digilib.unhas.ac.iddigilib.unhas.ac.id/uploaded_files/temporary/Digital... · 2021. 1. 16. ·...
Transcript of digilib.unhas.ac.iddigilib.unhas.ac.id/uploaded_files/temporary/Digital... · 2021. 1. 16. ·...
-
i
NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAFSPLITTING
SKRIPSI
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar SarjanaSains pada Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar
SITTI FATIMAHH111 11 273
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2018
-
ii
LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN
Saya yang bertanda tangan dibawah ini menyatakan dengan sungguh-sungguh
bahwa skripsi yang saya buat dengan judul:
PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAF
SPITTING
Adalah benar hasil karya saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah
dipublikasikan dalam bentuk apapun.
Makassr, 18 juli 2018
SITTI FATIMAHNIM : H111 11 273
-
iii
-
iv
-
v
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI SKRIPSI
UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIK
Sebagai civitas akademik Universitas Hasanuddin, saya yang bertanda tangan di
bawah ini :
Nama : Sitti Fatimah
NIM : H111 11 273
Program Studi : Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jenis Karya : Skripsi
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada
Universitas Hasanuddin Hak Bebas royalti Non-eksklusif (Non-exclusive
Royalty Free Right) atas skripsi saya yang berjudul :
“Nilai Total Ketidakteraturan Titik Grap Splitting”
beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Terkait dengan hal di atas, maka
pihak universitas berhak menyimpan, mengalih-media/format-kan, mengelola
dalam bentuk pangkalan data (database), merawat dan mempublikasikan skripsi
saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Makassar pada tanggal 18 juli 2018
Yang menyatakan
SITTI FATIMAH
-
vi
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbi’alamin. Puji syukur penulis haturkan kehadiran Allah
SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulisan
skripsi dengan judul “Penentuan Nilai Total Ketidakteraturan Titik Graf Splitting”
dapat terselesaikan dengan baik. Salawat dan taslim semoga tetap tercurah kepada
Rasulullah SAW yang menjadi suri tauladan bagi umat Islam dalam menjalani
hidup yang sesungguhnya.
Penulisan skripsi ini dapat terselesaikan berkat bantuan dan motivasi dari
berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis sampaikan terima kasih kepada:
1. Prof. Dr. Dwia Aries Tina Pulubuhu,.MA, sebagai Rektor Universitas
Hasanuddin Makassar.
2. Dr. Eng Amiruddin, sebagai Dekan Fakultas MIPA Universitas
Hasanuddin Makassar.
3. Prof. Dr. Amir Kamal Amir,.M.Sc, sebagai Ketua Jurusan Matematika
Universitas Hasanuddin Makassar.
4. Dr. Nurdi, S.Si., M.Si. dan Jusmawati Massalesse, S.Si., M.Si. yang
dengan sabar meluangkan waktunya demi memberikan bimbingan,
pengarahan, dan saran sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.
5. Prof. Dr. Aidawayati Rangkuti, MS., Dr. Hendra, S.Si., M.kom., dan
Prof. Dr. Eng. Mawardi Bahri, S.Si.,M.Si. selaku penguji sekaligus
penasehat akademik, terima kasih atas saran dan kritikannya demi
perbaikan skripsi penulis.
6. Seluruh dosen di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
yang telah mendidik, mengajarkan, membimbing, dan mencurahkan ilmu-
ilmunya kepada penulis.
7. Ayahanda Hasanuddin dan Ibunda Sitti Arfah tercinta yang senantiasa
memberikan kasih sayang, doa dan materi kepada penulis dalam menuntut
ilmu.
-
vii
8. Ketiga kakak Nurhasnawati, Widyawati, Hashrawati dan ketiga adik
Sitti Aisyah, Sitti Rahmah, Muh Akbar Karim serta seluruh keluarga
besar yang selalu memberikan doa, semangat, dan kasih sayang tanpa
batas.
9. Teman teman seperjuangan di jurusan matematika khususnya Polinom
2011, Matematika 2011, MIPA 2011, KM FMIPA UNHAS,
HIMATIKA FMIPA UNHAS, Teman-teman dekatku yang selalu
mensupport saya (Riskawati, Haerul, Rika Utami, Harfiah, Besse
Nuralang, Arini Sofyan, Dewi Puspawati, Asrini sofyan) terima kasih
atas rasa persaudaraan dan kebersamaan yang telah diberikan kepada
penulis.
10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, yang telah
membantu penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini.
Dengan segala kerendahan hati, penulis menerima kritik dan saran demi
tercapainya kesempurnaan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi
penulis. Amin Ya Robbal Alamin.
-
viii
ABSTRAK
Misalkan adalah suatu graf sederhana. Pelabelan : ∪ → {1, 2, 3, … , }disebut pelabelan- total tidak teratur titik pada jika untuk setiap dua titik yang
berbeda pada berlaku ( ) ≠ ( ) dimana ( ) = ( ) + ∑ ( )∈ .Bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga mempunyai suatu
pelabelan- total tidak teratur titik disebut nilai total ketidakteraturan titik pada ,
dinotasikan dengan ( ).Skripsi ini membahas mengenai penentuan nilai total ketidakteraturan titik
pada graf Splitting, , . Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :, = 2 + 13 , untuk ≥ 3.
