https://t.me/riazisara

https://www.instagram.com/riazisara.ir

1

به نام خدا

اردوان محمدي ) Tilingsكاشي كاري(

در كاربردي بودن مطالب ارائه دانش آموزان يكي از چالش هاي اساسي دبيران در آموزش درس رياضي ، قانع نمودنيمفاهيم كاربردي رياضي(مخصوصا كاربردهاي ملموس) مي توانيم در كم كردن فاصله با ارائه ي شده مي باشد و مطمئنا

اي كه متاسفانه بين دانش آموزان و يادگيري رياضي ايجاد شده است قدم هاي موثري برداريم.

ين ضربات غير قابل جبراني به يادگيري ا،عدم پرداختن به مباحث كاربردي و ملموس، در كنار آموزش ناقص اين درس نه تنها لذتي از يادگيري رياضي احساس درس وارد نموده است و باعث شده است كه در حقيقت اكثر دانش آموزان ما نكرده، بلكه عمال يك حالت تدافعي در مقابل يادگيري اين درس اتخاذ نمايند.

دام هايي صورت گرفته اق ،خوشبختانه در كتب نو نگاشت رياضي متوسطه ي اول و دوم تا حدودي در رفع اين نقيصه است، هر چند شايد اين رويكرد كافي نباشد، اما اتفاق مباركي قلمداد مي شود.

تاب رياضي هشتم گنجانده شده است .كاشي كاري مي باشد كه در ك، يكي از اين مباحث كاربردي ملموس

دركتب رياضي متوسطه ين مبحثتكميل نشدن اسطحي بودن مطلب ارائه شده در كتاب در قالب چند فعاليت و تمرين، آموزش ناقص باعث شده است كه اين مطلب خيلي جالب نه تنها محركي براي جذاب تر نمودن يادگيري رياضي ي دوم و

اميدواريم مولفين محترم براي دانش اموزان نشده است بلكه عمال به معضلي براي همكاران دبير هم تبديل شده است.طه ي دوم،به اين ارتباط و تكميل نمودن مباحث مطرح شده در كتب رياضي متوسطه ي اول كتب نونگاشت درسي متوس

بيشتر عنايت داشته باشند و شاهد تغييراتي مفيد در سال هاي آينده باشيم.

دانيم همه ي ما با كف پوش هاي چوبي و تخته اي كه در نماي راهرو ها، كف سالن ها و .....مواجه شده ايم، اما بندرت مي كه در پيرامون خودمان . شكل هايي تركيبي از مثلث ها، چهار ضلعي ها و.....ريشه در كاربردهاي رياضي دارد، هنر كه اين

به وفور پيدا خواهيم كرد.

نخستين كسي است كه پايه گذار مبحث كاشي كاري بوده است، او معلوم نمود كه سطح اطراف يك نقطه را ،فيثاغورثشش -مربع -( مثلث متساوي االضالعنها با سه نوع از شكل هاي منتظم مي توان، بدون فاصله، پوشانيدروي يك صفحه، ت

ضلعي منتظم)

در اين جا ما با مبحث كلي تري روبرو هستيم و مي خواهيم بررسي كنيم كه در اطراف يك نقطه، چگونه مي توان با له پوشانيد.چندضلعي هاي مختلف منتظم، سطح صفحه را بدون شكاف و فاص

����������� �� ����www.riazisara.ir

2

انواع كاشي كاري

: كاشي كاري نيم منتظمبكاشي كاري منتظم الف:

منتظم: تعريف كاشي كاري .

.ضلعي منتظم به گونه اي استفاده شود كه فقط در ضلع ها و راس ها اشتراك داشته باشندn هرگاه تنها از يك نوع

چند نوع فرش كردن منتظم وجود دارد؟ :1مسئله

درجه باشد، 360: بديهي است براي آن كه هيچ فضاي خالي يا هم پوشاني اتفاق نيفتد، بايد مجموع زوايا در هر راس حل nضلعي منتظم وجود داشته باشد، آنگاه بديهي است كه اندازه ي هر زاويه ي اين nتا Kداراي حال اگر در هر راس،

