MÉTODO DE OPTIMIZACIÓN DE TAJO DE LERCHS-GROSSMAN

INTRODUCCION

LERCHS GROSSMAN

Un algoritmo preciso para determinar la ubicación del límite final óptimo del pit, utilizando un procedimiento de programación dinámica de dos dimensiones, fue desarrollado por Lerchs y Grossman en el año 1965. Esta es una técnica precisa para definir el límite del pit en una sección transversal de dos dimensiones, por medio de la cual es posible lograr el mayor beneficio posible.

El año 1965, Lerchs y Grossman publicaron un trabajo titulado “Diseño Optimo de Minas a Tajo Abierto”. El cual se convirtió en un documento obligatorio de consulta. En el trabajo de describen dos métodos:

La evaluación económica de un macizo rocoso suele ser tarea bastante engorrosa a la que se ven enfrentados la mayoría de ingenieros de minas, a la hora de realizar un planeamiento adecuado, en la secuencia de extracción y limites de explotación del mineral de un proyecto minero que maximice los ingresos obtenidos, puesto que se hace necesario conocer la mayoría de la variables posibles, para poder realizar una predicción del beneficio de extracción con un buen nivel de confianza.

El notable incremento que han sufrido todos los costos asociados al desarrollo de una explotación minera (maquinaria, salarios, etc.) junto con la explotación de yacimientos que poseen cada vez leyes más bajas, ha hecho que el diseño final de la explotación a cielo abierto tenga que llevarse a cabo con criterios económicos, de tal forma que dicho diseño no comprometa, en ningún caso, la futura viabilidad económica de la explotación.

Esta filosofía de trabajo ha permitido desarrollar, en las últimas décadas, diferentes algoritmos que tienen como objetivo optimizar la explotación.

Generalmente trabajan sobre un modelo de la mineralización constituido por un bloque tridimensional regular.

Existen distintos métodos para evaluar las variables como el de lerchs Grossman y el cómo flotante a un depósito hipotético, en el cual se genera un pit óptimo estableciendo los límites de este en el punto en el cual se maximizan los ingresos y definiendo la secuencia de extracción del material contenido dentro de los límites del pit.

Estos, métodos son ampliamente usados en depósitos masivos y diseminados.

Algoritmo para la programación dinámica de dos dimensiones. Algoritmo para la para la programación dinámica de tres dimensiones.

Para propósitos de ejemplo, vamos a describir el algoritmo de dos dimensiones, Este algoritmo nos muestra en el ejemplo como determina el límite final en una sección vertical dándonos el máximo beneficio neto, el método es interesante porque elimina la prueba y error de los diseños manuales en cada sección, el método también es conveniente y sencillo de ser procesado en computadoras.

Igual que el método manual, el método de Lerchs Grossman diseña el tajo en secciones verticales, el resultado puede también ser transferido a planos, puede ser chequeado y suavizado manualmente, aun cuando el pit es óptimo en cada sección, el límite final resultante de la suavización no es probablemente el óptimo.

OPTIMIZACION DE PITS

PARAMETROS ECONOMICOS

PRECIOS

El precio es una de las variables más importantes de la optimización un precio alto o bajo pueden fácilmente determinar la vialidad o no de un determinado proyecto, el precio de la mayoría de metales depende de la oferta y la demanda.

COSTOS

COSTOS DE MINADO

Costos Directos de MinadoIncluye los gastos de perforación, voladura, carguío y al costo base de acarreo del material del tajo, tanto como los costos de soporte asociados para las carreteras y los botaderos, mantenimiento de equipos, servicios auxiliares, técnicos y costos administrativos de mina, si los costos se incrementan con la profundidad o por sectores de la mina, un costo incremental que refleje estos incrementos debe de ser considerado dentro de los parámetros económicos, los costos de mina pueden ser diferentes por mineral, desmonte, por tipo de roca, o por sectores de la mina, estas diferencias deben de ser consideradas en los parámetros de los costos de mina.

Costos Indirectos de MinadoIncluye la depreciación de los equipos que considera ambos inicial y los requerimientos de capital de sostenimiento. Es reconocido que el equipo de la mina es consumido en base a las toneladas, por lo tanto estos costos deben de estar incluidos en los parámetros del cono flotante, estos costosdeben de ser calculados usando cada tipo de los equipos, su estimado promedio de productividad por año y su estimado tiempo de vida, típicamente si es calculado para todas las unidades de producción primaria y los equipos de soporte de la mina, la depreciación estará en el rango de $0.14 a $0.17 por tonelada minada.

Costos de Procesamiento por Tonelada de Mineral

Para una Concentradora el costo puede ser por tonelada de mineral molido o por tonelada de concentrado y para una operación de lixiviación con el tankhouse lleno a través de la vida de la mina, el costo será asignado por libra de cobre vendido. Si el desmonte es chancado y acarreado por fajas a los botaderos, este costo debe de ser asignado solo al desmonte y no a las toneladas del mineral.

Costos de Transporte y Tratamiento fuera de la PropiedadEsta categoría de cargos para una operación incluye aquellos gastos relativos al secado de concentrados, manipuleo y trasporte, fundición y refinería. Estos costos se cargan por libra de cobre vendible y típicamente están en el rango de $0.28 a $0.38 por libra de cobre, excluyendo los créditos por metales preciosos, estos costos son independientes de los condiciones de la operación (bajo stripping alta ley) y son una porción importante porción del flujo de caja total.

RECUPERACIONESLas recuperaciones dependen del proceso o tratamiento que se le dé al material proveniente de la mina hasta convertirlo en un cátodo, dore, etc, en la optimización del tajo tienen alta relevancia, el tratamiento por concentradora puede tener rangos variables, en el cobre las recuperaciones

LEY DE CORTELa ley de corte es definido como la ley que normalmente es usado para discriminar los materiales (mineral) para los diferentes procesos y el desmonte, la definición de ley de corte es muy precisa sin embargo las políticas que las compañías usan para el cálculo de la ley de corte durante la operación no son muy precisas, debido a que el uso de un simple cálculo de la ley de corte conlleva a la no maximización del depósito.

PARAMETROS GEOTECNICOS

ALTURA DE BANCO.Es la distancia vertical entre cada nivel horizontal del Tajo, los elementos del banco se ven en la figura adjunta, en general todos los bancos tienen la misma altura, a menos que las condiciones geológicas muestren lo contrario. La altura de banco depende de las características físicas del depósito, el grado de selectividad requerido en la separación del mineral y el desmonte con el equipo de carguío; el ratio de producción, el tamaño del equipo y el tipo del equipo para satisfacer los requerimientos de producción y de las condiciones climáticas.

TALUDES DEL TAJOPits económicos (ejemplo de mineral DE COBRE)

OPTIMIZACIÓN DE UN PIT

Para la optimización del rajo final se utilizo el Algoritmo de Lerchs y Grossman, el cual entrega la envolvente optima a partir del análisis tridimensional del modelo económico del yacimiento.

La metodología utilizada para la creación de la envolvente óptima se basa en la incorporación secuencial de las fases de explotación (rajos anidados) hasta alcanzar el límite a beneficio cero.

DISEÑO ESTRUCTURAL DEL USO DEL MÉTODO DE LERCHS GROSSMAN

METODO LERCHS Y GROSSMAN (PROCESO PARA EL DISEÑO)

El método permite diseñar el contorno de una explotación a cielo abierto de tal forma que se maximice la diferencia entre el valor total de la mineralización explotada y el costo total de la extracción del mineral y estéril.

Lerchs y Grossman en 2-D

Proceso:

Se requiere de una sección con bloques de ley conocida y su correspondiente valor económico.

Para el primer paso se procede al cálculo acumulativo de la rentabilidad en cada columna, independientemente de las otras columnas, desde la parte superior a la inferior.

Una fila de bloques con valor cero se adiciona en la superficie, con un block adicional a los extremos de cada sección.

Se inicia el procedimiento en el extremo superior izquierdo, el valor acumulado mostrado se adiciona para lograr un valor derivado en cada bloque siguiente: puede ser (Precedente)

Un bloque encima y a la izquierda

Un bloque a la izquierda

Un bloque abajo y a la izquierda

Se dibuja una flecha del bloque original hacia el bloque que da el máximo valor positivo por la adición. Este es el valor derivado de cada bloque.

Este proceso se continua trabajando hacia abajo en la primera columna, luego hacia la siguiente columna de la derecha, hasta analizar todos los bloques.

Finalmente en la fila superior un bloque hacia el lado derecho mostrara el mayor valor derivado en la fila. Desde este bloque se sigue la recta de las flechas a fin de obtener la pared final óptima de la sección.