Kata Kunci : Graf Splitting, Pelabelan Total Tidak teratur Titik, Nilai Total
Ketidakteraturan Titik.
-
ix
ABSTRACT
For a simple graph with the vertex set and the edge set . A labeling : ∪→ {1, 2, 3, … , } is called a vertex irregular total -labeling of if for any twodifferent vertices and in we have ( ) ≠ ( ) where ( ) = ( ) +∑ ( )∈ . The smallest positive integer such that has a vertex irregulartotal -labeling is called the total vertex irregularity strength of , denoted by( ).
In this paper, we determined the total vertex irregularity strength of
Splitting graph, , , in this peper we obtained that:, = 2 + 13 , for ≥ 3.
Keywords : Splitting Graph, Total Vertex Irregular Labeling, Total Vertex
Irregularity Strength.
-
x
DAFTAR ISILEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN ...................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN................................Error! Bookmark not defined.
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI SKRIPSI UNTUKKEPENTINGAN AKADEMIK............................................................................. iv
KATA PENGANTAR ........................................................................................... vi
ABSTRAK........................................................................................................... viii
ABSTRACT........................................................................................................... ix
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. xi
DAFTAR TABEL................................................................................................. xii
DAFTAR LAMBANG ........................................................................................ xiii
BAB I PENDAHULUAN.......................................................................................1
1.1. Latar Belakang ..........................................................................................1
1.2. Rumusan Masalah .....................................................................................3
1.3. Batasan masalah ........................................................................................3
1.4. Tujuan Penelitian.......................................................................................3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA..............................................................................4
2.1. Pengertian Graf..........................................................................................4
2.2. Termonologi graf.......................................................................................5
2.3. Jenis-jenis graf...........................................................................................7
2.4. Pelabelan Graf .........................................................................................10
2.5. Pelabelan Total Tidak Teratur.................................................................11
2.6. Hasil Penelitian Terdahulu ......................................................................12
2.7. Kerangka Pemikiran ................................................................................13
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ...............................................................15
3.1. Nilai Total Ketidakteraturan titik Graf Splitting ( , ) ..................15BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN ...............................................................26
4.1. Kesimpulan..............................................................................................26
4.2. Saran........................................................................................................26
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................27
-
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Graf dengan 5 titik dan 6 sisi................................................. 4
Gambar 2.2 Graf sub Graf dari ............................................................. 6
Gambar 2.3 Graf Lintasan ........................................................................... 7
Gambar 2.4 Graf Lengkap ........................................................................ 8
Gambar 2.5 Graf Bintang ........................................................................ 8
Gambar 2.6 Graf Bipartit , ........................................................................ 9Gambar 2.7 Graf Bipartit Lengkap ............................................................... 9
Gambar 2.8 Graf Splitting ( , ) ........................................................ 10Gambar 2.9 Graf Siklus .......................................................................... 11
Gambar 2.10 Pelabelan Total Tidak Teratur Titik pada ......................... 12
Gambar 3.1 Graf Splitting ( , ) ........................................................... 15Gambar 3.2 Graf Splitting ( , ) .......................................................... 16Gambar 3.3 Pelabelan -3 pada ( , ) ................................................... 17Gambar 3.4 Graf Splitting ( , ) .......................................................... 17Gambar 3.5 Pelabelan -3 pada ( , ) ................................................... 18Gambar 3.6 Graf Splitting ( , ) .......................................................... 18Gambar 3.7 Pelabelan -4 pada ( , ) ................................................... 19Gambar 3.8 Graf Splitting ( , ) .......................................................... 19Gambar 3.9 Pelabelan -5 pada ( , ) ................................................... 20Gambar 3.10 Graf Splitting ( , ) ........................................................ 20Gambar 3.11 Pelabelan -5 pada ( , ) ................................................. 21Gambar 3.12 Graf Splitting ( , ) ........................................................ 21Gambar 3.13 Pelabelan -k pada ( , ) ................................................. 22
-
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Hubungan antara n dengan label terbesar ....................................... 22
-
xiii
DAFTAR LAMBANG
Lambang Keterangan
Pemakaian
pertama kali
pada
halaman= ( , ) Graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi 1Himpunan titik graf
1
Himpunan sisi graf1( , ) Graf Splitting dengan titik 2
deg( ) Derajat titik pada suatu graf 5( ) Derajat titik yang minimum pada graf 5∆( ) Derajat titik yang maksimum pada graf 5( ) Fungsi pelabelan untuk titik
10( ) Fungsi pelabelan untuk sisi10( ) Bobot titik11( ) Nilai total ketidakteraturan titik pada graf 13
-
xiv
-
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun
1736 sebagai upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg. Pada masalah
tersebut, Euler membahas masalah jembatan yang menghubungkan kota-kota di
Konigsberg yang terpisah oleh sungai. Teori ini lahir dari sebuah pertanyaan,
apakah seseorang dapat melewati ketujuh jembatan di kota Konigsberg dalam
satu kali melintas sampai kembali ke tempat semula. Untuk memecahkan masalah
tersebut, Euler mempersentasikan daratan dengan titik dan jembatan dinyatakan
dengan sisi. Berdasarkan permasalahan tersebut, Euler mengembangkan beberapa
konsep mengenai teori graf. Teori ini terus berkembang seiring ditemukannya
berbagai aplikasi dalam menyelesaikan beberapa permasalahan (W.D, Wallis
2001).
