Python과 함께 배우는 시스템 해석 - 제 3 장. 연속시간...

Python과 함께 배우는 시스템 해석

제 3 장. 연속시간 선형 시불변 시스템의 시간 영역 해석3-1. 연속시간 신호 기초 및 콘볼루션 적분

박섭형

한림대학교

2014년 10월

Python과 함께배우는

시스템 해석

박섭형

연속시간단위 임펄스함수와 단위계단 함수

간단한 RL회로의 출력계산

연속시간선형 시불변시스템의시간 영역응답:콘볼루션적분

배울 내용

연속시간 단위 임펄스 함수

연속시간 단위 계단 함수

Python을 이용한 단위 계단 함수의 표현

미분 방정식을 이용한 간단한 RL 회로의 출력 계산

콘볼루션 적분의 유도

콘볼루션 적분의 성질

한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 7 강 연속시간 신호 기초 및 콘볼루션 적분 2


시스템 해석

박섭형




연속시간 단위 임펄스 함수: 디락 델타 함수(Dirac deltafunction)

.정의 3.1 (3.1: 디락 델타 함수(Dirac delta function))..

......

δ(t) =

+∞, t = 0

0, t ̸= 0, (3.1)

∫ ∞

−∞δ(t)dt = 1. (3.2)



시스템 해석

박섭형





그러나 연속시간 함수에서 단지 단 하나의 점에서만 0이 아닌 값을 가지고 그외에서는 0이 되는 함수를 정의하는 것은 문제가 있기 때문에, 다음과 같은방법으로 디락 델타 함수를 정의하기도 한다.먼저, 다음과 같은 펄스 함수를 정의하자.

.정의 3.2 (3.2: 펄스 함수)..

......

δε(t) =

1

ε, − ε

2≤ t ≤ ε

20, otherwise

, (3.3)

여기에서 ε은 아주 작은 양의 수이다.



시스템 해석

박섭형





0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1 0 1

ε = 1

t 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1 0 1

ε = 0.5

t 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1 0 1

ε = 0.25

t 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1 0 1

ε = 0.1

t

(a) ε = 1.0 (b) ε = 0.5 (c) ε = 0.25 (d) ε = 0.1

그림 3.1: ε의 값에 따라서 펄스 함수 δε(t)가 변하는 모습.



시스템 해석

박섭형





이 함수는 가로 폭이 ε이고 높이가1

ε인 펄스이다. ε이 작아질수록 가로 폭은

줄어들고 높이는 커지지만, 직사각형 형태의 펄스의 넓이는 항상 1을 유지한다.즉, 다음 식이 성립한다. ∫ ∞

−∞δε(t)dt = 1. (3.4)

이 함수를 사용하여 디락 델타 함수, 즉 연속시간 단위 임펄스 신호를 다음과같이 정의한다.

.정의 3.3 (3.3: 연속시간 단위 임펄스 신호)..

......

δ(t) = limε→0

δε(t), (3.5)

δε(t) =

1

ε, − ε

2< t < ε

20, t < −ε or t > ε

. (3.6)



시스템 해석

박섭형





디락 델타 함수의 그래프는 다음 그림과 같이 화살표를 같은 수직선으로표현하는데 화살표 옆에 있는 (1)은 이 임펄스 신호의 크기 (또는 면적)이 1인것을 나타내는 것이다.

t

(1)

0

δ(t)

그림 3.2: 연속시간 단위 임펄스 δ(t)의 그래프.



시스템 해석

박섭형




임펄스의 체질(sifting) 성질

식 (3.3)에 정의된 펄스 함수에 f(t)를 곱하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

f(t)δε(t) =

f(t)ε

, − ε

2< t < ε

20, otherwise

. (3.7)

이 식을 이용하여 f(t)δ(t)를 다음과 같이 구할 수 있다.

f(t)δ(t) = f(t) limε→0

δε(t) = limε→0

f(t)δε(t)

= limε→0

f(0)δε(t) = f(0)δ(t).(3.8)

그리고 f(t)δ(t − t0)는 다음과 같이 구할 수 있다.

f(t)δ(t − t0) = f(t) limε→0

δε(t − t0) = limε→0

f(t)δε(t − t0)

= limε→0

f(t0)δε(t − t0) = f(t0)δ(t − t0).(3.9)



시스템 해석

박섭형




임펄스의 체질(sifting) 성질

식 (3.9)의 양변을 적분하면 다음 식을 얻을 수 있다.∫ ∞

−∞f(t)δ(t − t0)dt =

∫ ∞

−∞f(t0)δ(t − t0)dt

= f(t0)∫ ∞

−∞δ(t − t0)dt

= f(t0).

