[확실개념 물리] 제 3장 힘 일 에너지 90

2. 일과 에너지

2.1 에너지

일상생활에서 에너지라는 말은 여러 가지로 사용된다. 그러나 과학에서의 에너지는

일과 관련하여 다음과 같이 정의된다.

즉, 다른 물체에 힘을 작용하여 그것을 이동 시킬 수 있는 능력을 가지고 있다면

그 물체는 에너지를 가지고 있는 것이다.

에너지를 가지고 있는 물체의 예를 몇 가지 살펴보자. 먼저 구르고 있는 구슬은 다

른 구슬과 충돌하는 순간 그 구슬에 힘을 작용하고, 힘이 작용하는 동안 구슬을 이

동시킨다. 따라서 구르고 있는 구슬은 에너지를 가지고 있다.

높이 있는 물은 떨어지면서 물레방아에 힘을 가해 그것을 돌릴 수 있다. 따라서 높

이 있는 물은 에너지를 가지고 있다.

압축된 용수철은 탄알에 힘을 주어 탄알을 이동 시킬 수 있다. 따라서 압축된 용수

철은 에너지를 가지고 있다.

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에너지는 일을 할 수 있는 능력이므로 에너지의 단위는 일의 단위와 같이 주울(J)

이다.

2.2 일과 운동 에너지

한 물체가 다른 물체에 힘을 지속적으로 작용하여 일정 거리를 이동시킬 때 일을

하였다고 한다는 것을 알았다. 그런데 그 과정에서 일이 가해진 물체에는 어떤 변

화가 일어날까? 아래와 같이 마찰이 없는 표면에서 물체에 일을 하는 예를 살펴보

자.

일정한 힘이 가해지는 동안 물체는 일정한 가속도를 갖게 된다. 따라서 속력이 일

정한 비율로 커진다. 이러한 등가속도 운동을 하여 시간 t 후에 속력이 v에 도달하

였다면 그 시간 동안의 평균 속력은(위의 운동은 힘과 운동 방향이 같으며, 한 방향

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으로 이동하는 운동이므로 속도는 속력으로, 변위는 이동 거리로 대체하여 사용할

수 있다.)

평균 속력 = (최종 속력 + 최초 속력) /2 = 최종 속력 /2

또는

v평균 = ½v

이다. 그리고

이동 거리 = 평균 속력 x 걸린 시간

또는

d = ½vt

이므로 시간을 거리와 속력으로 나타내면

걸린 시간 = 이동 거리 / 평균 속력 = 2x이동 거리 / 최종 속력

또는

t = d/(½v) = 2d/v

이다. 또한

가속도 = 속력의 변화 / 걸린 시간 = 최종 속력2/(2x이동 거리)

또는

a = v/t = v2/2s

이므로

힘 = 질량 x 가속도 = 질량 x 최종 속력2/(2x이동 거리)

또는

F = ma = mv2/2s

이다. 그러므로 힘 F가 물체에 한 일은

힘 F가 물체에 한 일 = 힘 x 이동 거리 = (질량 x 최종 속력2)/2

또는

[확실개념 물리] 제 3장 힘 일 에너지 93

W = F x s = ½mv2

이다. 질량이 m인 물체가 v의 속력으로 운동을 할 때 ½mv2를 그 물체의 운동 에너

지라고 한다. 그것은 그 물체가 다시 정지하게 될 때(v=0) 다른 물체에게 ½mv2만

큼의 일을 할 수 있기 때문이다.(에너지란 일을 할 수 있는 능력이라는 것을 상기하

여라.)

즉, 위의 예에서 힘 F가 물체에 한 일의 양은 물체의 운동 에너지의 증가량과 같

다. 일반적으로 초기 속력이 v1이고, 최종 속력이 v2라면

힘이 물체에 한 일의 양 = 운동 에너지의 변화량

또는

W = ½mv22 - ½mv1

2

이다.

만약 물체의 이동방향과 반대 방향으로 힘이 작용하면 물체는 감속하게 되므로

v2<v1이다. 즉, 힘이 물체에 - 일을 할 때에는 물체의 속력과 운동 에너지가 감소

한다.

이번에는 바닥에 마찰이 있는 경우를 생각해보자.

만약 힘 F가 마찰력과 크기가 같고 방향이 반대라면

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F가 하는 일 = F x s

이고,

마찰력이 하는 일 = F마찰 x s = -F x s

이다. 따라서 두 힘이 한 일은 서로 상쇄된다. 이 경우 물체에 작용하는 알짜힘이 0

이므로 물체는 등속 직선 운동을 할 것이다. 따라서 속력의 변화가 없고, 운동 에너

지의 변화도 없다. 이것으로부터 평형을 이루는 두 힘에 의한 운동 에너지의 변화

는 0이라는 것을 알 수 있다.

