2014年9月29日星期一 - 我的西电 我的主页|Xidian University ...2015/01/13 ·...
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矩阵论
主讲教师:徐乐主讲教师:徐乐
2014年9月29日星期一
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上讲回顾讲回顾
第三讲直和及线性变换
子空间的直和
线性变换及其运算 线性变换及其运算
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子空间的直和子空间的 和
定义
设V1 和 V2是线性空间V的子空间• 若其和空间V + V 中的任一元素只能唯一的表示为• 若其和空间V1 + V2中的任一元素只能唯一的表示为
V1的一个元素与V2的一个元素之和即– 即
– 存在唯一的
使
21 VVx
21 , VzVy – 使 x = y + z
• 则称V1 + V2为V1与V2的直和
• 记为 21 VV
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子空间的直和子空间的 和
定理
关于直和如下四种表述等价
• (1) V + V 成为直和 VV • (1) V1 + V2成为直和
• (2) V1 ∩ V2 = {0}21 VV
• (3)
• (4)若2121 dimdim)dim( VVVV
– 为V1的基
– 为V2的基sxxx ,, 21
tyyy ,, 21 2– 则 为V1 + V2的基
tyyy ,, 21ts yyyxxx ,,,,, 2121
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线性变换及其运算线性变换及其运算
定义
设V是数域K上的线性空间,T是V到自身的一个映射,使得对于V中的任意元素 x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应,称T为V的一个变换或算子,记为
性质 Tx y性质 线性变换把零元素仍变为零元素
负 素 象为 来 素 象 负 素
Tx y
负元素的象为原来元素的象的负元素
线性变换把线性相关元素组仍变为线性相关元素组
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第三讲 线性变换矩阵及其对角化第 讲 线性变换矩阵及其对角化
线性变换的矩阵表示
线性变换及矩阵的值域和核
特征值和特征向量
矩阵对角化的充要条件矩阵对角化的充要条件
内积空间内积空间
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线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示
线性变换用矩阵表示,将抽象的线性变换
转化为具体的矩阵形式
设T是线性空间V n的 个线性变换 设T是线性空间V n的一个线性变换
是V n的的一个基 nxxx ,,, 21 ,存在唯一的坐标表示
nVx
1
xxxxxxx
2
1)( 2211 nxxxTTx n
nxxxT
221 ),,,(
n
xxxxxxx n
n
n
221121 ,,, n
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线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示
确定基元素在该变换下的象就可以确定线
性变换
i
i
ni
aa
xxxTx 21
21 ,,,
in
ni
a
xxxTx21
,,,
Axxxaaaaaa
xxxxxxT nn
n
nn ,,,,,,,,, 2122212
12111
2121
aaa nnnn 21
1 21 2, , , nTx x x x A
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n
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线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示
对于任意元素,在基下变换后坐标表示为
xxxTx
2
1
A
2
1
2
1
n
nxxxTx
21 ,,,
nn
A
1
1
x
2
1
ATx
2
n
n
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线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示
定义:把A称为在基 下的矩阵 nxxx ,,, 21 定理:
的 个基 在该基 设 是V n的一个基,T1、 T2在该基下的矩阵分别为A、B 。则有
nxxx ,,, 21
)(,,,,,,)( 212121 BAxxxxxxTT nn
)(,,,,,, 21211 kAxxxxxxkT nn
)()( ABTT )(,,,,,,)( 212121 ABxxxxxxTT nn
121211 ,,,,,, AxxxxxxT nn
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2121 ,,,,,, nn
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线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示
推论1 设 为纯量t的m次多项式
为线性空间 的 个线性变换 且在 的基0
( )m
ii
if t a t
T为线性空间V n的一个线性变换,且在V n的基下的矩阵为A,则
)(,,,,,,)( 2121 AfxxxxxxTf nn • 其中
nne TaTaTaTaTf
2210)(
( ) 20 1 2 n
nf A a I a A a A a A
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线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示
推论2 设线性变换T在V n的基 下的矩阵为A
nxxx ,,, 21 阵为A
元素x在该基下的坐标为 ),,,( 21 n
则Tx在该基下的坐标 满足),,,( 21 n
A
2
1
2