(3.10)

이 식을 임펄스의 체질 (sifting) 성질 또는 샘플링 성질이라고 한다. 이 식의 t에τ를 대입하고, t0에 t를 대입하면, 임의의 이산시간 신호 x(t)를 다음과 같이표현할 수 있다.

f(t) =∫ ∞

−∞f(τ)δ(τ − t)dτ. (3.11)



시스템 해석

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연속시간 단위 계단 함수: 헤비사이드 계단 함수(Heaviside stepfunction)

.정의 3.4 (3.4: 헤비사이드 계단 함수)..

......

u(t) =

1, t > 0

0.5, t = 0

0, t < 0

. (3.12)

t

1

0

u(t)

그림 3.3: 3.4: 헤비사이드 계단 함수 u(t)의 그래프.



시스템 해석

박섭형





t

1

ε

2−

ε

20

uε(t)

그림 3.4: uε(t)의 그래프.

그러면 연속시간 단위 계단 함수 u(t)는 다음과 같이 uε(t) 함수의 극한으로설명할 수도 있다.

u(t) = limε→0

uε(t). (3.13)



시스템 해석

박섭형





import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef unitstep(t, t0=0.0):

assert (t0 >= t[0]) and (t0 <= t[-1])unitStep = np.zeros(len(t))index = np.arange(len(t))for n in index:

if t[n] == t0:unitStep[n] = .5

elif t[n] > t0:unitStep[n] = 1

elif t[n] < t0:unitStep[n] = 0

return unitStept = np.linspace(-4,4,200); fig = plt.figure(figsize=(8,2))plt.plot(t, unitstep(t)); plt.ylim(-0.2, 1.2); plt.grid()plt.xlabel("time (t)"); plt.tight_layout(); plt.show()한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 7 강 연속시간 신호 기초 및 콘볼루션 적분 12


시스템 해석

박섭형





스크립트 실행 결과

그림 3.5: Pyplot.plot()으로 그린 연속시간 헤비사이드 계단 함수의 그래프.



시스템 해석

박섭형





앞의 스크립트에서 16 번째 줄을 다음과 같이 수정한 후의 그래프는 그림 3.6과같다.

plt.plot(t, unitstep(t,2))

그림 3.6: Pyplot.plot()으로 그린 u(t − 2) 함수의 그래프.



시스템 해석

박섭형




연속시간 단위 임펄스 함수와 단위 계단 함수 사이의 관계

δε(t) =ddtuε(t), (3.14)

δ(t) = ddtu(t), (3.15)

uε(t) =∫ t

−∞δε(τ)dτ, (3.16)

u(t) =∫ t

−∞δ(τ)dτ. (3.17)



시스템 해석

박섭형




Sympy에서 정의된 헤비사이드 함수

다음 스크립트는 Sympy 라이브러리의 Heaviside 함수를 호출하여 그래프를그린 예이다.

>>> from sympy import *>>> t = symbols('t')>>> plot(Heaviside(t), ylim=(-0.5, 1.5))

위의 스크립트를 실행하면 다음 그래프를 얻을 수 있다.

그림 3.7: Sympy.plot()으로 그린 연속시간 헤비사이드 계단 함수의 그래프.



시스템 해석

박섭형




간단한 LR 회로

..

+

.

−

..

V

..

i

..

t0

..

L

. −.

+

.

vL

..R

.−

.+

.vR

그림 3.8: 간단한 LR 회로.

DC 입력을 V라 하고, 출력을 전류 i라 하자. 그러면, 저항 R 양단의 전압 vR은

vR = Ri (3.18)

이 되고, 인덕터 L 양단의 전압 vL은 다음과 같이 주어진다.

vL = L didt . (3.19)



시스템 해석

박섭형




간단한 LR 회로

키르히호프 (Kirchhoff)의 전압 법칙에 의해서 다음 식이 성립한다.

Ri + L didt = V. (3.20)

이 식은 입력 V와 출력 i 사이의 관계를 나타내는 1 차 미분 방정식이다. 이 미분방정식의 해 i는 다음과 같이 구할 수 있다.

