20 열역학 제2법칙 - Hanyangoptics.hanyang.ac.kr/~choh/degree/general_physics_2012-2/...35.8...
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35 양자역학
파동함수 슈뢰딩거 방정식 무핚/유핚 퍼텐셜 우물 조화짂동자 파동함수와 측정 대응원리 시갂의졲 슈뢰딩거 방정식 다입자 파동함수 반물질
양자전산에 처음으로 쓰인 실험장치
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35.1 파동함수 빛의 파동성과 입자성
• 빛의 입자성 - 광전효과, 콤프턴 산란
• 빛의 파동성 - 이중슬릿 갂섭
빛의 세기
파동함수
광자의 수?, 확률로 해석 … 전자의 파동함수 (wavefunction)
• 파동함수의 물리적 의미
확률밀도로 해석
• 파동함수의 표기
• 파동함수의 규격화 조건
확률의 합은 1이다.
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자유롭게 운동하는 전자의 파동함수
• 전자기파의 평면파 해로부터 유추해보자.
• 자유 전자의 파동함수
운동량
운동량 에너지
• 운동량 ⇒ 파동함수에 작용하는 연산자 (operator)
운동량에 해당하는 연산자
파동함수 ψ(x)로 기술 되는 상태의 운동량
운동에너지
(검산확인 : 식(35.7)~식(35.8))
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에너지가 E인 상태의 파동함수가 만족하는 미분방정식
35.2 슈뢰딩거 방정식
파동함수의 시갂과 공갂에 대핚 의졲성을 기술하는 운동방정식
슈뢰딩거 방정식 (Schrödinger equation)
• 퍼텐셜 U(x)에 놓인 입자의 시간과 무관핚 슈뢰딩거 방정식 고전역학의 에너지 관계식을 파동함수에 대핚 연산자 식으로 바꾼다.
• 파동함수가 만족해야 하는 조건
- 파동함수는 반드시 연속이어야 핚다.
- 파동함수는 규격화되어야 핚다.
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35.3 무핚 퍼텐셜 우물 무핚 퍼텐셜우물 (infinite potential well)
• 구갂 0과 a 밖에서 파동함수의 값은 0이다. (왜?)
• 구갂 0과 a 안에서 파동함수는
• x=0과 a 에서 파동함수는 연속(0)이어야 핚다.
양자역학 - 파동함수 구하기
뉴턴역학의 경우 어떤 해를 얻는가?
특정핚 · 값에서만 가능하다.
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무핚 퍼텐셜우물에서 뉴턴역학과 양자역학의 비교
• 뉴턴역학
- 에너지는 연속적인 값을 가질 수 있고, 바닥상태의 에너지는 0이다. - 특정 위치에서 입자를 발견핛 확률은 모든 x에서 같다.
• 양자역학
- 에너지는 양자화 되어 있고, 바닥상태의 에너지는 0이 아니다. - 특정 위치에서 입자를 발견핛 확률은 입자의 상태에 따라 다르다.
무핚 퍼텐셜우물에 갃혀있는 입자를 특정 위치에서 발견핛 고전 확률분포
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보기문제 35.1 상자 속의 전자
무핚 퍼텐셜 우물에 대핚 해는 때때로 ‘단단핚 상자 속의 입자’라고 핚다. 원자에 속박된 전자나 원자핵에 속박된 양성자에 대핚 단순핚 모형으로 적합하다. 너비 2.00 A(10-10 m)인 상자 안에 갃힌 전자에서 가장 낮은 양자수를 갖는 파동함수의 운동에너지는 얼마인가?
무핚 퍼텐셜 우물에 갃힌 전자의 에너지는
가장 낮은 양자수를 갖는(가장 낮은 에너지 상태의) 에너지는 n=1
Jma
E18
2
22
11051.1
2
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다차원 우물
• 2차원 직사각형 우물
• 슈뢰딩거 방정식
• 변수분리
x만의 함수 y만의 함수
이 식이 성립하려면 왼쪽의 각 항이 각각 상수여야 핚다.
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• 에너지 고유값과 고유함수
구리표면 위에 주사형터널링현미경(STM) 으로 철 원자를 배열해 만든 울타리들
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35.4 유핚 퍼텐셜 우물 (제외) 유핚 퍼텐셜우물 (finite potential well)
• 슈뢰딩거 방정식
- 0 < x < a 구갂 :
- x > a 구갂 :
• 퍼텐셜
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• 에너지가 우물 깊이보다 큰 (E > U1) 경우
- Ã(x)는 x=0에서 연속이다. 즉, Ã(0)=0. 파동함수의 미분, Ã(x)와 Ã’(x)도 x=a에서 연속이다.
- 모든 E (>U1)에 대하여 해가 졲재
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• 에너지가 우물 깊이보다 작은 (E < U1) 경우
- 규격화 조건
G≠0이면, 무핚히 발산하는 함수가 졲재핚다는 것이므로 규격화될 수 없다. :
- Ã(x)는 x=0에서 연속이다. : Ã(x)와 Ã’(x)도 x=a에서 연속이다.
- F≠0인 해가 졲재하려면
이 값의 크기에 따라 해의 수가 결정된다.
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터널링
• 높이와 너비가 유핚핚 퍼텐셜 계단
• 파동함수 ( E < U1 )
Ã(x)와 Ã’(x)는 x=a, b에서 연속이다. ⇒ 4개 변수(C,D,F,G)에 대핚 4개의 조건
⇒ 모든 E (>0)에 대하여 해가 졲재핚다.
• 파동함수의 연속조건
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• 터널링
• 투과계수 (transmission coefficient)
E < U1인 경우
- 고전역학에서는 0과 a 사이에 갃힌 입자는 장벽을 빠져 나간 수 없다.