이번에는 힘 F가 마찰력보다 큰 경우를 살펴보자. 예를 들어 F의 크기가 마찰력의

3배라고 해보자. 그런 경우 F마찰 = -⅓F이고, F알짜 = ⅔F이다.

F에 의한 일 = F x s

이고,

마찰력에 의한 일 = -⅓F x s

이므로 두 힘이 한 일을 합하면

W알짜 = (F x s) + (-⅓F x s) = ⅔F x s

이다. 즉, W알짜는 알짜힘 F알짜가 한 일과 같다. 이 운동은 물체에 알짜힘과 같은

크기의 한 힘이 작용할 때와 같다. 그때 물체의 운동 에너지 변화량은 알짜힘이 한

일의 양과 같다. 즉,

W알짜 = 운동 에너지 변화량 = ½mv22 - ½mv1

2

이다. 물체에 작용하는 힘에 의한 일과 물체의 운동 에너지 사이의 관계는 다음과

같이 정리할 수 있다.

물체의 운동 에너지의 변화량은 물체에 작용하는 알짜힘이 한 일의 양과 같다.

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2.3 일과 중력 위치 에너지

이번에는 물체를 수직으로 이동시키는 예를 생각해보자. 질량이 m인 물체에 작용하

는 중력은 mg이므로 이 물체를 들어올리기 위해서는 mg보다 큰 힘이 필요하다. 만

약 들어 올리는 힘이 mg에 비해 크다면 물체에 작용하는 알짜힘이 위로 작용하므

로 위로 올라가면서 속력이 커질 것이다.

mg보다 크기는 하지만 그 차이가 극히 작은 힘으로 들어 올리는 경우를 상상해보

자. 이 경우 알짜힘이 거의 0에 가까우므로 가속도 역시 거의 0에 가까울 것이다.

따라서 높이 h에 도달하였을 때 속력이 거의 0에 가까울 것이므로 운동 에너지의

변화는 없다.

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이때

힘 F가 물체에 한 일 = W = 힘 x 변위 = (mg)xh = mgh

이다. 이때 mgh를 중력 위치 에너지라고 부른다. 그것은 질량이 m이고 기준면으로

부터 h만큼 위에 있는 물체가 다시 기준면의 높이로 떨어질 때 mgh만큼의 일을 다

른 물체에 할 수 있기 때문이다.

위의 예에서 물체에 작용하는 힘은 두 가지이다. 하나는 이미 살펴본 힘이고, 나머

지는 중력이다. 중력도 물체가 운동을 하는 동안 계속 작용하고 있으므로 물체에

일을 한다. 중력이 한 일은 얼마일까?

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물체의 이동 방향을 +라고 하면 중력은 -mg가 되므로

중력이 한 일 = 힘 x 변위 = -mgh

이다. 즉, 물체를 들어 올리는 힘이 하는 일과 크기는 같고 부호가 반대이다.

위와 같이 수직으로 무게와 같은 힘으로 위로 물체를 들어 올릴 때 알짜힘은 0이

다. 이때 물체의 운동 에너지는 변화하지 않는다.(즉, 속력이 변하지 않는다.) 그러

나 힘 F가 한 일은 물체의 위치 에너지를 증가시킨다.

만약 힘 F가 중력보다 크다면 알짜힘이 있다. 따라서 이 알짜힘에 의해 운동 에너

지도 동시에 증가한다.

위치 에너지는 물체의 위치 또는 상태에 따라 달라지는 에너지를 말한다. 중력 위

치 에너지 외에도 흔히 접하는 위치 에너지에는 용수철의 탄성 위치 에너지가 있으

며, 이것에 대해서는 2.5절에서 다루게 된다.

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2.4 자유낙하 운동에서의 운동 에너지와 위치 에너지

자유낙하 하는 물체에는 중력이 계속 작용하므로 일정한 가속도를 가지고 운동을

한다. 따라서 자유낙하 하는 물체의 속력은 아래로 내려오면서 점점 커진다. 그것은

중력 위치 에너지(h에 비례)는 감소하고 운동 에너지(v2에 비례)는 증가한다는 것을

알려준다. 그렇다면 자유낙하 하는 동안 두 에너지 사이에는 어떤 관계가 있을까?