Graf merupakan suatu himpunan berhingga dan tidak kosong dari obyek –
obyek yang disebut titik (vertex) dan sisi (edge) yang menghubungkan titik-titik
tersebut. Notasi sebuah graf adalah = ( , ), dengan merupakan himpunantitik, dan E merupakan himpunan sisi. (Chartrand, G., & Lesniak, L.1996).
Penelitian tentang teori graf terus mengalami perkembangan. Salah satu
pembahasan yang terus berkembang adalah pelabelan graf. Objek kajiannya
berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan
bagian bilangan asli yang disebut label. Masalah pelabelan dalam teori graf mulai
dikembangkan pada pertengahan tahun 1960-an. Pelabelan graf pertama kali
diperkenalkan oleh Sadlack (1964), Stewart (1966), kemudian Kotzig dan Rosa
(1970).
Salah satu pengaplikasian graf dalam kehidupan sehari-hari adalah graf
yang dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada.
Misalnya pemanfaatan teori graf dalam sistem lalulintas dimana
titik digunakan untuk menyatakan suatu persimpangan jalan, sedangkan
-
2
sisi dari suatu graf digunakan untuk menyatakan jalan yang menghubungkan
dua simpang jalan, dan arah pada sisi merepresentasikan arah jalan yang
dapat dilalui. Jadi, bila terdapat jalan satu arah, arah panah hanya akan
menunjuk ke arah tertentu dan tidak sebaliknya. Bobot atau nilai dari sisi graf
merepresentasikan jarak antar persimpangan.
Pelabelan pada graf adalah sebarang fungsi yang memasangkan elemen-
elemen graf (titik dan sisi) dengan bilangan, umumnya bilangan bulat positif. Jika
domain dari fungsi adalah himpunan titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik
(vertex labeling). Jika domain dari fungsi adalah himpunan sisi, maka pelabelan
disebut pelabelan sisi (edge labeling) dan jika domain dari fungsi adalah
gabungan himpunan titik dan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan total (total
labeling) (W. D. Wallis,2001).
Pada tahun 2007, B ca dkk mengkaji suatu jenis pelabelan total, yaitu
pelabelan total tidak teratur (irregular total labeling). Baca dkk meneliti pelabelantotal tidak teratur ke dalam dua tipe, yaitu pelabelan total tidak teratur titik dan
pelabelan total tidak teratur sisi. Pada tahun (2015) Rismawati dkk memberikan
suatu tipe pelabelan total tidak teratur, yang disebut pelabelan total tidak teratur
pada suatu graf.
Beberapa penelitian telah menetukan nilai total ketidakterarturan titik pada
graf. Pada tahun (1998) Amar, D dkk. menentukan nilai ketidakteraturan pada
graf pohon. Pada tahun (2007) B ca, M dkk. menentukan nilai total
ketidakteraturan pada graf lintasan , graf siklus ,graf bintang , graf
friendship dan graf roda . Wijaya, K. dkk. (2011) menetukan nilai totalketidakteraturan titik pada graf cocktiail party. AL-Mushayt,O. dkk. (2013)
menetukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf polytope. Nurdin (2013)
menentukan nilai total ketidakteraturan titik dan sisi pada amalgamasi dua
lingkaran yang isomorfik. Ahmad, A. dkk. (2014) meneliti nilai total
ketdakteraturan pada graf dari penggabungan graf prisma dan lingkaran. Pada
tahun (2014) Binthya,R. dkk. menentukan pelabelan harmonis pada graf Splitting
Spl( , ). Namun belum ada peneliti yang menetukan nilai total ketidakteraturan
-
3
titik pada graf Spl( , ). Sehingga penulis tertarik untuk menentukan nilai totalketidakteraturan titik pada graf splitting Spl( , ) dan menunjukkan hasilnyadalam bentuk tulisan skripsi dengan judul “Nilai Total Ketidakteraturan Titik
Graf Splitting”.
1.2. Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas adalah pelabelan total
ketidakteraturan titik pada graf Spl( , ) dan bagaimana menentukan nilai totalketidakteraturan titik (tvs) suatu graf splitting Spl( , ).1.3. Batasan masalah
Pada penelitan ini penulis hanya membahas tentang pelabelan total
ketidakteratur titik pada pada graf splitting Spl( , ) untuk ≥ 3.1.4. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini adalah
menentukan nilai total ketidakteraturan titik graf splitting ( , ).
-
4
Gambar 2.1 Graf dengan titik 5 dan sisi 6
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Bab ini membahas beberapa definisi dan konsep dasar pada teori graf,
jenis-jenis graf, terminologi graf, pemetaan, serta penjelasan mengenai pelabelan
graf yang digunakan pada bab selanjutnya.
