112/04/18 1

第一章線性方程式系統

1.1 線性方程式系統簡介1.2 高斯消去法與高斯 - 喬登消去法1.3 線性方程式系統的應用 (-Skip-)

1 - 2

1.1 線性方程式系統簡介 n 個變數的線性方程式 (linear equation)

係數 a1 ， a2 ， a3 ，…， an 都是實數，並且常數項 b

也是實數。 a1 稱為領先係數 (leading coefficient) ， x1

稱為領先變數 (leading variable) 。 注意：

(1) 線性方程式之變數不可以是相乘或是開根號，且 變數不能被包含在三角、指數或對數函數裡面。 (2) 變數只能以第一冪次的方程式表示 。

1 - 3

範例 1 ：線性、非線性

723 )( yxa 2 21

)( zyxb

0102 )( 4321 xxxxc 221 4)

2sin( )( exxd

2 )( zxye 42 )( yef x

032sin )( 321 xxxg 411

)( yx

h( )非第一冪次變數不能相乘

指數

三角函數 非第一冪次

線性

線性

線性

線性

非線性

非線性

非線性

非線性

1 - 4

n 個變數線性方程式的解 (solution)

解集合 (solution set)

所有滿足線性方程式的解所構成的集合。

bxaxaxaxa nn 332211

,11 sx ,22 sx ,33 sx , nn sx 當bsasasasa nn 332211使得

1 - 5

範例 2 ：解集合的參數化表示 (parametric representation)

42 21 xx

將方程式整理成 ，並令可得則解集合為

或

Rttt |) ,24(

21 24 xx tx 2

241 tx

Rsss |)2 ,( 21

1 ,2 21 xx其中一解為 (2, 1) ，即

1 - 6

n 個變數 m 條線性方程式系統 (system of linear equations)

mnmnmmm

n

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

332211

333333232131

22323222121

11313212111

一致性 (consistent)

線性方程式系統至少有一解 非一致性 (inconsistent)

線性方程式系統無解

1 - 7

對一線性方程式系統而言，下列有一為真

(1) 系統只有唯一解 ( 一致性系統 )

(2) 系統有無限多組解 ( 一致性系統 )

(3) 系統為無解 ( 非一致性系統 )

1 - 8

範例 4 ： ( 線性方程式系統的解 )

(1)

(2)

(3)

13

yxyx

6223

yxyx

13

yxyx

)(唯一解

)(無限多組解

)(無解

兩相交直線

兩重疊直線

兩平行直線

1 - 9

範例 5 ：使用回代法 (back substitution) 解列梯形形式的方程式系統

(2)(1)

252

yyx

解：將 代入 (1) 可得2y

15)2(2

xx

2 ,1 yx此系統有唯一解

1 - 10

範例 6 ：使用回代法解列梯形形式的方程式系統

(3)(2)(1)

253932

zzyzyx

解：將 代入 (2) 可得2z

15)2(3

yy

再將 及 代入 (1) 得1y 2z

19)2(3)1(2

xx

2 ,1 ,1 zyx此系統有唯一解

1 - 11

等價 (equivalent)

若兩線性方程式系統的解集合完全相同， 則稱此兩 線性方程式系統為等價

下列運算會產生兩個等價的線性方程式系統

(1) 兩方程式互換

(2) 一方程式乘上一非零常數

(3) 一方程式的倍數加到另一方程式

1 - 12

範例 7 ：利用高斯消去法將線性方程式系統改寫成列梯形形式

(3)(2)(1)

17552

43932

zyxyx

zyx

解：

(4) 17552

53932

(2)(2)(1)

zyxzyzyx

(5)

153932

(3)(3)2)((1)

zyzyzyx

1 - 13

所以此系統的解為 ( 唯一解 )

2 ,1 ,1 zyx

(6)

4253932

(5)(5)(4)

zzyzyx

253932

)6((6) 21

zzyzyx

1 - 14

範例 8 ：求解線性方程式系統 ( 非一致性 ( 矛盾 ) 系統 )

