És a ötödik hatványa?

Mi is az a címben említett gyökvonás? A gyökvonás a hatványozás megfordítása, Itt azt a számot keressük, amit

adott ismétlésszámban önmagával szorozgatva megkapjuk azt a számot, akin a feladatban kiszabott

fokszámú gyökvonást végezzük. Bonyolultan hangzik? Hehe, pedig nem az.

Pl.

7

3 Én még sosem hallottam azt, hogy „hét a mínusz négyzeten”. Talán még senki nem is mondta így. Bár ki

tudja.. 4 Lustasági okokból kifolyólag. Nem csak én vagyok ilyen lusta, hanem ez az általánosan bevett gyakorlat. Jobb, ha minél előbb megszokod. 5 Lásd, c. fejezetet. 6 Na ja, engem is piszkosul zavar, hogy a hatványkitevő, illetve a lábjegyzetek hivatkozási számozásai ugyanúgy néznek ki. Már látom lelki szemeim előtt diákok tömegeit, akik ezeket nem tudják megkülönböztetni. Te ne tartozz közéjük! 7 Negatív számot negatív számmal szorozva pozitív eredményt ad. Lásd alapműveletek!

Most néhány szó a matematikusok körében általánosan elterjedt bűnös lustaságról. Ha egy

jelölésnek létezik egyszerűbb alakja, akkor azt használjuk, mert előtte megegyeztünk

(összeesküdtünk ellenetek), hogy ez és az, ezt meg azt jelenti. Ilyen egyszerűbb jelölés a

helyett

simán, gátlástalanul csupán -t írni. Tehát úgy lehagyjuk a kis kettest a bal felső sarokból, mint a

huzat. De nem ám feledékenységből, hanem ugyanazon aljas megfontolásból, mint amikor egy

szoftver újabb verziójából kihagynak olyan kényelmi funkciókat, amit a szegény felhasználó már

annyira megszokott és megkedvelt, hogy a kihagyott funkció miatt napestig csak szidja a

szoftverfejlesztők kedves ídösanyját. Ezért eztán én is lehagyom a kis kettest. De a többit nem

hagyhatom le, hiszen akkor senki sem tudná, hogy éppen hányadik gyökre is gondoltam.8 Az a kis

szám, aki ha éppen kettes, akkor lehagyjuk, egyébként kiírjuk, a nevet kapta a

keresztségben. Az eredményként kapott szám a gyök. A szimbólum a gyökjel, aki mellesleg egy

elnyújtott kis írott betűt formáz, mert a szó latinul . Tehát az iméntiket így is

írhattam volna, sőt eztán így is fogom:

Most nem azt kell ám észrevenni, hogy most nem számoltam ki az értéküket, hanem azt hogy

a gyökkitevőt, ami egyébként a kettes, nem írtam ki!

Elnevezések:

(nulladik gyök az nincs. Majd látjuk, miért.)

Első gyök: helyben hagyja azt, akin végeztük. Jele nincs.

Második gyök (alias, négyzetgyök): a második hatvány (alias, négyzet) inverze. Jele:

Harmadik gyök (alias, köbgyök): a harmadik hatvány (alias, köb) inverze. Jele:

Negyedik gyök (nincs más neve): a negyedik hatvány inverze. Jele:

-edik gyök (itt az a gyökkitevő): az -edik hatvány inverze. Jele: (lábjegyzet)9

Míg el nem felejtem, ne felejtsük el azt sem, hogy páros gyökvonásnál; azaz ha a gyökkitevő

páros szám; mindig van negatív és pozitív gyök is. Sőt ennél is erősebb megkötés, hogy ilyenkor a

gyök alatt nem állhat negatív szám. Más szóval, negatív számnak nincs páros gyöke. Tessék csak bele

gondolni, mi lenne az alábbiak az eredménye?

8 Az „ semmilyen jellel sem rendelkezik, noha ő lehetne ilyen:

. Persze csak azért nincs jele, mert tök mindegy, hogy valakiből vonunk-e első gyököt, avagy sem. Úgysem látszik rajta, marad, ahogy volt. Kicsit olyan, mint az egyel való szorzás és osztás. Napestig szorozhatnék és oszthatnék -gyel, mit sem változna semmi. 9 Hasonlóakat gondolj itt is az -ről, mint ami az -edik hatványozás esetén mondva volt.