2.1. Pengertian Graf
Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun
1736. Graf merupakan pasangan himpunan titik dan himpunan sisi. Pengaitan
titik–titik pada graf membentuk sisi dan dapat di representasikan dengan gambar
sehingga membentuk sebuah graf. Secara formal definisi graf adalah sebagai
berikut.
Definisi 2.1.1. Graf adalah suatu pasangan himpunan, ditulis G = (V,E),
dengan V adalah himpunan tidak kosong yang anggota-anggotanya disebut titik
(vertex) dan E adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan
tidak terurut anggota-anggota di V, dan disebut sisi (edge).
Suatu sisi di dengan titik ujung u dan v ditulis {u,v}. Untuk
penyederhanaan penulisan {u,v} cukup ditulis uv. Banyaknya titik di disebut
order dari dan banyaknya sisi di disebut ukuran dari . Jika kedua titikujung dari suatu sisi adalah sama, maka sisi tersebut dinamakan loop. Sedangkan
jika terdapat dua sisi sedemikian sehingga kedua titik ujungnya sama, maka kedua
sisi tersebut di namakan sisi-sisi ganda.
Terkait keberadaan loop dan sisi ganda pada suatu graf, maka graf yang
tidak mempunyai loop dan sisi ganda disebut graf sederhana.
Contoh 2.1
-
5
Himpunan titik dan himpunan sisi graf pada Gambar 2.1 masing-masing
adalah: = { , , , , , }= { , , , , , }.Dengan demikian, order dari graf G adalah 5 dan ukuran graf G adalah 7. Graf
pada Gambar 2.1 termasuk graf sederhana.
2.2. Termonologi graf
Dalam mempelajari graf terdapat beberapa termonologi (istilah) yang
berkaitan dengan graf. Berikut ini didefinisikan beberapa termonologi yang akan
digunakan pada bab pembahasan tugas akhir ini.
Definisi 2.2.1. Misalkan G adalah suatu graf dan , ∈ ( ), jika = ∈( ) maka sisi e dikatakan terkait (incident) dengan titik .Definisi 2.2.2. Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajat titik v adalah
banyaknya sisi yang terkait dengan titik v, dinotasikan dengan deg(v).
Derajat maksimum dari G dituliskan dengan ∆( ) dan derajat minimum dari Gdituliakan dengan ( ).Definisi 2.2.3. Dua buah titik pada graf dikatakan bertetangga (adjacent) bila
keduanya merupakan titik-titik ujung dari suatu sisi di E. Dengan kata lain, u
bertetangga dengan v jika adalah sebuah sisi pada graf G.
Definisi 2.2.4. Misalkan ∈ ( ) untuk suatu graf G. himpunan ketetanggaandari u, dinotasikan dengan ( ).Definisi 2.2.5. Jalan yang panjangnya n dari titik awal ke titik tujuan di
dalam graf G ialah barisan berselang seling titik-titik dan sisi-sisi yang
berbentuk , , , , ,… , , , sedemikian sehingga =,= ,… , = adalah sisi dari graf.
-
6
Definisi 2.2.6. Lintasan adalah jalan dimana semua titik berbeda atau setiap sisi
yang dilaluinya hanya tepat satu kali.
Lintasan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut lintasan tertutup
(closed path) sedangkan jalan yang memiliki titik awal dan titik akhirnya berbeda
maka disebut lintasan terbuka (open path).
Definisi 2.2.7. Dua sisi dikatakan parallel jika memiliki titik-titik ujung yang
sama.
Definisi 2.2.9. Misalkan = ( , ) adalah sebuah graf sederhana. = ( , )adalah subgraf dari G jika ⊆ dan ⊆ .Contoh 2.2
G1 G2
Gambar 2.2 G1 Subgraf dari G2
Berdasarkan graf pada Gambar 2.2 dan graf G2 pada Gambar 2.2 di peroleh
(i) Titik dan titik bertetangga sedangkan titik dan tidak
bertetangga.
(ii) Sisi terkait dengan titik dan titik sedangkan sisi tidak terkait
dengan titik dan
(iii) Derajat pada titik adalah deg( ) = 3 dan derajat titik lainnya = 2 untuk, sedangkan derajat maksimum dari graf G adalah ∆( ) = 3 dan derajatminimumnya dari graf ( ) = 2.
(iv) − − − − − − − merupakan lintasantertutup.
-
7
(v) Jika diberikan himpunan titik = { , , } dan himpunan sisi ={ , , } maka = ( , ) adalah subgraf dari karena ⊆dan ⊆ .
2.3. Jenis-jenis graf
Beberapa graf dikelompokkan berdasarkan ciri khusus dari setiap graf. Pada
sub bab ini akan di paparkan beberapa jenis graf yang digunakan pada penelitian
ini.
Definisi 2.3.1. Graf lintasan dengan n titik, dimana ≥ , dinotasikan sebagaiadalah graf dengan barisan titik , , , … , sedemikian sehingga{ , , … , } ∈ ( ).