EJE

RC

ICIO

N°

1

Solución ejemplo n°1

El método bidimensional de Lerchs-Grossman permitirá diseñar, en una sección vertical, la geometría del pit que arroja la máxima utilidad neta. El método resulta atractivo por cuanto elimina los procesos de prueba y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones. La metodología es conveniente, además para el procesamiento computacional.Al igual que el método manual, el método de Lerchs-Grossman diseña el tajo en secciones verticales. Los resultados pueden continuar siendo transferidos a una plano de plantas del tajo y ser suavizados y revisados en forma manual. Aún cuando el pit es óptimo en cada una de las secciones, es probable que el pit final resultante del proceso de suavizamiento no lo sea.

EL EJEMPLO DE LA FIGURA Nº1

Representa una sección vertical por medio de un modelo de bloques del depósito. Cada cubo representa el valor neto de un bloque, si éste fuera explotado y procesado de forma independiente. En la figura los bloques de valor neto positivo se han pintado.

Ejercicio N°1

FIGURA N°1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 -4 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -42 -4 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -43 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4

Paso Nº1:

Sume los valores de cada columna de bloques e ingrese estos números en los bloques correspondientes en la figura Nº3. Este es el valor superior de cada bloque en dicha figura y representa el valor acumulativo del material desde cada uno de los bloques hasta superficie.

5 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -46 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -47 -4 -4 8 12 12 0 -48 -4 0 12 12 8 -49 -4 12 12 12 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 -4 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -42 -8 -8 -8 -8 8 24 24 8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8

Paso Nº2:

Comience con el bloque superior de la columna izquierda y repase cada columna. Coloque una flecha en el bloque, apuntando hacia el valor más alto en

El bloque a la izquierda y arriba.El bloque a la izquierda.El bloque a la izquierda y debajo.

Calcule el valor inferior del bloque, sumando el valor superior con el valor inferior del bloque hacia el cual apunta la flecha. El valor inferior del bloque representa el valor neto del material del bloque. Los bloques de la columna y los bloques en el perfil del pit a la izquierda del bloque.

Los bloques que se encuentran fuera del límite son los que no se pueden explotar, a menos que se sumen más columnas al modelo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 -4 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -42 -4 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -43 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -44 -4 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -4 -4 -4 -45 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -46 -4 -4 0 12 12 8 -4 -4 -47 -4 -4 8 12 12 0 -48 -4 0 12 12 8 -49 -4 12 12 12 0

FIGURA N° 21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 -4 -4 -4 -4 -4 8 12 12 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -42 -8 -8 -8 -8 8 24 24 8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -83 -12 -12 -12 4 32 36 20 -8 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -124 -16 -16 0 32 48 32 0 -16 -16 -16 -16 -16 -165 -20 -4 28 56 44 12 -16 -20 -20 -20 -206 -8 24 56 56 24 -8 -24 -24 -247 20 52 64 36 4 -24 -288 48 64 48 16 -16 -329 60 60 28 -4 -32

FIGURA N° 3

Paso Nº3:

Busque el valor máximo total de la fila superior. Este es el retorno neto total del pit óptimo. Para el ejemplo, el pit óptimo tendría un valor de US$ 108. Vuelva a trazar las flechas, a fin de obtener la geometría del rajo. La figura Nº3 nos muestra la geometría del pit en la sección.

-12 -12 -12 4 32 36 20 -8 -12 -12 -12 -12 -12 -12 -12-12 -12 -12 -12 4 36 84 116 128 132 128 128 116 108 100-24 -24 -24 -8 36 72 104 108 116 120 116 116 104 96 88

-16 -16 0 32 48 32 0 -16 -16 -16 -16 -16 -16-24 -24 -24 -8 36 84 128 148 144 144 132 120 112-40 -40 -24 24 84 116 128 132 128 128 116 104 96

-20 -4 28 56 44 12 -16 -20 -20 -20 -20-40 -40 -24 24 84 136 160 164 152 140 132-60 -44 4 80 128 148 144 144 132 120 112

-8 24 56 56 24 -8 -24 -24 -24-60 -44 4 80 136 172 176 164 156-68 -20 60 136 160 164 152 140 132

20 52 64 36 4 -24 -28-68 -20 60 136 172 188 184-48 32 124 172 176 164 156

48 64 48 16 -16 -32-48 32 124 172 200 1960 96 172 188 184 164

60 60 28 -4 -320 96 172 200 196

60 156 200 196 164

DISEÑO DEL PIT FINAL (Sección después del procedimiento de Búsqueda)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 -4 -4 -4 -4 -4 8 20 44 60 76 92 96 104 108 104 104 100 96