Bátran lehet próbálkozni, nincs megoldás a valós számok körében.10 Az, hogy

önmagával szorozzuk, azt jelent, hogy az előjel is minden tényezőben ugyanaz, vagy plusz, vagy

mínusz.

Ha viszont a gyökkitevő páratlan nincs ilyen megszorítás, bármi állhat a gyök alatt. És még

gyök is csak egy lesz, méghozzá éppen olyan előjelű, mint a gyök alatt lévő.

Szmámold ki: (úgy értem számold ki. Éppen eszek, azé írok pöszén.)

Hatványok szorzása Ha azonos alapú hatványokat szorzunk egymással, akkor jól ellustálkodhatjuk a műveletet.

Főleg ha olyan nagy szám jönne ki, hogy nehéz is lenne kiszámolni. Praktikus okokból mindig mondjuk

azt, hogy nekünk már a kettő is hatalmas szám! Azonos alapú hatványokra, vagy azonos kitevőjű

hatványokra, vagy olyan hatványokra melyeknek kitevője tartalmaz közös szorzótényezőt, szép

könnyedén egyszerűbbé tehetjük a dolgunkat. Ha nincs ilyen, akkor vagy kénytelenek vagyunk

kiszámolni, vagy valamilyen jó kifogással úgy hagyjuk, ahogy van.

Azonos alapú hatványokra:

10 Szerencsére a komplex számok halmazában ennek is van megoldása. De ezt most itt nem tárgyaljuk.

Mit veszünk észre? Igen, . Ki sejti a szabályt? Azonos alapú hatványok

szorzása úgy történik, hogy az alap marad, és a kitevő az összes kitevő összege lesz.

Azonos kitevő, különböző alap:

És ez persze osztásra is fennáll:

Vigyázz, gátlástalanul felhasználtam az imént tanultakat! Tehát egy kalapba (zárójelbe) gyűjtjük az

alapokat, elvégezzük rajtuk a szorzást, majd ezt hatványozzuk (a megfelelő hatványkitevőre emeljük).

Persze a könnyebbség kedvéért csak jelben. Egyáltalán nem szükséges kiszámolni, főleg hogy ebben

az alakban jobban is látszik rajta, hogy mi történt.

Ha nem azonos sem az alap, sem a kitevő, de van valami közös szorzótényező a kitevőkben11:

Vagyis mivel mindegyik hatványkitevő, többszöröse a -nek, így felírhattuk

mindegyiküket a szorzataként. Majd eme közös tényezőt a zsákon kívülre emelve (ez ugyanis azt

jelenti, hogy mindjükre hat ez a művelet (negyedik hatványozás)), hagyjuk, hogy a zsákon belül

szórakozzanak egymással, majd végül az eredményen végezzük el a negyedik hatványozást. És hogy

mindez miért igaz? Azt még nem mondtam? Na, akkor most jön a magyarázat:

A hatvány hatványozása Oszt mi va’ akkó, ha már eleve, egy hatványt hatványozok? Egyszerűbben is ki lehet

számolni? Kérdés, hogy mit értünk azon, hogy egyszerű. Netán azt, hogy csak átjelöljük, és nem is

feltétlenül számoljuk ki? Azt hát! A hatványozásnak pont az a lényege, hogy bődületesen nagy

számokat, könnyebben, rövidebben lehessen jelölni, velük könnyebb legyen számolni. Pontosabban

csak úgy tenni, mintha számolnánk, hiszen mint közismert, lusták vagyunk mi ehhez. Gyia! (csapjuk a

pacik közé)

11

Ahol kiírtam a szorzásjelet, csak a jobb láthatóság érdekében tettem. Miként az országúti reflektorhasználat is ezt szolgálja. Má hogy nem a szorzást….köszönöm, hogy így figyelsz. Mikor szembe jön valaki, nem szorzunk bele a szemébe.

A zárójelet azért volt szabad elhagynom, azonkívül, hogy szép vagyok, és nekem mindent lehet, mert

ott már nem volt módosító szerepe. Ilyenkor ugyanis mindig elhagyhatjuk. Mit vettünk észre? Igen,

azt, hogy egészségesen lusta módon nem számoltam ki. De azonkívül még mit?