Beberapa graf lintasan dengan = 2, = 3, = 4, = 5diperlihatkan sebagaimana contoh di bawah ini.
Definisi 2.3.2. Graf G disebut graf lengkap apabila setiap 2 pasang titik yang
berbeda pada G bertetangga. Graf lengkap dengan n titik dinotasikan dengan.Banyaknya titik dan sisi graf lengkap secara berurutan adalah | ( )| =dan | ( )| = ( − 1)/2. akibatnya, tiap titik di bertetangga dengan titik
Gambar 2.3 Graf lintasan
-
8
Gambar 2.5. Graf bintang S6
lainnya di sehingga setiap titik di memiliki jumlah tetangga yang sama dan
berderajat − 1.
Gambar 2.4 merupakan contoh graf lengkap .
Definisi 2.3.1. Misalkan ≥ 2 adalah bilangan bulat. Graf = ( , ) dikatakanr-partit jika V dapat dipartisi menjadi r partisi sedemikian sehingga setiap dua
titik di V yang bertetangga berada pada partisi yang berbeda. Jika setiap
pasangan titik dari partisi yang berbeda adalah bertetangga, maka graf r-partit
disebut graf r-partit lengkap dan dinotasikan dengan , , …, , dimanaadalah banyaknya titik pada partisi ke-i, = 1,2, … .Graf bipartite lengkap , secara khusus disebut graf bintang. Graf ,selanjutnya dinotasikan dengan . Jadi, | | = + 1.
Gambar 2.5 merupakan contoh graf bintang .
Gambar 2.4 Graf lengkap
-
9
Definisi 2.3.2. Sebuah graf G disebut bipartit jika himpunan titiknya dapat
dipartisi menjadi dua himpunan yaitu dan , sedemikian sehingga setiap sisi
pada G menghubungkan sebuah titik di dan sebuah titik di .
Gambar 2.5 merupakan contoh graf bipartit , .Definisi 2.3.3. Misalkan G adalah graf bipartit. dengan himpunan simpul ( )terpartisi menjadi himpunan U dan W. Jika setiap titik di U bertetangga dengan
setiap titik di W atau sebaliknya maka G disebut bipartit lengkap, dan dinotasikan
sebagai , atau , , dimana n menyatakan order untuk U dan m menyatakanorder di W.
Gambar 2.7 merupakan contoh graf bipartit lengkap untuk{ , }, { , } { , }.Definisi 2.3.4. Misalkan G adalah suatu graf dengan ( ) =, , , ,… , dan misalkan ( ) = ′, ′ , ′ , ′ , … ′ adalahhimpunan titik baru dimana ′ bersesuaian dengan untuk = 1, 2, 3, … , . (jika. Graf splitting dari G dinotasikandengan Spl(G), didefinisikan sebagai graf dengan himpunan titik ( ) ∪ (G),
Gambar 2.7. Graf Bipartit lengkap
Gambar 2.6 Graf Bipartit K2,3
-
10
dimana dua titik di graf Spl(G) dikatakan bertetangga jika dan hanya jika
keduanya bertetangga di G atau satu titik ′ di ( ) bertetangga dengan titik( ) dimana u anggota di ( ). (Mathad and Basavanagound, 2012).
Gambar 2.8 merupakan graf splitting Spl( , ).2.4. Pelabelan Graf
Dalam sub bahasan ini, akan dibahas definisi pelabelan graf dan bobot dari
elemen graf.
Definisi 2.4.1. Pelabelan graf adalah suatu fungsi yang memasangkan elemen-
elemen graf (titik atau sisi) dan suatu bilangan bulat positif. Jika domain dari
fungsi adalah himpunan titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik (vertex
labeling). Jika domain dari fungsi adalah himpunan sisi, maka pelabelan disebut
pelabelan sisi (edge labeling) dan jika domain dari fungsi adalah gabungan
himpunan titik dan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan total (W. D. Wallis,
2001).
Definisi 2.4.2. Bobot titik v pada pelabelan total adalah label titik v ditambah
dengan jumlah semua label sisi yang terkait dengan v, yaitu ( ) = ( ) +∑ ( ).
Gambar 2.8 Graf Spitting Spl( , )
-
11
Contoh 2.3
Gambar 2.9 .merupakan graf C5 dengan V(G)= , , , , dan ( ) =, , , , yang masing-masing titik dan sisinya diberi labelbilangan bulat positif sehingga disebut pelabelan total. Misalkan adalah
pelabelan total pada C5, maka pelabelan titiknya adalah( ) = 1, ( ) = 2, ( ) = 2, ( ) = 2, ( ) = 3,sedangkan pelabelan sisinya adalah( ) = 1, ( ) = 2, ( ) = 2 ( ) = 3 ( ) = 2.Bobot titik dari Gambar 2.9 adalah
wt(v1)= ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 1 + 2 = 4,wt(v2)= ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 2 + 2 = 5,wt(v3)= ( + ( ) + ( ) = 2 + 2 + 2 = 6,wt(v4)= ( + ( ) + ( ) = 2 + 2 + 3 = 7,wt(v5)= ( + ( ) + ( ) = 3 + 3 + 2 = 8.