L didt = V − Ri. (3.21)

이 식의 양변을 L로 나누면didt =

V − RiL (3.22)

이 되고, 이 식의 양변을 V − Ri로 나누고, dt로 곱하면

diV − Ri =

dtL (3.23)

이 된다.



시스템 해석

박섭형




간단한 LR 회로

이 식의 양변을 적분하면 다음 결과를 얻는다.∫di

V − Ri =

∫dtL , (3.24)

− ln(V − Ri)R =

1

Lt + A, (3.25)

여기에서 A는 적분 상수이다.이 회로가 t = t0 = 0에서 스위치가 닫힌다고 가정하자. 즉, t = 0일 때, i = 0

이라고 가정하자. 이 가정으로부터

A = − ln(V)

R (3.26)

인 것을 알 수 있고, 이 값을 식 (3.25)에 대입하면, 다음 결과를 얻는다.

− ln(V − Ri)R =

1

Lt − ln(V)

R . (3.27)



시스템 해석

박섭형




간단한 LR 회로

이 식을 다음과 같은 과정을 거쳐서 정리하여 i를 구할 수 있다.

ln(V)

R − ln(V − Ri)R =

1

Lt, (3.28)

ln(V)− ln(V − Ri) = RL t, (3.29)

− ln(V) + ln(V − Ri) = −RL t, (3.30)

ln(

V − RiV

)= −R

L t, (3.31)

V − RiV = e−

RL t, (3.32)

1− RiV = e−

RL t, (3.33)

−RiV = −1 + e−

RL t, (3.34)

i = VR

(1− e−

RL t). (3.35)



시스템 해석

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간단한 LR 회로

이 식은 t ≥ 0에서 성립하는 식이고, t < 0일 때는 i(t) = 0이므로 최종적으로다음과 같이 쓸 수 있다.

i(t) = VR

(1− e−

RL t)

u(t), (3.36)



시스템 해석

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간단한 LR 회로: 미분 방정식의 동차해와 특수해

식 (3.21)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

L didt + Ri = V. (3.37)

i = ih + ip. (3.38)

동차 해는 다음과 같은 동차 방정식의 해로서, 동차방정식의 특성 방정식을이용하여 구할 수 있다.

L didt + Ri = 0. (3.39)

이 방정식의 특성 방정식은 다음과 같다.

Ls + R = 0. (3.40)

이 식의 해는 s = −RL 이고, 동차 미분 방정식의 해인 동차 해는 다음과 같다.

ih = ce−RL t, (3.41)

여기에서 c는 상수이다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 7 강 연속시간 신호 기초 및 콘볼루션 적분 22


시스템 해석

박섭형





특수 해 ip는 다음 식을 만족한다.

Ldip

dt + Rip = V. (3.42)

V가 상수이므로, ip = VR가 되고, i는 다음과 같다.

i = ih + ip = ce−RL t +

VR . (3.43)

여기에 t = 0일 때의 초기 조건 i = 0을 대입하면, c + VR = 0이 되고, 위 식은

다음과 같이 쓸 수 있다.

i = −VRe−

RL t +

VR =

VR

(1− e−

RL t). (3.44)

이 회로에서 t = 0에서 스위치를 넣는 경우에, 이 회로에 입력되는 전압 v(t)는다음과 같이 표현할 수 있다.

v(t) = Vu(t), (3.45)

여기에서 u(t)는 단위 계단 함수이다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 7 강 연속시간 신호 기초 및 콘볼루션 적분 23


시스템 해석

박섭형





그리고, 이 시스템의 단위 계단 응답은 다음과 같다.

i(t) = 1

R

(1− e−

RL t)

u(t). (3.46)

이 식은 식 (3.36)과 동일한 것을 알 수 있다.미분 방정식에서 x(t)가 단순한 몇 가지 경우에 한해서만 y(t)의 특별 해가알려져 있기 때문에 일반적으로 고차 미분 방정식의 특별 해를 구하는 것은 쉽지않다. 또한, 제 7 장에서 배우게 될 라플라스 변환을 이용하면 고차 미분방정식으로 표현되는 시스템의 출력을 더 쉽게 구할 수 있다.



