2 200 - pe03.grπεντάγωνο και ούτω καθεξής η αλληλουχία αυτή...

'' ''

,

''

200

-4email

kdortsi@gmail com

Η Στήλη των Μαθηματικών της 3 /1/2007 1/5

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο,

Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων

Τα τέσσερα μεγάλα προβλήματα της Αρχαιότητας

Η κατασκευή των κανονικών πολυγώνων

Τα ισοσκελή τρίγωνα Τ1 και Τ2 και το κανονικό πεντάγωνο

Ας θεωρήσουμε ένα κυρτό κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ (Σχήμα 1). Τότε αν φέρουμε τις δύο διαγωνίους θα διαπιστώσουμε την ύπαρξη δύο ειδών ισοσκελών τριγώνων. Το τρίγωνο ΑΓΔ το οποίο ανήκει στην κατηγορία Τ1 και τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ τα οποία

ανήκουν στην κατηγορία Τ2 (Νο 45). Έτσι στο κυρτό κανονικό πεντάγωνο, όλα τα ισοσκελή τρίγωνα που συναντά κανείς φέροντας τις διαγώνιες είναι τρίγωνα της μορφής Τ1 και Τ2. Αν τώρα επιχειρήσουμε να ενώσουμε τις κορυφές του κανονικού πενταγώνου με τρόπο ώστε κάθε κορυφή να ενώνεται με την μεθεπόμενη (Σχήμα 2) τότε θα προκύψει το μη κυρτό κανονικό πεντάγωνο(αστεροειδές ή πεντάλφα) στο οποίο παρατηρούμε την ύπαρξη μόνο των ισοσκελών τριγώνων της μορφής Τ1 και Τ2.

Τα ισοσκελή τρίγωνα Τ1, Τ2 και το κανονικό δεκάγωνο

Θεωρώντας πάλι ένα κυρτό κανονικό δεκάγωνο (Σχήμα 3) παρατηρούμε ότι τα

N:46o

Η Στήλη των Μαθηματικών της 3 /1/2007 2/5 τρίγωνα Τ1 εμφανίζονται με κορυφή το κέντρο του δεκαγώνου και βάση την πλευρά του. Αν συνεχίσουμε την κατασκευή του μη κυρτού κανονικού δεκαγώνου(αστεροειδές), ενώνοντας μια κορυφή π.χ. την Α με την επόμενη τέταρτη κορυφή, δηλαδή το Β(Σχήμα 4) και ούτω καθεξής, παρατηρούμε ότι το σχήμα αυτό περιέχει ισοσκελή τρίγωνα Τ1και Τ2. Γενικά: Οι κατηγορίες των ισοσκελών τριγώνων Τ3 και Τ4 θα εμφανιστούν, αν αρχίσουμε να χαράσσουμε τις διαγώνιες καθώς και τις ακτίνες των πολυγώνων αυτών. Στο σχήμα 5 φαίνεται μια αρμονική συσχέτιση των κυρτών κανονικών πενταγώνων με τα μη κυρτά κανονικά πεντάγωνα. Στο μεγάλο κυρτό κανονικό πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο ένα μη κυρτό κανονικό πεντάγωνο( πεντάλφα) και στο μη κυρτό αυτό κανονικό πεντάγωνο είναι εγγεγραμμένο ένα άλλο κυρτό κανονικό πεντάγωνο και ούτω καθεξής η αλληλουχία αυτή συνεχίζεται απεριόριστα. Το αστεροειδές αυτό πεντάγωνο ήταν το σύμβολο αναγνώρισης μεταξύ των μελών της πυθαγόρειας κοινωνίας. Η πεντάλφα αυτή θεωρήθηκε ανά τους αιώνες το σύμβολο της τελειότητας, της ζωής, της ομορφιάς και της αγάπης.

Η φύση βέβαια είναι πάντα η αιώνια, διαχρονική και η αρχέγονη πηγή έμπνευσης και δημιουργίας όλων των αναζητήσεων της ανθρώπινης σκέψης.

Μαθηματικές προκλήσεις – προσκλήσεις – ασκήσεις

70. Δίνεται η συνάρτηση z x 3F F(x) e zz x z⋅με = + ⋅ + , όπου z C∈ . α) Να δείξετε ότι η F αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της F-1. β) Αν z C z 0∈ με ≠ , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z, όταν 1 1F( 2z 1 F (x)) F( z i F (x))− −+ + ≤ + + (1) (Την πρότεινε ο Κώστας Παπαϊωάννου, μαθηματικός του 3ου Γενικού Λυκείου Κοζάνης) Λύση:

Η Στήλη των Μαθηματικών της 3 /1/2007 3/5 α) Η συνάρτηση F έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών R (γιατί είναι άθροισμα εκθετικής και πολυωνυμικής συνάρτησης) και είναι πραγματική συνάρτηση, δηλαδή με σύνολο εικόνων κάποιο υποσύνολο Β γενικά των πραγματικών αριθμών

Η F γράφεται ακόμη: 2z x 3F(x) e z x z⋅= + ⋅ + γιατί

2z z z⋅ = .

Η παράγωγός της θα είναι: 2z x 2F (x) z e 3 z x⋅′ = + ⋅ (2)

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

• Έστω z 0 z 0= ⇔ = τότε F(x) 1, x R= ∀ ∈ και τότε δεν αντιστρέφεται γιατί δεν είναι συνάρτηση «1-1».

• Έστω z 0≠ τότε 2z x 2F (x) z e 3 z x 0⋅′ = + ⋅ 〉 και συνεπώς η συνάρτηση F

είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1, άρα αντιστρέφεται (Μαθηματικά Κατ/νσης Γ΄ Λυκείου, σελ. 153). Στην περίπτωση αυτή τότε η αντίστροφη της F, δηλαδή η F-1 θα έχει πεδίο ορισμού το πεδίο τιμών της F.

Επειδή x xlim F(x) lim F(x)→−∞ →∞

= −∞ και = ∞ και η F είναι συνεχής, άρα το πεδίο τιμών της F θα είναι το R. Άρα το Πεδίο ορισμού της F-1 είναι το R και φυσικά το Πεδίο τιμών το R (Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, Μαθηματικά Κατ/νσης Γ ́Λυκείου, σελ. 194)

Παρατήρηση: Η ερώτηση α) θα μπορούσε να διατυπωθεί προς το ορθότερο «να εξετασθεί αν η συνάρτηση μπορεί να αντιστραφεί κλπ»

β) Από τη σχέση (1) συνεπάγεται ότι 1 12z 1 F (x) z i F (x)− −+ + ≤ + + (3)

γιατί αν συνέβαινε το αντίθετο τότε επειδή η F είναι γνησίως αύξουσα δεν θα ίσχυε η (1).

Η σχέση (3) ισοδυναμεί με:

2z 1 z i+ ≤ + (4). Αν θέσουμε τώρα όπου

z x iy, x, y R= + ∈ τότε θα προκύψει:

2(x iy) 1 (x iy) i+ + ≤ + + ⇔ (2x 1) 2yi x (y 1)i+ + ≤ + +

2 22 1 5... x y3 3 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ ⇔ + + − ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι το εσωτερικό του κύκλου στο σχήμα 1. 71. Έστω η συνάρτηση f : I → παραγωγίσιμη στο διάστημα Ι. Αν η, ένας πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε: f ( ) f ( )′ ′α 〈η〈 β (1), με α〈β , και [ ],α β ⊆ Ι , τότε υπάρχει τουλάχιστο ένα ( ),ξ∈ α β τέτοιο ώστε f ( )′ ξ = η .

1

-1

-1 1Ο

Κ(-2/3,1/3)

Μ(z)

Σχήμα 1


(Θεώρημα Darboux,1875 ή Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών) Λύση: Θεωρούμε τη συνάρτηση με g(x) f (x) x= − η .

Τότε θα είναι: [ ]g (x) f (x) , x ,′ ′= − η ∀ ∈ α β Η συνάρτηση g είναι ορισμένη, συνεχής και παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ],α β . Επίσης: g ( ) f ( ) 0′ ′α = α − η〈 και g ( ) f ( ) 0′ ′β = β − η〉 (2), λόγω της (1). Επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ],α β άρα θα παίρνει σ’ αυτό μια ελάχιστη τιμή. Δηλαδή θα υπάρχει ένα [ ]0x ,∈ α β τέτοιο ώστε:

[ ]0g(x) g(x ), x ,≥ ∀ ∈ α β (3). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις για τη θέση του 0x .

1η περίπτωση: Έστω ότι 0x = α (4) τότε θα είναι g(x) g( ) 0

x− α

≥− α

(5), λόγω της (3)

και (4) και γιατί ακόμα [ ]x 0 ύ x ,− α〉 αφο ∈ α β .

Από τη σχέση (5) προκύπτει ακόμη ότι θα είναι: x

g(x) g( )lim g ( ) 0x→α− α ′= α ≥− α

το

οποίο είναι άτοπο λόγω των (2). 2η περίπτωση Με τον ίδιο τρόπο αποκλείουμε το ελάχιστο να πραγματοποιηθεί στο β. Συνεπώς το ελάχιστο θα υπάρξει για κάποια τιμή στο εσωτερικό του διαστήματος.

Δηλαδή: ( )0x ,∈ α β . Ακόμα για τη συνάρτηση g ισχύει:

• Είναι ορισμένη στο διάστημα [ ],α β και ( )0x ,∈ α β • Είναι παραγωγίσιμη στο 0x • Παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x Άρα σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα ισχύει: 0g (x ) 0′ = ή 0f (x )′ = η

Για την άλλη φορά

75. Να υπολογιστεί το εμβαδό ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ αν υπάρχει εσωτερικό του σημείο Τ τέτοιο ώστε ΤΑ=2, 5ΤΒ = και ΤΓ=3.