360ضلعي منتظم بايدk

ضلعي منتظم از رابطه ي nدرجه باشد. از طرفي مي دانيم اندازه ي هر زاويه ي داخلي

� �2 180nn بدست مي آيد، پس خواهيم داشت كه �

� �2 360180nn k�

�

تقسيم مي نماييم 180طرفين را بر

� �2 2nn k�

�

ضرب مي نماييم nkطرفين را در

� �2 2k n n� �

اضافه ميكنيم 4 به طرفين عدد

� �2 4 2 4k n n� � � �

با يك دسته بندي مناسب خواهيم داشت كه

� � � � � � � � � �� �2 4 2 4 2 2 4 4 2 2 2 4 2 2 ي4 جاي knجاب k n kn n k n k k n k� � � � ����� � � � � � � � � � �

����������� �� ����www.riazisara.ir

3

3اعدادي طبيعي اند و kو nحال با توجه به اين كه n روي مقادير مختلف بحث مي نماييم

k=6باشد( مثلث متساوي االضالع) آنگاه خواهيم داشت كه n=3: اگر 1

)1(نمودار اين بدان مفهوم است با شش مثلث متساوي االضالع مي توان اطراف هر راس را پوشاند يا فرش نمود.

k=4(مربع) باشد، آنگاه خواهيم داشت كه n=4 : اگر2

)2(نمودار ر راس را فرش نمود.ه با چهار مربع مي توان اطراف يعني آن كه

)1نمودار(

)2نمودار (

����������� �� ����www.riazisara.ir

4

، آنگاه( پنج ضلعي منتظم) باشد n=5: اگر 3

� � 4 103 2 4 23 3

k k k� � � � � ��

پنج ضلعي منتظم نمي توان كاشي كاري منتظم انجام داد. اين بدان معنا مي باشد كه با

k=3( شش ضلعي منتظم) باشد آنگاه خواهيم داشت كه n=6: اگر 4

)3(شكل مي توان صفحه را فرش نمود.اين بدان مفهوم است كه با سه ، شش ضلعي منتظم

ديگري امكان كاشي كاري منتظم وجود ندارد؟ nثابت نماييد براي هيچ : 1تمرين

: مطالب ارائه شده در باال را با مهارت كالمي ثابت نماييد؟2تمرين

سوم عليه درجه مي باشند كه اينها مق 120و 90، 60به ترتيب منتظم ضلعي 6و 4، 3ي هر يك از زواياي داخلي ازه اندداخلي زاويه ي ثاني اندازه ياي ياد شده امكان پذير است. در ضلعي ه nاين مي باشند، پس كاشي كاري با 360هاي امكان پذير نمي باشد.نمي باشد، لذا كاشي كاري با آنها 360ضلعي منتظم ديگري مقسوم عليه nهيچ

(ارشميدسي)كاشي كاري نيم منتظم

ضلعي منتظم به گونه اي استفاده نماييم كه هر راس يكي، راسي از nنوع 2از حداقل از در هر راس اگر ماتعريف: ديگري باشد.

)3(

����������� �� ����www.riazisara.ir

5

ضلعي منتظم در كاشي كاري نيم منتظم موضوعيت دارد؟nنوع حداكثر چند مسئله:

ضلعي منتظم nكاشي كاري نيم منتظم با سه

ضلعي منتظم امكان پذير است؟ n سهچند نوع كاشي كاري نيم منتظم با مسئله:

1 ضلعي منتظم با فرض n سه، 3nو 1n ، 2nاگر حل: 2 3n n n باشند، آنگاه

� � � � � �1 2 3

1 2 3

180 2 180 2 180 2360

n n nn n n� � �

� � �

1و ضرب طرفين در 180طرفين بر با تقسيم 2 3n n n خواهيم داشت كه

� � � � � �2 3 1 1 3 2 1 2 3 1 2 32 2 2 2 ....n n n n n n n n n n n n� � � � � �

1 2 3

1 1 1 12n n n

� � �

1از آن جا كه ساده ترين چند ضلعي منتظم، مثلث متساوي االضالع است، يعني آن كه 3n �

خواهيم داشت كهپس با توجه به فرمول اخير

2 3 2 3

1 1 1 1 1 1 13 2 6n n n n� � � � �

2: اگر 1حالت 4n آنگاه خواهيم داشت كه �

33 3

1 1 1 1 1 124 6 12

nn n

�� � � � �

كه مالحظه مي نماييم يك عدد منفي بدست آمد، پس قابل قبول نيست.