(3)(2)(1)

13222213

321

321

321

xxxxxxxxx

解：

)5()4(

24504513

(3)(3))1((1)

(2)(2)2)((1)

32

32

321

xxxxxxx

1 - 15

所以此線性方程式系統無解

2004513

)5()5()1()4(

32

321

xxxxx

矛盾

1 - 16

範例 9 ：求解線性方程式系統 ( 無限多組解 )

(3)(2)(1)

13130

21

31

32

xxxxxx

解：

(3)(2)(1)

13013

)2()1(

21

32

31

xxxxxx

(4)

033013

(3)(3)(1)

32

32

31

xxxxxx

1 - 17

013

32

21

xxxx

則

,

,

,13

3

2

1

tx

Rttx

tx

tx 3令

,32 xx

31 31 xx

所以此系統有無限多組解

1 - 18

摘要與復習 (1.1 節之關鍵詞 )

linear equation: 線性方程式 system of linear equation: 線性方程系統 leading coefficient: 領先係數 leading variable: 領先變數 solution: 解 solution set: 解集合 parametric representation: 參數化表示 consistent: 一致性 ( 有解 ) inconsistent: 非一致性 ( 無解、矛盾 ) equivalent: 等價

1 - 19

(4) 對一方陣而言，元素 a11, a22, …, ann 稱為主對角線(main diagonal) 的元素

1.2 高斯消去法與高斯 - 喬登消去法 mn 矩陣 (matrix)

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

321

3333231

2232221

1131211

列m

行n

(3) 若 ，則此矩陣稱為 n 階方陣 (square of o

rder n)

nm

注意：(1) 矩陣中的每一個元素 (entry)aij 是一個數(2) 一 m 列 n 行的矩陣的大小 (size) 為 mn

1 - 20

範例 1 ： 矩陣 大小]2[

0000

21

031

4722

e

11

22

41

23

注意： 矩陣最常用的方式是用來表示線性方程式系統

1 - 21

m 個方程式 n 個變數的線性方程式系統

mnmnmmm

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

332211

33333232131

22323222121

11312212111

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

mb

bb

b2

1

nx

xx

x2

1

bAx 以矩陣方式表示為

1 - 22

增廣矩陣 (augmented matrix)

係數矩陣 (coefficient matrix)

][ 3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

bA

b

bbb

aaaa

aaaaaaaaaaaa

mmnmmm

n

n

n

A

aaaa

aaaaaaaaaaaa

mnmmm

n

n

n

321

3333231

2232221

1131211

1 - 23

三個基本列運算 (elementary row operation)

jiij RRr :(1) 兩列互換ii

ki RRkr )(:)(

(2) 一列乘上一非零常數

jjik

ij RRRkr )(:)((3) 一列的倍數加到另一列

列等價 (row equivalent)

若一矩陣可由另一矩陣的一些基本列運算來獲得，則此兩個矩陣稱為列等價

1 - 24

範例 2 ： ( 基本列運算 )

143243103021

143230214310

12r

212503311321

212503312642 )(

121

r

8133012303421

251212303421 )2(

13r

1 - 25

列梯形形式 (row-echelon form)

(1) 全部為零的列在矩陣最底下(2) 不全為零的列，其第一個非零元素為 1 ，稱為領先1 (leading 1)

(3) 對兩相鄰的非零列而言，較高列之領先 1 出現在較低列之領先 1 的左邊

列簡梯形形式 (reduced row-echelon form)

(1) ~ (3) 同上(4) 在領先 1 的那一行除了領先 1 以外的位置全部為零

1 - 26

列簡梯形形式

列簡梯形形式列梯形形式

列梯形形式

範例 4 ：判斷下列矩陣為列梯形形式或列簡梯形形式

210030104121

10000410002310031251

000031005010

0000310020101001

310011204321

421000002121

1 - 27

高斯消去法 (Gaussian elimination)