( Άσκηση του μήνα Σεπτεβρίου –Οκτωβρίου 2006, της Ε.Μ.Ε)

Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. 2ο Εν.Λύκειο Κοζάνης

Κάλβου 50100 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: [email protected]






Ο χρυσός αριθμός και η σπειροειδής ανάπτυξη Αν θεωρήσουμε ένα τρίγωνο της κατηγορίας ΤΙ (Σχήμα 1), δηλαδή ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=36ο και Β=Γ=72ο τότε μπορούμε να σχεδιάσουμε μια σπείρα με τον ακόλουθο τρόπο: Με κέντρο το σημείο Β και ακτίνα ίση με την πλευρά του τριγώνου ΑΒ κατασκευάζουμε κύκλο ο οποίος τέμνει την προέκταση της βάσης ΒΓ προς την κατεύθυνση του Β στο σημείο Δ. Το τόξο του κύκλου αυτού που ορίζεται από τα σημεία Α

και Δ δηλαδή το ΑΑΔ θα ορίσει ένα μέρος της σπείρας.

Αν το ίδιο σύνολο κατασκευών το εφαρμόσουμε με αφετηρία το νέο τρίγωνο του σχήματος 1, δηλαδή το ΑΔΓ τότε θα προκύψει ένα ακόμη τόξο της σπείρας, δηλαδή το ΔΔΕ (Σχήμα 2). Ακολουθώντας την ίδια τακτική κατασκευών πετυχαίνουμε περισσότερα

τόξα της σπείρας αυτής.

N:47o

Α

ΒΓΔ

Ε

Ζ

Σχήμα 2

Α

ΒΓΔ

Σχήμα 1

Η Στήλη των Μαθηματικών της 10 /1/2007 2/4 Η κατασκευή αυτή εύκολα μπορεί να γίνει με τη χρήση διαφόρων λογισμικών της Γεωμετρίας, όπως για παράδειγμα το The Geometer’s Sketchpad φτιάχνοντας ένα αρχείο εντολών τις οποίες εφαρμόζουμε κάθε φορά στο νέο τρίγωνο. Παρόμοια σπείρα μπορούμε να κατασκευάσουμε και από ένα τρίγωνο της κατηγορίας Τ2, με γωνίες Α=108ο, Β=Γ=36ο, όπως φαίνεται στα σχήματα 3 και 4.


72. Να δειχθεί ή σχέση: 3 3 32 3 19+ 〉 (1) (Από το Μαθηματικό διαγωνισμό «Θαλής 2006-2007» της Ε.Μ.Ε. Σάββατο 9/12/06) Λύση: 1ος τρόπος (ΕΜΕ) Χρησιμοποιούμε τη γνωστή ταυτοανισότητα:

〉 ≥Για κάθε α,β 0, ισχύει : α + β 2 αβ (η ισότητα ισχύει όταν α=β).

Άρα: 3 33 3 3 62 3 2 2 3 2 2 3 2 6+ 〉 = ⋅ = (2)

Για να δειχθεί η σχέση (1) αρκεί: 6 32 6 19≥ (3) Αν τα δύο μέλη της (3) υψωθούν στην έκτη δύναμη, τότε θα προκύψει η ισοδύναμη σχέση:

6 6 6 26 3 6 32 6 19 (2 6) ( 19) 2 6 19≥ ⇔ ≥ ⇔ ⋅ ≥ 64 6 361 384 361⇔ ⋅ ≥ ⇔ ≥

η τελευταία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική (1) 2ος τρόπος Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα του Euler(Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, εφαρμογή 3η, σελ.19). Για κάθε τριάδα πραγματικών αριθμών α,β,γ ισχύει:

⎡ ⎤⎣ ⎦3 3 3 2 2 21α + β + γ - 3αβγ = (α + β + γ) (α - β) + (β - γ) + (γ - α)

2

Από την ταυτότητα αυτή προκύπτει ότι: «Αν 〉α + β + γ 0 και α,β,γ διαφορετικοί μεταξύ των, τότε:

〉3 3 3α + β + γ 3αβγ και αντιστρόφως.» (4) Για την απόδειξη της σχέσης (1) θεωρούμε:

3 3 3α = 2, β = 3 και γ = - 19

Α

ΓB

Δ

Σχήμα 3 Σχήμα 4


ζητούμε: 〉α + β + γ 0 (5) άρα αρκεί: 〉3 3 3α + β + γ 3αβγ (6). Δηλαδή:

( ) ( ) ( )= −3 3 3 3 3 33 33 3 3 3α + β + γ ( 2) + ( 3) + (- 19) 3 2 3 19〉 ή ακόμα:

− ⋅ ⋅ ⇔ ⇔ ⋅ ⇔3 333-14 3 2 3 19 14 3 114 14 3 114 2744 3078〉 〈 〈 〈 Η τελευταία ισχύει, συνεπώς και η ισοδύναμή της (6), άρα και η ζητούμενη (5). 3ος τρόπος (Ιωσηφίδης Νικόλαος, Μαθηματικός, Βέροια)

θεωρούμε τη συνάρτηση 3f (x) x= , η οποία ορίζεται στο διάστημα [ ]2,19 και δημιουργούμε τις διαφορές:

27f ( ) f (3)8

− , 125 27f ( ) f ( )

8 8− και

125f (19) f ( )8

−

Η επιλογή των αριθμών 278 και

1258 έγινε γιατί είναι τέλειοι κύβοι κι ακόμη να

εξυπηρετήσουν στην εφαρμογή του θεωρήματος της μέσης τιμής, χωρίζοντας το διάστημα [ ]3,19 σε μικρότερα.

• Το θεώρημα της μέσης τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την f στο

διάστημα 273,8

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

δίνει:

127 27f ( ) f (3) ( 3)f ( )8 8

′− = − ξ (1) με 12738

〈ξ 〈 (2)

και επειδή 31f (x)

3 x′ = η (1) γίνεται:

3327 33 (8

− =1)

8 3⋅

3 31 1

18

=ξ ξ

(3)

Όμως λόγω της (2) είναι 1 3ξ 〉 , άρα και 21 2 3231 1

1 1 1 199 8 98

ξ 〉 ⇔ 〈 ⇔ 〈ξ ξ

(4)

από τις (3) και (4) έχουμε: 33

3

27 1- 38 8 9

< (5)

• Υπολογίζουμε απλά τη διαφορά:

3 3125 27 5 3- = - =1

8 8 2 2 (6)

-5 5 10 15 200 2 3 19

27/8 125/8

Σχήμα 1


• Με το θεώρημα της μέσης τιμής του Διαφορικού Λογισμού υπολογίζουμε

τη διαφορά: 2125 125f (19) f ( ) (19 )f ( )

8 8′− = − ξ (7) με 2

125 198

〈ξ 〈 (8)

• η οποία στη συνέχεια γράφεται:

3 32 23 32 2

125 152 125 1 9 119 ( )8 8 8 83

− = − ⋅ = ⋅ξ ξ

(9)

όμως: επειδή 2125

8ξ 〉 άρα και

2 2 22 32 2 2 2 2232 2

125 1 8 1 88 125 125

ξ 〉 ⇔ 〈 ⇔ 〈ξ ξ

(10)

Η σχέση (9) λόγω της (10) γίνεται: 2 3 2 2

3 3 33232

125 9 1 9 8 9 2 9 2 9198 8 8 125 8 5 8 5 50

⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⋅ 〈 ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ξ

(11)

άρα:

3 3125 919- <

8 50 (12)

Προσθέτοντας τις σχέσεις (5), (6) και (12) κατά μέλη έχουμε:

3 125( 19-8

3125)+(

83

27-8

327)+(8

333

9 1- 3) < +1+50 8 9 ή ακόμα

3 33

9 119- 3 +1+50 8 9

< (13)

Το δεύτερο μέλος της (13) είναι μικρότερο της 3 2 διότι:

3 3 3

9 1 9+50 1 59 1 59 1 497+1+ = + + = + =50 50 50 50 8×2 4008 9 8 9 8 8

<

και 3

3 33497 4972 2 497 2 400 122763473 128000000400 400

⎛ ⎞< ⇔ < ⇔ < ⋅ ⇔

Η Στήλη των Μαθηματικών της17/1/2007 1/4





Η λύση του προβλήματος των κανονικών πολυγώνων Οι προσπάθειες των Μαθηματικών να κατασκευάσουν ένα οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο συνάντησαν δυσκολίες, έως ότου το 1796 ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός Gauss, σε ηλικία μάλιστα των 19 ετών, διατύπωσε την οριστική λύση του προβλήματος με χάρακα και διαβήτη. Η απάντηση από τον νεαρό αυτό μαθηματικό δήλωνε ότι δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε με χάρακα και διαβήτη κάθε κανονικό πολύγωνο. Το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: Ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές μπορεί να κατασκευασθεί τότε και μόνο τότε:

• όταν ο αριθμός ν είναι της μορφής: 2ρν = όπου ρ ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος με το 2

ή

• όταν ο αριθμός ν είναι πρώτος και μάλιστα της μορφής: 22 1μ

ν = + όπου μ ένας φυσικός αριθμός.

Η πρώτη περίπτωση αφορά τα κανονικά πολύγωνα με πλευρές 4, 8, 16, …. τα οποία προκύπτουν από τον τύπο 2ρν = , για ρ=2,3,4,…. Αυτά τα πολύγωνα κατασκευάζονται εύκολα με χάρακα και διαβήτη. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η δεύτερη περίπτωση και έχει μακρά ιστορική διαδρομή.