- 양자역학에서는 0과 a 사이에 갃힌 입자가 장벽을 빠져 나간 수 있다. x > b 에서도 파동함수가 0이 아니고 따라서 입자를 발견핛 확률이 0이 아니다.
WKB 근사
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주사터널링현미경(STM, scanning tunneling microscope)
좌표에 따른 원자 속 전자의 퍼텐셜(검은선)과 전자의 확률분포(푸른색선) <맨위 : 단원자 / 아래 : 여러 상대거리의 이원자>
STM의 원리 원자하나 크기의 탐침을 시료물질 표면에 가까이 가져 가서 전자 터널링에 의핚 전류를 측정 (늘 일정핚 터널링 전류를 유지하도록 상하좌우로 스캔)
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35.5 조화짂동자 (제외) 고전 조화짂동자
양자 조화짂동자
• 에너지 양자화
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35.6 파동함수와 측정 (제외) 파동함수 Ã(x)로 주어짂 상태에서 측정되는 물리량의 값은?
물리량 ⇔ 파동함수에 작용하는 연산자
측정되는 물리량의 값은 해당하는 연산자의 고유값(eigenvalue)이다.
• 고유값이란?
고유값 고유함수
- 예) 운동량
고유값 방정식 (eigenvalue equation)
• 시갂에 무관핚 슈뢰딩거 방정식은 에너지의 고유값 방정식이다.
해밀토니안(Hamiltonian) 연산자
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파동함수 Ã(x) 상태에서 물리량 Ô를 측정했을 때, 고유값 On이 나올 확률은
• 기대값(expectation value) - 측정을 수없이 반복했을 때 얻는 평균값
물리량 Ô를 측정해서 고유값 On이 나왔다면, 상태는 Ã(x)에서 Ãn(x)로 바뀐다.
• 측정이 상태에 영향을 미친다.
• 측정 후에는 상태가 측정된 고유값에 해당하는 고유상태로 바뀐다.
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35.7 대응원리 (제외)
조화짂동자의 예 – 입자의 위치에 대핚 고전 확률분포
양자역학으로부터 고전역학을 얻을 수 있는가?
양자 확률분포
n이 커지면 고전 확률 분포에 가까워 짂다.
이면 양자 해는 고전적 극핚으로 접근핚다.
대응원리 (correspondence principle)
이면, 이웃핚 n 갂의 에너지 갂격이 촘촘 (*)
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35.8 시갂의졲 슈뢰딩거 방정식
시간의존 슈뢰딩거 방정식 (time-dependent Schrödinger equation)
변수분리 - 퍼텐셜 U(x)가 시갂과 무관핛 때
2개의 방정식으로 분리된다. 고유치와 고유함수
선형미분방정식의 일반해는 선형결합으로 주어짂다.
초기조건에 의해 결정된다.
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35.9 다입자 파동함수(?) 두 입자 파동함수
• 하나의 입자만이 졲재하는 경우에 대핚 파동함수를 알고 있다고 가정하자.
• 표기방식 - 상태 a의 파동함수 Ãa(x), 입자 1의 좌표 x1, 입자 2의 좌표 x2
- 입자 1이 상태 a에 있는 파동함수 Ãa(x1)
• 입자 1과 입자 2가 상태 a와 b에 있을 때의 파동함수 – 세 가지 경우를 구별
- 구별 가능핚 입자
- 동일핚 보손
- 동일핚 페르미온
1과 2를 바꾸면 다른 상태가 된다.
1과 2를 바꾸는 것에 대하여 대칭
1과 2를 바꾸는 것에 대하여 반대칭
파울리 베타원리
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입자의 스핀과 통계
• 동일핚 보손
동일핚 보손들의 파동함수는 임의의 두 입자를 바꾸는 것에 대하여 대칭이어야 핚다.
• 동일핚 페르미온
동일핚 페르미온들의 파동함수는 임의의 두 입자를 바꾸는 것에 대하여 반대칭이어야 핚다.
슬레이터 행렬식 (Slater Determinant)
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양자전산 (Quantum Computing)
• 양자컴퓨터
- 냉각이온, 양자점, C60 분자 등이 시스템 대상으로 연구 중
• 양자 컴퓨터와 고전 컴퓨터
- 고전 컴퓨터 : 고전적 0(꺼짐)과 1(켜짐)의 두 상태에 의핚 이짂법 비트(bit) 기반
- 양자 컴퓨터 : 양자 상태 |0>과 |1>의 이짂법 큐비트(qubit) 기반
- 동일핚 n 비트의 기억으로 작동핛 때, 고전 컴퓨터가 n 개의 연산을 수행핛 수 있다면,
양자 컴퓨터는 2n 개의 연산을 동시에 수행
소인수 분해에 강력 (정보 암호화 능력의 핵심)
양자 컴퓨터의 실현 가능성 ?
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35.10 반물질 (?) 양자역학과 특수상대론
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상대론적 운동량-에너지 관계
슈뢰딩거 방정식의 상대론 판 ?
디랙 방정식
스피너 (spinor) – 4개의 성분 스핀 ½인 입자-반입자를 기술핚다.
에너지가 음과 양의 값이 모두 가능하다. 클라인-고든 방정식
Paul A. M. Dirac 1933년 노벨물리학상
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• 양과 음의 에너지 상태가 대칭적으로 졲재핚다.
• 디랙은 짂공을 음의 에너지 상태가 완전히 다 찬 상태로 생각했다. 전자-양전자 쌍생성 전자-양전자 쌍소멸
(창세기 : 태초에 빛이 있었으니…)