2.5. Pelabelan Total Tidak Teratur
Pelabelan sisi dan titik dari graf dapat dilakukan dengan banyak cara.
Salah satu cara yang dapat digunakan adalah melabelinya dengan bilangan yaitu
pelabelan total tidak beraturan.
Definisi 2.5.1. Misalkan = ( , ) adalah graf sederhana. Pelabelan : ∪→ {1,2,3, … , } disebut pelabelan-k total tidak teratur titik (irregular total k-
Gambar 2.9 Graf siklus C5
-
12
labeling) pada graf jika untuk setiap dua titik yang berbeda pada , berlaku( ) ≠ ( ) dimana( ) = ( ) + ∑ ( )∈ ( ) .Definisi 2.5.2. Nilai total ketidakteraturan titik (total vertex irregularty strength)
dari G dinotasikan dengan tvs (G). adalah bilangan bulat positif terkecil k
sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan –k total tidak teratur titik.
Contoh 2.4
Gambar 2.10 (a) bukan merupakan pelabelan total ketidakteraturan titik pada
karena terdapat dua titik yang memiliki bobot 7. Sedangkan Gambar 2.5 (b)
merupakan pelabelan−3 total ketidakteraturan titik pada dan Gambar (c)merupakan pelabelan-4 total ketidakteraturan titik. Namun tidak mempunyai
pelabelan−2 total ketidakteraturan titik sehingga diperoleh yang terkecil adalah3. Dengan demikian nilai total ketidakteraturan titik pada adalah 3.
2.6. Hasil Penelitian Terdahulu
Pada bagian ini akan memberikan hasil-hasil penelitian tentang nilai total
ketidakteraturan titik dari suatu graf yang diperoleh peneliti lainnya.
Beberapa penelitian telah menetukan nilai total ketidakterarturan titik pada
graf. B ca, Martin. dkk, (2006) menentukan nilai total ketidakteraturan pada graf,
graf lintasan dan siklus memperoleh hasil ( ) = ( ) = , graf
Gambar 2.10 Pelabelan total pada C6.
(a) (b) (c)
-
13
bintang memperoleh hasil ( ) = , graf roda memperoleh hasil( ) = ⌈(2 + 2)/3⌉ ≥ 3, graf friendship memperoleh hasil l( ) = ⌈(3 + 2)/3⌉. B ca, M. dkk, (2009) menentukan nilai totalketidakteraturan pada graf, memperoleh hasil tvs ( , ) = , tvs ( ) = 2.Wijaya, K. dkk. (2011) menetukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf
cocktail party, memperoleh hasil , = 3 ≥ 3. AL-Mushayt, O.dkk. (2013) menentukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf polytope.
memperoleh hasil ( ) = . Nurdin (2013) menentukan nilai totalketidakteraturan titik dan sisi pada amalgamasi dua lingkaran yang isomorfik,
memperoleh hasil ( ) = . Ahmad, A. dkk. (2014) meneliti nilai totalketidakteraturan pada graf dari penggabungan graf prisma dan lingkaran dengan
memperoleh hasil ⋃ = ∑ , dimana ≥ 2 ≥3 1 ≤ ≤ .Teorema 2.1 (Nurdin, dkk, 2010) Misalkan G adalah suatu graf yang mempunyai
titik berderajat i dengan = , + 1, + 2,… , ∆ dengan ∆ adalahderajat minimum dan maksimum titik dari G, maka
( ) ≥ , , … , ∑∆∆ .2.7. Kerangka Pemikiran
Pada penelitian ini, terdapat beberapa tahapan untuk menentukan nilai
total ketidakteraturan graf splitting Spl( , ) antara lain:1. Menentukan batas bawah terbesar nilai total ketidakteraturan pada
graf splitting Spl( , ) dianalisis berdasarkan sifat-sifat dankarasteristik graf, derajat titik, banyaknya titik menggunakan teorema
1.
2. Menentukan batas atas terkecil nilai total ketidakteraturan pada graf
splitting Spl( , ) .
-
14
a. Mendefinisikan himpunan titik dan sisi kemudian mengkonstruksi
label sisi dan titik : ∪ → {1,2, … , }, sehingga adalahbilangan bulat positif terkecil,
b. Mendefinisikan fungsi pelabelan- total tidak teratur titik ,
c. Menghitung bobot dan menujukkan bahwa fungsi bobot titik
berbeda ( ) = ( ) + ∑ ( )∈ ( ) ,d. Menunjukkan adalah label terbesar yang digunakan.
-
15
BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada Bab III ini akan diuraikan bukti hasil yang telah penulis peroleh
tentang nilai total ketidakteraturan titik graf splitting.