1
nn
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线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示
相似矩阵
设T在V n的两个基的矩阵分别为A和B '''
且 则
nxxx ,,, 21 ''2'1 ,,, nxxx Cxxxxxx nn ,,,,,, 21''2'1 1B C AC
即A和B为相似矩阵 nn ,,,,,, 2121 C C
AT '''''' AxxxxxxT nn ,,,,,, 2121 BxxxxxxT nn ''2'1''2'1 ,,,,,,
CBxxxCxxxT CBxxxCxxxT nn ,,,,,, 2121 CBxxxACxxx nn ,,,,,, 2121
AC CB 1证明
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AC CB 1B C AC
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线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示
定理
n阶方阵A和B相似的充要条件是A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵性变换在不同基下的矩阵
[证明]• 充分性可由相似矩阵定义得到
• 必要性待证必要性待证
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线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示
必要性:
• 已知方阵A和B相似
• 即存在可逆矩阵P使得 1B P AP即存在可 矩阵 使得• 选取一个基
则 可作为新基
nxxx ,,, 21 P'''• 则 可作为新基
• 定义 AxxxxxxT nn ,,,,,, 2121 Pxxxxxx nn ,,,,,, 2121
PxxxTxxxT nn ,,,,,, 21''2'1 APxxx n,,, 21 APPxxx 1''2'1 ,,, Bxxx ''2'1 ,,,
• A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵 APPxxx n21 ,,, Bxxx n21 ,,,
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线性变换及矩阵的值域和核线性变换及矩阵的值域和核
定义
设T是线性空间V n的线性变换,称• 为T的值域 n( ) | VR T T dim R(T)
T
的秩• 为T的值域
• 为T的核 n( ) | VR T Tx x n( ) | V , 0N T x x Tx
dim R(T)
dim N(T)秩和零度 R(T)和N(T)均为V n的子空间
设A为m×n阶矩阵 称
度
设A为m×n阶矩阵,称• 为矩阵A的值域 n n( ) | R or CR A Ax x x • 为矩阵A的核 n n( ) | R or C , 0N A x x x Ax
dim R(A) dim N(A) A的秩和零度
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dim R(A) dim N(A) A的秩和零度
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线性变换及矩阵的值域和核线性变换及矩阵的值域和核
定理
(4)若A是线性变换T的矩阵,则
例1.16
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线性变换及矩阵的值域和核线性变换及矩阵的值域和核
[证明] (1) 设 是N(T)的一组基
• 根据基扩定理 可将其扩展为Vn的一组基• 根据基扩定理,可将其扩展为Vn的一组基},,,,,,{ 121 nrr xxxxx
• 接下来证明 是R(T)的一组基},,,{ 21 nrr TxTxTx
0 ( 1,2, , )iTx i r
1 1 2 2r r r r n nTx k Tx k Tx k Tx
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线性变换及矩阵的值域和核线性变换及矩阵的值域和核
• 证明 线性无关},,,{ 21 nrr TxTxTx
01
n
riii xlT
r
iii
n
riii xpxl
11
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线性变换及矩阵的值域和核线性变换及矩阵的值域和核
证明(2)• 由定义知,R(A)是A的列向量所张成的子空间
• dim R(A)等于列向量组中最大线性无关组中的元素( )等于列向 中最大线性无关 中的元素个数,即列向量组的秩
• 又因为矩阵A的秩rankA等于列向量组的秩• 又因为矩阵A的秩rankA等于列向量组的秩
• 所以 dim ( ) rank( )R A A 证明(3)
• N(A)是Ax = 0的解空间( )是 的解 间
• 若rankA = r,则 dimN(A) = n-r
即 dim ( ) dim ( )R A N A n即证即证
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• 即 dim ( ) dim ( )R A N A n
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特征值与特征向量特征值与特征向量
前言
线性空间线性空间 矩阵矩阵
加法 元素加法 坐标向量的加法加法基基
元素加法 坐标向量的加法
数乘 数与元素“乘” 数与坐标向量相承
线性变换
对应关系矩阵与坐标向量
的乘积
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变换 的乘积
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特征值与特征向量特征值与特征向量
对角矩阵的形式简单,处理方便
比如求解矩阵方程时,将矩阵对角化后很容易
得到方程的解得到方程的解
对角化的过程实际上是一个去耦的过程
• 一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢?