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연속시간 선형 시불변 시스템의 임펄스 응답

연속시간 선형 시불변 시스템에 임펄스 신호가 입력되었을 때의 출력을 임펄스응답이라고 한다. 다음 그림은 연속시간 시스템에서 임펄스 응답의 정의를블록도로 나타낸 것이다.

x(t)

δ(t)

y(t)

h(t)

연속시간선형 시불변시스템

그림 3.9: 연속시간 시스템에서 임펄스 응답의 정의를 표현하는 블록도.



시스템 해석

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기본적인 연속시간 선형 시불변 시스템의 임펄스 응답

이 절에서는 기본적인 연속시간 선형 시불변 시스템의 예를 몇 가지 설명하면서각 시스템의 임펄스 응답을 함께 설명한다.적분기의 출력과 임펄스 응답은 각각 다음과 같다.

y(t) =∫ t

−∞x(τ)dτ. (3.47)

h(t) =∫ t

−∞x(τ)dτ

∣∣∣∣x(t)=δ(t)

=

∫ t

−∞δ(τ)dτ = u(t). (3.48)

이상적인 지연기의 출력과 임펄스 응답은 각각 다음과 같다.

y(t) = x(t − td). (3.49)

h(t) = x(t − td)|x(t)=δ(t) = δ(t − td). (3.50)



시스템 해석

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기본적인 연속시간 선형 시불변 시스템의 임펄스 응답

임펄스 응답이 h(t)인 선형 시불변 시스템에 x(t)가 입력되면, 출력 y(t)는다음과 같이 x(t)와 h(t)의 관계식으로 나타나는데, 이것을 콘볼루션 적분(convolution integral)이라고 부른다.

y(t) = T {x(t)} = x(t) ∗ h(t) =∫ ∞

−∞x(τ)h(t − τ)dτ . (3.51)

이 때, 출력 y(t)는 두 신호 x(t)와 h(t)를 ‘콘볼루션 적분’ 결과라고 말한다.이 절에서는 콘볼루션 적분의 유도 과정과 계산 방법에 대해서 설명한다.



시스템 해석

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관련 수학 기초 복습: 함수의 그래프의 이동 및 반사

.예제 3.1 (3.1)..

......

그림의 (a)가 신호 x(t) = te−tu(t)의 그래프일 때, 그림 (b), (c), (d)의 식을구하라.

u(t) ={

1, t ≥ 0

0, t < 0. (3.52)

0 1 2 3 4t

x(t)

−3.5 −2 −0.5t

0 1 2 3 4t

−3.5 −2 −0.5t

(a) x(t)의 그래프. (b) (c) (d)

그림 3.10: x(t)와 x(t)를 이동하거나 반사시킨 그래프.

(b) x(−t) = −tetu(−t)(c) x(t − 1) = (t − 1)et−1u(t − 1)

(d) x(−t − 1) = x(−(t − 1)) = (−t − 1)e−t−1u(−t − 1)한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 7 강 연속시간 신호 기초 및 콘볼루션 적분 28


시스템 해석

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정적분

구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 정적분은 다음과 같이 정의된다.

A =

∫ b

af(t)dt = lim

n→∞

n∑k=1

f(x∗k)∆x, (3.53)

여기에서 ∆x = b−an 이다. [a, b]를 n 개의 부구간 (subinterval)으로 나누었을

때, 각 부구간들의 양끝점들은 x0(= a), x1, x2, · · · , xn−1, xn(= b)이고,x∗k ∈ [xk−1, xk]인 임의의 수이다.이 정적분의 근사값을 다음 그림과 같이 구할 수 있다.

tt0 t1 t2 tn−1 t

n· · ·

f(t)

(a) n = 9인 경우.



시스템 해석

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정적분

tt0 tn

f(t)

(b) n = 45인 경우.

tt0 tn

f(t)

(c) n = 90인 경우.

그림 3.11: 구간 [a, b]에서 함수 f(t)의 정적분을 밑변이 동일한 직사각형들의 합으로근사화할 때 직사각형의 개수에 따른 차이.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 7 강 연속시간 신호 기초 및 콘볼루션 적분 30


시스템 해석

박섭형




정적분

n 개의 직사각형들의 넓이의 합 Sn은 다음과 같이 구할 수 있다.