Most is azt vesszük észre, mint az imént? Na, nem szám szerint, hanem ugyanazt a szabályszerűséget.

Jaj, öcsém! Nem arra gondoltam, hogy már megint csak ketteseket meg hármasokat írtam, mintha

más számok nem lennének, hanem azt vegyük mán észre, hogy ha a hatvány kitevőjét és a hatvány

hatványának a kitevőjét összeszorozzuk, akkor már is megkapjuk, hogy hány tényező is van ebben a

szorzatban, vagyis mi az alap igazi kitevője. Így ha eztán hatványt hatványozunk, akkor csak a

kitevőket kell összeszorozni, az alap meg marad, ahogy volt.

Hatványok osztása Ha lehet őket szorozni, akkor bízvást lehet őket osztani is. Igazi 12 (szép

kinézetű szabályok) itt is csak azonos alapú hatványok estére vannak, egyébként csak ügyeskedni

lehet, de az elég esetleges.

Az azonos számú egyforma tényezőket (estünkben a négy piros -öst), fönt és lent (számlálóban és

nevezőben) is elhagyhatjuk. De csak együtt! Ha fönt elhagyom, lent is el kell. Olyat nem lehet, hogy

csak itt, vagy csak ott. Lásd törtek egyszerűsítése! Vagyis mi lett az új kitevő? A két régi különbsége. A

felső tag kitevőjéből kivonva, az alsó tag kitevőjét: . Mindig így „számold ki”. Könnyebb,

mintha ténylegesen kiszámolnád, hogy . Így, ha mégis

számolnod kell, bőven ráérsz a legutolsó lépésben. Mi van akkor, ha a nevezőben lévő hatvány

kitevője nagyobb, mint a számlálóban lévőé? Akkor bizony negatív lesz a kitevő az eredményben, ha

nem akarod tört alakban írni, de ha a negatív kitevőtől borsózik a hátad, akkor muszáj leszel tört

alakban írni:

Na, itt aztán nagy balgaság lenne a nevezőt felcserélni a számlálóval, hiszen akkor az

jelentéssel bírna, márpedig itt ennél jóval kisebb szám van: az

A végén a negatív kitevő is ezt jelenti. És természetesen

. Tehát egyszerűen csak végezd el a kivonást. Azonos alapú hatványok osztása: a

számláló hatvány kitevőjéből vond ki a nevező hatvány kitevőjét, majd az alapot változatlanul hagyva,

a kivonás eredménye lesz az új kitevő, akkor is, ha negatív.

Viszont az egyes mindig elhagyható a számlálóból (alulról). Továbbá vedd észre, hogyha a

számlálóból a nevezőbe teszünk valamit, vagy fordítva, akkor az illető átigazolt játékos

12

Hiszed vagy sem, de az egy matematikai műszó, arra utal, hogy ha bizonyos feltételek fenn állnak (mivel minden szabálynak van egy érvényességi köre), akkor az azonosságnak titulált képlet mindig igaz.

hatványkitevője ellentettjére vált. Negatívból pozitív lesz és vice versa.13 Nagyon olyan ez, mint az

egyenletek rendezésénél, ha egyik oldalról átkerül valaki a másikra (levonjuk, vagy hozzáadjuk az

egyenlet mindkét oldalához), akkor olyan mintha egyszerűen előjelcserével helyeztük volna át.

Olyan hatványokra, akik közt van azonos és különböző alapú is, az azonos alapúakra egymás között

alkalmazzuk az imént tanultakat, a különbözőekre meg eszünkbe se jusson!

A -hatvány csak a nevezőben volt, hiába is kerestük párját. Így ő marad, ahogy volt. A többiek pedig

a már ismert kivonási szabály miatt kapták azt a kitevőt, amit kaptak. A -hatvány kitevője így lett:

, a -hatványé az -hatványé , a -hatványé .

Ha nem akarunk negatív kitevőket, akkor ezt az egészet írhatjuk így is, azaz a negatív kitevősöket a

törtvonal másik oldalára téve:

A kettes kitevőjét, a plusz egyet merő lustaságból (melyről tudjuk már, hogy erény), el is hagyhatjuk.

Hiszen egy szám az első hatványon mindig önmaga. Ha valamilyen oknál fogva a tört alak nem tetszik,

akkor az előbbit írhatjuk így is:

Ezek mind ugyanazt jelentik. A negatív kitevős hatványokat mindig felfoghatjuk úgy is, mint reciprok

értékeket. Pl.

És ugye milyen hasznos lesz ez, ha az jön majd egyszer, hogy egy törttel való osztás mindig

megtehető a reciprokával való szorzással is.

Mi nem vót még? Sok minden, de most nézzük eme szabályszerűségek általánosítását. Majd aztán

lesz még néhány, apránként gyűrjük le őket, hátha úgy nem lesz olyan nehéz.

13 A latin kifejezés, jelentése: (és) fordítva (is). Nem egy Vica nevű lányról van szó, nem is kettőről…

A hatványozás azonosságai Mindenhol -val és -vel fogom jelölni az alapot, esetleg lesznek a kitevők. Egyelőre ezek

mind legyenek pozitív egészek. Ha mást akarok, akkor majd szólok. Feltéve, hogy nem felejtem el.

Mellesleg az és (aki a hatvány alapja) nulla értéket nem vehet fel osztásnál, mert akkor

nullával osztanánk. A meg nem van rendben.14 A negatív vagy (mint hatványalap) azért

problémás, mert egy negatív szám páros hatványon pozitív, páratlan hatványon negatív, mint ezt

korábban láttuk. De a vagy megjelölés csak egész számokra van értelmezve.

Törtszámokra nem jelent semmit. Így ha ábrázolnánk egy negatív alapú hatványt (amit az

15 függvényeknél majd meg is teszünk), akkor csak az egész helyeken lenne

kipontozva, páros számokra pozitív, páratlan számokra negatív értékekre ugrálva a függvény értéke,

és köztük, bizonyos tört helyeken, a nagy semmi tátongana, hiszen ott nincs „eldöntve”, hogy

negatív, avagy pozitív-e a föggvény16 értéke. Pontosabban némely esetekben eldönthető, de sok

esetben nem lenne értelmezhető, mert a tört hatványkitevők részben gyökvonást kódolnak. És azt

már láttuk, hogy a negatív számokon végzett páros gyökvonással gond van.

Ezeket az előbb láttuk konkrét számpéldákon, ne tegyünk úgy mintha ez most teljesen érthetetlen

lenne. Nyissuk ki a szemünket! És gondolkodjunk legott!

Szorzás:

Ahol egyértelmű elhagyom a szorzásjel kiírását.

Ha többen vannak, akkor is igaz.

Hű, most már nagyon tudunk!

Osztás:

14 Lásd, c. fejezet. 15

Az megnevezés az , kitevő szóra utal. Ez olyan függvényt jelent, amikor a kitevőben van a változó pl. 16 Mindig félreütöm, a függvény helyett föggvényt írok, és itt most nincs kedvem kijavítani.

És most jött el az ideje annak, hogy belássuk, miért is igaz az, hogy bármely szám a nulladik

hatványon egy, azaz .

Vegyük azt, az osztási szituációt, mikor nem csak az alap, de a két kitevő is megegyezik.

Látható, hogy ekkor egy számot önmagával osztottunk, márpedig az éppen -et ad.

Mindez általánosan:

Na, ugye, hogy nem is olyan nehéz és misztikus. Sőt nem is olyan hazugság és ködösítés, mint

amilyennek tűnt mikor először kijelentettem. A legtöbb könyv és tanár egyszerűen csak azt válaszolja,

ama kérdésre, hogy miért is igaz, hogy . Ami tök igaz, de a diák azt hiszi,

hogy kitértek a válasz elől. De mi is az a szóban forgó definíció? Sokan azt hiszik, hogy a . Pedig

az csúnya dolog lenne! A helyes magyarázat az, hogy ez a következő definíció,

alkalmazásából jön ki, mégpedig akkor, ha hiszen ekkor lesz Tessék végig

gondolni, papír és ceruza segítségével!17 Most csináltuk meg az előbb. Nehogy má kétségbe essé!