2 -12 -12 -12 -12 4 32 60 80 96 100 108 112 108 108 100 96 92

3 -24 -24 -24 -8 36 72 104 108 116 120 116 116 104 96 88

4 -40 -40 -24 24 84 116 128 132 128 128 116 104 96

5 -60 -44 4 80 128 148 144 144 132 120 112

6 -68 -20 60 136 160 164 152 140 132

7 -48 32 124 172 176 164 1568 0 96 172 188 184 1649 68 156 200 196 164

EJE

RC

ICIO

N°

2

Solución ejemplo n°2

El método bidimensional de Lerchs-Grossman permitirá diseñar, en una sección vertical, la geometría del pit que arroja la máxima utilidad neta. El método resulta atractivo por cuanto elimina los procesos de prueba y error de diseñar manualmente el

EJE

RC

ICIO

N°

2

rajo en cada una de las secciones. La metodología es conveniente, además para el procesamiento computacional.Al igual que el método manual, el método de Lerchs-Grossman diseña el tajo en secciones verticales. Los resultados pueden continuar siendo transferidos a una plano de plantas del tajo y ser suavizados y revisados en forma manual. Aún cuando el pit es óptimo en cada una de las secciones, es probable que el pit final resultante del proceso de suavizamiento no lo sea.

EL EJEMPLO DE LA FIGURA Nº2

Representa una sección vertical por medio de un modelo de bloques del depósito. Cada cubo representa el valor neto de un bloque, si éste fuera explotado y procesado de forma independiente. En la figura los bloques de valor neto positivo se han pintado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0 -2 12 13 8 7 6 5 -22 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 12 14 7 9 6 4 -23 -2 -2 -2 -2 -2 -2 15 6 0 7 9 8 04 -2 -2 -2 -2 -2 12 13 14 11 6 5 75 -2 -2 -2 -2 9 0 13 12 5 4 -26 -2 -2 3 13 11 14 15 7 -27 -2 -2 11 8 6 7 48 -2 14 5 7 8 -29 0 4 6 -2 -2

Paso Nº1:

Sume los valores de cada columna de bloques e ingrese estos números en los bloques correspondientes en la figura Nº3. Este es el valor superior de cada bloque en dicha figura y representa el valor acumulativo del material desde cada uno de los bloques hasta superficie.

-2 -2 -2 -2 -2 12 13 14 11 6 5 7 -2-2 -2 -2 -2 9 0 13 12 5 4 -2

-2 -2 3 13 11 14 15 7 -2-2 -2 11 8 6 7 4

-2 14 5 7 8 -20 4 6 -2 -2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0 -2 12 13 8 7 6 5 -2 -2 -2

Paso Nº2:

Comience con el bloque superior de la columna izquierda y repase cada columna. Coloque una flecha en el bloque, apuntando hacia el valor más alto en

El bloque a la izquierda y arriba.El bloque a la izquierda.El bloque a la izquierda y debajo.

Calcule el valor inferior del bloque, sumando el valor superior con el valor inferior del bloque hacia el cual apunta la flecha. El valor inferior del bloque representa el valor neto del material del bloque. Los bloques de la columna y los bloques en el perfil del pit a la izquierda del bloque.

Los bloques que se encuentran fuera del límite son los que no se pueden explotar, a menos que se sumen más columnas al modelo.

FIGURA N°3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-2 -2 -2 -2 -2 -2 0 -2 12 13 8 7 6 5 -2 -2 -2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 62 89 119 155 212 256 288-2 -2 -2 -2 -2 -2 0 -2 12 35 70 96 125 160 210 254 286

-4 -4 -4 -4 -4 -2 -4 24 27 15 16 12 9 -4 -4 -4

-2 -2 -2 -2 -2 -2 0 -2 35 74 103 143 203 260 292 322-6 -6 -6 -6 -6 -4 -4 22 62 89 119 155 212 256 288 318

-6 -6 -6 -6 -4 -6 39 33 15 23 21 17 -4 -6 -6

-6 -6 -6 -6 -6 -4 -4 41 88 120 182 243 296 328 334-12 -12 -12 -12 -10 -10 35 74 103 143 203 260 292 322 328

-8 -8 -8 -6 -8 51 46 29 34 27 22 3 -8

-12 -12 -12 -12 -10 -10 42 91 148 216 274 325 342-20 -20 -20 -18 -18 41 88 120 182 243 296 328 334