Sn =

n−1∑k=0

εf(tk +1

2ε) =

n−1∑k=0

εf(a + kε+ 1

2ε). (3.54)

즉 n → ∞가 되면, ε → 0이 되며, limn→∞

Sn을 함수 f(t)의 a부터 b까지의정적분이라고 정의한다.∫ b

af(t)dt = lim

n→∞Sn

= limn→∞

n−1∑k=0

f(tk +1

2ε)ε (3.55)

= limε→0

n−1∑k=0

f(a +1

2ε+ kε)ε.

적분 구간이 (−∞,∞)이 되면 윗 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.∫ ∞

−∞f(t)dt = lim

ε→0

∞∑k=−∞

f(12ε+ kε)ε. (3.56)



시스템 해석

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식 (3.10)의 체질 성질을 이용하면 신호 x(t)를 다음과 같이 표현할 수 있다.

x(t) =∫ ∞

−∞x(τ)δ(t − τ)dτ . (3.57)

이 적분을 합의 극한 형식으로 표현하면 다음과 같이 바꿀 수 있다.

x(t) = limε→0

∞∑k=−∞

x(kε+ 1

2ε)δε(t − kε− 1

2ε)ε, (3.58)

여기에서 δε(t)는 식 (3.3)에 정의된 식이다.



시스템 해석

박섭형





시스템의 선형성을 이용하면 y(t) = T {x(t)}는 다음과 같이 구할 수 있다.

T {x(t)} = T

{limε→0

∞∑k=−∞

x(kε+ 1

2ε)δε(t − kε− 1

2ε)ε

}

= limε→0

∞∑k=−∞

x(kε+ 1

2ε)T

{δε(t − kε− 1

2ε)

}ε (3.59)

=

∫ ∞

−∞x(τ)T {δ(t − τ)} dτ =

∫ ∞

−∞x(τ)h(t − τ)dτ .



시스템 해석

박섭형




콘볼루션 적분의 성질: 교환 법칙

콘볼루션 적분은 다음과 같은 교환 법칙이 성립한다.

x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) (3.60)

이 식은 다음과 같이 증명할 수 있다. 먼저, x(t) ∗ h(t)는 다음과 같다.

x(t) ∗ h(t) =∫ ∞

−∞x(τ)h(t − τ)dτ. (3.61)

이 식에서 u := t − τ라고 두면, τ = t − u, dτ = −du가 되는데, 이 것을 식(3.61)에 대입하면 다음 식을 얻는다.

x(t) ∗ h(t) =∫ −∞

∞x(t − u)h(u)(−du)

=

∫ ∞

−∞h(u)x(t − u)du = h(t) ∗ x(t). (3.62)



시스템 해석

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콘볼루션 적분의 성질: 결합 법칙

콘볼루션 적분은 다음과 같은 결합 법칙이 성립한다.

[x(t) ∗ h1(t)] ∗ h2(t) = x(t) ∗ [h1(t) ∗ h2(t)]. (3.63)

이 식은 다음과 같이 증명할 수 있다.

[x(t) ∗ h1(t)] ∗ h2(t) =[∫ ∞

−∞x(τ)h1(t − τ)dτ

]∗ h2(t)

=

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞x(τ)h1(u − τ)dτ

]h2(t − u)du

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞x(τ)h1(u − τ)h2(t − u)du dτ (3.64)

=

∫ ∞

−∞x(τ)

[∫ ∞

−∞h1(u − τ)h2(t − u)du

]dτ.



시스템 해석

박섭형





여기에서 v := u − τ라고 두면, t − u = t − (v + τ), du = dv이므로∫ ∞

−∞h1(u − τ)h2(t − u)du =

∫ ∞

−∞h1(v)h2(t − τ − v)dv

= h1(t − τ) ∗ h2(t − τ) (3.65)

가 되어서 식 (3.64)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[x(t) ∗ h1(t)] ∗ h2(t) =∫ ∞

−∞x(τ) [h1(t − τ) ∗ h2(t − τ)] dτ

= x(t) ∗ [h1(t) ∗ h2(t)]. (3.66)



시스템 해석

박섭형





다음 그림과 같이 두 시스템을 직렬 연결한 경우를 생각해 보자.

x(t)

δ(t)

w(t)

h1(t)

LTI 1

h1(t)

LTI 2

h2(t)

y(t)

h1(t) ∗ h2(t)

그림 3.12: 두 개의 연속시간 선형 시불변 시스템을 직렬 연결한 그림.