Vegyes csalamádé (osztás és szorzás együtt):

Aki nem tudja követni, menjen, szellőztesse ki a fejét. A könyveknek meg van az az előnye, hogy az

ember akkor teszi őket félre, amikor akarja. Tehát megtehetjük, hogy külön elvégezzük a szorzást a

számlálóban és külön a nevezőben, majd aztán csak végül alkalmazzuk az osztásra vonatkozó

szabályt. De azt is megtehetjük, hogy valamely tetszőleges kettő-kettőre elvégezzük az osztást, majd

aztán alkalmazzuk a szorzásra vonatkozó szabályt:

Kamunak tűnik? Hazugnak neveztél? Nosza, lásd be, hogy .

Ha azt kapod, hogy igaz, akkor mégsem ejtettelek át. Ha meg ezt kapod, hogy nem igaz, akkor meg

nem megy neked az algebra. Lapozd fel az fejezetet!

17

Egyszer Einstein feleségének büszkén mutatták a világ egyik akkori legnagyobb távcsövét: „Asszonyom, a tudósaink ezzel a távcsővel kutatják a világegyetem titkait.” Erre Einstein felesége azt válaszolta: „Nahát, milyen érdekes, az én férjem is ugyanezt teszi a karosszékében ülve, egy papírral és egy ceruzával a kezében”.

Azonos kitevő, különböző alap:

Mint mondtam láttunk rájuk számpéldákat. Aki nem hiszi, lapozzon utána!

Valami közös tényező a kitevőben:

Látunk majd hasonló gyökvonási azonosságokat is. Sőt hatványozás és gyökvonás együttesére is.

Végül bebizonyítjuk majd az összest. Csak várd ki a végét!

Valahol, messze ez előtt, csúnyán félretettük a gyökvonás tárgyalását. Most szedjük elő ismét.

Hogyan tudnánk a gyökvonást hatványozásként felírni? Hátha hasznos lenne…

Nézzük azt az estet, mikor egy számon ugyanolyan gyökkitevőjű gyökvonást végzünk, mint amilyen

hatványkitevőjű hatványozást! Mi történik akkor? Lényegében az adott szám marad, aki volt. Hiszen

a hatványozás és a gyökvonás egymás inverz művelete (fordított művelete). Azért csak

marad, ami volt, mert ha éppen páros kitevőkkel végeztük, akkor a hatványozás „benyeli” az előjelet.

Azaz páros hatványra emelés után, már nem fogjuk tudni, hogy korábban negatív, vagy pozitív volt-e

az alap. Így az eredetihez képest csak a szám abszolútértékében leszünk bizonyosak.

Viszont

Itt még semmi konkrét bajunk nem lenne, ha elhagynánk az abszolút értéket, de inkább szokjuk meg

most, mert ha ismeretlenek ( vannak a gyök alatt, akkor ki kell írnunk.

De figyelem! Félrevezető lehet a következő:

Hiszen a páros gyök alatt nem lehet negatív szám. Aki a fenti feladatokat (a gyökvonás leges-legelső

bemutatásánál) elvégezte, már tudja, hogy miért. Ahol viszont az egész hatványalak bent van a gyök

alatt (Piroska a farkas gyomrában), ott a páros hatványra emelés úgyis benyeli a negatív előjelet, így

nincs gond. Gondolhatnánk. No, de akkor is gond van, mert a hatványozás és a gyökvonás műveleti

sorrendje felcserélhető. Azonos rangú műveletek. Így a sorrendre nem tehetjük azt a megszorítást,

hogy mindig a hatványozás legyen előbb elvégezve. Így sajnos ekkor sincs értelmezve az ilyen a valós

számok halmazán. Tehát a páros gyök alatt sosem lehet negatív! Még akkor sem, ha az a negatív

páros hatványra van emelve!

Mi a sejtés? Hogyan írjuk fel hatvány alakban a gyökvonást? Ha az azonos kitevőjű hatványozás és

gyökvonás helyben hagyja az illetőt, akkor nyilván kettejük együttes működése olyan hatványkitevőt

fog eredményezni, amelynek értéke éppen . Vagy is a négyzetgyök így írható (emlékezzünk rá, hogy

a kis kettes gyökkitevő mindig le van hagyva a gyök „homlokáról”!):

(a továbbiak megértéséhez lásd, a hatványok hatványozása részt itt eme fejezetben!)