Κατ’ αρχήν ένας αριθμός ν που έχει τη μορφή 22 1μ

ν = + , λέγεται αριθμός Fermat. Ο Pière de Fermat πίστευε ότι κάθε τέτοιος αριθμός είναι πρώτος, δηλαδή δεν έχει άλλους διαιρέτες εκτός της μονάδας και τον εαυτό του. Έτσι για τις πρώτες τιμές του μ=0,1,2,3,4 έχουμε τον πίνακα:

μ=0 ν=3 Πρώτος μ=1 ν=5 Πρώτος μ=2 ν=17 Πρώτος μ=3 ν=257 Πρώτος μ=4 ν=65537 Πρώτος

Ο Leonard Euler όμως το 1732 μελετά την περίπτωση για μ=5 και βρίσκει ν=4 294 967 297

ο οποίος είναι το γινόμενο του 641 επί τον 6 700 417. Άρα δεν είναι πρώτος και έτσι καταρρίπτει την εικασία αυτή του Fermat. Μέχρι σήμερα δεν γνωρίζουμε άλλους πρώτους

N:48o

Η Στήλη των Μαθηματικών της17/1/2007 2/4 αριθμούς της μορφής του Fermat εκτός των πέντε του ανωτέρω πίνακα. Μέχρι σήμερα εξάλλου, δεν γνωρίζουμε ακόμα αν υπάρχουν και άλλοι πρώτοι της μορφής του Fermat οι οποίοι να είναι πρώτοι. Είναι γνωστό ότι για μ=5 μέχρι και μ=32 όλοι οι αριθμοί Fermat είναι σύνθετοι. Κι ακόμα σήμερα είναι γνωστό ότι ο αριθμός Fermat για μ=2 478 782 είναι σύνθετος!


73. Στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ ας είναι G1,G2 τα βαρύκεντρα των τριγώνων ΟΑΒ, ΟΓΔ και Η1,Η2 τα ορθόκεντρα των τριγώνων ΟΒΓ, ΟΑΔ αντίστοιχα, όπου Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να αποδειχθεί ότι το G1G2 είναι κάθετο στο Η1Η2. ( Την πρότεινε ο Μάγκος Αθανάσιος, Μαθηματικός 3ου Γενικού Λυκείου Κοζάνης) Λύση: Βοηθητική πρόταση: Ας υπολογίσουμε αρχικά σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, το μήκος του τμήματος ΑΗ, δηλαδή του τμήματος που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με το ορθόκεντρο του τριγώνου(Σχήμα 1). Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΕΗΔΓ προκύπτει:

⋅ ⋅ΑΗ ΑΔ = ΑΕ ΑΓ όμως:

ΑΕ = γσυνΑ (από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ)

Άρα: ⋅

α α

γσυνΑ β βγΑΗ = = συνΑυ υ

και επειδή: αβγ = 2Rυ θα είναι: ΑΗ = 2RσυνΑ και αν αντικαταστήσουμε 2R με το α

ημΑ

(από το θεώρημα των ημιτόνων) τότε θα έχουμε την τελική έκφραση του ΑΗ. Δηλαδή: αΑΗ = συνα = ασφΑ

ημΑ (1)

Άρα γενικά ισχύει: ΑΗ = ασφΑ, ΒΗ = βσφΒ, ΓΗ = γσφΓ (2)

Λύση της άσκησης:

Στο σχήμα 2 έχουμε: 1 2OA OB OOG , OG

3 3+ Γ + ΟΔ

= =

άρα και

1 2 2 1O OA OB AG G OG OG

3 3 3Γ +ΟΔ + Δ +ΒΓ

= − = − =

δηλαδή 1 2AG G

3Δ +ΒΓ

=

(3)

Επίσης από τους τύπους (1) και (2) προκύπτει για τις θέσεις των ορθοκέντρων Η1 και Η2 τα εξής:

Η Στήλη των Μαθηματικών της17/1/2007 3/4

1ΟΗ = ΒΓσφω και

2ΟΗ = ΑΔσφω (4)

όπου ω = ΒΟΓ = ΑΟΔ Οι σχέσεις (4) μπορούν ακόμα να γραφούν και με διανυσματική γραφή ως εξής:

1 1eΟΗ = ΒΓσφω⋅

και

2 2eΟΗ = ΑΔσφω⋅

, (5)

όπου 1e ⊥ ΒΓ

, 2e ⊥ ΑΔ

και

1 2e 1, e 1= =

(6).

Από τις σχέσεις (5) προκύπτει:

1 2 2 1

2 1

H H OH OH

( e e )

= − =

= σφω ΑΔ −ΒΓ

(6).

Για να διαπιστωθεί η καθετότητα των διανυσμάτων 1 2Η Η

και 1 2G G

ελέγχουμε την τιμή του εσωτερικού

γινομένου: 1 2 1 2G G ⋅Η Η

Πράγματι έχουμε:

( )1 2 1 2 2 1AG G ( e e3⎛ ⎞Δ + ΒΓ

⋅Η Η = ⋅ σφω ΑΔ − ΒΓ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 1A ( e e3σφω

Δ + ΒΓ ⋅ ΑΔ −ΒΓ =

( )2 1e e3σφω

= ΑΔ ⋅ΒΓ ⋅ −ΒΓ ⋅ΑΔ ⋅ =

( )2 1( , e ) ( ,e ) .3σφω= ΑΔ ⋅ΒΓ ⋅συν ΒΓ −ΒΓ ⋅ΑΔ ⋅συν ΑΔ

(7)

Όμως είναι 2ˆ ( ,e )φ = ΒΓ

και 1ˆ ( ,e )θ = ΑΔ

και φυσικά ˆ ˆφ = θ (ως εξωτερικές γωνίες δύο όμοιων ορθογωνίων τριγώνων) (Σχήμα 2). Άρα από τη σχέση (7) προκύπτει: 1 2 1 2G G 0⋅Η Η =

και συνεπώς 1 2 1 2G GΗ Η ⊥

.

74. Έστω 2 3 2008Κ = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Να αποδείξετε ότι ο 30 διαιρεί τον Κ. (Από το Μαθηματικό διαγωνισμό «Θαλής 2006-2007» της Ε.Μ.Ε. Σάββατο 9/12/06) Λύση: 1ος τρόπος.(από την ΕΜΕ)

Το Κ μπορεί να αναλυθεί ως εξής: 2 3 2008Κ = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 3 4 5 6 7 8 2005 2006 2007 20082 2 2 2 2 2 2 2 .... 2 2 2 2= + + + + + + + + + + + + =2 3 4 4 2 3 4 2004 2 3 4(2 2 2 2 ) 2 (2 2 2 2 ) ... 2 (2 2 2 2 )= + + + + + + + + + + + + =

2 3 4 4 8 2004(2 2 2 2 )(1 2 2 ... 2 )= + + + + + + + = 4 8 200430(1 2 2 ... 2 ) 30.= + + + + = πολ Άρα ο 30 διαιρεί τον Κ.

Η Στήλη των Μαθηματικών της17/1/2007 4/4 2ος τρόπος Η παράσταση του Κ μπορεί να γραφεί και ως εξής:

2009 20082 2 2(2 1)Κ = − = − (Αυτό γίνεται με τη βοήθεια του τύπου του αθροίσματος των ν πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου ή πιο απλά με τη βοήθεια της ταυτότητας:

12 11 ...

1

ν+ν χ −+ χ + χ + + χ =

χ − όπου 1χ ≠ )

Άρα: 2 1004 2 2 1003 2 1002 22 (2 ) 1 2(2 1) (2 ) (2 ) ... 2 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤Κ = − = − + + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 1003 2 1002 2 1001 2 1000 22 3 (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) ... 2 1⎡ ⎤= ⋅ + + + + + + =⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )2 1002 2 2 1000 2 22 3 (2 ) 2 1 (2 ) 2 1 ... 2 1⎡ ⎤= ⋅ + + + + + + =⎣ ⎦

2 1002 2 10002 3 5 (2 ) (2 ) ... 1⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + + + =⎣ ⎦ 2 1002 2 100030 (2 ) (2 ) ... 1 30⎡ ⎤= ⋅ + + + = πολ⎣ ⎦ .

3ος τρόπος Για να δείξουμε ότι ο Κ διαιρείται με το 30 αρκεί να δείξουμε ότι διαιρείται από τους πρώτους μεταξύ των αριθμούς 2,3,5.(Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατ/νσης Β΄ Λυκείου, εφαρμογή 2, σελ. 156) Άρα αρκεί:

20092 2 2= πολ + (1) , 20092 3 2= πολ + (2), 20092 5 2= πολ + (3). Πράγματι: Η (1) είναι προφανής. Για την (2) παρατηρούμε ότι:

( ) ( )( ) ( )1004 10042009 2008 22 2 2 2 2 2 4= = = = ( ) ( )10042 3 1 2 3 1 3 2= + = πολ + = πολ + άρα ισχύει.

( Έγινε χρήση της πρότασης: ( )ν να + β = πολα + β ) Τέλος για την (3) παρατηρούμε ότι:

( ) ( )( ) ( )502 10042009 2008 42 2 2 2 2 2 16= = = = ( ) ( )10042 15 1 2 5 1 5 2= + = πολ + = πολ + .


77. Δίνεται η συνάρτηση [ ]f : 0,e R→ δύο φορές παραγωγίσιμη και με ( )f (x) 0, x 0,e′′ 〉 ∀ ∈ . Αν η συνάρτηση g ικανοποιεί τη σχέση: ( ) ( ) ( )xg x f x f 0= − [ ]x 0,e∀ ∈ τότε να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. (Εφημερίδα ΝΕΑ, 9/1/07).








Η λύση του προβλήματος των κανονικών πολυγώνων

Ανακεφαλαίωση Με το θεώρημα του Gauss που αναφέραμε στο προηγούμενο σημείωμα είναι δυνατόν να κατασκευάσουμε με χάρακα και διαβήτη, τις παρακάτω κατηγορίες των κανονικών πολυγώνων. 1. Αν ο το πλήθος των πλευρών του κανονικού πολυγώνου είναι άρτιος δηλαδή 2ν, όπου ν ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ένα, τότε αυτό κατασκευάζεται εύκολα διχοτομώντας τις γωνίες του πολυγώνου με πλευρές ν. Αρκεί βέβαια το πολύγωνο με πλευρές ν να κατασκευάζεται. Π.χ. αν διχοτομήσουμε τις γωνίες του κανονικού εξαγώνου θα πετύχουμε την κατασκευή του κανονικού δωδεκαγώνου. Και αντιστρόφως αν κατασκευάζεται το πολύγωνο με πλευρές 2ν, τότε κατασκευάζεται και το πολύγωνο με πλευρές ν. 2. Αν το πλήθος των πλευρών είναι 2ν, τότε αυτό κατασκευάζεται.

3. Αν το πλήθος των πλευρών είναι αριθμός Fermat, δηλαδή της μορφής 22 1μ

+ , και μάλιστα πρώτος τότε οι γνωστοί αριθμοί της περίπτωσης αυτής είναι οι 3, 5, 17, 257, 65537. Δηλαδή μπορούμε να κατασκευάσουμε το ισόπλευρο τρίγωνο, το κανονικό πεντάγωνο, το κανονικό δεκαεπτάγωνο και ακόμη τα κ. πολύγωνα με πλήθος πλευρών 257 και 65537. Το πολύγωνο με πλευρές ν=257 διερευνήθηκε από το Μαθηματικό Richelot το 1832 καθώς και από τους Affolter και E.Pascal το 1887. Το πολύγωνο με πλευρές ν=65537 μελετήθηκε από Ηermes και απήτησε χρόνο περίπου 10 ετών. 4. Αν το πλήθος των πλευρών είναι ένας πρώτος p μεγαλύτερος του 2, τότε το πολύγωνο με πλευρές pν δεν είναι κατασκευάσιμο με χάρακα και διαβήτη. 5. Αν έχουμε δύο αριθμούς πρώτους μεταξύ των, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε το κανονικό πολύγωνο με πλευρές το γινόμενο αυτών των αριθμών, αρκεί τα πολύγωνα που αντιστοιχούν στους δύο αυτούς αριθμούς να κατασκευάζονται.(π.χ. από το κανονικό δεκάγωνο και το κανονικό εξάγωνο δίνουν την κατασκευή του κανονικού δεκαπενταγώνου.(θεώρημα 1 Σημείωμα Νο 38). Σύμφωνα με τα ανωτέρω έχουμε το παρακάτω πόρισμα.

Πόρισμα Η τριχοτόμηση της γωνίας δεν είναι δυνατή με τη χρήση χάρακα και διαβήτη. Απόδειξη Πράγματι, αφού το κανονικό πολύγωνο με εννιά πλευρές δεν μπορεί να κατασκευασθεί (περίπτωση 4, p=3 και ν=p2), άρα δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε τη

γωνία των 29π rad. Αν μπορούσαμε να τριχοτομήσουμε μια τυχαία γωνία τότε θα

μπορούσαμε να τριχοτομήσουμε και τη γωνία των 23π (η οποία είναι κατασκευάσιμη), και

N:49o


θα βρίσκαμε την 29π . Άρα θα κατασκευάζαμε το κανονικό εννεάγωνο.Αυτό όμως είναι

άτοπο. Γενικά

Κλείνοντας το θέμα με τα άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας, μπορούμε να πούμε ότι σήμερα δεν μας απασχολούν και το θέμα έχει τακτοποιηθεί στη λογική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και της θεωρίας των αλγεβρικών εξισώσεων. Ο διπλασιασμός του κύβου(Δήλιο Πρόβλημα), ο τετραγωνισμός του κύκλου, η τριχοτόμηση της γωνίας και η κατασκευή τυχόντος κανονικού πολυγώνου δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν με χάρακα και διαβήτη. Η απαίτηση της χρήσης του χάρακα και του διαβήτη που καθιερώθηκε από την αρχαία εποχή, ώθησε τους μαθηματικούς να αναζητήσουν με επιμονή λύσεις. Το οδοιπορικό αυτό έκλεισε οριστικά περίπου το 18ο και 19ο αιώνα με την διαπίστωση ότι δεν είναι δυνατόν να γίνει κάτι τέτοιο. Στην πορεία αυτή συναντώνται τα μεγαλύτερα ονόματα του Πάνθεου των Μαθηματικών. Αξίζει κανείς να σταθεί στο καθένα από αυτά τα ονόματα και να μελετήσει τις ιδέες και τις προτάσεις του. Εδώ θα αναφέρουμε την καταληκτική πρόταση του Γάλλου μαθηματικού Pièrre – Laurent Wantzel, ο οποίος έζησε από το 1814 μέχρι το 1848. Ο Wantzel στηρίχτηκε στις εργασίες των Viète, Descartes και Gauss καθώς και στα συμπεράσματα του Νορβηγού Nils Henrik Abel(1802-1829) πάνω στις Αλγεβρικές εξισώσεις.

Θεώρημα Wantzel Κάθε κατασκευάσιμος αριθμός χ είναι ρίζα ενός πολυωνύμου με συντελεστές ακεραίους και ο βαθμός του ελαχίστου πολυωνύμου που δέχεται το χ ως ρίζα είναι δύναμη του 2. Με πιο απλά λόγια ένας αριθμός είναι κατασκευάσιμος(ο αριθμός πάντα εκφράζει και το μήκος ενός ευθ. τμήματος), αν είναι αλγεβρικός. Δηλαδή είναι εκείνος ο αριθμός ο οποίος μπορεί να γραφεί με τις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής και με την τετραγωνική

ρίζα. Π.χ. ο ( )42x 1 1 53= − + είναι κατασκευάσιμος. Συμπεράσματα του θεωρήματος του Wantzel

1ο. Ο διπλασιασμός του κύβου είναι αδύνατος γιατί ο αριθμός 3 2 δεν είναι κατασκευάσιμος. 2ο Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι αδύνατος γιατί ο αριθμός π δεν είναι κατασκευάσιμος για το λόγο ότι ο π είναι υπερβατικός(δείχθηκε από τον Lindemann το 1882) 3ο Η τριχοτόμηση της γωνίας είναι αδύνατη γιατί στην εξίσωση 33x 4 x 3 xσυν = συν − συν

αν τεθεί για παράδειγμα x=20o, τότε θα γίνει 314 3 02

ω − ω− = , όπου ω=συνx.

Η τελευταία εξίσωση δεν δέχεται ρητές ρίζες (χωρίς απόδειξη), άρα δεν κατασκευάζεται η τιμή των 20ο.

Μαθηματικές προκλήσεις – προσκλήσεις – ασκήσεις 75. Να υπολογιστεί το εμβαδό ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ αν υπάρχει εσωτερικό του σημείο Τ τέτοιο ώστε ΤΑ=2, 5ΤΒ = και ΤΓ=3.

( Άσκηση του μήνα Σεπτεβρίου –Οκτωβρίου 2006, της Ε.Μ.Ε) Λύση:

Η Στήλη των Μαθηματικών της 24 /1/2007 3/4 Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ (Σχήμα 1). Αριστερά του τριγώνου αυτού κατασκευάζουμε το τρίγωνο ΑΔΒ ίσο με το ΒΤΓ. Θα είναι τότε: ΒΔ=ΒΤ= 5 και ΑΔ=ΤΓ= 3. Το ισοσκελές τότε τρίγωνο ΒΔΤ θα είναι και ισόπλευρο διότι:

ˆˆ 60οΔΒΤ = ω + θ = ΑΒΓ = Άρα τότε θα είναι: ΤΔ= 5 . Τότε όμως το τρίγωνο ΑΔΤ θα είναι ορθογώνιο στο Τ διότι τα μήκη των πλευρών του αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα, δηλαδή:

2 2 22 ( 5) 3+ = . Η γωνία λοιπόν 150ΟΑΤΒ = . Έτσι για την πλευρά ΑΒ του τριγώνου ΑΒΤ έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 150οΑΒ = ΑΤ + ΒΤ − ΑΤ ΒΤ συν =

2 2 32 ( 5) 2 2 5( 30 ) 4 5 4 5 9 2 152

ο= + − ⋅ ⋅ −συν = + + = +

Άρα και ( )2 9 2 15ΑΒ = +

κατά συνέπεια το εμβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου θα είναι

( )2 3 (9 2 15) 3 9 3 6 5

4 4 4ΑΒ + +

Ε = = =

Σχόλιο:

• Θα μπορούσαμε να εργαστούμε και με αναλυτική γεωμετρία, θεωρώντας το σημείο Τ με συντεταγμένες τα κ και λ, τα οποία θα προκύψουν ως η λύση του συστήματος δύο εξισώσεων των δύο κύκλων, με κέντρα τα Β και Γ και με ακτίνες 5 και 3 αντίστοιχα. Τα κ και λ θα είναι εκφράσεις του α και αν στη συνέχεια θεωρήσουμε ότι και ΤΑ =2 θα βρεθεί το α. • Η άσκηση αυτή αποτελεί μια εφαρμογή του θεωρήματος του Dim. Pompeiu(1875-1954) και βρίσκεται στο βιβλίο Μαθηματικές Ολυμπιάδες-Γεωμετρία, Δ.Γ.Κοντογιάννη, σελ.190 76. Έστω ότι η συνάρτηση f έχει παράγουσα (αρχική) στο R, μια συνάρτηση F η οποία δεν είναι 1-1 στο R. Να δείξετε ότι υπάρχει

Rξ∈ με f ( ) 0.ξ = ( θεώρημα Titu Andreescu) Λύση: Εφόσον η F δεν είναι 1-1 στο R θα υπάρχουν τουλάχιστο δύο πραγματικοί αριθμοί, έστω οι α, β με α〈β , τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση: F( ) F( )α = β (1)

Σχήμα 1

5

5θ 5

Η Στήλη των Μαθηματικών της 24 /1/2007 4/4 Επίσης ισχύει ότι: F (x) f (x), x R′ = ∀ ∈ (2), γιατί η F είναι παράγουσα της f. Άρα η F είναι παραγωγίσιμη και επειδή ισχύει η σχέση (1) λόγω του θεωρήματος του Rolle, θα υπάρχει τουλάχιστο ένα Rξ∈ ώστε F ( ) 0′ ξ = . Από τη σχέση αυτή και από τη (2), προκύπτει ότι για το ξ αυτό ισχύει ότι f ( ) 0ξ = (Από το βιβλίο του Θ.Καζαντζή, Ολοκληρώματα, σελ.119) 77. Δίνεται η συνάρτηση [ ]f : 0,e R→ δύο φορές παραγωγίσιμη και με ( )f (x) 0, x 0,e′′ 〉 ∀ ∈ (1). Αν η συνάρτηση g ικανοποιεί τη σχέση: ( ) ( ) ( )xg x f x f 0= − [ ]x 0,e∀ ∈ (2) τότε να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. (Εφημερίδα ΝΕΑ, 9/1/07). Λύση: Αν λύσουμε τη σχέση (2) ως προς g(x) τότε θα προκύψει η τιμή της g για όλες τις

τιμές του διαστήματος (0, e]. Άρα: f (x) f (0)g(x) , x 0x−

= ∀ ≠ εφόσον η συνάρτηση f

είναι παραγωγίσιμη άρα και η g ως πηλίκο παραγωγισίμων συναρτήσεων θα είναι κι αυτή παραγωγίσιμη.

Άρα: 2xf (x) (f (x) f (0)) 1 f (x) f (0)g (x) f (x)

x xx′ − − −⎡ ⎤′ ′= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

(3)

Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. άρα το κλάσμα μέσα στην αγκύλη

της (3) γράφεται: f (x) f (0) f ( )x f ( ), 0 x

x x′− ξ ′= = ξ με 〈ξ〈 (4)

Η σχέση (3) πάλι γράφεται λόγω της (4) ως εξής:

[ ]1 f (x) f (0) 1g (x) f (x) f (x) f ( )x x x

−⎡ ⎤′ ′ ′ ′= − = − ξ⎢ ⎥⎣ ⎦ (5)

Η διαφορά[ ]f (x) f ( )′ ′− ξ γράφεται [ ]f (x) f ( ) (x )f ( )′ ′ ′′− ξ = − ξ λ (6), σύμφωνα με το θεώρημα πάλι της Μέσης Τιμής, όπου το λ βρίσκεται μεταξύ του ξ και του χ. Το δεύτερο μέλος της (6) είναι θετικό ( ]x 0,e∀ ∈ λόγω των (1) και (4). Άρα και το πρώτο μέλος της (5) είναι και αυτό θετικό για τα χ αυτά, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [0, e].


78. Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο P στο επίπεδο του ΑΒΓ. Τότε τα τμήματα ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ, είτε αποτελούν πλευρές τριγώνου, είτε το μεγαλύτερο από αυτά είναι ίσο με το άθροισμα των άλλων δύο. ( Θεώρημα Pompeiu-1936) 79. Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη να χωριστεί η γωνία των 19ο σε 19 ίσα μέρη. 80. Να δείξετε ότι κάθε εξαψήφιος φυσικός αριθμός της μορφής xyzxyz, όπου x,y,z ψηφία με x 0≠ διαιρείται με τους αριθμούς 7,11 και 13. (Από το Μαθητικό Διαγωνισμό Ευκλείδης της Ε.Μ.Ε. στις 20/1/07).







Ο αιώνας του Πλάτωνα

Εισαγωγικά

«Ο ελληνικός πολιτισμός τον 4ο αιώνα π.Χ. παρουσιάζει τεράστιο ενδιαφέρον, γιατί βλέπουμε πώς μια χώρα, που συνερχόταν από τον κλονισμό του Πελοποννησιακού Πολέμου, μπόρεσε να προοδεύσει ακολουθώντας του παλιούς δρόμους, ακόμα κι αν ο ρυθμός ήταν κατά διαστήματα κάπως αργός»(Αρχαία Ελληνική Ιστορία, BOSTFORD&ROBINSON, σελ.413). Η οικονομική ανόρθωση της Αθήνας είναι αξιοσημείωτη και νέα βιοτεχνικά κέντρα ανταγωνίζονται στην παραγωγή και στο εμπόριο, όπως της Μικράς Ασίας, των Συρακουσών και του Τάραντα. Αν κανείς παρακολουθήσει τις αγορεύσεις των ρητόρων της εποχής αυτής στα δικαστήρια, θα φθάσει σε βαθιά γνώση της Αθηναϊκής ζωής και της κοινωνικής σκέψης και αντίληψης. Μια τέτοια μελέτη οδηγεί στην ανίχνευση του χαρακτήρα που διαμορφώθηκε στον μέσο απλό πολίτη και η διαπίστωση γενικά είναι ότι η ζωή των απλών Αθηναίων ήταν υγιής και ευτυχισμένη, χωρίς μεγάλη και εξαπλωμένη φτώχεια και αθλιότητα. Η κεντρική ιδέα του ελληνισμού που είναι η ιδέα της πόλης – κράτος, εκείνη την εποχή βρίσκεται σε παρακμή. Όλοι οι παραδοσιακοί δεσμοί, όπως για παράδειγμα θρησκευτικοί, κοινωνικοί και αστικοί κλονίστηκαν. Αντίθετα προβάλλεται η ιδέα του ατόμου και γενικότερα του ανθρώπινου γένους οι οποίες άλλοτε συγκρούονται και άλλοτε αναπτύσσουν σχέση συμπάθειας. Στη λογοτεχνία η πιο φανερή αλλαγή ήταν η στροφή από την ποίηση στον πεζό λόγο. Η αλλαγή αυτή σημαίνει και αλλαγή στη σχέση ανάμεσα στο άτομο και στο κράτος. Μετατοπίζεται το ενδιαφέρον σε ιδιωτικές και κοινωνικές υποθέσεις και από τη συγκινησιακή ζωή, στη ζωή της λογικής. Η λογοτεχνία περιλαμβάνει τρεις τομείς, την ιστορία (Ξενοφών), τη ρητορική (Λυσίας, Ισοκράτης, Αισχίνης, Δημοσθένης) και τη φιλοσοφία (Πλάτων,Αριστοτέλης). Ο λόγος κύρια πεζός.

Ο Πλάτων (427-347 π.Χ)

Ο Πλάτων ήταν ο μεγάλος δημιουργικός φιλόσοφος της εποχής του 4ου αιώνα π.Χ., γεννήθηκε στην Αθήνα το 427 π.Χ. από γονείς της υψηλής αριστοκρατίας. Συγγενής του ήταν ο Κριτίας, ο βίαιος αρχηγός των Τριάντα τυράννων. Με την ανατροπή αυτής της ολιγαρχίας ο Πλάτων σκέφθηκε να μπει στη δημόσια ζωή, όμως η καταδίκη του Σωκράτη (399π.Χ.), του σεβάσμιου δασκάλου του, τον οδήγησε σε αιώνιο μίσος για τη δημοκρατία. Έτσι παρέμεινε απλός «σκεπτόμενος» πολίτης αναζητώντας το ιδανικό πολίτευμα για την τέλεια πολιτεία. Το 387 π.Χ. άνοιξε στο ίδιο το σπίτι του μια σχολή, που ονομάστηκε Ακαδημεία, επειδή γειτόνευε με δημόσιο κήπο που είχε αυτό το όνομα.

N:50o

Η Στήλη των Μαθηματικών της 31 /1/2007 2/4 Έγραψε πολλά και σημαντικά έργα όπως: Απολογία, Κρίτων, Πρωταγόρας, Πολιτεία, Συμπόσιον, Θεαίτητος, Γοργίας, Μένων, Παρμενίδης, Πολιτικός, Κριτίας, Τίμαιος, Νόμοι κ. ά. Κύριο ενδιαφέρον του Πλάτωνα ήταν η ηθική. Δίδασκε ότι η μεγαλύτερη ιδέα είναι ο θεός και ότι αυτός δημιούργησε τον κόσμο, του έδωσε ψυχή(κόσμος των ιδεών) μέσα από την οποία η λογική, η τάξη και η ζωή εισχωρεί σε όλα τα πράγματα. Υποδιαίρεση της ηθικής είναι για τον Πλάτωνα η Πολιτική. Η άποψή του για το κράτος είναι ότι πρέπει να είναι οργανωμένο φιλοσοφικά(Πολιτεία). Πιστεύει ότι στην Αθήνα η οποία κυβερνιέται από την άμαθη πλειοψηφία ακόμα και οι πιο μεγάλοι πολιτικοί όπως Περικλής, Κίμων, Μιλτιάδης και Θεμιστοκλής, απέτυχαν να καλυτερεύσουν το χαρακτήρα των πολιτών της. Το Μαθηματικό έργο του Πλάτωνα εκτιμάται σε δύο τομείς. Πρώτα απ’ όλα ο ίδιος ήταν εκτός από φιλόσοφος και σπουδαίος μαθηματικός. Ασχολήθηκε με πολλά θέματα των μαθηματικών της εποχής του, δέχθηκε τις Πυθαγόρειες επιδράσεις από τον Αρχύτα τον Ταραντίνο και έθεσε βαθύτατα το ίχνος της σκέψης του στην εξέλιξη των μαθηματικών. Από την άλλη πλευρά σημαντική ήταν και η προσφορά της Ακαδημείας του, διότι εκεί δίδαξαν οι πιο σπουδαίοι μαθηματικοί της εποχής του.

Μαθηματικές προκλήσεις – προσκλήσεις – ασκήσεις 78. Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο P στο επίπεδο του ΑΒΓ. Τότε τα τμήματα ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ είτε αποτελούν πλευρές τριγώνου, είτε το μεγαλύτερο από αυτά είναι ίσο με το άθροισμα των άλλων δύο. ( Θεώρημα Pompeiu-1936) Λύση 1ος τρόπος Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Το σημείο Ρ να βρίσκεται εντός του τριγώνου ή εκτός του τριγώνου. 1η περίπτωση: (Σχήμα 1) Αν φέρουμε τις κάθετες ΡΔ, ΡΕ, ΡΖ προς τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ αντιστοίχως, τότε τα τετράπλευρα ΑΕΡΖ, ΒΔΡΖ και ΓΔΡΕ θα είναι εγγράψιμα σε κύκλο. Το ΑΕΡΖ θα είναι εγγράψιμο σε κύκλο με διάμετρο προφανώς την ΑΡ. Άρα αν στο τρίγωνο ΑΕΖ εφαρμόσουμε το θεώρημα των ημιτόνων θα προκύψει:

( )2R60ο

ΕΖ ΕΖ= ⇔ = ΡΑ

ημΑ ημ

Δηλαδή:

Β Γ

Α

ΡΕ

Δ

Ζ

Σχήμα 1

Η αλληγορία του Σπηλαίου


( ) ( ) ( )3 3602 2

οΕΖ = ΡΑ ημ = ΡΑ = ΡΑ Άρα είναι: ( ) 32

ΕΖ = ΡΑ (1)

Όμοια συμπεραίνουμε ότι: ( ) 32

ΔΖ = ΡΒ (2) και ( ) 32

ΕΔ = ΡΓ (3).

Από τις σχέσεις (1),(2) και (3) προκύπτει ότι τα μήκη ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ είναι ανάλογα των μηκών ΕΖ, ΖΔ, ΔΕ τα οποία αποτελούν τρίγωνο. Άρα και ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ θα αποτελούν τρίγωνο και μάλιστα όμοιο με το ΔΕΖ και με λόγο ομοιότητας του ΔΕΖ ως προς το τρίγωνο των ΡΑ, ΡΒ,

ΡΓ τον αριθμό 32

.

Παρατήρηση: Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται και η περίπτωση που το σημείο Ρ ανήκει σε κάποια από τις πλευρές του ισοπλεύρου τριγώνου. 2η περίπτωση: (Σχήμα 2) Στην περίπτωση αυτή διακρίνουμε πάλι δύο υποπεριπτώσεις:

Α) Έστω ότι το σημείο Ρ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο. Τότε σύμφωνα με το πρώτο θεώρημα του Πτολεμαίου έχουμε: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ΡΑ ΒΓ = ΡΒ ΑΓ + ΡΓ ΑΒ

κι ακόμα: ( ) ( ) ( )ΡΑ α = ΡΒ α + ΡΓ α , όπου α η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου. Άρα τελικά είναι: ( ) ( ) ( )ΡΑ = ΡΒ + ΡΓ δηλαδή τα τμήματα ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ δεν αποτελούν διακεκριμένο τρίγωνο αλλά το ένα ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο. Β) Αν το σημείο δεν ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο τότε πάλι τα τμήματα αυτά αποτελούν πλευρές τριγώνου και η απόδειξη γίνεται με τον ίδιο τρόπο, όπως και στην πρώτη περίπτωση. 2ος τρόπος (Θ. Μάγκος, Μαθηματικός 3ου Γ. Λυκείου Κοζάνης)

1η περίπτωση (Σχήμα 3) Το P βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου.

Η παρακάτω απόδειξη, η οποία οφείλεται στον Ρώσο μαθηματικό Zalman Skopetz, είναι εξαιρετικά απλή. Από το Ρ φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές ΑΓ, ΑΒ, ΒΓ του τριγώνου, οι οποίες τέμνουν τις ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα στα σημεία Κ, Λ, Μ αντίστοιχα. Το τετράπλευρο ΒΛΡΚ είναι τραπέζιο (ΡΛ//ΒΚ) και μάλιστα ισοσκελές (αφού

0ˆˆ 60ΡΚΒ = ΚΑΜ = ). Επομένως ΡΒ=ΚΛ. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι ΡΑ=ΚΜ και ΡΓ=ΛΜ.

Το πλεονέκτημα αυτής της λύσης είναι ότι είναι κατασκευαστική και μάλιστα λαμβάνουμε το τρίγωνο Pompeiu εγγεγραμμένο στο τρίγωνο ΑΒΓ.

Β Γ

Α

Ρ

Σχήμα 2

Β Γ

Α

Ρ

Λ

Κ

Μ

Σχήμα 3

Η Στήλη των Μαθηματικών της 31 /1/2007 4/4 Ένας άλλος τρόπος προσέγγισης: Ας υποθέσουμε ότι ΡΑ=max{ΡΑ, ΡΒ, ΡΓ}. Τότε θα αποδείξουμε ότι ΡΑ , οπότε ΡΑ





Η Ακαδημία του Πλάτωνα «Αν το όραμα του συνολικού μετασχηματισμού της κοινωνίας έμοιαζε ανέφικτο για τον Πλάτωνα, αφού προσέκρουε πάντοτε στα συμφέροντα των αντίθετων ομάδων και στις φιλοδοξίες των ισχυρών, θα μπορούσε τουλάχιστον να δημιουργηθεί μια μικρογραφία της ιδανικής πολιτείας μέσα στην Αθήνα, ένας πυρήνας αντίστασης στα επικρατούντα ήθη. Έτσι γεννήθηκε η ιδέα της ίδρυσης της πλατωνικής Ακαδημίας το 387 π.Χ.» (Αρχαίοι έλληνες φιλόσοφοι, Β.Κάλφας & Γ. Ζωγραφίδης, Ι.Ν.Σ 2006 σελ.115) Στην απόφασή του αυτή ο Πλάτωνας κατέληξε ύστερα από την αρνητική εμπειρία που είχε κατά το πρώτο του ταξίδι στις Συρακούσες. Σ’ αυτή την περιοχή του ελληνισμού, όπου η Πυθαγόρεια παράδοση διατηρούνταν ακόμα ζωντανή, πίστευε ο Πλάτωνας ότι θα μπορούσε να επιτευχθεί μια «σύζευξη» της εξουσίας με τη γνώση. Με άλλα λόγια αν δεν έρχονταν οι φιλόσοφοι στην εξουσία θα μπορούσαν οι πολιτικοί ηγεμόνες να γίνουν οι ίδιοι φιλόσοφοι ή τουλάχιστον να δεχθούν μια φιλοσοφική καθοδήγηση. Η απογοήτευσή του όμως ήταν οικτρή. Κατέληξε να πουληθεί δούλος. Η πλατωνική Ακαδημία θεωρείται ως ένας θεσμός πρωτόγνωρος και καινοτόμος. Μπορούμε ακόμα να ισχυριστούμε ότι αποτελεί και το πρώτο ευρωπαϊκό πανεπιστήμιο. Ήταν μια κλειστή οργάνωση ομοϊδεατών, που αποφάσισαν να ζήσουν από κοινού μια ζωή αφοσιωμένη στη φιλοσοφία και στην επιστημονική γνώση. Είχε ιεραρχική δομή, αξιόλογους δασκάλους και πολλούς μαθητές. Στόχος, όραμα και γνωστικό ιδεώδες: η αναζήτηση της αλήθειας. Μια αλήθεια βέβαια η οποία, τότε μόνο θα είχε αξία, αν θα οδηγούσε κατά τον Πλάτωνα στην ηθική βελτίωση του ατόμου και στην ευδαιμονία του συνόλου. Μέσα λοιπόν απ΄ αυτήν την αντίληψη η οποία στήριζε την καθημερινότητά της στο δημιουργικό διάλογο, μια νέα γενιά μαθητών θα αναζητούσε νέους δρόμους και νέους ορίζοντες. Στην ακαδημία αυτή θα συναντηθούν τα πιο δημιουργικά πνεύματα της εποχής του 4ου αιώνα π. Χ. Ο μαθηματικός Θεαίτητος, οι αστρονόμοι Εύδοξος, Κάλλιππος και Ηρακλείδης, οι φιλόσοφοι Σπεύσιππος, Ξενοκράτης, Φίλιππος και φυσικά ο Αριστοτέλης, ο οποίος για είκοσι χρόνια έζησε στο περιβάλλον της ακαδημίας αυτής.

N:51 o

Η Ακαδημία του Πλάτωνα. Ρωμαϊκό ψηφιδωτό 1ου μ.Χ.

Η Στήλη των Μαθηματικών της 7 /2/2007 2/4 Για τους πλατωνικούς της ακαδημίας αυτής ο διάλογος και όχι ο γραπτός λόγος έχει τη μεγαλύτερη αξία.(Πλάτων, Φαίδρος 274c-275b). Πάρα πολύ ενδιαφέροντες διάλογοι που αφορούσαν τα δύσκολα και κεντρικά σημεία της πλατωνικής φιλοσοφίας δεν γράφηκαν, για να μην προδοθούν τα νοήματά τους. Βέβαια όλοι οι διάλογοι της ωριμότητας του Πλάτωνα γράφηκαν, διαβάστηκαν και συζητήθηκαν μέσα στην Ακαδημία. (Αρχαίοι έλληνες φιλόσοφοι, Β.Κάλφας & Γ. Ζωγραφίδης, Ι.Ν.Σ 2006 σελ.116) Μετά το θάνατο του Πλάτωνα ιδρύονται στην Αθήνα κι άλλες σχολές όπως: το Λύκειο του Αριστοτέλη, η Στοά, και ο Κήπος του Επίκουρου. Μαθηματικές προκλήσεις – προσκλήσεις – ασκήσεις 79. Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη να χωριστεί η γωνία των 19ο σε 19 ίσα μέρη. Λύση 1ος τρόπος

Θεωρούμε τη γωνία: o

1ˆAOB 19= (Σχήμα 1)

παρατηρούμε ότι: o o o o1ˆ19 AOB 19 19 361 360 1⋅ = ⋅ = = + (1) Άρα από τη σχέση (1) προκύπτει η κατασκευή της γωνίας της1ο. Κατασκευή: Λαμβάνω με χάρακα και διαβήτη δεκαεννέα φορές τη γωνία των 19ο διαδοχικά, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Έτσι προκύπτει η γωνία που έχει αρχική πλευρά την ΟΑ και τελική την ΟΒ19 και φυσικά είναι γωνία μεγαλύτερη των 360ο κατά μια μοίρα. Για να χωρίσω τώρα τη γωνία των 19ο σε 19 ίσα μέρη αρκεί να τοποθετήσω τη γωνία της μια μοίρας 19 φορές μέσα στη γωνία ΑΟΒ1. 2ος τρόπος ( Μαρία Ρουσούλη, Μαθηματικός 3ου Γ. Λυκείου Καστοριάς) Με δεδομένο ότι η γωνία των 60ο κατασκευάζεται με χάρακα και διαβήτη(με τη βοήθεια του ισοπλεύρου τριγώνου), μπορούμε να λάβουμε τη γωνία των 15ο, διχοτομώντας αυτήν δύο φορές. Αφαιρώντας τώρα τη γωνία των 15ο από τη γωνία των 19ο προκύπτει η γωνία των 4ο την οποία διχοτομώντας πάλι δύο φορές πετυχαίνουμε την κατασκευή της γωνίας της μιας μοίρας. Άρα μπορούμε τώρα εύκολα με τη γωνία της μιας μοίρας, να χωρίσουμε τη γωνία των 19ο σε 19 ίσα μέρη. 80. Να δείξετε ότι κάθε εξαψήφιος φυσικός αριθμός της μορφής xyzxyz, όπου x,y,z ψηφία με x 0≠ διαιρείται με τους αριθμούς 7,11 και 13. (Από το Μαθητικό Διαγωνισμό Ευκλείδης της Ε.Μ.Ε. στις 20/1/07). Λύση 1ος τρόπος (Από την Ε.Μ.Ε) Ο αριθμός N xyzxyz 100000x 10000y 1000z 100x 10y z= = + + + + +

O A

B1

B1919 μοίρες

Σχήμα 1


( ) ( )100 1000x 100y z 1000x 100y z= + + + + + = ( )( )100x 10y z 1000 1 1001xyz= + + + = (1)

όμως ο αριθμός: 1001 7 11 13= ⋅ ⋅ άρα η (1) δίνει: N 7 11 13xyz= ⋅ ⋅ και συνεπώς ο αριθμός Ν διαιρείται με το 7, το 11 και το 13. 2ος τρόπος Διαιρετότητα με το 7 Κριτήριο: Για να ελέγξουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 7 πρέπει να τον γράψουμε αντίστροφα και αφού κάτω από τα ψηφία του γράψουμε τους αριθμούς:

1,3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5… (1) (κλειδί του επτά) αθροίζουμε τα αντίστοιχα γινόμενα των ψηφίων που βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο. Αν το άθροισμα είναι διαιρετό με το 7 τότε και ο αριθμός είναι διαιρετός με το 7. Παράδειγμα: Έστω προς εξέταση ο αριθμός: 86 415 τότε τον αντιστρέφουμε και έχουμε τον 5 1 4 6 8. Κάτω από τον αριθμό αυτό τοποθετούμε τους πέντε πρώτους αριθμούς από τη σειρά (1) που λέγεται κλειδί του επτά. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα ψηφία που βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο ένα προς ένα και τέλος προσθέτουμε τα αντίστοιχα γινόμενα. Αν το αποτέλεσμα είναι διαιρετό με το 7 τότε και ο αριθμός μας θα είναι διαιρετός και αυτός με το 7. Δηλαδή: Ο αριθμός που ελέγχουμε

Ν=86 415

Αντίστροφη γραφή

5 1 4 6 8

Ο αριθμός κλειδί του επτά

1 3 2 6 4 5 1 3 2 … Η σειρά αναπτύσσεται στο άπειρο

Γινόμενο των ψηφίων

5 3 8 36 32

Προσθέτουμε τους αριθμούς

5 + 3 + 8 + 36 + 32 = 84 84/7=12

Ο αριθμός 84 διαιρείται με το 7 γιατί 7Χ12=84 άρα και ο 86 415 διαιρείται με το 7. Το κριτήριο αυτό το εφαρμόζουμε στον αριθμό N xyzxyz= . Ο αριθμός που ελέγχουμε

Ν=xyzxyz

Αντίστροφη γραφή

z y x z y x

Ο αριθμός κλειδί του επτά

1 3 2 6 4 5 1 3 2 … Η σειρά αναπτύσσεται στο άπειρο

Γινόμενο των ψηφίων

z 3y 2x 6z 4y 5x

Προσθέτουμε τους αριθμούς

z + 3y + 2x + 6z + 4y+5x = =7(x+y+z)= πολ7

Άρα ο αριθμός Ν διαιρείται με το 7. Διαιρετότητα με το 11 Κριτήριο: Ένας αριθμός για να διαιρείται με το 11 θα πρέπει το άθροισμα των διψήφιων τμημάτων στα οποία χωρίζεται από το τέλος προς την αρχή του να αποτελούν αριθμό που να διαιρείται από το 11. Πράγματι: ο αριθμός A xy zx yz 10x y 10z x 10y z= + + = + + + + + =

Η Στήλη των Μαθηματικών της 7 /2/2007 4/4 11x 11y 11z 11(x y z) 11= + + = + + = πολ . Άρα ο αριθμός N xyzxyz= διαιρείται με το 7. Διαιρετότητα με το 13 Για να ελέγξουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 13 τον χωρίζουμε σε τριψήφια τμήματα από το τέλος προς την αρχή. Στη συνέχεια ανάμεσα στα διαστήματα των τμημάτων αυτών εισάγουμε το – και το + ξεκινώντας διαδοχικά από το πρώτο αριστερό διάστημα. Αν το αλγεβρικό αυτό άθροισμα είναι διαιρετό με το 13 τότε και ο αριθμός μας θα είναι διαιρετός με το 13. Παράδειγμα: Έστω προς έλεγχο ο αριθμός 7 750 678. Τότε ελέγχουμε το άθροισμα: 7 – 750 + 678 = -65. Το -65 διαιρείται με το 13 άρα και ο 7 750 678 διαιρείται με το 13. Ο αριθμός τώρα N xyzxyz= , αν χωριστεί σε τριψήφια τμήματα, τότε αυτά θα είναι xyz , xyz και το αλγεβρικό τους άθροισμα θα είναι xyz – xyz = 0 = πολ13. Άρα ο αριθμός Ν διαιρείται με το 7 το 11 και το 13. 3ος τρόπος Διαιρετότητα με το 7 Εκτελώντας τις διαιρέσεις παρατηρούμε ότι:

100 000 = πολ7 + 5 10 000 = πολ7 + 4 1000 = πολ7 + 6 100 = πολ7 + 2 10 = πολ7 + 3

Άρα: N xyzxyz 100000x 10000y 1000z 100x 10y z= = + + + + + =( 7 5)x ( 7 4)y ( 7 6)z ( 7 2)x ( 7 3)y z= πολ + + πολ + + πολ + + πολ + + πολ + + =

7 5x 4y 6z 2x 3y z 7 7(x y z) 7.= πολ + + + + + + = πολ + + + = πολ Διαιρετότητα με το 11 Όμοια έχουμε

100 000 = πολ11+10 10 000 = πολ11 + 1 1000 = πολ11 + 10 100 = πολ11 + 1 10 = πολ11 + 10

Άρα: N xyzxyz 100000x 10000y 1000z 100x 10y z= = + + + + + ( 11 10)x ( 11 1)y ( 11 10)z ( 11 1)x ( 11 10)y z

11 11(x y z) 11= πολ + + πολ + + πολ + + πολ + + πολ + + == πολ + + + = πολ Διαιρετότητα με το 13 Με τον ίδιο τρόπο.

Για την άλλη φορά 82. Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Η κάθετη ευθεία της ΑΓ στο Γ τέμνει τις ΑΒ, ΑΔ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι: ΒΕ ΓΖ + ΔΖ ΓΕ = ΑΓ ΕΖ .

( Μάγκος Θάνος, Μαθηματικός 3ου Γ. Λυκείου Κοζάνης) Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. 2ο Εν.Λύκειο Κοζάνης






Η περίοδος του Πλάτωνα Κατά την περίοδο αυτή του 4ου π. Χ. αιώνα, γίνεται προσπάθεια να εξελιχθεί η μαθηματική επιστήμη ως προς το σκοπό αλλά και ως προς τη μέθοδο. Κυρίαρχες μορφές σ΄ αυτήν την περίοδο εκτός του Πλάτωνα είναι πλειάδα μαθηματικών όπως ο Θεαίτητος, ο Εύδοξος, ο Αρχύτας, ο Αριστοτέλης, ο Μέναιχμος, ο Φίλιππος ο Οπούντιος, ο Λεωδάμας ο Θάσιος, ο Λέων ο Βυζάντιος κ.ά.

Ο Πλάτωνας υπήρξε όχι μόνο γνώστης των μαθηματικών της εποχής του, αλλά με τις κατευθύνσεις που έδινε στους μαθηματικούς της Ακαδημίας βοήθησε στον καθορισμό του θεωρητικού χαρακτήρα των μαθηματικών. Αν και δεν γνωρίζουμε αν πραγματοποίησε ο ίδιος ερευνητικές μαθηματικές εργασίες είναι όμως αυτός που καθόρισε τους σκοπούς της μαθηματικής έρευνας και σταθεροποίησε τη μέθοδο στα μαθηματικά. Ο Πλάτων αντιμετώπισε τη μαθηματική επιστήμη ως αποδεικτική μάθηση, με κύρια εφόδια την παραγωγική και αποδεικτική μέθοδο.

Τα μαθηματικά του Πλάτωνα Ο Πλάτωνας διαιρούσε τα μαθηματικά σε τέσσερις κλάδους: στην Αριθμητική, στη Γεωμετρία, στη Στερεολογία και στην Αστρονομία. Σκοπός των μαθηματικών, κατά τον μεγάλο φιλόσοφο είναι να οδηγήσουν την ψυχή προς την αλήθεια, να δημιουργήσουν την καλλιέργεια του πνεύματος, ώστε να γίνει κατανοητός ο τελικός σκοπός της φιλοσοφίας, που είναι η ιδέα του αγαθού. Από την προσεκτική μελέτη των πλατωνικών διαλόγων προκύπτουν οι μαθηματικές γνώσεις του Πλάτωνος, τόσο στη θεωρία αριθμών, όσο και στη γεωμετρία.

• Στους «Νόμους» του ο Πλάτων δίνει τον ορισμό του άρτιου αριθμού: «άρτιος είναι ο αριθμός που διαιρείται σε δύο ίσα μέρη»

N:52 o

Η ακρόπολη των Αθηνών κατά την εποχή του Πλάτωνα


• Στον «Παρμενίδη» χωρίζει τους ακέραιους σε κατηγορίες που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό άρτιων και περιττών αριθμών. Γράφει: «κάθε αριθμός είναι γινόμενο αρτίων ή γινόμενο περιττών ή γινόμενο αρτίων επί περιττών ή γινόμενο περιττών επί αρτίων»

• Στο «Θεαίτητο» διατυπώνει την πρόταση ότι «στο σύνολο των ακεραίων αριθμών οι μισοί είναι αριθμοί άρτιοι και οι μισοί αριθμοί περιττοί»

• Ο Πλάτων εμβαθύνει ακόμα στο πρόβλημα της διαίρεσης και της ανάλυσης των αριθμών σε παράγοντες. Στους «Νόμους»(σελ.738) καθορίζει τον ιδανικό αριθμό του πληθυσμού της πόλεως σε 5040, ο οποίος ισούται με το γινόμενο των επτά πρώτων αριθμών. Δηλαδή: 1Χ2Χ3Χ4Χ5Χ6Χ7=5040. Ο αριθμός των πολιτών μιας ευνομούμενης πόλης λέει ο Πλάτων πρέπει να είναι τέτοιος ώστε να επιδέχεται διαίρεση για να ευκολύνει τους άρχοντες κατά τις διάφορες διανομές. Ο αριθμός 5040 δέχεται 59 διαιρέσεις που δεν αφήνουν υπόλοιπο και επιπλέον διαιρείται με όλους του αριθμούς από το 1 μέχρι και το 10.

• Στο «Θεαίτητο» χωρίζει τους αριθμούς σε τετραγώνους και σε προμήκεις. Τετράγωνοι είναι αυτοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με τον εαυτό του και σε προμήκεις είναι οι αριθμοί που παράγονται από τον πολλαπλασιασμό δύο άνισων ακεραίων.

• Στον «Τίμαιο» θίγει την έννοια των αριθμητικών σειρών • Στην «Πολιτεία» μιλάει για τους ρητούς και τους άρρητους και γενικά για τα άρρητα

μεγέθη. Αξίζει εδώ να αναφέρουμε ότι ο Πλάτωνας δεν ήταν ικανοποιημένος από τους ρητούς αριθμούς γιατί δεν μπορούσε μέσα από αυτούς να εκφράσει τους ασύμμετρους αριθμούς. Γι΄ αυτό κατασκεύασε ένα ευρύτερο αριθμητικό σύστημα του «ιδεατούς αριθμούς». Τοποθετούσε δίπλα από έναν αριθμό έναν ιδεατό αριθμό με την ιδιότητα «διαιρούμενος επ΄ άπειρον με το δύο να μένει αναλλοίωτος». Πολλά πράγματα γι΄ αυτούς τους αριθμούς δεν γνωρίζουμε, όμως ο Γάλλος ιστορικός B.Rey, λέει: «οι συνεχείς διαιρέσεις του ιδεατού αριθμού δια του δύο αντιστοιχούν στα διαδοχικά

πηλίκα: 2 31 1 1 1, , ,..., ,...2 2 2 2ν

. Το ότι ο ιδεατός αριθμός μένει αναλλοίωτος σημαίνει ότι

το άθροισμα των «άπειρων όρων»: 2 31 1 1 1... ...2 2 2 2ν

+ + + + + είναι ίσο με το 1. Μ’

αυτόν τον τρόπο ο Πλάτωνας άγγιξε τον τρόπο που η μαθηματική ανάλυση ορίζει του ασύμμετρους ως όριο αθροίσματος των όρων συγκλίνουσας αριθμητικής σειράς με ρητούς όρους.

• Στην «Πολιτεία» μνημονεύονται οι ακέραιες λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης ψ2=2χ2-1 γράφοντας: από το τετράγωνο με πλευρά το 5 προκύπτει η διαγώνιος του δ από τη σχέση δ2=50 ή δ= 50 . Η διαγώνιος γίνεται ρητή, αν αφαιρεθεί το 1. Δηλαδή δ= 50 1 49 7− = = άρα χ=5 και ψ=7.

• Ο Ήρωνας αναφέρει ότι ο Πλάτωνας ασχολήθηκε και με τις πυθαγόρειες τριάδες, δηλαδή τις τριάδες των αριθμών χ, ψ, z που ικανοποιούν τη σχέση: χ2+ψ2= z2 δίνοντας

τη σχέση: «αν ο αριθμός α είναι άρτιος τότε η τριάδα: 2 2α α-1, α, +1

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

αποτελεί πυθαγόρεια τριάδα. • Από τον πλατωνικό διάλογο «Τίμαιος» προκύπτουν ενδείξεις ότι ο Πλάτωνας είχε

ασχοληθεί και με τις αναλογίες οι οποίες σε σχέση με τα άρρητα μεγέθη αποτέλεσαν αντικείμενο πολύχρονων μελετών στη Ακαδημία του Πλάτωνα.


Η Στήλη των Μαθηματικών της 14 /2/2007 3/4 81. Τρία γεγονότα Α, Β, Γ πρόκειται να συμβούν μετά το έτος 2007 και κατά τα έτη x, y, z.

Εάν ισχύει: 1 1 1 1x y z 2007

+ + = (1)

τότε να δειχθεί ότι: 3 (x 2007)(y 2007)(z 2007) 4014− − − ≥ (2) Μπορεί ένα από αυτά τα γεγονότα να πραγματοποιηθεί το 2008;

(Ζεμπίλης Κων/νος, Πολ. και Τοπ. Μηχανικός, Γρεβενά) Λύση (Μάγκος Θάνος, Μαθηματικός 3ου Γ. Λυκείου Κοζάνης) Η δεδομένη σχέση (1)γράφεται:

2007( )xy yz zx xyz+ + = (3). Η προς απόδειξη σχέση (2) μετά τις πράξεις γίνεται:

9 2007x y z+ + ≥ ⋅ . Αυτή όμως είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας του Swartz, δηλαδή :

1 1 1( ) 9x y zx y z

⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι π.χ. 2008z = .

Η (1) γράφεται 1 1 1x y q

+ = , όπου για ευκολία τέθηκε 2007 2008q = ⋅ .

Προφανώς είναι ,x y q> και μπορούμε θέσουμε ,x q m y q n= + = + όπου m, q ακέραιοι μεγαλύτεροι ή ίσοι της μονάδας.

Η 1 1 1x y q

+ = λαμβάνει τότε τη μορφή:

2 2 6 4 2 2(2007 2008) 2 3 223 251= = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅mn q . Επομένως τα m,n τα ‘’διαλέγουμε’’ από τους διαιρέτες του

2q και μάλιστα έτσι ώστε το γινόμενό τους να είναι ίσο με το

2q . Παράδειγμα: m 2007 1004 2015028= ⋅ = και n 2007 4016 8060112= ⋅ =

Άρα αν ένα γεγονός συμβεί την επόμενη χρονιά τότε τα δύο άλλα θα συμβούν τα έτη: x q m 2007 2008 2015028 6045084= + = ⋅ + = !

και y q n 2007 2008 8060112 12090168= + = ⋅ + = !

Παρατήρηση: Ποια η πιθανότητα να συμβεί η περίπτωση ώστε ένα από τα γεγονότα αυτά Α, Β, Γ να πραγματοποιηθεί το έτος 2008; 82. Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Η κάθετη ευθεία της ΑΓ στο Γ τέμνει τις ΑΒ, ΑΔ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι: ΒΕ ΓΖ + ΔΖ ΓΕ = ΑΓ ΕΖ (1).

( Μάγκος Θάνος, Μαθηματικός 3ου Γ. Λυκείου Κοζάνης)

Η Στήλη των Μαθηματικών της 14 /2/2007 4/4 Λύση Έστω το ορθογώνιο ΑΒΓΔ του σχήματος 1. Σύμφωνα με τους συμβολισμούς του σχήματος αυτού η σχέση (1) μετασχηματίζεται στην:

x yλ + κ = ω κ + λ (2) Αυτή η σχέση αν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει:

2 2 2x y 2xy ( )λ + κ + κλ = ω κ + λ ⇔ 2 2 2 2( ) ( ) 2 ( )κ −β λ + λ − α κ + αβ κλ = κλ κ + λ (3)

διότι: 2 2 2x = κ −β , 2 2 2y = λ − α

από τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΓΕ και ΓΔΖ. Επίσης:

ψ λ

=β κ

(θεώρημα Θαλή, ΔΓ//ΑΕ)

x κ

=α λ

(θεώρημα Θαλή, ΒΓ//ΑΖ)

και με πολ/σμό κατά μέλη προκύπτει: xy = αβ Η σχέση (3) στη συνέχεια δίνει:

( )22 2 2 0 0λβ + κα = αβ κλ = ⇔ β λ −α κ = άρα και 2

2

α λ α λβ λ = α κ ⇔ = ⇔ =

β κβκ (4)

Άρα η ζητούμενη σχέση (1) ισοδυναμεί με τη σχέση (4).

Όμως από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΖ έχουμε: ( )( )

2

2

y

x

β + λ=κα +

άρα για να αληθεύει η

(4) αρκεί να είναι: ( )( )

2 2

2 2

y

x

β + α=βα +

ή ( )( )

yx

β + α=

α + β (5)

Η σχέση (5) αληθεύει γιατί το τρίγωνο ΑΒΓ( με κάθετες πλευρές α,β) είναι όμοιο με το ΑΕΖ(με κάθετες τις yβ + , xα + αντίστοιχα). Άρα από την αλήθεια της (5) έχουμε την αλήθεια της ζητούμενης.

Για την άλλη φορά 83. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ ]0,λ με 0λ〉 . Να

δείξετε ότι ισχύει: 2

2

0 0

f (x)dx 2 xf (x)dx2

λ λλ+ ≥∫ ∫ .

84. Να δειχθεί η ανισότητα:1 2

0

1 x dx 133 2 1 x

〈 〈+∫ (Ολοκληρώ�

2 200 - pe03.grπεντάγωνο και ούτω καθεξής η αλληλουχία αυτή...

Documents

Transcript of 2 200 - pe03.grπεντάγωνο και ούτω καθεξής η αλληλουχία αυτή...