2 ． 6 　 诱导公式　 一、素质教育目标( 一 ) 知识教学点1 ．理解诱导公式的推导方法．2 ．掌握并运用诱导公式求三角函数值、化简或证明三角函数式． ( 二 ) 能力训练点1 ．理解掌握诱导公式及应用，提高三角恒等变形能力．2 ．树立化归思想方法，将任意角的三角函数值问题转化为 0° ～ 90° 间的角的三角函数值问题，培养学生化归转化能力．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1 ．教学重点：理解并掌握诱导公式．2 ．教学难点：运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式． 3 ．教学疑点：运用诱导公式时符号的确定．

三、课时安排本课题安排 1 课时．四、教与学过程设计( 一 ) 复习诱导公式一师：我们已经学习过诱导公式一，即终边相同的角的同一三角函数的值相等，这组公式是如何表达的？它们的作用是什么？生：诱导公式一可这样表达：sin(2kπ+α)=sinα ；　　　　　　　　　 cosα(2kπ+α)=cosα ；tg(2kπ+α)=tgα ；　　　　　　　　　　 ctg(2kπ+α)=ctgα ．利用诱导公式一可以把求任意角的三角函数值的问题，转化为求 0° ～ 360°(0 ～ 2π) 间角的三角函数值的问题．

师：学习诱导公式的基本思想方法是化归转化，如果我们能把求 90° ～ 360° 间的角的三角函数值转化为求 0° ～ 90° 间的角的三角函数值，那么任意角的三角函数值就都能通过查表来求．设 0°≤α≤90° ，则 90° ～ 180° 间的角，可以写成 180°-α ；180° ～ 270° 间的角，可以写成 180°+α ； 270° ～ 360°间的角，可以写成 360°-α ．下面我们依次讨论 180°+α ， -α ， 180-α ， 360°-α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系．为了使讨论更具有一般性，这里假定 α为任意角．( 布置学生阅读 P ． 152—153 初步了解诱导公式二、公式三的推导过程． )( 二 ) 诱导公式二、三师：首先我们先介绍单位圆概念，如图 2-18 示，以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆，这样的圆称为单位圆．下面我们利用单位圆和任意角三角函数的定义来推导诱导公式二、三．推导之前，请一位同学回答分别关于 x 轴， y 轴，原点对称的两个点的坐标间的关系．

生：设点 P(x 、 y) ，它关于 x 轴、 y 轴、原点对称的点坐标分别是 P1(x ， -y) ， P2(-x ， -y) ， P3(-x ， -y) ．师：请同学们作出一个任意角 α 的终边，再作出 180°+α 角的终边，它们与单位圆的交点有何特征？为什么？生：如图 2-18 ，任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x ，y) ．由于角 180°+α 的终边就是角 α 终边的反向延长线，角 180°+α 的终边与单位圆的交点 P′ ，是与点 P 关于点O 对称的。师：正由于点 P 与点 P′ 关于原点 O 中心对称，所以 P′坐标是 (-x ， -y) ，又因单位圆半径 r=1 ，由正弦函数和余弦函数的定义可得到

因此， sin(180°+α)=-sinα ， cos(180°+α)=-cosα ，请同学们思考能否由同角三角函数关系式推导出 tg(180°+α) ， ctg(180°+α) 化简结果？生：由同角三角函数间的基本关系式，可得到

师：因此我们可以得到诱导公式二sin(180°+α)=-sinα ， cos(180°+α)=-cosα ，tg(180°+α)=tgα ， ctg(180°+α)=ctgα ．例 1 　 求下列各三角函数值

师：我们再来研究角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系．请同学们作出任意角 α 与 -α 的终边，它们与单位圆的交点有何特征？为什么？生：如图 2-19 ，任意角 α 的终边与单位圆相交于 P(x ，y) ，角 -α 的终边与单位圆相交于点 p′ ，从图上可观察得到 P 与 P′ 关于 x 轴成轴对称．师：这位同学回答得正确！由于角 α 与 -α 是由射线从x 轴的正半轴开始，按相反的方向绕原点作相同大小的旋转而成的，这两个角的终边关于 x 轴对称，因此，点 p′ 的坐标为 (x ， -y) ，由于 r=1 ，

我们得到 sinα(-α)=-y ， cos(-α)=x ，从而 sin(-α)=-sinα ， (cos(-α)=cosα ．如何由同角三角函数关系式推导出 tg(-α) ． ctg(-α) 的化简结果？生：由同角三角函数关系式可得到

师：因此我们可以得到诱导公式三sin(-α)=-sinα ， cos(-α)=cosα ，tg(-a)=-tgα ， ctg(-α)=-ctgα ．例 2 　 求下列各三角函数值(1)sin(-400°)=-sin(360°+40°)=-sin40°=-0.6428 ，

解：∵　 ctg(-α-180°)=ctg[-(180°+α)]=-ctg(180°+α)=- ctgα ，sin(-180°-α)=sin[-(180°+α)]=-sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα ．

课堂练习： P ． 155 中练习 3(1) 、 (3) 、 (6) ； 4 ．( 三 ) 诱导公式四、五师：请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导 180°-α 与 α 的三角函数值之间的关系？生：由诱导公式我们可以得到sin(180°-α)=sin[180°+(-α)]=-sin(-α)=sinα ；cosα(180°-α)=cos[180°+(-α)]=-cos(-α)=-cosα ；tg(180°-α)=tg[180°+(-α)]=tg(-α)=-tgα ；ctg(180°-α)=ctg[180°+(-α)]=ctg(-α)=-ctgα ．

公式四：sin(180°-α)=sinα ， cos(180°-α)=-cosα ， tg(180°-α)=-tgα ， ctg(180°-α)=-ctgα ．师：请大家再思考如何利用已学过的诱导公式推导 360°-α 与 α 的三角函数值之间的关系．生：由诱导公式我们可以得到：sin(360°-α)=sin(-α)=-sinα ， cos(360°-α)=cos(-α)=cosα ，tg(360°-α)=tg(-α)=-tgα ，　 ctg(360°-α)=ctg(-α)=-ctgα ．师：于是我们得到诱导公式五sin(360°-α)=-sinα ， cos(=360°-α)=cosα ，tg(360°-α)=-tgα ， ctg(360°-α)=-ctgα ．公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式．

上面这些诱导公式，可以概括如下：k·360°+α(k z)∈ ， -α ， 180°±α ， 360°-α 的三角函数值等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀。请同学思考利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤，即如何利用诱导公式将任意角的三角函数求值问题化归成锐角三角函数求值问题？请看下面例题后总结其步骤．例 4 　 求下列各三角函数值

(2)cos(-1665°)=-cos1665°=-cos(4×360°+225°)=-cos225°

师：反思例 4 的解题过程，请一位同学总结．生：利用诱导公式求任意角的三角函数值，一般可按以下步骤进行：

师：运用诱导公式解题本质上是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化大角为周内角，再化为锐角．

( 四 ) 课堂练习P ． 158 中 1 、 3(1)(2)(3) ； 4(1)(2) ．

( 五 ) 总结本节课我们学习了 π±α ， -α ， 2π-α 形式的诱导公式，可用口诀“函数名不变，符号看象限”来帮助记忆，正确掌握诱导公式符号是运用诱导公式解题的关键．五、作业P ． 163 中 1(1)(3)(5)(7)(9) ； 2 、 3 、 4(1)(3)(5)(7)(9)(11) ；5 、 6 ．六、板书设计

七、参考资料《高中数学精讲精练》 ( 一 )《三点一测丛书》高一数学