-10 -10 -8 -10 60 46 42 46 32 26 1

-20 -20 -20 -18 -18 45 106 170 242 299 341-30 -30 -28 -28 42 91 148 216 274 325 342

-12 -10 -7 73 57 56 61 39 24

-30 -30 -28 -28 49 114 181 260 317-42 -40 -35 45 106 170 242 299 341

-12 -9 84 65 62 68 43

-42 -40 -35 49 119 192 274-54 -49 49 114 181 260 317

-11 98 70 69 76 41

Paso Nº3:

Busque el valor máximo total de la fila superior. Este es el retorno neto total del pit óptimo. Para el ejemplo, el pit óptimo tendría un valor de US$ 210. Vuelva a trazar las flechas, a fin de obtener la geometría del rajo. La figura Nº3 nos muestra la geometría del pit en la sección.

FIGURA N°3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-2 -2 -2 -2 -2 -2 0 -2 12 13 8 7 6 5 -2 -2 -2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 62 89 119 155 212 256 288-2 -2 -2 -2 -2 -2 0 -2 12 35 70 96 125 160 210 254 286

-4 -4 -4 -4 -4 -2 -4 24 27 15 16 12 9 -4 -4 -4

-2 -2 -2 -2 -2 -2 0 -2 35 74 103 143 203 260 292 322

-6 -6 -6 -6 -6 -4 -4 22 62 89 119 155 212 256 288 318

-6 -6 -6 -6 -4 -6 39 33 15 23 21 17 -4 -6 -6

-6 -6 -6 -6 -6 -4 -4 41 88 120 182 243 296 328 334

-12 -12 -12 -12 -10 -10 35 74 103 143 203 260 292 322 328

-8 -8 -8 -6 -8 51 46 29 34 27 22 3 -8

-12 -12 -12 -12 -10 -10 42 91 148 216 274 325 342

-20 -20 -20 -18 -18 41 88 120 182 243 296 328 334

-10 -10 -8 -10 60 46 42 46 32 26 1

-20 -20 -20 -18 -18 45 106 170 242 299 341

-30 -30 -28 -28 42 91 148 216 274 325 342

-12 -10 -7 73 57 56 61 39 24

-30 -30 -28 -28 49 114 181 260 317

-42 -40 -35 45 106 170 242 299 341

-12 -9 84 65 62 68 43

-42 -40 -35 49 119 192 274

-54 -49 49 114 181 260 317

-11 98 70 69 76 41

DISEÑO DEL PIT FINAL (Sección después del procedimiento de Búsqueda)

-30 -30 -28 -28 49 114 181 260 317-42 -40 -35 45 106 170 242 299 341

-12 -9 84 65 62 68 43

-42 -40 -35 49 119 192 274-54 -49 49 114 181 260 317

-11 98 70 69 76 41

-54 -49 49 123 198 274-65 49 119 192 274 315

98 74 75 74 39

-65 49 123 198 27433 123 198 272 313

Sección después del procedimiento de Búsqueda

CONCLUSIONES

La técnica de Lerchs Grossman es un procedimiento matemáticamente correcto y posee ventajas evidentes respecto de los primeros métodos de aproximación utilizados por la industria antes del advenimiento computacional en la planificación y diseño de minas.

Los bloques que se encuentran fuera del límite son los que no se pueden explotar, a menos que se sumen más columnas al modelo.

El método de lerchs Grossman a un depósito hipotético, genera un pit óptimo estableciendo los límites de este en el punto en el cual se maximizan los ingresos y definiendo la secuencia de extracción del material contenido dentro de los límites del pit.

Estos, métodos son ampliamente usados en depósitos masivos y diseminados.

El método de optimización de tajo de Lerchs-Grossman fue usado para determinar el límite de equilibrio del tajo económico. Este método es escogido sobre la alternativa del cono flotante por ser un mejor optimizador para cuerpos de mineral discontinuos donde una zona de mineral puede compartir algunos gastos de extracción de desmonte con otra zona cercana (es decir extracción de desmonte compartido).

BIBLIOGRAFIA

Tesis diseño de minas a tajo abierto, presentado por TOMAS GONZALES PAIHUA.

Diseño y planificación de explotaciones a cielo abierto mediante algoritmos de optimización, FERNANDO GARCÍA BASTANTE (UNIVERSIDAD DE VIGO).

Tópicos de ingeniería de minas a rajo abierto, capítulo 2, p. n. calder.