2 Coordenadas y matrices elementales Cálculo matricial de estructuras Guillermo Rus Carlborg.

2Coordenadas y matrices elementales

Cálculo matricial de estructuras

Guillermo Rus Carlborg

Coordenadas Matrices elementales Transformación


Índice

Sistemas de coordenadas Obtención de las matrices de rigidez elementales

Elemento articulado Elemento viga Elemento viga con deformación a cortante Elemento de emparrillado Elemento viga 3D

Transformación de coordenadas



Conocimientos previos

Diagrama de Tonti:

Discretización:

Matriz de rigidez:

Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0



Sistemas de coordenadas Global

Nodal

Local (´)

Sirve para definir: Topología Geometría de nudos GDL

Para definir condiciones de contorno especiales

Para definir los GDL en cada elemento



Sistemas de coordenadas: GDL

Articulada 2D GDL en nudos

GDL en barras(´)= coordenadas

locales



Sistemas de coordenadas: GDL

Pórtico 2D GDL en nudos

GDL en barras



Sistemas de coordenadas: GDL Emparrillado

GDL en nudos

Articulada 3D

Pórtico 3D



Elemento articulado (2D=3D)

Kij es la fuerza en GDL i cuando uj=1, uj=0



Elemento viga 2D

Para estructuras pórtico 2D Kij es la fuerza en GDL i cuando uj=1, uj=0



Elemento viga con deformación a cortante Hipótesis:

Integramos uf+uc Establecemos condiciones de contorno para:



Elemento viga con deformación a cortante



Elemento de emparrillado



Elemento viga 3D



Transformación de coordenadas Conocemos el comportamiento de cada elemento

Combinaremos comportamientos localespara establecer el global de la estructura

Para ello necesitamos cambiar de sistema




Una magnitud vectorial se puede representar en varios sistemas de coordenadas: Cosenos

directores

Una traslación no afecta, porque p,δ

sólo indican dirección

Matriz de giro




También necesitaremos hacer la transformación inversa para los esfuerzos p´.

Como LDT no siempre es invertible, recurrimos a que el trabajo es el mismo representado en cualquier sistema de coordenadas:




Transformación de p’ y δ de barra articulada 2D




Transformación de p’ y δ de viga de pórtico 2D




Transformación de p’ y δ de emparrillado




Transformación de p’ y δ de barra articulada 3D




Transformación de p’ y δ de viga de pórtico 3D




Transformación de la matriz de rigidez k’ Sustituyendo definiciones anteriores:

Además, dada la forma de L:



Resumen

Coordenadas:

Matrices elementales:

Transf. coordenadas:

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