3.1. Nilai Total Ketidakteraturan titik Graf Splitting ( , )
Berdasarkan Gambar 3.1 Untuk = 1,2,3 … , diperoleh himpunan titik ={ , , , | = 1,2,3, … , } dan himpunan sisi = { , , | =1,2,3, … , }.Penentukan nilai total ketidakteraturan titik dilakukan dengan menentukan batas
bawah dan batas atas. Batas bawah dianalisis dengan menggunakan teorema
pendekatan dan sifat-sifat graf splitting. Sedangkan batas atas dianalisis dengan
menggunakan konstruksi pelabelan total. Ketika batas bawah sama dengan batas
atas maka diperoleh nilai total ketidakteraturan titik graf splitting ( , ) .Perhatikan bahwa derajat minimum dari ( , ) adalah = 1 dan banyaknyatitik yang berderajat satu adalah = sedangkan banyaknya titik yangberderajat 2 adalah = juga.
Gambar 3.1 Splitting ( , )
-
16
Berdasarkan Teorema 2.1 diperoleh:( ) ≥ ++ 1 , + ++ 2 , … , + ∑∆∆ + 1≥ +1 + 1 , + + 12 + 1 , + + ++ 1 , + + + +2 + 1( , )= 1 +2 , 1 + +3 , 1 + + + 1+ 1 , 1 + + + 1 + 12 + 1= + 12 , 2 + 13 , 2 + 2+ 1 , 2 + 32 + 1= . ... (3.1a)Karena ≥ ≥ 3 , ≥ .Selanjutnya akan ditunjukkan batas atas , ≤ denganmelakukan konstruksi pelabelan. Perhatikan bahwa untuk = 3 maka gambardari ( , ) adalah
Titik dan sisi dari graf Splitting ( , ) seperti pada Gambar 3.2, diberi labelseperti pada Gambar 3.3, yaitu
Gambar 3.2 Graf ( , )
-
17
Berdasarkan Gambar 3.3, diperoleh bahwa bobot titik dari ( , ) semuaberbeda dan bilangan terbesar yang digunakan adalah 3. Dengan
demikian, , ≤ 3.Perhatikan bahwa untuk = 4 maka gambar dari ( , ) adalah
Gambar 3.4 Graf ( , )
Gambar 3.3 Pelabelan -3 pada ( , )
2
1
2
1
1
1
1
1 2 2
2
2
2
2
2
32
-
18
Titik dan sisi dari graf Splitting ( , ) seperti pada Gambar 3.4, diberi labelseperti pada Gambar 3.5, yaitu
Berdasarkan Gambar 3.5, diperoleh bahwa bobot titik dari ( , ) semuaberbeda dan bilangan terbesar yang digunakan adalah 3. Dengan demikian,
, ≤ 3.Perhatikan bahwa untuk = 5 maka gambar dari ( , ) adalah
Gambar 3.6 Graf ( , )
1
2 32
2
1 2 2 3
1 2 2
1
2 2 2 3
3 33
1
Gambar 3.5 Pelabelan -3 pada ( , )
3
-
19
Titik dan sisi dari graf Splitting ( , ) seperti pada Gambar 3.6, diberi labelseperti pada Gambar 3.7, yaitu
Berdasarkan Gambar 3.7, diperoleh bahwa bobot titik dari ( , ) semuaberbeda dan bilangan terbesar yang digunakan adalah 4. Dengan
demikian, , ≤ 4.Perhatikan bahwa untuk = 6 maka gambar dari ( , ) adalah
2
2 3
3
2 2 3 3
332
3 3 44
1
1 1
1
1
4
3
3
3
32
2
Gambar 3.7 pelabelan -4 pada Graf ( , )
Gambar 3.8 Graf ( , )
-
20
Titik dan sisi dari graf Splitting ( , ) seperti pada Gambar 3.8, diberi labelseperti pada Gambar 3.9, yaitu
Berdasarkan Gambar 3.9, diperoleh bahwa bobot titik dari ( , ) semuaberbeda dan bilangan terbesar yang digunakan adalah 5. Dengan
demikian, , ≤ 5.Perhatikan bahwa untuk = 7 maka gambar dari ( , ) adalah
Gambar 3.9 Pelabelan -5 pada ( , )
Gambar 3.10 Graf ( , )
4
4
221
433
1
2
322
333
1
4
33 3 4
33
45
3
44
4
1
1
-
21
Titik dan sisi dari graf Splitting ( , ) seperti pada Gambar 3.10, diberi labelseperti pada Gambar 3.11, yaitu
Berdasarkan Gambar 3.11, diperoleh bahwa bobot titik dari ( , ) semuaberbeda dan bilangan terbesar yang digunakan adalah 5. Dengan
demikian, , ≤ 5.Perhatikan bahwa untuk = maka gambar dari ( , ) adalah
4 45
5
544
44
4
3
3
33
3
4
4
33
1
11
1
22
22 3 3 4
3
1
4
5
5
54
Gambar 3.11 Pelabelan -5 pada ( , )
Gambar 3.12 Graf ( , )
-
22
Titik dan sisi dari graf Splitting ( , ) seperti pada Gambar 3.12, diberi labelseperti pada Gambar 3.13, yaitu:
Berdasarkan Gambar 3.13, diperoleh suatu bobot titik dari ( , ) semuaberbeda dan bilangan terbesar yang digunakan adalah . Dengan
demikian, , ≤ .Secara ringkas dapat dibuat Tabel 1, yaitu hubungan antara n dan label terbesar
yang digunakan sehingga semua titiknya mempunyai bobot yang berbeda.