2: با شروع از تمرين 3n چه اتفاقي خواهد افتاد؟ �

را نسبت دهيم باز مالحظه مي نماييم كه غير ممكن است. چرا؟ 5مقدار 2n: اگر به 2حالت

را نسبت دهيم، آنگاه خواهيم داشت كه 6مقدار 2n: اگر به 3حالت

����������� �� ����www.riazisara.ir

6

3 3

1 1 1 1 06 6n n� � �

.استكه غير ممكن

را نسبت دهيم، آنگاه خواهيم داشت كه 7مقدار 2n:اگر به 4حالت

33 3

1 1 1 1 1 427 6 42

nn n

� � � �

1يعني آن كه با 2 33, 7, 42n n n� � ضلعي هاي منتظم بدست آمده هم نتوان nمواجه ايم، منتها ممكن است حتي با � كاشي كاري انجام داد.

زير استفاده مي نماييم. نتيجه يرا بسنجيم، از 4براي آنكه قابل قبولي جواب بدست آمده در حالت

آنگاه با ) 4ضلعي ديگردر هر راس شروع كنيم(شكل mو nاگر با يك مثلث متساوي االضالع و دو چند ضلعي منتظم ضلعي m، مالحظه مي نماييم كه يك مثلث و يك را داريم 3و m ،nحالت Aشكلي مشابه زير مواجه ميشويم كه در راس

، يك مثلث و يك Cضلع داشته باشد. اما در راس nبايد xمشترك اند، بنابراين چند ضلعي مشخص شده با Bدر راس n ضلعي منتظم وجود دارند، بنابراين چند ضلعيx بايدm .ضلعي باشد

nپس اگر m داشته باشيم. 3و m ،nاشي كاري نيم منتظم به فرم نمي توانيم يك ك

نابرابر با nعددي فرد و kباشد و kو m ،n: هيچ نوع كاشي كاري نيم منتظمي كه هر راس آن به فرم *نتيجهm .وجود ندارد

)4شکل (

����������� �� ����www.riazisara.ir

7

، نميتوانند مطلوب كاشي كاري نيم منتظم 4اين بدان مفهوم است كه اعداد بدست امده در حالت )3و42،7.(باشند

2: اگر6حالت 8n 3آنگاه با محاسبه در مي بابيم كه، ، در نظر بگيريم � 24n خواهد شد، كه با توجه به نتيجه ي گفته � .شده امكان كاشي كاري نيم منتظم وجود ندارد

2: اگر 7حالت 2 29, 10, 11n n n� � باز نتيجه ي مطلوبي نخواهيم داشت. چرا؟ �

2اگر : 8حالت 12n 3) خواهيم داشت كه 1در نظر گرفته شود، آن گاه با توجه به فرمول ( � 12n �.

كتاب درسي با 42صفحه ي 1بديهي است كه اين حالت مطلوب ما خواهد بود و شكل آن به صورت زير است.(در فعاليت )5(شكل اين نمودار مواجه ايم).

)5شکل(

����������� �� ����www.riazisara.ir

8

را اختيار نمايد؟ 12نمي تواند مقادير بيشتر از 2n چراتمرين:

1) را با فرض اوليه ي 1همان طور كه در باال مالحظه كرديم، ما فرمول ( 3n سازمان دهي و حل و فصل نموديم، حال �1به دنبال آن هستيم كه با فرض اوليه ي 4n با چه موارد قابل قبولي براي كاشي كاري نيم منتظم مواجه مي شويم. �

2: اگر 1 حالت 4n ) خواهيم داشت كه1در نظر گرفته شود، آن گاه با توجه به فرمول ( �

1 2 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 02 4 4 2n n n n n

� � � � � � �

كه مالحظه مي نماييم غير ممكن است.

