LIMITE* Calculo diferencial autor: Lic. Elsie Hernndez S *www.sectormatematica.cl autor: Danny Perich* Apuntes sobre lmite de Vernica Daz* Limite de funciones de Rodrigo Vargas* Documentos extrados de Internet

Idea intuitiva de lmite El siguiente ejemplo pretende dar una idea del significado del lmite de una funcin en un punto. Ejemplo 1: Consideramos la funcin definida por f(x) = x2 1 con dominio en . La representacin grfica es la siguiente: Veamos las siguientes tablas:

Nos interesa observar el comportamiento de la funcin f para valores de x cercanos a 2 pero no iguales a 2.

Puede observarse de ambas tablas que conforme x se aproxima ms a 2, por la izquierda y por la derecha, f (x) toma, cada vez, valores ms prximos a 3. En otras palabras, al restringir el dominio de la funcin a valores cada vez "ms cercanos a 2", el conjunto de imgenes o sea, los valores que toma la funcin, se "acercan cada vez ms a tres". En este caso se dice que cuando x tiende a 2, que se simboliza , entonces , f (x) tiende a 3. Utilizando la notacin de lmite, esto puede escribirse como

lim x2 1 = 3 x2que se lee: el lmite de f (x) cuando x tiende a 2, es igual a 3. Ejemplo 2: Describa el comportamiento de la funcin f(x)= cerca de x =1Solucin: Note que f(x) est definida para todos los nmeros reales exceptopara x = 1 (pues no se puede dividir por cero). Para todo x 1 se puedesimplificar la expresin de f(x) factorizando el numerador y cancelando losfactores comunesf(x) = (x + 1)(x - 1) x 1 f(x) = x + 1 para x 1 .

La grfica de f es la recta x + 1,

Observa que se ha eliminado un punto, concretamente el punto (1, 2). Estepunto se muestra como un agujero en la figura. Claramente, aunque f(1)no est definido, podemos hacer que el valor de f(x) se aproxime lo quequeramos a 2 escogiendo el valor de x lo suficientemente cerca a 1.Se dice entonces que f(x) se aproxima a 2 cuando x tiende a 1. En smbolos,lo escribimos lim f(x) = lim x2 1 = 2 x1 x1 x 1

Ejemplo 3: Sea f la funcin definida por la ecuacin para todo . a) Grafica la funcin para valores cercanos a 2 (por la izquierda y por la derecha) pero nunca igual a dos

Qu puedes deducir de la grfica?...................................................................................Expresa lo anterior usando la notacin de lmite

Formalizacin de la idea intuitiva de lmite En el ejemplo 1 se analiz el comportamiento de la funcin f con ecuacin f(x)= x2 1 en las proximidades de 2. Expresamos como , el hecho de que para acercar los valores de la funcin tanto como se quisiera a 3, era suficiente acercar adecuadamente x al valor 2, (x 2 ).

Definicin de lmite

Si f(x) est definida para todo x cerca de b, con la posible excepcin del propio b, y se puede asegurar que f(x) se acerca todo lo que queramos a L a medida que x va estando lo suficientemente cerca de b, pero sin hacerse igual ab , se dice que la funcin f se aproxima al lmite L cuando x tiende a b y en este caso escribimos

En general, el determinar el mediante el uso directo de la definicin es difcil, por lo que para hacerlo se contar con la ayuda de una serie de teoremas. Hemos dado un vistazo intuitivo y otro ms formal sobre la nocin de lmite en un punto. En sntesis, lo que nos interesa saber es el comportamiento de una funcin cuando la variable independiente tiende a un determinado valor en el eje . Teoremas de lmitesPara facilitar la obtencin del lmite de una funcin se establecen los siguientes teoremas.Teorema de lmite 1:Si k es una constante y a un nmero cualquiera, entonces

Teorema de lmite 2:Para cualquier nmero dado a,

Teorema de lmite 3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de lmite 4:

Teorema de lmite 5:

Teorema de lmite 6:Si f es un polinomio y a es un nmero real, entonces

Teorema de lmite 7:Si q es una funcin racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de lmite 8:

Procedimiento para calcular lmites

Dados los teoremas bsicos para el clculo de lmites, podemos aplicarlos directamente y encontraremos un resultado. Pero nos podemos encontrar con funciones que al sustituir el valor de x por el valor de a ( xnos da la forma indeterminada . Cuando nos encontramos en esta situacin es posible calcular el limite pero, previamente, hay que transformar la frmula de la funcin de tal modo que se pueda evitar la divisin por cero. Para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacin, la conjugada, racionalizacin,..... .

lim indeterminadoA continuacin analizaremos con algunos ejemplos los distintos casos que se nos pueden presentar.Caso 1)

x + 2x 3 = (1) + 2 . (1) 3 = 0 (intentamos con el reemplazo directo)Como llegamos a un resultado (el nico caso que no se considera resultado es cero sobre cero) podemos asegurar que la funcin se acerca a 0 cuando x tiende a 1.

Caso 2)

Aqu estamos en presencia de una indeterminacinEn estos casos ser necesario utilizar algunos casos de factorizacin, para transformar las sumas y restas en productos de manera que se pueda llegar a realizar alguna simplificacin.En este ejemplo podemos utilizar diferencia de cuadrados

En este caso estamos utilizando una diferencia de cuadrados, que resultaba ser el producto de una suma por una resta de dos binomios. a - b = ( a + b ) . ( a b )Podemos realizar la simplificacin, ya que al estar trabajando con lmites, no estamos utilizando el valor de x=1, sino un entorno reducido del mismo, por lo que no estaramos simplificando dos parntesis cuyos resultados sean cero. Por eso es imprescindible seguir colocando siempre la palabra lmite.

x + 1 = (1) + 1 =2 Siendo este el resultado final (Observen que hasta no lograr alguna simplificacin no desaparece la indeterminacin)

Caso 3)

Aqu estamos en presencia de otra indeterminacinEn este ejemplo podemos utilizar trinomio cuadrado perfecto

(x 1 ) = 1 1 = 0

Trinomio cuadrado Perfectoa +2.a.b + b = (a +b) = (a +b).(a + b)a -2.a.b + b = (a -b) = (a -b).(a - b)

Caso 4)

indeterminadoEn este caso podemos aplicar el caso ms general que es el de Factor comn

x = 2

Caso 5)

IndeterminadoEste caso es un poco ms complicado, ya que al tener races el denominador, debemos racionalizar, por lo tanto procederemos a multiplicar numerador y denominador por el binomio opuesto (en este caso suma)

Ejercicio (Resolver)

Respuesta =

Caso 6)

IndeterminadoEn este caso no es posible dividir, ni tampoco es un trinomio cuadrado perfecto, pero podemos factorizar reconociendo que se trata de un trinomio con un cuadrado perfecto

x + x 6 = (x 2).(x + 3)

1

Ejercitacin: Si has ledo atentamente y has seguido cada uno de los procedimientos empleados, estars en condiciones de resolver los siguientes ejercicios (depende exclusivamente de lo visto en la gua. Recuerda en primer lugar intenta resolverlos reemplazando por las tendencias de x, y solo sigue realizando clculos en los casos de indeterminacin.Ejercicios Evalu los siguientes lmites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:

S o l u c i o n e s1. Solucin

2. Solucin:

3. Solucin:

4. Solucin:

5. Solucin:

6. Solucin:No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin, se obtiene fcilmente el lmite aplicando el TL1:

7. Solucin:No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendra la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin se obtiene fcilmente el lmite aplicando el TL7 o el TL4(III):

8. Solucin:Si pretendiramos aplicar el lmite directamente a partir del TL7, nos dara la forma indeterminada 0/0;por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresin antes de poder hacer uso del TL6:

9. Solucin:No se puede aplicar el lmite directamente, dara la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresin en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el lmite:

Ahora Ms ejercicios: