2 200 - pe03.gr · 2018. 7. 19. · Η Στήλη των Μαθηματικών.Τετάρτη 4...

200

0 -4email

kdortsigmail com

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 4 Ιανουαρίου 2012 14

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο

τ Σχ Σύμβουλο Μαθηματικών

Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων

Ο Αριστοτέλης και τα Μαθηματικά

Οι αναφορές στα παράδοξα του Ζήνωνα

Εύδοξος ο Κνίδιος Το laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo αποτελεί ένα σπουδαίο laquoεύρημαraquo του Ευδόξου το οποίο κατάφερε όπως αναφέρθηκε (ΣΜ293) να δώσει απάντηση στο αδιέξοδο των Πυθαγορείων με την ανακάλυψη των ασύμμετρων αριθμών Πριν δούμε πώς αυτό το αξίωμα βοήθησε στο ξεπέρασμα των αδιεξόδων στα οποία οδηγούσαν τα παράδοξα του Ζήνωνα αξίζει να το σχολιάσουμε εκτενέστερα Στο βιβλίο laquoΕύδοξος ο Κνίδιος Ένας μεγάλος άγνωστοςraquo του Ε Σπανδάγου εκδόσεις laquoΑίθραraquo σελίδα 29 διαβάζει κανείς για το laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo τα εξής laquoΟ τέταρτος ορισμός θεωρείται ο πρόδρομος του περίφημου Αξιώματος του Αρχιμήδους (το οποίο αρκετοί συγγραφείς το αποκαλούν και ως αξίωμα του Αρχιμήδους ndash Ευδόξου) σύμφωνα με το οποίο ισχύει Αν δοθούν δύο ομοειδή μεγέθη α β με α βlt υπάρχει πάντα ένας θετικός ακέραιος ν ώστε να βgt raquo Αν τα ομοειδή μεγέθη τα θεωρήσουμε πως είναι ευθύγραμμα τμήματα τότε το laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo λέει Έστω ότι μας δίνονται τα ευθύγραμμα τμήματα αΑΒ = και βΓΔ = τέτοια ώστε

ΑΒ lt ΓΔ τότε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός ν τέτοιος που όταν πολλαπλασιάζει το μικρό τμήμα δίνει ως αποτέλεσμα ένα τμήμα μεγαλύτερο του μεγάλου τμήματος Δηλαδή για το γινόμενο αυτό ισχύει

νΑΒ gt ΓΔ Η πρόταση αυτή σχηματικά ερμηνεύται Αν έχουμε τα κατωτέρω ευθύγραμμα τμήματα

τότε υπάρχει φυσικός αριθμός ν που αν πολλαπλασιάσει το μικρό δίνει αποτέλεσμα που ξεπερνά το μεγαλύτερο τμήμα

No294


Δηλαδή

Μαθηματικές προκλήσεις ndash προσκλήσεις ndash ασκήσεις

393 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

[ ] [ ] ( ) 1f a b a brarr όπου a b R+isin με a blt Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο

[ ]a bθ isin τέτοιο ώστε ( ) ( )2 22f fθ θ θ θ+ =

(Θεώρημα Bolzano Κ Γιαννιτσιώτη Α Καραγεώργος) Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο

( ) ( ) ( )2 22g x f x xf x x= + minus η οποία έχει το ίδιο πεδίο ορισμού με την f

Για τη συνάρτηση αυτή ισχύει

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2g a f a af a a= + minus

( ) ( ) ( ) ( )2 22 3g b f b bf b b= + minus Όμως από την (1) κι επειδή 0a b gt ισχύει

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

4 675

a f a b a f a ba f b ba f b b

le le ⎫ le le⎪rArr⎬ le lele le ⎪⎭

Επίσης από την (4) και (5) προκύπτει

( ) ( )( ) ( )

2

2

8

9

a af a ab

ab bf b b

le le

le le

Προσθέτοντας τις (6) και (8) κατά μέλη έχουμε

( ) ( )2 2 2 2a a f a af a b ab+ le + le + από την οποία προκύπτει

( ) ( ) ( )2 22 0 10f a af a a+ minus ge


Όμοια προσθέτοντας τις (7) και (9) κατά μέλη έχουμε

( ) ( ) ( )2 22 0 11f b bf b b+ minus le από τις (10) και (11) και εφαρμόζοντας το θεώρημα του Bolzano στο διάστημα [ ]a b προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα [ ]a bθ isin τέτοιο ώστε

( ) ( )2 22 0f fθ θ θ θ+ minus = Δηλαδή γιrsquo αυτό το θ ισχύει

( ) ( )2 22f fθ θ θ θ+ = δηλαδή η σχέση που ζητούσαμε

394 Να δειχθεί ότι ο αριθμός

99

999 1έφ ορ ς

α αΑ = isinΝ minus

δεν είναι πρώτος (T Andreescu-BEnescu Olympiade de Matematica)

Λύση Ο αριθμός Α είναι γραμμένος στο δεκαδικό σύστημα και συνεπώς το τελευταίο ψηφίο του a μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές

23 456789a = Για τον αριθμόa διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις

1η περίπτωση Έστω πως είναι

2 468a = τότε ο αριθμός Α είναι σύνθετος διότι είναι πάντα άρτιος δηλαδή διαιρείται με το 2 2η περίπτωση Έστω πως είναι

39a = τότε ο αριθμός Α είναι πάλι σύνθετος γιατί το άθροισμα των ψηφίων του είναι πάντα διαιρετό με το 3και συνεπώς ο αριθμός αυτός διαιρείται με το 3 3η περίπτωση Έστω πως είναι

5a = τότε ο αριθμός Α θα είναι σύνθετος γιατί θα διαιρείται με τον αριθμό 5 4η περίπτωση Απομένει να ελεγχθεί η περίπτωση

7a = Έστω λοιπόν πως είναι 7a = τότε ο αριθμός Α παίρνει τη μορφή

99

9999 10 7έφορ ς

Α = sdot + rArr


( )98 97 969 10 10 10 10 1 10 7Α = + + + + + sdot + rArr

9Α =9910 1

10 1minus

sdotminus

10 7⎛ ⎞

sdot + rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( ) ( )

( )

( )

99 100 100

50 1002 50

2550 2

25 25

525 5

5 5

10 1 10 7 10 10 7 10 3

10 3 100 3 13 9 3

13 9 3 13 9 3

13 81 3 13 ( 13 3) 3

13 13 3 3 13 3 3

13 243 3 13 ( 13 9) 313 13

πολ

πολ πολ

πολ πολ πολ



πολ πολ

Α = minus sdot + = minus + = minus =

= minus = minus = + minus =

= + minus = + minus =

= + minus = + + minus =

= + + minus = + minus =


= + + 5 59 3 13 9 313 59049 3 13 5904613 13 4542 13

13

πολπολ πολπολ πολ

πολ

minus = + minus == + minus = + == + sdot = rArr

rArrΑ =

Δηλαδή ο αριθμός αυτός είναι πάντα σύνθετος

Για την άλλη φορά

428 Δίνεται περιγράψιμο σε κύκλο τετράπλευρο ΑΒΓΔ όπου

α β γ δΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΑ = τα μήκη τον πλευρών του

Να αποδειχθεί ότι

2 2αδ ημ βγ ημΑ Γ

sdot = sdot

Παράρτημα της ΕΜΕ 2ο ΕνΛύκειο Κοζάνης

Κάλβου 50100 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά emekozanisyahoogr







Εύδοξος ο Κνίδιος Για τη μεγάλη σημασία του έργου που παρουσίασε ο Εύδοξος σχετικά με την προώθηση των μαθηματικών και τη γεφύρωση του χάσματος από την εποχή των Πυθαγορείων που αφορούσε τη θεμελίωση των άρρητων αριθμών αναφέρθηκαν και οι μεγάλοι μελετητές της Ιστορίας των Μαθηματικών Ο ιστορικός Gino Loria (1862-1954) στο μεγάλο έργο του laquoΙστορία των Μαθηματικώνraquo γράφει laquoΟἱ χρόνοι κατά τούς ὁποίους ὁ Πλάτων ἤσκησε τήν πνευματικήν καί διδακτικήν του δράσιν συμπίπτουν περίπου μέ τούς χρόνους τῆς ἀκμῆς ἑνός ἀπό τούς ἐξοχωτέρους ἐκπροσώπους τῆς διανοήσεωςhellip Ὁμιλοῦμεν διά τόν Εὐδοξον Αἰσχίνου τόν Κνίδιον(407-354 πΧ) (Ιστορία των Μαθηματικών Τόμ1 σελ59) Στον εξοχότατο αυτό μαθηματικό της ελληνικής αρχαιότητας ο Gino Loria αποδίδει και το laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo γράφοντας laquoἘάν ὡς δεικνύουν τά πράγματα ὁ Εύδοξος εἶχεν ἀποδείξει τά σημαντικά αὐτά θεωρήματα πρέπει νrsquo ἀποδώσωμεν εἰς αὐτόν καί την δόξαν ὃτι εἶχεν ἤδη διατυπώσει καί ἐφαρμόσει μίαν γενικωτάτην ἀρχήν ἰσοδύναμον πρός τό περίφημον ἀξίωμα του Ἀρχιμήδους

laquoδοθέντων δύο ὁμοειδῶν μεγεθῶν ὑπάρχει πάντοτε πολλαπλάσιον τοῦ μικροτέρου ὑπερβαίνον τό μεγαλύτερονraquo

(Ιστορία των Μαθηματικών Τόμ1 σελ60) Είναι φανερή η πρόθεση του Ιταλού αυτού ιστορικού να δηλώσει το μεγαλείο του πνεύματος καθώς και της προσφοράς στη μαθηματική επιστήμη του Κνίδιου αυτού μαθηματικού Οι χαρακτηρισμοί laquoεξοχότερος εκπρόσωπος της διανόησηςraquo και laquoπρέπει νrsquo αποδώσουμε σrsquo αυτόν και τη δόξαraquo εκφράζουν τη βαθιά πεποίθηση της μεγάλης και αξιόλογης συνεισφοράς του Ευδόξου στην εξέλιξη των μαθηματικών Ο Gino Loria αποδίδει στον Εύδοξο και σημαντικές τελειοποιήσεις στις μέχρι την εποχή του λύσεις του δηλίου προβλήματος καθώς και στις μελέτες του στην Αστρονομία Τέλος το laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo όπως το αναφέρει ο Gino Loria είναι η πρόταση εκείνη που αναφέρθηκε και προηγούμενα με δύο διαφορετικές εκφράσεις (ΣΜ293 και ΣΜ 294)

No295

Gino Loria(1862-1954)


Έτσι μέχρι τώρα το αξίωμα αυτό το είδαμε με τρείς διατυπώσεις 1η laquoΔοθέντων δύο ομοειδών μεγεθών υπάρχει πάντοτε πολλαπλάσιον του μικροτέρου υπερβαίνον τό μεγαλύτερονraquo(Gino Loria) 2η Αν δοθούν δύο ομοειδή μεγέθη α β με α βlt υπάρχει πάντα ένας θετικός ακέραιος ν ώστε να βgt (ΣΜ294) 2η Αν δοθούν δύο άνισα μεγέθη η διαφορά αυτών πολλαπλασιασμένη με κάποιον αριθμό ξεπερνά το μεγάλο μέγεθος (ΣΜ 293)


395 Έστω ο μιγαδικός αριθμός ( )( )1 1w z iz= minus minus

Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z όταν

1ο) Ο αριθμός w Risin 2ο) Ο αριθμός w C Risin minus

Λύση Έστω

z a bi a b R= + isin 1η περίπτωση

Έστω ότι

( )1w Risin τότε η (1) ισοδυναμεί

( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1w w z iz z izhArr = hArr minus minus = minus minus hArr

( )( ) ( ) ( )1 1 1 1z iz z izhArr minus minus = minus sdot minus hArr


( )( ) ( ) ( )1 1 1 1z iz z i zhArr minus minus = minus sdot minus sdot hArr

( )( ) ( ) ( )1 1 1 1z iz z i zhArr minus minus = minus sdot + sdot hArr

1hArr 2 1iz z izminus minus + = ( )2i z z i z+ sdot minus minus sdot hArr

( )22 0iz z iz i z z i zhArr minus minus + minus sdot + + sdot = hArr

( ) ( ) ( ) ( )22 0 2i z z z z i z zhArr minus + minus minus + minus =


κι επειδή

2 2 2

2 2 2

2 22

2

z z a z z biz a b abi

z a b abi

+ = minus =

= minus +

= minus minus

η σχέση (2) ισοδυναμεί

( )( ) ( ) 2 2

2

2 2 2i a bi i a b abi

hArr

minus minus + minus + 2 2 2a b abi+ minus minus( ) 0=

( ) ( )2 22 2 0i a b i a bhArr minus + + minus = hArr

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 0 0a b a b a b a b a bhArr minus + + minus = hArr minus + + minus + = hArr

( ) ( ) ( )( )1 0 1 0a b a b a b a bhArr + minus + minus = hArr + minus minus = hArr⎡ ⎤⎣ ⎦

( )( ) ( )( )

0 31 0

1 1 4a b b a

a b a ba b b a+ = hArr = minus⎧⎪hArr + minus minus = hArr ⎨ minus = hArr = minus⎪⎩

bull Έστω ότι είναι

b a= minus τότε

z a ai a R= minus isin Άρα

x a x a

y x y x x Ry a y a= =⎫ ⎫

rArr rArr minus = hArr = minus isin⎬ ⎬= minus minus =⎭ ⎭

Έτσι στην περίπτωση αυτή οι εικόνες Μ των μιγαδικών αριθμών z ανήκουν στη διχοτόμο 1( )e της δεύτερης γωνίας των αξόνων (Σχ1)


1b a= minus τότε

( )1 z a a i a R= + minus isin Άρα

1 11 1

x a x ay x y x x R

y a y a= =⎫ ⎫

rArr rArr + = hArr = minus isin⎬ ⎬= minus + =⎭ ⎭


Άρα οι εικόνες Μ(z) ανήκουν στην ευθεία 2( )e (Σχ1) 2η περίπτωση

Έστω ότι

( )5w C Risin minus τότε η (5) ισοδυναμεί αντίστοιχα με

( ) ( )( ) ( )( )5 1 1 1 1w w z iz z izhArr = minus hArr minus minus = minus minus minus Εκτελώντας τις πράξεις όπως και πριν καταλήγουμε στην ισοδυναμία

( ) ( )5 2 1 0 6a b abhArr + minus + = Αν θέσουμε τώρα a x b y= = η σχέση (6) γίνεται

( )1 72 1xyx+

=minus

Άρα οι εικόνες των Μ(z) ανήκουν στην υπερβολή ( )c που εκφράζει η (7) (Σχ1)


429 Αν για τους θετικούς αριθμούς a b c ισχύει 2 2 2 3ab bc ca+ + =

τότε να δειχθεί

( )4 4 43 3 37 7 7 2a b c a b c+ + + + + le + +



Σχήμα 1







Εύδοξος ο Κνίδιος Κλείνοντας την αναφορά μας στο έργο του Ευδόξου και χωρίς να το έχουμε εξαντλήσει στην όλη του έκταση θα αναφερθούμε σύντομα σε μερικές ακόμα απόψεις ενός άλλου μεγάλου ιστορικού των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών του Sir Thomas L Heath(1861-1940) Στο δέκατο κεφάλαιο του πρώτου τόμου της laquoΙστορίας των Ελληνικών Μαθηματικώνraquo ο ιστορικός αυτός μιλά για την περίοδο που παρεμβάλλεται από τον Πλάτωνα έως και τον Ευκλείδη Είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο κάνει την εμφάνιση του ο Εύδοξος ο Κνίδιος Στο κεφάλαιο αυτό ο T L Heath γράφει με πολύ αναλυτικό και πειστικό τρόπο για τη ζωή και το έργο του μαθηματικού Ευδόξου Αναφέρεται κυρίως σε τρία θέματα που ανήκουν στη σκέψη και στην πατρότητα του Κνίδιου αυτού μαθηματικού Τα θέματα αυτά είναι (α) Η Θεωρία των αναλογιών (β) Η μέθοδος της εξάντλησης και (γ) Η Θεωρία των ομόκεντρων σφαιρών Στη θεωρία των αναλογιών του βιβλίου αυτού διαβάζουμε laquoΟ ανώνυμος συγγραφέας ενός σχολίου στο Βιβλίο V του Ευκλείδη ο οποίος είναι πιθανότατα ο Πρόκλος αναφέρει ότι ΄΄κάποιοι λένε΄΄ πως αυτό το Βιβλίο που περιέχει τη γενική θεωρία αναλογιών η οποία είναι εξίσου εφαρμόσιμη στη Γεωμετρία στην Αριθμητική στη Μουσική και σε όλες τις μαθηματικές επιστήμες΄΄είναι επινόηση του Ευδόξου΄΄ του δασκάλου του Πλάτωναraquo Για το laquoΑξίωμα της συνέχειαςraquo ή το laquoΑξίωμα του Αρχιμήδηraquo ο T L Heath καταλήγει παρόλο που εκφράζει κάποιες αμφιβολίες ότι ο Εύδοξος υπήρξε ο πρώτος που διατύπωσε την πρόταση αυτή και μάλιστα ο πρώτος που τη χρησιμοποίησε για να αποδείξει τον όγκο της πυραμίδας Η πρόταση αυτή(Ορισμός 4 Βιβλίο V) όπως είναι διατυπωμένη οριστικά πλέον στα Στοιχεία του Ευκλείδη λέει laquoδ΄ Λόγον ἔχειν πρός ἄλληλα μεγέθη λέγεται ἃ δύνανται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχεινraquo

No296

Εξώφυλλο του 1ου τόμου


Δηλαδή laquoΜεγέθη λέγονται ὃτι ἔχουσι λόγον πρός ἄλληλα ὃταν πολλαπλασιαζόμενα δύνανται να ὑπερέχωσιν ἀλλήλωνraquo Ο ορισμός αυτός σύμφωνα με τον Ε Σταμάτη λογίζεται ως το laquoαξίωμα της συνέχειας του Ευδόξουraquo και μάλιστα εκείνος που έκανε την πρώτη αναφορά σrsquo αυτό είναι ο φιλόσοφος Αναξαγόρας Επιπλέον σύμφωνα πάλι με τις απόψεις του έλληνα αυτού ιστορικού το αξίωμα αυτό είναι εκείνο που οδήγησε αργότερα κατά τον 19ο αιώνα τους DedekindndashCantor στην ολοκληρωμένη πια μορφή το αξιώματος αυτού


396 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι ΑΑ΄ΒΒ΄ ΓΓ΄ που τέμνονται στο σημείο Ι Αν ισχύει

( ) 1ΑΓ +ΒΑ +ΓΒ = Γ Β +Α Γ +Β Α να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές

(Ζανταρίδης Νικόλαος Μαθηματικός Έδεσσα) Λύση Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ (Σχ 1) οι ΑΑ ΒΒ ΓΓ είναι οι διχοτόμοι των

γωνιών Α Β Γ αντίστοιχα και α β γΒΓ = ΓΑ = ΑΒ = τότε θα είναι

( ) 2βγ αγ βαα β β γ α γ

ΑΓ = ΒΑ = ΓΒ =+ + +

καθώς επίσης

( ) 3γα αβ βγα β β γ α γ

Γ Β = Α Γ = Β Α =+ + +

Σύμφωνα με τις (2) και (3) η ζητούμενη σχέση ισοδυναμεί

( ) ( )1 4βγ αγ αβ αγ αβ βγα β β γ α γ α β β γ α γ

hArr sdot sdot = sdot sdot+ + + + + +

Η (4) μετά την απαλοιφή των παρονομαστών και την εκτέλεση των πράξεων ισοδυναμεί με την

3 3 3 3 3 3αβ βγ γα αγ βα γβ+ + = + +


ή ακόμα 3 3 3 3 3 3 0αβ βγ γα αγ βα γβhArr + + minus minus minus = hArr

( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 0αβ βα βγ αγ γα γβhArr minus + minus + minus = hArr

( ) ( ) ( )2 2 3 3 3 0αβ β α γ β α γ α βhArr minus + minus + minus = hArr

( ) ( ) ( )3 2 2 0α β αβ β α γ γ α αβ β⎡ ⎤hArr minus minus + minus + + + = hArr⎣ ⎦

( ) 2 2 3 2 2 0α β αβ α β γ γα αβγ γβ⎡ ⎤hArr minus minus minus minus + + + = hArr⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0α β αβ β γ α β γ γ β γ⎡ ⎤hArr minus minus minus minus minus + minus = hArr⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 0α β β γ αβ α γ β γ⎡ ⎤hArr minus minus minus minus + + = hArr⎣ ⎦

( )( ) 2 2 0α β β γ αβ α βγ γ⎡ ⎤hArr minus minus minus minus + + = hArr⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2 2 0α β β γ β α γ α γ⎡ ⎤hArr minus minus minus minus minus minus = hArr⎣ ⎦

( )( )( ) ( ) 0α β β γ α γ β α γhArr minus minus minus minus minus + = hArr⎡ ⎤⎣ ⎦

( )( )( )( ) 0α β β γ α γ β α γhArr minus minus minus minus minus minus = hArr

( ) ( ) ( )( ) ( )0 5α β β γ γ α α β γhArr minus minus minus + + = Από την (5) προκύπτει

ή ήα β β γ γ α= = = που σημαίνει πως το τρίγωνο σε κάθε περίπτωση είναι ισοσκελές

Παρατήρηση Προφανώς ισχύει και το αντίστροφο Δηλαδή αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές

τότε θα ισχύει και η σχέση (1)

397 Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε

( ) [ ) ( )2 63 2 8 4 4 16xx x x f x x xημ+ minus + le sdot le + forall isin minus +infin

i) Να δείξετε ότι ( ) 106

f =

ii) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο ένα ( ]01κ isin έτσι ώστε

( ) 6

6f κκ ημ κ= +


(Κ Γιαννιτσιώτης ΑΚαραγεώργος Θεώρημα Bolzano Σελ 44) Λύση

i) Έστω 0x gt Τότε από την (1) προκύπτει

( ) ( )6

23

( ) ( )

2 8 4 6 2

F x G x

x xx x f xx x

ημ ++ minus +le le

Άρα

( )( ) ( )23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xF x

xrarr + rarr+

+ minus minus + minusbull = =

23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xx xrarr+ rarr +

+ minus + minus= minus =

0

2limx

xrarr+

=8+ 32minus

x ( )2

2 023 3lim

2 8 2 2 8 2 x

x

x x rarr +minus

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

4+ 22minus

x ( )2 4 2x=

+ +

0 0

2 0 1lim lim4 4 4 2 2 6x xrarr+ rarr +

= minus =+ + +

Όμοια είναι

( ) 5

0 0

1 16lim lim 06 66

6x x

x

G x xx

ημ

rarr + rarr+

⎛ ⎞⎜ ⎟

bull = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟sdot⎝ ⎠

Άρα

( ) ( )0 0

lim 1 6 lim 1 6f ή

x xf x f x

συνεχ ς=

rarr+ rarr+= rArr =

και τελικά

( ) ( )0

lim 0 1 6x

f x frarr

= =


430 Να λυθεί η εξίσωση

( )( )

3 3

21 16

161x x x

x xημ συν ημσυν ημ

+=

+ minus









Επανερχόμενοι στη συλλογιστική του Αριστοτέλη σχετικά με τα δύο πρώτα παράδοξα του Ζήνωνα θα δούμε τον τρόπο με τον οποίο αξιοποιώντας το αξίωμα της συνέχειας του Ευδόξου και χρησιμοποιώντας την laquoαπαγωγή σε άτοποraquo ανέτρεψε τη συλλογιστική του Ελεάτη Ζήνωνα (ΣΜ290) Στο πρώτο παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας το αδιέξοδο που στήνει ο Ζήνωνας είναι πως η απόσταση των 100 μέτρων και γενικά η πεπερασμένη απόσταση που χωρίζει τον Αχιλλέα από τη χελώνα διανύεται από τον Αχιλλέα σε άπειρο χρόνο Το ίδιο συμβαίνει και με το δεύτερο παράδοξο της διχοτομίας Ο Αριστοτέλης θέλοντας να ανατρέψει αυτόν ακριβώς τον ισχυρισμό ξεκινάει με τον εξής υποθετικό συλλογισμό laquoἜστω γάρ πεπερασμένον μέγεθος ἐφrsquo οὗ ΑΒ χρόνος δέ ἄπειρος ἐφrsquo ᾧ Γ εἰλήφθω δέ τι τοῦ χρόνου πεπερασμένον ἐφrsquo ᾧ ΓΔ Ἐν τούτῳ

οὖν δίεισί τι τοῦ μεγέθους και ἔστω διεληλυθός ἐφrsquo ᾧ ΒΕraquo ( Φυσική ακρόασις Ζ 233a34-233b1)

Δηλαδή laquoΈστω λοιπόν ένα πεπερασμένο ευθύγραμμο μέγεθος το ΑΒ και Γ ο άπειρος χρόνος Ας θεωρήσουμε ακόμα ένα μέρος του χρόνου έστω το ΓΔ το οποίο είναι πεπερασμένο Κατά τον πεπερασμένο αυτό χρόνο ένα σώμα θα κινηθεί σε ένα μέρος του ΑΒ κι έστω πως αυτό το μέρος είναι το ΒΕraquo Για να κατανοήσουμε καλύτερα και σχηματικά τους συμβολισμούς αυτούς σήμερα θα αναπαραστήσουμε όπως αυτό φαίνεται στο σχήμα 1 τα μεγέθη με τον ακόλουθο τρόπο

No297

Το πεπερασμένο διάστημα (ΑΒ)=ΜΝ

(ΒΕ)=ΜΣ=Το διάστημα που θα κινηθεί το σώμα

σε χρόνο t=(ΓΔ)

Σχήμα 1


Δηλαδή Το πεπερασμένο μέγεθος ΑΒ θα το παραστήσουμε με ένα ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία Μ και Ν Το πεπερασμένο μέρος ΓΔ του χρόνου θα το παραστήσουμε με το συμβολισμό t Τέλος το μέρος του μεγέθους ΑΒ που θα διανυθεί σε πεπερασμένο χρόνο t θα το παραστήσουμε με το διάστημα με άκρα τα σημεία Μ και Σ





f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +


i) Αποδείχθηκε στο προηγούμενο φύλλο(ΣΜ 296) ii) Αν 1x = τότε από την (1) προκύπτει

( ) ( )11 1 26

f ημle +

Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τύπο

( ) ( ) 6

6xh x f x xημ= minus minus

η οποία στο διάστημα [ ]01 είναι συνεχής συνάρτηση ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Ακόμα είναι

( ) ( )( )

( ) ( )60 1 10 0 0 0 0 36 6 6

i

h f hημ= minus minus = rArr = gt

( ) ( )( )

( )211 1 1 0 4

6h f ημ= minus minus le

Από τις (3) και (4) προκύπτει

( ) ( ) ( )0 1 0 5h hsdot le Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις 1η περίπτωση


Αν

( ) ( )0 1 0h hsdot lt

τότε η συνάρτηση h ικανοποιεί το θεώρημα του Bolzano στο διάστημα [ ]01 άρα

υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )01kisin τέτοιο ώστε

( ) 0h k = δηλαδή για το k αυτό θα είναι

( ) 06

kkf k xημminus minus =

και τελικά

( ) ( ) 016

kkf k x kημ= + isin

2η περίπτωση Αν

( ) ( )0 1 0h hsdot = τότε λόγω της (3) θα είναι

( )1 0h = και ο ζητούμενος k θα είναι 1k =

398 Δίνεται τρίγωνο ABC με εμβαδόν ίσο με Ε και σημείο Μ στο εσωτερικό του Οι τρεις διακεκομένες ευθείες που διέρχονται από το σημείο Μ τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου αυτού όπως δείχνει το Σχήμα 1 δημιουργώντας τρία τρίγωνα με εμβαδά Ε1Ε2Ε3 Να δειχθεί η σχέση

( )1 2 3

1 1 1 18 1+ + geΕ Ε Ε Ε

(Νίκος Ζανταρίδης Μαθηματικός Έδεσσα Από Ρουμάνικο βιβλίο) Λύση(Μάγκος Θάνος) Τα τρίγωνα 1 2MA A και 2 2MB C έχουν

1 2 2 2A MA B MC=

ως κατακορυφήν γωνίες Άρα

( ) ( )1 1 2

2 2 2 2

2E MA MAB MC MB MC

sdot=

sdot

όμοια είναι

( ) ( )2 1 2

1 1 1 1

3E MC MCB MA MB MA

sdot=

sdot

Σχήμα 1


( ) ( )3 1 2

2 1 2 1

4E MB MBA MC MA MC

sdot=

sdot

Πολλαπλασιάζοντας τις (2) (3) και (4) κατά μέλη έχουμε

( ) ( ) ( )31 2

2 2 1 2 2 1

1EE EB MC B MA A MC

sdot sdot =

δηλαδή ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 2 1 2 2 1 5E E E B MC B MA A MC= sdot sdot

Με τη βοήθεια τώρα της ανισότητας του Cauchy έχουμε

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

33

1 2 3 1 2 3 1 2 3

5

2 66 1 2 3 2 2 1 2 2 11 2 3

1 1 1 1 1 1 33

3 3 6

E E E E E E E E E

E E E B MC B MA A MCE E E

+ + ge sdot sdot = =

= =sdot sdot

Όμως

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 2 2 1 2 2 1

61 2 3 2 2 1 2 2 16

CauchyE E E E B MC B MA A MC

E E E B MC B MA A MC

gt + + + + + ge

ge sdot sdot

δηλαδή

( ) ( ) ( )( )

61 2 3 2 2 1 2 2 1

1 6 7EE E E B MC B MA A MC

gesdot sdot


1 2 3

1 1 1 18E E E E+ + ge

δηλαδή η (1)


431 Να λυθεί η εκθετική εξίσωση 2 2 22 1 2 1 225 9 34 15x x x x x xminus + minus + minus+ = sdot

(από κινέζικο φόρουμ)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 1Φεβρουαρίου 2012 14






Ερμηνεύοντας το συλλογισμό που αναπτύσσει ο Αριστοτέλης στο βιβλίο του laquoΦυσική ακρόασιςraquo (Ζ 233a 34 -233b15) και χρησιμοποιώντας τη σημερινή γλώσσα

θα αναφερθούμε πάλι στο σχήμα 1 (ΣΜ 297) Ζητούμε λοιπόν να αποδείξουμε την πρόταση Αν ένας δρομέας (Δ) θέλει να διατρέξει μια πεπερασμένη απόσταση(για παράδειγμα την απόσταση ΜΝ) τότε ο χρόνος που θα χρειαστεί είναι κι αυτός πεπερασμένος Για την laquoαπόδειξηraquo της πρότασης αυτής θα χρησιμοποιήσουμε την λεγόμενη laquoαπαγωγή σε άτοποraquo (Andreacute Ross prof de matheacutematiques Ceacutegep de Leacutevis-Lauzon) Έστω λοιπόν ότι ο χρόνος που θα χρειαστεί ο δρομέας αυτός για να διανύσει το διάστημα ΜΝ είναι άπειρος Δηλαδή

ot =infin Επομένως σε ένα πεπερασμένο τμήμα του χρόνου αυτού δηλαδή σε χρόνο

1t έπεπερασμ νο= ο δρομέας αυτός θα διανύσει ένα πεπερασμένο τμήμα της όλης διαδρομής ΜΝ έστω το τμήμα ΜΣ Δηλαδή σε χρόνο 1t ο δρομέας θα καλύψει την πεπερασμένη απόσταση ΜΣ Στο σημείο αυτό ο Αριστοτέλης χρησιμοποιεί το laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo(ΣΜ294 295) για τα πεπερασμένα και ομοειδή μεγέθη δηλαδή για τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΝ και ΜΣ τα οποία συνδέονται με τη σχέση

ΜΣ ltΜΝ Σύμφωνα με το αξίωμα αυτό υπάρχει ένας θετικός ακέραιος αριθμός ν τέτοιος ώστε να ισχύει

( ) ( )1ν ΜΣ gtΜΝ Εφόσον για τη διαδρομή ΜΣ ο δρομέας χρειάζεται πεπερασμένο χρόνο ίσο με

No298

Σχήμα 1 (Δ)


1t άρα για την πολλαπλάσια διαδρομή ( )ν ΜΣ θα χρειαστεί χρόνο 2t ίσο με ισοπολλαπλάσιο του χρόνου 1t δηλαδή θα χρειαστεί για τη διαδρομή αυτή χρόνο ίσο με

( )2 1ν ΜΣt t tν= = ο οποίος είναι πεπερασμένος Άρα από τη σχέση (1) προκύπτει

2 ot tgt =infin το οποίο είναι άτοπο γιατί ένα πεπερασμένο μέγεθος είναι μεγαλύτερο του απείρου


399 Να υπολογιστεί ο αριθμός

2 2 2999 999 999 888 888 888 111111111minus minus (Gazeta mathematica Τόμος 4 2003)

Λύση Υποθέτουμε ότι

111111111n = Τότε η ζητούμενη παράσταση γίνεται

2 2 2999 999 999 888 888 888 111111111Α = minus minus

( )( ) ( )( )2 2 29 111111111 8 111111111 111111111= minus minus =

( ) ( )2 2 29 8n n n= minus minus =

2 2 281 64n n n= minus minus = 216 4 444 444 444n n= = =

Άρα

444 444 444Α =

400 Αν για μια συνάρτηση f ισχύει

( ) ( ) ( ) ( )2 1f x f y x y x y Rminus le minus forall isin τότε η f είναι σταθερή στο R

Λύση Θεωρούμε ένα τυχαίο oy Risin και x Risin με ox yne

Από τη σχέση (1) τότε προκύπτει ισοδύναμα

( ) ( ) ( ) 21 o of x f y x yhArr minus le minus hArr


( ) ( )2 2o o ox y f x f y x yhArr minus minus le minus le minus hArr

( ) ( )oo o

o

f x f yx y x y

x yminus

hArr minus minus le le minus hArrminus

( ) ( ) ( )2oo o

o

f x f yx y x y

x yminus

hArr minus minus le le minusminus

Αν τώρα θεωρήσουμε ότι

ox yrarr τότε από τη (2) προκύπτει

( ) ( ) ( )lim lim lim 3o o o

oo ox y x y x y

o

f x f yx y x y

x yrarr rarr rarr

minushArr minus minus le le minus

minus

Και επειδή

( )lim 0 lim 0o o

o ox y x yx y x y

rarr rarrminus = hArr minus =

η (3) δίνει ως αποτέλεσμα

( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx yrarr

minus=

minus

και τέλος

( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx yrarr

minus⎛ ⎞=⎜ ⎟minus⎝ ⎠

δηλαδή

( ) 0o of x y Rprime = forall isin επομένως

( )f x c= δηλαδή η συνάρτηση αυτή είναι σταθερή


( ) ( ) ( )1log log 14x x x xx xημ συν ημ συνημ συνsdot sdotsdot =

(Ι Πανάκης Τριγωνομετρία 3ος τόμος σελ154) Λύση Πρέπει

( )0 1 2x xημ συνlt sdot ne


στη συνέχεια θέτουμε

( )( )

( )log

3log

x x

x x

x y

x wημ συν

ημ συν

ημ

συν

= ⎫⎪⎬

= ⎪⎭

Άρα

( )( )

( )4y

w

x x x

x x x

ημ ημ συν

συν ημ συν

⎫= sdot ⎪⎬

= sdot ⎪⎭

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των δύο τελευταίων σχέσεων προκύπτει

( ) ( )5y wx x x xημ συν ημ συν +sdot = sdot Η (5) λόγω της (2) δίνει

( )1 6y w+ = Επίσης η (1) λόγω των μετασχηματισμών (3) γίνεται

( )1 74

yw =

Το σύστημα των (6) και (7) λυόμενο δίνει

( )1 82

y w= =

Άρα η πρώτη από τις (4) δίνει

( )( )

12

2 0

x x x

x x x x x x

ημ ημ συν

ημ ημ συν ημ ημ συν

= sdot hArr

= sdot hArr minus =

και λόγω της (2) η τελευταία ισοδυναμεί με την

02

x x x x x xπημ συν ημ συν ημ ημ ⎛ ⎞minus = hArr = hArr = minus⎜ ⎟⎝ ⎠

η τελευταία έχει λύσεις

2 42x k x x kπ ππ π κ= + minus hArr = + isinΖ


432 Αν [ ]01aisin και [ ]01bisin Να δειχθεί ότι ισχύει 2 2

11 1

a bb a

+ le+ +

(T Andreescu ndash B Enescu Olimpiadele de Matematica 2000-2001)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 8 Φεβρουαρίου 2012 14





Οι αναφορές στα παράδοξα του Ζήνωνα Με τη συλλογιστική της laquoαπαγωγής σε άτοποraquo και στηριζόμενος στο laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo ο Αριστοτέλης ανασκευάζει το πρώτο και δεύτερο παράδοξο του Ζήνωνα δηλαδή το παράδοξο της laquoδιχοτομίαςraquo και το παράδοξο του laquoΑχιλλέα και της Χελώναςraquo (ΣΜ 297 298) Σε ότι αφορά το τρίτο παράδοξο δηλαδή το laquoπαράδοξο του βέλουςraquo ο Αριστοτέλης απαντά αφού προηγούμενα προσδιορίζει και περιγράφει αναλυτικά την έννοια του χρόνου Ο χρόνος για το φιλόσοφο αυτό αποτελεί μια ποσότητα που χαρακτηρίζεται ως συνεχής ποσότητα Ο Αριστοτέλης αφιερώνει ολόκληρο το πέμπτο βιβλίο της Φυσικής Ακρόασης για να μιλήσει για την έννοια της κίνησης και της μεταβολής Στο βιβλίο αυτό ο μεγάλος φιλόσοφος με πολύ αναλυτικό τρόπο μιλά για όλα τα στοιχεία που διαμορφώνουν το πλαίσιο μιας κίνησης όπως το πρώτο κινούν το κινούμενο καθώς και το χρόνο κίνησης Όπως αναφέρθηκε και προηγούμενα(ΣΜ 265-268) ο χρόνος είναι ένα μέγεθος που laquoαπαρτίζεταιraquo από χρονικές στιγμές οι οποίες αυτές καθαυτές δεν εμπεριέχουν χρονική διάρκεια Αυτό γίνεται αντιληπτό αν συσχετίσει κανείς τις χρονικές στιγμές με τα σημεία μιας ευθείας Όπως ένα σημείο δεν έχει διαστάσεις δηλαδή δεν έχει μήκος πλάτος ύψος έτσι και η χρονική στιγμή δεν έχει χρονική διάρκεια Για τη έννοια του χρόνου και τις ιδιότητες που αυτός έχει ο Διονύσιος Αναπολιτάνος γράφει laquoΤί εἶναι ὅμως ὁμως ὁ χρόνος Σύμφωνα μέ τόν Ἀριστοτέλη εἶναι ὅπως εἴπαμε τό ἀποτέλεσμα τῆς μέτρησης τῆς ἀλλαγῆς καί γίνεται ἀντιληπτός μέσω τῆς θεμελιώδους διατεταγμένης τριάδας laquoπριν τώρα μετάraquo

(Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών ΔΑ Αναπολιτάνος Εκδ Νεφέλη σελ71)

Το μοντέλο του χρόνου όπως αυτό εμφανίζεται στο παραπάνω σχήμα δηλώνει πως σε κάθε χρονική στιγμή του τώρα αντιστοιχεί μια αρχή κι ένα πέρας Αποτελεί την αρχή μιας χρονικής διάρκειας που πρόκειται να διανυθεί μετά το παρόν και ονομάζεται μέλλον από την άλλη μεριά αποτελεί το πέρας μια άλλης χρονικής περιόδου που διανύθηκε πριν και ονομάζεται παρελθόν Η χρονική στιγμή του τώρα είναι κάθε φορά αυτό που ονομάζεται παρόν Για την ανάλυση αυτή της έννοιας του χρόνου ο ΔΑΑναπολιτάνος συνεχίζει

No299

πριν τώρα μετά Σχήμα 1

παρελθόν μέλλον


laquoΣύμφωνα μέ τόν Ἀριστοτέλη τό παρελθόν ἔχει παύσει να ὑπάρχει τό μέλλον δέν ὑπάρχει ἀκόμη καί τό παρόν ndash τό laquoτώραraquo μέ ἄλλα λόγια ndash δέν εἶναι μέρος τοῦ χρόνου μέ τόν ἴδιο τρόπο πού ἑνα σημεῖο - ὄντας ἀδιάστατο ndash δέν εἶναι μέρος μιᾶς χωρικά εκτεταμένης γραμμῆς



402 Στις πλευρές ΑΒ ΑΔ του παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε Κ αντίστοιχα τέτοια ώστε να ισχύει

( )2 1ΑΕ ΑΚsdot =

ΕΒ ΚΔ Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ που τέμνεται από τα τμήματα ΓΕ ΓΚ στα σημεία P Q αντίστοιχα Να αποδειχθεί ότι

( )2 2 2 2Q PQΒΡ + Δ = (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση Από τις παράλληλες πλευρές ΑΒ και ΓΔ(Σχήμα 1) προκύπτει

y zx

ΑΒ ΓΔ ΡΔ += = =

ΕΒ ΕΒ ΡΒ

άρα

( )3y z y z xx x

ΑΕ +ΕΒ + ΑΕ + minus= rArr =

ΕΒ ΕΒ

Όμοια από τις παράλληλες ΑΔ και ΒΓ προκύπτει

Q x yQ z

ΑΔ ΒΓ Β += = =

ΚΔ ΚΔ Δ

άρα

( )4x y x y zz z

ΑΚ +ΚΔ + ΑΚ + minus= rArr =

ΚΔ ΚΔ

Σχήμα 1


Πολλαπλασιάζουμε τις (3) και (4) κατά μέλη προκύπτει

y z x x y zx z

ΑΕ ΑΚ + minus + minussdot = sdot

ΕΒ ΚΔ

Μετά από πράξεις και λόγω της (1) προκύπτει 2 2 2x z y+ =

δηλαδή 2 2 2Q QΒΡ + Δ = Ρ

η οποία είναι η ζητούμενη (2)

403 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τα εσωτερικά σημεία Ε και Ζ των πλευρών ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα έτσι ώστε

45οΕΑΖ = Αν Κ και Λ είναι οι προβολές του μέσου Μ του

ευθυγράμμου τμήματος ΕΖ στις πλευρές ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα τότε i) Να βρεθεί ο γ τόπος της προβολής της κορυφής Α πάνω στην ΕΖ ii) Να δειχθεί ότι

( ) ( ) ( )12ΑΚΜΛ ΑΒΓΔΕ = Ε Ι

(Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση

i) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ και ΑΔΖ έχουμε

( )1xεφφα

ΒΕ= =ΑΒ

( ) ( )45 2yοεφ φα

ΔΖminus = =

ΑΔ

Άρα από τη (2) και σύμφωνα με την (1) θα είναι

( ) ( )2145 3

1 45 1

xy y xy x yx

ο

ο

εφ εφφ α α αεφ εφφ α α

α

minusminus= hArr = hArr = minus +

+ sdot +

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓΖ εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα Άρα

( ) ( )( )

( ) ( )3

2 2 22 4x y x y x yα αΕΖ = minus + minus = = + hArr ΕΖ = + Στη συνέχεια το εμβαδόν του τριγώνου ΑΕΖ είναι


( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 12 2 2 2

x y x y x yα α α α α αΑΕΖΕ = minus minus minus minus minus = = +

Δηλαδή

( ) ( )( ) ( )1 52ΑΕΖΕ = ΑΒ ΕΖ

Η σχέση (5) δηλώνει ότι το ύψος του τριγώνου ΑΕΖ είναι ίσο με την πλευρά του τετραγώνου Δηλαδή

αΑΡ = που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γτ είναι το τόξο ΒΔ του κύκλου Κ(Αα)

ii) Από τα ορθογώνια τραπέζια ΒΕΖΖ΄ και ΔΖΕΕ΄ προκύπτει

2 2 2 2΄ x ΄ yα αΖΖ +ΒΕ + ΕΕ + ΔΖ +

ΜΚ = = ΜΛ = =

Άρα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

23 14 2 2

x yα α αΑΚΜΛ ΑΒΓΔ

+ +Ε = ΜΚ sdot ΜΛ = = = = Ε


433 Δίνεται ο αριθμός 25 33 41 (8 17)n nΑ = + + + + + isinΝ

Να βρεθούν οι τιμές του n ώστε ο αριθμός Α να γίνει τέλειο τετράγωνο

(Student Problems from the mathematical Gazette)



Σχήμα 2







Ο χρόνος όπως αναφέρθηκε(ΣΜ 299) γίνεται αντιληπτός κατά την αριστοτελική αντίληψη μέσα από τη διατεταγμένη τριάδα laquoπρινraquo laquoτώραraquo και laquoμετάraquo η οποία καθορίζει τις τρείς μεγάλες χρονικές έννοιες στην ανθρώπινη εμπειρία και νόηση δηλαδή το παρελθόν το τώρα και το μέλλον

Ο Αριστοτέλης συγκεκριμένα για το θέμα αυτό αφιερώνει αρκετά κεφάλαια στο 4ο βιβλίο των Φυσικών του(Φυσική ακρόασις) Στα έξη κεφάλαια (κεφ14-20) ο μεγάλος φιλόσοφος καταθέτει αναλυτικότατα τις απόψεις του σχετικά με το θέμα του χρόνου Εκεί αναπτύσσει τη θεωρία του μιλά για τις προηγούμενες ιδέες που έφθασαν μέχρι την εποχή του προσπαθεί να ερμηνεύσει τη φύση του χρόνου συσχετίζει το χρόνο με τους αριθμούς και γενικά παρουσιάζει για πρώτη φορά μια τόσο αναλυτική μελέτη για το θέμα αυτό Ανατρέχοντας κανείς στα κεφάλαια αυτά συναντά πολύπλοκους συλλογισμούς και συμπεράσματα Σε γενικές γραμμές καταγράφουμε κάποιες ενδεικτικά Με ένα ρητορικό ερώτημα ξεκινά τις ιδέες του για το θέμα του χρόνου laquoΤί δrsquo ἐστίν ὁ χρόνος καί τίς αὐτοῦ ἡ φύσιςraquo (Φυσική ακρόασις 281α31)

Δηλαδή laquoΤι λοιπόν είναι ο χρόνος και ποια η φύση τουraquo

Για τη χρονική στιγμή του laquoτώραraquo που χωρίζει το παρελθόν(laquoπρινraquo) από το μέλλον (laquoμετάraquo) γράφει laquoΤό δέ νῦν τόν χρόνον ὁρίζει ᾗ πρότερον καί ὕστερονraquo (Φυσική

ακρόασις 219b11219b12) που σημαίνει laquoΤο laquoτώραraquo προσδιορίζει το χρόνο δηλαδή το προηγούμενο και το επόμενοraquo Για το laquoτώραraquo τη χρονική στιγμή του παρόντος ο Αριστοτέλης αναλύει την άποψή του λέγοντας ακόμα

laquoΤό δέ νῦν οὐ μέροςmiddot μετρεῖ τε γάρ τό μέρος καί συγκεῖσθαι δεῖ τό ὅλον ἐκ τῶν μερῶνraquo (Φυσική ακρόασις 218a6-7)

δηλαδή laquoΑκόμα η στιγμή του laquoτώραraquo δεν αποτελεί μέρος(ποσόν) γιατί το

No300




μέρος μπορεί κανείς να το μετρήσει καθώς επίσης το συνολικό μέρος πρέπει να αποτελείται από την ένωση των μερών τουraquo Όταν στη συνέχεια προσπαθεί να συσχετίσει το χρόνο με τους αριθμούς απαντά laquoΤοῦτο γάρ έστιν ὁ χρόνος ἀριθμός κινήσεως κατά τό πρότερον καί

ὕστερονraquo (Φυσική ακρόασις 219α33-219b2) laquoΑυτό λοιπόν είναι ο χρόνος ο αριθμός που δηλώνει την κίνηση από το προηγούμενο στο επόμενο(γεγονός)raquo


404 Αν

( )0 1αβ βγ γα αβγ+ + = ne και

( )3 3 3 3 3 3 3 3 3 2α β β γ γ α α β γ+ + = τότε να υπολογιστεί η παράσταση

( ) ( )( )α β β γ γ αΠ = + + + (Γιώργος Τσαπακίδης 5ο Θερινό Μαθηματικό Σχολείο ΕΜΕ Λεπτοκαρυάς)

Λύση Είναι γνωστό ότι

( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3α β γ α β γ α β β γ γ α+ + = + + + + + +Υψώνοντας και τα δύο μέλη της (1) στον κύβο Άρα

( ) ( )3 3 3 31 αβ βγ γα α β γrArr + + = hArr

( )( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 3

3 3 33 3α β β γ γ α

αβ βγ βγ γα γα αβ α β γ

hArr + + +

+ + + + =

Η (3) λόγω της (2) γίνεται

3 3 3 3 3 3α β β γ γ αhArr + +

( )( ) ( ) 3 3 33 αβ βγ βγ γα γα αβ α β γ

+

+ + + + =

άρα

( )( ) ( ) 0αβ βγ βγ γα γα αβhArr + + + = hArr

( )( )( )0

0αβγ α β γ α β γne

hArr + + + =


Άρα

( ) ( )( ) 0 0α β γ α β γ+ + + = rArrΠ =

405 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α=90ο) και ΒΔ ΓΕ εσωτερικές διχοτόμοι που τέμνονται στο Ι Φέρουμε ΑΡ perp ΒΔ και ΑΤ perp ΓΕ

Να δειχθεί ότι

( )1 1ΑΡ ΑΤ+ =

ΒΙ ΓΙ (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση Θα δείξουμε πρώτα τη σχέση

( )1 1 1 2+ =ΒΕ ΓΔ ΙΗ

Απόδειξη Είναι (Σχ1)

αγ αβα β α γ

ΒΕ = ΓΔ =+ +

άρα 2 21 1 α β α γ αβ β αγ γ

αγ αβ αβγ+ + + + +

+ = + = =ΒΕ ΓΔ

2 2 1 12

αβ αγ α α β γ ταβγ βγ ρ+ + + +

= = = = =Ε ΙΗ

( )1 1 1 2rArr + = rArrΒΕ ΓΔ ΙΗ

bull Τα τρίγωνα (ΑΙΒ) και (ΒΙΕ) είναι όμοια διότι


90 2

ήο κοινΓΑΙΒ = ΒΕΙ = + ΑΒΙ =

άρα

( )3ΑΒ ΙΒ=

ΙΒ ΒΕ

bull Τα τρίγωνα (ΑΒΡ) και (ΙΒΧ) είναι επίσης όμοια διότι είναι ορθογώνια και έχουν την οξεία γωνία

ήκοινΑΒΡ = άρα

( )4ΑΡ ΑΒ=

ΙΧ ΙΒ

Από τις (3) και (4) προκύπτει ΑΡ ΙΒ

=ΙΧ ΒΕ

και τελικά

( )5ΑΡ ΙΧ=

ΒΙ ΒΕ

Με παρόμοιο τρόπο δείχνεται

( )6ΑΤ ΙΨ=

ΓΙ ΓΔ

Όμως

( )7ΙΧ = ΙΨ = ΙΗ Προσθέτοντας τις (5) και (6) και σύμφωνα με τις (2) και (7) έχουμε

( ) ( )1 1 1 1ΑΡ ΑΤ ΙΧ ΙΨ ⎛ ⎞+ = + = ΙΗ + = ΙΗ =⎜ ⎟ΒΙ ΓΙ ΒΕ ΓΔ ΒΕ ΓΔ ΙΗ⎝ ⎠

άρα

1ΑΡ ΑΤ+ =

ΒΙ ΓΙ

δηλαδή η ζητούμενη (1)


434 Να λυθεί στο R το σύστημα 2

4 2 2 2

3 03 5 0

x xy x yx x y x y+ minus + =

+ minus + =

(wwwmathvncom)









Ο προβληματισμός για την έννοια του χρόνου που πραγματεύεται ο Αριστοτέλης στο βιβλίο του laquoΦυσική ακρόασιςraquo θα συνεχιστεί για αιώνες αργότερα και θα φθάσει ακόμα μέχρι τις μέρες μας Ερωτήματα όπως τι είναι ο χρόνος πως μετριέται ποια είναι η αρχή από την οποία ξεκινάει η ροή του και όλα τα συναφή έχουν απασχολήσει την ανθρώπινη λογική ανά τους αιώνες και πολλά φωτεινά μυαλά σκέφτηκαν για να δώσουν μια κατανοητή απάντηση Από την άλλη μεριά αν κανείς λάβει υπόψη του και τη μεταφυσική έννοια του χρόνου τότε τα πράγματα δυσκολεύουν Ο άνθρωπος ως υλικό όν είναι αιχμάλωτος του χρόνου και μέσα σrsquo αυτόν υλοποιεί την κάθε του δράση και επέμβαση Όμως πάντα ο άνθρωπος ως πνευματική μονάδα προσπαθεί να ερμηνεύσει αυτή την αιχμαλωσία και συνεχώς αγωνιά να δώσει απαντήσεις στην εξάρτηση αυτή Με την πνευματική αυτή δύναμη ο άνθρωπος προσπαθεί να απελευθερωθεί απrsquo αυτήν την αιχμαλωσία και να δει την όλη του ύπαρξη laquoαχρονικάraquo Εκεί σrsquo αυτήν την προσπάθεια ο άνθρωπος συναντά το laquoθείοraquo στο οποίο προσδίδει την ελευθερία απέναντι στο χρόνο που ο ίδιος δεν έχει και δεν θα την αποκτήσει ίσως ποτέ Στη μεταφυσική αυτή αντίληψη του χρόνου ο άνθρωπος προσπαθεί να επισυνάψει στο θείο ιδιότητες αχρονικές Λέξεις όπως αιώνιος αΐδιος πανταχού παρών κι άλλες πολλές δηλώνουν αυτή την αχρονικότητα που ο ίδιος δε διαθέτει Δηλώνουν την ύπαρξη ενός υπέρτατου όντος που το θέλει να laquoυπάρχει έξω από το χρόνοraquo Επιστρέφοντας στην ορθολογιστική αντίληψη που θεμελίωσε ο Αριστοτέλης μπορούμε να πούμε πως ο χρόνος αποτελεί και σήμερα ένα από τα ζητούμενα του ανθρώπου και της επιστήμης Αν θελήσουμε να μελετήσουμε το χρόνο κάτω από το πρίσμα της σύγχρονης φυσικής της φυσικής του εικοστού αιώνα τότε θα δούμε πως το αριστοτελικό τρίπτυχο πρίν τώρα μετά παραμένει με αρκετά εξελιγμένη μορφή Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας η οποία ήρθε να συμπληρώσει τα κενά που είχε αφήσει η Νευτώνεια Μηχανική του 18ου αιώνα αναδείχνει το χρόνο ως μια από τις κύριες διαστάσεις της ύλης Είναι πολύ σημαντικό στο σημείο αυτό να θυμηθούμε πως για την Ευκλείδειο Γεωμετρία ο χώρος είναι στατικός και αμετάβλητος Αν όμως θεωρήσουμε για ένα

No301

Σχήμα 1


σημείο ( )x y zΜ του Ευκλείδειου χώρου και τη χρονική στιγμή κατά την οποία υπάρχει το σημείο αυτό (Σχ1) τότε το σημείο αυτό έχει αποκτήσει πλέον μια νέα υπόσταση και χαρακτηρίζεται ως ένα laquoδομικό υλικόraquo του χώρου RxRxRxTΩ = των τεσσάρων διαστάσεων Επιπλέον ένα τέτοιο laquoσημείοraquo του χώρου αυτού μετονομάζεται από laquoσημείοraquo σε laquoγεγονόςraquo κι ο χώρος αυτός των τεσσάρων διαστάσεων από Ευκλείδειος χώρος σε Χωρόχρονος


406 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 45οΒ = και 75οΓ = Στην πλευρά ΒΓ θεωρούμε εσωτερικό σημείο Δ έτσι ώστε

( )1 12

ΒΔ=

ΔΓ Να υπολογισθεί η γωνία

x = ΑΔΓ (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση Αν φέρουμε την ΓΕ perp ΑΒ (Σχ1) τότε θα είναι 30οΑΓΕ = και συνεπώς

( )1 22

ΑΕ = ΑΓ

Το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και κατά συνέπεια ισχύει

( )2 2 2 2 22 3ΒΓ = ΒΕ +ΕΓ rArrΒΓ = ΓΕ Εξάλλου από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΕ συνεπάγεται

( )22 2 2 2 2 21 3

4 4ΓΕ = ΑΓ minusΑΕ = ΑΓ minus ΑΓ = ΑΓ

30deg

Σχήμα 1

75degx45deg

Ε

Δ

Α

Β Γ


δηλαδή

2 243

ΑΓ = ΓΕ

Η τελευταία λόγω της (3) συνεπάγεται 2

2 43 2

ΒΓΑΓ = sdot

δηλαδή

2 223

ΑΓ = ΒΓ rArr

( )2 2 43

ΑΓ = ΒΓsdotΒΓ

Η δοθείσα (1) όμως γίνεται

( ) ( )1 2 31 52 2

ΒΔ + ΔΓ +hArr = hArrΒΓ = ΔΓ

ΔΓ

Η (4) λόγω της (5) γίνεται ακόμα

( )2 6ΑΓ ΔΓΑΓ = ΒΓ sdotΔΓ hArr =

ΒΓ ΑΓ

Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ λόγω της (6) και από το γεγονός ότι έχουν κοινή τη γωνία Γ θα είναι όμοια Έτσι συμπεραίνεται ότι

45οΔΑΓ = Β = και τελικά

180 45 75 60ο ο ο οΑΔΓ = minus minus = Δηλαδή

60οΑΔΓ =

407 Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ( )ΑΒΓ ΑΒ = ΑΓ με ( )20 1οΑ =

Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε ένα εσωτερικό σημείο Μ τέτοιο ώστε

( )2ΑΜ = ΒΓ Να υπολογιστεί η γωνία ΒΜΓ

(Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση Θεωρούμε ένα σημείο Ν τέτοιο ώστε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΝΑΜ να είναι


ίσα (Σχ2) Παρατηρούμε τότε ότι στο τρίγωνο ΝΑΒ ισχύει

60ο

ΝΑ = ΑΒ ⎫⎪rArr ΑΝ = ΑΒ = ΒΝ⎬ΝΑΒ = ⎪⎭

δηλαδή το τρίγωνο ΝΑΒ είναι ισόπλευρο

Επομένως 1 40οΝ = και από το ισοσκελές τρίγωνο ΒΝΜ προκύπτει

2

180 40 702

ο οοminus

Μ = ΝΒΜ = =

Άρα τελικά η ζητούμενη γωνία είναι

( ) ( )1 2180 180 80 70 30ox ο ο ο ο= minus Μ +Μ = minus + =

Και τελικά

30οΒΜΓ =



2

4 8 4 2( )

8 2 (3 4 ) 4 0

x y x

x xy x y x

⎧ minus = minus +⎪Σ ⎨minus + minus minus =⎪⎩

(ΕΜΕ Περιοδικό Ευκλείδης Β΄Τεύχος 82τ272)



χΣχήμα 2

1 2

80deg

120deg

60deg

80deg

20deg

ΜΝ

Γ

Α

Β







Η όλη δυναμική της επίδρασης της σκέψης του Ζήνωνα στην ανθρώπινη σκέψη καθώς και η προσπάθεια του Αριστοτέλη να ανασκευάσει τους laquoπαραλογισμούςraquo του Ελεάτη φιλοσόφου οδήγησαν την όλη ιστορία πολύ μακριά Συνεχίζοντας το σχολιασμό μας στο ζήτημα του laquoχρόνουraquo και της όλης σχέσης που έχει η έννοια αυτή με τον υλικό κόσμο ή καλύτερα με το λεγόμενο laquoσυμπαντικό κόσμοraquo είναι ανάγκη να αναφερθούμε για λίγο και στη σημερινή αντίληψη της φυσικής και των μαθηματικών Το αριστοτελικό τρίπτυχο laquoπρινraquo laquoτώραraquo και laquoμετάraquo νοείται ως μια διάταξη του ρέοντος χρόνου που γίνεται αντιληπτή από τον καθένα μας(ΣΜ299-300) Το τρίπτυχο της διάταξης αυτής του χρόνου σύμφωνα με την αντίληψη της Ειδικής Θωρίας της Σχετικότητας μετασχηματίζεται και διακρίνεται πάλι σε μια τριμερή διάταξη μέσα στο λεγόμενο κώνο του φωτός του χωρόχρονου του Minkowski Σε μια τέτοια θεώρηση όπου ο χρόνος πλέον θεωρείται ως η τέταρτη διάσταση της ύλης τα πράγματα παίρνουν αλλιώτικη μορφή Στο παράπλευρο σχήμα εμφανίζεται ένα μοντέλο χωρόχρονου των τριών διαστάσεων ( ) x y t Ένα τέτοιο μοντέλο μπορεί να προκύψει από όλα τα σημεία ( )M x y ενός επιπέδου τα οποία αποτελούν ένα χώρο δύο διαστάσεων και στα οποία προστέθηκε η χρονική τους διάσταση Ο νέος αυτός χώρος πλέον είναι ένας χώρος τριών διαστάσεων που περιλαμβάνει όχι σημεία με την ευκλείδεια αντίληψη αλλά laquoγεγονόταraquo Όλα τα

No302

Χωρόχρονος του Minkowski


γεγονότα στη χωροχρονική αυτή συσχέτιση διατηρούν την αριστοτελική διάταξη με διευρυμένη βέβαια αντίληψη Το laquoπρινraquo και το laquoμετάraquo μετασχηματίζονται από ευθύγραμμες θεωρήσεις(ΣΜ 299-300) σε αντίστοιχες κωνικές Έτσι το laquoπρινraquo περιέχει όλα τα γεγονότα του παρελθόντος και αποτελούν τον laquoκώνο του παρελθόντοςraquo ενώ το laquoμετάraquo περιέχει το σύνολο των γεγονότων του μέλλοντος και αποτελούν τον laquoκώνο του μέλλοντοςraquo Μαθηματικές προκλήσεις ndash προσκλήσεις ndash ασκήσεις

408 Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 )οΑΒΓ Α = έχει όλες τις πλευρές του φυσικούς αριθμούς

Να δειχθεί ότι η ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου του είναι κι αυτός φυσικός αριθμός

(Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση Είναι γνωστό ότι σε ένα τρίγωνο γενικά ισχύει

( )2

ρ τ α εφ Α= minus

άρα για το συγκεκριμένο είναι

( ) 12 2 2

β γ α β γ αρ τ α εφ Α + minus + minus⎛ ⎞= minus = sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠

δηλαδή

( )12

β γ αρ + minus=

Επειδή ακόμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στην κορυή Α θα ισχύει ακόμα

( )2 2 2 2α β γ= + Γνωρίζοντας τώρα ότι οι τρεις πλευρές του τριγώνου αυτού είναι φυσικοί αριθμοί(έχουν μήκη φυσικούς αριθμούς) από τη σχέση (2) συμπεραίνονται δύο περιπτώσεις

bull Οι αριθμοί α β γ θα είναι άρτιοι αριθμοί ( Ι ) bull Οι αριθμοί α β γ θα είναι δύο περιττοί και ένας άρτιος ( ΙΙ ) Όποια από τις περιπτώσεις ( Ι ) και ( ΙΙ ) και αν ισχύει από την (1) συμπεραίνεται

ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

2β γ αρ + minus

= είναι φυσικός αριθμός

409 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο oABC(A 90 )= με BC a CA b= = και AB c= Να δειχθεί ότι η ελάχιστη τιμή της παράστασης


( )( )2a bc

a b a c+ +

είναι 2δ όπου δ η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου (Αποστολόπουλος Γιώργος μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση(πρώτος τρόπος) Η ζητούμενη πρόταση γράφεται

( )( )

( )( ) ( )

22

22

a bc (2 )a b a c

a bc 4 1a b a c

ρ

ρ

ge hArr+ +

ge+ +

Η σχέση (1) ισοδυναμεί

( )( ) ( ) ( )2

2a bc 4 a 2a b a c

τge minus+ +

όπου

( )32

a b cτ

+ +=

η ημιπερίμετρος του τριγώνου ABC και aρ τ= minus Σύμφωνα με την (2) και (3) έχουμε τις ισοδυναμίες

( ) ( )( )

22a bc b c a1 4a b a c 2

+ minus⎛ ⎞hArr ge hArr⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

( )( ) ( )2

2a bc b c aa b a c

hArr ge + minus hArr+ +

( ) ( ) ( ) ( )22a bc a b a c b c a 4hArr ge + + + minus Από το σχήμα 1 εξάλλου προκύπτει

( )5b ac a

ημσυν

= Β ⎫⎬= Β⎭

Έτσι η σχέση (4) σύμφωνα με τις (5) ισοδυναμεί

( )( )( )( ) ( )2

4

1 1 1 6

ημ συν

ημ συν ημ συν

hArr Β Β ge

+ Β + Β Β + Βminus


Η (6) εκτελώντας τις πράξεις στο δεύτερο μέλος συνεχίζει να ισοδυναμεί με τις ακόλουθες

( )( )

( )

6

2 1

1

ημ συν



hArr Β Β ge ⎫⎪

sdot + Β+ Β + Βsdot Β sdot hArr⎬⎪+ Βsdot Βminus Βminus Β ⎭

( ) ( )2 22 1ημ συν ημ συν ημ συν⎡ ⎤hArr Β Β ge sdot + Β Β minus Β + Β hArr⎣ ⎦2 22ημ συν ημ συνhArr Β Β ge sdot Β ΒhArr

( )1 2 0ημ συν ημ συνhArr Β Β minus sdot Β Β ge hArr

( )1 2 0ημ συν ημhArr Β Β minus Β ge Η τελευταία σχέση είναι αληθής διότι η γωνία

0 90οlt Β lt Συνεπώς και η ζητούμενη (1) είναι αληθής (Η ισότητα ισχύει όταν 4πΒ = )


436 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει 2ΒΓ = sdotΑΒ Θεωρούμε Δ το μέσο της πλευράς ΒΓ και Ε το μέσο του τμήματος ΒΔ Να δειχθεί ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΑΕ

(MN Aref-W Wernick Problems and Solutions in Euclidean Geometry)

437 Να βρεθεί το άθροισμα 1 1 1 1 1 13 15 35 63 99 143

Σ = + + + + + (Xu Jiagu Vol 6 Mathematic Olympiad Series)

438 Για τους τυχαίους πραγματικούς αριθμούς α β γ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

2 2 23 27 5 18 30 237α β γ αβ γΑ = + + minus minus + (Xu Jiagu Vol 6 Mathematic Olympiad Series)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 7 Μαρτίου 2012 14






Ο χρόνος σύμφωνα με τις τελευταίες αντιλήψεις της Φυσικής και των Μαθηματικών είναι όπως αναφέρθηκε μια από τις διαστάσεις του τετραδιάστατου χώρου και υπάρχει από τη στιγμή που υπάρχει ο υλικός κόσμος Είναι η τέταρτη διάσταση της ύλης συμπληρώνοντας τις άλλες τρείς Το μήκος το πλάτος και το ύψος Η αρχή μέτρησης του χρόνου τοποθετείται στην αρχή της laquoκοσμογέννησηςraquo που σύμφωνα με τις απόψεις που θεμελιώθηκαν κυρίως από τον Στήβεν Χώκινκ και τον Ρότζερ Πενρόουζ τοποθετείται τη laquoστιγμήraquo μιας laquoχωροχρονικής ανωμαλίαςraquo της Μεγάλης Έκρηξης(Big Bang) πριν από δεκαπέντε δισεκατομμύρια χρόνια Η θεωρία αυτή που σήμερα έγινε αποδεκτή ξεκίνησε με τις έρευνες των δύο ανωτέρω αστροφυσικών-κοσμολόγων στα μέσα της δεκαετίας του εξήντα και σήμερα η έρευνα και η παρατήρηση του μακρινού σύμπαντος προσθέτει συνεχώς και νέα στοιχεία Σύμφωνα με την θεωρία της σχετικότητας όσο πιο μακρινά αστέρια του σύμπαντος παρατηρούν οι αστρονόμοι με τα τηλεσκόπιά τους τόσο πιο μακριά ταξιδεύουν στο παρελθόν του κόσμου Είναι ένα ταξίδι μέσα στο χρόνο και οι πληροφορίες είναι πολύτιμες Η επιστήμη από την προσωκρατική εποχή τότε που οι φιλόσοφοι εκείνοι άρχισαν να σκέφτονται λογικά αφήνοντας ήσυχους τους θεούς στον Όλυμπο μέχρι και σήμερα στην εποχή των laquoμεγάλων ταχυτήτωνraquo και της ψηφιακής τεχνολογίας συνεχίζει την αναζήτηση της αλήθειας και της ερμηνείας του κόσμου Η συνεχής αυτή προσπάθεια ανεύρεσης του μεγάλου μυστικού της φύσης και της εξιχνίασης του ευρύτερου συμπαντικού περιβάλλοντος μπορεί να χαρακτηριστεί και ως μια προμηθεϊκή διαδρομή αλλά ταυτόχρονα και μια σισύφεια περιπέτεια Στο σημείο αυτό αξίζει να αναφέρουμε τα λόγια του Βολταίρου του μεγάλου διαφωτιστή του 18ου αιώνα ο οποίος όταν συλλογίζεται για την αιωνιότητα του κόσμου λέει το Φλεβάρη του 1755 προς τη φίλη του μαρκησία du Deffand

laquoΣτην κατάσταση όπου βρίσκομαι συλλογίζομαι για την αιωνιότητα του κόσμου για την ύλη το χώρο το άπειροraquo [1]

Κι ακόμα ο φιλόσοφος αυτός όταν μιλά και υπερασπίζεται τις ιδέες του Νεύτωνα και την ορθολογιστική αντίληψη υιοθετεί τη βιβλική ρήση από την Παλαιά Διαθήκη και συγκεκριμένα από το βιβλίο Ιώβ (ΙώβΚεφλη΄11) laquoΚαί εἶπα ἕως αὐτοῦ θέλεις ἔρχεσθαι καί δέν θέλεις ὑπερβεῖmiddot καί ἐδώ

θέλει συντρίβεσθαι ἡ ὑπερηφανία τῶν κυμάτων σουraquo Με απλά λόγια

laquoΈως εκεί θα φθάσεις και δε θα πας πιο πέρα και στο σημείο αυτό θα συντριβεί η ανθρώπινη περηφάνια σουraquo [2]

No303


Ο μεγάλος φιλόσοφος και κύριος εκπρόσωπος του Ευρωπαϊκού Διαφωτισμού φαίνεται να καταθέτει στο έργο του laquoΟ αδαής φιλόσοφοςraquo την άποψη αυτή με την οποία υποστηρίζει το πεπερασμένο της ανθρώπινης γνώσης και της περιορισμένης ανθρώπινης δυνατότητας να ερμηνεύσει και να γνωρίσει το σύμπαν που τον περιβάλλει

[1][2] Βολταίρος Ο αδαής φιλόσοφος Μετση Ρ Αργυροπούλου σελ10 18



( )( ) ( )2a bc 1

a b a c+ +


Λύση(Δεύτερος τρόπος) Η λύση αυτή στηρίζεται σε δύο λήμματα Λήμμα 1ο

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( )90oABC A = (Σχ1) και BE CD οι

εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών B και C αντίστοιχα Αν για τα σημεία D Eprime prime των πλευρών AB AC αντίστοιχα ισχύει

( )2

caAD BDa bbaAE CE

a c

⎫prime = = ⎪⎪+⎬⎪prime = =⎪+ ⎭

τότε τα σημεία αυτά D Eprime prime καθώς και το έγκεντρο I του τριγώνου αυτού είναι συνευθειακά Απόδειξη Αρκεί να δείξουμε ότι για το τρίγωνο ABE και για τα σημεία D I Eprime prime ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Μενελάου Δηλαδή αρκεί να δειχθεί ότι

( )1 3AD BI EED B IE E A

prime primesdot sdot =

prime prime

Η σχέση (3) σύμφωνα με τη δοθείσα (2) ισοδυναμεί

( )1 4BD BI EEAD IE CE

primesdot sdot =

Από το θεώρημα των διχοτόμων η (4) ακόμα εξελίσσεται ισοδύναμα στην


( )1 5a a EEb CE CE

primesdot sdot =

Η (5) ισοδυναμεί ακόμα με την

( ) ( )22 6bEE CE

aprime = sdot

και λόγω της δοθείσας (2) η (6) ισοδυναμεί με την

( )( )

3

2 7bEEa c

prime =+

Κι ακόμα

( )( )

( )

( )

3 32

2 27 b bE A AE CE AEa c a c

primehArr minus = hArr minus = hArr+ +

( )( )

( )

3 3

2 2

b a cba bc b ba c a c a ca c a c

minushArr minus = hArr = hArr

+ + ++ +

( )( )

22 2 2 2 2 2

1a c b b a c b c a

a cminus

hArr = hArr = minus hArr + =+

Η τελευταία ισχύει άρα και η ζητούμενη (2) ισχύει Άρα από το αντίστροφο του θεωρήματος του Μενελάου τα σημεία D I Eprime prime είναι συνευθειακά

Λήμμα 2 Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ( )90oABC A = (Σχ2) θεωρήσουμε τη διχοτόμο

AD της ορθής γωνίας και τις προβολές E Z του σημείου D πάνω στις κάθετες πλευρές AB AC αντίστοιχα τότε ισχύει

( ) ( ) ( )2 1E ABC E AEDZge Απόδειξη Αν θέσουμε x την πλευρά του τετραγώνου AEDZ τότε η ζητούμενη σχέση γίνεται

( )21 2 22

bc xge

Είναι

( ) ( ) ( ) ( )ABC AEDZ BDE DZC= + + Άρα

( ) ( )21 1 12 2 2

bc x c x x b x x= + minus + minus

Η τελευταία αυτή σχέση λυμένη ως προς x δίνει


( )3bcxb c

=+

Άρα η ζητούμενη (2) ισοδυναμεί με

( )

( )( ) ( )

2 2

2 22 2

2

12 2 42

4 4 0

bc bcbc bcb c b c

b cbc b c bc b cb c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞hArr ge hArr ge hArr⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

hArr ge hArr + ge hArr minus ge+

Η τελευταία ισχύει άρα και η (2) ισχύει και συνεπώς και η ισοδύναμή της (1) Λύση της άσκησης Στις πλευρές AB AC του ορθογωνίου τριγώνου ABC θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία

D Eprime prime τέτοια ώστε

( )1

caAD BDa bbaAE CE

a c

⎫prime = = ⎪⎪+⎬⎪prime = =⎪+ ⎭

Τότε σύμφωνα με το πρώτο λήμμα τα σημεία D I Eprime prime είναι συνευθειακά

Αν στη συνέχεια στο ορθογώνιο τρίγωνο AD Eprime prime εφαρμόσουμε το δεύτερο λήμμα τότε θα είναι

( ) ( ) ( )2 2E AD E E AMINprime prime ge Η σχέση (2) σύμφωνα με τους τύπους (1) δίνει

( )( ) ( ) ( ) ( )2

221 2 22

a bcAD AEa b a c

ρ ρprime prime ge rArr ge+ +

η οποία δηλώνει το ελάχιστο της παράστασης (1)


439 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( )ΑΒΓ ΑΒ = ΑΓ Να βρεθεί σημείο Δ στη βάση ΒΓ του τριγώνου ώστε αν από αυτό αχθεί κάθετη προς τη βάση και η κάθετη αυτή τμήσει το τμήμα ΑΒ στο σημείο Ε να ισχύει

2 2 2ΑΒ = ΑΔ +ΔΕ (MN Aref-W Wernick Problems and Solutions in Euclidean Geometry)









Είναι αξιοσημείωτες οι λέξεις που χρησιμοποίησε ο Βολταίρος μιλώντας προς την μαρκησία du deffand(ΣΜ303)

α ιων ιότ ητα ύλ η χώρος άπε ι ρο Οι τέσσερις αυτές λέξεις περικλείουν τους βασικούς άξονες γύρω από τους οποίους περιφέρονται οι ιδέες και οι σκέψεις των φιλοσόφων όλων των εποχών Κοινό χαρακτηριστικό των τεσσάρων αυτών λέξεων είναι η απεραντοσύνη δηλαδή το άπειρο Από τον Αριστοτέλη μέχρι και τον αιώνα τω φώτων το διαφωτισμό αλλά και σήμερα οι τέσσερις αυτές λέξεις αποτέλεσαν και συνεχίζουν να αποτελούν τα μεγάλα και δύσκολα ερωτήματα της ανθρώπινης νόησης και λογικής Αν θέλαμε να σκιαγραφήσουμε το πνεύμα του Βολταίρου θα ανατρέχαμε στην 40στή σελίδα του πέμπτου τόμου της Ιστορίας του Ευρωπαϊκού Πολιτισμού του ΠΚανελλόπουλου όπου γράφει laquoΤό ἰδεῶδες τοῦ Βολταίρου δέν ἦταν τό ἕνα ἤ τό ἄλλο πολιτικό σύστημα Ζητοῦσε σέ ὁποιοδήποτε πολίτευμα τό φῶς τῆς ἠθικῆς ἀλήθειας τήν ἀνεκτικότητα τήν ἐλευθερία τῶν συνειδήσεων τήν ἀνθρωπιάraquo Στον ίδιο τόμο και στην αρχή του εκατοστού πρώτου κεφαλαίου ο Π Κανελλόπουλος γράφει για το Βολταίρο καθώς και για τη σχέση του με τη Γαλλική Επανάσταση laquoἝνα ἀπό τά αξιοσημείωτα φαινόμενο του ΙΗrsquo αἰώνα ndash φαινόμενο ἀξιοσημείωτο ἀλλά διόλου περίεργο ndash εἶναι ὅτι ἄλλοι προετοίμασαν τή Μεγάλη Ἐπανάσταση ἄλλοι τήν ἐγκαινίασαν καί ἄλλοι τήν πῆραν στά χέρια τους ἀποσπώντας την ἀπό τά χέρια τοῦ λαοῦ Ἕνας ἀπό ὅσους τήν προετοίμασαν χωρίς νἄναι διόλου ἐπαναστάτες ἦταν ὁ Βολταῖροςraquo Στον ίδιο τόμο του Π Κανελλόπουλου διαβάζουμε για τη θρησκευτική αντίληψη του Βολταίρου

laquoὉ Βολταῖρος δέν ξέφυγε ποτέ ἀπό τήν ἰδέα ὅτι ὁ Θεός καί ὅτι ἡ ἀνθρώπινη ψυχή εἶναι ἀθάνατηraquo(σελ 26)

No304

Βολταίρος Franccedilois-Marie Arouet

(1694-1778)


Κι ακόμα laquoὉ Βολταῖρος δέν ἦταν laquoπιστόςraquo Μόνον ὁ νοῦς του ἡ λογική δέν τόν ἀφῆκε

νἆναι ἄθεοςraquo Μέσα από μια τέτοια αντίληψη που εδράζεται στην απόλυτη εμπιστοσύνη στον ορθολογισμό η σημερινή επιστήμη συνεχίζει τις έρευνες και τις αναζητήσεις της δημιουργίας του Σύμπαντος και της ερμηνείας του κόσμου



( )( )2a bc

a b a c+ +


Λύση(Τρίτος τρόπος) Θα αποδείξουμε πρώτα το παρακάτω λήμμα Λήμμα Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( )90oABC A = φέρουμε τις διαγώνιες

BE CD οι οποίες τέμνονται στο σημείο I τότε θα ισχύει

( )1 1 1 1BD CE ρ

+ =

όπου ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου αυτού Απόδειξη Έχοντας υπόψη τους τύπους

( ) 2ca baBD CEa b a c

= =+ +

η ζητούμενη σχέση ισοδυναμεί

( ) 1 1 11 ca baa b a c

ρhArr + = hArr

+ +

1a b a cac ab ρ+ +

hArr + = hArr

( ) ( ) 1a b b a c cabc ρ

+ + +hArr = hArr


+ + +hArr = hArr


2 2 21 1ab ac b c ab ac aabc abcρ ρ

+ + + + +hArr = hArr = hArr

2 1 1ab ac a a b cabc bcρ ρ+ + + +

hArr = hArr = hArr

1 2 12

a b cbc

τ τρρ ρ

+ +hArr = hArr = hArrΕ =

Ε Η τελευταία αυτή σχέση είναι αληθής και συνεπώς και η ζητούμενη (1)

Λύση της άσκησης Ζητούμε ότι

( ) ( ) ( ) ( )2

22 3a bca b a c

ρge+ +

Η σχέση (3) λόγω της (2) ισοδυναμεί

( ) ( )23 4 4BD CE ρhArr sdot ge Από τη σχέση (1) του λήμματος προκύπτει

BD CEBD CE

ρ sdot=

+

άρα η (4) ισοδυναμεί

( )2

4 4 BD CEBD CEBD CE

sdot⎛ ⎞hArr sdot ge hArr⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )( )

2 22

24 0BD CEBD CE BD CEBD CE

sdothArr sdot ge hArr minus ge

+

Η τελευταία ισχύει και συνεπώς και η ζητούμενη (3) Η ισότητα ισχύει στην περίπτωση που το τρίγωνο είναι ισοσκελές ορθογώνιο 410 Να δειχθεί ότι σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η μεσοκάθετος του τμήματος που ενώνει το ορθόκεντρο με το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου διέρχεται από μια απrsquo τις τρεις κορυφές του τριγώνου αν και μόνον εάν μια από τις γωνίες του τριγώνου είναι ίση με 60ο

(Dominique Roux Diophante les recreations matheacutematiques) Λύση Έστω ότι η μεσοκάθετος του τμήματος ΗΚ διέρχεται από την κορυφή του τριγώνου ΑΒΓ Θα δείξουμε ότι 60οΑ = (Σχήμα 2)


Επειδή η ΑΚ είναι μεσοκάθετος του ΗΟ θα είναι

( )1ΑΗ = ΑΟ Είναι γνωστό ακόμα ότι τα

συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές του τριγώνου κείνται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο Άρα θα είναι

( )( )

2

1 2

2

3

ΑΗ = ΑΗ

ΓΗ = ΓΗ = ΓΗ


2ΑΟ = ΑΗ άρα το τρίγωνο 2ΑΟΗ ισόπλευρο Από την (3) προκύπτει ότι ( )1 2 1 2 4ΓΗ = ΓΗ rArrΗ ΑΓ = ΓΑΗ

Τέλος είναι γνωστό ότι

( )5ω θ= Άρα από τις (4) και (5) προκύπτει

1 2 2 60οω θΑ = ΒΑΓ = +Η ΑΓ = +ΓΑΗ = Α ΑΗ =

Αντίστροφα Έστω ότι 60οΑ = Τότε το τρίγωνο 2ΟΑΗ θα είναι ισόπλευρο διότι είναι ισοσκελές με κορυφή το κέντρο του κύκλου Ο και

2 1 60οφ θ ωΟΑΗ = + =Η ΑΓ + = Α =

Άρα ΑΗ = ΑΟ

και συνεπώς η μεσοκάθετος στο τμήμα ΗΟ θα διέλθει από την κορυφή Α


440 Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα [ ]0π η οποία έχει συνεχή τη δεύτερη παράγωγό της Αν ( ) 1f π = και

( ) ( )( )0

2f x f x xπ

ημprimeprime+ =int

να βρεθεί το ( )0f (Α Βαβαλέτσκος Το ορισμένο Ολοκλήρωμα Γ΄ Λυκείου)









Τα παράδοξα του Ζήνωνα και οι αριστοτελικές σκέψεις σχετικά μrsquo αυτά έδωσαν μια μεγάλη ώθηση στην επεξεργασία και στην ανάλυση της έννοιας του απείρου Η έννοια του απείρου ως φιλοσοφική ιδέα εμφανίστηκε για πρώτη φορά από το Μιλήσιο φιλόσοφο Αναξίμανδρο Αυτό αναφέρεται από πολλούς ιστορικούς της ύστερης αρχαιότητας αλλά και από τον ίδιο τον Αριστοτέλη Ειδικότερα ο Διογένης ο Λαέρτιος όταν ξεκινάει το κεφάλαιο laquoΑναξίμανδροςraquo αναφέρεται στις κοσμολογικές απόψεις του Αναξίμανδρου και γράφει laquoἈναξίμαδρος Πραξιάδου Μιλήσιος Οὗτος ἔφασκεν ἀρχήν καί στοιχεῖον τό ἄπειρον οὐ διορίζων ἀέρα ἤ ὕδωρ ἤ ἄλλο τι Καί τά μέν μέρη μεταβάλλειν τό δέ πᾶν ἀμετάβλητον εἶναιraquo

(TLG Diogenes Laertius vitae philosophorum 211 ndash 212) Στο χωρίο αυτό καταγράφεται η άποψη του μεγάλου αυτού Ίωνα φιλοσόφου του Αναξίμανδρου σύμφωνα με την οποία η αρχή του κόσμου και θεμελιώδες στοιχείο αυτού είναι το άπειρο Δεν προσδιόριζε ο φιλόσοφος αυτός κάτι άλλο πέραν αυτού όπως το νερό τον αέρα ή οποιοδήποτε άλλο όπως υποστήριζαν άλλοι φιλόσοφοι την εποχή εκείνη Το άπειρο σύμφωνα με τις απόψεις αυτού του φιλοσόφου είναι το laquoπανraquo κι αυτό το παν είναι αμετάβλητο σταθερό αμετακίνητο ενώ τα μέρη από τα οποία αποτελείται κι είναι ο αισθητός κόσμος μεταβάλλονται σε μια αέναη δυναμική διαδικασία Ο Διογένης ο Λαέρτιος συνεχίζοντας την αναφορά του για τις απόψεις του Μιλήσιου αυτού φιλοσόφου λέει

laquoΜέσην τε τήν γῆν κεῖσθαι κέντρου τάξιν ἐπέχουσαν οὖσαν σφαιροειδῆmiddot τήν τε σελήνην ψευδοφαῆ καί ἀπό ἡλίου φωτίζεσθαιmiddot ἀλλά καί τόν ἥλιον οὐκ ἐλάττονα τῆς γῆς καί καθαρώτατον πῦρraquo

(TLG Diogenes Laertius vitae philosophorum 212 ndash 216) Από το χωρίο αυτό μαθαίνουμε για τις απόψεις που διατύπωνε σrsquo εκείνη την εποχή των φυσικών φιλοσόφων της Ιωνίας ο Αναξίμανδρος Φαίνεται από το χωρίο αυτό πως ο φιλόσοφος αυτός πίστευε πως η γή βρίσκεται στη laquoμέσηraquo αυτού του laquoάπειρου κόσμουraquo (μέσην τε τήν γῆν κεῖσθαι)και κατέχει μια θέση κεντρική (κέντρου τάξιν ἐπέχουσαν) Είναι μια άποψη που θέλει τη γη στο κέντρο του κόσμου κι όλο τον άλλο κόσμο γύρω της Είναι ασφαλώς μια γεωκεντρική άποψη Το ζήτημα αυτό θα απασχολήσει τους αστρονόμους και τους φιλοσόφους μέχρι την εποχή του Γαλιλαίου και του Κοπέρνικου αν και υπήρξαν και αρχαίοι έλληνες που μετέθεσαν από την εποχή εκείνη το κέντρο του ηλιακού συστήματος από τη γή στον

No305

Αναξίμανδρος (610-545 πΧ)

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 21 Μαρτίου 2012 24 ήλιο Η δουλειά του Ερατοσθένη με τη μέτρηση της περιμέτρου της γης καθώς και οι εργασίες του Αρίσταρχου είναι από τις πλέον χαρακτηριστικές στην ιστορία της αστρονομίας που υποστήριξαν τη λεγόμενη ηλιοκεντρική άποψη Για τη σελήνη ο Αναξίμανδρος πίστευε σύμφωνα με την αναφορά αυτή ότι δεν έχει δικό της φως (τήν τε σελήνην ψευδοφαῆ καί ἀπό ἡλίου φωτίζεσθαι) και πως φωτίζεται από τον ήλιο ο οποίος είναι όχι κοντά στη γη κι αποτελείται από καθαρή φωτιά


411 Έστω οι ακέραιοι x y τέτοιοι ώστε

( ) ( )33 3 30 2000 1x y x y xy+ + + + = Να δείξετε ότι

( )10 2x y+ = (Βαλκανιάδα Νέων 2000)

Λύση Από την (1) προκύτει

( ) ( ) ( ) ( )3 31 3 30 2000 0x y xy x y x y xyhArr + minus + + + + minus =

( ) ( )3 32 2 10 3 10 0x y xy x yhArr + minus sdot minus + minus =

( ) ( )3 32 10 3 10 0x y xy x y⎡ ⎤hArr + minus minus + minus =⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2 22 10 10 10 3 10 0x y x y x y xy x y⎡ ⎤hArr + minus + + + + minus + minus =⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 210 2 10 10 3 0x y x y x y xy⎡ ⎤⎡ ⎤hArr + minus + + + + minus =⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( ) ( )210 2 20 200 3 0x y x y x y xy⎡ ⎤hArr + minus + + + + minus =⎣ ⎦

( ) ( )2 210 2 2 20 20 200 0 2x y x y xy x y⎡ ⎤hArr + minus + + + + + =⎣ ⎦ Από την τελευταία σχέση προκύπτει

( )10 3x y+ = ή

( )2 22 2 20 20 200 0 4x y xy x y+ + + + + = Η σχέση (4) αν θεωρηθεί ως μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς έναν άγνωστο για παράδειγμα τον x τότε αυτή γράφεται

( ) ( ) ( )2 22 20 2 20 20 0 5x y x y y+ + + + + = Η εξίσωση (5) έχει διακρίνουσα

( ) ( )22 24 20 4 2 2 20 200b ac y y yΔ = minus = + minus sdot sdot + + και μετά πράξεις

( ) ( )215 8 80 6y yΔ = minus + +

Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 21 Μαρτίου 2012 34 Θεωρώντας το τριώνυμο

( ) 2 8 80f y y y= + + παρατηρούμε πως αυτό έχει διακρίνουσα

21 8 4 1 80 256 0Δ = minus sdot sdot = minus lt

Άρα 2 8 80 0y y y R+ + gt forall isin

και συνεπώς

( )215 8 80 0y y y RΔ = minus + + lt forall isin Άρα η (4) δεν ικανοποιείται για καμμιά πραγματική τιμή του x και συνεπώς

2 22 2 20 20 200 0 x y xy x y x y R+ + + + + ne forall isin Επομένως από τις (3) και (4) αληθεύει μόνον η (3) Άρα

10x y+ = δηλαδή η ζητούμενη (2)

412 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ Από το Δ φέρουμε την κάθετη ΔΕ προς την ΑΓ και στο τμήμα ΔΕ χαράσσουμε το σημείο Ζ τέτοιο ώστε

( )1σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β

Να δειχθεί ότι ( )2ΒΕ perp ΑΖ

Λύση (1ος τρόπος) Επειδή όπως φαίνεται κι από το σχήμα 1 είναι

σφ σφΓΔ ΒΔΓ = Β =

ΑΔ ΑΔ

η δοθείσα σχέση (1) ισοδυναμεί


( )3ΔΖ ΔΓ=

ΖΕ ΒΔ

Από την (3) προκύπτει και η κατασκευή του σημείου Ζ Δηλαδή Φέρουμε το ύψος ΒΘ του τριγώνου ΑΒΓ και από το σημείο Ε μια παράλληλη

προς την ΒΓ που τέμνει το ύψος ΒΘ στο σημείο Μ Αν ενώσουμε το σημείο αυτό Μ με το Γ τότε το τμήμα ΜΓ θα τμήσει την ΔΕ στο σημείο Ζ Εύκολα διαπιστώνεται πως για το σημείο αυτό Ζ ισχύει η (3)

Από την (3) επίσης προκύπτει ( ) ( ) ( )4

αΔΕ ΒΔΕΖ ΒΔ

= rArrΕΖ =ΔΕ ΒΓ

Για να δειχθεί ότι τα τμήματα ΑΖ και ΒΕ είναι κάθετα μεταξύ των αρκεί να δειχθεί ότι οι οξείες γωνίες φ και ω είναι ίσες Για να δειχθεί αυτό αρκεί να δειχθεί ότι τα ορθογώνια τρίγωνα (ΒΕΘ) και (ΑΕΖ) είναι όμοια

Δηλαδή αρκεί να δειχθεί ότι

( )5ΒΘ ΑΕ=

ΘΕ ΕΖ

Όμως η (5) λόγω της (4) γίνεται

( ) ( )4 β βυ υ α

α

ΑΕΑΕhArr = hArr = hArr

ΒΔΑΕminusΑΘ ΑΕminusΑΘ ΔΕsdotΒΔΔΕsdot

αβ

α

αυ ημυυ ημ γσυν

ΓhArr =

Γ minus Α ( ) ημΔΓ Γ γ συνhArr

sdot Β

βυhArr

α

β

υ ημ γσυν=

Γminus Αβυ

β

α

συν γ συν

υ ημ γσυν συν γ συν

Γ sdot Β

hArr Γminus Α = Γ sdot Β hArr

( )

( )

α

α

γ συν συν συνυ

ημ


ημ

Α + Γ sdot ΒhArr =

Γ

minus Β +Γ + Γsdot Β⎡ ⎤⎣ ⎦hArr =Γ

αυ ημhArr = Γ Β η οποία είναι αληθής Άρα και (5) αληθής Άρα ΑΖ perp ΒΕ


441 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΒΓ=α ΓΑ=β ΑΒ=γ Να δειχθεί ότι

2 32 2

β α γ σφ σφΑ Γ= + hArr =

(DH Can Tho 1998)









Ο Αναξίμανδρος είναι εκείνος που για πρώτη φορά μιλά για το άπειρο και το συσχετίζει με τις κοσμολογικές του πεποιθήσεις Ο Μιλήσιος αυτός φιλόσοφος της προσωκρατικής περιόδου συλλαμβάνει την έννοια του απείρου η οποία στη συνέχεια των αιώνων εξελίσσεται συνεχώς Όμως αξίζει να δει κανείς και την αρχική προέλευση της λέξης αυτής που δηλώνει την απεραντοσύνη την αιωνιότητα και γενικά το απεριόριστο στοιχείο Οι μεγάλες laquoδεξαμενέςraquo της γλωσσικής μας κληρονομιάς είναι ασφαλώς τα Ομηρικά έπη(Ιλιάδα και Οδύσσεια) τα δύο έργα του Ησιόδου(Θεογονία - Έργα και Ημέρες) καθώς οι Ορφικοί ύμνοι Είναι ενδιαφέρον να δει κανείς το πώς ξεκινά ετυμολογικά η λέξη αυτή η οποία περιγράφει το πολύ μεγάλο το αιώνιο και το άπιαστο Στην Ιλιάδα καθώς και στην Οδύσσεια εμφανίζονται πολλές φορές εκφράσεις που περιέχουν τη λέξη ἀπείρων - ονος όπως

Ζεῦ πάτερ ἦ ῥά τίς ἐστι βροτῶν ἐπrsquo ἀπείρονα γαῖαν ὅς τις ἔτrsquo ἀθανάτοισι νόον καί μῆτιν ἐνίψει

δηλαδή Δία πατέρα είναι θνητός κανείς στην οικουμένην

οπού να ειπή την σκέψιν του στους αθανάτους πλέον (Ιλιάδα Ραψωδία Η βιβλίο 7 Στίχοι 446-447 Μετάφραση Ι Πολυλά)

Στα λόγια αυτά του Ποσειδώνα προς το Δία υπάρχει η έκφραση ἀπείρονα γαῖαν που σημαίνει απέραντη γη και βέβαια ο Ιάκωβος Πολυλάς πολύ όμορφα την μεταφράζει με τη λέξη οικουμένη Και σε άλλα σημεία των Ομηρικών επών συναντά κανείς φράσεις όπως

ἀπείρονα πόντον = απέραντη θάλασσα ἀπείρονα κόσμον =απέραντος κόσμος

Η λέξη ἀπείρων ndash ονος που πρωτοεμφανίζεται στα έπη αυτά είναι ένα επίθετο που προκύπτει από τη σύνθεση του στερητικού α και του ουσιαστικού πεῖραρ που σημαίνει πέρας Όμοια η λέξη αυτή πεῖραρ εμφανίζεται επίσης στην Ιλιάδα αλλά και στην Οδύσεια και δηλώνει την έννοια του πέρατος Για παράδειγμα

laquoἄμφω δ᾽ ἱέσθην ἐπὶ ἴστορι πεῖραρ ἑλέσθαιraquo δηλαδή

laquoΚαι οι δυο εμπρός ηθέλαν στον κριτήν το πράγμα να τελειώσειraquo (Ιλιάδα Ραψωδία Σ΄ βιβλίο 18 Στίχοι 501 Μετάφραση Ι Πολυλά)

Βλέπουμε και στην περίπτωση αυτή πως στη μετάφραση της φράσης πεῖραρ

No306


ἑλέσθαι ο Ιάκωβος Πολυλάς βάζει την αντίστοιχη νεοελληνική το πράγμα να τελειώσει Εύκολα τώρα μπορεί να αντιληφθεί ο καθένας ότι το επίθετο ἀπείρων-ονος προκύπτει ως εξής α+πεῖραρ = ἀπεῖραρ = ἀπείρων-ονος = χωρίς πέρας χωρίς τέλος άπειρος



( )1σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β


Λύση (2ος τρόπος) Θα γίνει χρήση της αναλυτικής γεωμετρίας Θεωρούμε το οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ τοποθετημένο σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ως εξής

Έστω ότι η αρχή Ο των αξόνων είναι το σημείο Δ του ύψους ΑΔ τα σημεία Β και Γ του οξυγωνίου αυτού τριγώνου πάνω στον οριζόντιο άξονα και εκατέρωθεν της αρχής Δ και τέλος η κορυφή Α πάνω στον κατακόρυφο άξονα(Σχήμα 1) Στην περίπτωση αυτή είναι ασφαλώς 0 0 0α β γgt lt gt

Όπως αναφέρθηκε και στην πρώτη λύση η συνθήκη (1) ισοδυναμεί με την

( )3ΔΖ ΓΔ=

ΖΕ ΔΒ

Η εξίσωση της πλευράς ΑΓ είναι ως γνωστόν

1x yγ α+ =


η οποία γίνεται ισοδύναμα

( ) ( ) 4x yα γ αγΑΓ + = και ο συντελεστής κατευθύνσεως της ευθείας αυτής είναι

( )5αλγΑΓ = minus

Αν θεωρήσουμε και την εξίσωση της ευθείας που ορίζει το κάθετο τμήμα ΔΕ προς την ΑΓ τότε αυτή θα έχει συντελεστή κατεύθυνσης

( )6γλ

αΔΕ =

και ασφαλώς η εξίσωση αυτής θα είναι

( ) ( ) 7y xγα

ΔΕ =

Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων (4) και (7) βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Ε αυτών

( )2 2

2 2 2 2 8α γ αγα γ α γ⎛ ⎞

Ε⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Από τη σχέση (3) προκύπτει ότι το σημείο Ζ χωρίζει το τμήμα ΔΕ σε γνωστό λόγο ίσο με

( )10γλ

β=

άρα οι συντεταγμένες του σημείο αυτού δίνονται από τους τύπους

( )1 11

1

x xx

y yy

λλλλ

Δ ΕΖ

Δ ΕΖ

+ ⎫= ⎪⎪+⎬+ ⎪=⎪+ ⎭

Σύμφωνα με τους τύπους αυτούς και με τους τύπους (8) βρίσκεται μετά από πράξεις ότι οι συντεταγμένες του σημείου Ζ είναι

( )( )

( )( )( )

2 2

2 2

3

2 2

12

x

y

α γβ γ α γ

αγβ γ α γ

Ζ

Ζ

⎫= ⎪+ + ⎪

⎬⎪= ⎪+ + ⎭

δηλαδή είναι


( )( ) ( )( ) ( )2 2 3

2 2 2 2 13α γ αγ

β γ α γ β γ α γ

⎛ ⎞⎜ ⎟Ζ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

Από τις (8) και (13) σχέσεις προκύπτουν οι συντελεστές κατεύθυνσης των τμημάτων ΒΕ και ΑΖ Δηλαδή

( )

2

22 2

2 2 2 2

2 2

014

αγαγα γλ

α γ α γ βα βγβα γ

ΒΕ

minus+= =

+ +++

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

3

2 2 3 2 2

2 2 2

2 2

140

αγ αβ γ α γ γ β γ α γ

λα γ αγ

β γ α γ

ΑΖ

minus+ + minus + +

= =minus

+ + Άρα από τις (13) και (14) προκύπτει

( ) ( )3 2 22

2 2 2 2 1γ β γ α γαγλ λ

α γ βα βγ αγΒΕ ΑΖ

minus + +sdot = sdot = minus

+ +

διότι είναι

( )( )3 2 2 2 2 2γ β γ α γ α β βγ γαminus + + = minus minus minus Άρα λοιπόν είναι ΒΕ perp ΑΖ Δηλαδή η ζητούμενη (2)


442 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα ΔΕΖ των ΒΓ ΓΑ ΑΒ αντίστοιχα Να δειχθεί ότι το ορθόκεντρο του ΔΕΖ(διάμεσο τρίγωνο) είναι το περίκεντρο του ΑΒΓ (Δ Κοντογιάννης Βασικά θέματα μαθηματικών διαγωνισμών Κυπριακή Μαθηματική

Εταιρεία ΚΥΜΕ Λευκωσία 2012 Σελ17)) 443 Να λυθεί η ανίσωση

( ) ( )2 3 3 2log log 2 log log 3 0x x x xsdot + sdot ge (Truonc thpt chuyen ha long)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 4 Απριλίου 2012 14






Εκτός από τα Ομηρικά έπη λέξεις που μπορούν να θεωρηθούν ως πρόδρομοι της λέξης laquoάπειρονraquo βρίσκει κανείς όπως αναφέρθηκε(ΣΜ306) και στα έργα του Ησιόδου

Η laquoΘεογονίαraquo και το laquoΈργα και Ημέραιraquo είναι τα δύο χαρακτηριστικά έργα του Ησιόδου που μετά τα Ομηρικά έπη αποτελούν τη δεύτερη πηγή της ελληνικής γλώσσας Στη έργο laquoΘεογονίαraquo ο Ησίοδος καταγράφει τις κοσμολογικές απόψεις της εποχής του και είναι ένα επικό έργο όπου κανείς πληροφορείται για τις θρησκευτικές πεποιθήσεις καθώς και τις μυθολογικές παραδόσεις των ελλήνων κατά την εποχή μεταξύ του 1000-700 πΧ Το έργο αυτό είναι μια σημαντική πηγή της γλωσσικής μας κληρονομιάς στο οποίο μπορεί κανείς να δει την αφετηρία της εννοιολογικής διάστασης των λέξεων οι οποίες στη διάβα των αιώνων έφθασαν στη δικιά μας εποχή και στο δικό μας κώδικα επικοινωνίας Διαβάζοντας το έργο αυτό συναντά φράσεις που σχετίζονται με το laquoάπειροraquo όπως

πόντος ἀπείριτος ἀπείρονα γαῖαν κά Οι λέξεις ἀπείριτος ἀπείρων απείρονα δηλώνουν την απεραντοσύνη και την χωρίς όρια γη και θάλασσα Για παράδειγμα

laquoεἴπατε δrsquo ὡς τά πρῶτα θεοί καί γαῖα γένοντο καί ποταμοί καί πόντος ἀπείριτος οἴδματι θυίων

ἄστρά τε λαμπετόωντα καί οὐρανός εὐρύς ὕπερθενraquo (ΗσίοδοςΘεογονία 108-110)

Δηλαδή laquoΚαι να πείτε πως πρώτrsquo απ΄ όλα γεννήθηκαν οι θεοί και η γη

και η απέραντη θάλασσα που είναι γεμάτη με μανιασμένο κύματα καθώς και τα λαμπερά άστρα κι ο πλατύς ουρανός που βρίσκεται ψηλάraquo Όπως στη Θεογονία έτσι και στο laquoΈργα και ημέραιraquo όπου ο Ησίοδος περιγράφει τη σχέση του ανθρώπου με τη γη και την εργασία διαβάζει κανείς φράσεις που περιέχουν τις λέξεις αυτές Για παράδειγμα

No307

Το άροτρο του Ησιόδου (8ος-7ος αι πΧ)


laquoἦμος κόκκυξ κοκκύζει δρυός ἐν πετάλοισι το πρώτον τέρπει δε βροτούς ἐπrsquo ἀπείρονα γαῖανraquo

(Ησίοδος Έργα και Ημέραι 486-487) Δηλαδή

laquoΌπως ο κούκος φωνάζει στα φύλλα της βελανιδιάς αρχικά τέρπει τους ανθρώπους σrsquo ολόκληρη τη γηraquo


413 Να λυθούν οι εξισώσεις

( ) ( )

( ) ( )

22

22

) 3 2 3 2 1

) 8 5 5 1 8 2

i x x

ii x x

+ minus =

minus minus = minus

Λύση i) Θεωρούμε την αντικατάσταση

( )22 3 3y x= minus Άρα η (1) ισοδυναμεί με το σύστημα

( )2

2

3 24

2 3x yy x

⎫+ = ⎪⎬

= minus ⎪⎭

Κι ακόμα

( )( )( )

2

2

2 3 54

2 3 6

x y

y x

⎫= minus ⎪hArr ⎬= minus ⎪⎭

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (5) και (6) προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( )2 23 3x y x y x y x y x yminus = minus hArr minus = minus + hArr

( ) ( ) ( )3 1 0 0 3 1x y x y x y ή x yhArr minus + minus = hArr minus = + =⎡ ⎤⎣ ⎦ και τελικά οι σχέσεις αυτές ισοδυναμούν με τις

( )

( )

71 3 8

3

y xxy

=

minus=

1η περίπτωση Έστω ότι y x=

τότε η (5) γίνεται 23 2x x+ =

και η οποία έχει ρίζες


1 2213

x x= minus =

2η περίπτωση Έστω ότι

1 33

xy minus=

τότε η (6) γίνεται

2 21 3 2 3 9 3 5 03

x x x xminus= minus hArr minus minus =

που έχει ρίζες

341 21

6x plusmn

=

Άρα το σύνολο των λύσεων της (1) είναι

2 1 21 1 211 3 6 6

S⎧ ⎫minus +⎪ ⎪= minus⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Παρατήρηση Η εξίσωση (1) μπορεί να γραφεί και ως εξής

4 227 36 10 0x x xminus + + = η οποία μπορεί έχει ακέραιους συντελεστές και μπορεί να λυθεί με ανίχνευση ρητών ριζών από τους διαιρέτες του σταθερού όρου καθώς και τους διαιρέτες του συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου(Σχήμα Horner) ii) Θέτουμε

( )22 5 1 9y x= minus Άρα η εξίσωση (2) γίνεται

( ) ( )2 28 5 2 8 2 5 1 10x y x yminus sdot = minus hArr = minus Οι εξισώσεις (9) και (10) αποτελούν ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο

αγνώστους δηλαδή

( )( )

2

2

2 5 1 11

2 5 1 12

y x

x y

⎫= minus ⎪⎬

= minus ⎪⎭

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις του συστήματος (11) προκύπτει

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 5

2 5 2 5 0

y x x y

y x x y x y y x x y

minus = minus hArr

hArr minus = minus + hArr minus minus + =⎡ ⎤⎣ ⎦Από την τελευταία προκύπτει


( )

( )

( )

1305 22 5 14

5

y xy xxx y y

=minus = ⎫hArr⎬ += + = minus⎭


τότε η εξίσωση (11) γίνεται

( )2 22 5 1 5 2 1 0 15x x x x= minus hArr minus minus = Η εξίσωση (15) έχει ρίζες

121 6

5x plusmn

=

2η περίπτωση Έστω ότι 5 2

5xy +

= minus


2 2

2

5 2 10 42 5 1 5 15 5

25 10 1 0

x xx x

x x

+ +⎛ ⎞minus = minus hArr minus = minus hArr⎜ ⎟⎝ ⎠

hArr + minus =

η οποία έχει ρίζες

341 2

5x minus plusmn

=

Άρα το σύνολο λύσεων της (2) είναι

1 2 3 41 6 1 6 1 2 1 2

5 5 5 5S x x x x

⎧ ⎫minus + minus minus +⎪ ⎪= = = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭



( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15) 3 5 log 9 19 log 12 0

x x x x x xiii x x x x

minus + minus + minus+ = sdot

minus + minus minus =

(wwwmathvncom)









Η τρίτη μεγάλη δεξαμενή της γλωσσικής μας κληρονομιάς είναι οι Ορφικοί ύμνοι Οι ύμνοι αυτοί στους οποίους συναντά κανείς έναν πλούτο γλωσσικής έκφρασης είναι τραγούδια τα οποία απαγγέλλονταν κατά τη διάρκεια των Ορφικών Μυστηρίων Γενικά σήμερα με τον όρο Ορφισμό εννοούμε μια μυστικιστική λατρεία των αρχαίων ελλήνων που είχε ως κεντρικό πρόσωπο τον Ορφέα Τα Ορφικά Μυστήρια εμφανίζεται κυρίως τον 6ο πΧ αιώνα και συνεχίζονται μέχρι τα ελληνιστικά χρόνια Στους Ορφικούς ύμνους συναντά κανείς λέξεις με τις οποίες περιγράφεται το απεριόριστο και το απέραντο στοιχείο που χαρακτηρίζει τη γη τη θάλασσα τον ουρανό και διάφορα άλλα στοιχεία του κόσμου Όπως στα Ομηρικά έπη και στα έργα του Ησιόδου έτσι και στους θρησκευτικούς αυτούς ύμνους συναντά κανείς λέξεις που δηλώνουν την απεραντοσύνη όπως

ἀπειρέσιος ἀπείρονας ἀπείριτοςhellip Παραδείγματα Όταν υμνείται ο Ήλιος διαβάζουμε

laquoῥόμβου ἀπειρεσίου δινεύμασιν οἶμον ἐλαύνωνraquo (Hymni 87) δηλαδή

laquoκαι διέρχεσαι το δρόμο του απέραντου ρόμβου με περιστροφικές κινήσειςraquo

Επίσης όταν υμνείται ο θεός Πάνας laquoσοί γάρ ἀπειρέσιον γαίης πέδον ἐστήρικταιraquo (Hymni 1113) δηλαδή laquoγιατί σε σένα στηρίζεται το απέραντο δάπεδο της γηςraquo Ακόμα για τον ίδιο θεό διαβάζουμε

laquoβόσκων ἀνθρώπων γενεήν κατrsquo ἀπείρονα κόσμονraquo (Hymni 1120) δηλαδή laquoκι εσύ που τρέφεις το γένος των ανθρώπων στον απέραντο κόσμοraquo Τέλος όταν τραγουδιέται ο μυθικός ήρωας Ηρακλής διαβάζουμε

No308

laquoΟρφέας και Ευρυδίκηraquo Λεπτομέρεια από τον πίνακα του Jean-

Baptiste- Camille Corot 1861


laquoαθάνατος πολύπειρος ἀπείριτος ἀστυφέλικτοςraquo (Hymni 1213) δηλαδή

laquoείσαι αθάνατος με μεγάλη πείρα απέραντος και αδιάσειστοςraquo Όλες αυτές οι λέξεις που συναντήσαμε στα τρία αυτά έργα της ελληνικής γραμματείας αποτελούν την αφετηρία της λέξης laquoάπειρονraquo η οποία πολύ αργότερα και κατά την περίοδο του τετάρτου αιώνα την εποχή του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη θα αποτελέσει έννοια σχολαστικής έρευνας που θα συνεχιστεί μέχρι και σήμερα


414 Αν 0a b c gt και

( )1 1 1 1a b ca b c

+ + ge + + τότε να δείξετε ότι

( )3 2a b cabc

+ + ge (mateforumro)

Λύση Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτοανίσωση

( ) ( ) ( )2 3 3x y z xy yz zx+ + ge + + Η απόδειξη της (3) γίνεται ως εξής

( ) ( )( )

2 2 2

2 2 2

1 2 2 2 3

4

x y z xy yz zx xy yz zx

x y z xy yz zx

hArr + + + + + ge + + hArr

hArr + + ge + +όμως η (4) ισχύει γιατί είναι η γνωστή ταυτοανίσωση του Schwartz Απόδειξη της (2)

( ) ( )

0

22

1 1 1

1 1 1 5

a b ca b c

a b c

a b ca b c

gt

+ + ge + + rArr

⎛ ⎞rArr + + ge + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμως από την (3) προκύπτει

( )21 1 1 1 1 13 6

a b c ab bc ca⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Άρα από τις (5) και (6) προκύπτει

( ) ( )2 1 1 13 7a b cab bc ca

⎛ ⎞+ + ge + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Από την (7) στη συνέχεια έχουμε


( )02 3

a b ca b ca b cabc

+ + gt+ +⎛ ⎞+ + ge rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

3a b cabc

rArr + + ge

η οποία είναι η ζητούμενη σχέση (2) 415 Να υπολογιστεί το άθροισμα

( )201 601 1201 9001 12 6 12 90

S = + + + + (mateforumro)

Λύση Το άθροισμα αυτό γράφεται

201 601 1201 90012 6 12 90

S = + + + + =

200 1 600 1 1200 1 9000 12 2 6 6 12 12 90 90

= + + + + + + + + =

1 1 1 1100 100 100 1002 6 12 90

= + + + + + + + + =

1 1 1 1900 2 6 12 90

= + + + + + =

1900 12

= + minus12

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

13

minus13

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

14

minus19

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

110

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 9 9009900 1 90010 10 10

= + minus = + = Άρα

900910

S =

Παρατήρηση Η άσκηση θα μπορούσε να γενικευθεί σε άθροισμα όχι εννέα όρων όπως στην ανωτέρω περίπτωση αλλά σε άθροισμα n όρων Δηλαδή

( )( )

100 1 1201 601 1201 2 6 12 1n

n nS

n nsdot + +

= + + + ++

Στην περίπτωση αυτή το άθροισμα αυτό είναι

( )2 1100

1nn nS nn n+ minus

= sdot minus+


416 Δίνονται δύο κύκλοι ( )1 1 1C O R και ( )2 2 2C O R οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Α και Β Η διάμετρος ΑΓ του πρώτου τέμνει τον δεύτερο στο σημείο Δ και Μ τυχαίο σημείο του πρώτου κύκλου Αν η ΜΑ τέμνει τον δεύτερο κύκλο στο σημείο Ν τότε να δειχθεί ότι

ctΜΓ=

ΝΔ

(wwwmathvn) Λύση Θεωρούμε και τη διάμετρο ΑΕ του δεύτερου κύκλου που τέμνει τον πρώτο

στο σημείο Ζ Τότε εύκολα δείχνεται ότι τα τρίγωνα ΑΓΖ και ΑΔΕ είναι όμοια Συνεπώς

( )1

2

1RR

ΓΖ ΑΓ= =

ΔΕ ΑΕ

Όμοια όπως φαίνεται από το σχήμα 1 τα τρίγωνα ΜΓΖ και ΝΔΕ είναι όμοια Άρα

( )11

2

R ctR

ΜΓ ΓΖ= = =

ΔΝ ΔΕ


445 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Έστω μεταβλητό σημείο Μ στο εσωτερικό του τριγώνου αυτού και Α΄ Β΄ Γ΄ οι προβολές αυτού στις πλευρές ΒΓ ΓΑ ΑΒ αντίστοιχα Να δειχθεί ότι

2 2 2

3ΜΑ ΜΒ ΜΓ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟prime prime prime prime prime primeΜΒ +ΜΓ ΜΓ +ΜΑ ΜΑ +ΜΒ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (wwwmathvncom)









Μετά από τις λέξεις ἀπειρέσιος ἀπείρονας ἀπείριτοςhellip

οι οποίες όπως αναφέρθηκε(ΣΜ 306-7-8) βρίσκονται στα Ομηρικά έπη στον Ησίοδο και στους Ορφικούς ύμνους και οι οποίες σηματοδοτούν την απεραντοσύνη και το ατελείωτο ενός μεγέθους έρχεται η εμφάνιση της λέξης άπειρον Μετά τον Ίωνα φιλόσοφο του έκτου πΧ αιώνα τον Αναξίμανδρο που μιλά πρώτος για το άπειρο(ΣΜ 305) δεύτερος έρχεται ο Ελεάτης Μέλισσος που χρησιμοποιεί τη ίδια λέξη στην κοσμολογική θεώρησή του Ο Μέλισσος μαθητής του Παρμενίδη μαζί με το Ζήνωνα όπως αναφέρει ο Έντουρτ Τσέλλερ[1] αποτελούν την τρίτη γενιά των Ελεατών φιλοσόφων θεωρώντας τον Ξενοφάνη στην πρώτη γενιά και τον Παρμενίδη στη δεύτερη Για την άποψη σχετικά με τις θέσεις του Μέλισσου υπάρχει μαρτυρία από τον μεταγενέστερο και περιπατητικό φιλόσοφο του 1ου π Χ αιώνα του Αέτιου από την Αντιόχεια της Συρίας Ο Αέτιος στις laquoδοξογραφίεςraquo του που ήταν γραφές για τις δοξασίες των ελλήνων γράφει laquoΜέλισσος δέ ὁ Ἰθαγένους ὁ Μιλήσιος τούτου μέν ἑταῖρος ἐγένετο τήν δέ παραδοθεῖσαν διδασκαλίαν ἀκήρατον οὐκ ἐτήρησεν Ἄπειρον γάρ

οὗτος ἔφη τόν κόσμον ἐκείνων φάντων πεπερασμένονraquo (ΑέτιοςDe placitis reliquiae 2851-5 TLG)

δηλαδή laquoΟ Μέλισσος ο οποίος ήταν γιός του Ιθαγένους από τη Μίλητο έγινε εταίρος(συνεργάτης με τον Παρμενίδη) και τη διδασκαλία που του

παρέδωσε( ο Παρμενίδης) δεν την διατήρησε ακέραια Γιατί αυτός είπε ότι ο κόσμος είναι άπειρος ενώ εκείνοι έλεγαν πως είναι

πεπερασμένοςraquo Μαρτυρία για τις απόψεις του Μέλισσου σχετικά με το άπειρο διαβάζει κανείς και στο Σιμπλίκιο έναν ιστορικό του 6ου μ Χ αιώνα όταν αυτός σχολιάζει με εκτενή τρόπο τα φυσικά του Αριστοτέλη

laquoΦησί γάρ(ο Μέλισσος)ὅτε τοίνυν οὐκ ἐγένετο ἔστι τε καί ἀεί ἦν καί ἔσται καί ἀρχήν οὐκ ἔχει οὐδέ τελευτήν ἀλλrsquo ἄπειρόν έστινraquo

δηλαδή laquoΔιότι ο Μέλισσος λέει αφού λοιπόν(η αρχική ουσία ο κόσμος) δεν

γεννήθηκε κάποτε άρα υπάρχει και υπήρχε και θα υπάρχει για πάντα και συνεπώς δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος αλλά είναι άπειροςraquo

(Σιμπλίκιος Εις το Α της Αριστοτέλους Φυσικής ακροάσεως TLG 92922-92926) Από τις αναφορές αυτές συμπεραίνει κανείς ότι μετά τον Αναξίμανδρο ο Μέλισσος της Ελεατικής σκέψης είναι εκείνος που συνεχίζει να σκέφτεται την έννοια του απείρου και να τη χρησιμοποιεί στις κοσμολογικές του αντιλήψεις

No309


Τέλος στην εποχή του τετάρτου αιώνα ο Αριστοτέλης είναι εκείνος που θα μελετήσει σε βάθος την έννοια του απείρου και θα χαράξει τη μεγάλη διαδρομή της έννοιας αυτής που θα φθάσει μέχρι και τις μέρες μας Στα Φυσικά ο Σταγειρίτης φιλόσοφος μιλά κι αυτός για το Μέλισσο με τη φράση

laquoΜέλισσος δέ τό ὄν ἄπειρον εἶναι φησινraquo(Φυσικά 185α32-33) δηλαδή

laquoο Μέλισσος είπε ότι το όν(ο κόσμος) είναι άπειροraquo

[1] Τσέλλερ-Νέστλε Ιστορία της Ελληνικής Φιλοσοφίας(μφρ ΧΘεοδωρίδης Σελ 65)


417 Δίνεται η σχέση

( )( ) ( ) (2011 ) 1 1ax bx x x Rσυν συν συν+ minus le forall isinκαι με a b Risin Να βρεθεί η μικρότερη δυνατή τιμή του αθροίσματος 2 2a b+

(mathematicagr) Λύση

H δοθείσα σχέση (1) γίνεται ( ) ( ) (2011 ) 1ax bx xσυν συν συν+ minus le hArr

2 2 2 20111 2 1 2 1 2 12 2 2ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus + minus minus minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 2 2 2011 22 2 2ax bx x x Rημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ge forall isin⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1ο Έστω ότι και οι δύο συντελεστές a b είναι μη μηδενικοί Δηλαδή

( ) ( )0 0a bne and ne κι ακόμα ότι

0x ne τότε η σχέση (2) γίνεται

( )2 2 2

2 2 2

20112 2 2 3

ax bx x

x Rx x x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ge forall isin

2 2 22 2 2

2 2 2

201120112 2 2

2 2 2 20112 2 2

ax bx xa b

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


και τέλος

( )

2 2 2

2 2 22011

20112 2 2 420112 2 22 2 2

ax bx xa b

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η οποία ισχύει x Rforall isin Θεωρώντας στη συνέχεια ότι

x rarr +infin θα είναι

20112 2 21 1 12011

2 2 2

ax bx x

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠rarr rarr rarr

και η τελευταία σχέση (4) δίνει ως αποτέλεσμα τη σχέση 2 2 22011

2 2 2a b⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η οποία τελικά οδηγείται στη μορφή

( )2 2 22011 5a b+ ge Άρα η ελάχιστη τιμή της παράστασης

2 2a b+ είναι τη τιμή

22011

2ο Έστω ότι ένας μόνο από τους συντελεστές a b είναι μηδέν Έστω δηλαδή

( ) ( )0 0a b= and ne τότε από την (1) θα είναι

1 ( ) (2011 ) 1bx xσυν συν+ minus le rArr

( )( ) (2011 ) 6bx x x Rσυν συνle forall isin Η σχέση (6) εφόσον ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς θα ισχύει και

για τον αριθμό

2011x π=

άρα η (6) γίνεται

( )( ) ( ) ( ) 1 72011 2011

bb π πσυν συν π συνle hArr le minus

Από την (7) προκύπτει ότι

( ) 12011bπσυν = minus


Άρα

( ) ( )2 1 2 1 2011 2011b bπ λ π λ π λ= + hArr = + isinΖ

Επομένως και σrsquo αυτή την περίπτωση είναι

( )( ) ( )2 22 2 2 2 2 20 2 1 2011 2 1 2011 2011a b λ π λ π+ = + + = + ge δηλαδή

2 2 22011a b+ ge που σημαίνει πως και στην περίπτωση αυτή το ζητούμενο ελάχιστο είναι το 22011

3ο Έστω ότι και οι δύο συντελεστές a b είναι μηδέν Έστω δηλαδή

( ) ( )0 0a b= and = τότε η δοθείσα σχέση (1) γίνεται

1 1 (2011 ) 1x x Rσυν+ minus le forall isin δηλαδή

( )(2011 ) 1 8x x Rσυν ge forall isin Η σχέση (8) όμως δεν ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς παρά

μόνον για εκείνους που προκύπτουν από την ισότητα (2011 ) 1 2011 2 x x k k Zσυν π= hArr = isin

δηλαδή 2 2011

kx k Zπ= isin

Άρα η σχέση (1) δεν ισχύει στην περίπτωση αυτή και συνεπώς η περίπτωση αυτή δεν ισχύει

Συμπέρασμα Το ζητούμενο ελάχιστο είναι ο αριθμός 22011


446 Έστω ότι 0a b c gt και

( )32 2 2 2c d a b+ = + τότε να δειχθεί ότι

3 3

1a bc d+ ge

(mathvncom)

447 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις τη εξίσωσης 29 4 1x xy yminus = +

(Gazeta mathematica 42003)









Η πλέον αναλυτική μελέτη σχετικά με την έννοια του απείρου ξεκινά από τον Αριστοτέλη Καταπιάνεται με τη δύσκολη αυτή έννοια και διατυπώνει τις πρώτες σοβαρές παρατηρήσεις και καταθέτει τους πρώτους σοβαρούς συλλογισμούς για την ύπαρξη και τις ιδιότητες αυτής Στο τρίτο βιβλίο των φυσικών διαβάζει κανείς λεπτομερειακά τις απόψεις του μεγάλου αυτού φιλοσόφου Ξεκινώντας τη μελέτη αυτή ο φιλόσοφος αναφέρεται σε πέντε πηγές από τις οποίες μπορεί κανείς να διακρίνει την έννοια του απείρου Αυτές επιγραμματικά είναι [1]

1η) Ο χρόνος ο οποίος είναι απέραντος και χωρίς όρια

2η) Η διαιρετότητα των μεγεθών που πάντοτε μπορεί να γίνει

3η) Η αέναη και διαρκής γέννηση και φθορά κάθε αισθητού αντικειμένου

4η) Η ολότητα των πραγμάτων δεν μπορεί να έχει όρια Γιατί αν κάτι τέτοιο ήταν δυνατό δηλαδή η ολότητα είχε όρια κι απrsquo εκεί και πέρα υπήρχε κάτι άλλο τότε αυτή δεν θα χαρακτηρίζονταν ως ολότητα

5η) Η απεραντοσύνη της ανθρώπινης σκέψης

Μέσα από τις πέντε αυτές προτάσεις φαίνεται ότι ο Αριστοτέλης διακρίνει δύο γενικότερες πλευρές [2] Α) Το άπειρο σχετίζεται με αντικείμενα ή με ολότητες αντικειμένων Όταν σχετίζεται με αντικείμενα που περικλείουν ποσότητα τότε στη μέτρηση του μεγέθους μπορεί να συναντήσει κανείς την έννοια αυτή Όταν πάλι σχετίζεται με ολότητες αντικειμένων κι εκεί πάλι έχει την ίδια δυνατότητα μετρώντας το πλήθος της ολότητας αυτής(την πληθικότητα) Για παράδειγμα Μια οριζόντια ευθεία έχει τη δυνατότητα να προεκταθεί δεξιά κι αριστερά δημιουργεί μια πρωταρχική αντίληψη του απείρου γιατί το μέγεθος της ευθείας αυτής δεν έχει όρια (μέγεθος ndash μέτρηση) Ακόμα Το σύνολο των φυσικών αριθμών εφόσον έχει τη δυνατότητα να

No310


επεκτείνεται επαγωνικά όλο και περισσότερο σε μεγαλύτερους αριθμούς περιγράφει μια αρχική σχέση με το άπειρο (πληθικότητα) Β) Το άπειρο ως έννοια είναι δομικό στοιχείο του ανθρώπινου όντος και ιδιαίτερα της ανθρώπινης σκέψης [1]Physique drsquo Aristote Παράφραση και σχόλια JBartheacutelemy Saint-Hillaire Paris Librairie philosophique de Ladrange 1862 [2] Δ Α Αναπολιτάνος Εισαγωγή στη φιλοσοφία των Μαθηματικών Σελ62 Μαθηματικές προκλήσεις ndash προσκλήσεις ndash ασκήσεις

418 Δίνονται τρεις κύκλοι ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 C O R C O R C O R

οι οποίοι εφάπτονται (εξωτερικά) μεταξύ των καθώς και στην ευθεία (ε) Να δειχθεί ότι ισχύει η σχέση

( )22 1 3 1R R R=

Λύση Κατrsquo αρχήν θα δείξουμε δύο προτάσεις Πρόταση 1 Αν δύο κύκλοι (Ο1R1) και (Ο2R2) εφάπτονται εξωτερικά(σχ1) τότε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα δίνεται από τον τύπο

1 22d R R= Απόδειξη Από το ορθογώνιο τρίγωνο Ο1Ο2Γ (σχ1) προκύπτει

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 21 2 1 2 1 24

d O O O O

R R R R R R

= Γ = minus Γ =

= + minus minus =

άρα 2

1 24d R R= και συνεπώς

1 22d R R=


Πρόταση 2 Αν δύο κύκλοι είναι ο ένας εξωτερικά του άλλου(σχ2) τότε το κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα δίνεται από τον τύπο

( )( )1 22d R x R x= + + Απόδειξη Όμοια από το ορθογώνιο τρίγωνο Ο1Ο2Γ (σχ2) είναι

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 21 2 1 2

1 2

2

d O O O O

R R x R R

R R

= Γ = minus Γ =

= + + minus minus =

= + 1 22x R R+ + minus( ) 1R 2 12R x R+ + minus( )( )( )

2

1 24

R

R x R x

+ =

= + +

άρα

( ) ( )1 22d R x R x= + + Λύση της άσκησης

Έστω ότι οι κύκλοι αυτοί εφάπτονται μεταξύ των εξωτερικά στα σημεία Α και

Β και ο καθένας στην ευθεία (ε) στα σημεία Τ1 Τ2 Τ3 όπως φαίνεται στο σχήμα 1

Σχήμα 1

Α Β


Τότε από το γνωστό τύπο ισχύει

( )( )( )

1 2 1 2

2 3 2 3

1 3 1 2 2 3

2

2 2

2

R R

R R

R R R R

⎫Τ Τ =⎪⎪Τ Τ = ⎬⎪

Τ Τ = + + ⎪⎭

Όμως

1 3 1 2 3 4Τ Τ = Τ Τ +Τ Τ άρα σύμφωνα με τους τύπους (2) προκύπτει

( )( ) ( )1 2 2 3 1 2 2 32 2 2 3R R R R R R R R+ = + + Από την (3) προκύπτει

( ) ( ) ( )( )( )22

1 2 2 3 1 2 2 33 R R R R R R R RrArr + = + + rArr

( ) ( )1 2 2 3 2 1 3 1 2 2 32R R R R R R R R R R RrArr + + = + + rArr

1 2R RrArr 2 3R R+ 2 1 3 1 22R R R R R+ = 21 3 2 2 3R R R R R+ + + rArr

22 1 3 2 1 32 0R R R R R RrArr + minus = rArr

( )2

2 1 3 2 1 30R R R R R RrArr minus = rArr =

και τελικά 22 1 3R R R=

Δηλαδή η ζητούμενη (1)


448 Δίνεται κύκλος (ΟR) και οι ακτίνες του ΟΑ ΟΒ ΟΓ τέτοιες ώστε

ΑΟΒ = ΒΟΓ = ΓΟΑ Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ στον κύκλο αυτό και τις προβολές του Α0 Βο Γο στους φορείς των ΟΑ ΟΒ ΟΓ αντίστοιχα Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑοΒοΓο είναι ισόπλευρο

(N Abramescu GM XXXVI MSBotez Probleme de geometrie))



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 14






Σύμφωνα με την Αριστοτελική άποψη η έννοια του απείρου αποκτά μια laquoνοητική προσομοίωσηraquo μέσα από σταδιακές διαδικασίες που δεν μπορούν να εξαντληθούν και οι οποίες συνεχίζονται χωρίς να τελειώνουν Όπως και για τις άλλες έννοιες έτσι και για την έννοια αυτή ο Αριστοτέλης αντί να τη θεωρεί ως μια ιδεατή ύπαρξη φωλιασμένη στο λεγόμενο κόσμο των Ιδεών πιστεύει πως laquoκατακτάταιraquo μέσα από τη γνωστική σχέση του ανθρώπου με τα αισθητά αντικείμενα που τον περιβάλλουν Εξάλλου αυτό είναι ένα βασικό και χαρακτηριστικό στοιχείο στο οποίο διαφοροποιείται ο Αριστοτέλης από τον Πλάτωνα Οι διαδικασίες που οδηγούν την ανθρώπινη νόηση στην εξοικείωση με την έννοια του απείρου είναι η αθροιστική και η διαιρετική Στα παράδοξα του Ζήνωνα βλέπει κανείς τις ατέρμονες αυτές διαδικασίες Διαδικασίες που οδηγούν σε με ατέρμονη ή ατελείωτη επεξεργασία Ο Αριστοτέλης είναι εκείνος ο φιλόσοφος που προβληματίζεται σχετικά με την laquoυφήraquo του απείρου και προσπαθεί να ερμηνεύσει τη σχέση του με την ανθρώπινη νόηση Για να κατανοήσουμε καλύτερα τη διαδικασία μιας εμπειρικής δόμησης της έννοιας του απείρου η οποία εδράζεται στην Αριστοτελική σκέψη ας σκεφτούμε την εξής δραστηριότητα Θεωρούμε ένα αντικείμενο για παράδειγμα ένα ευθύγραμμο τμήμα (ΑΒ) Στη συνέχεια θεωρούμε το διπλάσιο αυτού 2(ΑΒ) μετά το 3(ΑΒ) και με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε διαρκώς Δημιουργούμε τότε τα τμήματα

( ) ( ) ( ) 2 3 AB AB AB Είναι αντιληπτό ότι ο ανθρώπινος νους μέσα κι από μια εμπειρική παρατήρηση είναι σε θέση να αντιληφθεί ότι η αθροιστική αυτή διαδικασία μπορεί να προχωρήσει και να επιτύχει οσονδήποτε μεγάλα ευθύγραμμα τμήματα που ξεκίνησαν από το αρχικό (ΑΒ) Παρόλο που η αντίληψη αυτή είναι ξεκάθαρη δηλαδή η νοητική κατάκτηση της δυνατότητας κατασκευής ενός τμήματος με μήκος οσονδήποτε μεγάλο η αδυναμία του ανθρώπου να εννοήσει ένα μήκος με άπειρο μήκος παραμένει Η ίδια αντίληψη δημιουργείται στο ανθρώπινο μυαλό όταν επιχειρεί στον αριθμό 1 να προσθέτει άλλη μια μονάδα κατόπιν άλλη μια και ούτω καθεξής Τότε δημιουργείται μια σειρά αριθμών

1 2 3 Και στην περίπτωση αυτή δημιουργείται η αντίληψη πως έτσι μπορεί να κατασκευαστεί ένας οσονδήποτε μεγάλος αριθμός

No311


Και στα δύο αυτά παραδείγματα παρόλο που στο ανθρώπινο μυαλό δημιουργείται η σταθερή αντίληψη της δυνατότητας κατασκευής ενός οσονδήποτε μεγάλου αντικειμένου εντούτοις παραμένει ασύλληπτη η δυνατότητα θεώρησης ενός τμήματος απείρου μήκους ή στη δεύτερη περίπτωση ενός αριθμού που είναι άπειρος Αυτό ακριβώς πίστευε κι ο Αριστοτέλης ότι δηλαδή η θεώρηση αντικειμένων απείρων διαστάσεων είναι κάτι το αδύνατο για την ανθρώπινη νόηση


419 Να αποδειχθεί ότι

( )3 1k aba b ka bminus

+ + ge+

για κάθε k R+forall isin όπου a b Risin και 0a b+ ne (Δημ Μάγκος Τριώνυμο Σελ44 Θεσσαλονίκη 1976)

Λύση 1ος τρόπος Με τη θεωρία του τριωνύμου

Η ζητούμενη σχέση (1) γίνεται ισοδύναμα

( ) ( )21 3a b k ab k a bhArr + + minus ge sdot + hArr

( ) ( )2 22 3a b k ab k a bhArr + + minus ge sdot + hArr

( )( ) ( )2 22 3k a b ab k a bhArr + + minus ge sdot + hArr

( )( ) ( )( ) ( )22 2 22 2 3k k a b ab a b ab k a bhArr + + minus + + minus ge + hArr

( )( ) ( ) ( )( )22 2 22 2 3 0

ό ά

k k a b ab k a b a b ab

κοιν ς παρ γοντας κ

hArr + + minus minus + + + minus ge hArr

( ) ( )( ) ( )22 22 2 0 2k a b ab k a b ab⎡ ⎤hArr minus + + + + minus ge⎣ ⎦

Η σχέση (2) αν θεωρηθεί ως ένα τριώνυμο ( )f k τότε η διακρίνουσα αυτού θα είναι

( ) ( )( )2 22 22 4 1D a b ab a b ab⎡ ⎤⎡ ⎤= minus + + minus sdot sdot + minus =⎣ ⎦⎣ ⎦

( ) ( )( )222 22 2a b ab a b ab⎡ ⎤⎡ ⎤= + + minus + minus =⎣ ⎦ ⎣ ⎦


( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )

2 2

2 2

2 2

2 2

a b ab a b ab

a b ab a b ab

⎡ ⎤= + + + + minus sdot⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤sdot + + minus + minus =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )2 23 4a b a b ab⎡ ⎤= + minus + + =⎣ ⎦

( ) ( )2 23 0a b a b= minus + minus le δηλαδή

0 D a b Rle forall isin επομένως είναι

( ) 0f k k Rge forall isin άρα και

( ) ( )0 3f k k R+ge forall isin Η σχέση (3) δηλώνει πως αληθεύει η σχέση (2) και συνεπώς και η ισοδύναμή

της (1) δηλαδή η ζητούμενη Η ισότητα της (2) ισχύει όταν

0D = Δηλαδή

a b= και τότε είναι

( )2 2 222 4 2 3

2 2a b ab a ak a+ + +

= = =

Για την τιμή αυτή ισχύει και η ισότητα της ζητούμενης σχέσης (1) 2ος τρόπος Με τη χρήση ταυτοανισοτήτων Θεωρούμε ότι

( )4k abma bminus

=+

Από την (4) προκύπτει

( )5k ab ma mb= + + Σύμφωνα με τις (4) και (5) η ζητούμενη (1) ισοδυναμεί

( ) ( )1 3a b m ab ma mbhArr + + ge + + ή ακόμα


( ) ( ) ( )2 3 6a b m ab ma mb+ + ge + + Η (6) στη συνέχεια ισοδυναμεί

( )2 2 2 2 2 2 3a b m ab am bm ab ma mb+ + + + + ge + + hArr2 2 2 0a b m ab am bmhArr + + minus minus minus ge hArr

2 2 22 2 2 2 2 2 0a b m ab am bmhArr + + minus minus minus ge hArr

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0 7a b b m m ahArr minus + minus + minus ge Η σχέση (7) ισχύει για κάθε τιμή των μεταβλητών

a b m Risin άρα και η ζητούμενη (1) ισχύει για κάθε πραγματική τιμή των

0k R a b R a bκαι+isin isin + ne

Η ισότητα της (7) ισχύει όταν

a b m= = τότε από την (5) προκύπτει

23k a=


449 Έστω η συνάρτηση f R Rrarr η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια ώστε

( ) ( )1 3 2 1f f x x x Rκαι= ge + forall isin i) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 2 1y x= + εφάπτεται στη fC

ii) Να βρείτε το ( )

1

3lim

1x

f x xxrarr

minus

minus

iii) Αν η f prime είναι συνεχής να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )01ξ isin τέτοιο ώστε

( ) ( )2f fξ ξ ξprime= (Λ Κανάκης Γ Μαυρίδης 100 Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Σελ98)









Η αθροιστική διαδικασία την οποία εφαρμόζει ο ανθρώπινος νους για να επιτύχει ένα πολύ μεγάλο αριθμό ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο για παράδειγμα τη μονάδα όπως αναφέρθηκε προηγούμενα(ΣΜ 311) τον οδηγεί μπροστά σε μια προοπτική μέσα από την οποία πορεύεται προς το άπειρο χωρίς ποτέ να το αγγίζει χωρίς ποτέ να μπορεί να το ξεπεράσει και να βρεθεί έξω από αυτό Όμως στην ίδια ακριβώς προοπτική βρίσκεται ο ανθρώπινος νους όταν εφαρμόζει μια διαιρετική διαδικασία Για παράδειγμα ξεκινά από ένα συγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και στη συνέχεια το διαιρεί με το αριθμό 2 μετά με τον αριθμό 3 και ούτω καθεξής Τότε μπροστά του έχει τα αντικείμενα

Και σrsquo αυτή την περίπτωση οδηγείται η σκέψη σε μια προοπτική που πορεύεται στο άπειρο χωρίς ποτέ να το αγγίζει Ο Δ Αναπολιτάνος για το θέμα αυτό γράφει laquoἩ ἔννοια τοῦ ἀπείρου δηλαδή φαίνεται πώς προσακτᾶται μέσα ἀπό κάποια σταδιακή ἐξοικείωση μέ τό γεγονός ὅτι ὑπάρχουν ἀντικείμενα καί διαδικασίες πού δέν μποροῦν νά ἐξαντληθοῦν μέ τήν ἔννοια πώς μᾶς ἐμφανίζονται χωρίς πέρας ἤ πέραταraquo (Φιλοσοφία των Μαθηματικών Σελ 62) Για τον Αριστοτέλη η προοπτική αυτή της ανθρώπινης σκέψης μέσα από την οποία δημιουργείται η πεποίθηση ότι μπορεί να εκτελεί συνεχώς και χωρίς τέλος τις διαδικασίες αυτές είναι εκείνη που προσδιορίζει το laquoάπειροraquo ως μια έννοια δυνητικής οντότητας Ο φιλόσοφος αυτός μπροστά στα παράδοξα των Ελεατών φιλοσόφων σκέφτεται και ανοίγει το δρόμο της δύσκολης αυτής μελέτης Στο τρίτο βιβλίο των Φυσικών διαβάζει κανείς λεπτομερειακά την όλη συλλογιστική του Αριστοτέλη όπου μέσα από τις δύο αυτές διαδικασίες την προσθετική και την διαιρετική προσδιορίζει το λεγόμενο laquoἐν δυνάμει ἄπειρονraquo Είναι το άπειρο

No312


εκείνο το οποίο ο ανθρώπινος νους αντιλαμβάνεται laquoμέσαraquo από μια laquoεσωτερική όψηraquo του Είναι η έννοια εκείνη που εμφανίζεται ως μια laquoδυνητική επεξεργασίαraquo η οποία οδηγεί όπως αναφέρθηκε στη laquoδυνατότηταraquo κατασκευής ενός πολύ μεγάλου μεγέθους ή ενός πολύ μικρού Σήμερα το laquoἐν δυνάμει ἄπειρονraquo του Αριστοτέλη αναφέρεται ως laquoδυνητικό άπειροraquo (infinie potentiel=δυναμικό ή ενδεχόμενο άπειρο) Μαθηματικές προκλήσεις ndash προσκλήσεις ndash ασκήσεις

420 Να εξεταστεί ποιος από τους δύο ακόλουθους αριθμούς είναι ο μεγαλύτερος

( )2 2010201120102011 20102011x y= = (Centrale des Maths Problegraveme du mois Deacutecembre 2010)

Λύση Γενικά το ερώτημα που προβάλλει είναι να συγκρίνουμε τους αριθμούς

( )2 nn n 1ος τρόπος

Έστω ένας φυσικός αριθμός 1n ge κι ακόμα έστω ένας άλλος φυσικός αριθμός k τέτοιος ώστε

0 k nle le Τότε θα είναι

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2

1

1

k n k

kn k k n n kn k k

n kn k n k

n k n k n k

n k n k n

sdot minus minus =⎡ ⎤⎣ ⎦= minus + = minus + minus + =

= + minus minus minus =


= + minus minus ge

δηλαδή

( ) ( )1 1k n k nsdot minus minus ge⎡ ⎤⎣ ⎦ Η σχέση (1) ισχύει ως ισότητα όταν

1k ή κ ν= = και ως γνήσια ανισότητα όταν

1 k nlt lt Θεωρώντας στη συνέχεια έναν φυσικό αριθμό

2n gt και σύμφωνα με την (1) θα είναι


( ) ( ) ( )2 1 2 3 1 1 3 2 1n n n n n= sdot sdot sdot sdot minus sdot sdot sdot minus sdot sdot sdot sdot =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 1 2 1n n n n= sdot sdot sdot minus sdot sdot minus sdot sdot sdot gt

nn n n n n n= sdot sdot sdot sdot sdot = άρα

( )2 2nn n n R ngt isin gt και συνεπώς

( )2 2010201120102011 20102011gt

2ος τρόπος Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για να δείξουμε

την

( ) ( )2 2 2nn n n R ngt isin gt bull Έστω ότι 3n = Τότε η (2) γίνεται

( )2 33 3 36 27gt hArr gt η οποία ισχύει

bull Υποθέτουμε ότι η (2) ισχύει για κάποιο 3k ge Δηλαδή θεωρούμε ότι ισχύει

( ) ( )2 3kk kgt Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για 1k + δηλαδή

( ) ( ) ( )2 11 1 4kk k ++ gt +⎡ ⎤⎣ ⎦ Είναι ακόμα γνωστό ότι

( )11 1 5k

kk

⎛ ⎞+ gt +⎜ ⎟⎝ ⎠

άρα πολλαπλασιάζοντας τις (3) και (5) κατά μέλη έχουμε

( ) ( ) ( )2 1 1 1 6k

kk k kk

⎛ ⎞+ gt +⎜ ⎟⎝ ⎠

στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε την (6) με τον αριθμό 1k + και προκύπτει

( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 1k

kk k k kk

⎛ ⎞+ gt + +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 1 1 1k

k kk k k kk+⎛ ⎞+ gt +⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

( ) ( )2 11 1 kk k ++ gt +⎡ ⎤⎣ ⎦ δηλαδή η (4) Άρα η ζητούμενη (2) ισχύει για κάθε φυσικό 3n ge Απόδειξης της (5) Είναι γνωστό ότι η ακολουθία

11 12n

na nn

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

είναι γνησίως αύξουσα και συγκλίνουσα Συγκεκριμένα

11 2718n

en

⎛ ⎞+ rarr =⎜ ⎟⎝ ⎠

όπου e είναι η βάση των νεπερείων λογαρίθμων Άρα

1 11 2718 3 1 3n n

e n Nn n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ lt = lt rArr + lt forall isin⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

και επειδή

3 1 3k kge rArr + gt η τελευταία γίνεται

11 1k

kk

⎛ ⎞+ lt +⎜ ⎟⎝ ⎠


450 Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a b c dge ge ge τέτοιοι ώστε

( ) ( )22 2 2 23 a b c d a b c d+ + + = + + + Να δειχθεί ότι

7 2 65

a cb d+ +

le+ (Vasile Cirtoaje)









Διαβάζοντας κανείς το τρίτο βιβλίο των Φυσικών του Αριστοτέλη μπορεί να δει πιο καθαρά και να αντιληφθεί μέσα από τα λόγια του ίδιου του συγγραφέα τον τρόπο με τον οποίο προσδιόρισε ο φιλόσοφος αυτός την έννοια του απείρου Στο βιβλίο αυτό όπως υποστηρίζει και ο Βασίλειος Μπετσάκος (Αριστοτέλης Φυσικά Γ΄ Δ΄ Εκδόσεις Ζήτρος 2) ο Αριστοτέλης εκθέτει τις απόψεις του σε δύο βασικά θέματα Την κίνηση και το άπειρο

Ειδικότερα στα σχόλια του βιβλίου αυτού ο Β Μπετσάκος αναλύοντας τον πρώτο ορισμό που ο Αριστοτέλης δίνει για την laquoκίνησηraquo αναφέρει laquoΑπό τον ορισμό γίνεται φανερό ότι ο όρος κίνησις έχει εύρος μεγαλύτερο από τη σημερινή σημασία τουmiddot εκτός από την τοπική κίνηση (φορά) συμπεριλαμβάνει και την ποιοτική μεταβολή (αλλοίωσις) την ποσοτική μεταβολή (αὔξησις-φθίσις) και την ουσιαστική μεταβολή ή μετάβαση από την ανυπαρξία στην ύπαρξη (γένεσις ndashφθορά)raquo [1] Το laquoεύροςraquo αυτό με το οποίο μελετά ο Αριστοτέλης την έννοια της γενικότερης κίνησης που παρατηρεί ο ανθρώπινος νους γύρω του είναι αξιοθαύμαστο για την εποχή εκείνη Δείχνει την αναλυτική σκέψη και την παραγωγική αντίληψη του μεγάλου αυτού διανοητή Συνεχίζοντας το σχόλιό του ο Β Μπετσάκος γράφει για το πώς ο φιλόσοφος ξεκινά τη μελέτη του για το laquoάπειροraquo laquoΌσον αφορά το άπειρο επικρίνονται από τον Αριστοτέλη όλες οι υποστηριγμένες θεωρίες που το αντιμετωπίζουν ως ον ως στοιχείο ή αρχή των όντων Το άπειρο δεν μπορεί σε καμιά περίπτωση να έχει αυτοδύναμη ύπαρξη ανεξάρτητη από τα πραγματωμένα όνταmiddot αποτελεί δυνητικά συμβεβηκός γνώρισμα δηλαδή κάποιων αυθύπαρκτων όντωνraquo Κι ακόμα laquoΩς τρόποι ύπαρξης του απείρου προτείνονται η ασταμάτητη πρόσθεση αριθμών η αέναη διαιρετότητα η διαρκής εναλλαγή γενέσεως και φθοράς η χρονική απειρίαraquo [2] Έτσι λοιπόν το τρίτο βιβλίο των Φυσικών είναι μια πραγματεία με κεντρικό θέμα την κίνηση και το άπειρο Όπως φαίνεται το άπειρο για τον Αριστοτέλη έχει

No313


μια καθαρά διανοητική υπόσταση και μια δυνητική υπαρξιακή έννοια Το άπειρο είναι μια ιδιότητα που κανένα φυσικό μέγεθος δεν την έχει και υπάρχει μόνο μέσα στην ανθρώπινη σκέψη [1][2] (Αριστοτέλης Φυσικά Γ΄ Δ΄ Εκδόσεις Ζήτρος 2 Εισαγωγή Μετάφραση Σχόλια Σύνθεση Βασίλειος Μπετσάκος σελ 30-31)


421 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει

( ) ( )52 3 2 2 0 12

συν συν συνΑ + Β+ Γ + = Να βρεθούν οι γωνίες του

(MATHVNCOM) Λύση Η δοθείσα σχέση (1) ισοδυναμεί

( ) ( ) ( )2 51 2 1 3 2 02

συν συν συνhArr Αminus + Β+Γ ΒminusΓ + =⎡ ⎤⎣ ⎦

( )2 52 1 2 3 02

συν συν συνhArr Αminus minus Α ΒminusΓ + =

( )24 2 4 3 5 0συν συν συνhArr Αminus minus Α ΒminusΓ + =

( )24 4 3 3 0συν συν συνhArr Αminus Α ΒminusΓ + =

( )

( ) ( )

2

2 2

4 4 3

3 3 3 0

συν συν συν

συν συν

hArr Αminus Α ΒminusΓ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ΒminusΓ minus ΒminusΓ + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) ( )2 2

2 3 3 3 0συν συν συν⎡ ⎤hArr Αminus ΒminusΓ minus ΒminusΓ + =⎣ ⎦

( )( ) ( )2

22 3 3 3 0συν συν συνhArr Αminus ΒminusΓ minus ΒminusΓ + =

( )( ) ( )2

22 3 3 0συν συν ημhArr Αminus ΒminusΓ + ΒminusΓ = Από την τελευταία σχέση προκύπτει

( ) ( )( ) ( )

2 3 0 20 3

συν συνημ

⎫Αminus ΒminusΓ = ⎪⎬

ΒminusΓ = ⎪⎭



0ΒminusΓ = hArrΒ = Γ και σύμφωνα με την (2) έχουμε τέλος

( )2 3 0

32 3 02

συν συν

συν συν

Αminus ΒminusΓ = rArr

rArr Αminus = rArr Α =

και τελικά

30οΑ = και

75οΒ = Γ =

422 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3 4 z z z z τέτοιοι ώστε ( )1 2 3 4 0 1z z z z r= = = = gt

Εάν ( )1 2 3 4 0 2z z z z+ + + =

τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης

( )2011 2011 2011 20111 2 3 4 3z z z zΑ = + + +

(Mateforum) Λύση Από τη (2) προκύπτει

( ) 1 2 3 42 0z z z zhArr + + + = και σύμφωνα με την (1) αυτή ισοδυναμεί με

2

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 10 0rz z z z z z z z

⎛ ⎞+ + + = hArr + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 2 3 4 1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1z z z z z z z z z z

hArr + + = minus hArr + + =+ +

και μετά την απαλοιφή των παρονομαστών η τελευταία γίνεται

( ) ( ) ( )2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3

1 2 3

z z z z z z z z z z z z z z zz z z

+ + + + + + + + =

=2 2 2 2 2 2

1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 22 0z z z z z z z z z z z z z z zhArr + + + + + + =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 1 2 2 1 2 3 1 3 1 2 1 22 0z z z z z z z z z z z z zhArr + + + + + + =


( ) ( ) ( )2 23 1 2 3 1 2 1 2 1 2 0z z z z z z z z z zhArr + + + + + =

( ) ( ) 21 2 3 1 2 3 1 2 0z z z z z z z z⎡ ⎤hArr + + + + =⎣ ⎦

( ) 21 2 3 1 3 2 3 1 2 0z z z z z z z z z⎡ ⎤hArr + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 1 3 0z z z z z z z zhArr + + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

( )( )( )1 2 2 3 3 1 0z z z z z zhArr + + + = Από την τελευταία αυτή προκύπτει

( )1 2 2 3 3 1 4z z ή z z ή z z= minus = minus = minus άρα

4 1 2 3 3z z z z z= minus minus minus = 2 3z zminus minus δηλαδή

( )4 2 5z z= minus Από τις (3) και (4) προκύπτει τελικά η τιμή της παράστασης

2011 2011 2011 20111 2 3 4z z z zΑ = + + + =

( ) ( )2011 20112011 20111 2 1 2 0z z z z= + + minus + minus =


451 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

1dxIx xημ συν

=+ +int

452 Δίνονται οι θετικοί αριθμοί a b c με 1abc = Να δειχθεί ότι

2 21 1 1 11 1 321c

a b a b c⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ge⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

(Archimede Nr 9-12eacute2005)

Παράρτημα της ΕΜΕ 2ο Εν Λύκειο Κοζάνης








Η μελέτη του απείρου από τον Αριστοτέλη επικεντρώνεται στο λεγόμενο laquoδυνητικό άπειροraquo (infinie potential) που είναι μια έννοια η οποία όπως αναφέρθηκε προηγούμενα(ΣΜ312313) δημιουργείται στο ανθρώπινο μυαλό μέσα από αθροιστικές και διαιρετικές διαδικασίες και η οποία έχει μια δυναμική τελείωσης(ολοκλήρωσης) μιας τελείωσης που όμως δεν πραγματοποιειται ποτέ Η laquoἐν δυνάμειraquo αυτή ιδιότητα χαρακτηρίζει το laquoδυνητικό άπειροraquo Όπως αναφέρει ο ΔΑΑναπολιτάνος(Εισαγωγή στην Ιστορία των Μαθηματικών σελ63)

bull Γιά τόν Ἀριστοτέλη δηλαδή εἶναι σαφές πώς ἄπειρα ἀντικείμενα δεν ὑπάρχουν καί πώς ἄπειρες ὁλότητες ἀντικειμένων δέν ἀποτελοῦν τελειωμένα ἀντικείμενα σπουδῆς

bull Μπορεῖς νά ἐργαστεῖς δηλαδή σέ ἕνα ἄπειρο - μή ἐξαντλούμενο ndash σύμπαν χωρίς ποτέ νά μπορέσεις νά ἀδράξεις ἕνα ἄπειρο ἀντικείμενο

bull Τό ἄπειρο ἑνός τέτοιου σύμπαντος εἶναι δυνητικό Συνοψίζοντας τη διδασκαλία του Αριστοτέλη σχετικά με το άπειρο αναφέρουμε

το υπrsquo αριθμ 206 σχόλιο από το βιβλίο του Β Μπετσάκου(Αριστοτέλης Φυσικά Γ΄ Δ΄ σελ187)

Ως εξής συνοψίζει την αριστοτελική περί απείρου διδασκαλία ο Λ Σιάσος(όπ σελ269)

laquoΑπό την ανάγνωση της ενότητας του απείρου προέκυψαν τα ακόλουθα συμπεράσματα

Ο Αριστοτέλης υιοθετεί τις ομοφωνίες των προγενεστέρων για να εντάξει το άπειρο στην περί φύσεως επιστήμη Με τον έλεγχο του σχετικού ένδοξου υλικού αποκλείονται κάποιοι τρόποι της ύπαρξής του (πῶς οὐκ ἔστι)

Από την εξέταση των πολλαχώς λεγομένων του όρου συμπεραίνεται ότι το άπειρο υπάρχει κυρίως δυνάμει και κατά τη διαίρεση

Το άπειρο δεν είναι αυτό έξω από το οποίο δεν υπάρχει τίποτε αλλά είναι αυτό έξω από το οποίο υπάρχει πάντοτε κάτι Είναι η ύλη της τελειότητας του μεγέθους και με αυτό τον τρόπο μπορεί να

No314


θεωρηθεί αίτιο (ως ύλη) Οι προσεγγίσεις του απείρου είναι συμβατικές (περιγραφικοί ορισμοί) αφού το άπειρο ως άπειρο είναι άγνωστο

Από τις οριστικές προτάσεις που αποκλείστηκαν θα πρέπει να αναφερθεί εξαιρετικά η ακόλουθηmiddot δεν υπάρχει άπειρο ενεργεία αισθητό σώμαraquo

Το laquoενεργεία άπειροraquo ή laquoπραγματικό άπειροraquo (infinie actuel) είναι μια έννοια που θα μελετηθεί κυρίως από μαθηματικούς μετά τον Αριστοτέλη


423 Δίνονται δύο ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΓΔ ώστε τα σημεία Β Γ Δ να είναι συνευθειακά

Αν η ΒΕ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Κ και η ΑΔ τέμνει την ΓΕ στο σημείο Λ τότε να δείξετε ότι η ΚΛ είναι παράλληλη προς την ευθεία των Β Γ Δ

(Μπάμπης Στεργίου Από το περιοδικό Crux Nov 2005) Λύση

Από το ανωτέρω σχήμα 1 παρατηρούμε ότι

ΔΕ ΑΓ Άρα

( )1βα

ΕΚ ΓΔ= =

ΚΒ ΒΓ


( )2βα

ΕΛ ΕΔ= =

ΛΓ ΑΓ

Από τις (1) και (2) προκύπτει ΕΚ ΕΛ

=ΚΒ ΛΓ



ΚΛ ΒΔ 424 Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α β γ που ικανοποιούν τη σχέση 1αβγ = Να δειχθεί ότι

( )( )( )

( )( )( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 2 2

1

1

1

8 1 1 1

α α α α α

β β β β β

γ γ γ γ γ

α α β β γ γ

+ + + + + sdot

sdot + + + + + sdot

sdot + + + + + ge

ge + + + + + +

(BMO 2011 1ο πρόβλημα Λάρνακα Κύπρου) Λύση

Είναι

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

5 4 3 2 2

3 2 2 2

22 3 2

1 2 1

1 1 2 1

1 1 2 1 1 0

α α α α α α α α α



+ + + + + minus + + =

= + + + + + minus + + =

= + + + minus = + + minus geάρα

( ) ( )5 4 3 2 21 2 1 1α α α α α α α α α+ + + + + ge + + όμοια

( ) ( )5 4 3 2 21 2 1 2β β β β β β β β β+ + + + + ge + +

( ) ( )5 4 3 2 21 2 1 3γ γ γ γ γ γ γ γ γ+ + + + + ge + + Πολλαπλασιάζοντας τις (1) (2) και (3) κατά μέλη και συμβολίζοντας με Γ το γινόμενο των πρώτων μελών αυτών έχουμε

( )( )( )2 2 28 1 1 1αβγ αβγ α α β β γ γΓ ge + + + + + +και επειδή 1αβγ = άρα

( )( )( )2 2 28 1 1 1α α β β γ γΓ ge + + + + + + δηλαδή η ζητούμενη

425 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ όπου ΑΒ lt ΑΓ Στο εσωτερικό του τριγώνου αυτού θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ και έστω Ζ η


τομή της ΑΒ με την προέκτασης της ΓΜ καθώς και Ε η τομή της ΑΓ με την προέκταση της ΒΜ

Αν το τετράπλευρο ΑΕΜΖ είναι περιγράψιμο σε κύκλο τότε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ

(mateforum un loc geometric) Λύση Θα δείξουμε πρώτα τη σχέση

( )1ΑΒ+ΓΜ = ΑΓ +ΒΜ

Πράγματι

( )1 hArr ΑΗ +ΗΒ+ΓΜ = ΑΛ +ΛΓ+ΒΜhArr

( ) ( )κ κhArrΗΒ+ ΓΜ + = ΛΓ+ ΒΜ + hArr

hArr ΗΒ + ΓΘ = ΛΓ + ΒΚ 0 0hArr = Άρα η (1) αληθής

Από την (1) τώρα προκύπτει ακόμα 0cΜΓminusΜΒ = ΑΓminusΑΒ = gt

Άρα το σημείο Μ κινείται σε κλάδο υπερβολής με εστίες τις κορυφές Β και Γ


453 Να κατασκευαστεί κύκλος ώστε να εφάπτεται στις δύο κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ καθώς και στον περιγεγραμμένο κύκλο εσωτερικά του



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 6 Ιουνίου 2012 14






Είναι ενδιαφέρον στην ιστορική εξέλιξη της έννοιας του laquoαπείρουraquo να αναφέρουμε κι άλλες απόψεις που σχετίζονται με το θέμα αυτό Όπως αναφέρθηκε προηγούμενα ο Αριστοτέλης στα Φυσικά του μιλά εκτεταμένα για το laquoεν δυνάμει άπειρονraquo Όμως και ο Αρχιμήδης εκατό περίπου χρόνια αργότερα ξεκαθαρίζει πλέον την έννοια του laquoεν δυνάμει απείρουraquo Ενδιαφέρουσα είναι η αναφορά που γίνεται για το θέμα αυτό στο βιβλίο των Reviel Netz-William Noel με τίτλο Ο κώδικας του Αρχιμήδη(Τα μυστικά του πιο σπουδαίου παλίμψηστου στον κόσμο) σε μετάφραση του Τεύκρου Μιχαηλίδη(Εκδόσεις Αλεξάνδρεια 2007) Στη σελίδα 210 του βιβλίου αυτού διαβάζουμε laquoΤι ήταν το εν δυνάμει άπειρο που χρησιμοποιούσε ο Αρχιμήδης Θυμηθείτε τον φανταστικό διάλογο Ο Αρχιμήδης καλύπτει ένα καμπυλόγραμμο αντικείμενο έτσι που ένα μέρος της επιφάνειάς του να μένει απέξω ένα μέρος που να ξεπερνά σε μέγεθος τον έναν κόκκο άμμου Ένα επικριτής έρχεται και του λέει laquoΕξακολουθεί να υπάρχει μια διαφορά που ξεπερνά τον έναν κόκκο άμμουraquo laquoΑλήθειαraquo φωνάζει ο Αρχιμήδης laquoΕντάξει λοιπόν εφαρμόζω το μηχανισμό μου μερικές ακόμα φορέςraquo Στο τέλος η επιφάνεια που μένει απέξω είναι μικρότερη από έναν κόκκο άμμου laquoΜια στιγμήraquo διαμαρτύρεται ο επικριτής laquoΗ επιφάνεια που περίσσεψε είναι μεγαλύτερη από μια τρίχα της κεφαλήςraquo Ο Αρχιμήδης ξαναρχίζει και αυτό συνεχίζεται και συνεχίζεται και συνεχίζεται κοκ Η διαφορά μπορεί να γίνει μικρότερη από κάθε μέγεθος που θα αναφέρει ο επικριτής Ο διάλογος συνεχίζεται επrsquo άπειρον Αυτό είναι το εν δυνάμει άπειρο raquo Και συνεχίζει laquoΑς πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα Ας θεωρήσουμε τη συλλογή όλων των ακέραιων αριθμών έχοντας κατά νου μόνο την έννοια του εν δυνάμει απείρου Στη συνέχεια ισχυριζόμαστε ότι για οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό όσο μεγάλος και αν είναι αυτός μπορούμε να φανταστούμε έναν άλλο ακόμα μεγαλύτερο Πρόκειται

No315


για έναν ακόμα φανταστικό διάλογο ένα είδος πλειστηριασμού εσείς λέτε ένα εκατομμύριο εγώ λέω δύο εκατομμύρια Εσείς λέτε ένα δισεκατομμύριο εγώ λέω ένα τρισεκατομμύριο Ο διάλογος δεν έχει τέλος Κανένας όμως δεν έχει το δικαίωμα να επικαλεστεί το ίδιο το άπειρο Ένας τέτοιος αριθμός δεν είναι επιτρεπτόςraquo


426 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( )90οΑΒΓ Α = με πλευρές αντίστοιχα α β γ Να δειχθεί η σχέση

( )3 2 1γ β α+ le Λύση 1ος τρόπος Η ζητούμενη σχέση (1) λόγω του σχήματος (1) γράφεται

( ) ( ) ( ) ( )3 2 2ΑΒ + ΑΓ le ΒΓ

Φέρουμε την ημιευθεία ΑΖ έτσι ώστε να σχηματίζει με την πλευρά ΑΒ γωνία ίση με 30ο

Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΗ θα είναι

( ) ( ) ( )1 32

ΒΗ = ΑΒ

ακόμα θα είναι

( ) ( ) ( )4ΒΗ le ΒΙ Η (4) λόγω της (3) γίνεται

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 52ΑΒ

le ΒΙ rArr ΑΒ le ΒΙ

Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΓ θα είναι

( ) ( ) ( )3 62

ΑΓΓΚ =



( )7ΓΚ le ΓΙ Από τις (6) και (7) θα είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 82

ΑΓle ΙΓ rArr ΑΓ le ΙΓ

Τέλος από τις (5) και (8) θα είναι

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 2 2

3 2

3 2

ΑΒ + ΑΓ le ΒΙ + ΙΓ rArr

rArr ΑΒ + ΑΓ le ΒΙ + ΙΓ rArr

rArr ΑΒ + ΑΓ le ΒΓ

Δηλαδή η ζητούμενη (2) 2ος τρόπος Η ζητούμενη σχέση (1) γίνεται

( )( )

2 2 2

2 2 2 2

22 2 2

3 2 3 2 3 4

3 2 3 4

0 3 2 3 0 3 2 3

γ β α β γ βγ α

β γ βγ β γ

β γ βγ β γ βγ

+ le hArr + + le hArr

+ + le + hArr

le + minus hArr le + minusκαι τελικά η ζητούμενη (1) ισοδυναμεί με την

( )20 3β γle minus

η οποία αληθεύει για όλες τιμές των β γ Άρα και η δοθείσα αληθεύει για όλες τις τιμές των α β γ

427 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( )90οΑΒΓ Α = και αΙ το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου στην ορθή γωνία του τριγώνου Φέρουμε το τμήμα αΑΙ που τέμνει την υποτείνουσα ΒΓ στο σημείο Δ Να δειχθεί ότι

2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ Λύση

Από την ομοιότητα των τριγώνων αΑΔΘ Ι ΖΔ (Σχ2) προκύπτει

( )1α

α α α α α α

βγυ βγ βγαρ ρ αρ αρ

ΑΔ ΑΔ= = = rArr =

ΔΙ ΔΙ


Όμως

( )4 44 2R RR τραβγ βγ βγα αΕ

= Ε rArr = rArr =

Άρα η σχέση (1) σύμφωνα με τη (2) γίνεται 4

4

R

α α α

τρβγ ααρ αρ

τ

ΑΔ= = =

ΔΙ

= 2Rα

ρα ρ

( )

2

2

4

4 3

R

R

ατ ρ

α

ρα

ρα

=

=

ΑΔrArr =

ΔΙ

Όμως 2 2R α και β γ α ρ= + minus = Άρα η (3) γίνεται

( )

2 24 2 2 1

1 4

Rα

α

ρ αρ ρ β γ α β γα α α α α

β γα

ΑΔ + minus += = = = = minus rArr

ΔΙΑΔ +

= minusΔΙ

Τέλος είναι

( ) ( )2

2 2 2 52 2

β γ β γ β γα β γα

+ + += + ge = rArr le

Κι έτσι η (5) από την (4) γίνεται τελικά

2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ Δηλαδή η ζητούμενη



( ) ( ) ( )2

2 3 2002

0

2 3 2002I x x x xπ

συν συν συν συν= sdot sdot sdot sdotint

(Dorin Andrica Cluj ndash Napoca Gazeta matematica 42003)



ρ

ρ

τ =

Σχ 2







Και στα δύο παραδείγματα που αναφέρουν οι συγγραφείς Reviel Netz-William Noel στο βιβλίο με τίτλο Ο κώδικας του Αρχιμήδη(Τα μυστικά του πιο σπουδαίου παλίμψηστου στον κόσμο) σε μετάφραση του Τεύκρου Μιχαηλίδη(Εκδόσεις Αλεξάνδρεια 2007 σελ210) γίνεται φανερό ότι η έννοια του laquoεν δυνάμει απείρουraquo ή αλλιώς του laquoδυνητικού απείρουraquo έχει την ίδια ακριβώς σημασία την οποία βλέπουμε και στη μελέτη του Αριστοτέλη Είναι εκείνη η έννοια που δημιουργείται στη σκέψη μας όταν έχουμε μπροστά μας μια συνεχώς επαναλαμβανόμενη προσθετική(αθροιστική) ή διαιρετική διαδικασία Είναι μια οντότητα που ποτέ δεν εξαντλείται ποτέ δεν μπορείς να βγεις έξω από αυτήν και να την laquoαδράξειςraquo(ΣΜ 314) Την έννοια του laquoεν δυνάμει απείρουraquo ο Αρχιμήδης την υλοποιεί στον τετραγωνισμό της παραβολής με τον ακόλουθο αξιοθαύμαστο τρόπο

Το χωρίο που περιβάλλεται όπως φαίνεται στο ανωτέρω σχήμα 1 από το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ και από ένα τμήμα παραβολής με άξονα κάθετο στο ευθύγραμμο αυτό τμήμα είναι ένα παραβολικό χωρίο που ο Αρχιμήδης υπολόγισε το εμβαδόν Είναι ο λεγόμενος laquoτετραγωνισμός παραβολήςraquo που ο μεγάλος αυτός μαθηματικός μας παρέδωσε στα έργα του laquoΈφοδοςraquo και laquoΤετραγωνισμός παραβολήςraquo Η αθροιστική διαδικασία που εφάρμοσε ο Αρχιμήδης έχει την εξής λογική Υπολογίζει αρχικά το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ κι έτσι απομένουν δύο μηνίσκοι Το αποτέλεσμα που βγάζει εφόσον μπορεί να μετρήσει το εμβαδόν του τριγώνου αυτού υπολείπεται κατά τι από το πραγματικό του παραβολικού χωρίου Κατόπιν σε κάθε μηνίσκο κατασκευάζει πάλι τρίγωνα τα ΑΒΖ και ΑΓΗ στη συνέχεια τα μετρά και τα αθροίζει με το αρχικό Έτσι βρίσκει ένα νέο αποτέλεσμα που προσεγγίζει καλύτερα το εμβαδόν που ζητά Το εμβαδόν που βρίσκει στο

No316

Σχ 1


δεύτερο βήμα υπολείπεται του πραγματικού κατά τι λιγότερο Από laquoκόκκος άμμουraquo που ήταν στο πρώτο βήμα τώρα έγινε laquoτρίχα κεφαλήςraquo Κι αυτό συνεχίζεται και συνεχίζεται και συνεχίζεται κοκ Εκείνο όμως που έχει μεγάλη σημασία στην αθροιστική αυτή διαδικασία που σηματοδοτεί το laquoεν δυνάμει άπειροraquo είναι ότι κάθε φορά τα τριγωνάκια που προστίθενται έχουν συνολικό εμβαδόν ίσο με το ένα τέταρτο του συνολικού εμβαδού των αμέσως προηγουμένων





( )12 2

αδ ημ βγ ημΑ Γsdot = sdot

Λύση Αν φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ και εφαρμόσουμε το νόμο των συνημιτόνων στο

τρίγωνο ΑΒΔ τότε θα έχουμε τη σχέση

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 1 2

α δ αδ συν

α δ αδ συν

ΒΔ = + minus sdot ΑrArr

ΒΔ = minus + minus Α

Όμοια από το τρίγωνο ΒΓΔ προκύπτει

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 1 3

β γ βγ συν

β γ βγ συν

ΒΔ = + minus sdot ΓrArr

ΒΔ = minus + minus Γ

Επειδή το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο θα ισχύει ακόμα η σχέση

α γ β δ+ = + Άρα

( )4α δ β γminus = minus


Από τις σχέσεις (2) (3) και (4) προκύπτει

( ) ( )1 1αδ συν βγ συνminus Α = minus Γ ή ακόμα

2αδ sdot 2 22

ημ βγΑ= sdot 2

2ημ Γ

και τέλος επειδή

0 02 2

ημ ημΑ Γgt gt

θα είναι

2 2αδ ημ βγ ημ

Α Γsdot = sdot


429 Αν για τους θετικούς αριθμούς a b c ισχύει ( )2 2 2 3 1+ + =ab bc ca

τότε να δειχθεί ( ) ( )4 4 43 3 37 7 7 2 2+ + + + + le + +a b c a b c

(κινέζικο φόρουμ) Λύση Εφαρμόζουμε την ταυτοανισότητα του Cauchy για τους αριθμούς 7 8 8a+ Άρα θα είναι

( ) ( ) 337 8 8 3 7 8 8 12 7a a a+ + + ge + sdot sdot = + επομένως θα είναι

( )3 237 312

aa ++ le

όμοια θα είναι

( )3 237 4 12

bb ++ le ( )3 237 5

12cc +

+ le

με πρόσθεση κατά μέλη των (3) (4) και (5) θα έχουμε

( )33 3 697 7 7 612

a b ca b c + + ++ + + + + le

Επίσης από την ίδια ανισότητα έχουμε 4 441 1 1 4 1 1 1 4a a a+ + + ge sdot sdot sdot = rArr

( )4

4 33 4 74

aa a a +rArr + ge rArr le

Όμοια θα είναι

( ) ( )4 43 38 94 4

b cb c+ +le le


Από τις (7) (8) και (9) με πρόσθεση κατά μέλη θα είναι

( )4 4 4 9 10

4a b ca b c + + +

+ + le

Το δεύτερο μέλος της (6) σύμφωνα με την (10) γίνεται

( ) ( )4 4 4 4 4 49 4 6969 285 11

12 12 48a b ca b c a b c+ + + ++ + + + + +

le =

Η (6) σύμφωνα με την (11) γίνεται

( )4 4 4

33 3 2857 7 7 1248

a b ca b c + + ++ + + + + le

Σύμφωνα με την (12) για να ισχύει η ζητούμενη (2) αρκεί

( )( ) ( )

4 4 44 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4

285 248

285 96 3 13

a b c a b c

a b c a b c a b c

+ + +le + + hArr

+ + + le + + hArr + + ge

Όμως

( )

4 4 4 4 4 4 24

4 4 4 4 4 4 24

4 4 4 4 4 4 24

1 4 1 4

1 4 1 4

1 4 1 4

a b b a b b ab

b c c b c c bc

c a a c a a ca

+

⎫+ + + ge sdot =⎪⎪+ + + ge sdot = rArr⎬⎪

+ + + ge sdot = ⎪⎭

( ) ( )( )1

4 4 4 2 2 23 3 4 4 3 12a b c ab bc ca+ + + ge + + = sdot = και τελικά

4 4 4 3a b c+ + ge Άρα η (13) ισχύει και συνεπώς η ζητούμενη (2)


455 Τρίγωνο ΑΒΓ έχει μήκη πλευρών α β γ Δείξτε ότι

3 1 1 1 12 2R α β β γ γ α ρ

le + + le+ + +

όπου R ρ είναι αντίστοιχα η ακτίνα του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο αυτό

(Αποστολόπουλος Γιώργος Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)









Συνεχίζοντας την αναφορά μας στον laquoτετραγωνισμό της παραβολήςraquo που έγραψε ο Αρχιμήδης στο έργο του laquoΈφοδοςraquo θυμίζουμε ότι στο σχήμα 1 (ΣΜ 316) εμφανίζεται ένα παραβολικό χωρίο μέσα στο οποίο έχει εγγραφεί ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και στη συνέχεια με τα σημεία Ζ και Η δημιουργήθηκαν δύο νέα

τρίγωνα τα ΑΒΖ και ΑΖΗ Τα σημεία Ζ και Η προέκυψαν από την τομή της παραβολής και από τις κάθετες ευθείες προς τη βάση ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ στα μέσα Δ και Ε αντίστοιχα των τμημάτων ΟΒ και ΟΓ όπου το Ο είναι το μέσον της ΒΓ Όπως αναφέρθηκε(ΣΜ 316) τα δύο αυτά τρίγωνα έχουν άθροισμα εμβαδών ίσο με το ένα τέταρτο του αρχικού ΑΒΓ Δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )1 14

ΑΒΖ + ΑΓΗ = ΑΒΓ

Αν θεωρήσουμε ότι ( )1S = ΑΒΓ

και ( ) ( )2S = ΑΒΖ + ΑΓΗ

τότε ο τύπος (1) γίνεται

( )2 11 24

S S=

Σημειώνουμε ότι τη σχέση αυτή ο Αρχιμήδης την αποδείχνει με καθαρά γεωμετρικό τρόπο(ΜΑ Μπρίκας Τα περίφημα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας Σελ 49) Συνεχίζοντας ο Αρχιμήδης δημιουργεί με τον ίδιο τρόπο στους εναπομείναντες τέσσερις μηνίσκους τέσσερα τρίγωνα με εμβαδόν

No317

Σχ 1


( )3 2 11 1 34 16

S S S= =

κι αυτό συνεχίζεται αδιάκοπα Άρα το συνολικό άθροισμα των τριγώνων αυτών είναι με τα σημερινά μαθηματικά

( )1 2 3 4 1 11 1 4 4 1 4 16 3 3

S S S S S S⎛ ⎞+ + + + = + + + = = ΑΒΓ⎜ ⎟⎝ ⎠



( )( ) ( )

3 3

21 4 1

161ημ συν ημσυν ημ

+=

+ minus

x x xx x

(Από κινέζικο φόρουμ) Λύση Είναι

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 211 2

1 2 2 216

ημ συν ημ ημ συν συν

ημ ημ συν συν

ημ συν

+ minus +hArr =

+ minus +

= hArr

x x x x x xx x x x

x x

( )( ) ( )( )2 21 1 22 2 8

ημ συν ημ συνημ συν συν

ημ συν+ minus

hArr = minus hArrminus

x x x xx x x

x x

( ) ( )1ημ συν ημ συν+ minushArr

x x x x

( )2 1 ημ συνminus x x( )( )2 21 2

8ημ συν συν= minus hArrx x x

( ) ( )( )( )1 22 8

ημ συνημ συν συν συν συν

+hArr = minus + hArr

x xx x x x x

( ) ( )( )1 1 2 02 8

ημ συν ημ συν συν⎡ ⎤hArr + minus minus = hArr⎢ ⎥⎣ ⎦x x x x x

( )

( )( ) ( )

0 2

1 1 2 0 32 8

ημ συν

ημ συν συν

+ =

minus minus =

x xή

x x x

Από τις δύο αυτές εξισώσεις η δεύτερη είναι αδύνατη διότι


( )( )2 4 2ημ συν συνminus = gtx x x Η (2) στη συνέχεια γίνεται

( )22πημ συν ημ ημ ⎛ ⎞hArr = minus hArr = +⎜ ⎟

⎝ ⎠x x x x

άρα

( )

( )

2 42

2 52

πκπ

κπκπ π

⎫⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎪ isinΖ⎬⎪⎛ ⎞ ⎪= + minus +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

x x

ή

x x

Η (4) είναι αδύνατη ενώ η (5) δίνει ως λύση την

4πκπ κ= + isinΖx

η οποία είναι και λύση της αρχικής (1) 431 Να λυθεί η εκθετική εξίσωση

( )2 2 22 1 2 1 225 9 34 15 1minus + minus + minus+ = sdotx x x x x x

(από κινέζικο φόρουμ) Λύση Η (1) γίνεται

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 1 2 2 1 21 5 3 34 3 5minus + minus + minushArr + = sdot sdot hArr

x x x x x x

( ) ( )2 2 2 22 2 1 2 2 1 2 25 3 34 3 5minus + minus + minus minushArr + = sdot sdot hArrx x x x x x x x

( ) ( )2 2

2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

2 2 2 2

5 3 343 5 3 5

minus + minus +

minus minus minus minushArr + = hArr

sdot sdot

x x x x

x x x x x x x x 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

5 3 343 5

minus + + minus + +

minus minushArr + = hArr

x x x x

x x x x 2 2

2 2

2 2

2 2

25 5 9 3 343 5

minus + minus +

minus minus

sdot sdothArr + = hArr

x x x x

x x x x


( )2

2

2

2

5 125 9 34 23 5

3

minus +

minus +

⎛ ⎞hArr sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

x x

x x

θέτουμε 2 25

3

x x

ωminus +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

οπότε η (2) γίνεται

( )125 9 34 3ωω

sdot + sdot =

Στη συνέχεια η (3) ισοδυναμεί με τη δευτεροβάθμια εξίσωση 225 34 9 0ω ωminus + =

με 2 234 4 25 9 1156 900 256 16 0Δ = minus sdot sdot = minus = = gt

και λύσεις

1 29125

ω ω= =

από τις οποίες προκύπτουν οι τέσσερις λύσεις της αρχικής (1) Δηλαδή

1 2 3 40 2 1 3 1 3x x x x= = = minus = +


456 Οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών α β γ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ( )O R Αν Η το ορθόκεντρό του και οι ευθείες ΑΗ ΒΗ ΓΗ τέμνουν τον κύκλο ( )O R στα σημεία

1 1 1 Α Β Γ αντίστοιχα να δείξετε ότι

1ο) ( )( ) ( )2 2 2

3

1 1 1

6 α β γ ρgeΗΑ ΗΒ ΗΓ

όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ

2ο) ( )1 1 1 1

2R

α β γΑΒ ΓΑ ΒΓΕ

le+ +










Με τον laquoτετραγωνισμό της παραβολήςraquo όπως αναφέρθηκε προηγούμενα(ΣΜ 316-317) φαίνεται καθαρά η αντίληψη σχετικά με την έννοια του laquoδυνητικού απείρουraquo ή του laquoεν δυνάμει απείρουraquo (infinie potentiel) Είναι μια αντίληψη για το άπειρο που δημιουργείται μέσα από μια εξελισσόμενη και ατέρμονη διαδικασία κι είναι αυτή που μελέτησε ο Αριστοτέλης στα Φυσικά του Ένα άλλο παράδειγμα μέσα από το οποίο φαίνεται η αντίληψη του laquoεν δυνάμει απείρουraquo είναι και η πρόταση του Ευκλείδη που είναι καταχωρημένη ως η εικοστή πρόταση στο ένατο βιβλίο των Στοιχείων

laquoΟἱ πρῶτοι ἀριθμοί πλείους εἰσί παντός τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶνraquo ( πρόταση κrsquo Στοιχείων θrsquo)

Δηλαδή laquoΟἱ πρῶτοι ἀριθμοί εἶναι περισσότεροι παντός τοῦ προτεθέντος πλήθους

πρώτων ἀριθμῶνraquo Αυτή η πρόταση με πιο απλά λόγια λέει ότι Για κάθε πεπερασμένο σύνολο διαδοχικών πρώτων αριθμών υπάρχει πάντα

ένας πρώτος αριθμός που δεν περιέχεται σrsquo αυτό το σύνολο δηλαδή ο πρώτος αυτός αριθμός είναι μεγαλύτερος απrsquo όλους τους προηγούμενους

Ακόμα η πρόταση αυτή του Ευκλείδη μπορεί να διατυπωθεί γενικότερα και ως εξής Μπορούμε να βρούμε πάντα έναν πρώτο αριθμό που να είναι μεγαλύτερος

από έναν οποιοδήποτε αριθμό οσονδήποτε μεγάλο Έχει ενδιαφέρον να δούμε ότι στην πρόταση αυτή πουθενά δεν αναφέρεται η λέξη άπειρο Κι όμως η laquoαπέραντη αυτή διαδικασίαraquo που θέλει κάποιον να μας laquoδίνειraquo έναν μεγαλύτερο κάθε φορά αριθμό και εμείς στη συνέχεια να laquoβρίσκουμεraquo (να εξασφαλίζουμε την ύπαρξη) έναν μεγαλύτερο απrsquo αυτόν πρώτο κρύβει μέσα της το laquoεν δυνάμειraquo άπειρο(infinie potentiel)

Είναι ακριβώς αυτό που αναφέρθηκε από τον Reviel Netz-William Noel στο βιβλίο του με τίτλο Ο κώδικας του Αρχιμήδη(Τα μυστικά του πιο σπουδαίου παλίμψηστου στον κόσμο)(ΣΜ 315) Είναι η δυνητική η διαδικασία προσέγγισης και αναζήτησης πρώτων αριθμών σε περιοχές που βρίσκονται πολύ πέραν από τους οσονδήποτε μεγάλους αριθμούς

Σήμερα όμως τι γίνεται Η πρόταση αυτή του Ευκλείδη σχετικά με το πλήθος των πρώτων αριθμών διατυπώνεται ως θεώρημα με την εξής έκφραση

laquoΤο σύνολο των πρώτων αριθμών είναι άπειροraquo Διαβάζοντας σήμερα την πρόταση αυτή αμέσως δημιουργούμε την αντίληψη ενός αντικειμένου που το θεωρούμε απέναντί μας και το οποίο είναι ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία Ουσιαστικά έχουμε κάνει ένα άλμα κι ενώ πριν στη διατύπωση του

No318


Ευκλείδη βρισκόμασταν μέσα στη διαδικασία και είχαμε μια εσωτερική αντίληψη της δυναμικής προσέγγισης τώρα βγήκαμε έξω και βλέπουμε το απειροσύνολο αυτό ως ένα αντικείμενο Η θεώρηση αυτή που είναι δημιούργημα των μαθηματικών από τον 16ο αιώνα μέχρι και σήμερα δίνει το laquoπραγματικό άπειροraquo Το laquoπραγματικό άπειροraquo θα το δούμε και με άλλες λέξεις-εκφράσεις όπως η αριστοτελική laquoεν ενεργεία άπειροraquo ακόμα laquoενεστωτικό άπειροraquo laquoθέσει άπειροraquo και βέβαια απλώς laquoάπειροraquo στο χώρο των μαθηματικών


432 Αν [ ]01aisin και [ ]01bisin Να δειχθεί ότι ισχύει

( )2 2

1 11 1+ le

+ +a b

b a (T Andreescu ndash B Enescu Olimpiadele de Matematica 2000-2001)

Λύση Κατrsquo αρχήν θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι μεταξύ των αριθμών ισχύει

( )0 1 2a ble le le Από την υπόθεση θα είναι ακόμα

( )2

2

0 13

0 1a ab b

⎫le le le ⎪⎬

le le le ⎪⎭

Σύμφωνα με την (3) το πρώτο μέλος της ζητούμενης γίνεται

( )2 2 2 2

41 1 1 1 1

+ + ++ le + =

+ + + + + + +a b a b a b a b

b a b a ab a b

άρα για τη ζητούμενη (1) λόγω της (4) ισχύει 2 2 2 2

2 2

1 11 1 1

+ + ++ le hArr le hArr

+ + + + +hArr + +

a b a b a bb a ab a b

a b a + b le +ab a + b 1+ hArr

2 2 1hArr + le + hArra b ab 2 2 1 0a b abhArr + minus minus le hArr

( ) ( )2

0 0

1 0a a b ble le

hArr minus + minus le

Η τελευταία σχέση λόγω των (2) και (3) ισχύει συνεπώς και η ζητούμενη (1)

433 Δίνεται ο αριθμός


25 33 41 (8 17)n nΑ = + + + + + isinΝ Να βρεθούν οι τιμές του n ώστε ο αριθμός Α να γίνει τέλειο τετράγωνο

(Student Problems from the mathematical Gazette) Λύση Ο αριθμός Α γράφεται

25 33 41 (8 17)Α = + + + + + =n

( ) ( ) ( )1 8 17 2 8 17 33 3 8 17 (8 17)= sdot + + sdot + + sdot + + + + =n

( )1 8 2 8 3 8 8 17 17 17 17φορ ς

⎛ ⎞= sdot + sdot + sdot + + sdot + + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

n έ

n

( )8 1 2 3 17= + + + + + =n n

( )18 17

2+

= + =n n

n

2 24 4 17 4 21= + + = +n n n n n δηλαδή

( )24 21 1Α = + sdotn n Ζητούμε να βρούμε τις τιμές του φυσικού n ώστε η παράσταση Α να γίνεται

τέλειο τετράγωνο δηλαδή

( )2 2k k NΑ = isin Η (1) λόγω της (2) γίνεται

( )2 24 21 3+ sdot =n n k πολλαπλασιάζοντας στη συνέχεια και τα δύο μέλη της (3) με τον αριθμό 16 προκύπτει

2 24 16 21 16 16sdot + sdot =n n k άρα

2 2 2 2 28 2 8 21 21 21 16+ sdot sdot + minus = hArrn n k

( )2 2 28 21 21 16hArr + minus = hArrn k


( )( ) ( )8 21 4 8 21 4 441 4hArr + minus + + =n k n k Ο αριθμός 441 αναλύεται σε γινόμενο δύο παραγόντων με τους εξής τέσσερις

διαφορετικούς τρόπους


( ) ( )441 1 441 441 3 147a b= sdot = sdot

( ) ( )441 7 63 441 9 49c d= sdot = sdot Άρα για κάθε μια από τις περιπτώσεις αυτές έχουμε και το αντίστοιχο

σύστημα Για την περίπτωση ( )a είναι

( )8 21 4 18 21 4 441+ minus = ⎫

⎬+ + = ⎭

n kI

n k το οποίο έχει λύση

25 55n k= = άρα μια από τις ζητούμενες τιμές είναι η τιμή

25n = Όμοια από τα υπόλοιπα συστήματα των άλλων τριών περιπτώσεων ( ) ( )b c και ( )d προκύπτουν αντίστοιχα οι τιμές

3 36 1 14 4n n n= = = από τις οποίες δεκτή είναι μόνο η τελευταία

1n = Έτσι για το ερώτημά μας υπάρχουν μόνο δύο λύσεις


457 Να δειχθεί ότι

( ) 1 1 1a b c a b cb c a a b c

⎛ ⎞+ + le + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

όπου a b c θετικοί πραγματικοί αριθμοί (T Andreescu Olimpiadele de matematica 2000-2001)

458 Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD με 90oBAD gt Στο μέσο M της πλευράς AB υψώνουμε κάθετη στην πλευρά αυτή η οποία τέμνει τις διαγώνιες BD AC στα σημεία

N P αντίστοιχα Αν η απόσταση των πλευρών AB CD είναι d τότε να δειχθεί

1 1 4MN MP d

+ = (T Andreescu Olimpiadele de matematica 2000-2001)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 4 Ιουλίου 2012 14






Η μετάβαση από το laquoδυνητικό άπειροraquo στο laquoπραγματικό άπειροraquo ή το laquoεν ενεργεία άπειροraquo(infinie actuel) είναι μια από τις πλέον σημαντικές κατακτήσεις του ανθρωπίνου πνεύματος Το πρώτο είναι το άπειρο που το laquoβλέπουμεraquo μέσα από την εσωτερικότητά του και το άλλο είναι το άπειρο εκείνο που το laquoθεωρούμεraquo εξωτερικά ως μια αυθύπαρκτη οντότητα Πριν πάμε στις σύγχρονες απόψεις για το laquoπραγματικό άπειροraquo αξίζει να στρέψουμε για λίγο ακόμα την προσοχή μας στις απόψεις των αρχαίων ελλήνων φιλοσόφων Όταν ο Αριστοτέλης μιλά στο έργο του laquoΦυσική ακρόασιςraquo για τις απόψεις των προηγούμενων φιλοσόφων και ειδικότερα των Πυθαγορείων σχετικά με την αντίληψη του απείρου γράφει

laquoΜερικοί όπως οι Πυθαγόρειοι και ο Πλάτων δέχονται το άπειρο ως αυθύπαρκτη οντότητα και θεωρούν ότι το άπειρο δεν είναι τυχαίο σύμπτωμα

κάποιου άλλου όντος αλλά αυτό το ίδιο αποτελεί ουσίαraquo (Β Μπετσάκος Αριστοτέλης Φυσικά Γ΄ Δ΄ Σελ73)

Σύμφωνα με την αναφορά αυτή του Αριστοτέλη μπορούμε να πούμε ότι το laquoπραγματικό άπειροraquo ανάγει τις ρίζες του στην Πυθαγόρεια αντίληψη όπου ως έννοια έχει για την ανθρώπινη νόηση μια αυθύπαρκτη υπόσταση Το άπειρο σύμφωνα με την Πυθαγόρεια αντίληψη αποτελεί ξεχωριστή ουσία και συνεπώς ξεχωριστή οντότητα Για τον Αριστοτέλη τα πράγματα είναι διαφορετικά Το άπειρο δεν είναι αυθυπόστατο όν δεν είναι μια αυθύπαρκτη ουσία αλλά κάτι που προκύπτει laquoως συμβεβηκόςraquo δηλαδή ως σύμπτωμα που έχει προκύψει από κάποιο άλλο όν Μέσα από τη θεώρηση αυτή προκύπτει και η laquoδυνητικήraquo του σημασία και ο laquoεν δυνάμειraquo χαρακτήρας της Αριστοτελικής αντίληψης για το άπειρο Γενικότερα οι απόψεις του Αριστοτέλη διατυπώνονται στο ακόλουθο σχόλιο Νομίζω ότι οι θέσεις του για το άπειρο συνοψίζονται ικανοποιητικά στην ακόλουθη αποφθεγματική διατύπωση Περί ζώων γενέσεως 715B 14-16

laquoἡ δέ φύσις φεύγει τό ἄπειρον τό μέν γάρ ἄπειρον ἀτελές ἡ δέ φύσις ἀεί ζητεῖ τέλοςraquo

(Β Μπετσάκος Αριστοτέλης Φυσικά Γ΄ Δ΄ Σχόλιο105 σελ161) Θα χρειαστούν αιώνες μέχρι σχεδόν τον 19ο αιώνα όταν οι μαθηματικοί θα οριστικοποιήσουν την θεώρηση του laquoπραγματικού απείρουraquo Ήδη από τον 17ο αιώνα οι μαθηματικοί άρχισαν να εφαρμόζουν την τεχνική του Αρχιμήδη στη μέτρηση των διαφόρων χωρίων και οδηγήθηκαν στη θεμελίωση του λεγόμενου απειροστικού λογισμού Το λογισμό αυτό τον τελειοποίησαν

No319


αργότερα οι Νεύτωνας και Λάιμπνιτς Η λογική τους ήταν σαν κι αυτή του Αρχιμήδη Η χρήση του απείρου είχε την έννοια του laquoεν δυνάμει απείρουraquo

laquoΣχετικά τώρα με το θέσει άπειρο - όταν μπορεί κάποιος να αντικρύσει ένα όντως άπειρο πλήθος αντικειμένων - αυτό δεν εξετάστηκε καθόλου από τους Νεύτωνα και Λάιμπνιτς και τακτοποιήθηκε (αν αυτό μπορεί να ονομαστεί τάξη)

μόνο περί τα μέσα του 19ου αιώνα από συγγραφείς όπως ο Κάντορraquo (Reviel Netz-William Noel Ο κώδικας του Αρχιμήδη σελ62)


434 Να λυθεί στο R το σύστημα

( )( )

( )2

4 2 2 2

3 01

3 5 0

+ minus + =

+ minus + =

x xy x y a

x x y x y b

Λύση Μια προφανής λύση του συστήματος (1) είναι η

( ) ( ) 00x y = Έστω 0x ne Τότε η πρώτη από τις εξισώσεις του συστήματος (1) γίνεται

2 3 0+ minus + = hArrx xy x y

( )21 13 0hArr sdot + minus + = sdot hArrx xy x yx x

3 0+ minus + = hArryx yx

( )3 2⎛ ⎞hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

yx yx

Όμοια η δεύτερη εξίσωση του συστήματος αυτού γίνεται 4 2 2 23 5 0+ minus + = hArrx x y x y

( )4 2 2 22 2

1 13 5 0hArr sdot + minus + = sdot hArrx x y x yx x

22

23 5 0hArr + minus + = hArryx yx

22

2 3 5+ + = hArryx yx

( )2

5 3⎛ ⎞hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

yx yx

Στη συνέχεια θεωρώντας

( )4yxx

ω+ =


οι εξισώσεις (2) και (3) γίνονται

( )2

35

5ω

ω

+ =

+ =

yy

Από τις εξισώσεις του συστήματος (5) μετά την απαλοιφή του αγνώστου y προκύπτει

( )2 = 0 6ω 2 -ω - Η εξίσωση αυτή έχει λύσεις

1 21 2ω ω= minus = bull Αν

1 1ω ω= = minus τότε από τις εξισώσεις του συστήματος (5) προκύπτει

4y = Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή του y στην εξίσωση (2) έχουμε

24 44 3 1 4 0⎛ ⎞+ + = hArr + = minus hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

x x x xx x

η οποία δεν έχει πραγματικές ρίζες διότι 15 0D = minus lt

bull Αν

2 2ω ω= = τότε πάλι από τις εξισώσεις του συστήματος (5) προκύπτει

1y = και η εξίσωση (2) όμοια γίνεται

21 11 3 2 2 1 0+ + = hArr + = hArr minus + = hArrx x x xx x

( )21 21 0 1x x xhArr minus = hArr = =

Άρα οι δύο μη μηδενικές και πραγματικές λύσεις του συστήματος (1) είναι ( ) ( ) ( )1 1 2 2 11x y x y= =

και μαζί με τη μηδενική λύση οι δύο διακεκριμένες λύσεις του είναι ( ) ( )00 11


( )( )

2

2

4 8 4 2 1( )

8 2 (3 4 ) 4 0 2


x y x

x xy x y x

(ΕΜΕ Περιοδικό Ευκλείδης Β΄Τεύχος 82τ272) Λύση


Επειδή εργαζόμαστε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών θα πρέπει

( )24 0 2 2 2 3x x xminus ge hArr le hArr minus le le Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση την τιμή του ριζικού από την πρώτη

έχουμε

( )8 2 (3 4 ) 8 4 2 0minus + minus minus + =x xy x y y x η οποία μετά πράξεις γίνεται ένα τριώνυμο ως προς x

( ) ( )2 23 16 11 8 16 0 4+ minus + minus =x y x y y Το τριώνυμο αυτό έχει διακρίνουσα

( ) ( ) ( ) ( )2 2216 11 4 3 8 16 5 16 0D y y y y y= minus minus sdot sdot minus = minus ge άρα η εξίσωση (4) έχει δύο πραγματικές λύσεις

8 16 3

yx y ή x y Rμεminus

= = isin

bull Αν x y= τότε η εξίσωση (1) γίνεται

( )24 8 2 5minus = minusx x Η εξίσωση (5) λόγω της (3) έχει και τα δύο μέλη της μη αρνητικά Άρα

( )22 24 8 2 5 32 60 0minus = minus hArr minus + =x x x x που είναι αδύνατη γιατί έχει διακρίνουσα 176 0D = minus lt Άρα x yne

bull Αν

( )8 16 3 16 63 8

y xx y R y x Rminus += isin hArr = isin

τότε στην περίπτωση αυτή η εξίσωση (1) γίνεται

( )2 24 8 4 2 4 72

minus = minus + hArr minus =xx y x x

Η εξίσωση (7) με ύψωση στο τετράγωνο γίνεται

2 45 165

x x= hArr = plusmn

με δεκτή τη θετική ρίζα 45

x = Άρα τότε από την (6) είναι ακόμα 322 5

y = +


459 Έστω ABC ένα ισόπλευρο τρίγωνο Θεωρούμε σημείο M στην πλευρά AB και N στην πλευρά AC Αν Q είναι η τομή των BN και CM κι ακόμα AM CN= τότε να βρεθεί η γωνία MQB









Τί είναι όμως το πραγματικό άπειρο ή αλλιώς το εν ενεργεία άπειρο ή ακόμα όπως λέγεται ενεστωτικό άπειρο ή θέσει άπειρο (infinie actuel) Είναι καλύτερα να αναφερθούμε πάλι στα λόγια των Reviel Netz-William Noel από το βιβλίο laquoΟ κώδικας του Αρχιμήδη σ 211raquo laquoΩστόσο μπορούμε να φέρουμε στην επιφάνεια και το θέσει άπειρο Ας υποθέσουμε ότι κάποιος λέει

- Έχω έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αριθμό έχει μέχρι τώρα αναφερθεί Πρόκειται για τον αριθμό που εκφράζει το πλήθος όλων των ακέραιων αριθμών που μας λέει πόσοι ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν

Το σφυρί πέφτει και ο πλειστηριασμός τελειώνει Το θέσει άπειρο έβαλε ένα τέλος στη διαδικασία Στα λόγια αυτά βλέπει κανείς ότι γίνεται μια laquoπαραδοχήraquo laquoΈχω έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αριθμό έχει μέχρι

τώρα αναφερθείraquo Με την παραδοχή αυτή θεμελιώνεται η έννοια του πραγματικού απείρου Έχουμε τώρα έναν laquoαριθμόraquo που πέραν αυτού δεν υπάρχει μεγαλύτερος κι αυτός αποκαλείται άπειρο Είναι το laquoθέσει άπειροraquo Το laquoεν ενεργεία άπειροraquo Το πλήθος των ακεραίων αριθμών είναι άπειρο Κι απrsquo το σημείο αυτό και πέρα ξεκινούν ή μάλλον τακτοποιούνται όλα τα παράδοξα με το άπειρο Ας ξαναγυρίσουμε στα λόγια των Reviel Netz-William Noel laquoΑς υποθέσουμε για παράδειγμα ότι θέλετε να συγκρίνετε το πλήθος των ακέραιων αριθμών με το πλήθος των άρτιων(ζυγών) αριθμών Ας τους γράψουμε σε δυο σειρές

1 2 3 4 5 helliphelliphelliphelliphelliphellip 2 4 6 8 10 helliphelliphelliphelliphelliphellip

Για κάθε αριθμό στην πρώτη σειρά υπάρχει ένας αριθμός στην κάτω σειρά(το διπλάσιό του) Η κάτω σειρά δεν εξαντλείται ποτέ Σε κάθε ακέραιο αντιστοιχεί ένας άρτιος και αντιστρόφως Το πλήθος των ακεραίων είναι το ίδιο με το πλήθος των άρτιων αριθμών Στην περίπτωση των ακεραίων και των αρτίων βρίσκουμε ότι οι δύο συλλογές έχουν το ίδιο μέγεθος παρόλο που με κάποια έννοια υπάρχουν διπλάσιοι ακέραιοι παρά άρτιοι αριθμοί Με το άπειρο οι laquoσυνηθισμένεςraquo έννοιες καταρρέουν

Μια συλλογή μπορεί να είναι ισοδύναμη με το μισό της

No320


Συνεπώς δεν μπορούμε να εμπιστευτούμε τους συνήθεις κανόνες πρόσθεσης Το άπειρο γεννά υπερβολικά πολλά παράδοξα Γιrsquo αυτό και ως εργαλείο είναι πολύ δύσκολο στη διαχείρισή τουraquo

(Reviel Netz-William Noel Ο κώδικας του Αρχιμήδη σελ212) Το ανωτέρω παράδειγμα όπου οι ακέραιοι είναι τόσοι όσοι και οι άρτιοι ή ακόμα όσοι και οι περιττοί ερμηνεύει και το λεγόμενο laquoξενοδοχείο του DHilbertraquo


436 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει ( )2 1ΒΓ = sdotΑΒ

Θεωρούμε Δ το μέσο της πλευράς ΒΓ και Ε το μέσο του τμήματος ΒΔ Να δειχθεί ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΑΕ

(MN Aref-W Wernick Problems and Solutions in Euclidean Geometry) Λύση Ζητούμε να δείξουμε(Σχ1) ότι

( )2φ ω=

Από το μέσο Δ της πλευράς ΒΓ του τριγώνου αυτού φέρουμε παράλληλη προς την ΑΓ η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ζ το οποίο θα είναι μέσο της πλευράς ΑΒ

Από την παραλληλία αυτή προκύπτει ( )3x ω=

Από την (1) ακόμα προκύπτει ότι το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με κορυφή το σημείο Β κι επειδή οι ΑΕ ΔΖ διάμεσοι που αντιστοιχούν στη βάση του ισοσκελούς αυτού τριγώνου θα είναι επίσης

( )4x φ= Από τις (3) και (4) προκύπτει

φ ω= Άρα η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΑΕ




Λύση Για τους παρονομαστές αυτούς ισχύει

3 1 315 3 535 5 763 7 999 9 11

143 11 13

= sdot= sdot= sdot= sdot= sdot= sdot

Ακόμα επειδή είναι

( )1 1 1 1

2 2 2ν

ν ν ν ν⎛ ⎞= minus forall isinΝ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

το συγκεκριμένο άθροισμα γίνεται

1 1 12 1 3

Σ = minus13

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

15

minus15

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

19

minus19

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

111

minus1

11⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

113

minus1

13⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

115

⎡ ⎤⎛ ⎞minus =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

=1 1 12 612 13 2 13 13⎡ ⎤minus = =⎢ ⎥ sdot⎣ ⎦

και τελικά 6

13Σ =



Λύση Η παράσταση αυτή γράφεται

( ) ( )2 2 23 6 9 5 6 9 192α αβ β γ γΑ = minus + + minus + + ή ακόμα

( ) ( )2 23 3 5 3 192 192α β γΑ = minus + minus + ge Άρα η ελάχιστη τιμή της παράστασης αυτής είναι

min 192Α = και λαμβάνεται για τις τιμές


3 3α β γ= and =


( )2 2 2 1ΑΒ = ΑΔ + ΔΕ (MN Aref-W Wernick Problems and Solutions in Euclidean Geometry)

Λύση Γενικά για οποιοδήποτε σημείο Δ της βάσης ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ ισχύει

( )2 2 2ΑΒ = ΑΔ +ΒΔ sdotΔΓ Απόδειξη του τύπου (2) Έστω ότι το σημείο Δ βρίσκεται αριστερά του μέσου Ο της βάσης Τότε από το θεώρημα της αμβλείας γωνίας για το τρίγωνο ΑΒΔ προκύπτει

2 2 2 2ΑΒ = ΑΔ +ΒΔ + ΒΔ sdotΔΟ =

( )2 2= ΑΔ +ΒΔ ΒΔ + ΔΟ = ( )2= ΑΔ +ΒΔ ΒΔ + ΔΟ + ΔΟ =

( ) ( )2 2= ΑΔ +ΒΔ ΒΟ + ΔΟ = ΑΔ +ΒΔ ΟΓ + ΔΟ και τελικά

2 2ΑΒ = ΑΔ +ΒΔ sdotΔΓ δηλαδή η (2)

( Όμοια δείχνεται αν το σημείο βρίσκεται δεξιά του μέσου Ο της βάσης ΒΓ ) Από τις (1) κα (2) προκύπτει

2ΔΕ = ΒΔ sdotΔΓ Η τελευταία σχέση δηλώνει ότι το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ορθογώνιο στο Ε και

συνεπώς το σημείο Δ θα είναι η προβολή στη ΒΓ του σημείου Ε που είναι η προβολή της κορυφής Γ του τριγώνου στην ΑΒ


460 Να δειχθεί ότι 2

2

0

2 11 (2 )

xe x dx ex

π πημημ

= minus+int

(Γιάννης Μπαϊλάκης Γενικά θέματα εξετάσεων Εκδόσεις Πελεκάνος )









Το laquoπραγματικό άπειροraquo(lrsquoinfinie actuel) σύμφωνα με τις απόψεις των μαθηματικών του 19ου αιώνα είναι πλέον ένα καινούργιο laquoμαθηματικό αντικείμενοraquo Με το νέο αυτό αντικείμενο βρήκαν και τρόπους ώστε άρχισαν να λογαριάζουν και να διερευνούν πιο σύνθετα και πολύπλοκα προβλήματα Για την αντικειμενοποίηση αυτή γράφει σχετικά ο Δ Αναπολιτάνος laquoΤό πραγματικό ἄπειρο σάν μαθηματικό ἀντικείμενο εἶναι ἀποτέλεσμα νοητικοῦ ἄλματος ὅπου πιά το προηγούμενο ἄπειρο σύμπαν ἀποτελεῖ ἀντικείμενο στά πλαίσια ἑνός νέου σύμπαντοςraquo (Δ Αναπολιτάνος Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών Σελ 63) Το νοητικό αυτό άλμα που περιγράφει η παραπάνω πρόταση είναι ο διασκελισμός που έφερε το σημείο αναφοράς από μια εσωτερική θεώρηση του απείρου σε μια εξωτερική αντίληψη της έννοιας αυτής Είναι το άλμα εκείνο που οδήγησε τη φιλοσοφική σκέψη από το δυνητικό άπειρο στο πραγματικό άπειρο Ας ανατρέξουμε πάλι στα λόγια του Αριστοτέλη για να κατανοήσουμε αυτό το νοητικό άλμα το άλμα που έφερε τη σκέψη του ανθρώπου από τη δυνητική σε μια πραγματική θεώρηση Λέει λοιπόν ο φιλόσοφος αυτός

laquoΣυμβαίνει δέ τοὐναντίον εἶναι ἄπειρον ἤ ὡς λέγουσιν Ού γάρ οὗ μηδέν ἔξω ἀλλrsquo οὗ ἀεί τι ἔξω έστί τοῦτο ἄπειρόν έστινraquo

(Αριστοτέλης Φυσική ακρόασις 206β33-207α2) Δηλαδή

laquoΣυμβαίνει όμως το αντίθετο απrsquo ότι λένε οι άλλοι Άπειρο δεν είναι αυτό που δεν υπάρχει τίποτα απrsquo έξω του αλλά εκείνο που

πάντοτε έχει και κάτι απrsquo έξω τουraquo Πράγματι στο δυνητικό άπειρο όπως το γνωρίσαμε στη σκέψη του Αρχιμήδη (ΣΜ 315) πάντοτε παραμένει έξω από τους υπολογισμούς ένα μικρό κι ασήμαντο κομμάτι Ένα μικρό κομμάτι το οποίο όμως είναι υπαρκτό Πάντα στον υπολογισμό του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου χωρίου παραμένει έξω μια μικρή κι ασήμαντη επιφάνεια(μεγαλύτερη από μια τρίχα της κεφαλής) που όλο και μικραίνει προχωρώντας στη δυναμική της μεθόδου του Αλλά και στη δυνητική θεώρηση του πλήθους των ακεραίων αριθμών όσο μεγάλο αριθμό κι αν βάλουμε στο νου μας πάντα παραμένει κάποιος άλλος που είναι μεγαλύτερος απrsquo αυτόν Έτσι το εν δυνάμει άπειρο είναι εκείνο το άπειρο που πάντοτε εξωτερικά του έχει κάποιο στοιχείο Αντίθετα στο πραγματικό άπειρο όπως μπορεί να το σκεφτεί κανείς περιλαμβάνονται τα πάντα κι έτσι έξω απrsquo αυτό δεν υπάρχει τίποτα Ο νους του ανθρώπου κατάφερε να κάνει το νοητικό άλμα και να σταθεί απέναντι από το άπειρο

No321


αυτό Ο μαθηματικός νους είναι αυτός που κατάφερε να σταθεί απέναντι από το άπειρο αυτό και να το αντιμετωπίσει ως μια νέα οντότητα και ως ένα νέο αντικείμενο Έβαλε το άπειρο μαζί με όλα τα άλλα μαθηματικά αντικείμενα και έτσι άρχισε να μελετά τη σχέση του με τις υπόλοιπες μαθηματικές οντότητες τα υπόλοιπα μαθηματικά αντικείμενα Από το σημείο αυτό και πέρα άρχισαν πολλά πράγματα να μπαίνουν στη θέση τους τα οποία για χρόνια ταλάνιζαν την ανθρώπινη σκέψη



( ) ( )( ) ( )0

2 1π

ημprimeprime+ =int f x f x xdx


Λύση Η δοθείσα σχέση (1) γίνεται

( ) ( )( )0

2π

ημprimeprime+ = rArrint f x f x xdx

( ) ( )0

2π

ημ ημprimeprime+ = rArr⎡ ⎤⎣ ⎦int f x x f x x dx

( ) ( )0 0

2π π

ημ ημprimeprime+ = rArrint intf x xdx f x xdx

( ) ( )0

πημ ημprime+ ⎡ ⎤⎣ ⎦f x xdx f x x ( )( )

0

0 0

2π π

ημ primeprimeminus = rArrint int

f x x dx

( ) ( )0 0

2π π

ημ συνprimeminus = rArrint intf x xdx f x xdx

( ) ( )( )0

2π

ημ συνprimeminus = rArrint f x x f x x dx

( )( )0

2π

συν primeminus = rArrint f x x dx


( )0

2π

συνminus = rArr⎡ ⎤⎣ ⎦f x x

( ) ( )( ) 1

0 0 2π

π συνπ συν=

minus + = rArrf

f f

( ) ( )1 1 0 1 2minus sdot minus + sdot = rArrf

( )0 1= minusf


( )2 3 12 2


(DH Can Tho 1998) Λύση Είναι

32 2

σφ σφΑ Γ

= hArr

32 2 2 2

συν συν ημ ημΑ Γ Α Γ= hArr

2 32 2 2 2 2 2

συν συν συν συν ημ ημΑ Γ Α Γ Α Γ⎛ ⎞ = + hArr⎜ ⎟⎝ ⎠

22 2 2 2 2 2 2 2

συν συν ημ ημ συν συν ημ ημΑ Γ Α Γ Α Γ Α Γ⎛ ⎞minus = + hArr⎜ ⎟⎝ ⎠

22 2

συν συνΑ+Γ ΑminusΓ= hArr

22 2

ημ συνΒ ΑminusΓ= hArr

22 2 2 2

ημ συν συν συνΒ Β ΑminusΓ Β= hArr

2 2ημ συν ημΑminusΓ Α+Γ

Β = hArr


2 22 2

ημ συν ημΑminusΓ Α+ΓΒ = hArr

2ημ ημ ημΒ = Α+ ΓhArr

2β α γ= + 442 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα ΔΕΖ των ΒΓ ΓΑ ΑΒ αντίστοιχα Να δειχθεί ότι το ορθόκεντρο του ΔΕΖ(διάμεσο τρίγωνο) είναι το περίκεντρο του ΑΒΓ (Δ Κοντογιάννης Βασικά θέματα μαθηματικών διαγωνισμών Κυπριακή Μαθηματική

Εταιρεία ΚΥΜΕ Λευκωσία 2012 Σελ17)) Λύση 1ος τρόπος Είναι φανερό ότι το περίκεντρο Κ του τριγώνου ΑΒΓ είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του οι οποίες είναι και ύψη του τριγώνου ΔΕΖ που σχηματίζεται από τα μέσα των πλευρών(διάμεσο τρίγωνο του ΑΒΓ) Αυτό συμβαίνει γιατί οι πλευρές του διάμεσου τριγώνου είναι παράλληλες με τις πλευρές του αρχικού Άρα το περίκεντρο Κ είναι ορθόκεντρο του ΔΕΖ

2ος τρόπος (με χρήση ομοιθεσίας) Το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ομοιόθετο του τριγώνου ΑΒΓ με κέντρο ομοιοθεσίας

το βαρύκεντρο G του τριγώνου ΑΒΓ και με λόγο 12

λ = minus

Κατά την ομοιοθεσία αυτή όλα τα στοιχεία του ενός τριγώνου αντιστοιχίζονται με τα αντίστοιχα του άλλου Έτσι το ορθόκεντρο Η του ΑΒΓ θα αντιστοιχισθεί με το σημείο Ηrsquo που θα προκύψει από τη σχέση της ομοιοθεσίας

( )1 12

G GΗ = minus Η

Όμως από την ευθεία του Euler είναι γνωστό ότι ( )2 2G GΗ = Κ

Από τις (1) και (2) προκύπτει Η =Κ


461 Στον κύκλο ( )C O R δίνονται τα σταθερά σημεία Α και B Θεωρούμε μεταβλητή διάμετρο ΓΔ και το σημείο τομής M των ΑΓ και ΒΔ Να βρεθεί ο γτ του σημείου Μ










Το ξενοδοχείο του Hilbert

Το laquoξενοδοχείο του Hilbertraquo είναι μια φανταστική ιστορία που αποδίδεται στον μεγάλο γερμανό μαθηματικό David Hilbert Με την ιστορία αυτή αισθητοποιείται η αντίληψη για το laquoεν ενεργεία άπειροraquo γιατί το φανταστικό αυτό ξενοδοχείο περιλαμβάνει όχι έναν πεπερασμένο αριθμό δωματίων αλλά άπειρο Ας φανταστούμε τα δωμάτια του ξενοδοχείου ως μια ακολουθία των φυσικών αριθμών

Η πόλη στην οποία υπήρχε το ξενοδοχείο αυτό γιόρταζε εκείνο το βράδυ και τα δωμάτια του ξενοδοχείου είχαν όλα κι από έναν πελάτη Δεν υπήρχε ούτε ένα κενό δωμάτιο

Κοντά το βράδυ κι ενώ το γλέντι στην πόλη γιγάντωνε εμφανίστηκε στο ξενοδοχείο αυτό ένας επισκέπτης που είχε ξεμείνει και ζητούσε από τον ξενοδόχο ένα δωμάτιο Ο ξενοδόχος έξυπνος καθώς ήταν σκέφτηκε για λίγο και του λέει -Παρόλο που όλα τα δωμάτια είναι γεμάτα θα σου βρω ένα Έστειλε λοιπόν μήνυμα στον πελάτη του πρώτου δωματίου( 1π ) να μετακομίσει στο δεύτερο δωμάτιο λέγοντας στον πελάτη του δευτέρου δωματίου( 2π ) να μετακομίσει στο τρίτο δωμάτιο μεταφέροντας την ίδια πάντα εντολή Έτσι εκκενώθηκε το πρώτο δωμάτιο και τακτοποιήθηκε ο νέος επισκέπτης

Ουσιαστικά ο έξυπνος αυτός ξενοδόχος λειτούργησε με βάση την αντίληψη ότι το ξενοδοχείο του έχει τις ιδιότητες του laquoεν ενεργεία απείρουraquo διότι θεωρώντας ότι laquoέχει στη διάθεσή τουraquo άπειρα δωμάτια άρχισε να αξιοποιεί τις δύσκολες πλέον ιδιότητες που εμφανίζει η έννοια αυτή(ΣΜ 320)

No322


Στην πραγματικότητα ο ξενοδόχος αυτό ξεκαθάρισε το γεγονός ότι το πλήθος των άπειρων πελατών που είχε μέχρι τη στιγμή εκείνη στο ξενοδοχείο είναι το ίδιο με το νέο πλήθος που προέκυψε προσθέτοντας σrsquo αυτούς έναν ακόμα Όσο κι αν αυτό φαίνεται παράξενο και αντίθετο με τις πράξεις που κάνουμε laquoμέσα στο εν δυνάμει άπειροraquo εν τούτοις είναι αυτό ακριβώς που διδάσκεται και σήμερα στα σχολεία με την παρακάτω διατύπωση

1infin + = infin


443 Να λυθεί η ανίσωση ( ) ( ) ( )2 3 3 2log log 2 log log 3 0 1sdot + sdot gex x x x (Truonc thpt chuyen ha long)

Λύση Κατrsquo αρχήν πρέπει

0x gt Στη συνέχεια διακρίνουμε δύο περιπτώσεις

1ο) Έστω ότι 1x ge

Τότε η (1) αληθεύει 2ο) Έστω ότι

( )0 1 2xlt lt τότε επειδή

( ) ( )

2 3log log 0x xminus minus

sdot gt

η (1) ισοδυναμεί

( ) ( ) ( )3 2

3 2

log 2 log 30 3

log log+ ge

x xx x

Αν τώρα στη σχέση (3) εφαρμόσουμε τον τύπο αλλαγής της βάσης και θεωρήσουμε ως βάση τον αριθμό x τότε αυτή με τη σειρά της ισοδυναμεί

( ) ( ) ( )log 2 log 3 0 4+ gex xx x Άρα

( )4 log 2 log log 3 log 0hArr + + + gex x x xx x

log 2 1 log 3 1 0hArr + + + gex x

( )log 2 3 2 0hArr sdot + gex

( )log 6 2hArr ge minusx

( ) ( )2log 6 log 5minushArr gex x x Όμως η συνάρτηση


( ) logxf y y= λόγω του περιορισμού (2) είναι γνησίως φθίνουσα Άρα η (5) ισοδυναμεί

( ) 25 6 minushArr le x Η τελευταία σύμφωνα και με τον περιορισμό (2) γίνεται

606

xlt le

Από τις δύο αυτές περιπτώσεις συμπεραίνεται ότι η λύση της αρχικής ανίσωσης είναι

[ )60 16

S⎛ ⎤

= cup +infin⎜ ⎥⎝ ⎦


( )( ) ( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15 1

) 3 5 log 9 19 log 12 0 2



x x x x x xi

ii x x x x

(wwwmathvncom) Λύση

Για την πρώτη εξίσωση έχουμε

( ) 2 2 22 2 21 25 25 9 9 34 15minus minus minushArr sdot + sdot = sdotx x x x x x

2 22 225 925 9 3415 15

minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞hArr sdot + sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x x x x

( )2 22 25 325 9 34 3

3 5


x x x x

Αν θέσουμε τώρα

( )225 0 4

3

x x

tminus

⎛ ⎞= gt⎜ ⎟⎝ ⎠


125 9 34+ sdot =tt

ή ακόμα

( )225 34 9 0 5minus + =t t Η διακρίνουσα της (5) είναι


2 234 4 25 9 1156 900 256 16 0Δ = minus sdot sdot = minus = = gt άρα οι ρίζες της (5) είναι δύο πραγματικές και άνισες

Αυτές είναι

1

12

2

34 16 18 9 034 16 50 50 25

34 16 502 25 1 050 50

tt

t

minus⎧ = = = gt⎪plusmn ⎪= rArr ⎨ +sdot ⎪ = = = gt⎪⎩

οι οποίες είναι δεκτές bull Έστω τώρα

1925

t =

τότε από την (4) έχουμε 2 22 2 29 5 5 5

25 3 3 3

x x x xminus minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= hArr =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2122 2 2 2 0 1 3x x x x xminus = minus hArr minus minus = hArr = plusmn

bull Έστω επίσης 2 1t =

τότε όμοια από την (4) προκύπτουν οι λύσεις

3 40 2x x= = Άρα οι ρίζες της (1) είναι

021 3 1 3S = minus +


462 Για τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς a b c ισχύει

( ) ( ) ( )2 2 2

2013 2013 2013

2 01

a b c b c a c a b abca b c⎧ + + + + + + =⎪⎨

+ + =⎪⎩

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

2013 2013 20131 1 1Q

a b c= + +

(wwwMathvncom)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 1 Αυγούστου 2012 14






Το ξενοδοχείο του Hilbert Ο ξενοδόχος του παράξενου laquoξενοδοχείου του Hilbertraquo με τα άπειρα δωμάτια αφού τακτοποίησε τον πρώτο πελάτη(ΣΜ322) και καθώς περνούσαν οι ώρες εκείνο το βράδυ στη πόλη που γιόρταζε βρέθηκε μπροστά και σε μια ακόμα πρόκληση Ήρθαν και ζητούσαν να διανυκτερεύσουν άλλοι τρείς πελάτες Έπρεπε λοιπόν να εξασφαλίσει τρία δωμάτια τη στιγμή που όλα τα δωμάτια του ξενοδοχείου

αυτού ήταν γεμάτα Το δωμάτια με αρίθμηση από το ένα μέχρι το άπειρο είχαν κι από έναν πελάτη Έπρεπε λοιπόν να βρει έναν τρόπο να τους τακτοποιήσει τον καθένα και σε ξεχωριστό δωμάτιο Ο έξυπνος ξενοδόχος βρήκε αμέσως τη λύση Έδωσε εντολή στον πρώτο πελάτη που κατείχε το πρώτο δωμάτιο να μετακομίσει στο τέταρτο δωμάτιο δηλαδή να παρακάμψει τρία δωμάτια και να πάει στο αμέσως επόμενο λέγοντας στο πελάτη που έμενε εκεί να πράξει το ίδιο ακριβώς Έτσι εκκενώθηκαν τα τρία πρώτα δωμάτια και οι τρείς νέοι επισκέπτες στην πόλη εκείνη βολεύτηκαν στο παράξενο αυτό ξενοδοχείο

Όπως εύκολα μπορεί να αντιληφθεί κανείς ο ξενοδόχος αυτός θα μπορούσε με την ίδια λογική να εξυπηρετήσει όχι μόνον τρεις νέους επισκέπτες αλλά και περισσότερους Για παράδειγμα αν έρχονταν 1 2 3 νε ε ε ε με 1ν ge νέοι επισκέπτες στο γεμάτο αυτό ξενοδοχείο τότε ο ξενοδόχος αυτός θα μετακόμιζε τον πρώτο πελάτη ( )1π του πρώτου δωματίου στο ( )1ν + δωμάτιο παρακάμπτοντας ν δωμάτια Το ίδιο θα έκανε και για όλους τους πελάτες

No323


Έτσι εκκενώνοντας τα ν πρώτα δωμάτια θα κατάφερνε να laquoβολέψειraquo και τους νέους ν επισκέπτες Στην περίπτωση αυτή ο ξενοδόχος χρησιμοποίησε την ιδιότητα που ξέρουμε ως μαθηματικοί και η οποία λέει πως αν στο άπειρο προσθέσουμε έναν οποιοδήποτε φυσικό αριθμό τότε προκύπτει πάλι το άπειρο Δηλαδή

νinfin + = infin



( )( ) ( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15 1

) 3 5 log 9 19 log 12 0 2



x x x x x xi

ii x x x x


(Συνέχεια της δεύτερης εξίσωσης) Για τη δεύτερη εξίσωση θα πρέπει

( )0 3x gt Θεωρούμε

( )3log 4t x= τότε η εξίσωση (2) γίνεται

( ) ( ) ( )23 5 9 19 12 0 5minus + minus minus =x t x t Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις

1η περίπτωση Έστω ότι είναι

( )53 5 0 63

x xminus = hArr =


2 50 9 19 12 03

t t⎛ ⎞sdot + sdot minus minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

ή ισοδύναμα 4 12 3t tminus sdot = hArr = minus

όμως τότε από την (4) και (6) προκύπτει

3 3

23

5log 3 log 5 1 33

1log 5 2 5 3 59

minus

= minus hArr minus = minus

hArr = minus hArr = hArr =

που είναι άτοπο 2η περίπτωση


Έστω ότι είναι

( )53 5 0 73

x xminus ne hArr ne

τότε η δευτεροβάθμια εξίσωση (5) έχει διακρίνουσα

( ) ( )( ) ( )

2

22 2

9 19 48 3 5

81 198 11 9 11 0 8

x x

x x x

Δ = minus + minus rArr

Δ = minus + = minus ge

άρα η εξίσωση αυτή έχει λύσεις τις

( ) ( )( )

( )

( )

12

18 30 32 3 59 19 9 11

19 11 42 3 52 3 5 3 5

xxx xt

xx x

minus +⎧ = minus⎪ minusminus minus plusmn minus ⎪= = ⎨ minusminus ⎪ =⎪ minus minus⎩

bull Έστω

1 3t = minus τότε λόγω της (4) θα είναι

33

1log 3 327

x x minus= minus rArr = =

η οποία είναι δεκτή ως θετική bull Έστω

24

3 5t

x=

minus

τότε πάλι λόγω της (4) θα είναι

( )34log 9

3 5x

x=

minus

Λύση της (9) Δύο προφανείς λύσεις της (9) είναι οι

( )1 213 103

x x= =

Θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) 34 5log 0

3 5 3f x x x

x= minus lt ne

minus

τότε η πρώτη παράγωγός της θα είναι

( )( )2

1 12 5 50 0 ln 3 3 33 5

f x xx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞prime = + gt forall isin cup +infin⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ άρ

α η συνάρτηση στα διαστήματα που ορίζεται είναι γνησίως αύξουσα


Ακόμα είναι

( ) ( )50

3

lim limx x

f x f x+ minusrarr rarr

= minusinfin = +infin

( ) ( )5

3

lim limxx

f x f x+ rarr+infinrarr


Έτσι ο πίνακας μεταβολής της συνάρτησης αυτής είναι

Τα σημεία μηδενισμού της f λόγω της συνέχειας και της γνήσιας μονοτονίας θα είναι ακριβώς δύο και μάλιστα ένα στο πρώτο διάστημα και ένα στο δεύτερο

Έτσι οι προφανείς λύσεις (10) είναι και οι μοναδικές Το γράφημα της f δίνεται απrsquo το επόμενο σχήμα όπου φαίνονται οι δύο αυτές ρίζες

Συνοψίζοντας τις δύο περιπτώσεις οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι

1 1 327 3

S =


463 Δίνονται δύο κύκλοι ( )1Κ και ( )2Κ που τέμνονται σε δύο διακεκριμένα σημεία Α Β και ( )t μια κοινή εφαπτομένη αυτών αντίστοιχα στα σημεία Μ Ν Αν t perp ΑΜ και

2ΜΝ = ΑΜ να βρεθεί η γωνία ΝΜΒ (16η Junior Balkan mathematical Olympiad Βέροια 2012)



minusinfin

+infin

minusinfin

+infin

+infin

minusinfin







Το ξενοδοχείο του Hilbert Η ιστορία με το ξενοδοχείου του Hilbert συνεχίζεται Ο ξενοδόχος εκείνο το γιορτινό βράδυ της πόλης βρίσκεται σε μια ακόμα πρόκληση Κοντά τα μεσάνυχτα καταφθάνει ένα λεωφορείο με άπειρους επισκέπτες που ζητά ο καθένας κι από ένα δωμάτιο Το παράξενο όμως ξενοδοχείο ήταν γεμάτο Κάθε δωμάτιο είχε κι από έναν πελάτη

Οι νέοι επισκέπτες που ήρθαν τα μεσάνυχτα εκείνα ήταν κι αυτοί άπειροι δηλαδή

1 2 3 νε ε ε εΕ = Ο ξενοδόχος έξυπνος καθώς ήταν αφού σκέφτηκε για λίγη ώρα βρήκε τη λύση και αμέσως προχώρησε στην τακτοποίηση των νέων αυτών πελατών Τί έκανε λοιπόν στην περίπτωση αυτή Έστειλε αμέσως μήνυμα στους πελάτες που διέμεναν μέχρι τη στιγμή εκείνη στο ξενοδοχείο αυτό και τους παρήγγειλε να μετακινηθούν σε δωμάτια που έφεραν άρτιο αριθμό Πιο συγκεκριμένα Ο πρώτος πελάτης όφειλε να μετακινηθεί στο δεύτερο δωμάτιο ο δεύτερος πελάτης να πάει στο τέταρτο δωμάτιο ο τρίτος πελάτης να πάει στο έκτο δωμάτιο και γενικά ο πελάτης που κατείχε το ν-οστό δωμάτιο να πάει στο δωμάτιο με αριθμό 2ν Μια τέτοια τακτοποίηση των αρχικών πελατών δείχνει το επόμενο σχήμα στο οποίο φαίνονται και τα άπειρα κενά δωμάτια

Η μετακίνηση αυτή είναι ουσιαστικά μια αντιστοίχιση των πελατών αυτών με τα δωμάτια σύμφωνα με τον τύπο

2ά άπελ της ν δωμ τιο νrarr

No324


Με την διευθέτηση αυτή εκκενώθηκαν τα δωμάτια που έφεραν περιττό αριθμό τα οποία ήταν κι αυτά άπειρα έτοιμα να δεχθούν τους νέους επισκέπτες



( )2 2 2

3 1ΜΑ ΜΒ ΜΓ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟prime prime prime prime prime primeΜΒ +ΜΓ ΜΓ +ΜΑ ΜΑ +ΜΒ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (wwwmathvncom)

Λύση Αναφερόμενοι στο σχήμα 1 έχουμε

2 22 2 2

΄ ημφ ημω

φ ω φ ωημ συν ημ

ΜΒ +ΜΓ ΜΒ ΜΓ= + = + =

ΜΑ ΜΑ ΜΑ+ minus Α

= le

Άρα 1

22

΄ ημ

ΜΑge ΑΜΒ +ΜΓ

και επειδή οι όροι της ανίσωσης αυτής είναι θετικοί θα είναι ακόμη

( )2

2

1 2 4

2΄ ημ

ΜΑ⎛ ⎞ ge⎜ ⎟ ΑΜΒ +ΜΓ⎝ ⎠

Σχήμα 1



( )2

2

1 3 4

2΄ ημ

ΜΒ⎛ ⎞ ge⎜ ⎟ ΒΜΓ +ΜΑ⎝ ⎠

και

( )2

2

1 4 4

2΄ ημ

ΜΓ⎛ ⎞ ge⎜ ⎟ ΓΜΑ +ΜΒ⎝ ⎠

αθροίζοντας τις (2) (3) και (4) έχουμε 2 2 2ΜΑ ΜΒ ΜΓ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟prime prime prime prime prime primeΜΒ +ΜΓ ΜΓ +ΜΑ ΜΑ +ΜΒ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 2 2

1 1 1 1 54

2 2 2ημ ημ ημ

⎛ ⎞⎜ ⎟

ge + +⎜ ⎟Α Β Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμως από την ταυτότητα του Cauchy είναι

( )32 2 2 2 2 2

1 1 1 13 6

2 2 2 2 2 2ημ ημ ημ ημ ημ ημ

+ + geΑ Β Γ Α Β Γ

Επίσης είναι γνωστό ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει 1

2 2 2 8ημ ημ ημΑ Β Γ

le

και επειδή οι όροι της ανίσωσης αυτής είναι θετικοί υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη της θα είναι ακόμη

( )2

2 2 2

1 8 7

2 2 2ημ ημ ημ

leΑ Β Γ

Επομένως η (6) σύμφωνα με την (7) γίνεται

( )

32 2 2 2 2 2

32 2 23 3

1 1 1 13

2 2 2 2 2 2

3 8 3 2 3 2 3 4 12

ημ ημ ημ ημ ημ ημ+ + ge geΑ Β Γ Α Β Γ

ge sdot = sdot = sdot = sdot =

δηλαδή


( )2 2 2

1 1 1 12 8

2 2 2ημ ημ ημ

+ + geΑ Β Γ

Τελικά η (5) σύμφωνα με την (8) γίνεται 2 2 2 1 12 3

4ΜΑ ΜΒ ΜΓ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge sdot =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟prime prime prime prime prime primeΜΒ +ΜΓ ΜΓ +ΜΑ ΜΑ +ΜΒ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ή πιο απλά 2 2 2

3ΜΑ ΜΒ ΜΓ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟prime prime prime prime prime primeΜΒ +ΜΓ ΜΓ +ΜΑ ΜΑ +ΜΒ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



464 Να βρεθεί πότε ένα εγγεγραμμένο παραλληλεπίπεδο σε μια σφαίρα έχει μέγιστη επιφάνεια

(Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ τ 3 Δεκέμβριος 1956)

465 Να αποδειχθεί ότι όλοι οι αριθμοί της σειράς 49 4489 444889

τους οποίους λαμβάνομεν εάν προσθέσομεν εις το μέσον του αριθμού ο οποίος προηγείται το 48 είναι τέλεια τετράγωνα


466 Να βρεθεί το άθροισμα των ν όρων της ακολουθίας 2 5 12 23 κ

όπου κ ο ν-οστός όρος της ακολουθίας αυτής (Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ τ 3 Δεκέμβριος 1956)

467 Να δείξετε ότι αν

πΑ+Β+Γ = τότε

3 3 3

3εφ εφ εφεφ εφ εφΑ + Β+ Γ

geΑ+ Β+ Γ










Το ξενοδοχείο του Hilbert Μετά από την έξυπνη διευθέτηση των άπειρων επισκεπτών που έκανε ο ξενοδόχος του παράξενου ξενοδοχείου του Hilbert ας δούμε με πιο προσεκτική ματιά τον τελικό χάρτη των δωματίων όπως αυτός φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Όπως αναφέρθηκε και προηγούμενα (ΣΜ 324) οι αρχικοί πελάτες ήταν άπειροι και κατείχε ο καθένας κι από ένα δωμάτιο Οι πελάτες αυτοί μετά την εντολή του ξενοδόχου διευθετήθηκαν σύμφωνα με τον τύπο

2ά άπελ της ν δωμ τιο νrarr ή

2 123ν νπ δ νrarr = κι έτσι άδειασαν τα περιττού αριθμού δωμάτια και γέμισαν τα άρτιου περιττού Για παράδειγμα ο πελάτης που κατείχε το δωμάτιο με αριθμό 31 θα μετακινηθεί στο δωμάτιο με αριθμό 2 31 62sdot = Δηλαδή

31 62π δrarr Η κατανομή επίσης των άπειρων νέων επισκεπτών οι οποίοι κατευθύνθηκαν στα άπειρα δωμάτια που εκκενώθηκαν έγινε κι αυτή με τον ακόλουθο τύπο

2 1έ m ά mεπισκ πτης δωμ τιοrarr minus ή

2 1 123m m mε δ minusrarr = Σύμφωνα με την αντιστοιχία αυτή οι άπειροι επισκέπτες του λεωφορείου

1 2 3 νε ε ε εΕ = θα καταλάβουν τα άπειρα δωμάτια που αντιστοιχούν στους περιττούς φυσικούς αριθμούς Έτσι με τη διευθέτηση αυτή ο ξενοδόχος γνωρίζει τον αριθμό του δωματίου

No325


για τον κάθε νέο επισκέπτη του Για παράδειγμα ο επισκέπτης που στο λεωφορείο είχε τη θέση 42 στο ξενοδοχείο θα έχει τη θέση 2 42 1 83sdot minus = Δηλαδή

31 83ε δrarr


446 Έστω ότι 0gta b c d και

( ) ( )32 2 2 2 1+ = +c d a b

τότε να δειχθεί ότι

( )3 3

1 2+ gea bc d

(mathvncom) Λύση Από την ταυτοανισότητα του Schwarz προκύπτει

( )3 3⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b ac bdc d

( ) ( )( )2 2

3 3 2 2⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + + ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

a b ac bdc d

23 3⎛ ⎞sdot + sdot ge⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bac bdc d

( )2

3 3 24 4

⎛ ⎞sdot + sdot = + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bac bd a bc d

( )22 2= +a b άρα

( ) ( ) ( )3 3 22 2 3

⎛ ⎞+ + ge +⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b ac bd a bc d


Όμως

( ) ( )2 42 2 2 2+ = + =a b a b

( )( )( )132 2 2 2+ + =a b a b

( )( )( )

2 2 2 2+ + geSchwarz

a b c d

( ) ( )2+ = +ac bd ac bd

Δηλαδή

( ) ( )22 2 4+ ge +a b ac bd


( ) ( )3 3

5⎛ ⎞

+ + ge +⎜ ⎟⎝ ⎠

a b ac bd ac bdc d

και επειδή οι ποσότητες a b c d είναι θετικές από την (5) προκύπτει 3 3

1+ gea bc d


447 Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις τη εξίσωσης ( )29 4 1 1minus = +x xy y

(Gazeta mathematica 42003) Λύση Από την (1) προκύπτει

( )29 1 2

4 1xyxminus

=+

ή ακόμα

( )29 16 1616 3

4 1xyx

sdot minus=

+

Εκτελώντας στη συνέχεια τη διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή στη σχέση (3) προκύπτει

( )( )4 1 36 9 7164 1

x xyx

+ minus minus=

+

και τελικά είναι


( ) ( )716 36 9 44 1

y xx

= minus minus+

Επειδή αναζητούμε ακέραιες λύσεις θα πρέπει η παράσταση 4 1x+ της σχέσης (4) να διαιρεί το αριθμό 7

Άρα πρέπει 4 1 1 4 1 7x ή x+ = plusmn + = plusmn

bull Αν 4 1 1 0x x Z+ = rArr = isin

bull Αν 14 1 12

x x Z+ = minus rArr = minus notin

bull Αν 34 1 72

x x Z+ = rArr = notin

bull Αν 4 1 7 2x x Z+ = minus rArr = minus isin

Για ( )2

0 1x y Z= rArr = minus isin Για

2 5x y Z= minus rArr = minus isin Άρα οι ακέραιες λύσεις της (1) είναι

( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 5x y x yκαι= minus = minus minus


468 Να γίνει γινόμενο η παράσταση 1 x x x xημ συν ημ συνΑ = + + + sdot

και στη συνέχεια να το γινόμενο αυτό να γραφεί ως τετράγωνο αθροίσματος δύο συνημιτόνων

(Εισαγωγικές εξετάσεις στη Σχολή Ευελπίδων Έτος 1947)

469 Να λυθεί η εξίσωση 1 1 1 3 0x x x

x x xημ συν εφ

ημ συν εφ+ + + + + + = (Εισαγωγικές εξετάσεις στο Πολυτεχνείο Έτος 1947)









Το ξενοδοχείο του Hilbert Μετά από όλες τις προηγούμενες διευθετήσεις που έκανε ο ξενοδόχος του παράξενου ξενοδοχείου του Hilbert εκείνο το βράδυ βρέθηκε και σε μια ακόμα πρόκληση Λίγο μετά τα μεσάνυχτα έρχεται ένα κομβόι από άπειρα λεωφορεία που το καθένα τους είχε άπειρους επιβάτες Οι επιβάτες αυτοί ήθελαν να διανυκτερεύσουν στην πόλη που γιόρταζε και έβαλαν στον ξενοδόχο ένα καινούργιο πρόβλημα Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζονται τα άπειρα αυτά λεωφορεία σε μια κατακόρυφη διάταξη ώστε η κάθε γραμμή να περιέχει τους άπειρους επιβάτες του κάθε λεωφορείου που δηλώνεται στην πρώτη στήλη

Για παράδειγμα το δεύτερο λεωφορείο περιέχει ως επιβάτες το απειροσύνολο

2 21 22 23 2 με ε ε εΑ = ενώ το δωδέκατο περιέχει την απειρία

2 12 1 122 12 3 12 με ε ε εΑ = Με άλλα λόγια κάθε ένας επιβάτης που σημειώνεται με το σύμβολο

i jε

No326

( )

11 12 13 1

21 2 2 2 3 2

1

1 2 3

1 2

ίί

ό

μ

μ

ν ν ν ν μ

ο εωφορε ο ε ε ε εο εωφορε ο ε ε ε ε

ν στ εωφ ε ε ε ε

Λ rarr⎡ ⎤⎢ ⎥Λ rarr⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ Π⎢ ⎥

minus Λ rarr⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


βρίσκεται στο λεωφορείο που κατέχει την i ήστminus γραμμή της διάταξης που εμφανίζεται στο σχήμα (Π1) και στη συνέχεια στη j ήστminus θέση μέσα στο λεωφορείο αυτό Είναι κατανοητό ότι η όλη διάταξη μπορεί να παρασταθεί με έναν laquoπερίεργοraquo πίνακα που περιέχει άπειρες γραμμές καθώς και άπειρες στήλες Το πλήθος των γραμμών εκφράζει τα άπειρα λεωφορεία και το πλήθος των στηλών παριστά τους άπειρους επιβάτες του καθενός λεωφορείου



( )1ΑΟΒ = ΒΟΓ = ΓΟΑ Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ στον κύκλο αυτό και τις προβολές του Α0 Βο Γο στους φορείς των ΟΑ ΟΒ ΟΓ αντίστοιχα Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑοΒοΓο είναι ισόπλευρο

(N Abramescu GM XXXVI MSBotez Probleme de geometrie)) Λύση Κατrsquo αρχήν από τη δοθείσα σχέση (1) προκύπτει ότι

( )120 2οΑΟΒ = ΒΟΓ = ΓΟΑ =

Επίσης από την καθετότητες οΜΑ perpΟΑ και οΜΓ perp ΟΓ (Σχ1) εύκολα διαπιστώνεται ότι το τετράπλευρο ο οΟΑ ΜΓ είναι εγγράψιμο σε κύκλο Άρα

( )3α β= κι ακόμα

( )120 4οο οΑ ΜΓ =

Σχ 1


Όμοια πάλι από τις καθετότητες οΜΑ perpΟΑ και οΜΒ perpΟΒ διαπιστώνεται ότι το τετράπλευρο ο οΟΑ ΜΒ είναι εγγράψιμο σε κύκλο Άρα

( )5β γ= καθώς και

( )60 6οο οΑ ΜΒ =

Από τις (3) και (5) προκύπτει ( )7α γ=

άρα το τετράπλευρο ο ο οΑ Β Γ Μ εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς ( )8ο ο ο ο οΑ Γ Β = Α ΜΒ

Από τις (6) και (8) προκύπτει ( )60 9ο

ο ο οΑ Γ Β = Από την (4) και την εγγραψιμότητα του ο ο οΑ Β Γ Μ προκύπτει ακόμα ότι

( )60 9οο ο οΑ Β Γ =

άρα το τρίγωνο ο ο οΑ Γ Β είναι ισόπλευρο


( ) ( ) ( )1 3 2 1 1και= ge + forall isinf f x x x R i) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 2 1y x= + εφάπτεται στη fC

ii) Να βρείτε το ( ) ( )

1

3lim 2

1rarr

minus

minusx

f x xx


( ) ( ) ( )2 3ξ ξ ξprime=f f (Λ Κανάκης Γ Μαυρίδης 100 Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Σελ98)

Λύση i) Θεωρούμε τη συνάρτηση

( ) ( ) 2 1g R R g x f x xμεrarr = minus minus τότε από τις προϋποθέσεις (1) προκύπτει

( ) ( ) ( )1 4g x g x Rge forall isin δηλαδή η συνάρτηση g παρουσιάζει στο σημείο 1ox = ολικό ελάχιστο

Επειδή ακόμα στο σημείο αυτό η συνάρτηση αυτή είναι παραγωγίσιμη και μάλιστα

( ) ( ) 2g x f x x Rprime prime= minus forall isin

το θεώρημα του Fermat σε συνδυασμό και με την (4) δίνει ( )1 0gprime = δηλαδή

( ) ( ) ( )1 2 0 1 2 5f fprime primeminus = rArr =


Όμως η εφαπτομένη του γραφήματος fC (της συνάρτησης f ) στο σημείο

( )( )1 1A f δίνεται από την εξίσωση

( ) ( ) ( )( )

( )5

1 1 1 3 2 1y f f x y xprimeminus = minus rArr minus = minus ή ακόμα

( ) 2 1e y x= + ii) Από την (4) έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

1 3lim 2 lim 2 61 1x x

f x f f xx xrarr rarr

minus minus= rArr =

minus minus

Θεωρώντας στη συνέχεια τις τιμές της μεταβλητής x πολύ κοντά στο 1 (ώστε 0x ge ) η σχέση (2) γίνεται

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 1

1 1

6

1

3 13lim lim

113 33 3lim 1 lim 1 3

1 1 1

32 2 3 2 lim 2

1

rarr rarr

rarr rarr

rarr

minus +minus= =

minusminus⎡ ⎤ ⎡ ⎤minus minus⎛ ⎞ ⎛ ⎞minus

= + + = + minus =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus minus minus⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦minus

= sdot minus = minus rArr = minusminus

x x

x x

x

f x x xf x xxx

f x f xxx xx x x

f x xx

iii) Επειδή f f prime συνεχείς συναρτήσεις θα είναι συνεχής και η ακόλουθη συνάρτηση

( ) ( ) ( ) [ ]2 01h x f x xf x xprime= minus isin Όμως

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 0 1 1 1 1 2 1 3 4 1h f h f fκαι prime= ge sdot + = = minus = minus = minus Άρα

( ) ( )0 1 0h h lt Επομένως από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι θα υπάρχει ένα

τουλάχιστον ( )01ξ isin ώστε να ισχύει ( ) 0h ξ = Άρα για το ξ αυτό θα ισχύει ακόμα

( ) ( ) ( ) ( )2 0 2f f f fξ ξ ξ ξ ξ ξprime primeminus = rArr =


470 Να υπολογιστούν οι γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ όταν είναι γνωστή η γωνία Α και ο λόγος λ των υψών που άγονται από τις κορυφές Β και Γ

(Εισαγωγικές εξετάσεις Πολυτεχνείο 1947)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 5 Σεπτεμβρίου 2012 14






Το ξενοδοχείο του Hilbert Συνοψίζοντας κανείς τη διάταξη των άπειρων λεωφορείων τα οποία έφθασαν αργά το βράδυ στο παράξενο ξενοδοχείο του Hilbert μπορεί να καταλήξει στον ακόλουθο laquoπίνακαraquo

Στον πίνακα αυτό όπως αναφέρθηκε και προηγούμενα (ΣΜ326) κάθε γραμμή περιλαμβάνει τους άπειρους επιβάτες του κάθε λεωφορείου και είναι ένας κώδικας αρίθμησης που μπορεί ο ταξιδιωτικός πράκτορας που διακινεί την εκδρομή αυτή να ξέρει κάθε στιγμή τη θέση του καθένα Σύμφωνα με τον πίνακα αυτόν ο έξυπνος ξενοδόχος βρήκε τη λύση Πριν ακόμα οι νέοι επιβάτες κατεβούν από τα λεωφορεία τους έκανε μια ακόμα διευθέτηση των δικών του πελατών Έστειλε γρήγορα ένα μήνυμα σε κάθε δωμάτιο λέγοντας να μετακινηθεί ο πελάτης του σύμφωνα με τον τύπο

2 1n nrarr minus κι έτσι άδειασαν όλα τα δωμάτια που είχαν άρτιο αριθμό Οι προηγούμενοι πελάτες του ξενοδοχείου είναι διευθετημένοι τώρα σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα

Στη συνέχεια ο ξενοδόχος αυτός απευθυνόμενος προς τον ταξιδιωτικό πράκτορα των άπειρων λεωφορείων του λέει Ο επιβάτης που είναι στο i ίλεωφορε οminus και κατέχει μέσα σrsquo αυτό την j έθ σηminus να οδηγηθεί στο δωμάτιο που φέρει τον άρτιο αριθμό 12 (2 1)j i+ +

No327

11 12 13 1

21 2 2 23 2

1 2 3

μ

μ

ν ν ν ν μ

ε ε ε εε ε ε ε

ε ε ε ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Α =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


Η διευθέτηση αυτή όπως είναι φανερό έγινε με την εξής αντιστοιχία

1 2 (2 1) ji j iά άεπιβ της ε δωμ τιο δ + +rarr

Έτσι για παράδειγμα ο επιβάτης του δέκατου λεωφορείου και με αριθμό θέσης πέντε θα πάει στο δωμάτιο με αριθμό

5 1 62 (20 1) 2 21 1344+ + = sdot =


450 Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί ( )1ge ge gea b c d

τέτοιοι ώστε

( ) ( ) ( )22 2 2 23 2+ + + = + + +a b c d a b c d Να δειχθεί ότι

( )7 2 6 35

+ +le

+a cb d

(Vasile Cirtoaje) Λύση Από την (1) προκύπτει

a d c bge le κι από την ανισότητα του Chebychev () θα είναι

( ) ( ) ( )1 1 12 2 2

ac bd a d c b+ le + +

δηλαδή

( ) ( )( ) ( )2 4ac bd a d b c+ le + + Ακόμα από την ταυτοανισότητα

( )2

4

x yxy x y R

+ge isin

για

x a d y b cκαι= + = + θα είναι

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

54

a d b ca d b c

+ + +ge + +

έτσι από τις (4) και (5) προκύπτει

( ) ( )( ) ( ) ( )2

2 64

a b c dac bd a d b c + + ++ le + + le


Επίσης είναι

( ) ( ) ( ) ( )222 2 2 2 2 7a b c d a c b d ac bd+ + + = + + + minus + κι από την (6) η (7) γίνεται

( ) ( ) ( )2222 2 2 2

4a b c d

a b c d a c b d+ + +

+ + + ge + + + minus

ή ακόμα

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

222

3

33 3 8

4

a b c d

a b c da c b d

+ + + ge

+ + +ge + + + minus

η σχέση αυτή στη συνέχεια λόγω της (2) γίνεται

( )

( ) ( ) ( )

2

222 33 3

4

a b c d

a b c da c b d

+ + + ge

+ + +ge + + + minus

και τελικά

( ) ( ) ( ) ( )2 227 3 3 94

a b c d a c b d+ + + ge + + +

Η σχέση (9) αν κάνουμε τις αντικαταστάσεις

( ) 10a c x R b d y Rκαι+ ++ = isin + = isin γίνεται

( )2 2 27 3 34

x y x y+ ge +

και μετά από πράξεις

( )2 25 14 5 0 11x xy yminus + le η οποία είναι μια δευτεροβάθμια ανίσωση με πραγματικούς συντελεστές Το πρώτο μέλος της (11) αν θεωρηθεί ως τριώνυμο με μεταβλητή x δηλαδή

( ) ( )2 25 14 5f x x y x y= minus + τότε η διακρίνουσά του θα είναι

( )2 2 214 4 5 5 96 0D y y y y R= minus sdot sdot = ge isin και συνεπώς έχει δύο ρίζες πραγματικές

( )1 27 2 6 7 2 6 0 12

5 5x y x y yminus += = gt

έτσι η ανίσωση (11) ικανοποιείται για τις τιμές του x που είναι μεταξύ των ριζών


αυτών Άρα πρέπει να είναι

7 2 6 7 2 65 5

y x yminus +le le

κι από τη σχέση αυτή θα είναι τελικά ( )107 2 6 7 2 6

5 5x a cy b d

+ + +le rArr le

+


() Ανισότητα του Chebychev Για δύο όρους 1η μορφή Αν a bge και x yge τότε

2 2 2ax by x ya b+ ++

ge sdot

2η μορφή (όπως αυτή εφαρμόστηκε ανωτέρω) Αν a bge και x yle τότε

2 2 2ax by x ya b+ ++

le sdot

Για τρείς όρους 1η μορφή Αν a b cge ge και x y zge ge τότε

3 3 3ax by cz x y za b c+ + + ++ +

ge sdot

2η μορφή Αν a b cge ge και x y zle le τότε

3 3 3ax by cz x y za b c+ + + ++ +

le sdot

Με τον ίδιο τρόπο γενικεύεται και για ν όρους


471 Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α1Β1Γ1 έχουν 1Β =Β 1β β= 1γ γ= 13α α=

τότε να δειχθεί η σχέση 22 1 3β γ ημ= + Β

(ΣΜΑ 1961)










Ας δούμε προσεκτικότερα το μήνυμα και την εντολή σύμφωνα με την οποία ο έξυπνος υπάλληλος του παράξενου ξενοδοχείου του Hilbetr τακτοποίησε εκείνο το γιορτινό βράδυ την laquoαπειρίαraquo των επισκεπτών που επέβαιναν σε μια laquoαπειρίαraquo λεωφορείων Αλήθεια πόσο παράξενη ήταν εντολή που έδωσε Χώρεσαν όλοι αυτοί οι νέοι επισκέπτες στο ξενοδοχείο και μάλιστα ο καθένας σε ξεχωριστό δωμάτιο Μήπως κάποιοι οδηγήθηκαν στο ίδιο δωμάτιο Γέμισε το ξενοδοχείο ή απέμειναν κάποια δωμάτια παρόλη την απειρία των επισκεπτών άδεια Η εντολή που έστειλε ο ξενοδόχος(ΣΜ 327) είχε δύο φάσεις 1η Φάση Μετακίνησε του πελάτες που υπήρχαν σrsquo όλα τα δωμάτια μέχρι τη στιγμή εκείνη σύμφωνα με τον τύπο

2 1n nrarr minus κι έτσι άδειασαν όλα τα δωμάτια με άρτιο αριθμό

Στο σχήμα 1 έχουν σχεδιαστεί με έναν μικρό κύκλο τα άδεια δωμάτια με τους αριθμούς

( )24682 1ν ν isinΝ 2η Φάση Τοποθέτησε τους επισκέπτες των λεωφορείων σύμφωνα με το τύπο

1 2 (2 1) ji j i

ά άεπιβ της ε δωμ τιο δ + +rarr

Αυτή η εντολή θα μπορούσε να μεταφραστεί στη γλώσσα των συναρτήσεων δύο μεταβλητών με τον τύπο

( ) ( ) ( )1 2 2 1 2mf m n n m n N+= + isin όπου η μεταβλητή m είναι ένας φυσικός μεγαλύτερος του μηδενός και δηλώνει το λεωφορείο και η μεταβλητή n είναι ένας φυσικός κι αυτός μεγαλύτερος του μηδενός που δηλώνει τη θέση του επιβάτη μέσα στο λεωφορείο αυτό Ας δούμε για παράδειγμα τον αριθμό του δωματίου του ξενοδοχείου στο

No328

Σχήμα 1


οποίο κατευθύνθηκε ο πρώτος επιβάτης του πρώτου λεωφορείου δηλαδή ο 11ε Σύμφωνα με τον τύπο (2) το δωμάτιο αυτό θα έχει τον αριθμό

( ) ( )1 1 211 2 2 1 1 2 3 12f += sdot + = sdot = Μαθηματικές προκλήσεις ndash προσκλήσεις ndash ασκήσεις

450 Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί

( )1ge ge gea b c d τέτοιοι ώστε


( )7 2 6 35

+ +le

+a cb d

(Vasile Cirtoaje) Λύση(συνέχεια) Αφού δείχθηκε η σχέση (3) (ΣΜ327) στη συνέχεια μας ενδιαφέρει πότε στη σχέση αυτή ισχύει η ισότητα Στην απόδειξη αυτή (ΣΜ327) χρησιμοποιήθηκαν οι δύο ανισότητες A) Από την (1) προκύπτει

a d c bge le κι από την ανισότητα του Chebychev θα είναι

( ) ( ) ( )1 1 12 2 2


δηλαδή

( ) ( )( ) ( )2 4ac bd a d b c+ le + + B) Ακόμα από την ταυτοανισότητα

( )2

4

x yxy x y R

+ge isin

για


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

54

a d b ca d b c

+ + +ge + +


Η ανισότητα του Chebychev όπως αυτή εφαρμόστηκε ανωτέρω είναι η εξής 1 Αν a bge και x yle τότε

( )2 2 2

ax by x ya b I+ ++le sdot

και η ισότητα ισχύει αν a b ή x y= =

Η δεύτερη ανισότητα που χρησιμοποιήθηκε είναι 2 Αν x y Risin τότε ισχύει

( ) ( )

2

4x y

xy II+

ge

και η ισότητα ισχύει όταν x y=

Επειδή θέλουμε να ισχύει η (3) ως ισότητα δηλαδή

( )7 2 6 65

+ +=

+a cb d

θα πρέπει και στις δύο χρησιμοποιηθείσες ταυτοανισώσεις (Α) και (Β) να ισχύει η ισότητα

Έτσι σύμφωνα με τις ( I ) και ( II ) διακρίνουμε δύο περιπτώσεις από την (A)

( ) ( )7 8c b ή a d= = και μία περίπτωση από την (B)

x y= δηλαδή

( )9a d b c+ = + Επομένως έχουμε τις δύο περιπτώσεις 1η περίπτωση

( ) ( )7 9b c a d b cκαι= + = + Αν στη σχέση (6) θέσουμε

( )10+=

+a c mb d

τότε θα είναι

( )7 2 6 0 115

+= gtm

Επεξεργασία των (7) (9) και (10) Η σχέση (9) σύμφωνα με την (7) γίνεται

( )( )

( )7

9 2 2 12a d b a b drArr + = hArr = minus Επίσης η σχέση (10) σύμφωνα με την (11) δίνει


( )( ) ( )7 12 210 a c b d bm m

b d b d+ minus +

= rArr = hArr+ +

( ) ( ) ( )3 3 1b d m b d b m m dhArr minus = + hArr minus = + hArr

( )1 133

mb dm

+hArr =

minus Ακόμα η (13) σύμφωνα με την (11) γίνεται

( )

( )( )

( )

2

7 2 611 5 7 2 6513 3 7 2 6 15 7 2 63

56 6 4 612 2 6 6 6

4 68 2 6 4 630 10 6 3 6

10

mb d d dm

d d d

d d

+++ + +

= = = =minus + minus minus

minus

+ ++ += = = =

minusminus minus+

= = +

άρα

( ) ( )3 6 14b c d= = +

Από την (14) και την (12) προκύπτει

( ) ( )2 2 3 6 5 2 6a b d d d d= minus = + minus = + δηλαδή

( ) ( )5 2 6 15a d= +

2η περίπτωση Στην περίπτωση αυτή οι σχέσεις (9) και (10) παραμένουν όπως είναι όμως αντί της (7) θεωρούμε την (8) δηλαδή την a d= Τότε όμως λόγω της (1) προκύπτει b c= δηλαδή η σχέση (7) Έτσι η περίπτωση αυτή ανάγεται στην πρώτη

Άρα η ισότητα στη ζητούμενη σχέση (3) ισχύει όταν ισχύουν οι (14) και (15)


472 Αν Μ είναι το σημείο τομής των διαγωνίων ενός τετραπλεύρου τότε να δείξετε

( ) ( ) ( )2 2 2 2ΑΓsdotΒΔ ΑΜ minusΜΓ = ΑΒ minusΒΓ ΜΔ + ΑΔ minusΔΓ ΜΒ (Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ 1955-56 Σελ 129)









Το ξενοδοχείο του Hilbert Συνοψίζοντας τον τρόπο με τον οποίο ο ξενοδόχος του παράξενου ξενοδοχείου του Hilbert τακτοποίησε τους άπειρους επιβάτες του κάθε λεωφορείου από την απειρία των λεωφορείων που έφθασε αργά το βράδυ στην πόλη εκείνη μπορούμε μέσα από το ακόλουθο σχήμα να προχωρήσουμε και σε μια ακόμα σκέψη

Όπως αναφέρθηκε(ΣΜ 327 328) ο υπάλληλος αφού εκκένωσε τα δωμάτια που είχαν άρτιο αριθμό τακτοποιώντας στα υπόλοιπα όλους τους laquoπαλαιούςraquo πελάτες του έδωσε την εντολή που στη μαθηματική γλώσσα έχει τη μορφή συνάρτησης με τύπο

( ) ( ) ( )1 2 2 1 1mf m n n m n N+= + isin Έτσι σύμφωνα με τον τύπο (1) ο επισκέπτης που βρίσκεται στο λεωφορείο με αριθμό m και κατέχει σrsquo αυτό τη θέση n θα οδηγηθεί στο κενό δωμάτιο του ξενοδοχείου που φέρει τον αριθμό

( )12 (2 1) 2mk n+= + Για να εκτελεστεί η εντολή αυτή θα πρέπει νε ελεγχθεί αν ικανοποιούνται οι ακόλουθες δύο προϋποθέσεις 1η) Ο αριθμός k πρέπει να είναι άρτιος αφού τα δωμάτια που άδειασαν

No329


έχουν άρτιο αριθμό 2η) Δεν πρέπει να υπάρξει περίπτωση ώστε δύο επιβάτες των λεωφορείων αυτών να οδηγηθούν στο ίδιο δωμάτιο Εκτός των δύο αυτών προϋποθέσεων εκείνο που έχει τέλος ενδιαφέρον είναι να εξεταστεί αν μετά την τακτοποίηση αυτή στο ξενοδοχείο θα υπάρξουν ακόμα άδεια δωμάτια



( )11 ημ συν

=+ +int

d xIx x

Λύση Θεωρούμε το μετασχηματισμό

( )22xu εφ=

τότε

2

2

1 112 2 2 2

2

x x xdu dx dx dxxεφ εφσυν

prime prime⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

δηλαδή

( ) ( )22

1 21 32 1

dudu u dx dxu

= + rArr =+


( )

( )

22

22

22

2 22 411

2

1 12 511

2

xux xx u

xux xx u

εφημ ημ

εφ

εφσυν συν

εφ

= rArr =++

minus minus= rArr =

++

άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται

1 ημ συν= =

+ +intd xIx x


22

2

2 2

2211

2 111 1

++= =minus+ +

+ +

intdu

uuu uu u

21+ u 22 1+ + minusu u21+u

( )1 1 1 ln 11 1

=

= = + = + ++ +

int

int int

du

du d u u cu u

Άρα

( )ln 1 6= + +I u c Τελικά η (6) λόγω του μετασχηματισμού (2) γίνεται

ln 1 ( )2

εφ= + + isin σταθεράxI c c R

452 Δίνονται οι θετικοί αριθμοί a b c με

( )1 1=abc Να δειχθεί ότι

( )2 21 1 1 11 1 32 2

1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ge⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

ca b a b c

(Archimede Nr 9-12eacute2005) Λύση Η ζητούμενη σχέση (1) γίνεται

( ) ( )( )( )( )

( )2 2

3

1 11 32 3

1+ + +

hArr ge+

a b a b ccab

κι επειδή

1 0c+ gt η (2) γίνεται

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )2

3 2

1 1 11 32 4

+ + + +hArr ge

sdot

a b a b cab c

Όμως από τη δοθείσα σχέση (1) προκύπτει


( )( )2

21 1 5c cab ab

= rArr =

Έτσι η σχέση (4) σύμφωνα με την (5) γίνεται

( ) ( )( )( ) ( ) ( )21 1 1

1 32 6+ + + +

hArr gea b a b c

ab

Αρκεί τώρα να δειχθεί η (6) Είναι

1 2 0 1 2 0

2 0 1 2 0

a a b b

a b ab c c

⎫+ ge gt + ge gt ⎪⎬

+ ge gt + ge gt ⎪⎭

άρα

( ) ( )( )22

1 2 1 27

2 1 2

a a b b

a b ab c c

⎫+ ge + ge ⎪⎬

+ ge + ge ⎪⎭

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ανισότητες (7) επειδή όλες έχουν μέλη θετικούς αριθμούς προκύπτει

( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )

22

12

1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 32 32 8

+ + + + ge sdot sdot sdot rArr

+ + + + = =

a b a b c a b ab c

a b a b c ab abc ab Από την (8) προκύπτει η (6) η οποία ισοδυναμεί με τη ζητούμενη (2)


473 Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές του με τα σημεία επαφής των πλευρών με τον εγγεγραμμένο κύκλο διέρχονται από το ίδιο σημείο(Σημείο Gergonne) Το ίδιο να δειχθεί και για τις ευθείες εκείνες του τριγώνου αυτού που συνδέουν τις κορυφές με τα σημεία επαφής των πλευρών με τους περεγγεγραμμένους κύκλους









Το ξενοδοχείο του Hilbert Όπως αναφέρθηκε προηγούμενα (ΣΜ 328 329) ο ξενοδόχος του παράξενου ξενοδοχείου του Hilbert με την εντολή

2 1n nrarr minus τακτοποίησε όλους τους πελάτες του στα δωμάτια με περιττό αριθμό και έτσι άδειασε όλα τα δωμάτια που είχαν άρτιο αριθμό ώστε να δεχθεί τους νέους επισκέπτες που έφθασαν αργά το βράδυ και οι οποίοι επέβαιναν σε μια απειρία λεωφορείων που το καθένα τους ήταν γεμάτο με άπειρους επιβάτες Η έξυπνος αυτός ξενοδόχος έδωσε στη συνέχεια την εντολή που υλοποιήθηκε με το ακόλουθο σχήμα

1ο) Ο επιβάτης που επέβαινε στο m-στό λεωφορείο και μάλιστα με αριθμό θέσης ίσο με n οδηγήθηκε στο δωμάτιο που έφερε τον αριθμό

12 (2 1)mk n+= + Τέτοιο δωμάτιο είναι υπαρκτό γιατί ο αριθμός k είναι προφανώς άρτιος 2ο) Μήπως όμως με την εντολή αυτή υπάρξει περίπτωση ώστε δύο νέοι επισκέπτες για παράδειγμα αυτοί με στοιχεία ( )m n και ( )s t (έστω m sgt ή m s= και n tne ) οδηγηθούν στο ίδιο δωμάτιο

No330


Έστω ότι θα συμβεί κάτι τέτοιο Τότε αν m sgt θα προκύψει

( ) ( ) ( )1 12 2 1 2 2 1 1m sn t+ ++ = + Όμως

( ) ( )( )

( )( )

( )1

1

2 1 2 121 2 22 2 1 2 1

mm s

s

t tn n

+minus

+

+ +hArr = hArr =

+ +

Η τελευταία σχέση (2) δηλώνει ότι ένας άρτιος είναι ίσος με το πηλίκο δύο περιττών αριθμών Αυτό όμως είναι άτοπο διότι τότε

( )( )όά ά ό ό ά όό

περιττ ςρτιος ρτιος περιττ ς περιττ ς ρτιος περιττ ςπεριττ ς

= hArr = hArr =

Όμοια οδηγούμαστε σε άτοπο αν m s= και n tne



Λύση Θεωρούμε ότι οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου(Σχ1) είναι

γ α βΑΒ = ΒΓ = ΓΑ =

Έστω ακόμα ότι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου είναι το σημείο Μ Τότε το σημείο αυτό θα βρίσκεται πάνω στην προέκταση της διχοτόμου ΑΚ της ορθής γωνίας Α και μάλιστα θα ισχύει

4πσυνΟΖ minusΟΜ =ΜΖ =ΜΔ = ΑΜ sdot


δηλαδή

22 2αminusΟΜ = ΑΜsdot

κι ακόμα

( )2 2 1α minus sdotΟΜ = sdot ΑΜ Από την (1) τέλος προκύπτει

( ) ( ) ( )2 22 2α

ΟΜ = minus sdot ΑΜ

Είναι γνωστό επίσης ότι η διχοτόμος της γωνίας Α ενός τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο

( )( )

( )2

22 3α βγβγ

β γΑΚ = minus

+

Στην περίπτωσή μας επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α από το πυθαγόρειο θεώρημα θα είναι

( )2 2 2 4α β γ= + Έτσι ο τύπος (3) μετά την αντικατάσταση του 2α από τον τύπο (4) οδηγείται

στη μορφή

( ) ( )2 5βγβ γ

ΑΚ =+

Επειδή η ΑΚ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου θα είναι

( ) 6αγ αββ γ β γ

ΒΚ = ΚΓ =+ +

Αν ακόμα η προέκταση της διχοτόμου ΑΚ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο σημείο Α΄ όπως φαίνεται και στο σχήμα 1 τότε από το θεώρημα των τεμνομένων χορδών και από τους τύπους (6) θα είναι

( )( ) ( )( )( )

2

2΄ α βγβ γ

ΑΚ ΚΑ = ΒΚ ΚΓ =+

δηλαδή

( ) ( )( )

( )2

2 7΄ α βγβ γ

ΑΚ ΚΑ =+

Η σχέση (7) λόγω της (5) γίνεται

( )( )

( )2 2 8

2΄ α

β γΚΑ =

+

Προσθέτοντας τις (5) και (8) κατά μέλη υπολογίζουμε το μήκος της χορδής ΑΑ΄


Δηλαδή

( ) ( )2 92

β γ+ΑΑ =

Όμως για το κέντρο του ζητούμενου κύκλου Μ εφαρμόζοντας το θεώρημα της δύναμης σημείου ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλου θα ισχύει

( ) ( ) ( ) ( )2

2 102α⎛ ⎞ΜΑ ΜΑ = minus ΟΜ⎜ ⎟⎝ ⎠

Η σχέση (10) σύμφωνα με τη (2) και την (9) γίνεται διαδοχικά

( ) ( ) ( )( ) ( )2 9 2

22α⎛ ⎞ΜΑ ΑΑ minusΜΑ = minus ΟΜ hArr⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )222 2 11

2 2 2 2β γ α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ΜΑ minusΜΑ = minus minus sdot ΑΜ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Η τελευταία σχέση (11) είναι μια σχέση με μοναδικό άγνωστο την ποσότητα (ΜΑ) και αν λυθεί ως προς αυτήν δίνει ως μοναδική λύση την ακόλουθη

( ) ( ) ( )2 12β γ αΜΑ = + minus Από την (12) και από το τετράγωνο (ΑΔΜΕ) εύκολα υπολογίζεται η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου

( ) ( ) 22

r = ΜΔ = ΜΑ

δηλαδή

( )r β γ α= + minus


474 Ο καθηγητής γράφει στον πίνακα τα παρακάτω 16 ψηφία

2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 και λέει στους μαθητές να φτιάξουν με αυτά τα ψηφία αλλά με τυχαία σειρά έναν 16-ψήφιο αριθμό Η ερώτηση που ακολουθεί είναι η εξής laquoΑν ανάμεσα σε δύο ψηφία του αριθμού αυτού βάλουμε το σύμβολο laquoδιάraquo() της διαίρεσης μπορεί η διαίρεση των δύο αριθμών που θα προκύψουν να δώσει πηλίκο 2raquo

(Από τη Γερμανική Ολυμπιάδα του 2011 Μπάμπης Στεργίου Mathematicagr)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 3 Οκτωβρίου 2012 14






Το ξενοδοχείο του Hilbert Πριν κλείσουμε την αναφορά μας για το παράξενο ξενοδοχείο του Hilbert ας δούμε ακόμα μερικές ιδέες πάνω στις οποίες δομείται η όλη του ιστορία Είναι αλήθεια ότι η έννοια του απείρου όπως συχνά αναφέρθηκε από τον Όμηρο μέχρι και σήμερα αποτελεί από τις πλέον δύσκολες και ακατανόητες έννοιες της ανθρώπινης λογικής Η διαδρομή ανάμεσα από το laquoεν δυνάμει άπειροraquo(infini potentielle) μέχρι το laquoεν ενεργεία άπειροraquo (infini actuel) είναι αρκετά μεγάλη και επίπονη Από την εποχή που το ανθρώπινο μυαλό άρχισε σκέφτεται ένα μέγεθος να μεγαλώνει συνεχώς και απεριόριστα και να οριοθετεί έτσι το λεγόμενο laquoδυνητικό άπειροraquo μέχρι την ώρα που μπόρεσε και laquoκατανόησεraquo -αν μπορεί να λεχθεί κάτι τέτοιο- το laquoπραγματικό άπειροraquo η απόσταση είναι τεράστια Αξίζει να σημειωθεί ότι σrsquo όλες τις εποχές η έννοια αυτή αποτελούσε μια πρόκληση για την ανθρώπινη σκέψη Χαρακτηριστική είναι η φράση του Alphonse Allais ενός γάλλου χιουμορίστα δημοσιογράφου του 19ου αιώνα που έλεγε

laquoΤο άπειρο είναι μακρύ πολύ μακρύ κυρίως όμως προς το τέλοςraquo [1] Πράγματι μέσα στη φράση αυτή παρατηρεί κανείς αυτό ακριβώς που έλεγε κι ο Αριστοτέλης Ο άνθρωπος βλέπει το άπειρο από την εσωτερική του μεριά βιώνει την απεραντοσύνη των πραγμάτων και το αισθητοποιεί ως ένα δρόμο που οδηγεί μακριά πολύ μακριά κι αυτή η μακρότητα κυριαρχεί παντού hellipκυρίως όμως προς το τέλος του δρόμου αυτού Πόσο παράδοξος όμως είναι ένας τέτοιος δρόμος Ένας τέτοιος δρόμος που είναι μακρύς κυρίως όμως μακρύς προς το τέλος του είναι δυνατόν να έχει τέλος Η μακρότητα αυτή τον κάνει να μην τελειώνει ποτέ Τον κάνει να είναι άπειρος χωρίς τέλος Να λοιπόν η Αριστοτελική ιδέα του laquoεν δυνάμει απείρουraquo Να η έννοια του laquoδυνητικού απείρουraquo του Ευκλείδη όταν μελετούσε την απειρία των πρώτων αριθμών Από την μεριά των φιλοσόφων και ειδικότερα των μαθηματικών ο δρόμος της μελέτης της έννοιας του απείρου ήταν μακρύς και δύσκολος Γεμάτος παράδοξα και αντινομίες Χαρακτηριστική είναι η προσπάθεια που καταβάλλει ο Αριστοτέλης στο έργο του με τίτλο laquoΜηχανικάraquo όπου προβληματίζεται όταν παρατηρεί δύο ομόκεντρους

No331

Σχήμα 1


τροχούς οι οποίοι όταν κυλίονται διανύουν το ίδιο μήκος ΑΒ=Α΄Β΄ (Σχήμα 1) Ειδικότερα στο έργο αυτό ο φιλόσοφος ξεκινά τη μελέτη της περίπτωσης αυτής ως εξής laquoἈπορεῖται διά τί ποτε ὁ μείζων κύκλος τῷ ἐλλάττονι κύκλῳ ἴσην ἐξελίττεται γραμμή ὅταν περί τό αὐτό κέντρον τεθῶσινraquo

(Αριστοτέλης Μηχανικά855α28-30) [1] Jean-Paul Delahaye Lrsquo infini est-il paradoxal en mathematiquesPour la Science - No 278 Decembre 2000



( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 2002

0

2 3 2002 1π

συν συν συν συν= sdot sdot sdot sdotintI x x x x dx


Λύση Θεωρούμε τα ολοκληρώματα

( ) ( ) ( ) ( )2 3 20021

0

2 3 2002 2π


( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 20022 2 3 2002 3

π

π


Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι

( )1 2 4I I I= + Μελετώντας το δεύτερο ολοκλήρωμα ( )2I προβαίνουμε στην αλλαγή της

μεταβλητής σύμφωνα με τον τύπο

( )5x t π= minus Τότε τα όρια του ολοκληρώματος γίνονται

02

x tx t

ππ π

= rArr == rArr =

κι ακόμα

dt dx= Άρα το δεύτερο ολοκλήρωμα γίνεται

( ) ( ) ( )2

2 3 20022 2 3 2002

π

π

συν συν συν συν= sdot sdot sdot sdot =intI x x x x dx

( ) ( ) ( )2 2002

0

2 2 2002 2002 π

συν π συν π συν π= minus sdot minus sdot sdot minusint t t t dt

Στη συνέχεια το ολοκλήρωμα αυτό γίνεται


( ) ( ) ( )2 20022

0

2 2 2002 2002π

συν π συν π συν π= minus sdot minus sdot sdot minus =intI t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2002

0 1 2 3 2002

1 1 2 1 3 1 2002π

ος ος ος ος ρος

συν συν συν συν= minus + sdot minus sdot + =int ό

t t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 1

2 2002

0 2002

1 1 1 1 1 2 2002π

παρ γοντες

συν συν συνminus minus minus

= minus sdot + sdot minus sdot + sdot sdot + sdot sdot sdotint

ά

t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1001

2 2002

0

1 1 1 2 2002παρ γοντες

π

συν συν συν= minus sdot minus sdot sdot minus sdot sdot sdotintά

t t t dt

( ) ( )2 2002

0

2 2002π

συν συν συν= minus sdot sdot sdotint t t t dt

Δηλαδή

( ) ( )2 20022

0

2 2002π

συν συν συν= minus sdot sdot sdotintI t t t dt

Αυτό γράφεται ακόμα

( ) ( ) ( )2 20022 1

0

2 2002 6π

συν συν συν= minus sdot sdot sdot sdot = minusintI x x x dx I

Άρα από την (4) και την (6) προκύπτει

1 2 1 1 0 0I I I I I I= + = minus = rArr =

455 Τρίγωνο ΑΒΓ έχει μήκη πλευρών α β γ Δείξτε ότι 3 1 1 1 1

2 2R α β β γ γ α ρle + + le

+ + +


(Αποστολόπουλος Γιώργος Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση Έστω

h h hα β γ τα αντίστοιχα ύψη του τριγώνου αυτού

Τότε

( )2 2 2 2ah h hβ γα β γ και α β γ ρ= Ε = Ε = Ε Ε = + + Άρα


( )1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2a ah h h h h hβ γ β γ

α β γ α β γρ

+ += = = rArr + + = =

Ε Ε Ε ΕΕπίσης είναι

2 2 2

h h ά h h hα α α β γβ γ γ α α ββ γ ρα μοια+ + +

lt lt lt Ο lt lt

κι ακόμα 1 2 1 2 1 2 h h h γα ββ γ γ α α β

gt gt gt+ + +

Με πρόσθεση κατά μέλη των τελευταίων τριών ανισοτήτων προκύπτει ( )11 1 1 1 1 1 1 1 1 12

2h h h γα β β γ γ α α β α β β γ γ α ρ⎛ ⎞

+ + gt + + rArr + + lt⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠Δείχθηκε δηλαδή η δεξιά από τις ζητούμενες ανισότητες Από την ανισότητα του Jensen και από το νόμο των ημιτόνων έχουμε

1 1 1 1 1 1 12Rα β β γ γ α ημ ημ ημ ημ ημ ημ

⎛ ⎞+ + = + + ge⎜ ⎟+ + + Α+ Β Β + Γ Γ + Α⎝ ⎠

1 1 1 12 2 2 2

2 2 2R ημ ημ ημ

⎛ ⎞⎜ ⎟

ge + + =⎜ ⎟Α+Β Β+Γ Γ +Α⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1 ( 2)(0 )1 1 1 1 1 13 2 2 24 4

2 2 2 3

f x xή

R R

συνκυρτ στο π

συν συν συν συν

=⎛ ⎞⎜ ⎟

= + + ge sdot sdot⎜ ⎟Α Β Γ Α +Β +Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα

1 1 1 3 1 34 2

6R Rπα β β γ γ α συν

+ + ge sdot =+ + +

δηλαδή η πρώτη από τις ζητούμενες ανισότητες Η ισότητα αυτής ισχύει στην περίπτωση του ισοπλεύρου τριγώνου


475 Ένας φυσικός αριθμός n όταν διαιρεθεί με το 3 και το 37 δίνει υπόλοιπα αντίστοιχα το 1 και το 33 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού αυτού με τον 111

(Διαιρετότητα και πρώτοι αριθμοί Χρ Λάμπρου ndashΔημΚωσταρά)










Κλείνοντας την αναφορά μας στο laquoπαράξενοraquo αυτό ξενοδοχείο του Hilbert μπορούμε να πούμε ότι μέσα από τις laquoέξυπνεςraquo επινοήσεις του ξενοδόχου του γνωρίσαμε κάποιες από τις ιδιότητες του αριστοτελικού όρου laquoεν ενεργεία άπειροraquo που δηλώνεται και με άλλους διάφορους όρους όπως laquoπραγματικό άπειροraquo laquoθέσει άπειροraquo ή ακόμα και laquoενεστωτικό άπειροraquo (infinie actuel) Σrsquo όλα τις προκλήσεις που δέχτηκε ο ξενοδόχος αυτός έδωσε λύση έχοντας ως δεδομένο την ύπαρξη του laquoεν ενεργεία απείρουraquo Ας το δούμε αυτό και από τη σκοπιά που σήμερα η έννοια αυτή διδάσκεται στους μαθητές των δύο τελευταίων τάξεων του Λυκείου Η έννοια του απείρου ως laquoδυνητικήraquo οντότητα μπορεί να ισχυριστεί κανείς ότι γίνεται αντιληπτή από την ώρα που ο μαθητής ακόμα και του δημοτικού σχολείου αρχίζει να μαθαίνει τις βασικές αριθμητικές πράξεις όπως την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ακεραίων Αυτές οι πράξεις μπορούν να οδηγήσουν σε μεγάλους αριθμούς κι έτσι ο μαθητής αρχίζει να διακρίνει σιγά ndashσιγά και με έναν διαισθητικό τρόπο την έννοια του απείρου Για παράδειγμα 2 10 20 2 100 2002 10000 20000 10000000x x x= = = rarr rarr Όμως κι όταν στη συνέχεια μαθαίνει τη ατελή λεγόμενη διαίρεση ακεραίων αριθμών μπορεί να διακρίνει ακόμα και την απειρία των δεκαδικών ψηφίων τα οποία εμφανίζονται στο πηλίκο Για παράδειγμα

13 7 1857142857142= rarr Την έννοια του laquoδυνητικού απείρουraquo την διαισθάνεται ο μαθητής και μέσα από πλειάδα άλλων παραδειγμάτων όχι μόνον της αριθμητικής αλλά και της γεωμετρίας Ο μαθητής του Λυκείου όταν διδάσκεται το κεφάλαιο των προόδων(αριθμητική γεωμετρική αρμονική) έρχεται αντιμέτωπος με τη μορφή αυτή του απείρου Ειδικότερα όταν διδάσκεται την λεγόμενη laquoαπολύτως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδοraquo Για παράδειγμα μια τέτοια πρόοδος είναι η ακόλουθη

1 1 1 1 11 ( )2 4 8 16 2n n Nisin

Όπως στις αριθμητικές πράξεις έτσι κι εδώ ο μαθητής έρχεται αντιμέτωπος με τη laquoδυνητικότηταraquo του απείρου Διαισθάνεται τη laquoμακρότηταraquo και το laquoατέρμονοraquo της συνεχούς διαδικασίας Αντιλαμβάνεται τη διαδικασία να προχωρά όλο και πιο πέρα πέρα από τους καθημερινούς του ορίζοντες και από τις αντιληπτικές του

No332


ικανότητες Ακόμα πιο πολύ προβληματίζεται με την έννοια αυτή όταν ο καθηγητής του ύστερα από κάποιες διαδικασίες καταλήγει στο συμπέρασμα

1 1 1 1 11 12 4 8 16 2

ά ή ό

n

πειρο πλ θος ρων

+ + + + + + + =

Από το σημείο αυτό και πέρα ξεπροβάλλει το λεγόμενο laquoεν ενεργεία άπειροraquo Άπειρο πλήθος αριθμών προστέθηκαν και μας έδωσαν ως αποτέλεσμα τη μονάδα




( )( ) ( )( )

2 2 2

3

1 1 1

1 ) 6 1α β γο ρgeΗΑ ΗΒ ΗΓ


( ) ( )1 1 1 12 ) 2

2Rο


le+ +

(Αποστολόπουλος Γιώργος Μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση

1ο)Είναι γνωστό ότι τα σημεία 1 1 1 Α Β Γ είναι τα συμμετρικά του ορθοκέντρου Η ως προς τις πλευρές ΒΓ ΓΑ ΑΒ αντίστοιχα (Σχ1)


Επίσης ισχύει ότι

( ) ( ) ( ) ( )ΗΒΓ + ΗΓΑ + ΗΑΒ = ΑΒΓ άρα

( ) ( ) ( )1 1 12 2 2 4R

αβγα β γΗΚ + ΗΛ + ΗΡ = hArr

( ) ( ) ( )2 2 2R

αβγα β γsdotΗΚ + sdotΗΛ + sdotΗΡ = hArr

( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 3R

αβγα β γΗΑ + sdotΗΒ + sdotΗΓ =

Στη συνέχεια από τη γνωστή ανισότητα του μέσου αριθμητικού ndash μέσου γεωμετρικού έχουμε

( ) ( ) ( ) ( )( )( )31 1 1 1 1 12 2 3α β γ αβγΗΑ + sdotΗΒ + sdotΗΓ ge ΗΑ ΗΒ ΗΓ

και σύμφωνα με την (3) θα είναι

( )( )( ) ( )31 1 13 4

Rαβγαβγ ΗΑ ΗΒ ΗΓ le

Επομένως

( ) ( )( )( ) ( )3

1 1 1 32 27R

αβγαβγhArr ΗΑ ΗΒ ΗΓ le hArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

3

1 1 1 33Rαβγ

αβγ ΗΑ ΗΒ ΗΓ le hArr

( )( )( ) ( )( )

( )2

1 1 1 3 53Rαβγ

ΗΑ ΗΒ ΗΓ le

και επειδή 2R ρge (ανισότητα του Euler ) η (5) γίνεται

( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 33 3 3 333 63 2Rα β γ α β γ α β γ

ρρΗΑ ΗΒ ΗΓ le le =

sdot sdotsdot

δηλαδή

( )( )( )2 2 2

1 1 1 3 36α β γ

ρΗΑ ΗΒ ΗΓ le

sdot

από την οποία προκύπτει τελικά

( )( )( )2 2 2

3

1 1 1

6α β γ ρgeΗΑ ΗΒ ΗΓ

δηλαδή η ζητούμενη (1) 2ο) Είναι


( ) ( )1 1 12

2Rαβγ

ΑΒΓΑΒ ΓΑ ΒΓΕ = Ε =

άρα

( )

( )( )1 1 1 6

2Rαβγ

α β γ α β γΑΒ ΓΑ ΒΓΕ

=+ + + +

αλλά

( )

( )74

R αβγ

ΑΒΓ

=Ε

και

( ) ( )2

8ρα β γ

ΑΒΓΕ=

+ +

Διαιρώντας τις σχέσεις (7) και (8) κατά μέλη προκύπτει

( )2 9Rαβγ ρα β γ

=+ +

Ακόμα η (6) σύμφωνα με την (9) δίνει

( ) ( )1 1 1 2 102RRρ ρ


= =+ +

όμως από την ανισότητα του Euler είναι

2R

ρ le

άρα από την (10) προκύπτει τελικά

( )1 1 1

2R


le+ +




( )3

3 2

1

3 2I x x dxminus

= minus +int (wwwmathvncom)









Το ξενοδοχείο του Hilbert Είναι αλήθεια ότι με το παράδειγμα του σχολικού βιβλίου που αναφέρεται στο λεγόμενο laquoάθροισμα των απείρων όρωνraquo μιας απολύτως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου μπορεί κανείς να προχωρήσει στη διάκριση μεταξύ του laquoδυνητικού απείρουraquo και του laquoεν ενεργεία απείρουraquo Όταν ο καθηγητής γράφει στον πίνακα τον τύπο

τότε εύλογα μπορεί να δεχθεί από έξυπνους μαθητές το ερώτημα -Τί θα πει άθροισμα απείρων όρων -Πώς μπορούμε να έχουμε μπροστά μας ένα τέτοιο σύνολο Η απάντηση σrsquo αυτές τις ερωτήσεις είναι δύσκολη γιατί απαιτείται η μετάβαση στο λεγόμενο laquoεν ενεργεία άπειροraquo Αντίθετα όταν ο ίδιος ο καθηγητής γράφει στον πίνακα τις σχέσεις

τότε τα πράγματα είναι διαφορετικά Ο μαθητής καλείται σε κάθε ένα από τα αθροίσματα αυτά να εκτελέσει τις πράξεις μεταξύ πεπερασμένου πλήθους αριθμών πράγμα που είναι κατανοητό Η περίπτωση αυτή σχετίζεται με την θεώρηση του λεγόμενου laquoδυνητικού απείρουraquo

No333

( )1 1 1 1 11 1 12 4 8 16 2

ά ή ό

n


+ + + + + + + =

11 1521 11 1752 41 1 11 18752 4 81 1 1 11 193752 4 8 16

+ =

+ + =

+ + + =

+ + + + =


Το κεφάλαιο των γεωμετρικών προόδων διδάσκονταν για χρόνια στη δεύτερη τάξη του Λυκείου και μάλιστα η ανωτέρω περίπτωση της laquoαπολύτου φθίνουσας γεωμετρικής προόδουraquo τις περισσότερες φορές παραλείπονταν με οδηγίες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Άλλοτε πάλι το σχολικό πρόγραμμα απαιτούσε μόνο την αναφορά του τύπου (1) Ο λόγοι που οδηγούσαν στην αντιμετώπιση αυτή είναι πολλοί



( ) ( )1 1 1 1a b c a b cb c a a b c

⎛ ⎞+ + le + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠


Λύση Εκτελώντας τον πολλαπλασιασμό στο δεύτερο μέλος της ζητούμενης σχέσης (1) έχουμε

( )3 2a b c a a b b c cb c a b c a c a b+ + le + + + + + +

Όμως εφαρμόζοντας τη γνωστή ταυτότητα

2 0a b ab a b+ ge ge για τους θετικούς αριθμούς a b c προκύπτουν διαδοχικά οι ακόλουθες σχέσεις

( )

1 2

1 2

1 2

a a ab b bb b bc c cc c ca a a

+

⎫+ ge gt ⎪

⎪⎪

+ ge gt rArr⎬⎪⎪

+ ge gt ⎪⎭

( )3 3a b c a b cb c a b c a

+ + + gt + +

Όμως


( )

0

3 3 4a b c a b c a b cb c a c a b b c a

gt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + gt + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


3 a b c a b c a b cb c a c a b b c a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + gt + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Η τελευταία σχέση είναι η (2) που είναι ισοδύναμη της ζητούμενης (1) και συνεπώς η ζητούμενη δείχθηκε Σημείωση Από τις σχέσεις (3) και (4) διαπιστώνεται ότι στην ζητούμενη (1) δεν ισχύει ποτέ η ισότητα



( )1 1 4 1MN MP d


Λύση Αν φέρουμε τις καθέτους o oCC DD από τα σημεία C και D (Σχήμα 1)

αντίστοιχα προς την πλευρά ΑΒ τότε bull Από τα όμοια τρίγωνα AMP και oACC προκύπτει

o o

MP AMCC AC

=

η οποία δίνει στη συνέχεια

( )2oo o

AM AMMP CC MP dAC AC

= sdot rArr = sdot


bull Όμοια από τα όμοια τρίγωνα BMN και oBDD προκύπτει

o o

MN BMDD BD

=

που κι αυτή στη συνέχεια δίνει

( )3oo o

BM BMMN DD MN dBD BD

= sdot rArr = sdot

Το πρώτο μέλος της ζητούμενης σχέσης (1) σύμφωνα με τις (2) και (3) και επειδή 2AM MB AB= = γίνεται

1 1 1 1

1 2

2

o o

o o o o

BM AMMN MP d dBD AC

AC BD AC BDABd d AB

+ = + =sdot sdot

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Άρα

( )1 1 2 4o oAC BDMN MP d AB

+⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμως επειδή τα τρίγωνα oADD και oBCC θα είναι ακόμα

o o oAC BD AB BC+ = minus( ) oBA AD+ +( ) ( )2 5AB= sdotΈτσι η σχέση (4) λόγω της (5) γίνεται

1 1 2 2 2o oAC BD ABMN MP d AB d

+ sdot⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ AB

4d

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

δηλαδή 1 1 4

MN MP d+ =

που είναι η ζητούμενη (1)


477 Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί a b που να ικανοποιούν την ισότητα

2 23 1a bminus = (Ι Μαντάς Θεωρία Αριθμών Σύγχρονη Μαθηματική Βιβλιοθήκη Σελ92)









Το ξενοδοχείο του Hilbert Ένα ακόμα παράδειγμα στο οποίο μπορεί να παρατηρήσει κανείς τη διαφοροποίηση του δυνητικού απείρου από το εν ενεργεία άπειρο είναι και η μελέτη των ακολουθιών και των συναρτήσεων Αν κανείς προσέξει τη διαπραγμάτευση του θέματος αυτού στα βιβλία των μαθηματικών της τελευταίας τάξης του Γενικού Λυκείου κατά τα τελευταία χρόνια θα αντιληφθεί αρκετά καλά τη διαφοροποίηση των δύο αυτών εννοιών του απείρου Ειδικότερα στο σημερινό βιβλίο των Μαθηματικών1 το σύνολο των πραγματικών αριθμών δηλαδή όλων των αριθμών που μπορούν να παρασταθούν πάνω σε έναν άξονα ορίζεται στο εισαγωγικό κεφάλαιο της ανάλυσης με τον ακόλουθο τρόπο

Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο R το συμβολίζουμε με ( )minusinfin +infin (1) Κι ακόμα στον πρόλογο του βιβλίου αυτού διαβάζει ο μαθητής και ο διδάσκων καθηγητής

-Το πρώτο κεφάλαιο σηματοδοτεί ένα νέο ξεκίνημα Είναι το πέρασμα από τις πεπερασμένες πράξεις στις laquoάπειρες διαδικασίεςraquo Τα σπέρματα της έννοιας του ορίου υπάρχουν ασφαλώς με πολύ σαφή και συγκεκριμένο τρόπο στα γραπτά του Αρχιμήδη Η ανάπτυξη όμως αυτής της έννοιας έγινε στα χρόνια της Αναγέννησης και έκτοτε κατέχει κεντρική θέση στον κόσμο των μαθηματικών εννοιών Ξεφυλλίζοντας το βιβλίο αυτό συναντά κανείς δύο ακόμα αναφορές που σχεδόν κλείνουν σχεδόν την αναφορά στην έννοια του απείρου Αυτές είναι οι εξής

-Μη πεπερασμένο όριο στο ox Risin -Όρια συνάρτησης στο άπειρο

Σε όλη την επεξεργασία της μελέτης της συμπεριφοράς των συναρτήσεων το άπειρο αντιμετωπίζεται ως μια δυνητική έννοια ή καλύτερα ως μια δυνητική επεξεργασία Ας σκεφτούμε τον ορισμό (1) παρατηρώντας το ακόλουθο σχήμα

Φαίνεται από το σχήμα αυτό πράγμα που αντιλαμβάνεται κι ο μαθητής ότι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί έχουν τοποθετηθεί πάνω στην ευθεία αυτή χωρίς να περισσέψει κανένας αλλά κι ούτε να περισσέψει και κανένα σημείο της ευθείας Η

1 Μαθηματικά Γrsquo Τάξης Εν Λυκείου Θετ και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΟΕΔΒ(2003) Σελ131

No334


απειρία των σημείων της ευθείας και η απειρία των πραγματικών αριθμών είναι τέτοιες που επιτρέπουν τον κάθε πραγματικό αριθμό να έλθει και να καθίσει σε κάποιο laquoδικό του σημείοraquo και μάλιστα να μην περισσέψουν ούτε αριθμοί αλλά και ούτε σημεία

Τέλος με το να σκεφτούμε ότι όσο πιο πολύ μεγαλώνει ο αριθμός ν τόσο και πιο laquoμακριάraquo προς τη δεξιά μεριά θα βρίσκεται η θέση του στην ευθεία εκφράζουμε ακριβώς το δυνητικό χαρακτήρα του +infin Αντίστοιχο συμβαίνει και για τον αριθμό νminus που οδεύει προς τα αριστερά σηματοδοτώντας με τον ίδιο χαρακτήρα το minusinfin


459 Έστω ABC ένα ισόπλευρο τρίγωνο Θεωρούμε σημείο M στην πλευρά AB και N στην πλευρά AC Αν Q είναι η τομή των BN και CM κι ακόμα ( )1AM CN= τότε να βρεθεί η γωνία MQB Λύση Συγκρίνουμε τα δύο τρίγωνα AMC και BNC (Σχ1)

Αυτά έχουν

( ) 1AM CN όλ γω της= AC BC ί ABC όγιατ το ισ πλευρο=

60oMAC BCN= = Άρα τα δύο αυτά τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες σrsquo αυτές γωνίες ίσες Άρα τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα Από την ισότητα αυτή προκύπτει ακόμα

( )2AMC BNC= γιατί είναι πλευρές των ίσων αυτών τριγώνων κείμενες απέναντι αντίστοιχα των ίσων πλευρών AC και BC


Από την (2) προκύπτει ότι το κυρτό τετράπλευροAMQN είναι εγγράψιμο σε κύκλο

Άρα 60oBQM MAN A= = =


( )2

2

0

2 1 11 (2 )

xe x dx ex

π πημημ

= minus+int

(Γιάννης Μπαϊλάκης Γενικά θέματα εξετάσεων Εκδόσεις Πελεκάνος ) Λύση Το πρώτο μέλος της ζητούμενης σχέσης (1) γράφεται

2

0

21 (2 )

xe xdx

x

πημ

ημ=

+int

( ) ( )2 2

2 20 01 (2 ) 2

x xe x x e x x x xdx dx

x x x x x

π πημ ημ ημ συν ημ συνημ ημ συν ημ συν+ + + minus

= = =+ + +int int

( ) ( )

( )2

20

x xe x x e x xdx

x x

πημ συν συν ημ

ημ συν

+ minus minus= =

+int

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

20

x xe x x e x xdx

x x

πημ συν ημ συν

ημ συν

prime prime+ minus += =

+int

2 22

0 0

1x xe edx e

x x x x

ππ π


prime⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= = = minus⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎣ ⎦int

Άρα

22

0

21

1 (2 )

xe xdx e

x

π πημημ

= minus+int





Λύση Από το σχήμα 2 προκύπτει ότι το σημείο τομής των ευθειών που ορίζουν τα τμήματα ΑΓ και ΒΔ άλλοτε βρίσκεται εντός του κύκλου ( )C O R και άλλοτε εντός αυτού

Άρα

( ) ( )

( )φ180

90 12 2

ctο

οminus ΑΒ ΑΒ

= = minus =

( ) ( )

( )180

90 22 2

ctο

ο+ ΑΒ ΑΒ

ω = = + =

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ( )φ 180 3ο+ω =

Όμως από την (3) προκύπτει ότι το τετράπλευρο ΑΜΒΜ εγγράψιμο σε κύκλο και ο περιγεγραμμένος σrsquo αυτό κύκλος είναι ο ζητούμενος γ τόπος


478 Δίνεται η συνάρτηση f N Rrarr τέτοια ώστε ( ) ( ) ( )1 1 1 2 nf n n f n n N++ = minus minus forall isin

και ( ) ( )1 2013f f=

Να βρεθεί το άθροισμα ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2012S f f f f= + + + +

(www MATHVNcom)









Το ξενοδοχείο του Hilbert Ξεφυλλίζοντας τα βιβλία των Μαθηματικών του Λυκείου των παλαιοτέρων ετών μπορούμε να δούμε τη διαπραγμάτευση της έννοιας απείρου και με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο Σε παλαιότερο βιβλίο1 της τρίτης Λυκείου γίνεται αναφορά για το λεγόμενο laquoεπεκτεταμμένοraquo σύνολο των πραγματικών αριθμών Το σύνολο αυτό παριστάνεται με το συμβολισμό R και αποτελείται από όλους τους πραγματικούς αριθμούς καθώς επίσης και από δύο νέα στοιχεία τα οποία είναι το minusinfin και το +infin Άρα το σύνολο αυτό γράφεται ως εξής

R R= cup minusinfin +infin Ειδικότερα στο βιβλίο αυτό διαβάζουμε Το σύνολο R Θεωρούμε το σύνολο R R= cup minusinfin +infin Επεκτείνουμε τη γνωστή διάταξη του R και στο σύνολο R ως εξής Για τα minusinfin +infin και για κάθε a Risin ισχύουν

Μετά από την επέκταση αυτή ακολουθούν οι γνωστές σχέσεις που οριοθετούν τις πράξεις μέσα στο σύνολο αυτό Είναι ο γνωστός λογισμός μεταξύ πραγματικών αριθμών και των δύο αυτών νέων στοιχείων Το επεκτεταμένο σύνολο των πραγματικών αριθμών το συναντάμε και σε πολλά άλλα βιβλία του ευρύτερου μαθηματικού ορίζοντα Στο πανεπιστημιακής έκδοσης βιβλίο της Θεωρίας των πραγματικών συναρτήσεων του Ι Α Αναστασιάδου2 διαβάζουμε για το επεκτεταμένο αυτό σύνολο τα εξής sect 10 ndashἘπεκτεταμένοι πραγματικοί ἀριθμοί Εἶναι σκόπιμον νά ἐπεκτείνουμε ὀλίγον τό σύνολον 1R τῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν διά προσθέσεως δύο νέων στοιχείων τά ὁποῖα σημειοῦνται με +infin και minusinfin Τό νέον τοῦτο σύνολον παρίσταται 1

xR καί καλεῖται ἐπεκτεταμένον σύνολον των πραγματικῶν ἀριθμῶν Διά τά νέα ταῦτα στοιχεῖα ὁρίζομεν τούς ἑξῆς νόμους

1 Ἐάν 1a Risin τότε aminusinfin lt lt +infin Στην πρόταση αυτή ακολουθούν άλλοι πέντε νόμοι καθώς και οι πράξεις εκείνες

1 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Ανάλυση ΟΕΔΒ- Αθήνα 1994 Σελ 74 2 Ιωάννης Αν Αναστασιάδης Θεωρία Πραγματικών Συναρτήσεων τόμ Ι σελ47 sect 10

No335

a aminusinfin lt lt +infin minusinfin lt +infin


οι οποίες δεν ορίζονται και είναι laquoἄνευ ἐννοίαςraquo Το επεκτεταμένο αυτό σύνολο των πραγματικών αριθμών που laquoέκλεισεraquo στα άκρα του είναι ένα παράδειγμα όπου το laquoάπειροraquo αντιμετωπίζεται ως ένα νέο διαχειρίσιμο στοιχείο και συνεπώς ο ανθρώπινος νους το αντιμετωπίζει αντίθετα με την αριστοτελική άποψη δηλαδή όχι με την laquoεν δυνάμειraquo λειτουργία του αλλά με την laquoεν ενεργείαraquo υπόστασή του Όπως αντιμετωπίζεται στα δύο αυτά παραδείγματα το άπειρο έτσι ακριβώς εννοείται και στην έξυπνη ιστορία με το ξενοδοχείο του Hilbert Ο ανθρώπινος νους αντιμετωπίζει τη δύσκολη αυτή έννοια θεωρώντας αυτήν όχι εσωτερικά αλλά εξωτερικά



( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2013 2013 2013

2 0 11 2


+ + =⎪⎩ Ν

α υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

( )2013 2013 20131 1 1 3Q

a b c= + +

(wwwMathvncom) Λύση Από τη σχέση (1) ισοδύναμα προκύπτει

( ) ( )2 2 2 2 21 2 0a b c b c b a c a c b abchArr + + + + + + = hArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 0a b c bc b c a b c bchArr + + + + + + = hArr

( ) ( ) ( )22 0a b c bc b c a b chArr + + + + + = hArr

( ) ( )2 0b c a bc a b c⎡ ⎤hArr + + + + = hArr⎣ ⎦

( ) 2 0b c a bc ab ac⎡ ⎤hArr + + + + = hArr⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) 0b c a a b c a bhArr + + + + = hArr⎡ ⎤⎣ ⎦

( )( )( ) ( )0 4b c a b a chArr + + + = δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )5a b b c c a= minus or = minus or = minus Έστω


a b= minus τότε από την (2) προκύπτει ακόμα

2013 2013 2013 1a b

a b c=minus

+ + = rArr

( )2013 2013 2013 1b b cminus + + = rArr

2013bminus 2013b+

( )

2013

2013

11 1 6

cc c

+ = rArr

= rArr =

Ύστερα από αυτά η ζητούμενη παράσταση γίνεται

2013 2013 20131 1 1Q

a b c= + + =

( )2013 2013 20131 1 1

b cb= + + =

minus

20131

b= minus 2013

1b

+1

2013 20131 1 1

c

c c=

+ = = Στο ίδιο αποτέλεσμα οδηγούμαστε όταν θεωρήσουμε και τις άλλες δύο περιπτώσεις της σχέσης (5) 463 Δίνονται δύο κύκλοι ( )1Κ και ( )2Κ που τέμνονται σε δύο διακεκριμένα σημεία Α Β και ( )t μια κοινή εφαπτομένη αυτών αντίστοιχα στα σημεία Μ Ν Αν t perp ΑΜ και


Λύση (1ος τρόπος) Επειδή tΑΜ perp το κέντρο του κύκλου 2( )κ θα το μέσο της ΑΜ Θεωρούμε


το σημείο Ρ συμμετρικό του σημείου Α ως προς την κοινή εφαπτομένη ( )t Το τρίγωνο ΑΝΡ θα είναι ισοσκελές με κορυφή το σημείο Ν Άρα

( )1ΝΑΡ = ΝΡΑ Επίσης θα είναι

( )2x xα α= ΒΑΜ = ΒΜΝ = rArr =

( )3y yγ γ= ΒΑΝ = ΒΝΜ = rArr = Άρα

(180 )x yοΜΒΝ +ΜΡΝ = minus minus +ΜΑΝrArr

(180 xοΜΒΝ +ΜΡΝ = minus yminus ) (α+ γ+( ) ( )2 3

) rArr

( )180 4οΜΒΝ +ΜΡΝ = Η σχέση (4) δείχνει ότι το τετράπλευρο ΜΒΝΡ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς

( )5y θ= Ακόμα από τη δοθείσα σχέση

2ΜΝ = sdotΑΜ προκύπτει

( )6ΜΝ = ΑΡ Τέλος από τις (2) (5) και (6) προκύπτει ότι το τρίγωνο ( )ΑΒΡ είναι ίσο με το

τρίγωνο ( )ΜΒΝ Από την ισότητα αυτή θα είναι ΑΒ = ΒΜ κι έτσι το ορθογώνιο τρίγωνο

( )ΑΒΜ θα είναι ισοσκελές Τέλος θα είναι

45ox =


479 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο C(OR) και Δ το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου C΄(Ir) με την πλευρά ΒΓ

Προεκτείνουμε την ΑΙ ώστε να τμήσει τον περιγεγραμμένο κύκλο C στο σημείο Μ και στη συνέχεια την ΜΔ ώστε να τμήσει τον C στο σημείο Ρ Να δειχθεί ότι

ΡΑ perp ΡΙ (mateforumro)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 7 Νοεμβρίου 2012 14






Το ξενοδοχείο του Hilbert Σχετικά με το laquoεν δυνάμει άπειροraquo και το laquoεν ενεργεία άπειροraquo ας παρακολουθήσουμε πιο προσεκτικά τις απόψεις που καταθέτουν οι δύο ερευνητές Reviel Netz και William Noel στο πρόσφατο βιβλίο τους με τίτλο laquoΟ κώδικας του Αρχιμήδηraquo

Οι ερευνητές αυτοί μελετώντας το πιο σπουδαίο παλίμψηστο του κόσμου τον Κώδικα C ένα από τα τρία βιβλία που σώθηκαν κατά τη λεηλασία της Πόλης από τους Φράγκους το 1204 ανακάλυψαν καινούργια στοιχεία για την προσφορά του Αρχιμήδη σχετικά με το άπειρο

Αρχικά οι δυο αυτοί ερευνητές δηλώνουν laquoΣχετικά όμως με τα παραδοσιακά ερωτήματα της ιστορίας των

μαθηματικών αμφέβαλα αν το Παλίμψηστο θα μπορούσε να μας διδάξει τίποτα καινούργιο Ίσως καταφέρναμε να διαβάσουμε κάτι παραπάνω ίσως και όχι Αυτό ωστόσο δεν θα είχε και πολύ μεγάλες συνέπειες στην ιστορία των Μαθηματικώνraquo [1]

Σε ότι αφορά τη συμβολή του Αρχιμήδη στη χρήση του απείρου πίστευαν ότι ο μεγάλος αυτός μαθηματικός αντιμετώπιζε το άπειρο μόνον με την αριστοτελική του έννοια δηλαδή την laquoεν δυνάμειraquo σημασία του(ΣΜ 315-320) Προχωρώντας όμως τη μελέτη του παλίμψηστου οι ερευνητές αυτοί και αποκαλύπτοντας - κάτω από τις πολλαπλές επικαλύψεις το αρχικό κείμενο - όλο και περισσότερες ιδέες του μαθηματικού αυτού του 3ου αιώνα πΧ αρχίζουν όχι μόνον να προβληματίζονται αλλά και να ξαφνιάζονται laquoΌμως περίμενε Κεν˙ εδώ υπάρχει πρόβλημαraquo - σταμάτησα απομακρύνθηκα από το σχήμα που είχαμε σχεδιάσει laquoΑν αυτά που λέμε είναι σωστά τότε ο Αρχιμήδης αθροίζει μια συλλογή από άπειρα μεγέθη Αυτά δεν προστίθενται Το αποτέλεσμα είναι άπειρο Δεν μπορείς πια να κάνεις υπολογισμούςraquo [2] Πράγματι σrsquo εκείνο το σημείο του παλίμψηστου ο Αρχιμήδης μετρά σύνολα τριγώνων και ευθύγραμμων τμημάτων που δεν είναι πεπερασμένα αλλά άπειρα Ο Αρχιμήδης κάνει λογαριασμούς με απείρως μεγάλους αριθμούς Ένα ακόμα στοιχείο που παρατηρούν οι ερευνητές αυτοί είναι το γεγονός ότι ο μεγάλος αυτός έλληνας μαθηματικός της αρχαιότητας χρησιμοποιεί την αρχή της ένα προς ένα αντιστοίχισης των στοιχείων δύο απειροσυνόλων Ύστερα απrsquo αυτά οι δύο αυτοί ερευνητές μελετώντας τις πέντε πιο δύσκολες σελίδες του Παλίμψηστου καταλήγουν στο ακόλουθο συμπέρασμα

No336


laquoΔιαπιστώσαμε ότι ο Αρχιμήδης λογάριαζε με το θέσει άπειρο- κάτι που έρχεται σε ευθεία αντίθεση με οτιδήποτε ανέκαθεν πίστευαν όλοι οι ιστορικοί των μαθηματικών Το θέσει άπειρο ήταν ήδη γνωστό στους αρχαίους έλληνεςraquo[3] [123] Reviel Netz-William Noel Ο κώδικας του Αρχιμήδη Σελ214 225 και 230




Λύση (2ος τρόπος) Αν προεκτείνουμε την κοινή χορδή ΑΒ των δύο αυτών κύκλων τότε αυτή θα

τμήσει την κοινή εφαπτομένη ΜΝ στο σημείο C Τότε θα είναι

( )2 1CM CA CB= sdot

( )2 2CN CA CB= sdot Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει

( )3CM CN= Επειδή από την υπόθεση ισχύει

2MN AM= sdot επομένως από την (3) προκύπτει

( )4NC CM MA= = Από τη σχέση (4) συμπεραίνεται ότι το ορθογώνιο τρίγωνο AMC είναι ισοσκελές και επειδή ακόμα η ΜΒ είναι ύψος του άρα θα είναι και διχοτόμος της ορθής γωνίας AMC Έτσι τελικά είναι

45oNMB =



(Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ τ 3 Δεκέμβριος 1956) Λύση Κατrsquo αρχήν θα δείξουμε(γνωστή πρόταση) ότι

laquoΑν ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο τότε αυτό είναι ορθογώνιοraquo (Ι)

Πράγματι στο σχήμα 1 έχουμε το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο Άρα

( )180 1οΑ+ Γ = όμως

( )2Α = Γ ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου

Η σχέση (1) σύμφωνα με τη (2) γίνεται

( ) 2180 2 180 90ο ο οΑ+Γ = rArr Α = rArrΑ =

Άρα το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο Στη συνέχεια η πρόταση αυτή στο χώρο ισχύει με την ακόλουθη μορφή

laquoΑν ένα παραλληλεπίπεδο ΑΒΓΔΚΛΜΝ είναι εγγεγραμμένο σε σφαίρα τότε αυτό είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδοraquo

Πράγματι Στο σχήμα 2 έχει κατασκευαστεί ένα παραλληλεπίπεδο εγγεγραμμένο σε μια

σφαίρα ακτίνας R Αν θεωρήσουμε την τομή της σφαίρας με το επίπεδο της έδρας ΑΒΓΔ που είναι ένα παραλληλόγραμμο τότε θα προκύψει έναν κύκλος στον οποίο είναι εγγεγραμμένο το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Άρα το παραλληλόγραμμο αυτό σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση (Ι) είναι ορθογώνιο Όμοια μπορούμε να συμπεράνουμε και για όλες τις έδρες του παραλληλογράμμου Επομένως το εγγεγραμμένο παραλληλεπίπεδο είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Έστω τώρα ότι το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ΑΒΓΔΚΛΜΝ του σχήματος 2 έχει διαστάσεις x y z Δηλαδή

x y z= ΑΒ =ΒΓ ΒΛ = Εφαρμόζοντες στη συνέχεια το πυθαγόρειο θεώρημα διαδοχικά στα

ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΜ προκύπτει

( )2 2 2 24 3x y z R+ + =

Σχήμα


Εξ άλλου η επιφάνεια του παραλληλεπιπέδου δίνεται από τη σχέση

( ) ( )2 4E xy yz zx= + + Έχοντας υπόψη μας τις σχέσεις (3) και (4) καθώς και την ταυτότητα

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 22 2x y z xy yz zx x y y z z x+ + minus + + = minus + minus + minusσυμπεραίνουμε ότι

( ) ( ) ( )2 2 228R E x y y z z xminus = minus + minus + minus ή ακόμα

( ) ( ) ( ) ( )2 2 228 5E R x y y z z x= minus minus minus minus minus minus Άρα για να γίνει το εμβαδόν αυτό μέγιστο θα πρέπει να είναι

x y z= = δηλαδή κύβος Τότε από την (5) προκύπτει

2max 8E R=


480 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Θεωρούμε τρεις κύκλους ( ) ( ) ( )1 2 3 c c c οι οποίοι εφάπτονται εσωτερικά στον περιγεγραμμένο κύκλου του και μάλιστα στις κορυφές ΑΒΓ του τριγώνου καθώς και στον εγγεγραμμένο κύκλο στα σημεία Α΄ Β΄ Γ΄ αντίστοιχα Να δειχθεί ότι οι ευθείες ΑΑ΄ ΒΒ΄ ΓΓ΄ διέρχονται από το ίδιο σημείο

(Ionut Onisor Transformari Geometrice p32)

Παράρτημα της ΕΜΕ 2ο Γεν Λύκειο Κοζάνης


Σχήμα 2







Το παλίμψηστο του Αρχιμήδη

Η σπουδαιότερη ανακάλυψη που προέκυψε από τη μελέτη του περίφημου παλίμψηστου του κώδικα C είναι κατά την άποψη των δύο ερευνητών Reviel Netz και William Noel ότι ο Αρχιμήδης χρησιμοποιούσε το laquoτο εν ενεργεία άπειροraquo (ΣΜ 336) Το παλίμψηστο αυτό που διασώθηκε και μελετήθηκε πρόσφατα είναι ένα χειρόγραφο κείμενο πάνω σε περγαμηνή δηλαδή πάνω σε ένα επεξεργασμένο δέρμα ζώου

Η λέξη παλίμψηστο είναι σύνθετη από τη λέξη πάλιν(ξανά) και το ρήμα ψάω(τρίβω-ψήγματα) και σημαίνει ότι η περγαμηνή αυτή που φιλοξενούσε αρχικά ένα χειρόγραφο κείμενο τρίφτηκε ώστε να αφαιρεθεί το αρχικό κείμενο και στη συνέχεια πάνω της έχει γραφεί νέο κείμενο

laquoΟ λόγος για τον οποίο ο Φήλιξ πίστευε ότι το βιβλίο άξιζε τόσο πολύ ήταν ότι αχνά κάτω από τις χριστιανικές προσευχές του 13 αιώνα διακρίνονταν κάποιες σβησμένες λέξεις που ανήκαν σε μια μυθική μαθηματική ιδιοφυΐα της αρχαιότητας τον Αρχιμήδη από τις Συρακούσες Ελλιπές κατεστραμμένο και με όλο το κείμενο γραμμένο από πάνω του το βιβλίο αυτό ήταν το παλαιότερο υπαρκτό χειρόγραφο του Αρχιμήδηraquo [1]

Το βιβλίο αυτό περιλαμβάνει φύλλα γραμμένα κι από τις δύο όψεις τους και τα οποία είναι αριθμημένα από το 1 μέχρι το 177 Από το σύνολο των φύλλων αυτών λείπουν τρία φύλλα

No337


laquoΤο χειρόγραφο αυτό αποκαλείται σήμερα το Παλίμψηστο του Αρχιμήδη αυτό όμως είναι κάπως αποπροσανατολιστικό Μην απατάσθε Το χειρόγραφο είναι στην πραγματικότητα ένα προσευχητάριο Μοιάζει με προσευχητάριο δίνει την αίσθηση προσευχηταρίου σχεδόν μυρίζει σαν προσευχητάριο Και στις σελίδες του βλέπει κανείς γραμμένες προσευχέςraquo [2] [12] Reviel Netz-William Noel Ο κώδικας του Αρχιμήδη Σελ4-5 και 17-18


465 Να αποδειχθεί ότι όλοι οι αριθμοί της σειράς

49 4489 444889 τους οποίους λαμβάνομεν εάν προσθέσομεν εις το μέσον του αριθμού ο οποίος προηγείται το 48 είναι τέλεια τετράγωνα

(Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ τ 3 Δεκέμβριος 1956 Θ Μιχάλτσος ΠΜηχ) Λύση Αν τους αριθμούς αυτής της σειράς τους θεωρήσουμε ως διαδοχικούς όρους μιας ακολουθίας δηλαδή

( )0 1 249 4489 444889 1α α α= = = τότε παρατηρούμε ότι ο γενικός όρος να της ακολουθίας (1) γραμμένος στη δεκαδική μορφή έχει τη μορφή

2 2 1

4448889 4448889ν ν ν

να+ +

= = rArr

2 1 2 1

1

4 10 4 10 4 108 10 8 10 8 109

ν ν νν

ν ν

α + +

minus

= sdot + sdot + + sdot +

+ sdot + sdot + + sdot ++ rArr

( )( )

( )

1 1

1 2

4 10 10 10 1

8 10 10 10 1

9 2

ν ν νν

ν ν

α + minus

minus minus

= sdot sdot + + + +

+ sdot sdot + + + +

+

Θεωρώντας στη συνέχεια τον τύπο 1

2 11 11

νν αα α α α

α

+ minus+ + + + = ne

minus

ο γενικός όρος (2) της ακολουθίας (1) γίνεται


11 10 1 10 14 10 8 10 9

10 1 10 1

ν νν

να+

+ minus minus= sdot sdot + sdot sdot + rArr

minus minus

2 2 1 110 10 10 104 8 99 9

ν ν ν

να+ + +minus minus

= sdot + sdot + rArr

2 2 1 14 10 4 10 8 10 8 10 9 99 9 9

ν ν ν

να+ + +sdot minus sdot sdot minus sdot sdot

= + + rArr

14 10 12 2 1 11 4 10 4 10 8 10 8 10 9 9

9

ν

ν ν ννα

++ sdot ++ + +

⎛ ⎞⎜ ⎟= sdot minus sdot + sdot minus sdot + sdot rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 11 4 10 4 10 19

ν ννα

+ += sdot + sdot + rArr

( )( )21 11 2 10 2 2 10 19

ν ννα

+ +⎡ ⎤= sdot + sdot sdot + rArr⎣ ⎦

( )

( )

21

21

2 10 19

2 10 1 33

ν

ν

ν

ν

α

α

+

+

sdot += rArr

⎛ ⎞sdot += ⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμως

( )

2112 10 1 200001 66667 4

3 3

όό

ό

ν ροιν ροι

ν

ν ροι

++

+sdot += =

επομένως λόγω της (3) ο γενικός όρος της ακολουθίας (1) γράφεται

( )21

6666 7 5ό

ό

ν ροι

νν ροι

α+⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

δηλαδή ως ένα τέλειο τετράγωνο Επαλήθευση για τους τρεις πρώτους όρους Σύμφωνα με τον τύπο (5)


ο πρώτος όρος γράφεται

( )20 7 49α = =

ο δεύτερος

( )21 67α =

ο τρίτος

( )22 667α =

με τον ίδιο τύπο τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε και όλους τους όρους της ακολουθίας ως τέλεια τετράγωνα


481 Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τα σημεία Δ και Ε στις πλευρές ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2ΒΔΑ ΑΔΓ ΒΔΕ ΑΔΕ ΒΔΑ ΑΔΓΕ +Ε Ε +Ε ge Ε sdotΕ

όπου

( ) ( ) ( ) ( ) ΒΔΑ ΑΔΓ ΒΔΕ ΑΔΕΕ Ε Ε Ε τα εμβαδά των τριγώνων ΒΔΑ ΑΔΓ ΒΔΕ και ΑΔΕ αντίστοιχα










Ο τροχός του Αριστοτέλη Ολοκληρώνοντας την αναφορά μας στο μαθηματικό έργο του Αριστοτέλη σχετικά με το άπειρο αξίζει να μελετήσουμε και το λεγόμενο laquoτροχό του Αριστοτέληraquo(ΣΜ 331) Απορεί ο Αριστοτέλης στο φαινόμενο(Σχήμα 1) που παρατηρείται όταν δύο κυκλικοί δίσκοι ο ( )1c και ο ( )2c laquoκολλημένοιraquo μεταξύ των και με κοινό κέντρο laquoκυλίονταιraquo σε ένα οριζόντιο επίπεδο ξεκινώντας από το σημείο Α και φθάνοντας

μέχρι και τη θέση Β Οι διαδρομές όπως φαίνεται από το πρώτο σχήμα είναι ίσες

Δηλαδή

1 2 1 2 2 2R R R Rπ πΑΒ = Α Β rArr = rArr = άρα οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ίσοι Και γενικεύοντας το συλλογισμό αυτό θα έλεγε κανείς ότι όλοι οι κύκλοι είναι μεταξύ των ίσοι Παράδοξο Πριν μελετήσουμε το φαινόμενο αυτό των δύο κύκλων ας δούμε την περίπτωση δύο πολυγωνικών δίσκων που laquoκυλίονταιraquo κι αυτοί σrsquo ένα οριζόντιο επίπεδο

Στο σχήμα 2 έχουμε δύο πολυγωνικούς δίσκους οι οποίοι φαίνονται να laquoκυλίονταιraquo από τη θέση Α στη θέση Β για τον εξωτερικό και από τη θέση Α1 στη

No338


θέση Α΄1 για τον εσωτερικό Οι δίσκοι αυτοί είναι κανονικά οκτάγωνα με πλευρές παράλληλες έχουν κοινό κέντρο το σημείο Ο και οι οποίοι μεταξύ των είναι laquoκολλημένοιraquo

Καθώς έχουν φθάσει στο πέρας της διαδρομής φαίνεται όπως και στην περίπτωση του κυκλικού τροχού να έχουν διανύσει την ίδια απόσταση πράγμα που δηλώνει πώς έχουν την ίδια περίμετρο άρα είναι μεταξύ των ίσοι Παράδοξο


466 Να βρεθεί το άθροισμα των ν όρων της ακολουθίας

2 5 12 23 κ όπου κ ο ν-οστός όρος της ακολουθίας αυτής

(Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ τ 3 Δεκέμβριος 1956) Λύση Αρχικά θα βρούμε το τύπο που δίνει το γενικό όρο

na n Nisin της ακολουθίας αυτής Θεωρούμε ότι ο γενικός όρος [1] γράφεται με τη μορφή ενός ακέραιου πολυωνύμου της μορφής

( ) 3 2 123na f n an bn cn d n= = + + + = και

a b c d Zisin Τότε

( )1 2 2 1a a b c d= rArr + + + =

( )2 5 8 4 2 5 2a a b c d= rArr + + + =

( )3 23 27 9 3 12 3a a b c d= rArr + + + =

( )4 23 64 16 4 23 4a a b c d= rArr + + + = άρα προέκυψε το γραμμικό 4Χ4 σύστημα

( )1

28 4 2 527 9 3 1264 16 4 23

a b c da b c d

a b c da b c d

+ + + = ⎫⎪+ + + = ⎪ Σ⎬+ + + = ⎪⎪+ + + = ⎭

Το σύστημα (Σ1) μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους Για παράδειγμα ένας απλός τρόπος είναι η μέθοδος της αντικατάστασης Δηλαδή λύνουμε την πρώτη ως προς τον άγνωστο d και αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στις επόμενες τρεις


εξισώσεις Τότε έχουμε πλέον ένα σύστημα 3Χ3 το οποίο στη συνέχεια με τον ίδιο τρόπο το οδηγούμε σε ένα σύστημα 2Χ2 Αυτό όμως εύκολα πλέον λύνεται

Γενικά μια λύση με τη χρήση των οριζουσών μπορεί να δοθεί με τους τύπους

a b c dD D D Da b c dD D D D

= = = =

όπου οι ορίζουσες

a b c dD D D D D υπολογίζονται κατά τα γνωστά Λύνοντας το σύστημα αυτό βρίσκουμε

0 2 3 3a b c d= = = minus = άρα ο γενικός όρος της ακολουθίας είναι

22 3 3 123na n n n= minus + = Άρα το ζητούμενο άθροισμα των n πρώτων όρων θα είναι

1 2 3 n nS a a a a= + + + + rArr

( ) ( ) ( )2 2 22 1 3 1 3 2 2 3 2 3 2 3 3nS n n= sdot minus sdot + + sdot minus sdot + + + sdot minus sdot + rArr

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 3 1 2 3 3nS n n n= + + + + minus + + + + + rArr

( ) ( ) ( )1 2 1 12 3 36 2n

n n n n nS n+ + += minus + rArr

( )24 3 116n

n n nS

minus +=

Παρατήρηση Γενικά το πρόβλημα υπολογισμού του ν-οστού όρου μιας ακολουθίας με γνωστούς κάποιους διαδοχικούς πρώτους όρους(στην περίπτωσή μας τέσσερες) δεν έχει μονοσήμαντη λύση Μπορεί κανείς να θεωρήσει ως κανόνα παραγωγής των επομένων τον οποιοδήποτε Για το θέμα αυτό μπορεί να δει κανείς ένα άρθρο στο περιοδικό Αrsquo ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ τεύχος 67 Ιανουάριος-Φεβρουάριος-Μάρτιος 2008 της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Σελ 17 18 19 με τίτλο laquoΜια ενδιαφέρουσα δραστηριότηταraquo του Κ Δόρτσιου

467 Να δείξετε ότι αν ( )1πΑ+Β+Γ =

τότε

( )3 3 3

3 2εφ εφ εφεφ εφ εφΑ+ Β+ Γ

geΑ+ Β+ Γ

(Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ τ 3 Δεκέμβριος 1956) Λύση


Θεωρούμε την ταυτότητα

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

2 2 2

312

x y z xyz

x y z x y y z z x

+ + minus =

⎡ ⎤= + + minus + minus + minus⎣ ⎦

από την οποία προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 23 1 42

x y z xyz x y y z z xx y z

+ + minus ⎡ ⎤= minus + minus + minus⎣ ⎦+ +Από την (1) ακόμα προκύπτει

( )5εφ εφ εφ εφ εφ εφΑ + Β+ Γ = Αsdot Βsdot Γ Αν τώρα θέσουμε

x y zεφ εφ εφ= Α = Β = Γ τότε από την (5) προκύπτει

x y z xyz+ + = και στη συνέχεια η (4) γίνεται

( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 23 12

x y z xyz x y y z z xxyz

+ + minus ⎡ ⎤= minus + minus + minus rArr⎣ ⎦

( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 213 32

x y z x y y z z xxyz+ + ⎡ ⎤= + minus + minus + minus ge⎣ ⎦

Άρα 3 3 3

3εφ εφ εφεφ εφ εφΑ+ Β+ Γ

geΑ + Β+ Γ

Η ισότητα ισχύει όταν

60x y z ο= = rArr Α = Β = Γ =


482 Στο εσωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε ένα μεταβλητό σημείο Μ και τα σημεία

ΕisinΑΓcapΒΜ ΖisinΑΒcapΓΜ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ όταν το

τετράπλευρο ΑΕΜΖ είναι περιγράψιμο σε κύκλο (Mateforum)









Ο τροχός του Αριστοτέλη Είναι ενδιαφέρον να παρακολουθήσουμε προσεκτικά τους δύο πολυγωνικούς δίσκους να laquoκυλίονταιraquo σε ένα οριζόντιο επίπεδο Όπως αναφέρθηκε(ΣΜ338) οι

δίσκοι αυτοί που έχουν σχήμα κανονικού οκταγωνικού πολυγώνου έχουν κοινό άξονα περιστροφής και είναι ο ένας κολλημένος πάνω στον άλλο

Τα σχήματα 1 και 2 δείχνουν δύο στιγμιότυπα Το πρώτο παριστά τη θέση

No339

Σχήμα 2

Σχήμα 1


των δύο τροχών τη στιγμή που η πλευρά του μεγάλου πολυγώνου ακουμπά ολόκληρη στην ευθύγραμμη πορεία και το δεύτερο παριστά τη θέση όπου γίνεται περιστροφή του τροχού γύρω από το σημείο Β Συγκεκριμένα όπως δείχνει το δεύτερο σχήμα όταν αρχίζει η περιστροφή αυτή το σημείο Β1 του δεύτερου τροχού δεν ακουμπά στον ορίζοντα αλλά διαγράφει ένα τόξο 1 1Β Γ που σημαίνει ότι ο μικρός τροχός στο διάστημα αυτό δεν laquoκυλίεταιraquo αλλά κάνει ένα μικρό laquoπήδημαraquo Κάτι ανάλογο κάνει και το κέντρο Κ΄ των πολυγώνων


468 Να γίνει γινόμενο η παράσταση ( )1 1x x x xημ συν ημ συνΑ = + + + sdot


(Εισαγωγικές εξετάσεις στη Σχολή Ευελπίδων Έτος 1947) Λύση Η παράσταση (1) γράφεται

( ) ( )( )( )

11 1

1 1

x x x xx x x

x x

συν ημ ημ συν

συν ημ συν

συν ημ

Α = + + + sdot =

= + + + =

= + +

δηλαδή

( )( ) ( )1 1 2x xσυν ημΑ = + + Στη συνέχεια από το γνωστό τύπο

21 22ασυνα συν+ =

προκύπτει

( )21 2 32xxσυν συν+ =

Επίσης

( ) 2 901 1 90 22

xx xο

οημ συν συνminus

+ = + minus = άρα

( )21 2 45 42xx οημ συν ⎛ ⎞+ = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠

Σύμφωνα με τις σχέσεις (3) και (4) ο τύπος (2) γίνεται

( )( ) 2 21 1 2 2 452 2x xx x οσυν ημ συν συν ⎛ ⎞Α = + + = sdot minus rArr⎜ ⎟

⎝ ⎠


( )2

2 45 52 2x xοσυν συν⎡ ⎤⎛ ⎞Α = sdot minus⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Ακόμα είναι γνωστό ότι

( ) ( ) ( )2 6συνα συνβ συν α β συν α βsdot = + + minus επομένως σύμφωνα μrsquo αυτή η (5) γίνεται

( )

2

2

2

2 452 2

45 452 2 2 2

45 45o

x x

x x x x

x

ο

ο ο

ο

συν συν

συν συν

συν συν

⎡ ⎤⎛ ⎞Α = sdot minus =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus + minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= + minus⎣ ⎦

δηλαδή

( ) 245 45oxοσυν συν⎡ ⎤Α = + minus⎣ ⎦


( )1 1 1 3 0 1x x xx x x

ημ συν εφημ συν εφ

+ + + + + + = (Εισαγωγικές εξετάσεις στο Πολυτεχνείο Έτος 1947)

Λύση Κατrsquo αρχήν θα πρέπει για να έχουν νόημα πραγματικού αριθμού οι όροι της

(1) θα πρέπει

( ) 22

x k x k ππ και π κne ne + isinΖ

Αν θέσουμε

( )0 3x t= ge τότε η (1) γίνεται

( )

1

2 2

1 1 1 3 0

1 1 3 0

1 1 3 0

t t tt t t

t tt t

t t t t

t tt t

t t t t


ημ συνημ συν

συν ημ συν ημ



+ + + + + + = hArr

+ + + + + + = hArr

⎛ ⎞ ++ + + + + = hArr⎜ ⎟ sdot⎝ ⎠


( ) ( ) 3 1 0t t t t t t t tημ συν ημ συν ημ συν ημ συν+ sdot + + + sdot + = hArr

( ) ( )2 23 1 0

2 2t tt t t tημ ημ

ημ συν ημ συν⎛ ⎞+ + + + + = hArr⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 2 2 4t t t tημ συν ημ ημ+ + = minus + Υψώνοντας τα δύο μέλη της (4) στο τετράγωνο και μετά από πράξεις

προκύπτει η εξίσωση

( ) ( )22 2 4 2 4 0 5t t tημ ημ ημminus minus = Άρα

( ) ( )( ) ( )( )25 2 0 6 2 4 2 4 0 7t ή t tημ ημ ημhArr = minus minus = Λύση της (6)

2 0 2 0 2 2

kt t t k t πημ ημ ημ π κ= hArr = hArr = hArr = isinΖ

και λόγω της (3) θα είναι

2

kt π κ += isinΖ

η οποία απορρίπτεται λόγω των περιορισμών (2) Λύση της (7) Η (7) λύνεται ως εξίσωση δευτέρου βαθμού και δίνει δύο λύσεις

( )122 2 1 2tημ = plusmn

Αυτές δεν ανάγονται σε ημίτονα χαρακτηριστικών γωνιών Έτσι για να βρούμε την κάθε μία απrsquo αυτές θα πρέπει να υπολογίσουμε με λογαριθμικό τρόπο τη θεμελιώδη λύση και στη συνέχεια τη γενική

Τέλος θα πρέπει μετά την εύρεση αυτών να τις ελέγξουμε αν επαληθεύουν τη δοθείσα εξίσωση γιατί με την ύψωση στο τετράγωνο της (4) προστέθηκαν κι άλλες λύσεις


483 Έστω η συνάρτηση f R Rrarr η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια ώστε η συνάρτηση f prime να είναι γνησίως αύξουσα Να αποδείξετε ότι

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

) 1 2 1 2) 0 0 1 2

i f f f fii ύ έ f ό f fαν ισχ ειη σχ ση τ τε

prime primelt minus ltprime = ne

(ΓΛ Μαυρίδης Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Θετ και Τεχν Κατνσης Τεύχος Β΄ σ 28)



Η Στήλη των Μαθηματικών Τετάρτη 5 Δεκεμβρίου 2012 14






Ο τροχός του Αριστοτέλη Ας δούμε συνολικά τη συμπεριφορά των δύο ομόκεντρων τροχών σχήματος κανονικού οκταγώνου(ΣΜ 339) όταν ο εξωτερικός από αυτούς κυλίεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο και διαγράφει μια ολόκληρη στροφή

Στα ανωτέρω τρία σχήματα φαίνεται καθαρά η κίνηση των δύο αυτών κολλημένων τροχών καθώς ο ένας από αυτούς κυλίεται πάνω στην οριζόντια ευθεία (ε1)

No340


Για να ολοκληρωθεί το περίεργο αυτό laquoταξίδιraquo το οποίο ξεκίνησε από την αρχική θέση όπου το σύστημα αυτό ακουμπούσε στην πλευρά ΑΒ μέχρι και το τέλος του όπου ακουμπά πλέον η όγδοη πλευρά του στο τμήμα ΘΩ χρειάστηκαν επτά περιστροφές γύρω από τις κορυφές Β Γ Δ Ε ΖΗ και Θ Είναι προφανές ότι κατά την διαδρομή αυτή το εξωτερικό οκτάγωνο laquoξεδίπλωσεraquo την περίμετρό του κατά μήκος του οριζόντιου τμήματος ΑΩ



( )1 1 1 3 0 1x x xx x x



Λύση Συμπληρωματικό σχόλιο Αναφέρθηκε (ΣΜ339 )ότι η λύση της εξίσωσης

( )2 2 4 2 4 0 0 7t t t xημ ημ μεminus minus = = gt αν θεωρηθεί ως μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς το tημ δίνεται από τον τύπο

( ) ( )122 2 1 2 tημ = plusmn

Η () γράφεται

( ) ( )12

1 22 2 1 2 4 4 30 452 2

t ο οημ ημ ημ⎛ ⎞

= plusmn = plusmn = plusmn⎜ ⎟⎝ ⎠

Επομένως διακρίνουμε δύο περιπτώσεις

( )1

30 45 30 452 4 30 30 4 22 2

tο ο ο ο

ο οημ ημ ημ ημ συν+ minus= + = sdot

δηλαδή

( )1

75 152 82 2

t iο ο

ημ ημ συν= sdot

Όμοια

( )2

30 45 30 452 4 30 30 4 22 2

tο ο ο ο

ο οημ ημ ημ ημ συνminus += minus = sdot

δηλαδή

( )2

15 752 82 2

t iiο ο

ημ ημ συν= minus sdot

Λύση της (i) Οι γωνίες που εμφανίζονται στο δεύτερο μέλος δεν είναι από τις χαρακτηριστικές περιπτώσεις κι έτσι ο υπολογισμός των απαιτεί τριγωνομετρικούς πίνακες Σήμερα όμως με τα λογισμικά που διαθέτουμε είναι εύκολο να υπολογιστούν


Έτσι έχουμε

12 4828427 1tημ = gt

άρα η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη Λύση της (ii) Όμοια με ένα λογισμικό βρίσκουμε

22 0828427tημ = minus

Χρησιμοποιώντας και πάλι ένα κατάλληλο λογισμικό βρίσκουμε ότι

22 55 93749t ό οημ ημα που α= minus =

άρα

( )22 2 180t t οημ ημα ημ ημ α= minus hArr = +

και συνεπώς η λύση δίνεται από τους τύπους

( )

( )

2 360 180

2 360 180 180

o o

o o o

t kή

t k

α

κ

α

⎫= + +⎪⎪ isinΖ⎬⎪= + minus + ⎪⎭

ή ακόμα

180 902

1802

o o

o

t k

ή

t k

α

κα

⎫= + + ⎪⎪

isinΖ⎬⎪⎪= minus⎭

Σύμφωνα με τον περιορισμό που αναφέρεται στη σχέση (7) θα πρέπει από τις λύσεις αυτές να δεχθούμε τις θετικές

Αυτές είναι οι ακόλουθες

( )

( )

( )1

2

180 90 0122

180 1232

o o

o

t k k S

ή S

t k k S

α

α

⎫= + + = ⎪⎪⎬⎪⎪= minus =⎭

Όπως αναφέρθηκε και στο προηγούμενο φύλλο οι λύσεις αυτές θα πρέπει να ελεγχθούν Θα πρέπει δηλαδή να εξεταστεί ποια από αυτές ικανοποιεί τη δοθείσα εξίσωση και ποια όχι Αξιοποιώντας και πάλι τα σύγχρονα λογισμικά μπορεί να διακρίνει κανείς εύκολα ότι

bull Από τις λύσεις της ομάδας ( )1S δεκτές είναι εκείνες που αντιστοιχούν στις άρτιες τιμές του δείκτη k


Δηλαδή

180 90 2 0122

o ot k kα ρ ρ= + + = =

bull Από τις λύσεις της ομάδας ( )2S δεκτές είναι εκείνες που αντιστοιχούν πάλι στις άρτιες τιμές του δείκτη k

Δηλαδή

180 2 1232

ot k kα ρ ρ= minus = =

Οι λύσεις αυτές παρίστανται στον ακόλουθο τριγωνομετρικό κύκλο αντίστοιχα με τα σημεία Μ και Ν Τέλος η λύση της αρχικής εξίσωσης (1)

δίνεται από τις ανωτέρω λύσεις σύμφωνα με τον τύπο x t= plusmn


484 Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει η σχέση

2 13 5 2ν ν ν ++ ge (Γιώργος Λ Μαυρίδης Μαθηματικά Β΄ Λυκείου Σελ310)

485 Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο 1ν ge ισχύει 1 1 1 11 1 1 1 2 11 3 5 2 1

νν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ sdot + sdot + sdot sdot + gt +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟minus⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Γιώργος Λ Μαυρίδης Μαθηματικά Β΄ Λυκείου Σελ312)









Ο τροχός του Αριστοτέλη Συνεχίζοντας τη μελέτη της κίνησης των δύο πακτωμένων και ομόκεντρων κανονικών οκταγώνων σε ένα οριζόντιο επίπεδο κι ύστερα από την αναλυτική περιγραφή με εικόνες της κίνησης αυτής κατά μια ολοκληρωμένη περιστροφή του εξωτερικού πολυγώνου(ΣΜ 340) παρατηρούμε(Σχ1) τα εξής

1ο) Το εξωτερικό οκτάγωνο πραγματοποίησε επτά περιστροφές γύρω από τα σημεία Β Γ ΔΕΖΗ και Θ με αποτέλεσμα

88ί ά ώπερ μετρος του μεγ λου οκταγ νου λ= ΑΩ = όπου

8 ά ά ώλ πλευρ του μεγ λου οκταγ νου= με άλλα λόγια η περίμετρος του μεγάλου οκταγώνου laquoκύλισε και ξεδιπλώθηκεraquo στην οριζόντια θέση του τμήματος ΑΩ (Η κορυφή Α ταυτίστηκε με το πέρας Ω)

No341

Σχήμα 1

Σχήμα 2


2ο) Το εσωτερικό οκτάγωνο κάνει μια περίεργη κίνηση(ΣΜ 339) Έτσι όπως φαίνεται κι από το σχήμα 2 το οκτάγωνο αυτό ουσιαστικά κινήθηκε με laquoστάσειςraquo και laquoαναπηδήματαraquo Ουσιαστικά έκανε οκτώ στάσεις και επτά πηδήματα Τα laquoπηδήματαraquo αυτά φαίνονται στα δύο σχήματα και είναι τόξα κέντρων ΒΓhellip Θ και ίσα με 45ο ενώ οι στάσεις είναι τα ευθύγραμμα τμήματα Α1Β1 Β΄1Γ1 hellip Θ΄1Ω 3ο) Όμοια το κέντρο Ο των δύο οκταγώνων κάνει επτά τέτοιες laquoαναπηδήσειςraquo



(Εισαγωγικές εξετάσεις Πολυτεχνείο 1948) Λύση Στο σχήμα 1 το τρίγωνο ΑΒΓ σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης έχει

( )1φΑ = και

( ) 0 2β

γ

υλ λ

υ= gt

Είναι γνωστό ότι το εμβαδόν Ε του τριγώνου αυτού ικανοποιεί τη σχέση 2 β γβ υ γ υΕ = sdot = sdot

άρα

( )3β

γ

υγβ υ=


( )4γλ

β=

Σύμφωνα με το θεώρημα των ημιτόνων η σχέση (4) γίνεται


( )5ημ

λημ

Γ=

Β

Διακρίνομε τις περιπτώσεις 1η περίπτωση Έστω 1λ =

Τότε από την (5) και επειδή οι γωνίες Β Γ είναι μη κυρτές γωνίες προκύπτει

ημ ημπ

Β = ΓΒ = ΓrArr

Β = minusΓ

bull Έστω Β = Γ τότε επειδή

( )6πΑ+Β+Γ = θα είναι

22

ππ minusΑΑ + Β = rArrΒ = = Γ

bull Έστω πΒ = minusΓ τότε πάλι από την (6)

0π πΑ+ minusΓ+Γ = rArrΑ = που είναι αδύνατο

2η περίπτωση Έστω 1λ ne

Τότε

( ) 151

ημ ημλλ ημ ημ

Γ+ Β+hArr = hArr

minus Γminus Β

21 2 21 2

2 2

ημ συνλλ ημ συν

Γ +Β ΓminusΒ+

hArr = hArrΓminusΒ Γ +Βminus

( )1 72 1 2

λεφ εφ

λΓ minusΒ minus Β+Γ

hArr = sdot+

και επειδή μεταξύ των γωνιών Α Β Γ ισχύει

2 2 2πΒ +Γ Α

= minus

η σχέση (7) ισοδυναμεί με την

( )1 82 1 2

λεφ σφ

λΓ minusΒ minus Α

= sdot+

Η σχέση (8) είναι μια τριγωνομετρική εξίσωση η οποία έχει ως άγνωστο τη γωνία

2ΓminusΒ

καθότι το Rλisin και η γωνία Α είναι γνωστές ποσότητες bull Έστω 1λ gt


Έστω λοιπόν ότι

( )1 91 2

λ σφ εφθλminus Α

sdot =+

όπου η γωνία 02πθlt lt

Σύμφωνα με την (9) η εξίσωση (8) γίνεται

( )102

εφ εφθΓ minusΒ=

κι επειδή 2 2

πΓ minusΒlt η (1) έχει την ακόλουθη λύση

( )2 112

θ θΓ minusΒ= hArr ΓminusΒ =

όμως

( )12πΓ +Β = minusΑ Από τις (11) και (12) προκύπτει

( )2 2 2 2π πθ θΑ Α

Γ = minus + Β = minus minus Γ gt Β

bull Έστω 0 1λlt lt Στην περίπτωση αυτή θα είναι

( )1 1 01 2 1 2 2

λ λ πσφ σφ εφω εφ ω ωλ λminus Α minus Α

sdot = minus = minus = minus lt lt+ +

Άρα η εξίσωση (8) γίνεται

( ) ( )132

εφ εφ ωΓ minusΒ= minus

η οποία όπως και στην προηγούμενη περίπτωση έχει λύση

22

ω ωΓ minusΒ= minus hArr Γ minusΒ = minus

Η τελευταία σχέση μαζί με την (12) δίνει τις τιμές των γωνιών Γ Β

( )2 2 2 2π πω ωΑ Α

Γ = minus minus Β = minus + Γ lt Β


486 Δίνεται σταθερός κύκλος ( )C O R και ένας μεταβλητός κυκλικός τομέας ( ) OAB A B Cisin Να βρεθεί πότε το τρίγωνο ΟΑΒ θα έχει το μέγιστο δυνατόν εμβαδόν

(Problegraveme du mois de Novembre - maths tice)









Ο τροχός του Αριστοτέλη Κατά την περίεργη αυτή κίνηση των δύο κανονικών οκταγώνων τα οποία είναι στερεωμένα το ένα με το άλλο ώστε να έχουν κοινό κέντρο και παράλληλες τις πλευρές των ας παρακολουθήσουμε την κίνηση του κέντρου Κ αυτών

Είναι εύκολο να συμπεράνει κανείς ότι μόλις αρχίσει να πραγματοποιείται η πρώτη περιστροφή κατά την αρχή της laquoκύλισηςraquo αυτής και η κορυφή Α του εξωτερικού οκταγώνου οδηγηθεί στη θέση οΑ τότε το κέντρο Κ οδηγείται από τη θέση 1Κ στη θέση Κ διαγράφοντας το τόξο

1Sω ω=Κ Κ =

Στη συνέχεια αφού ολοκληρωθεί η πρώτη αυτή περιστροφή των 45ο τότε το κέντρο αυτό θα φθάσει στη θέση 2Κ διαγράφοντας μια τροχιά η οποία είναι ένα τόξο με μέτρο ίσο με 45ο Έτσι αν υποθέσουμε ότι η ακτίνα του μεγάλου οκταγώνου είναι 1R τότε το μήκος του τόξου αυτού θα είναι

( )1 1 14

S R π=

No342


Ύστερα απrsquo αυτά και εφόσον το οκτάγωνο έχει πραγματοποιήσει εφτά περιστροφές το συνολικό καμπυλόγραμμο διάστημα που διήνυσε το κέντρο Κ θα είναι

( )8 1 17 7 24 4

S R Rπ π= sdot sdot =

Η διαδρομή αυτή εύκολα διαπιστώνεται ότι είναι μικρότερη από την περίμετρο του μεγάλου οκταγώνου


471 Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α1Β1Γ1 έχουν 1Β =Β 1β β= 1γ γ= ( )13 1α α=

τότε να δειχθεί η σχέση

( )22 1 3 2β γ ημ= + Β (ΣΜΑ 1961)

Λύση Τα δύο αυτά τρίγωνα εμφανίζονται στο σχήμα 1 και πληρούν τις δοσμένες σχέσεις (1)

Εφαρμόζουμε και στα δύο αυτά τρίγωνα το νόμο των συνημιτόνων Άρα

( )2 2 2 2 3β α γ αγσυν= + minus Β

( )2 2 21 1 1 1 1 12 4β α γ α γ συν= + minus Β

Η σχέση (4) λόγω των δοσμένων σχέσεων (1) γίνεται

( )2 2 29 6 5β α γ αγσυν= + minus Β Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (3) με τον αριθμό 3 προκύπτει

( )2 2 23 3 3 6 6β α γ αγσυν= + minus Β Αφαιρώντας τις (5) και (6) κατά μέλη τότε προκύπτει

2 2 22 6 2β α γ= + δηλαδή

( )2 2

2 73

γ βα minus=


Από την (3) επίσης προκύπτει

( )2 2 2

82

α γ βσυν

αγ+ minus

Β =

Η σχέση (8) σύμφωνα με την (7) γίνεται

( )2 2

2 2 2 2232 3

γ β γ β γ βσυν

αγ αγ

minus + minus minusΒ = = rArr

( ) ( )2 22 2 2 22 2

2 2

2 43 9γ β γ β

συν συναγ α γ

⎛ ⎞minus minusΒ = rArr Β =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

και λόγω της (7) η τελευταία σχέση γίνεται

( )( )

2 22

2

49

3γ β

συνγ

minusΒ =

κι ακόμα λόγω της (9) θα είναι

( )2 2 2 22 2

2 2

4 41 13 3γ β β γ

ημ συνγ γ

minus minusΒ = minus Β = minus = rArr

2 22 2 2 2 2

2

4 4 33β γ

ημ β γ γ ημγminus

Β = rArr minus = ΒrArr

2 2 2 24 3β γ γ ημ= + Β και τελικά

22 1 3β γ ημ= + Β δηλαδή η ζητούμενη


( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1ΑΓsdotΒΔ ΑΜ minusΜΓ = ΑΒ minusΒΓ ΜΔ + ΑΔ minusΔΓ ΜΒ

(Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ 1955-56 Σελ 129) Λύση Εφαρμόζουμε το θεώρημα της επέκτασης του Πυθαγορείου Θεωρήματος στα


τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΔ (Σχ 2) Άρα

( )( )

2 2 2

2 2 2

2 22 3

xx

α λ

δ λ

= +ΒΜ minus ΒΜ sdot

= + ΔΜ + ΔΜ sdot

μετά την απαλοιφή του λ μεταξύ αυτών προκύπτει μετά από πράξεις

( )2 2 2 4xα δsdotΔΜ + sdotΒΜ = sdotΒΔ +ΒΜ sdotΔΜ sdotΒΔ Το ίδιο θεώρημα εφαρμόζουμε και στα τρίγωνα ΒΜΓ και ΔΜΓ Άρα

( )( )

2 2 2

2 2 2

2 52 6

yy

β μ

γ μ

= +ΒΜ + ΒΜ sdot

= + ΔΜ minus ΔΜ sdot

όμοια και σrsquo αυτή την περίπτωση απαλοίφοντας το μ προκύπτει μετά από πράξεις

( )2 2 2 7yβ γsdotΔΜ + sdotΒΜ = sdotΒΔ +ΒΜ sdotΔΜ sdotΒΔ Αφαιρώντας τις (4) και (7) κατά μέλη προκύπτει

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2x yα β δ γminus ΔΜ + minus ΒΜ = minus ΒΔ Η σχέση αυτή ακόμα γράφεται

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 8x yΑΒ minusΒΓ ΔΜ + ΑΔ minusΓΔ ΒΜ = minus ΒΔΌμως

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2 9

x y

x y

x y

minus ΒΔ = ΑΜ minusΜΓ ΒΔrArr

minus ΒΔ = ΑΜ +ΜΓ ΑΜ minusΜΓ ΒΔrArr

minus ΒΔ = ΑΜ minusΜΓ ΑΓ sdotΒΔ

Άρα η (8) σύμφωνα με την (9) γίνεται

( ) ( ) ( )2 2 2 2ΑΒ minusΒΓ ΔΜ + ΑΔ minusΓΔ ΒΜ = ΑΜ minusΜΓ ΑΓsdotΒΔδηλαδή η ζητούμενη


487 Να εξεταστεί αν υπάρχει μια συνάρτηση f R Rrarr γνησίως φθίνουσα και τέτοια ώστε

( )( ) 1f f x x x R= + forall isin (Centrale des maths probegraveme du mois drsquo octobre 2012)









Ο τροχός του Αριστοτέλη Είδαμε ότι κατά τη διαδρομή του σύνθετου πολυγωνικού αυτού τροχού από την αρχική θέση ΑΒ μέχρι τη τελική ΘΩ το κέντρο Κ έχει διαγράψει μια τροχιά που αποτελείται από επτά ισομήκη τόξα 45ο και ακτίνας ίσης με 1R ίσης με την ακτίνα

του μεγάλου κανονικού πολυγώνου Όπως αναφέρθηκε (ΣΜ 342) το μήκος αυτό εύκολα υπολογίζεται και είναι ίσο με

( ) ( ) ( ) ( )8 1 2 2 3 7 8 1 2 1 74

S K K K K K K K K Rπ= + + + =

δηλαδή

( )8 17 14

S Rπ=

Στο σημείο αυτό μπορεί να επαναληφθεί το ίδιο πείραμα με έναν άλλο τροχό με μεγαλύτερο αριθμό πλευρών Είναι εύκολο να αντιληφθεί κανείς πως αν αντί για έναν τροχό κανονικού οκταγώνου χρησιμοποιήσει έναν τροχό κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές και της ίδιας ακτίνας 1R με πριν τότε η διαδρομή του κέντρου Κ θα αποτελείται από (ν-1) τόξα ακτίνας ίσης με 1R και γωνίας ίσης με

2ν

πων

=

Άρα το συνολικό μήκος της διαδρομής του κέντρου Κ θα είναι

No343

Σχήμα 1


( ) ( )121 345 2S Rνπν νν

= minus =

Η σχέση (2) δίνει το μήκος της διαδρομής που πραγματοποιεί το κέντρο των πολυγωνικών αυτών τροχών για κάθε κανονικό πολύγωνο που κυλίεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο


473 Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές του με τα σημεία επαφής των πλευρών με τον εγγεγραμμένο κύκλο διέρχονται από το ίδιο σημείο(Σημείο Gergonne) Το ίδιο να δειχθεί και για τις ευθείες εκείνες του τριγώνου αυτού που συνδέουν τις κορυφές με τα σημεία επαφής των πλευρών με τους περεγγεγραμμένους κύκλους Λύση 1η περίπτωση

Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ με τον εγγεγραμμένο κύκλο του κέντρου Ι (Σχ1)

Έστω ακόμα ότι Δ Ε Ζ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου αυτού κύκλου με τις πλευρές ΒΓ ΓΑ ΑΒ του τριγώνου αντίστοιχα

Τότε είναι γνωστό ότι

2ό

τ βα β γ

τ γ που ττ α

ΒΔ = ΒΖ = minus ⎫+ +⎪ΓΔ = ΓΕ = minus =⎬

⎪ΑΕ = ΑΖ = minus ⎭

άρα

τ βminusΒΔ ΓΕ ΑΖsdot sdot =

ΔΓ ΕΑ ΖΒ τ γminusτ γminus

sdotτ αminus

τ αminussdotτ βminus

1=


δηλαδή

1ΒΔ ΓΕ ΑΖsdot sdot =

ΔΓ ΕΑ ΖΒ

Η σχέση αυτή σύμφωνα με το θεώρημα του Ceva δείχνει ότι οι ευθείες ΑΔ ΒΕ ΓΖ διέρχονται από το ίδιο σημείο Ρ το οποίο ονομάζεται σημείο Gergonne

2η περίπτωση Έστω πάλι ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του στη γωνία Α κέντρου αΙ

Όπως φαίνεται κι από το σχήμα 2 επειδή είναι ΑΕ = ΑΖ

και

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

222

22

1

α β γα β γ

τ

ΑΕ+ΑΖ = ΑΓ +ΓΕ + ΑΒ+ΒΖ rArr

ΑΕ = ΑΓ +ΓΔ + ΑΒ +ΒΔ rArr

ΑΕ = ΑΓ +ΑΒ+ ΒΔ + ΔΓ rArrΑΕ = ΑΓ +ΑΒ+ΒΓrArr

+ +ΑΕ = + + rArrΑΕ = = ΑΖrArr

ΑΕ = ΑΖ =


όπου

2α β γτ + +

=

Από την (1) προκύπτει τελικά

( )

2τ γτ β

ΒΖ = ΒΔ = minus ⎫⎬ΓΕ = ΓΔ = minus ⎭

Θεωρώντας πάλι το πρώτο μέλος της σχέσης από το θεώρημα του Ceva και σύμφωνα με τις σχέσεις (2) προκύπτει

τ γminusΒΔ ΓΕ ΑΖsdot sdot =

ΔΓ ΕΑ ΖΒ τ βminusτ βminussdot

ττ

sdotτ γminus

1=

δηλαδή


ΔΓ ΕΑ ΖΒ

Επομένως από το θεώρημα αυτό προκύπτει ότι οι ευθείες που ορίζουν τα τμήματα ΑΔ ΒΕ ΓΖ διέρχονται από το ίδιο σημείο που κι αυτό λέγεται σημείο Geronne Έτσι σε κάθε τρίγωνο μπορούμε να βρούμε τέσσερα τέτοια σημεία του Gergonne από τα οποία το ένα έστω το Ρ βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου και τα άλλα τρία έστω τα α β γΡ Ρ Ρ βρίσκονται στο εξωτερικό του και μάλιστα εντός

των γωνιών Α Β Γ αντίστοιχα του τριγώνου Εφαρμογή Αν ονομάσουμε

α β γΡ Ρ Ρ τα τρία σημεία του Gergonne που αντιστοιχούν αντίστοιχα στους τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους ενός τριγώνου ΑΒΓ τότε εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι οι τρείς ευθείες που ορίζουν τα τμήματα

α β γΑΡ ΒΡ ΓΡ διέρχονται από το ίδιο σημείο



( )( ) 2 1f f x x x R= + forall isin (Centrale des maths probegraveme du mois drsquo octobre 2012)









Εύδοξος ο Κνίδιος Το laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo αποτελεί ένα σπουδαίο laquoεύρημαraquo του Ευδόξου το οποίο κατάφερε όπως αναφέρθηκε (ΣΜ293) να δώσει απάντηση στο αδιέξοδο των Πυθαγορείων με την ανακάλυψη των ασύμμετρων αριθμών Πριν δούμε πώς αυτό το αξίωμα βοήθησε στο ξεπέρασμα των αδιεξόδων στα οποία οδηγούσαν τα παράδοξα του Ζήνωνα αξίζει να το σχολιάσουμε εκτενέστερα Στο βιβλίο laquoΕύδοξος ο Κνίδιος Ένας μεγάλος άγνωστοςraquo του Ε Σπανδάγου εκδόσεις laquoΑίθραraquo σελίδα 29 διαβάζει κανείς για το laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo τα εξής laquoΟ τέταρτος ορισμός θεωρείται ο πρόδρομος του περίφημου Αξιώματος του Αρχιμήδους (το οποίο αρκετοί συγγραφείς το αποκαλούν και ως αξίωμα του Αρχιμήδους ndash Ευδόξου) σύμφωνα με το οποίο ισχύει Αν δοθούν δύο ομοειδή μεγέθη α β με α βlt υπάρχει πάντα ένας θετικός ακέραιος ν ώστε να βgt raquo Αν τα ομοειδή μεγέθη τα θεωρήσουμε πως είναι ευθύγραμμα τμήματα τότε το laquoαξίωμα της συνέχειαςraquo λέει Έστω ότι μας δίνονται τα ευθύγραμμα τμήματα αΑΒ = και βΓΔ = τέτοια ώστε

ΑΒ lt ΓΔ τότε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός ν τέτοιος που όταν πολλαπλασιάζει το μικρό τμήμα δίνει ως αποτέλεσμα ένα τμήμα μεγαλύτερο του μεγάλου τμήματος Δηλαδή για το γινόμενο αυτό ισχύει

νΑΒ gt ΓΔ Η πρόταση αυτή σχηματικά ερμηνεύται Αν έχουμε τα κατωτέρω ευθύγραμμα τμήματα

τότε υπάρχει φυσικός αριθμός ν που αν πολλαπλασιάσει το μικρό δίνει αποτέλεσμα που ξεπερνά το μεγαλύτερο τμήμα

No294


Δηλαδή









( ) ( ) ( ) ( )2 22 2g a f a af a a= + minus


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

4 675




( ) ( )( ) ( )

2

2

8

9

a af a ab

ab bf b b

le le

le le



( ) ( ) ( )2 22 0 10f a af a a+ minus ge







99

999 1έφ ορ ς










99

9999 10 7έφορ ς

Α = sdot + rArr


( )98 97 969 10 10 10 10 1 10 7Α = + + + + + sdot + rArr

9Α =9910 1

10 1minus

sdotminus

10 7⎛ ⎞


( )( ) ( )

( )

( )

99 100 100

50 1002 50

2550 2

25 25

525 5

5 5

10 1 10 7 10 10 7 10 3

10 3 100 3 13 9 3

13 9 3 13 9 3

13 81 3 13 ( 13 3) 3

13 13 3 3 13 3 3

13 243 3 13 ( 13 9) 313 13

πολ

πολ πολ




πολ πολ







= + + 5 59 3 13 9 313 59049 3 13 5904613 13 4542 13

13


πολ


rArrΑ =







sdot = sdot












No295








Λύση Έστω


Έστω ότι











κι επειδή

2 2 2

2 2 2

2 22

2


z a b abi

+ = minus =

= minus +

= minus minus


( )( ) ( ) 2 2

2


hArr





( )( ) ( )( )

0 31 0

1 1 4a b b a



b a= minus τότε


x a x a







1 11 1

x a x ay x y x x R

y a y a= =⎫ ⎫




Έστω ότι




( )1 72 1xyx+

=minus





( )4 4 43 3 37 7 7 2a b c a b c+ + + + + le + +



Σχήμα 1








No296










ΑΓ = ΒΑ = ΓΒ =+ + +



Γ Β = Α Γ = Β Α =+ + +





3 3 3 3 3 3αβ βγ γα αγ βα γβ+ + = + +




















f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +




( ) ( )6

23

( ) ( )

2 8 4 6 2

F x G x

x xx x f xx x


Άρα

( )( ) ( )23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xF x

xrarr + rarr+


23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xx xrarr+ rarr +


0

2limx

xrarr+

=8+ 32minus

x ( )2

2 023 3lim

2 8 2 2 8 2 x

x

x x rarr +minus

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

4+ 22minus

x ( )2 4 2x=

+ +

0 0


= minus =+ + +


( ) 5

0 0

1 16lim lim 06 66

6x x

x

G x xx

ημ

rarr + rarr+

⎛ ⎞⎜ ⎟

bull = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟sdot⎝ ⎠

Άρα

( ) ( )0 0

lim 1 6 lim 1 6f ή

x xf x f x

συνεχ ς=

rarr+ rarr+= rArr =

και τελικά

( ) ( )0

lim 0 1 6x

f x frarr

= =



( )( )

3 3

21 16

161x x x


+=

+ minus












No297




Σχήμα 1







f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +



( ) ( )11 1 26

f ημle +


( ) ( ) 6



( ) ( )( )

( ) ( )60 1 10 0 0 0 0 36 6 6

i


( ) ( )( )

( )211 1 1 0 4





Αν

( ) ( )0 1 0h hsdot lt




( ) 06


και τελικά

( ) ( ) 016






( )1 2 3

1 1 1 18 1+ + geΕ Ε Ε Ε


1 2 2 2A MA B MC=


( ) ( )1 1 2

2 2 2 2

2E MA MAB MC MB MC

sdot=

sdot


( ) ( )2 1 2

1 1 1 1

3E MC MCB MA MB MA

sdot=

sdot

Σχήμα 1


( ) ( )3 1 2

2 1 2 1

4E MB MBA MC MA MC

sdot=

sdot


( ) ( ) ( )31 2

2 2 1 2 2 1

1EE EB MC B MA A MC

sdot sdot =



( )

( )

( ) ( ) ( )( )

33

1 2 3 1 2 3 1 2 3

5

2 66 1 2 3 2 2 1 2 2 11 2 3

1 1 1 1 1 1 33

3 3 6

E E E E E E E E E



= =sdot sdot

Όμως

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 2 2 1 2 2 1

61 2 3 2 2 1 2 2 16



gt + + + + + ge

ge sdot sdot

δηλαδή

( ) ( ) ( )( )

61 2 3 2 2 1 2 2 1


gesdot sdot


1 2 3

1 1 1 18E E E E+ + ge

δηλαδή η (1)


















No298

Σχήμα 1 (Δ)










2 2 2999 999 999 888 888 888 111111111Α = minus minus

( )( ) ( )( )2 2 29 111111111 8 111111111 111111111= minus minus =

( ) ( )2 2 29 8n n n= minus minus =


Άρα

444 444 444Α =








( ) ( )oo o

o

f x f yx y x y

x yminus


( ) ( ) ( )2oo o

o

f x f yx y x y

x yminus





oo ox y x y x y

o

f x f yx y x y

x yrarr rarr rarr


minus

Και επειδή

( )lim 0 lim 0o o

o ox y x yx y x y



( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx yrarr

minus=

minus

και τέλος

( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx yrarr


δηλαδή









( )( )

( )log

3log

x x

x x

x y

x wημ συν

ημ συν

ημ

συν

= ⎫⎪⎬

= ⎪⎭

Άρα

( )( )

( )4y

w

x x x

x x x

ημ ημ συν

συν ημ συν

⎫= sdot ⎪⎬

= sdot ⎪⎭




( )1 74

yw =


( )1 82

y w= =


( )( )

12

2 0

x x x

x x x x x x

ημ ημ συν


= sdot hArr

= sdot hArr minus =


02






11 1

a bb a

+ le+ +












No299












y zx


ΕΒ ΕΒ ΡΒ

άρα

( )3y z y z xx x


ΕΒ ΕΒ


Q x yQ z

ΑΔ ΒΓ Β += = =

ΚΔ ΚΔ Δ

άρα

( )4x y x y zz z


ΚΔ ΚΔ

Σχήμα 1



y z x x y zx z


ΕΒ ΚΔ







( ) ( ) ( )12ΑΚΜΛ ΑΒΓΔΕ = Ε Ι



( )1xεφφα

ΒΕ= =ΑΒ

( ) ( )45 2yοεφ φα

ΔΖminus = =

ΑΔ


( ) ( )2145 3

1 45 1

xy y xy x yx

ο

ο


α


+ sdot +


( ) ( )( )

( ) ( )3



( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 12 2 2 2


Δηλαδή

( ) ( )( ) ( )1 52ΑΕΖΕ = ΑΒ ΕΖ




2 2 2 2΄ x ΄ yα αΖΖ +ΒΕ + ΕΕ + ΔΖ +

ΜΚ = = ΜΛ = =

Άρα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

23 14 2 2


+ +Ε = ΜΚ sdot ΜΛ = = = = Ε







Σχήμα 2














No300







404 Αν







( )( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 3

3 3 33 3α β β γ γ α


hArr + + +

+ + + + =


3 3 3 3 3 3α β β γ γ αhArr + +


+

+ + + + =

άρα


( )( )( )0


hArr + + + =


Άρα

( ) ( )( ) 0 0α β γ α β γ+ + + = rArrΠ =



( )1 1ΑΡ ΑΤ+ =



( )1 1 1 2+ =ΒΕ ΓΔ ΙΗ



ΒΕ = ΓΔ =+ +


αγ αβ αβγ+ + + + +

+ = + = =ΒΕ ΓΔ

2 2 1 12


= = = = =Ε ΙΗ




90 2


άρα

( )3ΑΒ ΙΒ=

ΙΒ ΒΕ



( )4ΑΡ ΑΒ=

ΙΧ ΙΒ


=ΙΧ ΒΕ

και τελικά

( )5ΑΡ ΙΧ=

ΒΙ ΒΕ


( )6ΑΤ ΙΨ=

ΓΙ ΓΔ

Όμως



άρα

1ΑΡ ΑΤ+ =

ΒΙ ΓΙ




4 2 2 2

3 03 5 0


+ minus + =

(wwwmathvncom)










No301

Σχήμα 1





( )1 12

ΒΔ=




( )1 22

ΑΕ = ΑΓ



( )22 2 2 2 2 21 3


30deg

Σχήμα 1

75degx45deg

Ε

Δ

Α

Β Γ


δηλαδή

2 243

ΑΓ = ΓΕ


2 43 2

ΒΓΑΓ = sdot

δηλαδή

2 223

ΑΓ = ΒΓ rArr

( )2 2 43

ΑΓ = ΒΓsdotΒΓ


( ) ( )1 2 31 52 2


ΔΓ



ΒΓ ΑΓ




60οΑΔΓ =







60ο




2

180 40 702

ο οοminus

Μ = ΝΒΜ = =



Και τελικά

30οΒΜΓ =



2

4 8 4 2( )

8 2 (3 4 ) 4 0

x y x

x xy x y x





χΣχήμα 2

1 2

80deg

120deg

60deg

80deg

20deg

ΜΝ

Γ

Α

Β








No302







( )2



( ) 12 2 2


δηλαδή

( )12

β γ αρ + minus=





2β γ αρ + minus




( )( )2a bc

a b a c+ +



( )( )

( )( ) ( )

22

22

a bc (2 )a b a c

a bc 4 1a b a c

ρ

ρ

ge hArr+ +

ge+ +


( )( ) ( ) ( )2

2a bc 4 a 2a b a c

τge minus+ +

όπου

( )32

a b cτ

+ +=


( ) ( )( )



( )( ) ( )2

2a bc b c aa b a c



( )5b ac a

ημσυν

= Β ⎫⎬= Β⎭


( )( )( )( ) ( )2

4

1 1 1 6

ημ συν


hArr Β Β ge




( )( )

( )

6

2 1

1

ημ συν





























No303






( )( ) ( )2a bc 1

a b a c+ +





( )2

caAD BDa bbaAE CE

a c

⎫prime = = ⎪⎪+⎬⎪prime = =⎪+ ⎭




prime prime



primesdot sdot =



( )1 5a a EEb CE CE

primesdot sdot =


( ) ( )22 6bEE CE

aprime = sdot


( )( )

3

2 7bEEa c

prime =+

Κι ακόμα

( )( )

( )

( )

3 32



( )( )

( )

3 3

2 2



+ + ++ +

( )( )

22 2 2 2 2 2

1a c b b a c b c a

a cminus






( )21 2 22

bc xge

Είναι


( ) ( )21 1 12 2 2




( )3bcxb c

=+


( )

( )( ) ( )

2 2

2 22 2

2

12 2 42

4 4 0

bc bcbc bcb c b c

b cbc b c bc b cb c





( )1

caAD BDa bbaAE CE

a c

⎫prime = = ⎪⎪+⎬⎪prime = =⎪+ ⎭




( )( ) ( ) ( ) ( )2

221 2 22

a bcAD AEa b a c

















No304


(1694-1778)






( )( )2a bc

a b a c+ +




( )1 1 1 1BD CE ρ

+ =



= =+ +


( ) 1 1 11 ca baa b a c

ρhArr + = hArr

+ +

1a b a cac ab ρ+ +

hArr + = hArr


+ + +hArr = hArr


+ + +hArr = hArr





hArr = hArr = hArr

1 2 12

a b cbc

τ τρρ ρ




( ) ( ) ( ) ( )2

22 3a bca b a c

ρge+ +



BD CEBD CE

ρ sdot=

+


( )2

4 4 BD CEBD CEBD CE


( )( )

2 22



+







( )( )

2

1 2

2

3

ΑΗ = ΑΗ

ΓΗ = ΓΗ = ΓΗ







2 1 60οφ θ ωΟΑΗ = + =Η ΑΓ + = Α =

Άρα ΑΗ = ΑΟ




( ) ( )( )0

2f x f x xπ















No305















( )10 3x y+ = ή




( ) ( )215 8 80 6y yΔ = minus + +










( )1σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β




ΑΔ ΑΔ



( )3ΔΖ ΔΓ=

ΖΕ ΒΔ








( )5ΒΘ ΑΕ=

ΘΕ ΕΖ


( ) ( )4 β βυ υ α

α



αβ

α


ΓhArr =


sdot Β

βυhArr

α

β

υ ημ γσυν=

Γminus Αβυ

β

α

συν γ συν


Γ sdot Β


( )

( )

α

α


ημ


ημ


Γ





2 32 2


(DH Can Tho 1998)



















No306





( )1σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β





( )3ΔΖ ΓΔ=

ΖΕ ΔΒ


1x yγ α+ =






( )6γλ

αΔΕ =


( ) ( ) 7y xγα

ΔΕ =


( )2 2

2 2 2 2 8α γ αγα γ α γ⎛ ⎞

Ε⎜ ⎟+ +⎝ ⎠


( )10γλ

β=


( )1 11

1

x xx

y yy

λλλλ

Δ ΕΖ

Δ ΕΖ

+ ⎫= ⎪⎪+⎬+ ⎪=⎪+ ⎭


( )( )

( )( )( )

2 2

2 2

3

2 2

12

x

y

α γβ γ α γ

αγβ γ α γ

Ζ

Ζ

⎫= ⎪+ + ⎪

⎬⎪= ⎪+ + ⎭



( )( ) ( )( ) ( )2 2 3

2 2 2 2 13α γ αγ


⎛ ⎞⎜ ⎟Ζ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠


( )

2

22 2

2 2 2 2

2 2

014

αγαγα γλ


ΒΕ

minus+= =

+ +++

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

3

2 2 3 2 2

2 2 2

2 2

140


λα γ αγ

β γ α γ

ΑΖ

minus+ + minus + +

= =minus


( ) ( )3 2 22

2 2 2 2 1γ β γ α γαγλ λ



+ +






















No307








( ) ( )

( ) ( )

22

22

) 3 2 3 2 1

) 8 5 5 1 8 2

i x x

ii x x

+ minus =

minus minus = minus



( )2

2

3 24

2 3x yy x

⎫+ = ⎪⎬

= minus ⎪⎭

Κι ακόμα

( )( )( )

2

2

2 3 54

2 3 6

x y

y x





( )

( )

71 3 8

3

y xxy

=

minus=





1 2213

x x= minus =


1 33

xy minus=


2 21 3 2 3 9 3 5 03



341 21

6x plusmn

=


2 1 21 1 211 3 6 6

S⎧ ⎫minus +⎪ ⎪= minus⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭






( )( )

2

2

2 5 1 11

2 5 1 12

y x

x y

⎫= minus ⎪⎬

= minus ⎪⎭


( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 5

2 5 2 5 0

y x x y

y x x y x y y x x y

minus = minus hArr



( )

( )

( )

1305 22 5 14

5

y xy xxx y y





121 6

5x plusmn

=


5xy +

= minus


2 2

2

5 2 10 42 5 1 5 15 5

25 10 1 0

x xx x

x x


hArr + minus =


341 2

5x minus plusmn

=


1 2 3 41 6 1 6 1 2 1 2

5 5 5 5S x x x x




( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15) 3 5 log 9 19 log 12 0




(wwwmathvncom)















No308








( )1 1 1 1a b ca b c


( )3 2a b cabc




( ) ( )( )

2 2 2

2 2 2

1 2 2 2 3

4


x y z xy yz zx

hArr + + + + + ge + + hArr


( ) ( )

0

22

1 1 1

1 1 1 5

a b ca b c

a b c

a b ca b c

gt

+ + ge + + rArr

⎛ ⎞rArr + + ge + +⎜ ⎟⎝ ⎠


( )21 1 1 1 1 13 6

a b c ab bc ca⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( ) ( )2 1 1 13 7a b cab bc ca

⎛ ⎞+ + ge + +⎜ ⎟⎝ ⎠



( )02 3

a b ca b ca b cabc

+ + gt+ +⎛ ⎞+ + ge rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

3a b cabc

rArr + + ge


( )201 601 1201 9001 12 6 12 90



201 601 1201 90012 6 12 90

S = + + + + =

200 1 600 1 1200 1 9000 12 2 6 6 12 12 90 90

= + + + + + + + + =

1 1 1 1100 100 100 1002 6 12 90

= + + + + + + + + =

1 1 1 1900 2 6 12 90

= + + + + + =

1900 12

= + minus12

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

13

minus13

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

14

minus19

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

110

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 9 9009900 1 90010 10 10


900910

S =


( )( )

100 1 1201 601 1201 2 6 12 1n

n nS

n nsdot + +

= + + + ++


( )2 1100

1nn nS nn n+ minus

= sdot minus+



ctΜΓ=

ΝΔ



( )1

2

1RR

ΓΖ ΑΓ= =

ΔΕ ΑΕ


( )11

2

R ctR

ΜΓ ΓΖ= = =

ΔΝ ΔΕ



2 2 2




















No309











2 2 2 20111 2 1 2 1 2 12 2 2ax bx x






( )2 2 2

2 2 2

20112 2 2 3

ax bx x

x Rx x x


2 2 22 2 2

2 2 2

201120112 2 2

2 2 2 20112 2 2

ax bx xa b

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


και τέλος

( )

2 2 2

2 2 22011

20112 2 2 420112 2 22 2 2

ax bx xa b

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



20112 2 21 1 12011

2 2 2

ax bx x

ax bx x



2 2 2a b⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠




22011






2011x π=


( )( ) ( ) ( ) 1 72011 2011





Άρα



( )( ) ( )2 22 2 2 2 2 20 2 1 2011 2 1 2011 2011a b λ π λ π+ = + + = + ge δηλαδή







δηλαδή 2 2011

kx k Zπ= isin






3 3

1a bc d+ ge

(mathvncom)


















No310





( )22 1 3 1R R R=



( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 21 2 1 2 1 24

d O O O O

R R R R R R

= Γ = minus Γ =

= + minus minus =

άρα 2


1 22d R R=




( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 21 2 1 2

1 2

2

d O O O O

R R x R R

R R

= Γ = minus Γ =

= + + minus minus =


2

1 24

R

R x R x

+ =

= + +

άρα




Σχήμα 1

Α Β



( )( )( )

1 2 1 2

2 3 2 3

1 3 1 2 2 3

2

2 2

2

R R

R R

R R R R

⎫Τ Τ =⎪⎪Τ Τ = ⎬⎪

Τ Τ = + + ⎪⎭

Όμως



( ) ( ) ( )( )( )22





( )2



















No311






+ + ge+








( )( ) ( ) ( )( )22 2 22 2 3 0

ό ά









( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )

2 2

2 2

2 2

2 2

a b ab a b ab

a b ab a b ab


( ) ( )2 23 4a b a b ab⎡ ⎤= + minus + + =⎣ ⎦






0D = Δηλαδή


( )2 2 222 4 2 3

2 2a b ab a ak a+ + +

= = =


( )4k abma bminus

=+













23k a=





1

3lim

1x

f x xxrarr

minus

minus













No312









( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2

1

1

k n k

kn k k n n kn k k

n kn k n k

n k n k n k

n k n k n




= + minus minus ge

δηλαδή









( )2 2010201120102011 20102011gt


την






( )11 1 5k

kk

⎛ ⎞+ gt +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 1 1 1 6k

kk k kk

⎛ ⎞+ gt +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 1k

kk k k kk

⎛ ⎞+ gt + +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 1 1 1k

k kk k k kk+⎛ ⎞+ gt +⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠


11 12n

na nn

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠


11 2718n

en

⎛ ⎞+ rarr =⎜ ⎟⎝ ⎠


1 11 2718 3 1 3n n

e n Nn n


και επειδή


11 1k

kk

⎛ ⎞+ lt +⎜ ⎟⎝ ⎠




7 2 65

a cb d+ +












No313





( ) ( )52 3 2 2 0 12



( ) ( ) ( )2 51 2 1 3 2 02


( )2 52 1 2 3 02




( )

( ) ( )

2

2 2

4 4 3

3 3 3 0


συν συν



( )( ) ( )2 2


( )( ) ( )2


( )( ) ( )2


( ) ( )( ) ( )

2 3 0 20 3

συν συνημ


ΒminusΓ = ⎪⎭




( )2 3 0

32 3 02

συν συν

συν συν



και τελικά

30οΑ = και

75οΒ = Γ =


Εάν ( )1 2 3 4 0 2z z z z+ + + =


( )2011 2011 2011 20111 2 3 4 3z z z zΑ = + + +



2

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 10 0rz z z z z z z z

⎛ ⎞+ + + = hArr + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 2 3 4 1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1z z z z z z z z z z



( ) ( ) ( )2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3

1 2 3


+ + + + + + + + =

=2 2 2 2 2 2




( ) ( ) ( )2 23 1 2 3 1 2 1 2 1 2 0z z z z z z z z z zhArr + + + + + =

( ) ( ) 21 2 3 1 2 3 1 2 0z z z z z z z z⎡ ⎤hArr + + + + =⎣ ⎦

( ) 21 2 3 1 3 2 3 1 2 0z z z z z z z z z⎡ ⎤hArr + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 1 3 0z z z z z z z zhArr + + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦





2011 2011 2011 20111 2 3 4z z z zΑ = + + + =

( ) ( )2011 20112011 20111 2 1 2 0z z z z= + + minus + minus =



1dxIx xημ συν

=+ +int


2 21 1 1 11 1 321c

a b a b c⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ge⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠




















No314










ΔΕ ΑΓ Άρα

( )1βα

ΕΚ ΓΔ= =

ΚΒ ΒΓ


( )2βα

ΕΛ ΕΔ= =

ΛΓ ΑΓ


=ΚΒ ΛΓ




( )( )( )

( )( )( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 2 2

1

1

1

8 1 1 1

α α α α α

β β β β β

γ γ γ γ γ

α α β β γ γ

+ + + + + sdot

sdot + + + + + sdot

sdot + + + + + ge

ge + + + + + +


Είναι

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

5 4 3 2 2

3 2 2 2

22 3 2

1 2 1

1 1 2 1

1 1 2 1 1 0




+ + + + + minus + + =

= + + + + + minus + + =



( ) ( )5 4 3 2 21 2 1 2β β β β β β β β β+ + + + + ge + +










Πράγματι

















No315






( ) ( ) ( ) ( )3 2 2ΑΒ + ΑΓ le ΒΓ



( ) ( ) ( )1 32

ΒΗ = ΑΒ



( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 52ΑΒ



( ) ( ) ( )3 62

ΑΓΓΚ =




( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 82



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 2 2

3 2

3 2





( )( )

2 2 2

2 2 2 2

22 2 2

3 2 3 2 3 4

3 2 3 4

0 3 2 3 0 3 2 3


β γ βγ β γ



+ + le + hArr





2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ Λύση


( )1α

α α α α α α



ΔΙ ΔΙ


Όμως


= Ε rArr = rArr =


4

R

α α α


τ

ΑΔ= = =

ΔΙ

= 2Rα

ρα ρ

( )

2

2

4

4 3

R

R

ατ ρ

α

ρα

ρα

=

=

ΑΔrArr =

ΔΙ


( )

2 24 2 2 1

1 4

Rα

α


β γα


ΔΙΑΔ +

= minusΔΙ


( ) ( )2

2 2 2 52 2


+ + += + ge = rArr le


2 1α

ΑΔle minus




( ) ( ) ( )2

2 3 2002

0

2 3 2002I x x x xπ





ρ

ρ

τ =

Σχ 2









No316

Σχ 1







( )12 2




( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 1 2

α δ αδ συν

α δ αδ συν




( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 1 3

β γ βγ συν

β γ βγ συν









2αδ sdot 2 22

ημ βγΑ= sdot 2

2ημ Γ


0 02 2

ημ ημΑ Γgt gt

θα είναι


Α Γsdot = sdot






( )3 237 312

aa ++ le


( )3 237 4 12

bb ++ le ( )3 237 5

12cc +

+ le


( )33 3 697 7 7 612

a b ca b c + + ++ + + + + le


( )4

4 33 4 74



( ) ( )4 43 38 94 4

b cb c+ +le le



( )4 4 4 9 10

4a b ca b c + + +

+ + le


( ) ( )4 4 4 4 4 49 4 6969 285 11

12 12 48a b ca b c a b c+ + + ++ + + + + +

le =


( )4 4 4

33 3 2857 7 7 1248

a b ca b c + + ++ + + + + le


( )( ) ( )

4 4 44 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4

285 248

285 96 3 13

a b c a b c

a b c a b c a b c

+ + +le + + hArr

+ + + le + + hArr + + ge

Όμως

( )

4 4 4 4 4 4 24

4 4 4 4 4 4 24

4 4 4 4 4 4 24

1 4 1 4

1 4 1 4

1 4 1 4

a b b a b b ab

b c c b c c bc

c a a c a a ca

+


+ + + ge sdot = ⎪⎭

( ) ( )( )1





3 1 1 1 12 2R α β β γ γ α ρ

le + + le+ + +













( ) ( ) ( ) ( )1 14





( )2 11 24

S S=


No317

Σχ 1


( )3 2 11 1 34 16

S S S= =


( )1 2 3 4 1 11 1 4 4 1 4 16 3 3

S S S S S S⎛ ⎞+ + + + = + + + = = ΑΒΓ⎜ ⎟⎝ ⎠



( )( ) ( )

3 3

21 4 1


+=

+ minus

x x xx x


( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 211 2

1 2 2 216



ημ συν

+ minus +hArr =

+ minus +

= hArr

x x x x x xx x x x

x x

( )( ) ( )( )2 21 1 22 2 8


ημ συν+ minus


x x x xx x x

x x


x x x x

( )2 1 ημ συνminus x x( )( )2 21 2


( ) ( )( )( )1 22 8



x xx x x x x

( ) ( )( )1 1 2 02 8


( )

( )( ) ( )

0 2

1 1 2 0 32 8

ημ συν

ημ συν συν

+ =

minus minus =

x xή

x x x





⎝ ⎠x x x x

άρα

( )

( )

2 42

2 52

πκπ

κπκπ π

⎫⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎪ isinΖ⎬⎪⎛ ⎞ ⎪= + minus +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

x x

ή

x x







x x x x x x


( ) ( )2 2

2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

2 2 2 2

5 3 343 5 3 5

minus + minus +


sdot sdot

x x x x

x x x x x x x x 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

5 3 343 5

minus + + minus + +


x x x x

x x x x 2 2

2 2

2 2

2 2

25 5 9 3 343 5

minus + minus +

minus minus


x x x x

x x x x


( )2

2

2

2

5 125 9 34 23 5

3

minus +

minus +

⎛ ⎞hArr sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

x x

x x

θέτουμε 2 25

3

x x

ωminus +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


( )125 9 34 3ωω

sdot + sdot =



και λύσεις

1 29125

ω ω= =


1 2 3 40 2 1 3 1 3x x x x= = = minus = +




1ο) ( )( ) ( )2 2 2

3

1 1 1



2ο) ( )1 1 1 1

2R


le+ +




















No318





( )2 2

1 11 1+ le

+ +a b




( )2

2

0 13

0 1a ab b

⎫le le le ⎪⎬

le le le ⎪⎭


( )2 2 2 2

41 1 1 1 1

+ + ++ le + =

+ + + + + + +a b a b a b a b

b a b a ab a b


2 2

1 11 1 1


+ + + + +hArr + +




( ) ( )2

0 0

1 0a a b ble le







25 33 41 (8 17)Α = + + + + + =n

( ) ( ) ( )1 8 17 2 8 17 33 3 8 17 (8 17)= sdot + + sdot + + sdot + + + + =n

( )1 8 2 8 3 8 8 17 17 17 17φορ ς


⎝ ⎠

n έ

n

( )8 1 2 3 17= + + + + + =n n

( )18 17

2+

= + =n n

n

2 24 4 17 4 21= + + = +n n n n n δηλαδή





2 24 16 21 16 16sdot + sdot =n n k άρα







( ) ( )441 1 441 441 3 147a b= sdot = sdot



( )8 21 4 18 21 4 441+ minus = ⎫

⎬+ + = ⎭

n kI








( ) 1 1 1a b c a b cb c a a b c

⎛ ⎞+ + le + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 4MN MP d
















No319







( )( )

( )2

4 2 2 2

3 01

3 5 0

+ minus + =

+ minus + =

x xy x y a

x x y x y b






( )3 2⎛ ⎞hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

yx yx


( )4 2 2 22 2


22


22


( )2

5 3⎛ ⎞hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

yx yx


( )4yxx

ω+ =



( )2

35

5ω

ω

+ =

+ =

yy






24 44 3 1 4 0⎛ ⎞+ + = hArr + = minus hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

x x x xx x


bull Αν








( )( )

2

2

4 8 4 2 1( )

8 2 (3 4 ) 4 0 2


x y x

x xy x y x





έχουμε




8 16 3


= = isin




bull Αν

( )8 16 3 16 63 8



( )2 24 8 4 2 4 72



2 45 165

x x= hArr = plusmn



y = +


















No320








( )2φ ω=










3 1 315 3 535 5 763 7 999 9 11

143 11 13



( )1 1 1 1

2 2 2ν



1 1 12 1 3

Σ = minus13

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

15

minus15

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

19

minus19

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

111

minus1

11⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

113

minus1

13⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

115

⎡ ⎤⎛ ⎞minus =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

=1 1 12 612 13 2 13 13⎡ ⎤minus = =⎢ ⎥ sdot⎣ ⎦


13Σ =








3 3α β γ= and =














2

0

2 11 (2 )

xe x dx ex

π πημημ

= minus+int















No321





( ) ( )( ) ( )0

2 1π




( ) ( )( )0

2π


( ) ( )0

2π


( ) ( )0 0

2π π


( ) ( )0


0

0 0

2π π


f x x dx

( ) ( )0 0

2π π


( ) ( )( )0

2π


( )( )0

2π



( )0

2π


( ) ( )( ) 1

0 0 2π

π συνπ συν=

minus + = rArrf

f f


( )0 1= minusf


( )2 3 12 2



32 2

σφ σφΑ Γ

= hArr

32 2 2 2


2 32 2 2 2 2 2


22 2 2 2 2 2 2 2


22 2


22 2


22 2 2 2



Β = hArr


2 22 2







λ = minus


( )1 12

G GΗ = minus Η



















No322



1infin + = infin








( ) ( )


sdot gt


( ) ( ) ( )3 2

3 2

log 2 log 30 3

log log+ ge

x xx x











606

xlt le


[ )60 16

S⎛ ⎤



( )( ) ( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15 1

) 3 5 log 9 19 log 12 0 2



x x x x x xi

ii x x x x




2 22 225 925 9 3415 15


x x x x

( )2 22 25 325 9 34 3

3 5


x x x x


( )225 0 4

3

x x

tminus

⎛ ⎞= gt⎜ ⎟⎝ ⎠


125 9 34+ sdot =tt

ή ακόμα





1

12

2

34 16 18 9 034 16 50 50 25

34 16 502 25 1 050 50

tt

t



1925

t =


25 3 3 3






021 3 1 3S = minus +



( ) ( ) ( )2 2 2

2013 2013 2013

2 01


+ + =⎪⎩


2013 2013 20131 1 1Q

a b c= + +

(wwwMathvncom)












No323



νinfin + = infin



( )( ) ( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15 1

) 3 5 log 9 19 log 12 0 2



x x x x x xi

ii x x x x







( )53 5 0 63

x xminus = hArr =


2 50 9 19 12 03




3 3

23

5log 3 log 5 1 33

1log 5 2 5 3 59

minus






( )53 5 0 73

x xminus ne hArr ne


( ) ( )( ) ( )

2

22 2

9 19 48 3 5

81 198 11 9 11 0 8

x x

x x x




( ) ( )( )

( )

( )

12

18 30 32 3 59 19 9 11

19 11 42 3 52 3 5 3 5

xxx xt

xx x


bull Έστω


33

1log 3 327



24

3 5t

x=

minus


( )34log 9

3 5x

x=

minus


( )1 213 103

x x= =


( ) 34 5log 0

3 5 3f x x x

x= minus lt ne

minus


( )( )2

1 12 5 50 0 ln 3 3 33 5

f x xx x





( ) ( )50

3

lim limx x



( ) ( )5

3

lim limxx







1 1 327 3

S =






minusinfin

+infin

minusinfin

+infin

+infin

minusinfin












No324





( )2 2 2



2 22 2 2

΄ ημφ ημω


ΜΒ +ΜΓ ΜΒ ΜΓ= + = + =


= le

Άρα 1

22

΄ ημ

ΜΑge ΑΜΒ +ΜΓ


( )2

2

1 2 4

2΄ ημ


Σχήμα 1



( )2

2

1 3 4

2΄ ημ


και

( )2

2

1 4 4

2΄ ημ



( )2 2 2

1 1 1 1 54

2 2 2ημ ημ ημ

⎛ ⎞⎜ ⎟

ge + +⎜ ⎟Α Β Γ⎜ ⎟⎝ ⎠


( )32 2 2 2 2 2

1 1 1 13 6





le


( )2

2 2 2

1 8 7

2 2 2ημ ημ ημ

leΑ Β Γ


( )

32 2 2 2 2 2

32 2 23 3

1 1 1 13

2 2 2 2 2 2

3 8 3 2 3 2 3 4 12



δηλαδή


( )2 2 2

1 1 1 12 8

2 2 2ημ ημ ημ

+ + geΑ Β Γ
















3 3 3


geΑ+ Β+ Γ


















No325



31 83ε δrarr



( ) ( )32 2 2 2 1+ = +c d a b


( )3 3

1 2+ gea bc d


( )3 3⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b ac bdc d

( ) ( )( )2 2

3 3 2 2⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + + ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

a b ac bdc d

23 3⎛ ⎞sdot + sdot ge⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bac bdc d

( )2

3 3 24 4

⎛ ⎞sdot + sdot = + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bac bd a bc d

( )22 2= +a b άρα

( ) ( ) ( )3 3 22 2 3

⎛ ⎞+ + ge +⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b ac bd a bc d


Όμως

( ) ( )2 42 2 2 2+ = + =a b a b

( )( )( )132 2 2 2+ + =a b a b

( )( )( )


a b c d

( ) ( )2+ = +ac bd ac bd

Δηλαδή

( ) ( )22 2 4+ ge +a b ac bd


( ) ( )3 3

5⎛ ⎞

+ + ge +⎜ ⎟⎝ ⎠

a b ac bd ac bdc d


1+ gea bc d




( )29 1 2

4 1xyxminus

=+

ή ακόμα

( )29 16 1616 3

4 1xyx

sdot minus=

+


( )( )4 1 36 9 7164 1

x xyx

+ minus minus=

+



( ) ( )716 36 9 44 1

y xx

= minus minus+




bull Αν 14 1 12


bull Αν 34 1 72



Για ( )2























i jε

No326

( )

11 12 13 1

21 2 2 2 3 2

1

1 2 3

1 2

ίί

ό

μ

μ

ν ν ν ν μ



Λ rarr⎡ ⎤⎢ ⎥Λ rarr⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ Π⎢ ⎥

minus Λ rarr⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦







( )120 2οΑΟΒ = ΒΟΓ = ΓΟΑ =



( )120 4οο οΑ ΜΓ =

Σχ 1




( )60 6οο οΑ ΜΒ =





( )60 9οο ο οΑ Β Γ =





1

3lim 2

1rarr

minus

minusx

f x xx













( ) ( ) ( )( )

( )5



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

1 3lim 2 lim 2 61 1x x


minus minus= rArr =

minus minus


( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 1

1 1

6

1

3 13lim lim

113 33 3lim 1 lim 1 3

1 1 1

32 2 3 2 lim 2

1

rarr rarr

rarr rarr

rarr

minus +minus= =




x x

x x

x

f x x xf x xxx

f x f xxx xx x x

f x xx






















No327

11 12 13 1

21 2 2 23 2

1 2 3

μ

μ

ν ν ν ν μ


ε ε ε ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Α =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦





5 1 62 (20 1) 2 21 1344+ + = sdot =





( )7 2 6 35

+ +le

+a cb d



( ) ( ) ( )1 1 12 2 2


δηλαδή


( )2

4

x yxy x y R

+ge isin

για


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

54

a d b ca d b c

+ + +ge + +


( ) ( )( ) ( ) ( )2

2 64





( ) ( ) ( )2222 2 2 2

4a b c d


+ + + ge + + + minus

ή ακόμα

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

222

3

33 3 8

4

a b c d

a b c da c b d

+ + + ge

+ + +ge + + + minus


( )

( ) ( ) ( )

2

222 33 3

4

a b c d

a b c da c b d

+ + + ge

+ + +ge + + + minus

και τελικά

( ) ( ) ( ) ( )2 227 3 3 94

a b c d a c b d+ + + ge + + +



( )2 2 27 3 34

x y x y+ ge +





( )1 27 2 6 7 2 6 0 12





7 2 6 7 2 65 5

y x yminus +le le


5 5x a cy b d

+ + +le rArr le

+



2 2 2ax by x ya b+ ++

ge sdot


2 2 2ax by x ya b+ ++

le sdot


3 3 3ax by cz x y za b c+ + + ++ +

ge sdot


3 3 3ax by cz x y za b c+ + + ++ +

le sdot





(ΣΜΑ 1961)














1 2 (2 1) ji j i




No328

Σχήμα 1







( )7 2 6 35

+ +le

+a cb d



( ) ( ) ( )1 1 12 2 2


δηλαδή


( )2

4

x yxy x y R

+ge isin

για


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

54

a d b ca d b c

+ + +ge + +



( )2 2 2




( ) ( )

2

4x y

xy II+

ge



( )7 2 6 65

+ +=

+a cb d




x y= δηλαδή



( )10+=

+a c mb d


( )7 2 6 0 115

+= gtm


( )( )

( )7



( )( ) ( )7 12 210 a c b d bm m

b d b d+ minus +

= rArr = hArr+ +


( )1 133

mb dm

+hArr =


( )

( )( )

( )

2

7 2 611 5 7 2 6513 3 7 2 6 15 7 2 63

56 6 4 612 2 6 6 6

4 68 2 6 4 630 10 6 3 6

10

mb d d dm

d d d

d d

+++ + +


minus

+ ++ += = = =

minusminus minus+

= = +

άρα

( ) ( )3 6 14b c d= = +



( ) ( )5 2 6 15a d= +


















No329





( )11 ημ συν

=+ +int

d xIx x


( )22xu εφ=

τότε

2

2

1 112 2 2 2

2


prime prime⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

δηλαδή

( ) ( )22

1 21 32 1

dudu u dx dxu

= + rArr =+


( )

( )

22

22

22

2 22 411

2

1 12 511

2

xux xx u

xux xx u

εφημ ημ

εφ

εφσυν συν

εφ

= rArr =++

minus minus= rArr =

++


1 ημ συν= =

+ +intd xIx x


22

2

2 2

2211

2 111 1

++= =minus+ +

+ +

intdu

uuu uu u

21+ u 22 1+ + minusu u21+u

( )1 1 1 ln 11 1

=

= = + = + ++ +

int

int int

du

du d u u cu u

Άρα


ln 1 ( )2




( )2 21 1 1 11 1 32 2

1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ge⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

ca b a b c


( ) ( )( )( )( )

( )2 2

3

1 11 32 3

1+ + +

hArr ge+

a b a b ccab

κι επειδή


( ) ( )( )( ) ( )( )

( )2

3 2

1 1 11 32 4

+ + + +hArr ge

sdot

a b a b cab c



( )( )2

21 1 5c cab ab

= rArr =


( ) ( )( )( ) ( ) ( )21 1 1

1 32 6+ + + +

hArr gea b a b c

ab


1 2 0 1 2 0

2 0 1 2 0

a a b b

a b ab c c



άρα

( ) ( )( )22

1 2 1 27

2 1 2

a a b b

a b ab c c

⎫+ ge + ge ⎪⎬

+ ge + ge ⎪⎭


( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )

22

12

1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 32 32 8


+ + + + = =

a b a b c a b ab c
















No330



( ) ( ) ( )1 12 2 1 2 2 1 1m sn t+ ++ = + Όμως

( ) ( )( )

( )( )

( )1

1

2 1 2 121 2 22 2 1 2 1

mm s

s

t tn n

+minus

+

+ +hArr = hArr =

+ +




= hArr = hArr =









δηλαδή


κι ακόμα


( ) ( ) ( )2 22 2α



( )( )

( )2

22 3α βγβγ

β γΑΚ = minus

+



στη μορφή

( ) ( )2 5βγβ γ

ΑΚ =+



ΒΚ = ΚΓ =+ +


( )( ) ( )( )( )

2

2΄ α βγβ γ


δηλαδή

( ) ( )( )

( )2

2 7΄ α βγβ γ

ΑΚ ΚΑ =+


( )( )

( )2 2 8

2΄ α

β γΚΑ =

+



Δηλαδή

( ) ( )2 92

β γ+ΑΑ =


( ) ( ) ( ) ( )2

2 102α⎛ ⎞ΜΑ ΜΑ = minus ΟΜ⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )( ) ( )2 9 2


( ) ( ) ( ) ( )222 2 11




( ) ( ) 22

r = ΜΔ = ΜΑ

δηλαδή
















No331

Σχήμα 1






( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 2002

0

2 3 2002 1π




( ) ( ) ( ) ( )2 3 20021

0

2 3 2002 2π


( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 20022 2 3 2002 3

π

π






02

x tx t

ππ π

= rArr == rArr =

κι ακόμα


( ) ( ) ( )2

2 3 20022 2 3 2002

π

π


( ) ( ) ( )2 2002

0

2 2 2002 2002 π




( ) ( ) ( )2 20022

0

2 2 2002 2002π


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2002

0 1 2 3 2002

1 1 2 1 3 1 2002π



t t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 1

2 2002

0 2002

1 1 1 1 1 2 2002π

παρ γοντες



ά

t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1001

2 2002

0


π


t t t dt

( ) ( )2 2002

0

2 2002π


Δηλαδή

( ) ( )2 20022

0

2 2002π



( ) ( ) ( )2 20022 1

0

2 2002 6π






+ + +




Τότε



( )1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2a ah h h h h hβ γ β γ

α β γ α β γρ

+ += = = rArr + + = =


2 2 2


lt lt lt Ο lt lt


gt gt gt+ + +





⎛ ⎞+ + = + + ge⎜ ⎟+ + + Α+ Β Β + Γ Γ + Α⎝ ⎠

1 1 1 12 2 2 2


⎛ ⎞⎜ ⎟

ge + + =⎜ ⎟Α+Β Β+Γ Γ +Α⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1 ( 2)(0 )1 1 1 1 1 13 2 2 24 4

2 2 2 3

f x xή

R R



=⎛ ⎞⎜ ⎟


Άρα

1 1 1 3 1 34 2


+ + ge sdot =+ + +
















1 1 1 1 11 ( )2 4 8 16 2n n Nisin


No332



1 1 1 1 11 12 4 8 16 2

ά ή ό

n


+ + + + + + + =





( )( ) ( )( )

2 2 2

3

1 1 1



( ) ( )1 1 1 12 ) 2

2Rο


le+ +






( ) ( ) ( )1 1 12 2 2 4R


( ) ( ) ( )2 2 2R


( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 3R





( )( )( ) ( )31 1 13 4


Επομένως

( ) ( )( )( ) ( )3

1 1 1 32 27R


( ) ( ) ( ) ( )( )

3

1 1 1 33Rαβγ


( )( )( ) ( )( )

( )2

1 1 1 3 53Rαβγ

ΗΑ ΗΒ ΗΓ le


( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 33 3 3 333 63 2Rα β γ α β γ α β γ


sdot sdotsdot

δηλαδή

( )( )( )2 2 2

1 1 1 3 36α β γ

ρΗΑ ΗΒ ΗΓ le

sdot


( )( )( )2 2 2

3

1 1 1




( ) ( )1 1 12

2Rαβγ


άρα

( )

( )( )1 1 1 6

2Rαβγ


=+ + + +

αλλά

( )

( )74

R αβγ

ΑΒΓ

=Ε

και

( ) ( )2

8ρα β γ

ΑΒΓΕ=

+ +



=+ +


( ) ( )1 1 1 2 102RRρ ρ


= =+ +


2R

ρ le


( )1 1 1

2R


le+ +




( )3

3 2

1

3 2I x x dxminus













No333

( )1 1 1 1 11 1 12 4 8 16 2

ά ή ό

n


+ + + + + + + =

11 1521 11 1752 41 1 11 18752 4 81 1 1 11 193752 4 8 16

+ =

+ + =

+ + + =

+ + + + =





( ) ( )1 1 1 1a b c a b cb c a a b c

⎛ ⎞+ + le + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠






( )

1 2

1 2

1 2


+

⎫+ ge gt ⎪

⎪⎪


+ ge gt ⎪⎭


+ + + gt + +

Όμως


( )

0


gt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + gt + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + gt + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠




( )1 1 4 1MN MP d




o o

MP AMCC AC

=


( )2oo o


= sdot rArr = sdot



o o

MN BMDD BD

=


( )3oo o


= sdot rArr = sdot


1 1 1 1

1 2

2

o o

o o o o

BM AMMN MP d dBD AC

AC BD AC BDABd d AB

+ = + =sdot sdot

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Άρα


+⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠




+ sdot⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ AB

4d

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

δηλαδή 1 1 4

MN MP d+ =




















No334






Αυτά έχουν








( )2

2

0

2 1 11 (2 )

xe x dx ex

π πημημ

= minus+int


2

0

21 (2 )

xe xdx

x

πημ

ημ=

+int

( ) ( )2 2

2 20 01 (2 ) 2


x x x x x


= = =+ + +int int

( ) ( )

( )2

20

x xe x x e x xdx

x x


ημ συν

+ minus minus= =

+int

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

20

x xe x x e x xdx

x x


ημ συν


+int

2 22

0 0

1x xe edx e

x x x x

ππ π



= = = minus⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎣ ⎦int

Άρα

22

0

21

1 (2 )

xe xdx e

x

π πημημ

= minus+int






Άρα

( ) ( )

( )φ180

90 12 2

ctο

οminus ΑΒ ΑΒ

= = minus =

( ) ( )

( )180

90 22 2

ctο

ο+ ΑΒ ΑΒ

ω = = + =





και ( ) ( )1 2013f f=


(www MATHVNcom)















No335






( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2013 2013 2013

2 0 11 2


+ + =⎪⎩ Ν


( )2013 2013 20131 1 1 3Q

a b c= + +












2013 2013 2013 1a b

a b c=minus

+ + = rArr

( )2013 2013 2013 1b b cminus + + = rArr

2013bminus 2013b+

( )

2013

2013

11 1 6

cc c

+ = rArr

= rArr =


2013 2013 20131 1 1Q

a b c= + + =

( )2013 2013 20131 1 1

b cb= + + =

minus

20131

b= minus 2013

1b

+1

2013 20131 1 1

c

c c=











) rArr







45ox =


















No336













45oNMB =






( )180 1οΑ+ Γ = όμως










( )2 2 2 24 3x y z R+ + =

Σχήμα








2max 8E R=






Σχήμα 2












No337








2 2 1

4448889 4448889ν ν ν

να+ +

= = rArr

2 1 2 1

1

4 10 4 10 4 108 10 8 10 8 109

ν ν νν

ν ν

α + +

minus



( )( )

( )

1 1

1 2

4 10 10 10 1

8 10 10 10 1

9 2

ν ν νν

ν ν

α + minus

minus minus

= sdot sdot + + + +

+ sdot sdot + + + +

+


2 11 11

νν αα α α α

α

+ minus+ + + + = ne

minus



11 10 1 10 14 10 8 10 9

10 1 10 1

ν νν

να+


minus minus

2 2 1 110 10 10 104 8 99 9

ν ν ν



2 2 1 14 10 4 10 8 10 8 10 9 99 9 9

ν ν ν


= + + rArr

14 10 12 2 1 11 4 10 4 10 8 10 8 10 9 9

9

ν

ν ν ννα

++ sdot ++ + +


( )2 2 11 4 10 4 10 19

ν ννα


( )( )21 11 2 10 2 2 10 19

ν ννα


( )

( )

21

21

2 10 19

2 10 1 33

ν

ν

ν

ν

α

α

+

+

sdot += rArr

⎛ ⎞sdot += ⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμως

( )

2112 10 1 200001 66667 4

3 3

όό

ό

ν ροιν ροι

ν

ν ροι

++

+sdot += =


( )21

6666 7 5ό

ό

ν ροι

νν ροι

α+⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠




( )20 7 49α = =

ο δεύτερος

( )21 67α =

ο τρίτος

( )22 667α =






όπου













Δηλαδή



No338











( )1 2 2 1a a b c d= rArr + + + =

( )2 5 8 4 2 5 2a a b c d= rArr + + + =

( )3 23 27 9 3 12 3a a b c d= rArr + + + =


( )1

28 4 2 527 9 3 1264 16 4 23

a b c da b c d

a b c da b c d

+ + + = ⎫⎪+ + + = ⎪ Σ⎬+ + + = ⎪⎪+ + + = ⎭






= = = =





1 2 3 n nS a a a a= + + + + rArr


( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 3 1 2 3 3nS n n n= + + + + minus + + + + + rArr

( ) ( ) ( )1 2 1 12 3 36 2n


( )24 3 116n

n n nS

minus +=



τότε

( )3 3 3


geΑ+ Β+ Γ




( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

2 2 2

312

x y z xyz

x y z x y y z z x

+ + minus =



( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 23 1 42






( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 23 12



( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 213 32


Άρα 3 3 3


geΑ + Β+ Γ


60x y z ο= = rArr Α = Β = Γ =
















No339

Σχήμα 2

Σχήμα 1







( ) ( )( )( )

11 1

1 1

x x x xx x x

x x


συν ημ συν

συν ημ

Α = + + + sdot =

= + + + =

= + +

δηλαδή



προκύπτει

( )21 2 32xxσυν συν+ =

Επίσης

( ) 2 901 1 90 22

xx xο



( )21 2 45 42xx οημ συν ⎛ ⎞+ = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠



⎝ ⎠


( )2




( )

2

2

2

2 452 2

45 452 2 2 2

45 45o

x x

x x x x

x

ο

ο ο

ο

συν συν

συν συν

συν συν

⎡ ⎤⎛ ⎞Α = sdot minus =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus + minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= + minus⎣ ⎦

δηλαδή



( )1 1 1 3 0 1x x xx x x





( ) 22


Αν θέσουμε


( )

1

2 2

1 1 1 3 0

1 1 3 0

1 1 3 0

t t tt t t

t tt t

t t t t

t tt t

t t t t






+ + + + + + = hArr

+ + + + + + = hArr

⎛ ⎞ ++ + + + + = hArr⎜ ⎟ sdot⎝ ⎠



( ) ( )2 23 1 0


ημ συν ημ συν⎛ ⎞+ + + + + = hArr⎜ ⎟⎝ ⎠





2 0 2 0 2 2



2

kt π κ += isinΖ


( )122 2 1 2tημ = plusmn





( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

) 1 2 1 2) 0 0 1 2














No340





( )1 1 1 3 0 1x x xx x x





( ) ( )122 2 1 2 tημ = plusmn


( ) ( )12

1 22 2 1 2 4 4 30 452 2




( )1

30 45 30 452 4 30 30 4 22 2

tο ο ο ο


δηλαδή

( )1

75 152 82 2

t iο ο


Όμοια

( )2

30 45 30 452 4 30 30 4 22 2

tο ο ο ο


δηλαδή

( )2

15 752 82 2

t iiο ο





12 4828427 1tημ = gt


22 0828427tημ = minus



άρα



( )

( )

2 360 180

2 360 180 180

o o

o o o

t kή

t k

α

κ

α

⎫= + +⎪⎪ isinΖ⎬⎪= + minus + ⎪⎭

ή ακόμα

180 902

1802

o o

o

t k

ή

t k

α

κα

⎫= + + ⎪⎪




( )

( )

( )1

2

180 90 0122

180 1232

o o

o

t k k S

ή S

t k k S

α

α

⎫= + + = ⎪⎪⎬⎪⎪= minus =⎭




Δηλαδή

180 90 2 0122

o ot k kα ρ ρ= + + = =


Δηλαδή

180 2 1232








νν














No341

Σχήμα 1

Σχήμα 2






( )1φΑ = και

( ) 0 2β

γ

υλ λ

υ= gt


άρα

( )3β

γ

υγβ υ=


( )4γλ

β=



( )5ημ

λημ

Γ=

Β



ημ ημπ

Β = ΓΒ = ΓrArr

Β = minusΓ



22





Τότε

( ) 151


Γ+ Β+hArr = hArr

minus Γminus Β

21 2 21 2

2 2


Γ +Β ΓminusΒ+


( )1 72 1 2

λεφ εφ


hArr = sdot+


2 2 2πΒ +Γ Α

= minus


( )1 82 1 2

λεφ σφ


= sdot+


2ΓminusΒ




( )1 91 2


sdot =+



( )102




( )2 112


όμως


( )2 2 2 2π πθ θΑ Α



( )1 1 01 2 1 2 2




( ) ( )132



22



( )2 2 2 2π πω ωΑ Α















1Sω ω=Κ Κ =


( )1 1 14

S R π=

No342



( )8 1 17 7 24 4






( )22 1 3 2β γ ημ= + Β (ΣΜΑ 1961)




( )2 2 21 1 1 1 1 12 4β α γ α γ συν= + minus Β




2 2 22 6 2β α γ= + δηλαδή

( )2 2

2 73

γ βα minus=



( )2 2 2

82

α γ βσυν

αγ+ minus

Β =


( )2 2

2 2 2 2232 3


αγ αγ


( ) ( )2 22 2 2 22 2

2 2

2 43 9γ β γ β



⎝ ⎠


( )( )

2 22

2

49

3γ β

συνγ

minusΒ =


( )2 2 2 22 2

2 2

4 41 13 3γ β β γ

ημ συνγ γ


2 22 2 2 2 2

2

4 4 33β γ










( )( )

2 2 2

2 2 2

2 22 3

xx

α λ

δ λ





( )( )

2 2 2

2 2 2

2 52 6

yy

β μ

γ μ

= +ΒΜ + ΒΜ sdot






( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2 9

x y

x y

x y



















( ) ( ) ( ) ( )8 1 2 2 3 7 8 1 2 1 74

S K K K K K K K K Rπ= + + + =

δηλαδή

( )8 17 14

S Rπ=


2ν

πων

=


No343

Σχήμα 1


( ) ( )121 345 2S Rνπν νν

= minus =







2ό

τ βα β γ




άρα



sdotτ αminus


1=


δηλαδή


ΔΓ ΕΑ ΖΒ




και

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

222

22

1

α β γα β γ

τ





ΑΕ = ΑΖ =


όπου

2α β γτ + +

=


( )

2τ γτ β





ττ

sdotτ γminus

1=

δηλαδή


ΔΓ ΕΑ ΖΒ











Δηλαδή









( ) ( ) ( ) ( )2 22 2g a f a af a a= + minus


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

4 675




( ) ( )( ) ( )

2

2

8

9

a af a ab

ab bf b b

le le

le le



( ) ( ) ( )2 22 0 10f a af a a+ minus ge







99

999 1έφ ορ ς










99

9999 10 7έφορ ς

Α = sdot + rArr


( )98 97 969 10 10 10 10 1 10 7Α = + + + + + sdot + rArr

9Α =9910 1

10 1minus

sdotminus

10 7⎛ ⎞


( )( ) ( )

( )

( )

99 100 100

50 1002 50

2550 2

25 25

525 5

5 5

10 1 10 7 10 10 7 10 3

10 3 100 3 13 9 3

13 9 3 13 9 3

13 81 3 13 ( 13 3) 3

13 13 3 3 13 3 3

13 243 3 13 ( 13 9) 313 13

πολ

πολ πολ




πολ πολ







= + + 5 59 3 13 9 313 59049 3 13 5904613 13 4542 13

13


πολ


rArrΑ =







sdot = sdot












No295








Λύση Έστω


Έστω ότι











κι επειδή

2 2 2

2 2 2

2 22

2


z a b abi

+ = minus =

= minus +

= minus minus


( )( ) ( ) 2 2

2


hArr





( )( ) ( )( )

0 31 0

1 1 4a b b a



b a= minus τότε


x a x a







1 11 1

x a x ay x y x x R

y a y a= =⎫ ⎫




Έστω ότι




( )1 72 1xyx+

=minus





( )4 4 43 3 37 7 7 2a b c a b c+ + + + + le + +



Σχήμα 1








No296










ΑΓ = ΒΑ = ΓΒ =+ + +



Γ Β = Α Γ = Β Α =+ + +





3 3 3 3 3 3αβ βγ γα αγ βα γβ+ + = + +




















f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +




( ) ( )6

23

( ) ( )

2 8 4 6 2

F x G x

x xx x f xx x


Άρα

( )( ) ( )23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xF x

xrarr + rarr+


23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xx xrarr+ rarr +


0

2limx

xrarr+

=8+ 32minus

x ( )2

2 023 3lim

2 8 2 2 8 2 x

x

x x rarr +minus

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

4+ 22minus

x ( )2 4 2x=

+ +

0 0


= minus =+ + +


( ) 5

0 0

1 16lim lim 06 66

6x x

x

G x xx

ημ

rarr + rarr+

⎛ ⎞⎜ ⎟

bull = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟sdot⎝ ⎠

Άρα

( ) ( )0 0

lim 1 6 lim 1 6f ή

x xf x f x

συνεχ ς=

rarr+ rarr+= rArr =

και τελικά

( ) ( )0

lim 0 1 6x

f x frarr

= =



( )( )

3 3

21 16

161x x x


+=

+ minus












No297




Σχήμα 1







f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +



( ) ( )11 1 26

f ημle +


( ) ( ) 6



( ) ( )( )

( ) ( )60 1 10 0 0 0 0 36 6 6

i


( ) ( )( )

( )211 1 1 0 4





Αν

( ) ( )0 1 0h hsdot lt




( ) 06


και τελικά

( ) ( ) 016






( )1 2 3

1 1 1 18 1+ + geΕ Ε Ε Ε


1 2 2 2A MA B MC=


( ) ( )1 1 2

2 2 2 2

2E MA MAB MC MB MC

sdot=

sdot


( ) ( )2 1 2

1 1 1 1

3E MC MCB MA MB MA

sdot=

sdot

Σχήμα 1


( ) ( )3 1 2

2 1 2 1

4E MB MBA MC MA MC

sdot=

sdot


( ) ( ) ( )31 2

2 2 1 2 2 1

1EE EB MC B MA A MC

sdot sdot =



( )

( )

( ) ( ) ( )( )

33

1 2 3 1 2 3 1 2 3

5

2 66 1 2 3 2 2 1 2 2 11 2 3

1 1 1 1 1 1 33

3 3 6

E E E E E E E E E



= =sdot sdot

Όμως

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 2 2 1 2 2 1

61 2 3 2 2 1 2 2 16



gt + + + + + ge

ge sdot sdot

δηλαδή

( ) ( ) ( )( )

61 2 3 2 2 1 2 2 1


gesdot sdot


1 2 3

1 1 1 18E E E E+ + ge

δηλαδή η (1)


















No298

Σχήμα 1 (Δ)










2 2 2999 999 999 888 888 888 111111111Α = minus minus

( )( ) ( )( )2 2 29 111111111 8 111111111 111111111= minus minus =

( ) ( )2 2 29 8n n n= minus minus =


Άρα

444 444 444Α =








( ) ( )oo o

o

f x f yx y x y

x yminus


( ) ( ) ( )2oo o

o

f x f yx y x y

x yminus





oo ox y x y x y

o

f x f yx y x y

x yrarr rarr rarr


minus

Και επειδή

( )lim 0 lim 0o o

o ox y x yx y x y



( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx yrarr

minus=

minus

και τέλος

( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx yrarr


δηλαδή









( )( )

( )log

3log

x x

x x

x y

x wημ συν

ημ συν

ημ

συν

= ⎫⎪⎬

= ⎪⎭

Άρα

( )( )

( )4y

w

x x x

x x x

ημ ημ συν

συν ημ συν

⎫= sdot ⎪⎬

= sdot ⎪⎭




( )1 74

yw =


( )1 82

y w= =


( )( )

12

2 0

x x x

x x x x x x

ημ ημ συν


= sdot hArr

= sdot hArr minus =


02






11 1

a bb a

+ le+ +












No299












y zx


ΕΒ ΕΒ ΡΒ

άρα

( )3y z y z xx x


ΕΒ ΕΒ


Q x yQ z

ΑΔ ΒΓ Β += = =

ΚΔ ΚΔ Δ

άρα

( )4x y x y zz z


ΚΔ ΚΔ

Σχήμα 1



y z x x y zx z


ΕΒ ΚΔ







( ) ( ) ( )12ΑΚΜΛ ΑΒΓΔΕ = Ε Ι



( )1xεφφα

ΒΕ= =ΑΒ

( ) ( )45 2yοεφ φα

ΔΖminus = =

ΑΔ


( ) ( )2145 3

1 45 1

xy y xy x yx

ο

ο


α


+ sdot +


( ) ( )( )

( ) ( )3



( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 12 2 2 2


Δηλαδή

( ) ( )( ) ( )1 52ΑΕΖΕ = ΑΒ ΕΖ




2 2 2 2΄ x ΄ yα αΖΖ +ΒΕ + ΕΕ + ΔΖ +

ΜΚ = = ΜΛ = =

Άρα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

23 14 2 2


+ +Ε = ΜΚ sdot ΜΛ = = = = Ε







Σχήμα 2














No300







404 Αν







( )( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 3

3 3 33 3α β β γ γ α


hArr + + +

+ + + + =


3 3 3 3 3 3α β β γ γ αhArr + +


+

+ + + + =

άρα


( )( )( )0


hArr + + + =


Άρα

( ) ( )( ) 0 0α β γ α β γ+ + + = rArrΠ =



( )1 1ΑΡ ΑΤ+ =



( )1 1 1 2+ =ΒΕ ΓΔ ΙΗ



ΒΕ = ΓΔ =+ +


αγ αβ αβγ+ + + + +

+ = + = =ΒΕ ΓΔ

2 2 1 12


= = = = =Ε ΙΗ




90 2


άρα

( )3ΑΒ ΙΒ=

ΙΒ ΒΕ



( )4ΑΡ ΑΒ=

ΙΧ ΙΒ


=ΙΧ ΒΕ

και τελικά

( )5ΑΡ ΙΧ=

ΒΙ ΒΕ


( )6ΑΤ ΙΨ=

ΓΙ ΓΔ

Όμως



άρα

1ΑΡ ΑΤ+ =

ΒΙ ΓΙ




4 2 2 2

3 03 5 0


+ minus + =

(wwwmathvncom)










No301

Σχήμα 1





( )1 12

ΒΔ=




( )1 22

ΑΕ = ΑΓ



( )22 2 2 2 2 21 3


30deg

Σχήμα 1

75degx45deg

Ε

Δ

Α

Β Γ


δηλαδή

2 243

ΑΓ = ΓΕ


2 43 2

ΒΓΑΓ = sdot

δηλαδή

2 223

ΑΓ = ΒΓ rArr

( )2 2 43

ΑΓ = ΒΓsdotΒΓ


( ) ( )1 2 31 52 2


ΔΓ



ΒΓ ΑΓ




60οΑΔΓ =







60ο




2

180 40 702

ο οοminus

Μ = ΝΒΜ = =



Και τελικά

30οΒΜΓ =



2

4 8 4 2( )

8 2 (3 4 ) 4 0

x y x

x xy x y x





χΣχήμα 2

1 2

80deg

120deg

60deg

80deg

20deg

ΜΝ

Γ

Α

Β








No302







( )2



( ) 12 2 2


δηλαδή

( )12

β γ αρ + minus=





2β γ αρ + minus




( )( )2a bc

a b a c+ +



( )( )

( )( ) ( )

22

22

a bc (2 )a b a c

a bc 4 1a b a c

ρ

ρ

ge hArr+ +

ge+ +


( )( ) ( ) ( )2

2a bc 4 a 2a b a c

τge minus+ +

όπου

( )32

a b cτ

+ +=


( ) ( )( )



( )( ) ( )2

2a bc b c aa b a c



( )5b ac a

ημσυν

= Β ⎫⎬= Β⎭


( )( )( )( ) ( )2

4

1 1 1 6

ημ συν


hArr Β Β ge




( )( )

( )

6

2 1

1

ημ συν





























No303






( )( ) ( )2a bc 1

a b a c+ +





( )2

caAD BDa bbaAE CE

a c

⎫prime = = ⎪⎪+⎬⎪prime = =⎪+ ⎭




prime prime



primesdot sdot =



( )1 5a a EEb CE CE

primesdot sdot =


( ) ( )22 6bEE CE

aprime = sdot


( )( )

3

2 7bEEa c

prime =+

Κι ακόμα

( )( )

( )

( )

3 32



( )( )

( )

3 3

2 2



+ + ++ +

( )( )

22 2 2 2 2 2

1a c b b a c b c a

a cminus






( )21 2 22

bc xge

Είναι


( ) ( )21 1 12 2 2




( )3bcxb c

=+


( )

( )( ) ( )

2 2

2 22 2

2

12 2 42

4 4 0

bc bcbc bcb c b c

b cbc b c bc b cb c





( )1

caAD BDa bbaAE CE

a c

⎫prime = = ⎪⎪+⎬⎪prime = =⎪+ ⎭




( )( ) ( ) ( ) ( )2

221 2 22

a bcAD AEa b a c

















No304


(1694-1778)






( )( )2a bc

a b a c+ +




( )1 1 1 1BD CE ρ

+ =



= =+ +


( ) 1 1 11 ca baa b a c

ρhArr + = hArr

+ +

1a b a cac ab ρ+ +

hArr + = hArr


+ + +hArr = hArr


+ + +hArr = hArr





hArr = hArr = hArr

1 2 12

a b cbc

τ τρρ ρ




( ) ( ) ( ) ( )2

22 3a bca b a c

ρge+ +



BD CEBD CE

ρ sdot=

+


( )2

4 4 BD CEBD CEBD CE


( )( )

2 22



+







( )( )

2

1 2

2

3

ΑΗ = ΑΗ

ΓΗ = ΓΗ = ΓΗ







2 1 60οφ θ ωΟΑΗ = + =Η ΑΓ + = Α =

Άρα ΑΗ = ΑΟ




( ) ( )( )0

2f x f x xπ















No305















( )10 3x y+ = ή




( ) ( )215 8 80 6y yΔ = minus + +










( )1σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β




ΑΔ ΑΔ



( )3ΔΖ ΔΓ=

ΖΕ ΒΔ








( )5ΒΘ ΑΕ=

ΘΕ ΕΖ


( ) ( )4 β βυ υ α

α



αβ

α


ΓhArr =


sdot Β

βυhArr

α

β

υ ημ γσυν=

Γminus Αβυ

β

α

συν γ συν


Γ sdot Β


( )

( )

α

α


ημ


ημ


Γ





2 32 2


(DH Can Tho 1998)



















No306





( )1σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β





( )3ΔΖ ΓΔ=

ΖΕ ΔΒ


1x yγ α+ =






( )6γλ

αΔΕ =


( ) ( ) 7y xγα

ΔΕ =


( )2 2

2 2 2 2 8α γ αγα γ α γ⎛ ⎞

Ε⎜ ⎟+ +⎝ ⎠


( )10γλ

β=


( )1 11

1

x xx

y yy

λλλλ

Δ ΕΖ

Δ ΕΖ

+ ⎫= ⎪⎪+⎬+ ⎪=⎪+ ⎭


( )( )

( )( )( )

2 2

2 2

3

2 2

12

x

y

α γβ γ α γ

αγβ γ α γ

Ζ

Ζ

⎫= ⎪+ + ⎪

⎬⎪= ⎪+ + ⎭



( )( ) ( )( ) ( )2 2 3

2 2 2 2 13α γ αγ


⎛ ⎞⎜ ⎟Ζ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠


( )

2

22 2

2 2 2 2

2 2

014

αγαγα γλ


ΒΕ

minus+= =

+ +++

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

3

2 2 3 2 2

2 2 2

2 2

140


λα γ αγ

β γ α γ

ΑΖ

minus+ + minus + +

= =minus


( ) ( )3 2 22

2 2 2 2 1γ β γ α γαγλ λ



+ +






















No307








( ) ( )

( ) ( )

22

22

) 3 2 3 2 1

) 8 5 5 1 8 2

i x x

ii x x

+ minus =

minus minus = minus



( )2

2

3 24

2 3x yy x

⎫+ = ⎪⎬

= minus ⎪⎭

Κι ακόμα

( )( )( )

2

2

2 3 54

2 3 6

x y

y x





( )

( )

71 3 8

3

y xxy

=

minus=





1 2213

x x= minus =


1 33

xy minus=


2 21 3 2 3 9 3 5 03



341 21

6x plusmn

=


2 1 21 1 211 3 6 6

S⎧ ⎫minus +⎪ ⎪= minus⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭






( )( )

2

2

2 5 1 11

2 5 1 12

y x

x y

⎫= minus ⎪⎬

= minus ⎪⎭


( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 5

2 5 2 5 0

y x x y

y x x y x y y x x y

minus = minus hArr



( )

( )

( )

1305 22 5 14

5

y xy xxx y y





121 6

5x plusmn

=


5xy +

= minus


2 2

2

5 2 10 42 5 1 5 15 5

25 10 1 0

x xx x

x x


hArr + minus =


341 2

5x minus plusmn

=


1 2 3 41 6 1 6 1 2 1 2

5 5 5 5S x x x x




( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15) 3 5 log 9 19 log 12 0




(wwwmathvncom)















No308








( )1 1 1 1a b ca b c


( )3 2a b cabc




( ) ( )( )

2 2 2

2 2 2

1 2 2 2 3

4


x y z xy yz zx

hArr + + + + + ge + + hArr


( ) ( )

0

22

1 1 1

1 1 1 5

a b ca b c

a b c

a b ca b c

gt

+ + ge + + rArr

⎛ ⎞rArr + + ge + +⎜ ⎟⎝ ⎠


( )21 1 1 1 1 13 6

a b c ab bc ca⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( ) ( )2 1 1 13 7a b cab bc ca

⎛ ⎞+ + ge + +⎜ ⎟⎝ ⎠



( )02 3

a b ca b ca b cabc

+ + gt+ +⎛ ⎞+ + ge rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

3a b cabc

rArr + + ge


( )201 601 1201 9001 12 6 12 90



201 601 1201 90012 6 12 90

S = + + + + =

200 1 600 1 1200 1 9000 12 2 6 6 12 12 90 90

= + + + + + + + + =

1 1 1 1100 100 100 1002 6 12 90

= + + + + + + + + =

1 1 1 1900 2 6 12 90

= + + + + + =

1900 12

= + minus12

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

13

minus13

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

14

minus19

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

110

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 9 9009900 1 90010 10 10


900910

S =


( )( )

100 1 1201 601 1201 2 6 12 1n

n nS

n nsdot + +

= + + + ++


( )2 1100

1nn nS nn n+ minus

= sdot minus+



ctΜΓ=

ΝΔ



( )1

2

1RR

ΓΖ ΑΓ= =

ΔΕ ΑΕ


( )11

2

R ctR

ΜΓ ΓΖ= = =

ΔΝ ΔΕ



2 2 2




















No309











2 2 2 20111 2 1 2 1 2 12 2 2ax bx x






( )2 2 2

2 2 2

20112 2 2 3

ax bx x

x Rx x x


2 2 22 2 2

2 2 2

201120112 2 2

2 2 2 20112 2 2

ax bx xa b

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


και τέλος

( )

2 2 2

2 2 22011

20112 2 2 420112 2 22 2 2

ax bx xa b

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



20112 2 21 1 12011

2 2 2

ax bx x

ax bx x



2 2 2a b⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠




22011






2011x π=


( )( ) ( ) ( ) 1 72011 2011





Άρα



( )( ) ( )2 22 2 2 2 2 20 2 1 2011 2 1 2011 2011a b λ π λ π+ = + + = + ge δηλαδή







δηλαδή 2 2011

kx k Zπ= isin






3 3

1a bc d+ ge

(mathvncom)


















No310





( )22 1 3 1R R R=



( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 21 2 1 2 1 24

d O O O O

R R R R R R

= Γ = minus Γ =

= + minus minus =

άρα 2


1 22d R R=




( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 21 2 1 2

1 2

2

d O O O O

R R x R R

R R

= Γ = minus Γ =

= + + minus minus =


2

1 24

R

R x R x

+ =

= + +

άρα




Σχήμα 1

Α Β



( )( )( )

1 2 1 2

2 3 2 3

1 3 1 2 2 3

2

2 2

2

R R

R R

R R R R

⎫Τ Τ =⎪⎪Τ Τ = ⎬⎪

Τ Τ = + + ⎪⎭

Όμως



( ) ( ) ( )( )( )22





( )2



















No311






+ + ge+








( )( ) ( ) ( )( )22 2 22 2 3 0

ό ά









( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )

2 2

2 2

2 2

2 2

a b ab a b ab

a b ab a b ab


( ) ( )2 23 4a b a b ab⎡ ⎤= + minus + + =⎣ ⎦






0D = Δηλαδή


( )2 2 222 4 2 3

2 2a b ab a ak a+ + +

= = =


( )4k abma bminus

=+













23k a=





1

3lim

1x

f x xxrarr

minus

minus













No312









( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2

1

1

k n k

kn k k n n kn k k

n kn k n k

n k n k n k

n k n k n




= + minus minus ge

δηλαδή









( )2 2010201120102011 20102011gt


την






( )11 1 5k

kk

⎛ ⎞+ gt +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 1 1 1 6k

kk k kk

⎛ ⎞+ gt +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 1k

kk k k kk

⎛ ⎞+ gt + +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 1 1 1k

k kk k k kk+⎛ ⎞+ gt +⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠


11 12n

na nn

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠


11 2718n

en

⎛ ⎞+ rarr =⎜ ⎟⎝ ⎠


1 11 2718 3 1 3n n

e n Nn n


και επειδή


11 1k

kk

⎛ ⎞+ lt +⎜ ⎟⎝ ⎠




7 2 65

a cb d+ +












No313





( ) ( )52 3 2 2 0 12



( ) ( ) ( )2 51 2 1 3 2 02


( )2 52 1 2 3 02




( )

( ) ( )

2

2 2

4 4 3

3 3 3 0


συν συν



( )( ) ( )2 2


( )( ) ( )2


( )( ) ( )2


( ) ( )( ) ( )

2 3 0 20 3

συν συνημ


ΒminusΓ = ⎪⎭




( )2 3 0

32 3 02

συν συν

συν συν



και τελικά

30οΑ = και

75οΒ = Γ =


Εάν ( )1 2 3 4 0 2z z z z+ + + =


( )2011 2011 2011 20111 2 3 4 3z z z zΑ = + + +



2

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 10 0rz z z z z z z z

⎛ ⎞+ + + = hArr + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 2 3 4 1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1z z z z z z z z z z



( ) ( ) ( )2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3

1 2 3


+ + + + + + + + =

=2 2 2 2 2 2




( ) ( ) ( )2 23 1 2 3 1 2 1 2 1 2 0z z z z z z z z z zhArr + + + + + =

( ) ( ) 21 2 3 1 2 3 1 2 0z z z z z z z z⎡ ⎤hArr + + + + =⎣ ⎦

( ) 21 2 3 1 3 2 3 1 2 0z z z z z z z z z⎡ ⎤hArr + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 1 3 0z z z z z z z zhArr + + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦





2011 2011 2011 20111 2 3 4z z z zΑ = + + + =

( ) ( )2011 20112011 20111 2 1 2 0z z z z= + + minus + minus =



1dxIx xημ συν

=+ +int


2 21 1 1 11 1 321c

a b a b c⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ge⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠




















No314










ΔΕ ΑΓ Άρα

( )1βα

ΕΚ ΓΔ= =

ΚΒ ΒΓ


( )2βα

ΕΛ ΕΔ= =

ΛΓ ΑΓ


=ΚΒ ΛΓ




( )( )( )

( )( )( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 2 2

1

1

1

8 1 1 1

α α α α α

β β β β β

γ γ γ γ γ

α α β β γ γ

+ + + + + sdot

sdot + + + + + sdot

sdot + + + + + ge

ge + + + + + +


Είναι

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

5 4 3 2 2

3 2 2 2

22 3 2

1 2 1

1 1 2 1

1 1 2 1 1 0




+ + + + + minus + + =

= + + + + + minus + + =



( ) ( )5 4 3 2 21 2 1 2β β β β β β β β β+ + + + + ge + +










Πράγματι

















No315






( ) ( ) ( ) ( )3 2 2ΑΒ + ΑΓ le ΒΓ



( ) ( ) ( )1 32

ΒΗ = ΑΒ



( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 52ΑΒ



( ) ( ) ( )3 62

ΑΓΓΚ =




( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 82



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 2 2

3 2

3 2





( )( )

2 2 2

2 2 2 2

22 2 2

3 2 3 2 3 4

3 2 3 4

0 3 2 3 0 3 2 3


β γ βγ β γ



+ + le + hArr





2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ Λύση


( )1α

α α α α α α



ΔΙ ΔΙ


Όμως


= Ε rArr = rArr =


4

R

α α α


τ

ΑΔ= = =

ΔΙ

= 2Rα

ρα ρ

( )

2

2

4

4 3

R

R

ατ ρ

α

ρα

ρα

=

=

ΑΔrArr =

ΔΙ


( )

2 24 2 2 1

1 4

Rα

α


β γα


ΔΙΑΔ +

= minusΔΙ


( ) ( )2

2 2 2 52 2


+ + += + ge = rArr le


2 1α

ΑΔle minus




( ) ( ) ( )2

2 3 2002

0

2 3 2002I x x x xπ





ρ

ρ

τ =

Σχ 2









No316

Σχ 1







( )12 2




( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 1 2

α δ αδ συν

α δ αδ συν




( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 1 3

β γ βγ συν

β γ βγ συν









2αδ sdot 2 22

ημ βγΑ= sdot 2

2ημ Γ


0 02 2

ημ ημΑ Γgt gt

θα είναι


Α Γsdot = sdot






( )3 237 312

aa ++ le


( )3 237 4 12

bb ++ le ( )3 237 5

12cc +

+ le


( )33 3 697 7 7 612

a b ca b c + + ++ + + + + le


( )4

4 33 4 74



( ) ( )4 43 38 94 4

b cb c+ +le le



( )4 4 4 9 10

4a b ca b c + + +

+ + le


( ) ( )4 4 4 4 4 49 4 6969 285 11

12 12 48a b ca b c a b c+ + + ++ + + + + +

le =


( )4 4 4

33 3 2857 7 7 1248

a b ca b c + + ++ + + + + le


( )( ) ( )

4 4 44 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4

285 248

285 96 3 13

a b c a b c

a b c a b c a b c

+ + +le + + hArr

+ + + le + + hArr + + ge

Όμως

( )

4 4 4 4 4 4 24

4 4 4 4 4 4 24

4 4 4 4 4 4 24

1 4 1 4

1 4 1 4

1 4 1 4

a b b a b b ab

b c c b c c bc

c a a c a a ca

+


+ + + ge sdot = ⎪⎭

( ) ( )( )1





3 1 1 1 12 2R α β β γ γ α ρ

le + + le+ + +













( ) ( ) ( ) ( )1 14





( )2 11 24

S S=


No317

Σχ 1


( )3 2 11 1 34 16

S S S= =


( )1 2 3 4 1 11 1 4 4 1 4 16 3 3

S S S S S S⎛ ⎞+ + + + = + + + = = ΑΒΓ⎜ ⎟⎝ ⎠



( )( ) ( )

3 3

21 4 1


+=

+ minus

x x xx x


( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 211 2

1 2 2 216



ημ συν

+ minus +hArr =

+ minus +

= hArr

x x x x x xx x x x

x x

( )( ) ( )( )2 21 1 22 2 8


ημ συν+ minus


x x x xx x x

x x


x x x x

( )2 1 ημ συνminus x x( )( )2 21 2


( ) ( )( )( )1 22 8



x xx x x x x

( ) ( )( )1 1 2 02 8


( )

( )( ) ( )

0 2

1 1 2 0 32 8

ημ συν

ημ συν συν

+ =

minus minus =

x xή

x x x





⎝ ⎠x x x x

άρα

( )

( )

2 42

2 52

πκπ

κπκπ π

⎫⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎪ isinΖ⎬⎪⎛ ⎞ ⎪= + minus +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

x x

ή

x x







x x x x x x


( ) ( )2 2

2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

2 2 2 2

5 3 343 5 3 5

minus + minus +


sdot sdot

x x x x

x x x x x x x x 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

5 3 343 5

minus + + minus + +


x x x x

x x x x 2 2

2 2

2 2

2 2

25 5 9 3 343 5

minus + minus +

minus minus


x x x x

x x x x


( )2

2

2

2

5 125 9 34 23 5

3

minus +

minus +

⎛ ⎞hArr sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

x x

x x

θέτουμε 2 25

3

x x

ωminus +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


( )125 9 34 3ωω

sdot + sdot =



και λύσεις

1 29125

ω ω= =


1 2 3 40 2 1 3 1 3x x x x= = = minus = +




1ο) ( )( ) ( )2 2 2

3

1 1 1



2ο) ( )1 1 1 1

2R


le+ +




















No318





( )2 2

1 11 1+ le

+ +a b




( )2

2

0 13

0 1a ab b

⎫le le le ⎪⎬

le le le ⎪⎭


( )2 2 2 2

41 1 1 1 1

+ + ++ le + =

+ + + + + + +a b a b a b a b

b a b a ab a b


2 2

1 11 1 1


+ + + + +hArr + +




( ) ( )2

0 0

1 0a a b ble le







25 33 41 (8 17)Α = + + + + + =n

( ) ( ) ( )1 8 17 2 8 17 33 3 8 17 (8 17)= sdot + + sdot + + sdot + + + + =n

( )1 8 2 8 3 8 8 17 17 17 17φορ ς


⎝ ⎠

n έ

n

( )8 1 2 3 17= + + + + + =n n

( )18 17

2+

= + =n n

n

2 24 4 17 4 21= + + = +n n n n n δηλαδή





2 24 16 21 16 16sdot + sdot =n n k άρα







( ) ( )441 1 441 441 3 147a b= sdot = sdot



( )8 21 4 18 21 4 441+ minus = ⎫

⎬+ + = ⎭

n kI








( ) 1 1 1a b c a b cb c a a b c

⎛ ⎞+ + le + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 4MN MP d
















No319







( )( )

( )2

4 2 2 2

3 01

3 5 0

+ minus + =

+ minus + =

x xy x y a

x x y x y b






( )3 2⎛ ⎞hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

yx yx


( )4 2 2 22 2


22


22


( )2

5 3⎛ ⎞hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

yx yx


( )4yxx

ω+ =



( )2

35

5ω

ω

+ =

+ =

yy






24 44 3 1 4 0⎛ ⎞+ + = hArr + = minus hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

x x x xx x


bull Αν








( )( )

2

2

4 8 4 2 1( )

8 2 (3 4 ) 4 0 2


x y x

x xy x y x





έχουμε




8 16 3


= = isin




bull Αν

( )8 16 3 16 63 8



( )2 24 8 4 2 4 72



2 45 165

x x= hArr = plusmn



y = +


















No320








( )2φ ω=










3 1 315 3 535 5 763 7 999 9 11

143 11 13



( )1 1 1 1

2 2 2ν



1 1 12 1 3

Σ = minus13

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

15

minus15

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

19

minus19

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

111

minus1

11⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

113

minus1

13⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

115

⎡ ⎤⎛ ⎞minus =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

=1 1 12 612 13 2 13 13⎡ ⎤minus = =⎢ ⎥ sdot⎣ ⎦


13Σ =








3 3α β γ= and =














2

0

2 11 (2 )

xe x dx ex

π πημημ

= minus+int















No321





( ) ( )( ) ( )0

2 1π




( ) ( )( )0

2π


( ) ( )0

2π


( ) ( )0 0

2π π


( ) ( )0


0

0 0

2π π


f x x dx

( ) ( )0 0

2π π


( ) ( )( )0

2π


( )( )0

2π



( )0

2π


( ) ( )( ) 1

0 0 2π

π συνπ συν=

minus + = rArrf

f f


( )0 1= minusf


( )2 3 12 2



32 2

σφ σφΑ Γ

= hArr

32 2 2 2


2 32 2 2 2 2 2


22 2 2 2 2 2 2 2


22 2


22 2


22 2 2 2



Β = hArr


2 22 2







λ = minus


( )1 12

G GΗ = minus Η



















No322



1infin + = infin








( ) ( )


sdot gt


( ) ( ) ( )3 2

3 2

log 2 log 30 3

log log+ ge

x xx x











606

xlt le


[ )60 16

S⎛ ⎤



( )( ) ( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15 1

) 3 5 log 9 19 log 12 0 2



x x x x x xi

ii x x x x




2 22 225 925 9 3415 15


x x x x

( )2 22 25 325 9 34 3

3 5


x x x x


( )225 0 4

3

x x

tminus

⎛ ⎞= gt⎜ ⎟⎝ ⎠


125 9 34+ sdot =tt

ή ακόμα





1

12

2

34 16 18 9 034 16 50 50 25

34 16 502 25 1 050 50

tt

t



1925

t =


25 3 3 3






021 3 1 3S = minus +



( ) ( ) ( )2 2 2

2013 2013 2013

2 01


+ + =⎪⎩


2013 2013 20131 1 1Q

a b c= + +

(wwwMathvncom)












No323



νinfin + = infin



( )( ) ( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15 1

) 3 5 log 9 19 log 12 0 2



x x x x x xi

ii x x x x







( )53 5 0 63

x xminus = hArr =


2 50 9 19 12 03




3 3

23

5log 3 log 5 1 33

1log 5 2 5 3 59

minus






( )53 5 0 73

x xminus ne hArr ne


( ) ( )( ) ( )

2

22 2

9 19 48 3 5

81 198 11 9 11 0 8

x x

x x x




( ) ( )( )

( )

( )

12

18 30 32 3 59 19 9 11

19 11 42 3 52 3 5 3 5

xxx xt

xx x


bull Έστω


33

1log 3 327



24

3 5t

x=

minus


( )34log 9

3 5x

x=

minus


( )1 213 103

x x= =


( ) 34 5log 0

3 5 3f x x x

x= minus lt ne

minus


( )( )2

1 12 5 50 0 ln 3 3 33 5

f x xx x





( ) ( )50

3

lim limx x



( ) ( )5

3

lim limxx







1 1 327 3

S =






minusinfin

+infin

minusinfin

+infin

+infin

minusinfin












No324





( )2 2 2



2 22 2 2

΄ ημφ ημω


ΜΒ +ΜΓ ΜΒ ΜΓ= + = + =


= le

Άρα 1

22

΄ ημ

ΜΑge ΑΜΒ +ΜΓ


( )2

2

1 2 4

2΄ ημ


Σχήμα 1



( )2

2

1 3 4

2΄ ημ


και

( )2

2

1 4 4

2΄ ημ



( )2 2 2

1 1 1 1 54

2 2 2ημ ημ ημ

⎛ ⎞⎜ ⎟

ge + +⎜ ⎟Α Β Γ⎜ ⎟⎝ ⎠


( )32 2 2 2 2 2

1 1 1 13 6





le


( )2

2 2 2

1 8 7

2 2 2ημ ημ ημ

leΑ Β Γ


( )

32 2 2 2 2 2

32 2 23 3

1 1 1 13

2 2 2 2 2 2

3 8 3 2 3 2 3 4 12



δηλαδή


( )2 2 2

1 1 1 12 8

2 2 2ημ ημ ημ

+ + geΑ Β Γ
















3 3 3


geΑ+ Β+ Γ


















No325



31 83ε δrarr



( ) ( )32 2 2 2 1+ = +c d a b


( )3 3

1 2+ gea bc d


( )3 3⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b ac bdc d

( ) ( )( )2 2

3 3 2 2⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + + ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

a b ac bdc d

23 3⎛ ⎞sdot + sdot ge⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bac bdc d

( )2

3 3 24 4

⎛ ⎞sdot + sdot = + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bac bd a bc d

( )22 2= +a b άρα

( ) ( ) ( )3 3 22 2 3

⎛ ⎞+ + ge +⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b ac bd a bc d


Όμως

( ) ( )2 42 2 2 2+ = + =a b a b

( )( )( )132 2 2 2+ + =a b a b

( )( )( )


a b c d

( ) ( )2+ = +ac bd ac bd

Δηλαδή

( ) ( )22 2 4+ ge +a b ac bd


( ) ( )3 3

5⎛ ⎞

+ + ge +⎜ ⎟⎝ ⎠

a b ac bd ac bdc d


1+ gea bc d




( )29 1 2

4 1xyxminus

=+

ή ακόμα

( )29 16 1616 3

4 1xyx

sdot minus=

+


( )( )4 1 36 9 7164 1

x xyx

+ minus minus=

+



( ) ( )716 36 9 44 1

y xx

= minus minus+




bull Αν 14 1 12


bull Αν 34 1 72



Για ( )2























i jε

No326

( )

11 12 13 1

21 2 2 2 3 2

1

1 2 3

1 2

ίί

ό

μ

μ

ν ν ν ν μ



Λ rarr⎡ ⎤⎢ ⎥Λ rarr⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ Π⎢ ⎥

minus Λ rarr⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦







( )120 2οΑΟΒ = ΒΟΓ = ΓΟΑ =



( )120 4οο οΑ ΜΓ =

Σχ 1




( )60 6οο οΑ ΜΒ =





( )60 9οο ο οΑ Β Γ =





1

3lim 2

1rarr

minus

minusx

f x xx













( ) ( ) ( )( )

( )5



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

1 3lim 2 lim 2 61 1x x


minus minus= rArr =

minus minus


( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 1

1 1

6

1

3 13lim lim

113 33 3lim 1 lim 1 3

1 1 1

32 2 3 2 lim 2

1

rarr rarr

rarr rarr

rarr

minus +minus= =




x x

x x

x

f x x xf x xxx

f x f xxx xx x x

f x xx






















No327

11 12 13 1

21 2 2 23 2

1 2 3

μ

μ

ν ν ν ν μ


ε ε ε ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Α =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦





5 1 62 (20 1) 2 21 1344+ + = sdot =





( )7 2 6 35

+ +le

+a cb d



( ) ( ) ( )1 1 12 2 2


δηλαδή


( )2

4

x yxy x y R

+ge isin

για


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

54

a d b ca d b c

+ + +ge + +


( ) ( )( ) ( ) ( )2

2 64





( ) ( ) ( )2222 2 2 2

4a b c d


+ + + ge + + + minus

ή ακόμα

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

222

3

33 3 8

4

a b c d

a b c da c b d

+ + + ge

+ + +ge + + + minus


( )

( ) ( ) ( )

2

222 33 3

4

a b c d

a b c da c b d

+ + + ge

+ + +ge + + + minus

και τελικά

( ) ( ) ( ) ( )2 227 3 3 94

a b c d a c b d+ + + ge + + +



( )2 2 27 3 34

x y x y+ ge +





( )1 27 2 6 7 2 6 0 12





7 2 6 7 2 65 5

y x yminus +le le


5 5x a cy b d

+ + +le rArr le

+



2 2 2ax by x ya b+ ++

ge sdot


2 2 2ax by x ya b+ ++

le sdot


3 3 3ax by cz x y za b c+ + + ++ +

ge sdot


3 3 3ax by cz x y za b c+ + + ++ +

le sdot





(ΣΜΑ 1961)














1 2 (2 1) ji j i




No328

Σχήμα 1







( )7 2 6 35

+ +le

+a cb d



( ) ( ) ( )1 1 12 2 2


δηλαδή


( )2

4

x yxy x y R

+ge isin

για


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

54

a d b ca d b c

+ + +ge + +



( )2 2 2




( ) ( )

2

4x y

xy II+

ge



( )7 2 6 65

+ +=

+a cb d




x y= δηλαδή



( )10+=

+a c mb d


( )7 2 6 0 115

+= gtm


( )( )

( )7



( )( ) ( )7 12 210 a c b d bm m

b d b d+ minus +

= rArr = hArr+ +


( )1 133

mb dm

+hArr =


( )

( )( )

( )

2

7 2 611 5 7 2 6513 3 7 2 6 15 7 2 63

56 6 4 612 2 6 6 6

4 68 2 6 4 630 10 6 3 6

10

mb d d dm

d d d

d d

+++ + +


minus

+ ++ += = = =

minusminus minus+

= = +

άρα

( ) ( )3 6 14b c d= = +



( ) ( )5 2 6 15a d= +


















No329





( )11 ημ συν

=+ +int

d xIx x


( )22xu εφ=

τότε

2

2

1 112 2 2 2

2


prime prime⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

δηλαδή

( ) ( )22

1 21 32 1

dudu u dx dxu

= + rArr =+


( )

( )

22

22

22

2 22 411

2

1 12 511

2

xux xx u

xux xx u

εφημ ημ

εφ

εφσυν συν

εφ

= rArr =++

minus minus= rArr =

++


1 ημ συν= =

+ +intd xIx x


22

2

2 2

2211

2 111 1

++= =minus+ +

+ +

intdu

uuu uu u

21+ u 22 1+ + minusu u21+u

( )1 1 1 ln 11 1

=

= = + = + ++ +

int

int int

du

du d u u cu u

Άρα


ln 1 ( )2




( )2 21 1 1 11 1 32 2

1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ge⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

ca b a b c


( ) ( )( )( )( )

( )2 2

3

1 11 32 3

1+ + +

hArr ge+

a b a b ccab

κι επειδή


( ) ( )( )( ) ( )( )

( )2

3 2

1 1 11 32 4

+ + + +hArr ge

sdot

a b a b cab c



( )( )2

21 1 5c cab ab

= rArr =


( ) ( )( )( ) ( ) ( )21 1 1

1 32 6+ + + +

hArr gea b a b c

ab


1 2 0 1 2 0

2 0 1 2 0

a a b b

a b ab c c



άρα

( ) ( )( )22

1 2 1 27

2 1 2

a a b b

a b ab c c

⎫+ ge + ge ⎪⎬

+ ge + ge ⎪⎭


( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )

22

12

1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 32 32 8


+ + + + = =

a b a b c a b ab c
















No330



( ) ( ) ( )1 12 2 1 2 2 1 1m sn t+ ++ = + Όμως

( ) ( )( )

( )( )

( )1

1

2 1 2 121 2 22 2 1 2 1

mm s

s

t tn n

+minus

+

+ +hArr = hArr =

+ +




= hArr = hArr =









δηλαδή


κι ακόμα


( ) ( ) ( )2 22 2α



( )( )

( )2

22 3α βγβγ

β γΑΚ = minus

+



στη μορφή

( ) ( )2 5βγβ γ

ΑΚ =+



ΒΚ = ΚΓ =+ +


( )( ) ( )( )( )

2

2΄ α βγβ γ


δηλαδή

( ) ( )( )

( )2

2 7΄ α βγβ γ

ΑΚ ΚΑ =+


( )( )

( )2 2 8

2΄ α

β γΚΑ =

+



Δηλαδή

( ) ( )2 92

β γ+ΑΑ =


( ) ( ) ( ) ( )2

2 102α⎛ ⎞ΜΑ ΜΑ = minus ΟΜ⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )( ) ( )2 9 2


( ) ( ) ( ) ( )222 2 11




( ) ( ) 22

r = ΜΔ = ΜΑ

δηλαδή
















No331

Σχήμα 1






( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 2002

0

2 3 2002 1π




( ) ( ) ( ) ( )2 3 20021

0

2 3 2002 2π


( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 20022 2 3 2002 3

π

π






02

x tx t

ππ π

= rArr == rArr =

κι ακόμα


( ) ( ) ( )2

2 3 20022 2 3 2002

π

π


( ) ( ) ( )2 2002

0

2 2 2002 2002 π




( ) ( ) ( )2 20022

0

2 2 2002 2002π


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2002

0 1 2 3 2002

1 1 2 1 3 1 2002π



t t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 1

2 2002

0 2002

1 1 1 1 1 2 2002π

παρ γοντες



ά

t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1001

2 2002

0


π


t t t dt

( ) ( )2 2002

0

2 2002π


Δηλαδή

( ) ( )2 20022

0

2 2002π



( ) ( ) ( )2 20022 1

0

2 2002 6π






+ + +




Τότε



( )1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2a ah h h h h hβ γ β γ

α β γ α β γρ

+ += = = rArr + + = =


2 2 2


lt lt lt Ο lt lt


gt gt gt+ + +





⎛ ⎞+ + = + + ge⎜ ⎟+ + + Α+ Β Β + Γ Γ + Α⎝ ⎠

1 1 1 12 2 2 2


⎛ ⎞⎜ ⎟

ge + + =⎜ ⎟Α+Β Β+Γ Γ +Α⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1 ( 2)(0 )1 1 1 1 1 13 2 2 24 4

2 2 2 3

f x xή

R R



=⎛ ⎞⎜ ⎟


Άρα

1 1 1 3 1 34 2


+ + ge sdot =+ + +
















1 1 1 1 11 ( )2 4 8 16 2n n Nisin


No332



1 1 1 1 11 12 4 8 16 2

ά ή ό

n


+ + + + + + + =





( )( ) ( )( )

2 2 2

3

1 1 1



( ) ( )1 1 1 12 ) 2

2Rο


le+ +






( ) ( ) ( )1 1 12 2 2 4R


( ) ( ) ( )2 2 2R


( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 3R





( )( )( ) ( )31 1 13 4


Επομένως

( ) ( )( )( ) ( )3

1 1 1 32 27R


( ) ( ) ( ) ( )( )

3

1 1 1 33Rαβγ


( )( )( ) ( )( )

( )2

1 1 1 3 53Rαβγ

ΗΑ ΗΒ ΗΓ le


( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 33 3 3 333 63 2Rα β γ α β γ α β γ


sdot sdotsdot

δηλαδή

( )( )( )2 2 2

1 1 1 3 36α β γ

ρΗΑ ΗΒ ΗΓ le

sdot


( )( )( )2 2 2

3

1 1 1




( ) ( )1 1 12

2Rαβγ


άρα

( )

( )( )1 1 1 6

2Rαβγ


=+ + + +

αλλά

( )

( )74

R αβγ

ΑΒΓ

=Ε

και

( ) ( )2

8ρα β γ

ΑΒΓΕ=

+ +



=+ +


( ) ( )1 1 1 2 102RRρ ρ


= =+ +


2R

ρ le


( )1 1 1

2R


le+ +




( )3

3 2

1

3 2I x x dxminus













No333

( )1 1 1 1 11 1 12 4 8 16 2

ά ή ό

n


+ + + + + + + =

11 1521 11 1752 41 1 11 18752 4 81 1 1 11 193752 4 8 16

+ =

+ + =

+ + + =

+ + + + =





( ) ( )1 1 1 1a b c a b cb c a a b c

⎛ ⎞+ + le + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠






( )

1 2

1 2

1 2


+

⎫+ ge gt ⎪

⎪⎪


+ ge gt ⎪⎭


+ + + gt + +

Όμως


( )

0


gt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + gt + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + gt + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠




( )1 1 4 1MN MP d




o o

MP AMCC AC

=


( )2oo o


= sdot rArr = sdot



o o

MN BMDD BD

=


( )3oo o


= sdot rArr = sdot


1 1 1 1

1 2

2

o o

o o o o

BM AMMN MP d dBD AC

AC BD AC BDABd d AB

+ = + =sdot sdot

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Άρα


+⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠




+ sdot⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ AB

4d

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

δηλαδή 1 1 4

MN MP d+ =




















No334






Αυτά έχουν








( )2

2

0

2 1 11 (2 )

xe x dx ex

π πημημ

= minus+int


2

0

21 (2 )

xe xdx

x

πημ

ημ=

+int

( ) ( )2 2

2 20 01 (2 ) 2


x x x x x


= = =+ + +int int

( ) ( )

( )2

20

x xe x x e x xdx

x x


ημ συν

+ minus minus= =

+int

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

20

x xe x x e x xdx

x x


ημ συν


+int

2 22

0 0

1x xe edx e

x x x x

ππ π



= = = minus⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎣ ⎦int

Άρα

22

0

21

1 (2 )

xe xdx e

x

π πημημ

= minus+int






Άρα

( ) ( )

( )φ180

90 12 2

ctο

οminus ΑΒ ΑΒ

= = minus =

( ) ( )

( )180

90 22 2

ctο

ο+ ΑΒ ΑΒ

ω = = + =





και ( ) ( )1 2013f f=


(www MATHVNcom)















No335






( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2013 2013 2013

2 0 11 2


+ + =⎪⎩ Ν


( )2013 2013 20131 1 1 3Q

a b c= + +












2013 2013 2013 1a b

a b c=minus

+ + = rArr

( )2013 2013 2013 1b b cminus + + = rArr

2013bminus 2013b+

( )

2013

2013

11 1 6

cc c

+ = rArr

= rArr =


2013 2013 20131 1 1Q

a b c= + + =

( )2013 2013 20131 1 1

b cb= + + =

minus

20131

b= minus 2013

1b

+1

2013 20131 1 1

c

c c=











) rArr







45ox =


















No336













45oNMB =






( )180 1οΑ+ Γ = όμως










( )2 2 2 24 3x y z R+ + =

Σχήμα








2max 8E R=






Σχήμα 2












No337








2 2 1

4448889 4448889ν ν ν

να+ +

= = rArr

2 1 2 1

1

4 10 4 10 4 108 10 8 10 8 109

ν ν νν

ν ν

α + +

minus



( )( )

( )

1 1

1 2

4 10 10 10 1

8 10 10 10 1

9 2

ν ν νν

ν ν

α + minus

minus minus

= sdot sdot + + + +

+ sdot sdot + + + +

+


2 11 11

νν αα α α α

α

+ minus+ + + + = ne

minus



11 10 1 10 14 10 8 10 9

10 1 10 1

ν νν

να+


minus minus

2 2 1 110 10 10 104 8 99 9

ν ν ν



2 2 1 14 10 4 10 8 10 8 10 9 99 9 9

ν ν ν


= + + rArr

14 10 12 2 1 11 4 10 4 10 8 10 8 10 9 9

9

ν

ν ν ννα

++ sdot ++ + +


( )2 2 11 4 10 4 10 19

ν ννα


( )( )21 11 2 10 2 2 10 19

ν ννα


( )

( )

21

21

2 10 19

2 10 1 33

ν

ν

ν

ν

α

α

+

+

sdot += rArr

⎛ ⎞sdot += ⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμως

( )

2112 10 1 200001 66667 4

3 3

όό

ό

ν ροιν ροι

ν

ν ροι

++

+sdot += =


( )21

6666 7 5ό

ό

ν ροι

νν ροι

α+⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠




( )20 7 49α = =

ο δεύτερος

( )21 67α =

ο τρίτος

( )22 667α =






όπου













Δηλαδή



No338











( )1 2 2 1a a b c d= rArr + + + =

( )2 5 8 4 2 5 2a a b c d= rArr + + + =

( )3 23 27 9 3 12 3a a b c d= rArr + + + =


( )1

28 4 2 527 9 3 1264 16 4 23

a b c da b c d

a b c da b c d

+ + + = ⎫⎪+ + + = ⎪ Σ⎬+ + + = ⎪⎪+ + + = ⎭






= = = =





1 2 3 n nS a a a a= + + + + rArr


( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 3 1 2 3 3nS n n n= + + + + minus + + + + + rArr

( ) ( ) ( )1 2 1 12 3 36 2n


( )24 3 116n

n n nS

minus +=



τότε

( )3 3 3


geΑ+ Β+ Γ




( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

2 2 2

312

x y z xyz

x y z x y y z z x

+ + minus =



( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 23 1 42






( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 23 12



( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 213 32


Άρα 3 3 3


geΑ + Β+ Γ


60x y z ο= = rArr Α = Β = Γ =
















No339

Σχήμα 2

Σχήμα 1







( ) ( )( )( )

11 1

1 1

x x x xx x x

x x


συν ημ συν

συν ημ

Α = + + + sdot =

= + + + =

= + +

δηλαδή



προκύπτει

( )21 2 32xxσυν συν+ =

Επίσης

( ) 2 901 1 90 22

xx xο



( )21 2 45 42xx οημ συν ⎛ ⎞+ = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠



⎝ ⎠


( )2




( )

2

2

2

2 452 2

45 452 2 2 2

45 45o

x x

x x x x

x

ο

ο ο

ο

συν συν

συν συν

συν συν

⎡ ⎤⎛ ⎞Α = sdot minus =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus + minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= + minus⎣ ⎦

δηλαδή



( )1 1 1 3 0 1x x xx x x





( ) 22


Αν θέσουμε


( )

1

2 2

1 1 1 3 0

1 1 3 0

1 1 3 0

t t tt t t

t tt t

t t t t

t tt t

t t t t






+ + + + + + = hArr

+ + + + + + = hArr

⎛ ⎞ ++ + + + + = hArr⎜ ⎟ sdot⎝ ⎠



( ) ( )2 23 1 0


ημ συν ημ συν⎛ ⎞+ + + + + = hArr⎜ ⎟⎝ ⎠





2 0 2 0 2 2



2

kt π κ += isinΖ


( )122 2 1 2tημ = plusmn





( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

) 1 2 1 2) 0 0 1 2














No340





( )1 1 1 3 0 1x x xx x x





( ) ( )122 2 1 2 tημ = plusmn


( ) ( )12

1 22 2 1 2 4 4 30 452 2




( )1

30 45 30 452 4 30 30 4 22 2

tο ο ο ο


δηλαδή

( )1

75 152 82 2

t iο ο


Όμοια

( )2

30 45 30 452 4 30 30 4 22 2

tο ο ο ο


δηλαδή

( )2

15 752 82 2

t iiο ο





12 4828427 1tημ = gt


22 0828427tημ = minus



άρα



( )

( )

2 360 180

2 360 180 180

o o

o o o

t kή

t k

α

κ

α

⎫= + +⎪⎪ isinΖ⎬⎪= + minus + ⎪⎭

ή ακόμα

180 902

1802

o o

o

t k

ή

t k

α

κα

⎫= + + ⎪⎪




( )

( )

( )1

2

180 90 0122

180 1232

o o

o

t k k S

ή S

t k k S

α

α

⎫= + + = ⎪⎪⎬⎪⎪= minus =⎭




Δηλαδή

180 90 2 0122

o ot k kα ρ ρ= + + = =


Δηλαδή

180 2 1232








νν














No341

Σχήμα 1

Σχήμα 2






( )1φΑ = και

( ) 0 2β

γ

υλ λ

υ= gt


άρα

( )3β

γ

υγβ υ=


( )4γλ

β=



( )5ημ

λημ

Γ=

Β



ημ ημπ

Β = ΓΒ = ΓrArr

Β = minusΓ



22





Τότε

( ) 151


Γ+ Β+hArr = hArr

minus Γminus Β

21 2 21 2

2 2


Γ +Β ΓminusΒ+


( )1 72 1 2

λεφ εφ


hArr = sdot+


2 2 2πΒ +Γ Α

= minus


( )1 82 1 2

λεφ σφ


= sdot+


2ΓminusΒ




( )1 91 2


sdot =+



( )102




( )2 112


όμως


( )2 2 2 2π πθ θΑ Α



( )1 1 01 2 1 2 2




( ) ( )132



22



( )2 2 2 2π πω ωΑ Α















1Sω ω=Κ Κ =


( )1 1 14

S R π=

No342



( )8 1 17 7 24 4






( )22 1 3 2β γ ημ= + Β (ΣΜΑ 1961)




( )2 2 21 1 1 1 1 12 4β α γ α γ συν= + minus Β




2 2 22 6 2β α γ= + δηλαδή

( )2 2

2 73

γ βα minus=



( )2 2 2

82

α γ βσυν

αγ+ minus

Β =


( )2 2

2 2 2 2232 3


αγ αγ


( ) ( )2 22 2 2 22 2

2 2

2 43 9γ β γ β



⎝ ⎠


( )( )

2 22

2

49

3γ β

συνγ

minusΒ =


( )2 2 2 22 2

2 2

4 41 13 3γ β β γ

ημ συνγ γ


2 22 2 2 2 2

2

4 4 33β γ










( )( )

2 2 2

2 2 2

2 22 3

xx

α λ

δ λ





( )( )

2 2 2

2 2 2

2 52 6

yy

β μ

γ μ

= +ΒΜ + ΒΜ sdot






( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2 9

x y

x y

x y



















( ) ( ) ( ) ( )8 1 2 2 3 7 8 1 2 1 74

S K K K K K K K K Rπ= + + + =

δηλαδή

( )8 17 14

S Rπ=


2ν

πων

=


No343

Σχήμα 1


( ) ( )121 345 2S Rνπν νν

= minus =







2ό

τ βα β γ




άρα



sdotτ αminus


1=


δηλαδή


ΔΓ ΕΑ ΖΒ




και

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

222

22

1

α β γα β γ

τ





ΑΕ = ΑΖ =


όπου

2α β γτ + +

=


( )

2τ γτ β





ττ

sdotτ γminus

1=

δηλαδή


ΔΓ ΕΑ ΖΒ
















99

999 1έφ ορ ς










99

9999 10 7έφορ ς

Α = sdot + rArr


( )98 97 969 10 10 10 10 1 10 7Α = + + + + + sdot + rArr

9Α =9910 1

10 1minus

sdotminus

10 7⎛ ⎞


( )( ) ( )

( )

( )

99 100 100

50 1002 50

2550 2

25 25

525 5

5 5

10 1 10 7 10 10 7 10 3

10 3 100 3 13 9 3

13 9 3 13 9 3

13 81 3 13 ( 13 3) 3

13 13 3 3 13 3 3

13 243 3 13 ( 13 9) 313 13

πολ

πολ πολ




πολ πολ







= + + 5 59 3 13 9 313 59049 3 13 5904613 13 4542 13

13


πολ


rArrΑ =







sdot = sdot












No295








Λύση Έστω


Έστω ότι











κι επειδή

2 2 2

2 2 2

2 22

2


z a b abi

+ = minus =

= minus +

= minus minus


( )( ) ( ) 2 2

2


hArr





( )( ) ( )( )

0 31 0

1 1 4a b b a



b a= minus τότε


x a x a







1 11 1

x a x ay x y x x R

y a y a= =⎫ ⎫




Έστω ότι




( )1 72 1xyx+

=minus





( )4 4 43 3 37 7 7 2a b c a b c+ + + + + le + +



Σχήμα 1








No296










ΑΓ = ΒΑ = ΓΒ =+ + +



Γ Β = Α Γ = Β Α =+ + +





3 3 3 3 3 3αβ βγ γα αγ βα γβ+ + = + +




















f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +




( ) ( )6

23

( ) ( )

2 8 4 6 2

F x G x

x xx x f xx x


Άρα

( )( ) ( )23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xF x

xrarr + rarr+


23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xx xrarr+ rarr +


0

2limx

xrarr+

=8+ 32minus

x ( )2

2 023 3lim

2 8 2 2 8 2 x

x

x x rarr +minus

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

4+ 22minus

x ( )2 4 2x=

+ +

0 0


= minus =+ + +


( ) 5

0 0

1 16lim lim 06 66

6x x

x

G x xx

ημ

rarr + rarr+

⎛ ⎞⎜ ⎟

bull = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟sdot⎝ ⎠

Άρα

( ) ( )0 0

lim 1 6 lim 1 6f ή

x xf x f x

συνεχ ς=

rarr+ rarr+= rArr =

και τελικά

( ) ( )0

lim 0 1 6x

f x frarr

= =



( )( )

3 3

21 16

161x x x


+=

+ minus












No297




Σχήμα 1







f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +



( ) ( )11 1 26

f ημle +


( ) ( ) 6



( ) ( )( )

( ) ( )60 1 10 0 0 0 0 36 6 6

i


( ) ( )( )

( )211 1 1 0 4





Αν

( ) ( )0 1 0h hsdot lt




( ) 06


και τελικά

( ) ( ) 016






( )1 2 3

1 1 1 18 1+ + geΕ Ε Ε Ε


1 2 2 2A MA B MC=


( ) ( )1 1 2

2 2 2 2

2E MA MAB MC MB MC

sdot=

sdot


( ) ( )2 1 2

1 1 1 1

3E MC MCB MA MB MA

sdot=

sdot

Σχήμα 1


( ) ( )3 1 2

2 1 2 1

4E MB MBA MC MA MC

sdot=

sdot


( ) ( ) ( )31 2

2 2 1 2 2 1

1EE EB MC B MA A MC

sdot sdot =



( )

( )

( ) ( ) ( )( )

33

1 2 3 1 2 3 1 2 3

5

2 66 1 2 3 2 2 1 2 2 11 2 3

1 1 1 1 1 1 33

3 3 6

E E E E E E E E E



= =sdot sdot

Όμως

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 2 2 1 2 2 1

61 2 3 2 2 1 2 2 16



gt + + + + + ge

ge sdot sdot

δηλαδή

( ) ( ) ( )( )

61 2 3 2 2 1 2 2 1


gesdot sdot


1 2 3

1 1 1 18E E E E+ + ge

δηλαδή η (1)


















No298

Σχήμα 1 (Δ)










2 2 2999 999 999 888 888 888 111111111Α = minus minus

( )( ) ( )( )2 2 29 111111111 8 111111111 111111111= minus minus =

( ) ( )2 2 29 8n n n= minus minus =


Άρα

444 444 444Α =








( ) ( )oo o

o

f x f yx y x y

x yminus


( ) ( ) ( )2oo o

o

f x f yx y x y

x yminus





oo ox y x y x y

o

f x f yx y x y

x yrarr rarr rarr


minus

Και επειδή

( )lim 0 lim 0o o

o ox y x yx y x y



( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx yrarr

minus=

minus

και τέλος

( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx yrarr


δηλαδή









( )( )

( )log

3log

x x

x x

x y

x wημ συν

ημ συν

ημ

συν

= ⎫⎪⎬

= ⎪⎭

Άρα

( )( )

( )4y

w

x x x

x x x

ημ ημ συν

συν ημ συν

⎫= sdot ⎪⎬

= sdot ⎪⎭




( )1 74

yw =


( )1 82

y w= =


( )( )

12

2 0

x x x

x x x x x x

ημ ημ συν


= sdot hArr

= sdot hArr minus =


02






11 1

a bb a

+ le+ +












No299












y zx


ΕΒ ΕΒ ΡΒ

άρα

( )3y z y z xx x


ΕΒ ΕΒ


Q x yQ z

ΑΔ ΒΓ Β += = =

ΚΔ ΚΔ Δ

άρα

( )4x y x y zz z


ΚΔ ΚΔ

Σχήμα 1



y z x x y zx z


ΕΒ ΚΔ







( ) ( ) ( )12ΑΚΜΛ ΑΒΓΔΕ = Ε Ι



( )1xεφφα

ΒΕ= =ΑΒ

( ) ( )45 2yοεφ φα

ΔΖminus = =

ΑΔ


( ) ( )2145 3

1 45 1

xy y xy x yx

ο

ο


α


+ sdot +


( ) ( )( )

( ) ( )3



( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 12 2 2 2


Δηλαδή

( ) ( )( ) ( )1 52ΑΕΖΕ = ΑΒ ΕΖ




2 2 2 2΄ x ΄ yα αΖΖ +ΒΕ + ΕΕ + ΔΖ +

ΜΚ = = ΜΛ = =

Άρα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

23 14 2 2


+ +Ε = ΜΚ sdot ΜΛ = = = = Ε







Σχήμα 2














No300







404 Αν







( )( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 3

3 3 33 3α β β γ γ α


hArr + + +

+ + + + =


3 3 3 3 3 3α β β γ γ αhArr + +


+

+ + + + =

άρα


( )( )( )0


hArr + + + =


Άρα

( ) ( )( ) 0 0α β γ α β γ+ + + = rArrΠ =



( )1 1ΑΡ ΑΤ+ =



( )1 1 1 2+ =ΒΕ ΓΔ ΙΗ



ΒΕ = ΓΔ =+ +


αγ αβ αβγ+ + + + +

+ = + = =ΒΕ ΓΔ

2 2 1 12


= = = = =Ε ΙΗ




90 2


άρα

( )3ΑΒ ΙΒ=

ΙΒ ΒΕ



( )4ΑΡ ΑΒ=

ΙΧ ΙΒ


=ΙΧ ΒΕ

και τελικά

( )5ΑΡ ΙΧ=

ΒΙ ΒΕ


( )6ΑΤ ΙΨ=

ΓΙ ΓΔ

Όμως



άρα

1ΑΡ ΑΤ+ =

ΒΙ ΓΙ




4 2 2 2

3 03 5 0


+ minus + =

(wwwmathvncom)










No301

Σχήμα 1





( )1 12

ΒΔ=




( )1 22

ΑΕ = ΑΓ



( )22 2 2 2 2 21 3


30deg

Σχήμα 1

75degx45deg

Ε

Δ

Α

Β Γ


δηλαδή

2 243

ΑΓ = ΓΕ


2 43 2

ΒΓΑΓ = sdot

δηλαδή

2 223

ΑΓ = ΒΓ rArr

( )2 2 43

ΑΓ = ΒΓsdotΒΓ


( ) ( )1 2 31 52 2


ΔΓ



ΒΓ ΑΓ




60οΑΔΓ =







60ο




2

180 40 702

ο οοminus

Μ = ΝΒΜ = =



Και τελικά

30οΒΜΓ =



2

4 8 4 2( )

8 2 (3 4 ) 4 0

x y x

x xy x y x





χΣχήμα 2

1 2

80deg

120deg

60deg

80deg

20deg

ΜΝ

Γ

Α

Β








No302







( )2



( ) 12 2 2


δηλαδή

( )12

β γ αρ + minus=





2β γ αρ + minus




( )( )2a bc

a b a c+ +



( )( )

( )( ) ( )

22

22

a bc (2 )a b a c

a bc 4 1a b a c

ρ

ρ

ge hArr+ +

ge+ +


( )( ) ( ) ( )2

2a bc 4 a 2a b a c

τge minus+ +

όπου

( )32

a b cτ

+ +=


( ) ( )( )



( )( ) ( )2

2a bc b c aa b a c



( )5b ac a

ημσυν

= Β ⎫⎬= Β⎭


( )( )( )( ) ( )2

4

1 1 1 6

ημ συν


hArr Β Β ge




( )( )

( )

6

2 1

1

ημ συν





























No303






( )( ) ( )2a bc 1

a b a c+ +





( )2

caAD BDa bbaAE CE

a c

⎫prime = = ⎪⎪+⎬⎪prime = =⎪+ ⎭




prime prime



primesdot sdot =



( )1 5a a EEb CE CE

primesdot sdot =


( ) ( )22 6bEE CE

aprime = sdot


( )( )

3

2 7bEEa c

prime =+

Κι ακόμα

( )( )

( )

( )

3 32



( )( )

( )

3 3

2 2



+ + ++ +

( )( )

22 2 2 2 2 2

1a c b b a c b c a

a cminus






( )21 2 22

bc xge

Είναι


( ) ( )21 1 12 2 2




( )3bcxb c

=+


( )

( )( ) ( )

2 2

2 22 2

2

12 2 42

4 4 0

bc bcbc bcb c b c

b cbc b c bc b cb c





( )1

caAD BDa bbaAE CE

a c

⎫prime = = ⎪⎪+⎬⎪prime = =⎪+ ⎭




( )( ) ( ) ( ) ( )2

221 2 22

a bcAD AEa b a c

















No304


(1694-1778)






( )( )2a bc

a b a c+ +




( )1 1 1 1BD CE ρ

+ =



= =+ +


( ) 1 1 11 ca baa b a c

ρhArr + = hArr

+ +

1a b a cac ab ρ+ +

hArr + = hArr


+ + +hArr = hArr


+ + +hArr = hArr





hArr = hArr = hArr

1 2 12

a b cbc

τ τρρ ρ




( ) ( ) ( ) ( )2

22 3a bca b a c

ρge+ +



BD CEBD CE

ρ sdot=

+


( )2

4 4 BD CEBD CEBD CE


( )( )

2 22



+







( )( )

2

1 2

2

3

ΑΗ = ΑΗ

ΓΗ = ΓΗ = ΓΗ







2 1 60οφ θ ωΟΑΗ = + =Η ΑΓ + = Α =

Άρα ΑΗ = ΑΟ




( ) ( )( )0

2f x f x xπ















No305















( )10 3x y+ = ή




( ) ( )215 8 80 6y yΔ = minus + +










( )1σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β




ΑΔ ΑΔ



( )3ΔΖ ΔΓ=

ΖΕ ΒΔ








( )5ΒΘ ΑΕ=

ΘΕ ΕΖ


( ) ( )4 β βυ υ α

α



αβ

α


ΓhArr =


sdot Β

βυhArr

α

β

υ ημ γσυν=

Γminus Αβυ

β

α

συν γ συν


Γ sdot Β


( )

( )

α

α


ημ


ημ


Γ





2 32 2


(DH Can Tho 1998)



















No306





( )1σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β





( )3ΔΖ ΓΔ=

ΖΕ ΔΒ


1x yγ α+ =






( )6γλ

αΔΕ =


( ) ( ) 7y xγα

ΔΕ =


( )2 2

2 2 2 2 8α γ αγα γ α γ⎛ ⎞

Ε⎜ ⎟+ +⎝ ⎠


( )10γλ

β=


( )1 11

1

x xx

y yy

λλλλ

Δ ΕΖ

Δ ΕΖ

+ ⎫= ⎪⎪+⎬+ ⎪=⎪+ ⎭


( )( )

( )( )( )

2 2

2 2

3

2 2

12

x

y

α γβ γ α γ

αγβ γ α γ

Ζ

Ζ

⎫= ⎪+ + ⎪

⎬⎪= ⎪+ + ⎭



( )( ) ( )( ) ( )2 2 3

2 2 2 2 13α γ αγ


⎛ ⎞⎜ ⎟Ζ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠


( )

2

22 2

2 2 2 2

2 2

014

αγαγα γλ


ΒΕ

minus+= =

+ +++

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

3

2 2 3 2 2

2 2 2

2 2

140


λα γ αγ

β γ α γ

ΑΖ

minus+ + minus + +

= =minus


( ) ( )3 2 22

2 2 2 2 1γ β γ α γαγλ λ



+ +






















No307








( ) ( )

( ) ( )

22

22

) 3 2 3 2 1

) 8 5 5 1 8 2

i x x

ii x x

+ minus =

minus minus = minus



( )2

2

3 24

2 3x yy x

⎫+ = ⎪⎬

= minus ⎪⎭

Κι ακόμα

( )( )( )

2

2

2 3 54

2 3 6

x y

y x





( )

( )

71 3 8

3

y xxy

=

minus=





1 2213

x x= minus =


1 33

xy minus=


2 21 3 2 3 9 3 5 03



341 21

6x plusmn

=


2 1 21 1 211 3 6 6

S⎧ ⎫minus +⎪ ⎪= minus⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭






( )( )

2

2

2 5 1 11

2 5 1 12

y x

x y

⎫= minus ⎪⎬

= minus ⎪⎭


( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 5

2 5 2 5 0

y x x y

y x x y x y y x x y

minus = minus hArr



( )

( )

( )

1305 22 5 14

5

y xy xxx y y





121 6

5x plusmn

=


5xy +

= minus


2 2

2

5 2 10 42 5 1 5 15 5

25 10 1 0

x xx x

x x


hArr + minus =


341 2

5x minus plusmn

=


1 2 3 41 6 1 6 1 2 1 2

5 5 5 5S x x x x




( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15) 3 5 log 9 19 log 12 0




(wwwmathvncom)















No308








( )1 1 1 1a b ca b c


( )3 2a b cabc




( ) ( )( )

2 2 2

2 2 2

1 2 2 2 3

4


x y z xy yz zx

hArr + + + + + ge + + hArr


( ) ( )

0

22

1 1 1

1 1 1 5

a b ca b c

a b c

a b ca b c

gt

+ + ge + + rArr

⎛ ⎞rArr + + ge + +⎜ ⎟⎝ ⎠


( )21 1 1 1 1 13 6

a b c ab bc ca⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( ) ( )2 1 1 13 7a b cab bc ca

⎛ ⎞+ + ge + +⎜ ⎟⎝ ⎠



( )02 3

a b ca b ca b cabc

+ + gt+ +⎛ ⎞+ + ge rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

3a b cabc

rArr + + ge


( )201 601 1201 9001 12 6 12 90



201 601 1201 90012 6 12 90

S = + + + + =

200 1 600 1 1200 1 9000 12 2 6 6 12 12 90 90

= + + + + + + + + =

1 1 1 1100 100 100 1002 6 12 90

= + + + + + + + + =

1 1 1 1900 2 6 12 90

= + + + + + =

1900 12

= + minus12

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

13

minus13

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

14

minus19

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

110

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 9 9009900 1 90010 10 10


900910

S =


( )( )

100 1 1201 601 1201 2 6 12 1n

n nS

n nsdot + +

= + + + ++


( )2 1100

1nn nS nn n+ minus

= sdot minus+



ctΜΓ=

ΝΔ



( )1

2

1RR

ΓΖ ΑΓ= =

ΔΕ ΑΕ


( )11

2

R ctR

ΜΓ ΓΖ= = =

ΔΝ ΔΕ



2 2 2




















No309











2 2 2 20111 2 1 2 1 2 12 2 2ax bx x






( )2 2 2

2 2 2

20112 2 2 3

ax bx x

x Rx x x


2 2 22 2 2

2 2 2

201120112 2 2

2 2 2 20112 2 2

ax bx xa b

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


και τέλος

( )

2 2 2

2 2 22011

20112 2 2 420112 2 22 2 2

ax bx xa b

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



20112 2 21 1 12011

2 2 2

ax bx x

ax bx x



2 2 2a b⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠




22011






2011x π=


( )( ) ( ) ( ) 1 72011 2011





Άρα



( )( ) ( )2 22 2 2 2 2 20 2 1 2011 2 1 2011 2011a b λ π λ π+ = + + = + ge δηλαδή







δηλαδή 2 2011

kx k Zπ= isin






3 3

1a bc d+ ge

(mathvncom)


















No310





( )22 1 3 1R R R=



( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 21 2 1 2 1 24

d O O O O

R R R R R R

= Γ = minus Γ =

= + minus minus =

άρα 2


1 22d R R=




( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 21 2 1 2

1 2

2

d O O O O

R R x R R

R R

= Γ = minus Γ =

= + + minus minus =


2

1 24

R

R x R x

+ =

= + +

άρα




Σχήμα 1

Α Β



( )( )( )

1 2 1 2

2 3 2 3

1 3 1 2 2 3

2

2 2

2

R R

R R

R R R R

⎫Τ Τ =⎪⎪Τ Τ = ⎬⎪

Τ Τ = + + ⎪⎭

Όμως



( ) ( ) ( )( )( )22





( )2



















No311






+ + ge+








( )( ) ( ) ( )( )22 2 22 2 3 0

ό ά









( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )

2 2

2 2

2 2

2 2

a b ab a b ab

a b ab a b ab


( ) ( )2 23 4a b a b ab⎡ ⎤= + minus + + =⎣ ⎦






0D = Δηλαδή


( )2 2 222 4 2 3

2 2a b ab a ak a+ + +

= = =


( )4k abma bminus

=+













23k a=





1

3lim

1x

f x xxrarr

minus

minus













No312









( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2

1

1

k n k

kn k k n n kn k k

n kn k n k

n k n k n k

n k n k n




= + minus minus ge

δηλαδή









( )2 2010201120102011 20102011gt


την






( )11 1 5k

kk

⎛ ⎞+ gt +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 1 1 1 6k

kk k kk

⎛ ⎞+ gt +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 1k

kk k k kk

⎛ ⎞+ gt + +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 1 1 1k

k kk k k kk+⎛ ⎞+ gt +⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠


11 12n

na nn

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠


11 2718n

en

⎛ ⎞+ rarr =⎜ ⎟⎝ ⎠


1 11 2718 3 1 3n n

e n Nn n


και επειδή


11 1k

kk

⎛ ⎞+ lt +⎜ ⎟⎝ ⎠




7 2 65

a cb d+ +












No313





( ) ( )52 3 2 2 0 12



( ) ( ) ( )2 51 2 1 3 2 02


( )2 52 1 2 3 02




( )

( ) ( )

2

2 2

4 4 3

3 3 3 0


συν συν



( )( ) ( )2 2


( )( ) ( )2


( )( ) ( )2


( ) ( )( ) ( )

2 3 0 20 3

συν συνημ


ΒminusΓ = ⎪⎭




( )2 3 0

32 3 02

συν συν

συν συν



και τελικά

30οΑ = και

75οΒ = Γ =


Εάν ( )1 2 3 4 0 2z z z z+ + + =


( )2011 2011 2011 20111 2 3 4 3z z z zΑ = + + +



2

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 10 0rz z z z z z z z

⎛ ⎞+ + + = hArr + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 2 3 4 1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1z z z z z z z z z z



( ) ( ) ( )2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3

1 2 3


+ + + + + + + + =

=2 2 2 2 2 2




( ) ( ) ( )2 23 1 2 3 1 2 1 2 1 2 0z z z z z z z z z zhArr + + + + + =

( ) ( ) 21 2 3 1 2 3 1 2 0z z z z z z z z⎡ ⎤hArr + + + + =⎣ ⎦

( ) 21 2 3 1 3 2 3 1 2 0z z z z z z z z z⎡ ⎤hArr + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 1 3 0z z z z z z z zhArr + + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦





2011 2011 2011 20111 2 3 4z z z zΑ = + + + =

( ) ( )2011 20112011 20111 2 1 2 0z z z z= + + minus + minus =



1dxIx xημ συν

=+ +int


2 21 1 1 11 1 321c

a b a b c⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ge⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠




















No314










ΔΕ ΑΓ Άρα

( )1βα

ΕΚ ΓΔ= =

ΚΒ ΒΓ


( )2βα

ΕΛ ΕΔ= =

ΛΓ ΑΓ


=ΚΒ ΛΓ




( )( )( )

( )( )( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 2 2

1

1

1

8 1 1 1

α α α α α

β β β β β

γ γ γ γ γ

α α β β γ γ

+ + + + + sdot

sdot + + + + + sdot

sdot + + + + + ge

ge + + + + + +


Είναι

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

5 4 3 2 2

3 2 2 2

22 3 2

1 2 1

1 1 2 1

1 1 2 1 1 0




+ + + + + minus + + =

= + + + + + minus + + =



( ) ( )5 4 3 2 21 2 1 2β β β β β β β β β+ + + + + ge + +










Πράγματι

















No315






( ) ( ) ( ) ( )3 2 2ΑΒ + ΑΓ le ΒΓ



( ) ( ) ( )1 32

ΒΗ = ΑΒ



( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 52ΑΒ



( ) ( ) ( )3 62

ΑΓΓΚ =




( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 82



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 2 2

3 2

3 2





( )( )

2 2 2

2 2 2 2

22 2 2

3 2 3 2 3 4

3 2 3 4

0 3 2 3 0 3 2 3


β γ βγ β γ



+ + le + hArr





2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ Λύση


( )1α

α α α α α α



ΔΙ ΔΙ


Όμως


= Ε rArr = rArr =


4

R

α α α


τ

ΑΔ= = =

ΔΙ

= 2Rα

ρα ρ

( )

2

2

4

4 3

R

R

ατ ρ

α

ρα

ρα

=

=

ΑΔrArr =

ΔΙ


( )

2 24 2 2 1

1 4

Rα

α


β γα


ΔΙΑΔ +

= minusΔΙ


( ) ( )2

2 2 2 52 2


+ + += + ge = rArr le


2 1α

ΑΔle minus




( ) ( ) ( )2

2 3 2002

0

2 3 2002I x x x xπ





ρ

ρ

τ =

Σχ 2









No316

Σχ 1







( )12 2




( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 1 2

α δ αδ συν

α δ αδ συν




( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 1 3

β γ βγ συν

β γ βγ συν









2αδ sdot 2 22

ημ βγΑ= sdot 2

2ημ Γ


0 02 2

ημ ημΑ Γgt gt

θα είναι


Α Γsdot = sdot






( )3 237 312

aa ++ le


( )3 237 4 12

bb ++ le ( )3 237 5

12cc +

+ le


( )33 3 697 7 7 612

a b ca b c + + ++ + + + + le


( )4

4 33 4 74



( ) ( )4 43 38 94 4

b cb c+ +le le



( )4 4 4 9 10

4a b ca b c + + +

+ + le


( ) ( )4 4 4 4 4 49 4 6969 285 11

12 12 48a b ca b c a b c+ + + ++ + + + + +

le =


( )4 4 4

33 3 2857 7 7 1248

a b ca b c + + ++ + + + + le


( )( ) ( )

4 4 44 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4

285 248

285 96 3 13

a b c a b c

a b c a b c a b c

+ + +le + + hArr

+ + + le + + hArr + + ge

Όμως

( )

4 4 4 4 4 4 24

4 4 4 4 4 4 24

4 4 4 4 4 4 24

1 4 1 4

1 4 1 4

1 4 1 4

a b b a b b ab

b c c b c c bc

c a a c a a ca

+


+ + + ge sdot = ⎪⎭

( ) ( )( )1





3 1 1 1 12 2R α β β γ γ α ρ

le + + le+ + +













( ) ( ) ( ) ( )1 14





( )2 11 24

S S=


No317

Σχ 1


( )3 2 11 1 34 16

S S S= =


( )1 2 3 4 1 11 1 4 4 1 4 16 3 3

S S S S S S⎛ ⎞+ + + + = + + + = = ΑΒΓ⎜ ⎟⎝ ⎠



( )( ) ( )

3 3

21 4 1


+=

+ minus

x x xx x


( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 211 2

1 2 2 216



ημ συν

+ minus +hArr =

+ minus +

= hArr

x x x x x xx x x x

x x

( )( ) ( )( )2 21 1 22 2 8


ημ συν+ minus


x x x xx x x

x x


x x x x

( )2 1 ημ συνminus x x( )( )2 21 2


( ) ( )( )( )1 22 8



x xx x x x x

( ) ( )( )1 1 2 02 8


( )

( )( ) ( )

0 2

1 1 2 0 32 8

ημ συν

ημ συν συν

+ =

minus minus =

x xή

x x x





⎝ ⎠x x x x

άρα

( )

( )

2 42

2 52

πκπ

κπκπ π

⎫⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎪ isinΖ⎬⎪⎛ ⎞ ⎪= + minus +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

x x

ή

x x







x x x x x x


( ) ( )2 2

2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

2 2 2 2

5 3 343 5 3 5

minus + minus +


sdot sdot

x x x x

x x x x x x x x 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

5 3 343 5

minus + + minus + +


x x x x

x x x x 2 2

2 2

2 2

2 2

25 5 9 3 343 5

minus + minus +

minus minus


x x x x

x x x x


( )2

2

2

2

5 125 9 34 23 5

3

minus +

minus +

⎛ ⎞hArr sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

x x

x x

θέτουμε 2 25

3

x x

ωminus +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


( )125 9 34 3ωω

sdot + sdot =



και λύσεις

1 29125

ω ω= =


1 2 3 40 2 1 3 1 3x x x x= = = minus = +




1ο) ( )( ) ( )2 2 2

3

1 1 1



2ο) ( )1 1 1 1

2R


le+ +




















No318





( )2 2

1 11 1+ le

+ +a b




( )2

2

0 13

0 1a ab b

⎫le le le ⎪⎬

le le le ⎪⎭


( )2 2 2 2

41 1 1 1 1

+ + ++ le + =

+ + + + + + +a b a b a b a b

b a b a ab a b


2 2

1 11 1 1


+ + + + +hArr + +




( ) ( )2

0 0

1 0a a b ble le







25 33 41 (8 17)Α = + + + + + =n

( ) ( ) ( )1 8 17 2 8 17 33 3 8 17 (8 17)= sdot + + sdot + + sdot + + + + =n

( )1 8 2 8 3 8 8 17 17 17 17φορ ς


⎝ ⎠

n έ

n

( )8 1 2 3 17= + + + + + =n n

( )18 17

2+

= + =n n

n

2 24 4 17 4 21= + + = +n n n n n δηλαδή





2 24 16 21 16 16sdot + sdot =n n k άρα







( ) ( )441 1 441 441 3 147a b= sdot = sdot



( )8 21 4 18 21 4 441+ minus = ⎫

⎬+ + = ⎭

n kI








( ) 1 1 1a b c a b cb c a a b c

⎛ ⎞+ + le + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 4MN MP d
















No319







( )( )

( )2

4 2 2 2

3 01

3 5 0

+ minus + =

+ minus + =

x xy x y a

x x y x y b






( )3 2⎛ ⎞hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

yx yx


( )4 2 2 22 2


22


22


( )2

5 3⎛ ⎞hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

yx yx


( )4yxx

ω+ =



( )2

35

5ω

ω

+ =

+ =

yy






24 44 3 1 4 0⎛ ⎞+ + = hArr + = minus hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

x x x xx x


bull Αν








( )( )

2

2

4 8 4 2 1( )

8 2 (3 4 ) 4 0 2


x y x

x xy x y x





έχουμε




8 16 3


= = isin




bull Αν

( )8 16 3 16 63 8



( )2 24 8 4 2 4 72



2 45 165

x x= hArr = plusmn



y = +


















No320








( )2φ ω=










3 1 315 3 535 5 763 7 999 9 11

143 11 13



( )1 1 1 1

2 2 2ν



1 1 12 1 3

Σ = minus13

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

15

minus15

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

19

minus19

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

111

minus1

11⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

113

minus1

13⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

115

⎡ ⎤⎛ ⎞minus =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

=1 1 12 612 13 2 13 13⎡ ⎤minus = =⎢ ⎥ sdot⎣ ⎦


13Σ =








3 3α β γ= and =














2

0

2 11 (2 )

xe x dx ex

π πημημ

= minus+int















No321





( ) ( )( ) ( )0

2 1π




( ) ( )( )0

2π


( ) ( )0

2π


( ) ( )0 0

2π π


( ) ( )0


0

0 0

2π π


f x x dx

( ) ( )0 0

2π π


( ) ( )( )0

2π


( )( )0

2π



( )0

2π


( ) ( )( ) 1

0 0 2π

π συνπ συν=

minus + = rArrf

f f


( )0 1= minusf


( )2 3 12 2



32 2

σφ σφΑ Γ

= hArr

32 2 2 2


2 32 2 2 2 2 2


22 2 2 2 2 2 2 2


22 2


22 2


22 2 2 2



Β = hArr


2 22 2







λ = minus


( )1 12

G GΗ = minus Η



















No322



1infin + = infin








( ) ( )


sdot gt


( ) ( ) ( )3 2

3 2

log 2 log 30 3

log log+ ge

x xx x











606

xlt le


[ )60 16

S⎛ ⎤



( )( ) ( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15 1

) 3 5 log 9 19 log 12 0 2



x x x x x xi

ii x x x x




2 22 225 925 9 3415 15


x x x x

( )2 22 25 325 9 34 3

3 5


x x x x


( )225 0 4

3

x x

tminus

⎛ ⎞= gt⎜ ⎟⎝ ⎠


125 9 34+ sdot =tt

ή ακόμα





1

12

2

34 16 18 9 034 16 50 50 25

34 16 502 25 1 050 50

tt

t



1925

t =


25 3 3 3






021 3 1 3S = minus +



( ) ( ) ( )2 2 2

2013 2013 2013

2 01


+ + =⎪⎩


2013 2013 20131 1 1Q

a b c= + +

(wwwMathvncom)












No323



νinfin + = infin



( )( ) ( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15 1

) 3 5 log 9 19 log 12 0 2



x x x x x xi

ii x x x x







( )53 5 0 63

x xminus = hArr =


2 50 9 19 12 03




3 3

23

5log 3 log 5 1 33

1log 5 2 5 3 59

minus






( )53 5 0 73

x xminus ne hArr ne


( ) ( )( ) ( )

2

22 2

9 19 48 3 5

81 198 11 9 11 0 8

x x

x x x




( ) ( )( )

( )

( )

12

18 30 32 3 59 19 9 11

19 11 42 3 52 3 5 3 5

xxx xt

xx x


bull Έστω


33

1log 3 327



24

3 5t

x=

minus


( )34log 9

3 5x

x=

minus


( )1 213 103

x x= =


( ) 34 5log 0

3 5 3f x x x

x= minus lt ne

minus


( )( )2

1 12 5 50 0 ln 3 3 33 5

f x xx x





( ) ( )50

3

lim limx x



( ) ( )5

3

lim limxx







1 1 327 3

S =






minusinfin

+infin

minusinfin

+infin

+infin

minusinfin












No324





( )2 2 2



2 22 2 2

΄ ημφ ημω


ΜΒ +ΜΓ ΜΒ ΜΓ= + = + =


= le

Άρα 1

22

΄ ημ

ΜΑge ΑΜΒ +ΜΓ


( )2

2

1 2 4

2΄ ημ


Σχήμα 1



( )2

2

1 3 4

2΄ ημ


και

( )2

2

1 4 4

2΄ ημ



( )2 2 2

1 1 1 1 54

2 2 2ημ ημ ημ

⎛ ⎞⎜ ⎟

ge + +⎜ ⎟Α Β Γ⎜ ⎟⎝ ⎠


( )32 2 2 2 2 2

1 1 1 13 6





le


( )2

2 2 2

1 8 7

2 2 2ημ ημ ημ

leΑ Β Γ


( )

32 2 2 2 2 2

32 2 23 3

1 1 1 13

2 2 2 2 2 2

3 8 3 2 3 2 3 4 12



δηλαδή


( )2 2 2

1 1 1 12 8

2 2 2ημ ημ ημ

+ + geΑ Β Γ
















3 3 3


geΑ+ Β+ Γ


















No325



31 83ε δrarr



( ) ( )32 2 2 2 1+ = +c d a b


( )3 3

1 2+ gea bc d


( )3 3⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b ac bdc d

( ) ( )( )2 2

3 3 2 2⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + + ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

a b ac bdc d

23 3⎛ ⎞sdot + sdot ge⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bac bdc d

( )2

3 3 24 4

⎛ ⎞sdot + sdot = + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bac bd a bc d

( )22 2= +a b άρα

( ) ( ) ( )3 3 22 2 3

⎛ ⎞+ + ge +⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b ac bd a bc d


Όμως

( ) ( )2 42 2 2 2+ = + =a b a b

( )( )( )132 2 2 2+ + =a b a b

( )( )( )


a b c d

( ) ( )2+ = +ac bd ac bd

Δηλαδή

( ) ( )22 2 4+ ge +a b ac bd


( ) ( )3 3

5⎛ ⎞

+ + ge +⎜ ⎟⎝ ⎠

a b ac bd ac bdc d


1+ gea bc d




( )29 1 2

4 1xyxminus

=+

ή ακόμα

( )29 16 1616 3

4 1xyx

sdot minus=

+


( )( )4 1 36 9 7164 1

x xyx

+ minus minus=

+



( ) ( )716 36 9 44 1

y xx

= minus minus+




bull Αν 14 1 12


bull Αν 34 1 72



Για ( )2























i jε

No326

( )

11 12 13 1

21 2 2 2 3 2

1

1 2 3

1 2

ίί

ό

μ

μ

ν ν ν ν μ



Λ rarr⎡ ⎤⎢ ⎥Λ rarr⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ Π⎢ ⎥

minus Λ rarr⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦







( )120 2οΑΟΒ = ΒΟΓ = ΓΟΑ =



( )120 4οο οΑ ΜΓ =

Σχ 1




( )60 6οο οΑ ΜΒ =





( )60 9οο ο οΑ Β Γ =





1

3lim 2

1rarr

minus

minusx

f x xx













( ) ( ) ( )( )

( )5



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

1 3lim 2 lim 2 61 1x x


minus minus= rArr =

minus minus


( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 1

1 1

6

1

3 13lim lim

113 33 3lim 1 lim 1 3

1 1 1

32 2 3 2 lim 2

1

rarr rarr

rarr rarr

rarr

minus +minus= =




x x

x x

x

f x x xf x xxx

f x f xxx xx x x

f x xx






















No327

11 12 13 1

21 2 2 23 2

1 2 3

μ

μ

ν ν ν ν μ


ε ε ε ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Α =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦





5 1 62 (20 1) 2 21 1344+ + = sdot =





( )7 2 6 35

+ +le

+a cb d



( ) ( ) ( )1 1 12 2 2


δηλαδή


( )2

4

x yxy x y R

+ge isin

για


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

54

a d b ca d b c

+ + +ge + +


( ) ( )( ) ( ) ( )2

2 64





( ) ( ) ( )2222 2 2 2

4a b c d


+ + + ge + + + minus

ή ακόμα

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

222

3

33 3 8

4

a b c d

a b c da c b d

+ + + ge

+ + +ge + + + minus


( )

( ) ( ) ( )

2

222 33 3

4

a b c d

a b c da c b d

+ + + ge

+ + +ge + + + minus

και τελικά

( ) ( ) ( ) ( )2 227 3 3 94

a b c d a c b d+ + + ge + + +



( )2 2 27 3 34

x y x y+ ge +





( )1 27 2 6 7 2 6 0 12





7 2 6 7 2 65 5

y x yminus +le le


5 5x a cy b d

+ + +le rArr le

+



2 2 2ax by x ya b+ ++

ge sdot


2 2 2ax by x ya b+ ++

le sdot


3 3 3ax by cz x y za b c+ + + ++ +

ge sdot


3 3 3ax by cz x y za b c+ + + ++ +

le sdot





(ΣΜΑ 1961)














1 2 (2 1) ji j i




No328

Σχήμα 1







( )7 2 6 35

+ +le

+a cb d



( ) ( ) ( )1 1 12 2 2


δηλαδή


( )2

4

x yxy x y R

+ge isin

για


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

54

a d b ca d b c

+ + +ge + +



( )2 2 2




( ) ( )

2

4x y

xy II+

ge



( )7 2 6 65

+ +=

+a cb d




x y= δηλαδή



( )10+=

+a c mb d


( )7 2 6 0 115

+= gtm


( )( )

( )7



( )( ) ( )7 12 210 a c b d bm m

b d b d+ minus +

= rArr = hArr+ +


( )1 133

mb dm

+hArr =


( )

( )( )

( )

2

7 2 611 5 7 2 6513 3 7 2 6 15 7 2 63

56 6 4 612 2 6 6 6

4 68 2 6 4 630 10 6 3 6

10

mb d d dm

d d d

d d

+++ + +


minus

+ ++ += = = =

minusminus minus+

= = +

άρα

( ) ( )3 6 14b c d= = +



( ) ( )5 2 6 15a d= +


















No329





( )11 ημ συν

=+ +int

d xIx x


( )22xu εφ=

τότε

2

2

1 112 2 2 2

2


prime prime⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

δηλαδή

( ) ( )22

1 21 32 1

dudu u dx dxu

= + rArr =+


( )

( )

22

22

22

2 22 411

2

1 12 511

2

xux xx u

xux xx u

εφημ ημ

εφ

εφσυν συν

εφ

= rArr =++

minus minus= rArr =

++


1 ημ συν= =

+ +intd xIx x


22

2

2 2

2211

2 111 1

++= =minus+ +

+ +

intdu

uuu uu u

21+ u 22 1+ + minusu u21+u

( )1 1 1 ln 11 1

=

= = + = + ++ +

int

int int

du

du d u u cu u

Άρα


ln 1 ( )2




( )2 21 1 1 11 1 32 2

1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ge⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

ca b a b c


( ) ( )( )( )( )

( )2 2

3

1 11 32 3

1+ + +

hArr ge+

a b a b ccab

κι επειδή


( ) ( )( )( ) ( )( )

( )2

3 2

1 1 11 32 4

+ + + +hArr ge

sdot

a b a b cab c



( )( )2

21 1 5c cab ab

= rArr =


( ) ( )( )( ) ( ) ( )21 1 1

1 32 6+ + + +

hArr gea b a b c

ab


1 2 0 1 2 0

2 0 1 2 0

a a b b

a b ab c c



άρα

( ) ( )( )22

1 2 1 27

2 1 2

a a b b

a b ab c c

⎫+ ge + ge ⎪⎬

+ ge + ge ⎪⎭


( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )

22

12

1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 32 32 8


+ + + + = =

a b a b c a b ab c
















No330



( ) ( ) ( )1 12 2 1 2 2 1 1m sn t+ ++ = + Όμως

( ) ( )( )

( )( )

( )1

1

2 1 2 121 2 22 2 1 2 1

mm s

s

t tn n

+minus

+

+ +hArr = hArr =

+ +




= hArr = hArr =









δηλαδή


κι ακόμα


( ) ( ) ( )2 22 2α



( )( )

( )2

22 3α βγβγ

β γΑΚ = minus

+



στη μορφή

( ) ( )2 5βγβ γ

ΑΚ =+



ΒΚ = ΚΓ =+ +


( )( ) ( )( )( )

2

2΄ α βγβ γ


δηλαδή

( ) ( )( )

( )2

2 7΄ α βγβ γ

ΑΚ ΚΑ =+


( )( )

( )2 2 8

2΄ α

β γΚΑ =

+



Δηλαδή

( ) ( )2 92

β γ+ΑΑ =


( ) ( ) ( ) ( )2

2 102α⎛ ⎞ΜΑ ΜΑ = minus ΟΜ⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )( ) ( )2 9 2


( ) ( ) ( ) ( )222 2 11




( ) ( ) 22

r = ΜΔ = ΜΑ

δηλαδή
















No331

Σχήμα 1






( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 2002

0

2 3 2002 1π




( ) ( ) ( ) ( )2 3 20021

0

2 3 2002 2π


( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 20022 2 3 2002 3

π

π






02

x tx t

ππ π

= rArr == rArr =

κι ακόμα


( ) ( ) ( )2

2 3 20022 2 3 2002

π

π


( ) ( ) ( )2 2002

0

2 2 2002 2002 π




( ) ( ) ( )2 20022

0

2 2 2002 2002π


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2002

0 1 2 3 2002

1 1 2 1 3 1 2002π



t t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 1

2 2002

0 2002

1 1 1 1 1 2 2002π

παρ γοντες



ά

t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1001

2 2002

0


π


t t t dt

( ) ( )2 2002

0

2 2002π


Δηλαδή

( ) ( )2 20022

0

2 2002π



( ) ( ) ( )2 20022 1

0

2 2002 6π






+ + +




Τότε



( )1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2a ah h h h h hβ γ β γ

α β γ α β γρ

+ += = = rArr + + = =


2 2 2


lt lt lt Ο lt lt


gt gt gt+ + +





⎛ ⎞+ + = + + ge⎜ ⎟+ + + Α+ Β Β + Γ Γ + Α⎝ ⎠

1 1 1 12 2 2 2


⎛ ⎞⎜ ⎟

ge + + =⎜ ⎟Α+Β Β+Γ Γ +Α⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1 ( 2)(0 )1 1 1 1 1 13 2 2 24 4

2 2 2 3

f x xή

R R



=⎛ ⎞⎜ ⎟


Άρα

1 1 1 3 1 34 2


+ + ge sdot =+ + +
















1 1 1 1 11 ( )2 4 8 16 2n n Nisin


No332



1 1 1 1 11 12 4 8 16 2

ά ή ό

n


+ + + + + + + =





( )( ) ( )( )

2 2 2

3

1 1 1



( ) ( )1 1 1 12 ) 2

2Rο


le+ +






( ) ( ) ( )1 1 12 2 2 4R


( ) ( ) ( )2 2 2R


( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 3R





( )( )( ) ( )31 1 13 4


Επομένως

( ) ( )( )( ) ( )3

1 1 1 32 27R


( ) ( ) ( ) ( )( )

3

1 1 1 33Rαβγ


( )( )( ) ( )( )

( )2

1 1 1 3 53Rαβγ

ΗΑ ΗΒ ΗΓ le


( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 33 3 3 333 63 2Rα β γ α β γ α β γ


sdot sdotsdot

δηλαδή

( )( )( )2 2 2

1 1 1 3 36α β γ

ρΗΑ ΗΒ ΗΓ le

sdot


( )( )( )2 2 2

3

1 1 1




( ) ( )1 1 12

2Rαβγ


άρα

( )

( )( )1 1 1 6

2Rαβγ


=+ + + +

αλλά

( )

( )74

R αβγ

ΑΒΓ

=Ε

και

( ) ( )2

8ρα β γ

ΑΒΓΕ=

+ +



=+ +


( ) ( )1 1 1 2 102RRρ ρ


= =+ +


2R

ρ le


( )1 1 1

2R


le+ +




( )3

3 2

1

3 2I x x dxminus













No333

( )1 1 1 1 11 1 12 4 8 16 2

ά ή ό

n


+ + + + + + + =

11 1521 11 1752 41 1 11 18752 4 81 1 1 11 193752 4 8 16

+ =

+ + =

+ + + =

+ + + + =





( ) ( )1 1 1 1a b c a b cb c a a b c

⎛ ⎞+ + le + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠






( )

1 2

1 2

1 2


+

⎫+ ge gt ⎪

⎪⎪


+ ge gt ⎪⎭


+ + + gt + +

Όμως


( )

0


gt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + gt + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + gt + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠




( )1 1 4 1MN MP d




o o

MP AMCC AC

=


( )2oo o


= sdot rArr = sdot



o o

MN BMDD BD

=


( )3oo o


= sdot rArr = sdot


1 1 1 1

1 2

2

o o

o o o o

BM AMMN MP d dBD AC

AC BD AC BDABd d AB

+ = + =sdot sdot

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Άρα


+⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠




+ sdot⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ AB

4d

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

δηλαδή 1 1 4

MN MP d+ =




















No334






Αυτά έχουν








( )2

2

0

2 1 11 (2 )

xe x dx ex

π πημημ

= minus+int


2

0

21 (2 )

xe xdx

x

πημ

ημ=

+int

( ) ( )2 2

2 20 01 (2 ) 2


x x x x x


= = =+ + +int int

( ) ( )

( )2

20

x xe x x e x xdx

x x


ημ συν

+ minus minus= =

+int

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

20

x xe x x e x xdx

x x


ημ συν


+int

2 22

0 0

1x xe edx e

x x x x

ππ π



= = = minus⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎣ ⎦int

Άρα

22

0

21

1 (2 )

xe xdx e

x

π πημημ

= minus+int






Άρα

( ) ( )

( )φ180

90 12 2

ctο

οminus ΑΒ ΑΒ

= = minus =

( ) ( )

( )180

90 22 2

ctο

ο+ ΑΒ ΑΒ

ω = = + =





και ( ) ( )1 2013f f=


(www MATHVNcom)















No335






( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2013 2013 2013

2 0 11 2


+ + =⎪⎩ Ν


( )2013 2013 20131 1 1 3Q

a b c= + +












2013 2013 2013 1a b

a b c=minus

+ + = rArr

( )2013 2013 2013 1b b cminus + + = rArr

2013bminus 2013b+

( )

2013

2013

11 1 6

cc c

+ = rArr

= rArr =


2013 2013 20131 1 1Q

a b c= + + =

( )2013 2013 20131 1 1

b cb= + + =

minus

20131

b= minus 2013

1b

+1

2013 20131 1 1

c

c c=











) rArr







45ox =


















No336













45oNMB =






( )180 1οΑ+ Γ = όμως










( )2 2 2 24 3x y z R+ + =

Σχήμα








2max 8E R=






Σχήμα 2












No337








2 2 1

4448889 4448889ν ν ν

να+ +

= = rArr

2 1 2 1

1

4 10 4 10 4 108 10 8 10 8 109

ν ν νν

ν ν

α + +

minus



( )( )

( )

1 1

1 2

4 10 10 10 1

8 10 10 10 1

9 2

ν ν νν

ν ν

α + minus

minus minus

= sdot sdot + + + +

+ sdot sdot + + + +

+


2 11 11

νν αα α α α

α

+ minus+ + + + = ne

minus



11 10 1 10 14 10 8 10 9

10 1 10 1

ν νν

να+


minus minus

2 2 1 110 10 10 104 8 99 9

ν ν ν



2 2 1 14 10 4 10 8 10 8 10 9 99 9 9

ν ν ν


= + + rArr

14 10 12 2 1 11 4 10 4 10 8 10 8 10 9 9

9

ν

ν ν ννα

++ sdot ++ + +


( )2 2 11 4 10 4 10 19

ν ννα


( )( )21 11 2 10 2 2 10 19

ν ννα


( )

( )

21

21

2 10 19

2 10 1 33

ν

ν

ν

ν

α

α

+

+

sdot += rArr

⎛ ⎞sdot += ⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμως

( )

2112 10 1 200001 66667 4

3 3

όό

ό

ν ροιν ροι

ν

ν ροι

++

+sdot += =


( )21

6666 7 5ό

ό

ν ροι

νν ροι

α+⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠




( )20 7 49α = =

ο δεύτερος

( )21 67α =

ο τρίτος

( )22 667α =






όπου













Δηλαδή



No338











( )1 2 2 1a a b c d= rArr + + + =

( )2 5 8 4 2 5 2a a b c d= rArr + + + =

( )3 23 27 9 3 12 3a a b c d= rArr + + + =


( )1

28 4 2 527 9 3 1264 16 4 23

a b c da b c d

a b c da b c d

+ + + = ⎫⎪+ + + = ⎪ Σ⎬+ + + = ⎪⎪+ + + = ⎭






= = = =





1 2 3 n nS a a a a= + + + + rArr


( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 3 1 2 3 3nS n n n= + + + + minus + + + + + rArr

( ) ( ) ( )1 2 1 12 3 36 2n


( )24 3 116n

n n nS

minus +=



τότε

( )3 3 3


geΑ+ Β+ Γ




( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

2 2 2

312

x y z xyz

x y z x y y z z x

+ + minus =



( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 23 1 42






( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 23 12



( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 213 32


Άρα 3 3 3


geΑ + Β+ Γ


60x y z ο= = rArr Α = Β = Γ =
















No339

Σχήμα 2

Σχήμα 1







( ) ( )( )( )

11 1

1 1

x x x xx x x

x x


συν ημ συν

συν ημ

Α = + + + sdot =

= + + + =

= + +

δηλαδή



προκύπτει

( )21 2 32xxσυν συν+ =

Επίσης

( ) 2 901 1 90 22

xx xο



( )21 2 45 42xx οημ συν ⎛ ⎞+ = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠



⎝ ⎠


( )2




( )

2

2

2

2 452 2

45 452 2 2 2

45 45o

x x

x x x x

x

ο

ο ο

ο

συν συν

συν συν

συν συν

⎡ ⎤⎛ ⎞Α = sdot minus =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus + minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= + minus⎣ ⎦

δηλαδή



( )1 1 1 3 0 1x x xx x x





( ) 22


Αν θέσουμε


( )

1

2 2

1 1 1 3 0

1 1 3 0

1 1 3 0

t t tt t t

t tt t

t t t t

t tt t

t t t t






+ + + + + + = hArr

+ + + + + + = hArr

⎛ ⎞ ++ + + + + = hArr⎜ ⎟ sdot⎝ ⎠



( ) ( )2 23 1 0


ημ συν ημ συν⎛ ⎞+ + + + + = hArr⎜ ⎟⎝ ⎠





2 0 2 0 2 2



2

kt π κ += isinΖ


( )122 2 1 2tημ = plusmn





( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

) 1 2 1 2) 0 0 1 2














No340





( )1 1 1 3 0 1x x xx x x





( ) ( )122 2 1 2 tημ = plusmn


( ) ( )12

1 22 2 1 2 4 4 30 452 2




( )1

30 45 30 452 4 30 30 4 22 2

tο ο ο ο


δηλαδή

( )1

75 152 82 2

t iο ο


Όμοια

( )2

30 45 30 452 4 30 30 4 22 2

tο ο ο ο


δηλαδή

( )2

15 752 82 2

t iiο ο





12 4828427 1tημ = gt


22 0828427tημ = minus



άρα



( )

( )

2 360 180

2 360 180 180

o o

o o o

t kή

t k

α

κ

α

⎫= + +⎪⎪ isinΖ⎬⎪= + minus + ⎪⎭

ή ακόμα

180 902

1802

o o

o

t k

ή

t k

α

κα

⎫= + + ⎪⎪




( )

( )

( )1

2

180 90 0122

180 1232

o o

o

t k k S

ή S

t k k S

α

α

⎫= + + = ⎪⎪⎬⎪⎪= minus =⎭




Δηλαδή

180 90 2 0122

o ot k kα ρ ρ= + + = =


Δηλαδή

180 2 1232








νν














No341

Σχήμα 1

Σχήμα 2






( )1φΑ = και

( ) 0 2β

γ

υλ λ

υ= gt


άρα

( )3β

γ

υγβ υ=


( )4γλ

β=



( )5ημ

λημ

Γ=

Β



ημ ημπ

Β = ΓΒ = ΓrArr

Β = minusΓ



22





Τότε

( ) 151


Γ+ Β+hArr = hArr

minus Γminus Β

21 2 21 2

2 2


Γ +Β ΓminusΒ+


( )1 72 1 2

λεφ εφ


hArr = sdot+


2 2 2πΒ +Γ Α

= minus


( )1 82 1 2

λεφ σφ


= sdot+


2ΓminusΒ




( )1 91 2


sdot =+



( )102




( )2 112


όμως


( )2 2 2 2π πθ θΑ Α



( )1 1 01 2 1 2 2




( ) ( )132



22



( )2 2 2 2π πω ωΑ Α















1Sω ω=Κ Κ =


( )1 1 14

S R π=

No342



( )8 1 17 7 24 4






( )22 1 3 2β γ ημ= + Β (ΣΜΑ 1961)




( )2 2 21 1 1 1 1 12 4β α γ α γ συν= + minus Β




2 2 22 6 2β α γ= + δηλαδή

( )2 2

2 73

γ βα minus=



( )2 2 2

82

α γ βσυν

αγ+ minus

Β =


( )2 2

2 2 2 2232 3


αγ αγ


( ) ( )2 22 2 2 22 2

2 2

2 43 9γ β γ β



⎝ ⎠


( )( )

2 22

2

49

3γ β

συνγ

minusΒ =


( )2 2 2 22 2

2 2

4 41 13 3γ β β γ

ημ συνγ γ


2 22 2 2 2 2

2

4 4 33β γ










( )( )

2 2 2

2 2 2

2 22 3

xx

α λ

δ λ





( )( )

2 2 2

2 2 2

2 52 6

yy

β μ

γ μ

= +ΒΜ + ΒΜ sdot






( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2 9

x y

x y

x y



















( ) ( ) ( ) ( )8 1 2 2 3 7 8 1 2 1 74

S K K K K K K K K Rπ= + + + =

δηλαδή

( )8 17 14

S Rπ=


2ν

πων

=


No343

Σχήμα 1


( ) ( )121 345 2S Rνπν νν

= minus =







2ό

τ βα β γ




άρα



sdotτ αminus


1=


δηλαδή


ΔΓ ΕΑ ΖΒ




και

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

222

22

1

α β γα β γ

τ





ΑΕ = ΑΖ =


όπου

2α β γτ + +

=


( )

2τ γτ β





ττ

sdotτ γminus

1=

δηλαδή


ΔΓ ΕΑ ΖΒ











( )98 97 969 10 10 10 10 1 10 7Α = + + + + + sdot + rArr

9Α =9910 1

10 1minus

sdotminus

10 7⎛ ⎞


( )( ) ( )

( )

( )

99 100 100

50 1002 50

2550 2

25 25

525 5

5 5

10 1 10 7 10 10 7 10 3

10 3 100 3 13 9 3

13 9 3 13 9 3

13 81 3 13 ( 13 3) 3

13 13 3 3 13 3 3

13 243 3 13 ( 13 9) 313 13

πολ

πολ πολ




πολ πολ







= + + 5 59 3 13 9 313 59049 3 13 5904613 13 4542 13

13


πολ


rArrΑ =







sdot = sdot












No295








Λύση Έστω


Έστω ότι











κι επειδή

2 2 2

2 2 2

2 22

2


z a b abi

+ = minus =

= minus +

= minus minus


( )( ) ( ) 2 2

2


hArr





( )( ) ( )( )

0 31 0

1 1 4a b b a



b a= minus τότε


x a x a







1 11 1

x a x ay x y x x R

y a y a= =⎫ ⎫




Έστω ότι




( )1 72 1xyx+

=minus





( )4 4 43 3 37 7 7 2a b c a b c+ + + + + le + +



Σχήμα 1








No296










ΑΓ = ΒΑ = ΓΒ =+ + +



Γ Β = Α Γ = Β Α =+ + +





3 3 3 3 3 3αβ βγ γα αγ βα γβ+ + = + +




















f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +




( ) ( )6

23

( ) ( )

2 8 4 6 2

F x G x

x xx x f xx x


Άρα

( )( ) ( )23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xF x

xrarr + rarr+


23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xx xrarr+ rarr +


0

2limx

xrarr+

=8+ 32minus

x ( )2

2 023 3lim

2 8 2 2 8 2 x

x

x x rarr +minus

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

4+ 22minus

x ( )2 4 2x=

+ +

0 0


= minus =+ + +


( ) 5

0 0

1 16lim lim 06 66

6x x

x

G x xx

ημ

rarr + rarr+

⎛ ⎞⎜ ⎟

bull = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟sdot⎝ ⎠

Άρα

( ) ( )0 0

lim 1 6 lim 1 6f ή

x xf x f x

συνεχ ς=

rarr+ rarr+= rArr =

και τελικά

( ) ( )0

lim 0 1 6x

f x frarr

= =



( )( )

3 3

21 16

161x x x


+=

+ minus












No297




Σχήμα 1







f =


( ) 6

6f κκ ημ κ= +



( ) ( )11 1 26

f ημle +


( ) ( ) 6



( ) ( )( )

( ) ( )60 1 10 0 0 0 0 36 6 6

i


( ) ( )( )

( )211 1 1 0 4





Αν

( ) ( )0 1 0h hsdot lt




( ) 06


και τελικά

( ) ( ) 016






( )1 2 3

1 1 1 18 1+ + geΕ Ε Ε Ε


1 2 2 2A MA B MC=


( ) ( )1 1 2

2 2 2 2

2E MA MAB MC MB MC

sdot=

sdot


( ) ( )2 1 2

1 1 1 1

3E MC MCB MA MB MA

sdot=

sdot

Σχήμα 1


( ) ( )3 1 2

2 1 2 1

4E MB MBA MC MA MC

sdot=

sdot


( ) ( ) ( )31 2

2 2 1 2 2 1

1EE EB MC B MA A MC

sdot sdot =



( )

( )

( ) ( ) ( )( )

33

1 2 3 1 2 3 1 2 3

5

2 66 1 2 3 2 2 1 2 2 11 2 3

1 1 1 1 1 1 33

3 3 6

E E E E E E E E E



= =sdot sdot

Όμως

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 2 2 1 2 2 1

61 2 3 2 2 1 2 2 16



gt + + + + + ge

ge sdot sdot

δηλαδή

( ) ( ) ( )( )

61 2 3 2 2 1 2 2 1


gesdot sdot


1 2 3

1 1 1 18E E E E+ + ge

δηλαδή η (1)


















No298

Σχήμα 1 (Δ)










2 2 2999 999 999 888 888 888 111111111Α = minus minus

( )( ) ( )( )2 2 29 111111111 8 111111111 111111111= minus minus =

( ) ( )2 2 29 8n n n= minus minus =


Άρα

444 444 444Α =








( ) ( )oo o

o

f x f yx y x y

x yminus


( ) ( ) ( )2oo o

o

f x f yx y x y

x yminus





oo ox y x y x y

o

f x f yx y x y

x yrarr rarr rarr


minus

Και επειδή

( )lim 0 lim 0o o

o ox y x yx y x y



( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx yrarr

minus=

minus

και τέλος

( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx yrarr


δηλαδή









( )( )

( )log

3log

x x

x x

x y

x wημ συν

ημ συν

ημ

συν

= ⎫⎪⎬

= ⎪⎭

Άρα

( )( )

( )4y

w

x x x

x x x

ημ ημ συν

συν ημ συν

⎫= sdot ⎪⎬

= sdot ⎪⎭




( )1 74

yw =


( )1 82

y w= =


( )( )

12

2 0

x x x

x x x x x x

ημ ημ συν


= sdot hArr

= sdot hArr minus =


02






11 1

a bb a

+ le+ +












No299












y zx


ΕΒ ΕΒ ΡΒ

άρα

( )3y z y z xx x


ΕΒ ΕΒ


Q x yQ z

ΑΔ ΒΓ Β += = =

ΚΔ ΚΔ Δ

άρα

( )4x y x y zz z


ΚΔ ΚΔ

Σχήμα 1



y z x x y zx z


ΕΒ ΚΔ







( ) ( ) ( )12ΑΚΜΛ ΑΒΓΔΕ = Ε Ι



( )1xεφφα

ΒΕ= =ΑΒ

( ) ( )45 2yοεφ φα

ΔΖminus = =

ΑΔ


( ) ( )2145 3

1 45 1

xy y xy x yx

ο

ο


α


+ sdot +


( ) ( )( )

( ) ( )3



( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 12 2 2 2


Δηλαδή

( ) ( )( ) ( )1 52ΑΕΖΕ = ΑΒ ΕΖ




2 2 2 2΄ x ΄ yα αΖΖ +ΒΕ + ΕΕ + ΔΖ +

ΜΚ = = ΜΛ = =

Άρα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

23 14 2 2


+ +Ε = ΜΚ sdot ΜΛ = = = = Ε







Σχήμα 2














No300







404 Αν







( )( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 3

3 3 33 3α β β γ γ α


hArr + + +

+ + + + =


3 3 3 3 3 3α β β γ γ αhArr + +


+

+ + + + =

άρα


( )( )( )0


hArr + + + =


Άρα

( ) ( )( ) 0 0α β γ α β γ+ + + = rArrΠ =



( )1 1ΑΡ ΑΤ+ =



( )1 1 1 2+ =ΒΕ ΓΔ ΙΗ



ΒΕ = ΓΔ =+ +


αγ αβ αβγ+ + + + +

+ = + = =ΒΕ ΓΔ

2 2 1 12


= = = = =Ε ΙΗ




90 2


άρα

( )3ΑΒ ΙΒ=

ΙΒ ΒΕ



( )4ΑΡ ΑΒ=

ΙΧ ΙΒ


=ΙΧ ΒΕ

και τελικά

( )5ΑΡ ΙΧ=

ΒΙ ΒΕ


( )6ΑΤ ΙΨ=

ΓΙ ΓΔ

Όμως



άρα

1ΑΡ ΑΤ+ =

ΒΙ ΓΙ




4 2 2 2

3 03 5 0


+ minus + =

(wwwmathvncom)










No301

Σχήμα 1





( )1 12

ΒΔ=




( )1 22

ΑΕ = ΑΓ



( )22 2 2 2 2 21 3


30deg

Σχήμα 1

75degx45deg

Ε

Δ

Α

Β Γ


δηλαδή

2 243

ΑΓ = ΓΕ


2 43 2

ΒΓΑΓ = sdot

δηλαδή

2 223

ΑΓ = ΒΓ rArr

( )2 2 43

ΑΓ = ΒΓsdotΒΓ


( ) ( )1 2 31 52 2


ΔΓ



ΒΓ ΑΓ




60οΑΔΓ =







60ο




2

180 40 702

ο οοminus

Μ = ΝΒΜ = =



Και τελικά

30οΒΜΓ =



2

4 8 4 2( )

8 2 (3 4 ) 4 0

x y x

x xy x y x





χΣχήμα 2

1 2

80deg

120deg

60deg

80deg

20deg

ΜΝ

Γ

Α

Β








No302







( )2



( ) 12 2 2


δηλαδή

( )12

β γ αρ + minus=





2β γ αρ + minus




( )( )2a bc

a b a c+ +



( )( )

( )( ) ( )

22

22

a bc (2 )a b a c

a bc 4 1a b a c

ρ

ρ

ge hArr+ +

ge+ +


( )( ) ( ) ( )2

2a bc 4 a 2a b a c

τge minus+ +

όπου

( )32

a b cτ

+ +=


( ) ( )( )



( )( ) ( )2

2a bc b c aa b a c



( )5b ac a

ημσυν

= Β ⎫⎬= Β⎭


( )( )( )( ) ( )2

4

1 1 1 6

ημ συν


hArr Β Β ge




( )( )

( )

6

2 1

1

ημ συν





























No303






( )( ) ( )2a bc 1

a b a c+ +





( )2

caAD BDa bbaAE CE

a c

⎫prime = = ⎪⎪+⎬⎪prime = =⎪+ ⎭




prime prime



primesdot sdot =



( )1 5a a EEb CE CE

primesdot sdot =


( ) ( )22 6bEE CE

aprime = sdot


( )( )

3

2 7bEEa c

prime =+

Κι ακόμα

( )( )

( )

( )

3 32



( )( )

( )

3 3

2 2



+ + ++ +

( )( )

22 2 2 2 2 2

1a c b b a c b c a

a cminus






( )21 2 22

bc xge

Είναι


( ) ( )21 1 12 2 2




( )3bcxb c

=+


( )

( )( ) ( )

2 2

2 22 2

2

12 2 42

4 4 0

bc bcbc bcb c b c

b cbc b c bc b cb c





( )1

caAD BDa bbaAE CE

a c

⎫prime = = ⎪⎪+⎬⎪prime = =⎪+ ⎭




( )( ) ( ) ( ) ( )2

221 2 22

a bcAD AEa b a c

















No304


(1694-1778)






( )( )2a bc

a b a c+ +




( )1 1 1 1BD CE ρ

+ =



= =+ +


( ) 1 1 11 ca baa b a c

ρhArr + = hArr

+ +

1a b a cac ab ρ+ +

hArr + = hArr


+ + +hArr = hArr


+ + +hArr = hArr





hArr = hArr = hArr

1 2 12

a b cbc

τ τρρ ρ




( ) ( ) ( ) ( )2

22 3a bca b a c

ρge+ +



BD CEBD CE

ρ sdot=

+


( )2

4 4 BD CEBD CEBD CE


( )( )

2 22



+







( )( )

2

1 2

2

3

ΑΗ = ΑΗ

ΓΗ = ΓΗ = ΓΗ







2 1 60οφ θ ωΟΑΗ = + =Η ΑΓ + = Α =

Άρα ΑΗ = ΑΟ




( ) ( )( )0

2f x f x xπ















No305















( )10 3x y+ = ή




( ) ( )215 8 80 6y yΔ = minus + +










( )1σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β




ΑΔ ΑΔ



( )3ΔΖ ΔΓ=

ΖΕ ΒΔ








( )5ΒΘ ΑΕ=

ΘΕ ΕΖ


( ) ( )4 β βυ υ α

α



αβ

α


ΓhArr =


sdot Β

βυhArr

α

β

υ ημ γσυν=

Γminus Αβυ

β

α

συν γ συν


Γ sdot Β


( )

( )

α

α


ημ


ημ


Γ





2 32 2


(DH Can Tho 1998)



















No306





( )1σφσφ

ΔΖ Γ=

ΖΕ Β





( )3ΔΖ ΓΔ=

ΖΕ ΔΒ


1x yγ α+ =






( )6γλ

αΔΕ =


( ) ( ) 7y xγα

ΔΕ =


( )2 2

2 2 2 2 8α γ αγα γ α γ⎛ ⎞

Ε⎜ ⎟+ +⎝ ⎠


( )10γλ

β=


( )1 11

1

x xx

y yy

λλλλ

Δ ΕΖ

Δ ΕΖ

+ ⎫= ⎪⎪+⎬+ ⎪=⎪+ ⎭


( )( )

( )( )( )

2 2

2 2

3

2 2

12

x

y

α γβ γ α γ

αγβ γ α γ

Ζ

Ζ

⎫= ⎪+ + ⎪

⎬⎪= ⎪+ + ⎭



( )( ) ( )( ) ( )2 2 3

2 2 2 2 13α γ αγ


⎛ ⎞⎜ ⎟Ζ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠


( )

2

22 2

2 2 2 2

2 2

014

αγαγα γλ


ΒΕ

minus+= =

+ +++

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

3

2 2 3 2 2

2 2 2

2 2

140


λα γ αγ

β γ α γ

ΑΖ

minus+ + minus + +

= =minus


( ) ( )3 2 22

2 2 2 2 1γ β γ α γαγλ λ



+ +






















No307








( ) ( )

( ) ( )

22

22

) 3 2 3 2 1

) 8 5 5 1 8 2

i x x

ii x x

+ minus =

minus minus = minus



( )2

2

3 24

2 3x yy x

⎫+ = ⎪⎬

= minus ⎪⎭

Κι ακόμα

( )( )( )

2

2

2 3 54

2 3 6

x y

y x





( )

( )

71 3 8

3

y xxy

=

minus=





1 2213

x x= minus =


1 33

xy minus=


2 21 3 2 3 9 3 5 03



341 21

6x plusmn

=


2 1 21 1 211 3 6 6

S⎧ ⎫minus +⎪ ⎪= minus⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭






( )( )

2

2

2 5 1 11

2 5 1 12

y x

x y

⎫= minus ⎪⎬

= minus ⎪⎭


( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 5

2 5 2 5 0

y x x y

y x x y x y y x x y

minus = minus hArr



( )

( )

( )

1305 22 5 14

5

y xy xxx y y





121 6

5x plusmn

=


5xy +

= minus


2 2

2

5 2 10 42 5 1 5 15 5

25 10 1 0

x xx x

x x


hArr + minus =


341 2

5x minus plusmn

=


1 2 3 41 6 1 6 1 2 1 2

5 5 5 5S x x x x




( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15) 3 5 log 9 19 log 12 0




(wwwmathvncom)















No308








( )1 1 1 1a b ca b c


( )3 2a b cabc




( ) ( )( )

2 2 2

2 2 2

1 2 2 2 3

4


x y z xy yz zx

hArr + + + + + ge + + hArr


( ) ( )

0

22

1 1 1

1 1 1 5

a b ca b c

a b c

a b ca b c

gt

+ + ge + + rArr

⎛ ⎞rArr + + ge + +⎜ ⎟⎝ ⎠


( )21 1 1 1 1 13 6

a b c ab bc ca⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ge + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


( ) ( )2 1 1 13 7a b cab bc ca

⎛ ⎞+ + ge + +⎜ ⎟⎝ ⎠



( )02 3

a b ca b ca b cabc

+ + gt+ +⎛ ⎞+ + ge rArr⎜ ⎟⎝ ⎠

3a b cabc

rArr + + ge


( )201 601 1201 9001 12 6 12 90



201 601 1201 90012 6 12 90

S = + + + + =

200 1 600 1 1200 1 9000 12 2 6 6 12 12 90 90

= + + + + + + + + =

1 1 1 1100 100 100 1002 6 12 90

= + + + + + + + + =

1 1 1 1900 2 6 12 90

= + + + + + =

1900 12

= + minus12

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

13

minus13

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

14

minus19

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

110

⎛ ⎞minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 9 9009900 1 90010 10 10


900910

S =


( )( )

100 1 1201 601 1201 2 6 12 1n

n nS

n nsdot + +

= + + + ++


( )2 1100

1nn nS nn n+ minus

= sdot minus+



ctΜΓ=

ΝΔ



( )1

2

1RR

ΓΖ ΑΓ= =

ΔΕ ΑΕ


( )11

2

R ctR

ΜΓ ΓΖ= = =

ΔΝ ΔΕ



2 2 2




















No309











2 2 2 20111 2 1 2 1 2 12 2 2ax bx x






( )2 2 2

2 2 2

20112 2 2 3

ax bx x

x Rx x x


2 2 22 2 2

2 2 2

201120112 2 2

2 2 2 20112 2 2

ax bx xa b

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


και τέλος

( )

2 2 2

2 2 22011

20112 2 2 420112 2 22 2 2

ax bx xa b

ax bx x

ημ ημ ημ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



20112 2 21 1 12011

2 2 2

ax bx x

ax bx x



2 2 2a b⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠




22011






2011x π=


( )( ) ( ) ( ) 1 72011 2011





Άρα



( )( ) ( )2 22 2 2 2 2 20 2 1 2011 2 1 2011 2011a b λ π λ π+ = + + = + ge δηλαδή







δηλαδή 2 2011

kx k Zπ= isin






3 3

1a bc d+ ge

(mathvncom)


















No310





( )22 1 3 1R R R=



( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 21 2 1 2 1 24

d O O O O

R R R R R R

= Γ = minus Γ =

= + minus minus =

άρα 2


1 22d R R=




( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 21 2 1 2

1 2

2

d O O O O

R R x R R

R R

= Γ = minus Γ =

= + + minus minus =


2

1 24

R

R x R x

+ =

= + +

άρα




Σχήμα 1

Α Β



( )( )( )

1 2 1 2

2 3 2 3

1 3 1 2 2 3

2

2 2

2

R R

R R

R R R R

⎫Τ Τ =⎪⎪Τ Τ = ⎬⎪

Τ Τ = + + ⎪⎭

Όμως



( ) ( ) ( )( )( )22





( )2



















No311






+ + ge+








( )( ) ( ) ( )( )22 2 22 2 3 0

ό ά









( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )

2 2

2 2

2 2

2 2

a b ab a b ab

a b ab a b ab


( ) ( )2 23 4a b a b ab⎡ ⎤= + minus + + =⎣ ⎦






0D = Δηλαδή


( )2 2 222 4 2 3

2 2a b ab a ak a+ + +

= = =


( )4k abma bminus

=+













23k a=





1

3lim

1x

f x xxrarr

minus

minus













No312









( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2

2

1

1

k n k

kn k k n n kn k k

n kn k n k

n k n k n k

n k n k n




= + minus minus ge

δηλαδή









( )2 2010201120102011 20102011gt


την






( )11 1 5k

kk

⎛ ⎞+ gt +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 1 1 1 6k

kk k kk

⎛ ⎞+ gt +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 2 1 1 1 1k

kk k k kk

⎛ ⎞+ gt + +⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )2 1 1 1k

k kk k k kk+⎛ ⎞+ gt +⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠


11 12n

na nn

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠


11 2718n

en

⎛ ⎞+ rarr =⎜ ⎟⎝ ⎠


1 11 2718 3 1 3n n

e n Nn n


και επειδή


11 1k

kk

⎛ ⎞+ lt +⎜ ⎟⎝ ⎠




7 2 65

a cb d+ +












No313





( ) ( )52 3 2 2 0 12



( ) ( ) ( )2 51 2 1 3 2 02


( )2 52 1 2 3 02




( )

( ) ( )

2

2 2

4 4 3

3 3 3 0


συν συν



( )( ) ( )2 2


( )( ) ( )2


( )( ) ( )2


( ) ( )( ) ( )

2 3 0 20 3

συν συνημ


ΒminusΓ = ⎪⎭




( )2 3 0

32 3 02

συν συν

συν συν



και τελικά

30οΑ = και

75οΒ = Γ =


Εάν ( )1 2 3 4 0 2z z z z+ + + =


( )2011 2011 2011 20111 2 3 4 3z z z zΑ = + + +



2

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 10 0rz z z z z z z z

⎛ ⎞+ + + = hArr + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 2 3 4 1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1z z z z z z z z z z



( ) ( ) ( )2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3

1 2 3


+ + + + + + + + =

=2 2 2 2 2 2




( ) ( ) ( )2 23 1 2 3 1 2 1 2 1 2 0z z z z z z z z z zhArr + + + + + =

( ) ( ) 21 2 3 1 2 3 1 2 0z z z z z z z z⎡ ⎤hArr + + + + =⎣ ⎦

( ) 21 2 3 1 3 2 3 1 2 0z z z z z z z z z⎡ ⎤hArr + + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 1 3 0z z z z z z z zhArr + + + + =⎡ ⎤⎣ ⎦





2011 2011 2011 20111 2 3 4z z z zΑ = + + + =

( ) ( )2011 20112011 20111 2 1 2 0z z z z= + + minus + minus =



1dxIx xημ συν

=+ +int


2 21 1 1 11 1 321c

a b a b c⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ge⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠




















No314










ΔΕ ΑΓ Άρα

( )1βα

ΕΚ ΓΔ= =

ΚΒ ΒΓ


( )2βα

ΕΛ ΕΔ= =

ΛΓ ΑΓ


=ΚΒ ΛΓ




( )( )( )

( )( )( )

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2

2 2 2

1

1

1

8 1 1 1

α α α α α

β β β β β

γ γ γ γ γ

α α β β γ γ

+ + + + + sdot

sdot + + + + + sdot

sdot + + + + + ge

ge + + + + + +


Είναι

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

5 4 3 2 2

3 2 2 2

22 3 2

1 2 1

1 1 2 1

1 1 2 1 1 0




+ + + + + minus + + =

= + + + + + minus + + =



( ) ( )5 4 3 2 21 2 1 2β β β β β β β β β+ + + + + ge + +










Πράγματι

















No315






( ) ( ) ( ) ( )3 2 2ΑΒ + ΑΓ le ΒΓ



( ) ( ) ( )1 32

ΒΗ = ΑΒ



( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 52ΑΒ



( ) ( ) ( )3 62

ΑΓΓΚ =




( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 82



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3 2 2

3 2

3 2





( )( )

2 2 2

2 2 2 2

22 2 2

3 2 3 2 3 4

3 2 3 4

0 3 2 3 0 3 2 3


β γ βγ β γ



+ + le + hArr





2 1α

ΑΔle minus

ΔΙ Λύση


( )1α

α α α α α α



ΔΙ ΔΙ


Όμως


= Ε rArr = rArr =


4

R

α α α


τ

ΑΔ= = =

ΔΙ

= 2Rα

ρα ρ

( )

2

2

4

4 3

R

R

ατ ρ

α

ρα

ρα

=

=

ΑΔrArr =

ΔΙ


( )

2 24 2 2 1

1 4

Rα

α


β γα


ΔΙΑΔ +

= minusΔΙ


( ) ( )2

2 2 2 52 2


+ + += + ge = rArr le


2 1α

ΑΔle minus




( ) ( ) ( )2

2 3 2002

0

2 3 2002I x x x xπ





ρ

ρ

τ =

Σχ 2









No316

Σχ 1







( )12 2




( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 1 2

α δ αδ συν

α δ αδ συν




( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2

2 1 3

β γ βγ συν

β γ βγ συν









2αδ sdot 2 22

ημ βγΑ= sdot 2

2ημ Γ


0 02 2

ημ ημΑ Γgt gt

θα είναι


Α Γsdot = sdot






( )3 237 312

aa ++ le


( )3 237 4 12

bb ++ le ( )3 237 5

12cc +

+ le


( )33 3 697 7 7 612

a b ca b c + + ++ + + + + le


( )4

4 33 4 74



( ) ( )4 43 38 94 4

b cb c+ +le le



( )4 4 4 9 10

4a b ca b c + + +

+ + le


( ) ( )4 4 4 4 4 49 4 6969 285 11

12 12 48a b ca b c a b c+ + + ++ + + + + +

le =


( )4 4 4

33 3 2857 7 7 1248

a b ca b c + + ++ + + + + le


( )( ) ( )

4 4 44 4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4

285 248

285 96 3 13

a b c a b c

a b c a b c a b c

+ + +le + + hArr

+ + + le + + hArr + + ge

Όμως

( )

4 4 4 4 4 4 24

4 4 4 4 4 4 24

4 4 4 4 4 4 24

1 4 1 4

1 4 1 4

1 4 1 4

a b b a b b ab

b c c b c c bc

c a a c a a ca

+


+ + + ge sdot = ⎪⎭

( ) ( )( )1





3 1 1 1 12 2R α β β γ γ α ρ

le + + le+ + +













( ) ( ) ( ) ( )1 14





( )2 11 24

S S=


No317

Σχ 1


( )3 2 11 1 34 16

S S S= =


( )1 2 3 4 1 11 1 4 4 1 4 16 3 3

S S S S S S⎛ ⎞+ + + + = + + + = = ΑΒΓ⎜ ⎟⎝ ⎠



( )( ) ( )

3 3

21 4 1


+=

+ minus

x x xx x


( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 211 2

1 2 2 216



ημ συν

+ minus +hArr =

+ minus +

= hArr

x x x x x xx x x x

x x

( )( ) ( )( )2 21 1 22 2 8


ημ συν+ minus


x x x xx x x

x x


x x x x

( )2 1 ημ συνminus x x( )( )2 21 2


( ) ( )( )( )1 22 8



x xx x x x x

( ) ( )( )1 1 2 02 8


( )

( )( ) ( )

0 2

1 1 2 0 32 8

ημ συν

ημ συν συν

+ =

minus minus =

x xή

x x x





⎝ ⎠x x x x

άρα

( )

( )

2 42

2 52

πκπ

κπκπ π

⎫⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎪ isinΖ⎬⎪⎛ ⎞ ⎪= + minus +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

x x

ή

x x







x x x x x x


( ) ( )2 2

2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

2 2 2 2

5 3 343 5 3 5

minus + minus +


sdot sdot

x x x x

x x x x x x x x 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

5 3 343 5

minus + + minus + +


x x x x

x x x x 2 2

2 2

2 2

2 2

25 5 9 3 343 5

minus + minus +

minus minus


x x x x

x x x x


( )2

2

2

2

5 125 9 34 23 5

3

minus +

minus +

⎛ ⎞hArr sdot + sdot =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

x x

x x

θέτουμε 2 25

3

x x

ωminus +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


( )125 9 34 3ωω

sdot + sdot =



και λύσεις

1 29125

ω ω= =


1 2 3 40 2 1 3 1 3x x x x= = = minus = +




1ο) ( )( ) ( )2 2 2

3

1 1 1



2ο) ( )1 1 1 1

2R


le+ +




















No318





( )2 2

1 11 1+ le

+ +a b




( )2

2

0 13

0 1a ab b

⎫le le le ⎪⎬

le le le ⎪⎭


( )2 2 2 2

41 1 1 1 1

+ + ++ le + =

+ + + + + + +a b a b a b a b

b a b a ab a b


2 2

1 11 1 1


+ + + + +hArr + +




( ) ( )2

0 0

1 0a a b ble le







25 33 41 (8 17)Α = + + + + + =n

( ) ( ) ( )1 8 17 2 8 17 33 3 8 17 (8 17)= sdot + + sdot + + sdot + + + + =n

( )1 8 2 8 3 8 8 17 17 17 17φορ ς


⎝ ⎠

n έ

n

( )8 1 2 3 17= + + + + + =n n

( )18 17

2+

= + =n n

n

2 24 4 17 4 21= + + = +n n n n n δηλαδή





2 24 16 21 16 16sdot + sdot =n n k άρα







( ) ( )441 1 441 441 3 147a b= sdot = sdot



( )8 21 4 18 21 4 441+ minus = ⎫

⎬+ + = ⎭

n kI








( ) 1 1 1a b c a b cb c a a b c

⎛ ⎞+ + le + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 4MN MP d
















No319







( )( )

( )2

4 2 2 2

3 01

3 5 0

+ minus + =

+ minus + =

x xy x y a

x x y x y b






( )3 2⎛ ⎞hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

yx yx


( )4 2 2 22 2


22


22


( )2

5 3⎛ ⎞hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

yx yx


( )4yxx

ω+ =



( )2

35

5ω

ω

+ =

+ =

yy






24 44 3 1 4 0⎛ ⎞+ + = hArr + = minus hArr + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

x x x xx x


bull Αν








( )( )

2

2

4 8 4 2 1( )

8 2 (3 4 ) 4 0 2


x y x

x xy x y x





έχουμε




8 16 3


= = isin




bull Αν

( )8 16 3 16 63 8



( )2 24 8 4 2 4 72



2 45 165

x x= hArr = plusmn



y = +


















No320








( )2φ ω=










3 1 315 3 535 5 763 7 999 9 11

143 11 13



( )1 1 1 1

2 2 2ν



1 1 12 1 3

Σ = minus13

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

15

minus15

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

19

minus19

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

111

minus1

11⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

113

minus1

13⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

115

⎡ ⎤⎛ ⎞minus =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

=1 1 12 612 13 2 13 13⎡ ⎤minus = =⎢ ⎥ sdot⎣ ⎦


13Σ =








3 3α β γ= and =














2

0

2 11 (2 )

xe x dx ex

π πημημ

= minus+int















No321





( ) ( )( ) ( )0

2 1π




( ) ( )( )0

2π


( ) ( )0

2π


( ) ( )0 0

2π π


( ) ( )0


0

0 0

2π π


f x x dx

( ) ( )0 0

2π π


( ) ( )( )0

2π


( )( )0

2π



( )0

2π


( ) ( )( ) 1

0 0 2π

π συνπ συν=

minus + = rArrf

f f


( )0 1= minusf


( )2 3 12 2



32 2

σφ σφΑ Γ

= hArr

32 2 2 2


2 32 2 2 2 2 2


22 2 2 2 2 2 2 2


22 2


22 2


22 2 2 2



Β = hArr


2 22 2







λ = minus


( )1 12

G GΗ = minus Η



















No322



1infin + = infin








( ) ( )


sdot gt


( ) ( ) ( )3 2

3 2

log 2 log 30 3

log log+ ge

x xx x











606

xlt le


[ )60 16

S⎛ ⎤



( )( ) ( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15 1

) 3 5 log 9 19 log 12 0 2



x x x x x xi

ii x x x x




2 22 225 925 9 3415 15


x x x x

( )2 22 25 325 9 34 3

3 5


x x x x


( )225 0 4

3

x x

tminus

⎛ ⎞= gt⎜ ⎟⎝ ⎠


125 9 34+ sdot =tt

ή ακόμα





1

12

2

34 16 18 9 034 16 50 50 25

34 16 502 25 1 050 50

tt

t



1925

t =


25 3 3 3






021 3 1 3S = minus +



( ) ( ) ( )2 2 2

2013 2013 2013

2 01


+ + =⎪⎩


2013 2013 20131 1 1Q

a b c= + +

(wwwMathvncom)












No323



νinfin + = infin



( )( ) ( ) ( )

2 2 22 1 2 1 2

23 3

) 25 9 34 15 1

) 3 5 log 9 19 log 12 0 2



x x x x x xi

ii x x x x







( )53 5 0 63

x xminus = hArr =


2 50 9 19 12 03




3 3

23

5log 3 log 5 1 33

1log 5 2 5 3 59

minus






( )53 5 0 73

x xminus ne hArr ne


( ) ( )( ) ( )

2

22 2

9 19 48 3 5

81 198 11 9 11 0 8

x x

x x x




( ) ( )( )

( )

( )

12

18 30 32 3 59 19 9 11

19 11 42 3 52 3 5 3 5

xxx xt

xx x


bull Έστω


33

1log 3 327



24

3 5t

x=

minus


( )34log 9

3 5x

x=

minus


( )1 213 103

x x= =


( ) 34 5log 0

3 5 3f x x x

x= minus lt ne

minus


( )( )2

1 12 5 50 0 ln 3 3 33 5

f x xx x





( ) ( )50

3

lim limx x



( ) ( )5

3

lim limxx







1 1 327 3

S =






minusinfin

+infin

minusinfin

+infin

+infin

minusinfin












No324





( )2 2 2



2 22 2 2

΄ ημφ ημω


ΜΒ +ΜΓ ΜΒ ΜΓ= + = + =


= le

Άρα 1

22

΄ ημ

ΜΑge ΑΜΒ +ΜΓ


( )2

2

1 2 4

2΄ ημ


Σχήμα 1



( )2

2

1 3 4

2΄ ημ


και

( )2

2

1 4 4

2΄ ημ



( )2 2 2

1 1 1 1 54

2 2 2ημ ημ ημ

⎛ ⎞⎜ ⎟

ge + +⎜ ⎟Α Β Γ⎜ ⎟⎝ ⎠


( )32 2 2 2 2 2

1 1 1 13 6





le


( )2

2 2 2

1 8 7

2 2 2ημ ημ ημ

leΑ Β Γ


( )

32 2 2 2 2 2

32 2 23 3

1 1 1 13

2 2 2 2 2 2

3 8 3 2 3 2 3 4 12



δηλαδή


( )2 2 2

1 1 1 12 8

2 2 2ημ ημ ημ

+ + geΑ Β Γ
















3 3 3


geΑ+ Β+ Γ


















No325



31 83ε δrarr



( ) ( )32 2 2 2 1+ = +c d a b


( )3 3

1 2+ gea bc d


( )3 3⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b ac bdc d

( ) ( )( )2 2

3 3 2 2⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + + ge⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

a b ac bdc d

23 3⎛ ⎞sdot + sdot ge⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bac bdc d

( )2

3 3 24 4

⎛ ⎞sdot + sdot = + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

a bac bd a bc d

( )22 2= +a b άρα

( ) ( ) ( )3 3 22 2 3

⎛ ⎞+ + ge +⎜ ⎟

⎝ ⎠

a b ac bd a bc d


Όμως

( ) ( )2 42 2 2 2+ = + =a b a b

( )( )( )132 2 2 2+ + =a b a b

( )( )( )


a b c d

( ) ( )2+ = +ac bd ac bd

Δηλαδή

( ) ( )22 2 4+ ge +a b ac bd


( ) ( )3 3

5⎛ ⎞

+ + ge +⎜ ⎟⎝ ⎠

a b ac bd ac bdc d


1+ gea bc d




( )29 1 2

4 1xyxminus

=+

ή ακόμα

( )29 16 1616 3

4 1xyx

sdot minus=

+


( )( )4 1 36 9 7164 1

x xyx

+ minus minus=

+



( ) ( )716 36 9 44 1

y xx

= minus minus+




bull Αν 14 1 12


bull Αν 34 1 72



Για ( )2























i jε

No326

( )

11 12 13 1

21 2 2 2 3 2

1

1 2 3

1 2

ίί

ό

μ

μ

ν ν ν ν μ



Λ rarr⎡ ⎤⎢ ⎥Λ rarr⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ Π⎢ ⎥

minus Λ rarr⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦







( )120 2οΑΟΒ = ΒΟΓ = ΓΟΑ =



( )120 4οο οΑ ΜΓ =

Σχ 1




( )60 6οο οΑ ΜΒ =





( )60 9οο ο οΑ Β Γ =





1

3lim 2

1rarr

minus

minusx

f x xx













( ) ( ) ( )( )

( )5



( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

1 3lim 2 lim 2 61 1x x


minus minus= rArr =

minus minus


( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 1

1 1

6

1

3 13lim lim

113 33 3lim 1 lim 1 3

1 1 1

32 2 3 2 lim 2

1

rarr rarr

rarr rarr

rarr

minus +minus= =




x x

x x

x

f x x xf x xxx

f x f xxx xx x x

f x xx






















No327

11 12 13 1

21 2 2 23 2

1 2 3

μ

μ

ν ν ν ν μ


ε ε ε ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Α =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦





5 1 62 (20 1) 2 21 1344+ + = sdot =





( )7 2 6 35

+ +le

+a cb d



( ) ( ) ( )1 1 12 2 2


δηλαδή


( )2

4

x yxy x y R

+ge isin

για


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

54

a d b ca d b c

+ + +ge + +


( ) ( )( ) ( ) ( )2

2 64





( ) ( ) ( )2222 2 2 2

4a b c d


+ + + ge + + + minus

ή ακόμα

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

222

3

33 3 8

4

a b c d

a b c da c b d

+ + + ge

+ + +ge + + + minus


( )

( ) ( ) ( )

2

222 33 3

4

a b c d

a b c da c b d

+ + + ge

+ + +ge + + + minus

και τελικά

( ) ( ) ( ) ( )2 227 3 3 94

a b c d a c b d+ + + ge + + +



( )2 2 27 3 34

x y x y+ ge +





( )1 27 2 6 7 2 6 0 12





7 2 6 7 2 65 5

y x yminus +le le


5 5x a cy b d

+ + +le rArr le

+



2 2 2ax by x ya b+ ++

ge sdot


2 2 2ax by x ya b+ ++

le sdot


3 3 3ax by cz x y za b c+ + + ++ +

ge sdot


3 3 3ax by cz x y za b c+ + + ++ +

le sdot





(ΣΜΑ 1961)














1 2 (2 1) ji j i




No328

Σχήμα 1







( )7 2 6 35

+ +le

+a cb d



( ) ( ) ( )1 1 12 2 2


δηλαδή


( )2

4

x yxy x y R

+ge isin

για


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

54

a d b ca d b c

+ + +ge + +



( )2 2 2




( ) ( )

2

4x y

xy II+

ge



( )7 2 6 65

+ +=

+a cb d




x y= δηλαδή



( )10+=

+a c mb d


( )7 2 6 0 115

+= gtm


( )( )

( )7



( )( ) ( )7 12 210 a c b d bm m

b d b d+ minus +

= rArr = hArr+ +


( )1 133

mb dm

+hArr =


( )

( )( )

( )

2

7 2 611 5 7 2 6513 3 7 2 6 15 7 2 63

56 6 4 612 2 6 6 6

4 68 2 6 4 630 10 6 3 6

10

mb d d dm

d d d

d d

+++ + +


minus

+ ++ += = = =

minusminus minus+

= = +

άρα

( ) ( )3 6 14b c d= = +



( ) ( )5 2 6 15a d= +


















No329





( )11 ημ συν

=+ +int

d xIx x


( )22xu εφ=

τότε

2

2

1 112 2 2 2

2


prime prime⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

δηλαδή

( ) ( )22

1 21 32 1

dudu u dx dxu

= + rArr =+


( )

( )

22

22

22

2 22 411

2

1 12 511

2

xux xx u

xux xx u

εφημ ημ

εφ

εφσυν συν

εφ

= rArr =++

minus minus= rArr =

++


1 ημ συν= =

+ +intd xIx x


22

2

2 2

2211

2 111 1

++= =minus+ +

+ +

intdu

uuu uu u

21+ u 22 1+ + minusu u21+u

( )1 1 1 ln 11 1

=

= = + = + ++ +

int

int int

du

du d u u cu u

Άρα


ln 1 ( )2




( )2 21 1 1 11 1 32 2

1⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + ge⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

ca b a b c


( ) ( )( )( )( )

( )2 2

3

1 11 32 3

1+ + +

hArr ge+

a b a b ccab

κι επειδή


( ) ( )( )( ) ( )( )

( )2

3 2

1 1 11 32 4

+ + + +hArr ge

sdot

a b a b cab c



( )( )2

21 1 5c cab ab

= rArr =


( ) ( )( )( ) ( ) ( )21 1 1

1 32 6+ + + +

hArr gea b a b c

ab


1 2 0 1 2 0

2 0 1 2 0

a a b b

a b ab c c



άρα

( ) ( )( )22

1 2 1 27

2 1 2

a a b b

a b ab c c

⎫+ ge + ge ⎪⎬

+ ge + ge ⎪⎭


( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )

22

12

1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 32 32 8


+ + + + = =

a b a b c a b ab c
















No330



( ) ( ) ( )1 12 2 1 2 2 1 1m sn t+ ++ = + Όμως

( ) ( )( )

( )( )

( )1

1

2 1 2 121 2 22 2 1 2 1

mm s

s

t tn n

+minus

+

+ +hArr = hArr =

+ +




= hArr = hArr =









δηλαδή


κι ακόμα


( ) ( ) ( )2 22 2α



( )( )

( )2

22 3α βγβγ

β γΑΚ = minus

+



στη μορφή

( ) ( )2 5βγβ γ

ΑΚ =+



ΒΚ = ΚΓ =+ +


( )( ) ( )( )( )

2

2΄ α βγβ γ


δηλαδή

( ) ( )( )

( )2

2 7΄ α βγβ γ

ΑΚ ΚΑ =+


( )( )

( )2 2 8

2΄ α

β γΚΑ =

+



Δηλαδή

( ) ( )2 92

β γ+ΑΑ =


( ) ( ) ( ) ( )2

2 102α⎛ ⎞ΜΑ ΜΑ = minus ΟΜ⎜ ⎟⎝ ⎠


( ) ( ) ( )( ) ( )2 9 2


( ) ( ) ( ) ( )222 2 11




( ) ( ) 22

r = ΜΔ = ΜΑ

δηλαδή
















No331

Σχήμα 1






( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 2002

0

2 3 2002 1π




( ) ( ) ( ) ( )2 3 20021

0

2 3 2002 2π


( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 20022 2 3 2002 3

π

π






02

x tx t

ππ π

= rArr == rArr =

κι ακόμα


( ) ( ) ( )2

2 3 20022 2 3 2002

π

π


( ) ( ) ( )2 2002

0

2 2 2002 2002 π




( ) ( ) ( )2 20022

0

2 2 2002 2002π


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2002

0 1 2 3 2002

1 1 2 1 3 1 2002π



t t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 1

2 2002

0 2002

1 1 1 1 1 2 2002π

παρ γοντες



ά

t t t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1001

2 2002

0


π


t t t dt

( ) ( )2 2002

0

2 2002π


Δηλαδή

( ) ( )2 20022

0

2 2002π



( ) ( ) ( )2 20022 1

0

2 2002 6π






+ + +




Τότε



( )1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2a ah h h h h hβ γ β γ

α β γ α β γρ

+ += = = rArr + + = =


2 2 2


lt lt lt Ο lt lt


gt gt gt+ + +





⎛ ⎞+ + = + + ge⎜ ⎟+ + + Α+ Β Β + Γ Γ + Α⎝ ⎠

1 1 1 12 2 2 2


⎛ ⎞⎜ ⎟

ge + + =⎜ ⎟Α+Β Β+Γ Γ +Α⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1 ( 2)(0 )1 1 1 1 1 13 2 2 24 4

2 2 2 3

f x xή

R R



=⎛ ⎞⎜ ⎟


Άρα

1 1 1 3 1 34 2


+ + ge sdot =+ + +
















1 1 1 1 11 ( )2 4 8 16 2n n Nisin


No332



1 1 1 1 11 12 4 8 16 2

ά ή ό

n


+ + + + + + + =





( )( ) ( )( )

2 2 2

3

1 1 1



( ) ( )1 1 1 12 ) 2

2Rο


le+ +






( ) ( ) ( )1 1 12 2 2 4R


( ) ( ) ( )2 2 2R


( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 2 3R





( )( )( ) ( )31 1 13 4


Επομένως

( ) ( )( )( ) ( )3

1 1 1 32 27R


( ) ( ) ( ) ( )( )

3

1 1 1 33Rαβγ


( )( )( ) ( )( )

( )2

1 1 1 3 53Rαβγ

ΗΑ ΗΒ ΗΓ le


( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 33 3 3 333 63 2Rα β γ α β γ α β γ


sdot sdotsdot

δηλαδή

( )( )( )2 2 2

1 1 1 3 36α β γ

ρΗΑ ΗΒ ΗΓ le

sdot


( )( )( )2 2 2

3

1 1 1




( ) ( )1 1 12

2Rαβγ


άρα

( )

( )( )1 1 1 6

2Rαβγ


=+ + + +

αλλά

( )

( )74

R αβγ

ΑΒΓ

=Ε

και

( ) ( )2

8ρα β γ

ΑΒΓΕ=

+ +



=+ +


( ) ( )1 1 1 2 102RRρ ρ


= =+ +


2R

ρ le


( )1 1 1

2R


le+ +




( )3

3 2

1

3 2I x x dxminus













No333

( )1 1 1 1 11 1 12 4 8 16 2

ά ή ό

n


+ + + + + + + =

11 1521 11 1752 41 1 11 18752 4 81 1 1 11 193752 4 8 16

+ =

+ + =

+ + + =

+ + + + =





( ) ( )1 1 1 1a b c a b cb c a a b c

⎛ ⎞+ + le + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠






( )

1 2

1 2

1 2


+

⎫+ ge gt ⎪

⎪⎪


+ ge gt ⎪⎭


+ + + gt + +

Όμως


( )

0


gt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + gt + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + gt + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠




( )1 1 4 1MN MP d




o o

MP AMCC AC

=


( )2oo o


= sdot rArr = sdot



o o

MN BMDD BD

=


( )3oo o


= sdot rArr = sdot


1 1 1 1

1 2

2

o o

o o o o

BM AMMN MP d dBD AC

AC BD AC BDABd d AB

+ = + =sdot sdot

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Άρα


+⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠




+ sdot⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ AB

4d

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

δηλαδή 1 1 4

MN MP d+ =




















No334






Αυτά έχουν








( )2

2

0

2 1 11 (2 )

xe x dx ex

π πημημ

= minus+int


2

0

21 (2 )

xe xdx

x

πημ

ημ=

+int

( ) ( )2 2

2 20 01 (2 ) 2


x x x x x


= = =+ + +int int

( ) ( )

( )2

20

x xe x x e x xdx

x x


ημ συν

+ minus minus= =

+int

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

20

x xe x x e x xdx

x x


ημ συν


+int

2 22

0 0

1x xe edx e

x x x x

ππ π



= = = minus⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎣ ⎦int

Άρα

22

0

21

1 (2 )

xe xdx e

x

π πημημ

= minus+int






Άρα

( ) ( )

( )φ180

90 12 2

ctο

οminus ΑΒ ΑΒ

= = minus =

( ) ( )

( )180

90 22 2

ctο

ο+ ΑΒ ΑΒ

ω = = + =





και ( ) ( )1 2013f f=


(www MATHVNcom)















No335






( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2013 2013 2013

2 0 11 2


+ + =⎪⎩ Ν


( )2013 2013 20131 1 1 3Q

a b c= + +












2013 2013 2013 1a b

a b c=minus

+ + = rArr

( )2013 2013 2013 1b b cminus + + = rArr

2013bminus 2013b+

( )

2013

2013

11 1 6

cc c

+ = rArr

= rArr =


2013 2013 20131 1 1Q

a b c= + + =

( )2013 2013 20131 1 1

b cb= + + =

minus

20131

b= minus 2013

1b

+1

2013 20131 1 1

c

c c=











) rArr







45ox =


















No336













45oNMB =






( )180 1οΑ+ Γ = όμως










( )2 2 2 24 3x y z R+ + =

Σχήμα








2max 8E R=






Σχήμα 2












No337








2 2 1

4448889 4448889ν ν ν

να+ +

= = rArr

2 1 2 1

1

4 10 4 10 4 108 10 8 10 8 109

ν ν νν

ν ν

α + +

minus



( )( )

( )

1 1

1 2

4 10 10 10 1

8 10 10 10 1

9 2

ν ν νν

ν ν

α + minus

minus minus

= sdot sdot + + + +

+ sdot sdot + + + +

+


2 11 11

νν αα α α α

α

+ minus+ + + + = ne

minus



11 10 1 10 14 10 8 10 9

10 1 10 1

ν νν

να+


minus minus

2 2 1 110 10 10 104 8 99 9

ν ν ν



2 2 1 14 10 4 10 8 10 8 10 9 99 9 9

ν ν ν


= + + rArr

14 10 12 2 1 11 4 10 4 10 8 10 8 10 9 9

9

ν

ν ν ννα

++ sdot ++ + +


( )2 2 11 4 10 4 10 19

ν ννα


( )( )21 11 2 10 2 2 10 19

ν ννα


( )

( )

21

21

2 10 19

2 10 1 33

ν

ν

ν

ν

α

α

+

+

sdot += rArr

⎛ ⎞sdot += ⎜ ⎟⎝ ⎠

Όμως

( )

2112 10 1 200001 66667 4

3 3

όό

ό

ν ροιν ροι

ν

ν ροι

++

+sdot += =


( )21

6666 7 5ό

ό

ν ροι

νν ροι

α+⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠




( )20 7 49α = =

ο δεύτερος

( )21 67α =

ο τρίτος

( )22 667α =






όπου













Δηλαδή



No338











( )1 2 2 1a a b c d= rArr + + + =

( )2 5 8 4 2 5 2a a b c d= rArr + + + =

( )3 23 27 9 3 12 3a a b c d= rArr + + + =


( )1

28 4 2 527 9 3 1264 16 4 23

a b c da b c d

a b c da b c d

+ + + = ⎫⎪+ + + = ⎪ Σ⎬+ + + = ⎪⎪+ + + = ⎭






= = = =





1 2 3 n nS a a a a= + + + + rArr


( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 3 1 2 3 3nS n n n= + + + + minus + + + + + rArr

( ) ( ) ( )1 2 1 12 3 36 2n


( )24 3 116n

n n nS

minus +=



τότε

( )3 3 3


geΑ+ Β+ Γ




( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

2 2 2

312

x y z xyz

x y z x y y z z x

+ + minus =



( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 23 1 42






( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 23 12



( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 213 32


Άρα 3 3 3


geΑ + Β+ Γ


60x y z ο= = rArr Α = Β = Γ =
















No339

Σχήμα 2

Σχήμα 1







( ) ( )( )( )

11 1

1 1

x x x xx x x

x x


συν ημ συν

συν ημ

Α = + + + sdot =

= + + + =

= + +

δηλαδή



προκύπτει

( )21 2 32xxσυν συν+ =

Επίσης

( ) 2 901 1 90 22

xx xο



( )21 2 45 42xx οημ συν ⎛ ⎞+ = minus⎜ ⎟

⎝ ⎠



⎝ ⎠


( )2




( )

2

2

2

2 452 2

45 452 2 2 2

45 45o

x x

x x x x

x

ο

ο ο

ο

συν συν

συν συν

συν συν

⎡ ⎤⎛ ⎞Α = sdot minus =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + minus + minus + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= + minus⎣ ⎦

δηλαδή



( )1 1 1 3 0 1x x xx x x





( ) 22


Αν θέσουμε


( )

1

2 2

1 1 1 3 0

1 1 3 0

1 1 3 0

t t tt t t

t tt t

t t t t

t tt t

t t t t






+ + + + + + = hArr

+ + + + + + = hArr

⎛ ⎞ ++ + + + + = hArr⎜ ⎟ sdot⎝ ⎠



( ) ( )2 23 1 0


ημ συν ημ συν⎛ ⎞+ + + + + = hArr⎜ ⎟⎝ ⎠





2 0 2 0 2 2



2

kt π κ += isinΖ


( )122 2 1 2tημ = plusmn





( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

) 1 2 1 2) 0 0 1 2














No340





( )1 1 1 3 0 1x x xx x x





( ) ( )122 2 1 2 tημ = plusmn


( ) ( )12

1 22 2 1 2 4 4 30 452 2




( )1

30 45 30 452 4 30 30 4 22 2

tο ο ο ο


δηλαδή

( )1

75 152 82 2

t iο ο


Όμοια

( )2

30 45 30 452 4 30 30 4 22 2

tο ο ο ο


δηλαδή

( )2

15 752 82 2

t iiο ο





12 4828427 1tημ = gt


22 0828427tημ = minus



άρα



( )

( )

2 360 180

2 360 180 180

o o

o o o

t kή

t k

α

κ

α

⎫= + +⎪⎪ isinΖ⎬⎪= + minus + ⎪⎭

ή ακόμα

180 902

1802

o o

o

t k

ή

t k

α

κα

⎫= + + ⎪⎪




( )

( )

( )1

2

180 90 0122

180 1232

o o

o

t k k S

ή S

t k k S

α

α

⎫= + + = ⎪⎪⎬⎪⎪= minus =⎭




Δηλαδή

180 90 2 0122

o ot k kα ρ ρ= + + = =


Δηλαδή

180 2 1232








νν














No341

Σχήμα 1

Σχήμα 2






( )1φΑ = και

( ) 0 2β

γ

υλ λ

υ= gt


άρα

( )3β

γ

υγβ υ=


( )4γλ

β=



( )5ημ

λημ

Γ=

Β



ημ ημπ

Β = ΓΒ = ΓrArr

Β = minusΓ



22





Τότε

( ) 151


Γ+ Β+hArr = hArr

minus Γminus Β

21 2 21 2

2 2


Γ +Β ΓminusΒ+


( )1 72 1 2

λεφ εφ


hArr = sdot+


2 2 2πΒ +Γ Α

= minus


( )1 82 1 2

λεφ σφ


= sdot+


2ΓminusΒ




( )1 91 2


sdot =+



( )102




( )2 112


όμως


( )2 2 2 2π πθ θΑ Α



( )1 1 01 2 1 2 2




( ) ( )132



22



( )2 2 2 2π πω ωΑ Α















1Sω ω=Κ Κ =


( )1 1 14

S R π=

No342



( )8 1 17 7 24 4






( )22 1 3 2β γ ημ= + Β (ΣΜΑ 1961)




( )2 2 21 1 1 1 1 12 4β α γ α γ συν= + minus Β




2 2 22 6 2β α γ= + δηλαδή

( )2 2

2 73

γ βα minus=



( )2 2 2

82

α γ βσυν

αγ+ minus

Β =


( )2 2

2 2 2 2232 3


αγ αγ


( ) ( )2 22 2 2 22 2

2 2

2 43 9γ β γ β



⎝ ⎠


( )( )

2 22

2

49

3γ β

συνγ

minusΒ =


( )2 2 2 22 2

2 2

4 41 13 3γ β β γ

ημ συνγ γ


2 22 2 2 2 2

2

4 4 33β γ










( )( )

2 2 2

2 2 2

2 22 3

xx

α λ

δ λ





( )( )

2 2 2

2 2 2

2 52 6

yy

β μ

γ μ

= +ΒΜ + ΒΜ sdot






( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2 9

x y

x y

x y



















( ) ( ) ( ) ( )8 1 2 2 3 7 8 1 2 1 74

S K K K K K K K K Rπ= + + + =

δηλαδή

( )8 17 14

S Rπ=


2ν

πων

=


No343

Σχήμα 1


( ) ( )121 345 2S Rνπν νν

= minus =







2ό

τ βα β γ




άρα



sdotτ αminus


1=


δηλαδή


ΔΓ ΕΑ ΖΒ




και

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

222

22

1

α β γα β γ

τ





ΑΕ = ΑΖ =


όπου

2α β γτ + +

=


( )

2τ γτ β





ττ

sdotτ γminus

1=

δηλαδή


ΔΓ ΕΑ ΖΒ










2 200 - pe03.gr · 2018. 7. 19. · Η Στήλη των Μαθηματικών.Τετάρτη 4...

Documents

Transcript of 2 200 - pe03.gr · 2018. 7. 19. · Η Στήλη των Μαθηματικών.Τετάρτη 4...