[확실개념 물리] 제 3장 힘 일 에너지 99

먼저 물체에 작용하는 힘은 중력뿐이므로 알짜힘은 중력과 같다. 따라서 중력이 하

는 일은 물체의 운동 에너지의 변화량과 같다. 즉,

중력이 한 일 = W = 운동 에너지의 변화량 = ½mv22 - ½mv1

2

이다. 또한 중력이 한 일은 힘x변위이므로

중력이 한 일 = W = 힘 x 변위 = -mg(Δh) = -(mgh2 - mgh1)

= mgh1 - mgh2

이다. 두 식을 같게 놓으면

½mv22 - ½mv1

2 = mgh1 - mgh2

또는

½mv22 + mgh2 = ½mv1

2 +mgh1

이다. 위의 식은 위치 1에서의 운동 에너지와 위치 에너지의 합과 위치 2에서의 운

동 에너지와 위치 에너지의 합이 같다는 것을 말해준다. 이것은 물체가 아래로 내

려오면서 잃어버리는 중력 위치 에너지가 모두 운동 에너지로 바뀌었다는 것을 뜻

한다.

이 원리는 몇 가지 상항에 유용하게 적용될 수 있다. 롤러코스터를 타는 동안 자동

차와 선로 사이의 마찰을 무시한다면 자동차가 운동하는 동안 중력만 작용하므로

자동차는 운동 에너지를 위치 에너지로 또는 위치 에너지를 운동 에너지로 바꾸면

서 이동한다.

[확실개념 물리] 제 3장 힘 일 에너지 100

예를 들어 아래 그림에서와 같이 A점을 출발한 자동차는 B점으로 이동하면서 위치

에너지는 줄어들지만 속력이 빨라지면서 운동 에너지가 증가한다. C점에 이르렀을

때 속력이 가장 크며(운동 에너지가 최고), D점으로 이동하면서 운동 에너지가 위

치 에너지로 바뀐다.

진자에서도 같은 현상이 일어난다. 진자를 들어 올리면 위치 에너지를 갖게 되고,

손을 놓으면 아래로 내려오면서 위치 에너지가 운동 에너지로 바뀐다. 공기 저항을

무시하면 B점에 도달하여 mg(Δh)만큼의 위치 에너지가 운동 에너지로 바뀌어서 속

력이 가장 빠르다. B점에서 C점으로 가면서 운동 에너지가 위치 에너지로 바뀌고

C점에 도달하여 속력이 0이 된 후 운동 방향이 바뀐다.

MIT TechTV: Potential Energy to Kinetic Energy

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2.5 용수철에 한 일과 탄성 위치 에너지

용수철에 힘을 가하면 용수철이 변형된다. 이때 힘이 용수철에 한 일은 얼마일까?

용수철에 가해진 힘 F와 변형된 길이 x 사이에는 다음의 관계가 있다.

F = kx

이때 k는 용수철을 늘이기 어려운 정도를 나타내는 상수로서(용수철의 특성), 용수

철 상수라고 부른다.

용수철을 늘이는 동안 용수철에 가해진 힘은 일정하지 않고 늘어난 길이에 따라 일

정한 비율로 커진다는 것을 위의 식이 말해준다. 따라서 용수철이 늘어나지 않은

상태에서 x까지 늘이는 동안 가해진 힘의 평균값은

F평균 = (0 + kx)/2 = ½kx

[확실개념 물리] 제 3장 힘 일 에너지 102

이다. 따라서 용수철을 x만큼 늘이는 동안

힘 F가 한 일 = W = 힘 x 변위 = (F평균) x (x) = ½kx2

이다. 이때 ½kx2를 탄성 위치 에너지라고 부른다. 그것은 변형된 용수철이 원래의

모양으로 돌아가면서 다른 물체에게 ½kx2만큼의 일을 할 수 있기 때문이다. 위의

식은 용수철에 힘을 작용하여 한 일은 탄성 위치 에너지의 변화량과 같다는 것을

말해준다.

이때 탄성력이 한 일은 어떨까? 탄성력은 용수철을 변형시킨 힘과 크기가 같고 방

향이 반대이다. 따라서

탄성력이 한 일 = W = 힘 x 변위 = (-F평균) x (x) = -½kx2

이다. 즉, 용수철을 변형시킨 힘이 한 일과 크기는 같고 부호는 반대이다. 이 두 힘

은 항상 함께 존재하므로(작용-반작용) 두 힘이 용수철에 한 일의 합은 0이다. 즉

알짜힘이 없으므로 알짜로 하는 일은 없다. 하지만 탄성력에 대항하여 일을 하면

탄성 위치 에너지가 증가한다. 이것은 중력과 중력에 대항하여 물체를 들어 올리는

힘의 경우와 비슷하다.

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