將矩陣化簡為列梯形形式的程序

高斯 - 喬登消去法 (Gauss-Jordan elimination)

將矩陣化簡為列簡梯形形式的程序

注意：

(1) 每個矩陣只有一個列簡梯形形式 (2) 每個矩陣可以有很多種列梯形形式 ( 不同的列運算 會產生不同的列梯形形式 )

1 - 28

最左邊的非零行

產生 leading 1

讓在 leading 1 下的元素為 0

leading 1

產生 leading 1

最左邊的非零行

範例：高斯消去法與高斯喬登消去法之步驟說明

1565422812610421270200

1565421270200281261042

12r

15654212702001463521

)(1

21

r

2917050012702001463521)2(

13r

子矩陣

1 - 29

讓在 leading 1 下的元素為 0

讓 leading 1 以外的其他位置為 0

leading 1

最左邊的非零行產生 leading 1

leading 1

291705006270100

1463521)(2

21r

12100006270100

1463521)5(23

r

2100006270100

1463521)2(3r

)(列梯形形式

210000100100703021)6(

31r )(

3227

r )5(21r

)(列簡梯形形式

子矩陣

1 - 30

範例 7 ：用高斯 - 喬登消去法求解線性方程式系統 ( 唯一解 )

1755243932

zyxyx

zyx

解：增廣矩陣

1755240319321

111053109321)2(

131

12 , rr

2100531093211

23r

列簡梯形形式

210010101001)9(

31)3(

322

21 , , rrr

列梯形形式

211

zy

x

1 - 31

範例 8 ：求解線性方程式系統 ( 無限多組解 )

1 530242

21

311

xxxxx

解：

10530242

增廣矩陣

13102501

列簡梯形形式)2(

21)1(

2)3(

12)(

1 ,,,21 rrrr

相對的線性方程式系統

13 25

32

31

xxxx

3

21

) variablefree(

, ) variableleading(

x

xx

：自由變數：領先變數

1 - 32

32

31

3152

xxxx

令 tx 3

,

,31

,52

3

2

1

tx

Rttx

tx

所以此系統有無限多組解

1 - 33

線性方程式的齊次系統 (homogeneous system)

若一線性方程系統的常數項均為零時， 則此系統為齊次系統

0

0 0 0

332211

3333232131

2323222121

1313212111

nmnmmm

nn

nn

nn

xaxaxaxa

xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa

1 - 34

顯然解 (trivial solution)

非顯然解 (nontrivial solution)

顯然解之外的其他解

0321 nxxxx

注意： (1) 所有的齊次系統均為一致性 (consistent) 系統 (2) 若系統的方程式比變數少，則有無限多組解 (3) 對於一個齊次系統來說，下列有一為真

(a) 系統只有一個顯然解 (b) 系統除了顯然解外還有無限多組解

( 任意 n 變數齊次系統的解 )

1 - 35

範例 9 ：求解下列的齊次線性方程式系統

020

321

321

xxxxxx

解：

03120311

增廣矩陣

01100201

列簡梯形形式)1(

21)(

2)2(

12 ,, 31

rrr

3

21

,

x

xx

自由變數：領先變數：

令 tx 3

Rttxtxtx , , ,2 321

)( 0,0 321 顯然解當 xxxt

1 - 36

摘要與復習 (1.2 節之關鍵詞 )

matrix: 矩陣 row: 列 column: 行 entry: 元素 size: 大小 square matrix: 方陣 order: 階 main diagonal: 主對角線 augmented matrix: 增廣矩陣 coefficient matrix: 係數矩陣

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elementary row operation: 基本列運算 row equivalent: 列等價 row-echelon form: 列梯形形式 reduced row-echelon form: 列簡梯形形式 leading 1: 領先 1 Gaussian elimination: 高斯消去法 Gauss-Jordan elimination: 高斯 - 喬登消去法 free variable: 自由變數 homogeneous system: 齊次系統 trivial solution: 顯然解 nontrivial solution: 非顯然解