1_Predavanje_1

Dr. Ţeljko Jurić: Diskretna matematika Predavanje 1 Radna skripta za kurs “Diskretna matematika” na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (akademska godina 2013/14) Materijal izvaĎen iz udţbenika “Diskretna matematika za studente tehničkih nauka” 1 Predavanje 1 Uvod i motivacija Šta je diskretna matematika? Di s kr e tna mate matika je zajednički naziv za veoma široku skupinu raznovrsnih matematičkih disciplina za koje je karakteristično da manipuliraju sa diskretni m objektima , odnosno objektima za koje se podrazumijeva da mogu uzimati samo vrijednosti koje su jasno razdvojene jedna od druge. U tom smislu, diskretna matematika predstavlja suprotnost kontinualnoj matematici koja manipulira sa kontinualni m objektima , odnosno objektima koji mogu uzimati vrijednosti ko je se mogu meĎusobno razlikovati za proizvoljno male iznose (takva matematička disciplina je, recimo, matematička analiza). Tako, dok se diskretni objekti najčešće sasvim lijepo mogu opisivati cijelim brojevima, za opis kontinualnih objekata neophodni su realni brojevi. U diskretnu matematiku spadaju mnoge različite oblasti matematike, meĎu kojima su najkarakterističnije: matematička logika, račun iskaza i predikata, Bool e ova a l ge bra , teori ja algeba r s ki h struktura , kombinatorika , teorija grafova , te orij a v jerovatn oće i diskr etnih slučaj nih promje nljivih , elementarna teorija brojeva , teorija diferentnih jednačina, teorija diskretnih sistema , teorija izračunljivosti , te orij a kodiranj a i brojne druge discipline. Tipično se u diskretnu matematiku ubraja i teori ja s kupova , pod uvjetom da se ograničimo prvenstveno na proučavanje tzv. preb rojivih skupov a. U posljed nje vrijem e, smatra se da teor ije koje prou čavaju metode s i nteze i i mpl e mentacij e algor i tama kao i metode z a anali z u efi kas nosti al gori tama takoĎer spada ju u ob last d iskre tne m atematike. Diskretna matematika je nauka novijeg datuma i ona se intenzivno počela razvijati tek sa pojavom računara. Naime, u predračunarsko vrijeme, obično se smatralo da su problemi kod kojih treba pronaći rješenje unutar konačnog skupa mogućnosti neinteresantni sa matematičkog aspekta, s obzirom da se rješenje u principu uvijek moţe pronaći pukim ispitivanjem svih mogućnosti (kojih ima konačno mnogo). Pored toga, priroda stvarnih problema koji su se javljali u predračunarsko vri jeme veoma se rijetko svodila na rješavanje takvih problema. S druge strane, pojavom računara, konačnost računarske memorije dovela je, izmeĎu ostalog, do prave eksplozije pojave upravo problema sa konačnim skupom mogućih rješenja. Nadalje, konačni skupovi mogućnosti izmeĎu kojih je potrebno izabrati pravo rješenje u takvim problemima obično su astronomskih dimenzija (recimo, 10 100 mogućnosti ili više), tako da je nalaţenje rješenja pukim ispitivanjem raznih mogućnosti praktično neizvodljivo u razumnom vremenu, čak i uz pomoć najsavremenijih tehničkih sredstava. Upravo tada na scenu stupaju metodi diskretne matematike, uz čiju pomoć se značajan broj takvih problema relativno jednostavno rješava. Stoga se moţe reći da diskretna matematika predstavlja matematički jezik teorijskih računarsk ih nauka, tako da je posve prirodno da interes za nju kao takvu rapidno raste u posljednjih nekoliko decenija. Pored računarskih nauka, diskretna matematika ima svoje primjene u elektrotehnici (pogotovo u telekomunikacijama ), hemiji, ekonomiji , organizacionim naukama, saobraćajnim naukama , itd. Bitno je napomenuti da se u mnogim primjenama diskretna i kontinualna matematika ne mogu posmatrati striktno odvojeno . Tako je, na primjer, za rješavanje mnogih teţih problema diskretne matematike poţeljno upotrijebiti matematički aparat koji spada u tipične alate kontinualne matematike (poput diferencijalnog i integralnog računa i teorije redova), mada je problem koji se rješava po svojoj prirodi čisto diskretan. Ovo se naročito mnogo dešava u kombinatorici , teoriji vjerovatnoće, teoriji diferentnih jednačina i teoriji diskretnih sistema. Mada se u gotovo svim slučajevima takvi problemi mogu riješiti koristeći alate isključivo diskretne matematike, upotreba alata kontinualne matematike moţe osjetno pojednostaviti rješavanje. Stoga se moţe reći da u današnjim računarskim naukama i sličnim disciplinama najveću primjenu ima izvjesni “hibrid” diskretne i kontinualne matematike, koji se koristi kako metodima diskretne, tako i kontinualne matematike. R. Graham , D. Knuth i O. Patas hn ik su za takav hibrid uveli kovanicu konkretna matematika , sa dvojakim značenjem: prvo, riječ “konkretna” moţe se tumačiti da je nastala miješanjem riječi “kontinualna” i “diskretna”, a drugo, riječ “konkretna” djeluje kao suprotnost riječi “apstraktna”, tako da se konkretna matematika javlja kao suprotnost aps tr aktn oj mate mati ci , odnosno matematici “samoj za sebe”, bez jasne i očigledne primjene izvan sfera čiste matematike. Mada ćemo se u izlaganjima koja slijede drţati uglavnom matematičkog

1_Predavanje_1

Documents

Transcript of 1_Predavanje_1