1 + 12 2 + 12 + 12 − 1 + 12 + 1212
22 2 − 12 2
+ 1 − 13 + 2 − 13 + − 13 + ( − 1) − 13+ − 13
+ 13 + 23 +3 + ( − 1)3 +3+ 1 + 13
+ 2 + 13 + + 13 + ( − 1) + 13 + + 13
1
1
Gambar 3.13 Pelabelan-k pada ( , )
-
23
N LabelTerbesar
3 34 35 46 57 5...
.
.
.k 2 + 13
Dengan memperhatikan pelabelan pada Gambar 3.3 Gambar 3.5 Gambar 3.7
Gambar 3.9 Gambar 3.11 dan Gambar 3.13 dapat dikonstruksi suatu pelabelan
yang berlaku umum sebagai berikut.
Untuk = 1,2,3, … , , didefinisikan fungsi pelabelan f sebagai berikut.( ) =( ) =( ) = ( ) = 1( ) =, =( ) = .Berdasarkan fungsi pelabelan f tersebut untuk = 1,2,3 … , makadiperoleh bobot titik-titik dari graf splitting adalah sebagi berikut:( ) = ( ) + ( ) = + 12 + 2( ) = ( ) + ( ) + ( )= + 13 + + − 13 + + + 13( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 2 + + − 13( ) = ( ) + ( ) = 1 + ∑ .
Tabel 1. Hubungan antara dengan label terbesar
-
24
Perhatikan bahwa:
1. ( ) = + < + + 1= + 1 + 12 + + 12= ( )2. ( ) = + = 1 + 13
3. ( ) = + +< + 23 + + + 1 − 13 + + + 1 + 13= ( )4. ( ) = + +< + 1 + 13 + + 2 + 13 + + 3 + 13 +⋯+ + + 13= ( )5. ( ) = + + +⋯+< 1 + + 1 − 13 + + 2 − 13 + + 3 − 13 +⋯+ + − 13 + 12 + 22 + 32 +⋯+ n2 . = ( ).
Berdasakan definisi bobot tersebut maka diperoleh:
-
25
( ) < ( ) < ( ) < ⋯ < ( ) < ( ) < ( ) < ( )
-
26
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian maka diperoleh pelabelan total tidak teratur
titik pada graf splitting ( , ) sebagai berikut:( ) =( ) =( ) = ( ) = 1( ) =, =( ) =Berdasarkan pelabelan tersebut diperoleh bahwa bobot semua titik berbeda
dan label terbesar yang digunakan adalah . Dengan demikian diperoleh
bahwa , = .4.2. Saran
Pembahasan mengenai pelabelan total tidak teratur titik masih terbuka
bagi peneliti lain untuk melanjutkan penelitian ini dan bisa juga melakukan
penelitian yang sejenis dengan jenis-jenis graf yang berbeda.
-
27
DAFTAR PUSTAKA
Ahmad. A., B ca. M., and Siddiqui. M. K., 2014. Irregular total labeling of
disjoint union of prisms and cycles, Australasian Journal of
Combinatorics,59:98-106.
Al-Mushayt.O., Arshad. A., and Siddiqui. M. K., 2013.total vertex irregularty
strength of convex polytope graphs, Univ. Comanianae LXXXII :29-37.
Amar, D., and Togni, O., 1998. Irregularity Strength of Trees. Discrete
Mathenatics. 190 : 15-38.
B ca M., Jendrol S., Miller M., Ryan J., 2007. On Irregular Total Labellings,
Discrete Mathematics, 307:1378-1388.
Binthiya. R., and Sarasija. P. B., 2014. Same new even harmonious graphs,
international Journal of mathematics and softcomputing 4:105-111
Chartrand, G., and Lesniak, L., 1996. Graphs and Digraphs Third Edition. New
York: Chapman & Hall.
Kotzig A., and Rosa A., 1970 Magic Valuations of Finite Graphs,Canadian Mathematical Bulleting, 13 451-323.
Mathad.V., and Basavanagoud. B., 2012. K-trees, K-ctrees and Line Splitting
Graphs. Internatonal journal of applied mathematical research, 1 : 487-
492.
Nurdin, Baskoro, E.T., Salman,A.N.M., and Gaos, N, N., 2010. On The Total
Vertex Irregularity Strength Of Trees. Discrete Mathematics. 310 : 3043-
3048.
Nurdin. 2013. The vertex and edge Irregular total Labelling of an Amalgamation
of two isomorphic Cycles Graphs,7:1063-1066.
Stewart . B.M., 1966. Magic Graphs, Canadian Journal of Mathematics, 18:
1031-1059.
Wallis W. D., 2001 Magic Graphs, Birkh ̈user Boston, New Work.Wijaya K., Slamin, Miller M., 2011 On Total Vertex Irregularity Strength of
Cocktail Party Graph, Jurnal Ilmu Dasar 148-151.
-
28