• 对角化需要什么样的条件呢?对角化需要什么样的条件呢?
• 如果不能对角化,我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢?得简单呢?
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特征值与特征向量特征值与特征向量
定义:
对m阶方阵A,若存在数λ,及非零向量(列向量)x量)x
使得Ax = λx
则称λ为A的特征值
为A的属于特征值λ的特征向量 x为A的属于特征值λ的特征向量• 特征向量不唯一
A的特征多项式• 特征向量非零
• (λI - A) x = 0有非零解,则det (λI - A) = 0
A的特征多项式
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(λI A) x 0有非零解,则det (λI A) 0
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特征值与特征向量特征值与特征向量
[例1]求矩阵A的特征值和特征向量 [解] 1 2 2
2 1 2A 2 2 1
1 2 2 1 2 2det( ) 2 1 2 0
2 2 1I A
2 2 1
2( 1) ( 5) 0 ( ) ( )
1 2 1 3 5
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特征值与特征向量特征值与特征向量
属于特征值λ= -1的特征向量 ( ) 0I A x
12 2 22 2 2 0
0
2
3
2 2 2 02 2 2
1 2 3 0
1 1 1 0 1 12 2
1 01
x
2 11
x 3 1 2 1 1
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特征值与特征向量特征值与特征向量
属于特征值λ= 5的特征向量 (5 ) 0I A x
14 2 22 4 2 0
2
3
2 4 2 02 2 4
1 2 3
1
3
111
x 1
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特征值与特征向量特征值与特征向量
矩阵的迹与行列式
矩阵的n n
矩阵的迹1
tr iii
A a
1
trn
ii
A
矩阵的行列式 detn
iA 1i
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特征值与特征向量特征值与特征向量
两个定理
设A、B分别为m×n和n×m阶矩阵,则• tr(AB) tr(BA)• tr(AB)= tr(BA)
Sylvster定理:设A、B分别为m×n和n×m阶矩阵,则
• det(λI - AB)= λm-n det(λI – BA)det(λIm AB) λ det(λIn BA)
• 即AB与BA的特征值只差零特征值的个数,非零特征值相同征值相同
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矩阵对角化的充要条件矩阵对角化的充要条件
定理
n阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n个线性无关的特征向量它具有n个线性无关的特征向量
• [证明] 充分性:– 已知A具有n个线性无关的特征向量 nxxx ,,, 21
i i iAx x ni ,,2,1 i i i ,,,
nnn xxxxxxA 221121 01
nxxx2
21
线性无关
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n0
线性无关
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矩阵对角化的充要条件矩阵对角化的充要条件
令
01 AP P
0
2
1P AP n0
即
若 阶方阵A具有 个线性无关的特征向量• 若n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量
• 则必可通过相似变换对角化
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矩阵对角化的充要条件矩阵对角化的充要条件
必要性证明:
• 已知存在可逆方阵 P,使得
01
APP21
• 将P写成列向量,Pn为n维列向量,则
n0
nPPPP 21 nnn PPPAPAPAP 221121
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Euclid空间空间
定义
设V是实线性空间(k∈R),对于V中任何两个元素x、y均按某一规则存在一个实数与之对应,记为(x , y),若它满足以下四个性质,则称(x , y)为x与y的内积,定义了内积的实线性空间称为Euclid空间
(1)交换律 (x , y)= (y, x)
(2)分配律 (x y + z)= (x y)+ (x z) (2)分配律 (x , y + z)= (x , y)+ (x , z)
(3)齐次律 (kx , y) = k (x , y)
(4)非负性 , (x , x)≥0• 当且仅当x=0时, (x ,x)=0
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Euclid空间空间
对于一个给定的线性空间,可以定义多种
内积,较典型的如三维向量空间的数量积
就满足以上四条性质 构成内积就满足以上四条性质,构成内积
以n维向量空间为例以 维向量空间为例 Tnx 21 Tny 21
n
定义内积 1
,n
i i ii
x y w
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Euclid空间空间
验证内积的四条性质
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作业作
P77-78 26、7
106 10P106-107 1(1)(2)1(1)(2)
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