És a többi gyökkitevőre is:

S így tovább:

Ha nem érted, hogy az

vagyis egy szám a reciprokával szorozva miért egyenlő mindig -gyel, akkor most lebuktál! Még

mindig nem olvastad el c.18 fejezetet. Mire vársz? Villám gyorsan olvasd el!

Most már mindenki rájött magától, hogy a nulladik gyök miért nem létezik. Emlékszik rá valaki

egyáltalán, hogy megígértem, hogy meg fogjuk ismerni ennek okát? Tessék figyelmesebben olvasni.

Aki nem jött rá magától, annak megsúgom, hogy azért mert akkor az a nulla az

-es hatványkitevős

felírásban éppen egy tört nevezője lenne. Ez pedig a nullával való osztást vonná maga után. Ezt pedig

senki ne próbálja meg otthon, bármit is hallott Chuck Norrisról.

Íme, néhány gyökvonási példa:

Tehát mindegy, hogy a szorzást vagy a gyökvonást végezzük el előbb.19

Tehát a gyökvonás és az osztás is felcserélhető. Jól látható, hogy érdemesebb a

gyökvonásokat elvégezni; az itt fejben megtehető; és utána osztani.

Általánosan:

18

ÁÁÁ! Ne! Most komolyan mondod, hogy nem tudod mi az, hogy c.? Igaz, nagyon sok minden lehetne, de itt most azt jelenti, hogy „című”. 19 Ezt, úgy mondjuk, hogy a két művelet felcserélhető.

Mielőtt hozzákezdenénk a bizonyításokhoz, el kell árulnom neked, hogy a gyökvonás

művelete kivezet a racionális számok köréből. Azaz gyakran kapsz olyan eredményt, mely nem

racionális szám. Tehát nem írható fel két egész szám hányadosaként. Közelítő értékeket persze lehet

adni rájuk. Ezeket az irracionális számokat átlagember még közelítőleg sem tudja kiszámítani. Te sok

esetben képes leszel rá, ha elolvasod a c. fejezetet. Azon belül is a 20

sorozatokat.

Nem nehéz megérteni, hogy mindig azok a számok fognak irracionális eredményt adni egy

adott fokú gyökvonásra, akik nem olyan hatványai valamely számnak, hogy a hatványkitevő egész

többszöröse a gyökkitevőnek. Tehát, egy adott szám egy adott fokú gyökvonásra lehet ugyan

racionális eredményt adó, ha éppen eme fok szerint, amit a gyökkitevő mutat, ennek egész

többszörös fokú hatványa, azonban egy másik kitevős gyökvonásra már nem mindig lesz racionális. És

persze olyanok is vannak, akik senkinek sem a hatványai. Ők aztán végképp nem hajlandóak

racionálisan vallani semmilyen fokú gyökvonásra.

Néhány példa:

A nem racionális gyököket számológéppel számoljuk ki (közelítőleg), vagy ha nem fontos a

számértékszerű eredmény, akkor simán csak úgy hagyjuk, hiszen a jele pl. a a

legpontosabb felírási mód, ami velük kapcsolatban létezik. Úgye milyen hasznos az intézményesített

lustaság?

20 : Olyan eljárásra utal, amikor egy sorozat következő elemeit úgy képezzük, hogy az előző elemeket felhasználjuk az adott sorozat rekúrziós szabálya szerint. Ebből következik, hogy eme elemeket is így képeztük; kivéve esetleg az első néhányat. De ha akarjuk, képezhetünk olyan sorozatokat, melyeknek nincs tagja, mert a megadott szabály szerint lefelé ugyanúgy képezhetó a sorozat, mint fölfelé.

Bizonyítások Tételek bizonyításánál gyakran hivatkozunk21 már korábbi tételekre, hogy ne kelljen mindent

örökösen ismételni, mert úgy sosem lenne vége semminek se. Ezért nagyon fontos, hogy az adott

sorrendben sajátítsd el az ismereteket, mert enélkül vajmi keveset fogsz érteni.

Ezeket már mind láttad eme fejezetben. Most csak a formális, minden matematikus által

elfogadott bizonyításokat mutatom meg, hogy azt is ismerd. A ∎ jel mutatja a bizonyítás végét.