첫 번째 시스템의 출력 w(t)는 두 번째 시스템의 입력이 되고, 전체 시스템의출력은 두 번째 시스템의 출력이 된다. 전체 시스템의 출력 y[n]은 다음과 같이구할 수 있다.

y[n] = [x(t) ∗ h1(t)] ∗ h2(t)= x(t) ∗ [h1(t) ∗ h2(t)]= x(t) ∗ [h2(t) ∗ h1(t)]= [x(t) ∗ h2(t)] ∗ h1(t).

(3.67)



시스템 해석

박섭형





이 식이 의미하는 것은 두 개의 선형 시불변 시스템을 직렬 연결하는 경우에 두시스템의 연결 순서와 관계 없이 출력이 같다는 것이다. 따라서, 그림 3.12의시스템과 그림 3.13의 시스템은 등가 시스템이다.

x(t)

δ(t)

v(t)

h2(t)

LTI 2

h2(t)

LTI 1

h1(T )

y(t)

h2(t) ∗ h1(t)

그림 3.13: 두 개의 연속시간 선형 시불변 시스템의 순서를 바꾸어 직렬 연결한 그림.



시스템 해석

박섭형




콘볼루션 적분의 성질: 분배 법칙

콘볼루션 적분은 다음과 같은 분배 법칙이 성립한다.

x(t) ∗ [h1(t)] + h2(t)] = x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2(t). (3.68)


x(t) ∗ [h1(t)] + h2(t)] =∫ ∞

−∞x(τ)[h1(t − τ) + h2(t − τ)]dτ

=

∫ ∞

−∞x(τ)h1(t − τ)dτ +

∫ ∞

−∞x(τ)h2(t − τ)dτ (3.69)

= x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2(t).



시스템 해석

박섭형




콘볼루션 적분의 성질: 분배 법칙

콘볼루션의 분배 법칙을 이용하면 다음과 같이 병렬 연결된 두 개의 LTI시스템을 하나의 LTI 시스템으로 구성할 수 있다.

LTI 1

h1(t)

LTI 2

h2(t)

x(t) y(t)

그림 3.14: 두 개의 연속시간 선형 시불변 시스템을 병렬로 연결한 시스템.

LTI 3

h1(t) + h2(t)

x(t) y(t)

그림 3.15: 두 개의 연속시간 선형 시불변 시스템을 병렬로 연결한 것과 등가 시스템.



시스템 해석

박섭형




콘볼루션 적분의 성질:미분 성질

두 함수의 콘볼루션 적분을 미분한 것은 다음 성질을 만족한다.

ddt [x1(t) ∗ x2(t)] =

[ddtx1(t)

]∗ x2(t) = x1(t) ∗

[ddtx2(t)

]. (3.70)


ddt [x1(t) ∗ x2(t)] =

ddt

∫ ∞

−∞x1(τ)x2(t − τ)]dτ

=

∫ ∞

−∞x1(τ)

ddtx2(t − τ)]dτ (3.71)

= x1(t) ∗[

ddtx2(t)

].

또한 x1(t) ∗ x2(t) = x2(t) ∗ x1(t) 성질을 이용하면

ddt [x1(t) ∗ x2(t)] =

[ddtx1(t)

]∗ x2(t) (3.72)

도 성립하는 것을 알 수 있다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 시스템 해석 제 7 강 연속시간 신호 기초 및 콘볼루션 적분 41


시스템 해석

박섭형




콘볼루션 적분의 성질: 항등원

모든 함수 x(t)에 대해서 다음 식이 성립한다.

x(t) ∗ δ(t) = x(t). (3.73)

x(t) ∗ δ(t) =∫ ∞

−∞x(τ)δ(t − τ)dτ. (3.74)

식 (3.10)에 있는 임펄스의 체질 성질을 이용하면, 다음 식을 얻을 수 있다.∫ ∞

−∞x(τ)δ(t − τ)dτ = x(t)

∫ ∞

−∞δ(t − τ)dτ = x(t). (3.75)

이 관계식을 확장하면 다음 식을 얻을 수 있다.

x(t) ∗ δ(t − t0) = x(t − t0), (3.76)

x(t − t0) ∗ δ(t − t1) = x(t − t0 − t1). (3.77)

식 (3.76)으로부터 입력 신호를 td 만큼 지연시키는 시스템의 임펄스 응답은h(t) = δ(t − td)인 것을 알 수 있다.


Python과 함께 배우는 시스템 해석 - 제 3 장. 연속시간...

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