1차상미분방정식 -...

Dept. of Physics, Hallym University

1차 상미분 방정식


물리학과 미분방정식물리학의 연구과정

물리법칙 → 미분방정식

2

2

dtrdmamF

자연의 관찰 → 수학적 기술 (자연을 기술하는 함수의 추출) → 실험 → 방정식으로 기술 (미분방정식) → 미분방정식의 풀이→ 자연현상의 예측 및 검증 → 물리법칙 도출

뉴튼의 법칙

파동방정식 012

22

dtEd

cE

슈뢰딩거 방정식 ErVm

)(2

22


미분방정식의 예조화진동자

kyF

2

2

dtrdmamF

뉴튼의 법칙 에서

후크의 법칙

kydt

ydm 2

2


RLC 회로저항 (R), 코일 (L), 및 축전기 (C) 로 구성된 회로

키르히호프의 법칙: 폐회로에서 전압강하양은 전압상승양과 같다.

0 CLR VVV

전류를 전하량으로 표기

CQV

dtdiLViRV CLR ,,

02

2

CQ

dtQdLR

dtdQ


우변이 0 (homogeneous eq.)

우변이 1 (inhomogeneous eq.)

상미분방정식

1차 상미분방정식

2차 상미분방정식

다변수 1차상미분방정식

편미분방정식

1차 편미분방정식

2차 편미분 방정식 (Laplace eq.) (Poissoneq.)

미분방정식의 종류

02

kxdtdx

dtxdm

02

0 NdtdN

dtrdBq

dtrdm

2

VdtdQR

CQ

)(2

tFkxdtdx

dtxdm

),,(2 zyxf 222 / dtd


1차 상미분방정식: 방사성 붕괴 (homogeneous equation)방사성 붕괴물질의 붕괴율은 남은 원자수에 비례

NdtdN

변수분리법으로 풀이함.

dtNdN

양변 적분 tCt eNeNCtNdtNdN 0ln


일반해, 특수해

상미분 방정식의 일반해: teNN 0

미정계수

상미분 방정식의 특수해: 미정계수의 특정화초기조건 (initial condition, t=0 일 때, N의 값) 또는 경계조건 (boundary condition)의 대입을 통해 미정계수를 특정화함.


축전기의 충전 (Non-homogeneous equation)

Homogeneous solution (E=0인 경우)먼저 추출

ECQ

dtdQR

RCt

HH

HHH

AeQaRCtQ

RCdt

QdQ

CQ

dtdQR

ln

0



Non-Homogeneous solution (E=E인 경우) 상수해의 추출

ctQN )( (상수해)

0)(

dttQN 에서

CEQEC

QN

N 0

Homogeneoous solution 과 Non-Homogeneous solution 의 합으로 최종 해를 구함

CEAeQQQ RCt

NH



검산

초기조건: t=0 일 때 Q=0

)1()(

0)0()(

RCt

RCt

RCt

eCECECEetQ

CEACEAQCEAetQ

EC

CEeCAe

CA

CCEAee

RCAR

CQ

dtdQR

RCt

RCt

RCt

RCt

숙제 1, 문제중심학습 B급 (김영만)


인덕터가 있는 회로에 교류전압이 걸릴 때 전류

전기장이 주기함수인 경우

)(tERIdtdIL

tieERIdtdIL 0

0

Homogeneous solution (E=0인 경우)

tLR

eIIdtLR

IdIRI

dtdIL

00



Ayet

LR

라 하면

Non-homogeneous solution: Homogeneous solution 을 이용

)(1)( RydtdyLe

Lye

LRe

dtdye

dtdye

dtdyye

dtd t

LRt

LRt

LRt

LRt

LRt

LR

y 를 주어진 미분방정식의 해라고 하면

CdteeLEye

eEeL

yedtdee

LRy

dtdyLe

Ltit

LRt

LR

titLRt

LR

titLRt

LR

0

00

0

01)(1)(1



tLRti

eLiR

EiLReEtI

0

0

0

00

)(

Steady state solution

Transient solution

초기조건: t=0 에서 y=0

LiRECC

LiREye

tLR

0

0

0

00



)cos())(Re(

)(

0220

2

0

220

2

0

0

0

0

0 000

tLR

EtI

eeLR

EeeiLR

EiLReEtI tiitii

ti

Steady state solution

위상차)arctan( 0

RL I

V

숙제 2, 문제중심학습 B급, 박성호


Non-homogeneous equation 의 일반 풀이법

Homogeneous solution

)()( tQxtPdtdx

dttP

AexxtPdtdx )(

0)(

dttPI )( 로 치환하면

AxeAex II


Non-homogeneous equation 의 일반 풀이법

를 미분Ixe

QePxdtdxe

dtdIxee

dtdx

dtdexe

dtdxxe

dtd IIII

III )()(

양변을 적분하면

IIIII CedtQeexCdtQexe


라듐의 붕괴

시간 t=0에서 라듐의 원자수: N0라돈의 원자수: 0

라듐 (붕괴율 λ1) → 라돈 (붕괴율 λ2) → 폴로늄

시간 t=t0에서 라듐의 원자수: N1라돈의 원자수: N2

라듐의 붕괴율 방정식: 111 N

dtdN

라돈의 붕괴율 방정식: 22112 NN

dtdN

라듐 붕괴에 의한 라돈 생성

라돈 붕괴


라듐의 붕괴

시간 t 에서 라듐의 숫자

라돈 붕괴방정식에 대입

teNNNdt

dN1

01111

t

t

eNNdt

dN

NeNNNdt

dN

1

1

01222

220122112

tdtI 22 CeNCdteNCdteeNeN ttttt

)(

12

01)(01012

1212212


라듐의 붕괴

초기조건: t=0 에서 N2=0

12

01

12

0120

NCCNN

)( 21122

12

012

12

01)(

12

012

tttt eeNNNeNeN

숙제 3, 문제중심학습 C급, 신준형


연립 1차 상미분 방정식

Lorentz 힘이 작용할 때 전자의 운동

BveF

zBB ˆ

일 때

zdtvmy

dtdv

mxdtdvmFzvyvxvv zyx

zyx ˆˆˆ,ˆˆˆ

)ˆˆ(ˆ)ˆˆˆ( yvxvBzBzvyvxvBv xyzyx

)ˆˆ(ˆˆˆ yvxvmeBz

dtvy

dtdv

xdtdv

xyzyx



xy

yx

vmeB

dtdv

vmeB

dtdv

한 번 미분하여 연립하여 풀면

xyx v

mBe

tdv

eBdt

vd2

22

2

2

Trial solution tix Aev



다른 한 식에 대입

tix

tix

tix

AevmeB

emBeAvBeeA

dtvd

2

22222

2

2

,

)2/(1

titix

y AeiAedtdvv

물리적 해 추출을 위해 실수부 채택

Ω: cyclotron frequency

tmeBAiAevt

meBAAev ti

yti

x sin)Re(,cos)Re(



초기조건: t=0 에서

Av 0

xvv ˆ0

)sinˆcosˆ(0 tmeByt

meBxvv

등속원운동!022

0 sincos vtmeBt

meBvv

숙제 4, 문제중심학습 B급, 안도현

1차상미분방정식 -...

Documents

Transcript of 1차상미분방정식 -...