2) از 1چرادر حالت(سوال: 3n شروع نكرده ايم؟ �

2اگر : 2حالت 5n در نظر گرفته شود آنگاه خواهيم داشت كه �

33 3

1 1 1 1 1 1 204 5 2 20

nn n

� � � � �

امكان پذير نيست. 20و 4،5كه با رجوع به نتيجه ي * در مي بابيم سه تايي

2 اگر: 3حالت 6n در نظر گرفته شود، آنگاه خواهيم داشت �

33 3

1 1 1 1 1 1 124 6 2 12

nn n

� � � � �

)6(شكلمطلوب ما خواهد بود و نمودار آن به صورت زير خواهد بود. 12و4،6سه تايي

)6شکل(

����������� �� ����www.riazisara.ir

9

2 اگر: 4حالت 7n مقدار طبيعي بدست نمي آيد و امكان پذير نيست. 3nدر نظر گرفته شود، آنگاه براي �

2: اگر 5حالت 8n ) خواهيم داشت كه1باشد، آنگاه با توجه به فرمول ( �

33 3

1 1 1 1 1 1 84 8 2 8

nn n

� � � � �

كتاب درسي 44صحه ي 3كار در كالس مطلوب ما خواهد بود و نمودار آن به صورت زير خواهد بود( 8و 8، 4سه تايي )7(شكل).رياضي هشتم

1بدست آمده با شروع از نشان دهيد هيچ كدام از سه تايي هايتمرين: 5n مطلوب نخواهد بود؟ �

)7شکل(

����������� �� ����www.riazisara.ir

10

1 نشان دهيد با شروع ازتمرين: 6n )8(شكلخواهد بود؟ 6و 6، 6تنها سه تايي مطلوب �

ضلعي منتظم) مالحظه نموديم كه تنها با چهار حالت سه تايي nبا توجه به شرط اوليه(استفاده از سه نوعنتيجه گيري: مطلوب، مواجه خواهيم بودف كه عبارتند از

)6، 6، 6( –) 8، 8، 4( –) 12و 6، 4( -)12و 12، 3(

تركيب هاي چهار تايي در كاشي كاري نيم منتظم

1 ضلعي منتظم به اضالع nاگر با چهار 2 3 4,n ،n،nn 1با فرض 2 3 4n n n n مواجه باشيم، آنگاه بايد در هر راس، اتفاق زير بيفتد

� � � � � � � �1 2 3 4

1 2 3 4

180 2 180 2 180 2 180 2360

n n n nn n n n� � � �

� � � �

كه با ساده كردن، خواهيم داشت كه

1 2 3 4

1 1 1 1 1n n n n� � � �

، به حاالت مطلوب زير خواهيم رسيد. in نظر گرفتن حاالت مختلف براي با استدالل هايي مانند حالت قبل و در

)8شکل(

����������� �� ����www.riazisara.ir

11

)9زير مواجه ايم.(شكل با نموداري مانند 6و 6، 3، 3: چهارتايي 1حالت

الف،ب وج) 10مواجه ميشويم.(شكل با سه نوع متفاوت كاشي كاري 6و4، 4، 3: چهارتايي 2حالت

)9شکل(

،الف، ب وج10شکل

����������� �� ����www.riazisara.ir

12

هم اگر چه نامطلوب است، اما تحت شرايطي(پر كردن راس سوم مثلث، فقط با مثلث) 12و 3،3،4چهارتايي البته تذكر: )11(شكل .) مي باشد12و 6، 4سه تايي (بدست مي دهند كه در حقيقت همان تركيب زير را نقشي مانند شكل

ضلعي منتظم، تنها دو حالت مطلوب كاشي كاري نيم منتظم وجود دارد؟ nثابت نماييد با پنج تمرين:

منابع:

تاليف استاد محمود نصيري. هندسه متوسطه، مباني و مفهوم ها: 1

تاليف شه پان النسكي با ترجمه ي استاد فقيد پرويز شهرياري، : در پي فيثاغورث2

مولفين: يحيي تابش، جواد حاجي بابايي و آرش رستگار رياضيات تكميلي)،آموزش هنر حل مسئله( : 3

(سازمان پژوهش و برنامه ريزي آموزشي)، كتاب درسي رياضي هشتم: 4

11شکل

����������� �� ����www.riazisara.ir