Sajnos a fejezetek végén is ugyanezt használtam, de mivel a fejezetet átnyúlóan nem megy egyetlen

bizonyításom sem, így talán ez nem lesz probléma. Főleg hogy a fejezetek végén két ilyet használtam.

.

, ahol a zöld -k száma darab,22 a narancssárga -k száma

darab, tehát összesen az -k számossága a szorzatban. Így ez nem más, mint .∎

∎

Ahol piros -k nyilván ugyanannyi darab -t jelölnek. Így ezekkel egyszerűsítve, mint a törteknél az

megszokott, csak a „feleslegben” maradt -k kerültek továbbvitelre. Továbbá felhasználtuk azt, hogy

a reciprok jelölhető negatív kitevővel is. És a legutolsó eset, mikor adja azt, amire csak úgy

hivatkoznak, hogy „definíció szerint” igaz: .

------

Miért is lehet a reciprokot negatív kitevővel jelölni? Mert egy szám szorozva a reciprokával éppen

egyet ad.

21 A királyi többes a „mi”, mindig arra utal, hogy nem én személy szerint, hanem mindenki, aki matematikával foglalkozik, eme szabályok szerint jár el, és egységesen minden könyvben, cikkben eme stratégiákkal találkozhatsz. Még ha nem szokványos könyvet látsz is magad előtt, azért az okos szabályokat nem rúgtam fel. 22

Ha és nem egész, akkor furcsa lehet a darabszám kifejezés. De ekkor is igaz a tétel. Csak fantázia kérdése, és törtszám is lehet sorszám. Sőt negatív szám is.

És hát az azonos alapú hatványok szorzási szabályából tudjuk, hogy:

Erről meg igaz: , azaz mindezekből:

Vagyis

------------

minden zárójelben

darab van. A zárójelek száma pedig . Így, összesen darab van összeszorozva, ami nem

más, mint ∎23

Ha eddig nem mondtam volna, és biztosan nem mondtam, akkor nulla minden pozitív

hatvány nulla. Nulladik és negatív kitevőre pedig nincs értelmezve. Házi feladatként, tessék szépen

belegondolni, hogy miért!

Az minden hatványa egy, hiszen bármilyen sokan vannak is, és

negatív kitevőre is:

Bármilyen nagy is az (vagyis az egyesek száma).

Házi feladat: mi a helyzet a hatványaival?

Lássuk végül a gyökös azonosságokat:

23 Természetesen az , de már ismersz …

Ha találunk olyan hatványt, melyre emelve

éppen lesz, akkor már csak azt kell belátni, hogy

ekkor a hatványkitevő éppen Így majd felismerhető, hogy a két oldal megegyezik, hiszen tudjuk,

hogy azt a számot jelöli melyet -edik hatványra emelve éppen -t kapunk. Ha jobban tetszik,

-et. Mi az a hatványkitevő, amelyedik hatványra emelve

-t éppen -t kapunk? Nem más, mint

hiszen

miként azt a hatvány azonosságoknál már beláttuk.

. Ezt akartuk elérni.

QED.24 ∎

Ahol is felhasználtuk az előbbi tételt. És azt már láttuk a hatványozásoknál, hogy

. És ismét az előző tétel szerint

.Ezek mind egyenlőek, tehát készen

vagyunk. ∎

Mivel az imént láttuk, hogy

így erre is igaz, hogy

Ezt tovább alakítva, a

-t kapjuk. Itt ismét felhasználjuk, hogy

méghozzá a számlálóra ée nevezőre is:

. Eme láncolat minden tagja egyenlő. Így készen vagyunk. ∎

Vannak még bonyolultabb összefüggések is, de lévén azokat itt nem tárgyaltam,

számpéldával, így azokkal majd a c. fejezetben foglakozunk, és azt

itt látottakra is sok alkalmazást veszünk. Amit meg lusta voltam bemutatni, az mind házi feladat. Nézz

utána mindennek!

∎∎

24

QED.: latin rövidítés, , vagyis „amit bizonyítandó volt”. Gyakran úgy fordítják, hogy „ezt kellett bizonyítani”, de az előbbi fordítás pontosabb.